Texto de Apoio_09_ESZS012-17 - Aplicações de Elementos Finitos para Engenharia

CECS – CENTRO DE ENGENHARIA, MODELAGEM E CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS

ENGENHARIA AEROESPACIAL

ESZS012-17 - Aplicações de Elementos Finitos para

Engenharia

NOTAS DE AULA – aula 09

Prof. Dr. Wesley Góis

10 O MEF (Método dos Elementos Finitos) em análise

bidimensional.

10.1 Introdução

Já foi visto anteriormente que o Princípio dos Trabalhos Virtuais oferece uma metodologia eficiente para a análise de estruturas.

A depender da forma como o P.T.V. é expresso, a ele equivale a satisfação da condição de equilíbrio ou da condição de compatibilidade. Neste último caso, a construção dos trabalhos virtuais envolve os produtos de deslocamentos e deformações reais compatíveis por forças externas e esforços internos virtuais em equilíbrio, respectivamente.

Já na forma do princípio que equivale à condição de equilíbrio, a construção dos trabalhos virtuais envolve os produtos de deslocamentos e deformações virtuais compatíveis entre si por forças externas e esforços internos reais em equilíbrio, respectivamente.

É importante destacar que tanto numa quanto noutra forma os campos virtuais adotados, apesar da independência teórica em relação aos campos reais, são determinantes em relação à qualidade das respostas obtidas. Por exemplo, o grau de regularidade dos campos virtuais internos de tensão ou deformação restringe, a um grau semelhante, a regularidade dos respectivos campos reais.

Em termos relativos, quando considerada a questão da implementação computacional, a forma do P.T.V. equivalente à condição de equilíbrio é mais interessante que a de compatibilidade, pois é mais simples elaborar rotinas computacionais para a geração de campos de deformações virtuais compatíveis do que campos de tensões virtuais equilibrados, particularmente quando se analisam estruturas hiperestáticas.

O método dos elementos finitos, em particular, oferece uma eficiente maneira de geração sistemática de funções de aproximação, e que pode ser facilmente implementada computacionalmente. A aplicação do MEF sobre o P.T.V. na forma equivalente à condição de equilíbrio permite obter soluções aproximadas de grande representatividade para problemas em engenharia de estruturas. Este tema foi abordado na análise de estruturas planas de barras (barra sob força normal, vigas, barras de treliça e pórticos).

Neste capítulo, o tema é estendido para a obtenção de soluções aproximadas de problemas estruturais que envolvem sólidos bidimensionais.

10.2 O MEF em problemas planos

Para um sólido cuja geometria (volume V e superfície de contorno G – o contorno é composto por regiões complementares onde se prescrevem forças ou deslocamentos), vinculação e forças aplicadas possam ser representadas no plano ( x - y ), conforme indicado na Figura 10.1, as grandezas envolvidas, em geral variáveis de ponto a ponto, são as seguintes:

Figura 10.1 – Sólido com representação no plano x - y

- Grandeza primária (vetorial): campo (a palavra “campo” indica uma grandeza cuja definição vale ponto a ponto do corpo) de deslocamentos, com componentes nas direções dos eixos de referência x e y , representadas, respectivamente, por u=u x y

(

,

)

e v=v x y

(

,

)

. Esse campo pode ser expresso em notação matricial por:

(

)

u d d x , y v ì ü = _{= í ý} î þ (10.1) - Grandeza secundária (vetorial): campo de deformações

(

)

xy xy ε ε ε x , y ε γ ì ü ï ï ï ï = _{= í ý} ï ï ï ï î þ (10.2)

- Grandeza secundária (vetorial): campo de tensões

(

)

xy xy σ σ σ x , y σ τ ì ü ï ï ï ï = _{= í ý} ï ï ï ï î þ

(10.3)

Em conjunto, as grandezas arroladas devem, em cada ponto, obedecer às restrições de equilíbrio, compatibilidade, modelo constitutivo e condições de contorno naturais e essenciais.

