TRIGONOMETRIA

TRIGONOMETRIA

Arco de circunferência: É um segmento qualquer da circunferência, limitado por dois de seus pontos distintos.

Comprimento de circunferência: Dado por C=2πr, onde r é o raio da circunferência e π =3,14

Unidades de arcos:

1) Grau (°): Dividindo a circunferência em 360 partes iguais, obtemos um arco que corresponde a

360 1

desta circunferência. A este arco unitário chamamos de grau, ou seja, ncia circunferê da 360 1 1°= Obs: • 1 minuto 60 1 = de 1 grau, isto é: 60 1 ' 1= do grau. • 1 segundo 60 1 = de 1 minuto, isto é: 60 1 " 1 = do minuto. Então 1°=60' e 1'=60"

2) Radiano (rad): É definido como a medida do ângulo central determinado por um arco igual ao raio da circunferência que contém o arco.

Relação entre as unidades: π 2 360°→ ou 180°→π Exemplos: a) Expressar 300° em radianos. Regra de três: x rad ___ 300 ___ 180 ° ° π rad x 3 5 180 300π π = = b) Passar rad 4 π para graus. ° = ° = 45 4 180 4 π c) Expressar 22°30’ em radianos. Passando 22°30’ para minutos:

' 1350 ' 30 ' 1320 ' 30 ' 60 22°⋅ + = + =

Passando 180° para minutos: ' 10800 ' 60 180°⋅ = Regra de três: x rad ___ ' 1350 ___ ' 10800 π rad x 8 10800 ' 1350π ₌π = Exercícios: 1) Expresse em radianos: a) 60° R rad 3 :π b) 210° R rad 6 7 : π c) 450° R rad 2 5 : π d) 150° R rad 6 5 : π e) 12° R rad 15 : π f) 2° R rad 90 : π g) 67°30’ R rad 8 3 : π h) 37°30’ R rad 24 5 : π O r O _r r rad 1

2) Expresse em graus: a) rad 4 5π R: 225° b) 2πrad R: 360° c) rad 5 3π R: 108° d) rad 3 2π R: 120°

Ciclo trigonométrico ou circunferência trigonométrica

A circunferência orientada de centro na origem do sistema de coordenadas cartesianas, de raio unitário

(

r =1

)

e cujo sentido positivo é o anti-horário, é denominado ciclo trigonométrico ou circunferência trigonométrica.

O ponto A

( )

1,0 é chamado origem dos arcos. As retas x e y dividem a circunferência em quatro quadrantes.

Arcos côngruos

Dois arcos são côngruos (ou congruentes) quando tem a mesma extremidade e se diferem apenas pelo número de voltas inteiras.

Se um arco mede x graus, a expressão dos arcos côngruos a ele é dada por:

° ⋅ +k 360 x onde k∈Z Exemplo: ° =60 x ° = ° ⋅ + ° 1 360 420 60 ° = ° + ° 2.360 780 60 , ou seja, 60°, 420°, 780°,..., são côngruos.

Primeira determinação positiva de um arco

Se um arco mede

α

graus, dizemos que um arco de β graus é a sua primeira determinação positiva, se 0≤β ≤360° e côngruo a

α

.

Exemplos:

Dê a primeira determinação positiva dos arcos e a expressão geral dos arcos côngruos: a) 1940° voltas 5 140 360 1940 1ª det.positiva de 1940° é 140°

Expressão geral dos arcos côngruos a ° ⋅ + ° °:140 360 1940 k b) −2710 ° voltas 7 190 360 2710 − − 170 190 360− = 1ª det.positiva de −2710 é 170° °

Expressão geral dos arcos côngruos a ° ⋅ + ° ° −2710 :170 k 360 c) rad 4 15π Transformando em graus: ° = = ° ⋅ 675 4 2700 4 180 15 volta 1 315 360 675 1ª det.positiva de rad 4 15π é 315°

Expressão geral dos arcos côngruos a ° ⋅ + ° 360 315 : 4 15 k rad π Exercícios:

1) Calcule a primeira determinação positiva dos arcos:

x y 1 = r rad π 2 360 0°= °= ° =180