A rigor, há que se diferenciar entre estado plano de tensão e estado plano de deformação.

O primeiro se caracteriza quando a dimensão da estrutura na direção ortogonal ao plano (no caso, a direção z) for muito pequena em comparação às dimensões do sólido no plano. Nesta condição, são desprezíveis eventuais componentes de tensão normal ou de cisalhamento, σ ,τ e _{z xz} τ , naquela direção. _yz No estado plano de deformação a dimensão na direção ortogonal ao plano é muito maior do que as dimensões do sólido no plano. Outra característica particular deste estado é que o carregamento aplicado apresenta-se invariável segundo aquela direção. Nessas condições as componentes de deformação linear e angular, ε , _z γ e _xz γ , associadas à direção ortogonal ao plano são desprezíveis. _yz O fato de não existirem componentes de tensão (ou deformação) na direção ortogonal ao plano não significa que não possam existir componentes de deformação (ou tensão) segundo aquela direção. Quando existirem, as componentes não-nulas de deformação ou de tensão na direção ortogonal ao plano, respectivamente para os estados planos de tensão e de deformação, poderão ser determinadas ‘à posteriori’ em função das componentes no plano.

Voltando à análise do conjunto de restrições, que deve ser obedecido pelas grandezas envolvidas no problema plano, a restrição de compatibilidade, ou de consistência, estabelece que a variação espacial do campo de deslocamentos define o campo de deformações:

(

)

u x v ε ε x , y y u v y x ì _¶ ü ï ï ¶ ï ï ï ¶ ï = _{= í ý} ¶ ï ï ï_{¶ ¶} ï + ï_{¶ ¶} ï î þ (10.4)

Introduzindo a matriz B dos operadores de derivadas parciais, a relação anterior pode ser escrita matricialmente como:

(

)

0 x u ε ε x , y 0 Bd y v y x é _¶ ù ê ú ¶ ê ú ê ¶ ú ì ü = =_{ê úí ý}= ¶ î þ ê ú ê ¶ ¶ ú ê_{¶ ¶} ú ë û (10.5)

Quanto ao modelo constitutivo (representativo da resposta do material), o que se adota aqui é a Lei de Hooke Generalizada (material apresentando comportamento elástico-linear) com isotropia. Assim sendo, a relação entre os vetores de tensão e deformação pode ser colocada matricialmente na forma:

σ =Dε (10.6) Se o estado plano considerado for o de tensão, a matriz constitutiva tem as seguintes componentes:

(

2

)

₍

₎

1 ν 0 E D ν 1 0 1 ν 1 ν 0 0 2 é ù ê ú ê ú = ê ú - _{ê ú} -ê ú ê ú ë û (10.7a)

Já se o estado plano considerado for o de deformação, a matriz constitutiva tem as seguintes componentes:

(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

ν 1 0 1 ν E 1 ν ν D 1 0 1 ν 1 2ν 1 ν 1 2ν 0 0 2 1 v é ù ê ú -ê ú ê ú - _{ê ú} = + - ê - ú ê ú -ê ú ê _- ú ë û (10.7b)

O equilíbrio é expresso mediante o Princípio dos Trabalhos Virtuais e a relação que o define, usando de notação matricial, é a seguinte:

σ

T _{T T}

Vδε σdV = Vδd bdV + Γ δd pdΓ " δd

ò

ò

ò

(10.8)

Sendo V o volume ocupado pelo sólido, Gs a parte da superfície de

contorno com forças externas prescritas, b o vetor das forças de corpo (por unidade de volume), p o vetor das forças distribuídas por unidade de superfície,

d

d o campo de deslocamentos virtuais admissíveis e de o campo de deformações virtuais compatíveis com dd. Em particular, a compatibilidade do campo de deformações virtuais se exprime pela relação:

δε= Bδd (10.9)

As condições de compatibilidade (10.5) e (10.9), bem como a relação constitutiva (10.6), podem ser inseridas na relação do P.T.V. Nessas condições a relação do Princípio assume a forma:

σ

T

T T T

Vδd B DBddV = Vδd bdV + Γ δd pdΓ " δd

ò

ò

ò

(10.10)

O Método dos Elementos Finitos propõe a construção de aproximações para o campo de deslocamentos (considerando cada uma de suas componentes) a partir da combinação linear de valores discretos destes mesmos deslocamentos associados a um número finito ( n ) de pontos definidos no sólido, conforme indicam as relações que seguem:

% L % L 1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n u u φ u φ u φ v v φ v φ v φ = + + + = + + + (10.11a,b)

Essas relações podem ser reunidas numa única forma matricial que representa a aproximação sobre o campo de deslocamentos:

% L % % L M 1 1 2 1 2 n 2 n 1 2 n n n u v u φ 0 φ 0 φ 0 u v d φd 0 φ 0 φ 0 φ v u v ì ü ï ï ï ï ï ï é ù ì ü ï ï =_{í ý}=_{ê úí ý}= î þ ë û ï ï ï ï ï ï ï ï î þ (10.12)

As mesmas funções de aproximação podem ser adotadas para o campo de deslocamentos virtuais, ou seja:

% _n

δd =φδd (10.13) A partir das aproximações adotadas também os campos de deformações e deformações virtuais podem ser aproximados, conforme indicam as relações seguintes: % % n n ε Bφd δε Bφδd = = (10.14a,b)

Todos os campos aproximativos do MEF podem ser então, inseridos na expressão do P.T.V., que passa a ser interpretada como uma representação ‘discretizada’ do equilíbrio. A relação resultante escreve-se:

σ

T _{T T T T T T}

n n n n n

Vδd φ B DBφd dV = Vδd φ bdV + Γ δd φ pdΓ " δd

ò

ò

ò

(10.15)

A condição para que a relação anterior seja válida para qualquer que seja

n d d é a seguinte: σ T T T T n Vφ B DBφd dV = Vφ bdV + Γ φ pdΓ

ò

ò

ò

(10.16)

Notando-se que o vetor d é uma constante na primeira integral, a (10.16) _n

pode ainda ser escrita como:

σ T T T T n Vφ B DBφdV d Vφ bdV Γ φ pdΓ é ù _{= +} ë

ò

û

ò

ò

(10.17) A relação anterior define um sistema de equações lineares cujas incógnitas são as componentes do vetor d . A matriz dos coeficientes do sistema recebe o _n

nome de matriz de rigidez da estrutura e tem a seguinte representação:

( ) ( )

T

V

K =

ò

Bφ D Bφ dV (10.18) Já o vetor independente recebe o nome de vetor das forças nodais equivalentes, sendo determinado por:

σ

T T

V Γ

F =

ò

φ bdV +

ò

φ pdΓ (10.19) O sistema linear pode finalmente ser expresso na forma:

n

K d = (10.20) F

sendo constituído por um conjunto de 2n equações, onde n é o número de parcelas que compõem cada uma das combinações lineares que aparecem nas (10.11).

Novamente é importante salientar que de acordo com o Método dos Elementos Finitos os valores discretos que compõem o vetor d , e que são _n

utilizados na construção das aproximações do campo de deslocamentos, são atrelados a nós distribuídos arbitrariamente no domínio e sobre o contorno do sólido em análise. O conjunto de nós pode então ser interligado caracterizando uma rede cujas malhas, regulares ou não, podem ser formadas por elementos finitos triangulares ou quadrangulares, conforme ilustra a Figura 10.2 a.

Figura 10.2 –Discretização do domínio – rede de malhas irregulares

O MEF propõe ainda que as funções aproximativas j_i

(

i= L1, ,n

)

sejam geradas em cada nó, conforme indicado na figura 10. 2 b, pelas contribuições de funções definidas exclusivamente sobre os domínios de cada um dos elementos que tem o nó em questão como vértice comum. Cada função contribuinte possui valor unitário no nó base e valor nulo nos outros nós do elemento.

A idéia de formação da função aproximativa em cada nó pela composição de funções definidas nos elementos que o contém tem implicações sobre a construção do próprio sistema resolvente (10.20). Na verdade, passa-se a entender que o sistema final resulta das contribuições de cada elemento.

Naturalmente o P.T.V. vale para cada elemento e, neste sentido, definem- se, para cada elemento finito ( e ), uma matriz de rigidez e um vetor de forças nodais, respectivamente indicados por e

K e F . Assim sendo, a contribuição do e

conjunto de elementos para o sistema final fica representada na forma:

T e T e

e e e

e e

K =

å

A K A ; F =

å

A F (10.21) onde A são matrizes que fazem o gerenciamento (espalhamento) das posições _e

assumidas pelas componentes das matrizes de cada elemento no sistema global, de acordo com a correspondência entre as numerações (previamente estabelecidas) global e local dos nós.

A construção da matriz de rigidez e do vetor de forças nodais de cada elemento segue a mesma metodologia anterior que levou à matriz e ao vetor

deforças nodais de todo o sistema. Essencialmente, admite-se que um elemento finito, triangular (este é o elemento plano mais simples), por exemplo, seja um sólido discretizado por três nós, posicionados nos seus vértices (ver Figura 10.3).

Em cada nó definem-se dois graus de liberdade com o significado de componentes de deslocamento segundo as direções dos eixos de referência. Os deslocamentos de um ponto qualquer do elemento são então aproximados a partir de combinações lineares (‘interpolação’) dos valores nodais:

% % e e e e 1 1 2 2 3 3 e e e e 1 1 2 2 3 3 u u ψ u ψ u ψ v v ψ v ψ v ψ = + + = + + (10.22a,b)

Figura 10.3 –Elemento triangular com três nós

Essas aproximações podem ser reunidas numa forma matricial:

% % % e 1 e 1 e e 1 2 3 e 2 e n e e 1 2 3 2 e 3 e 3 u v ψ 0 ψ 0 ψ 0 u u d ψd 0 ψ 0 ψ 0 ψ v v u v ì ü ï ï ï ï ï ï ì ü é _{ù ï ï} =_{í ý}=_{ê úí ý}= ë û î þ ï ï ï ï ï ï ï ï î þ (10.23)

As funções ψ i 1,2,3_i

(

=

)

são polinômios lineares completos em x e y , genericamente representados na forma:

(

)

i i i i

ψ x, y =a x+b y+ (10.24) c

sendo que as constantes são determinadas pela imposição das restrições sobre os valores (unitário ou nulo) que cada função deve assumir nos nós do elemento. Essas restrições podem ser resumidas na forma:

(

)

i j j 1 se j i ψ x , y c / i , j 1, 2 ,3 0 se j i ì = =_í = ¹ î (10.25) As restrições acima, aplicadas a cada função ψ geram um conjunto de três _i

equações que permitem identificar as correspondentes constantes: a , _i b e _i c . _i

As expressões que determinam as constantes podem ser arranjadas na seguinte relação:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

) (

)

2 3 3 1 1 2 3 2 1 3 2 1 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 a y y y y y y 1 b x x x x x x 2 A c x y x y x y x y x y x y é - - - ù ì ü ê ú ï ï = - - -í ý _{ê ú} ï ï _{ê - - - ú} î þ ë û (10.26)

onde em cada uma das três colunas reúnem-se os valores das constantes para as funções ψ , ₁ ψ e ₂ ψ , respectivamente. Na relação anterior A indica a área do ₃

elemento triangular e, em função das coordenadas dos nós, pode ser calculada mediante o seguinte determinante:

1 1 2 2 3 3 x y 1 1 A x y 1 2 x y 1 = (10.27)

Na Figura 10.4 representam-se as chamadas funções de forma definidas pela (10.24).

Figura 10.4 – Elemento triangular com três nós – funções de forma

A matriz de rigidez do elemento pode ser obtida a partir de uma definição análoga àquela indicada na (10.18), restringindo-se a integração ao domínio do elemento:

( ) ( )

e T e e V K =

ò

Bψ D Bψ dV (10.28) Nota-se que a matriz de rigidez apresenta ordem (6x6). Por outro lado, tendo-se em vista que a aproximação adotada para os deslocamentos é linear e que as deformações, conforme define a relação (10.5), decorrem de derivadas em primeira ordem da aproximação, conclui-se que o regime de deformações no interior do elemento resulta constante. Consequentemente, mediante a relação constitutiva linear, conclui-se que também o regime de tensões resulta constante.

Assim, o elemento triangular em questão é ainda referenciado como elemento triangular de deformação constante.

Por sua vez, o vetor de forças nodais equivalentes do elemento, de ordem (6x1), resulta da seguinte relação:

e σ

e T T

e e

V Γ

F =

ò

ψ bdV +

ò

ψ pdΓ (10.29)

Cabe observar que uma vantagem da aproximação linear no elemento é garantir a continuidade dos deslocamentos também na fronteira entre elementos (neste caso, a aproximação é dita conforme); a desvantagem é que não se preserva continuidade através das fronteiras entre elementos já na primeira ordem de derivada.

Objetivando gerar aproximações globais com maior grau de continuidade, seguindo um procedimento análogo, porém com custo algébrico maior, é possível obter aproximações descritas por polinômios de grau superior. Por exemplo, um polinômio completo do segundo grau envolve seis parâmetros a determinar.

Considerando-se que cada uma das componentes de deslocamento, u e

v , venham a ser aproximadas por um polinômio deste grau, doze graus de

liberdade estarão envolvidos, sendo dois por nó. Assim sendo, para construir esta aproximação é preciso distribuir seis nós no elemento triangular, por exemplo, dispondo-os nos vértices e nos meios dos lados.

Uma observação interessante é que o triângulo de Pascal fornece a regra para a construção de polinômios completos de qualquer grau em duas variáveis, conforme indica a Figura 10.5. Nota-se que o próprio posicionamento dos monômios guarda analogia com os nós a serem distribuídos nos vértices e lados dos elementos triangulares correspondentes.

Por outro lado, o elemento quadrangular de quatro nós, ilustrado na Figura 10.6, consiste em outra alternativa simples para a geração de aproximações em análises planas e pode ser empregado em conjunto com o elemento triangular.

Figura 10.6 – Elemento quadrilateral de quatro nós

Analogamente ao elemento triangular, dois graus de liberdade são definidos em cada nó, com o significado de componentes de deslocamento segundo as direções dos eixos de referência. Os deslocamentos num ponto qualquer do elemento são então aproximados a partir de combinações lineares dos valores nodais: e e e e e 1 1 2 2 3 3 4 4 e e e e e 1 1 2 2 3 3 4 4 u u ψ u ψ u ψ u ψ v v ψ v ψ v ψ v ψ = + + + = + + + % % (10.30)

e 1 e 1 e 2 e e 1 2 3 4 e 2 e n e e 1 2 3 4 3 e 3 e 4 e 4 u v u ψ 0 ψ 0 ψ 0 ψ 0 v u d ψd 0 ψ 0 ψ 0 ψ 0 ψ u v v u v ì ü ï ï ï ï ï ï ï ï ì ü é ù ï ï =í ý=ê úí ý= ë û î þ ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï î þ % % % (10.31)

Obviamente o aumento no número de variáveis envolvidas, comparando-se com o elemento triangular, implica em aumento na ordem das matrizes obtidas com esta aproximação.

As funções ψ i 1,2,3,4_i

(

=

)

são polinômios ditos bilineares em x e y , genericamente representados na forma:

(

)

i i i i i

ψ x, y =a x+b y+c xy+ (10.32) d

Analogamente ao elemento triangular, as constantes resultam da imposição dos valores (unitário ou nulo) que cada função deve assumir nos nós do elemento.

Essas restrições podem ser resumidas na forma:

(

)

i j j 1 se j i ψ x , y c / i , j 1, 2 , 3,4 0 se j i ì = =_í = ¹ î (10.33) Especificamente, para o elemento quadrilateral com dimensões 2a 2b´ e sistema de coordenadas alocado no seu baricentro, como se apresenta na figura 10.6, tem-se:

(

)

1 1 x y ψ x , y 1 1 4 a b æ öæ ö = _ç - _÷ç - _÷ è øè ø (10.34)

(

)

2 1 x y ψ x , y 1 1 4 a b æ ö æ ö = _ç + _{÷ ç} - _÷ è ø è ø (10.35)

(

)

3 1 x y ψ x , y 1 1 4 a b æ öæ ö = _ç + _÷ç + _÷ è øè ø (10.36)

(

)

4 1 x y ψ x , y 1 1 4 a b æ öæ ö = _ç - _÷ç + _÷ è øè ø (10.37)

As aproximações globais geradas com o emprego dos elementos quadrangulares são também conformes (com continuidade entre elementos), porém uma diferença em relação aos elementos triangulares de três nós é que as deformações resultam lineares no interior dos elementos. A regra de geração das aproximações de grau superior em duas variáveis para o elemento quadrangular também pode ser obtida do triângulo de Pascal. No entanto, é mais simples de visualizá-la pela representação da matriz resultante do produto dos vetores formados pelos monômios em x e y , conforme indicado em seguida:

Figura 10.7 – Funções de aproximação do elemento quadrilateral

Exemplo 1. Considerando um estado plano de tensão, obter a matriz de rigidez para o elemento triangular de deformação constante representado na figura 10.8.

Figura 10.8 – Elemento triangular – coordenadas unitárias

A definição da matriz de rigidez é a seguinte:

( ) ( )

e T e e V K =

ò

Bψ D Bψ dV

Trata-se, inicialmente, de deduzir as matrizes que compõem a definição, considerando-se que as funções de aproximação são dadas por:

(

)

(

)

i i i i

ψ x, y =a x+b y+c , i=1,2 , 3

Segue, então, que:

3 1 2 3 1 2 3 3 1 1 2 2 ψ ψ ψ 0 0 0 x x x ψ ψ ψ Bψ 0 0 0 y y y ψ ψ ψ ψ ψ ψ y x y x y x é_{¶ ¶ ¶} ù ê ú ¶ ¶ ¶ ê ú ê ¶ ¶ ¶ ú = ê _{¶ ¶ ¶} ú ê ú ê¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ú ê _{¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶} ú ë û

Levando-se em conta que: ψ x, yi

(

)

a ;_i ψ x , yi

(

)

b ; 2 A_i 1

x y

¶ ¶

= = =

¶ ¶ os

parâmetros da combinação linear são determinados por:

i i i a 1 1 0 b 1 0 1 c 1 0 0 -ì ü é ù ï ï ê_{= -} ú í ý ê ú ï ï ê_ë ú_û î þ

Assim sendo, resulta:

(

)

(

)

(

)

1 2 3 ψ x , y x y 1 ψ x , y x ψ x , y y = - - + = = 1 0 1 0 0 0 Bψ 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 -é ù ê ú =_ê - _ú ê- - ú ë û

Uma vez que:

(

2

)

₍

₎

1 ν 0 E D ν 1 0 1 ν 1 ν 0 0 2 é ù ê ú ê ú = ê ú - _{ê ú} -ê ú ê ú ë û

Todo o integrando que define a matriz de rigidez fica representado por uma matriz cujos componentes são constantes. Por outro lado, admitindo-se uma situação de espessura (h) constante, a integral no volume do elemento se transforma numa integral na área vezes a espessura, de modo que resulta:

( ) ( )

T e 1 K Bψ D Bψ h 2 = ou

Exemplo 2. Deduzir o vetor de forças nodais equivalentes do caso indicado na figura 10. 9.

Figura 10.9 – Distribuição de força em elemento triangular

e σ e T T e V Γ F =

ò

ψ bdV +

ò

ψ pdΓ y e T y L F =

ò

ψ pdL Considerando-se que: x 1 2 3 y 1 2 3 p ψ 0 ψ 0 ψ 0 ψ ; p ; p 0 ψ 0 ψ 0 ψ ì ü é ù ï ï =_{ê ú = í ý} ï ï ë û î þ x 2 1 y y y y y p p p 1 ; p 0 ; L L æ ö = + ç_ç - ÷_÷ = è ø

(

)

(

)

i i i i ψ x, y =a x+b y+c , i=1,2 , 3

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

) (

)

i 2 3 3 1 1 2 i 3 2 1 3 2 1 i 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 a y y y y y y 1 b x x x x x x 2 A c x y x y x y x y x y x y é - - - ù ì ü ê ú ï ï = - - -í ý _{ê ú} ï ï _{ê - - - ú} î þ ë û y y i i x x x y i x y L L 0 a 1 b L 0 L , L L c L L 0 0 -é ù ì ü ê ú ï ï = -í ý _{ê ú} ï ï ê ú î þ ë û

e que ao longo do lado 1-3: ψ x , y₂

(

)

= , resultam: 0

Exemplo 3. Para os elementos finitos triangulares de deformação constante indicados a seguir são conhecidas as suas respectivas matrizes de rigidez, sendo que em cada elemento as numerações das linhas e colunas (esquerda para a direita e de cima para baixo) têm correspondência com os graus de liberdade numerados.

Adotando-se: v=0 , 2; E =1; l= , pede-se determinar a matriz de rigidez a 1

chapa quadrangular discretizada por dois elementos triangulares conforme indicado na figura seguinte.

A matriz de rigidez procurada terá ordem: 8X8, sendo que as seqüências de suas linhas e colunas terão correspondência com a ordem de numeração dos graus de liberdade nodais:

A montagem da matriz deveria seguir a relação (21 a), entretanto, o mesmo resultado pode ser obtido por um procedimento baseado na re-numeração dos graus de liberdade de cada elemento (e, portanto, das linhas e colunas de suas matrizes) de acordo com a correspondência com a numeração dos graus de liberdade globais.

Por exemplo, as linhas e colunas do elemento 1 passarão a ter a seguinte numeração seqüencial: 1,2,5,6,7 e 8. Já as linhas e colunas do elemento 2 passarão a ter a numeração: 3,4,1,2,7 e 8.

Uma vez definida a nova ordem de numeração, pode-se saber como os elementos das matrizes de cada elemento, de ordem (6X6), serão distribuídos na região (8X8) da matriz de rigidez da chapa.

Considerando, em primeiro lugar, o elemento 1, as componentes da matriz que ocupam as posições locais (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5) e (6,6) ocuparão na matriz global as posições: (1,1), (2,2), (5,5), (6,6), (7,7) e (8,8); as componentes locais (2,3), (3,4), (4,6) e (7,8), por exemplo, ocuparão respectivamente as seguintes posições na matriz de rigidez da chapa: (2,5), (5,6), (6,8) e (7,8). As outras posições seguem definição análoga.

Para o elemento 2, as componentes da matriz que ocupam as posições locais (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5) e (6,6) ocuparão na matriz global as posições: (3,3), (4,4), (1,1), (2,2), (7,7) e (8,8); as componentes locais (2,3), (3,4), (4,6) e (7,8), por exemplo, ocuparão respectivamente as seguintes posições na matriz de rigidez da chapa: (4,1), (1,2), (2,8) e (7,8).

Naturalmente, somam-se as componentes de cada elemento que sejam endereçadas para uma mesma posição na matriz global.

A matriz final está representada em seguida, levando-se em conta a simetria.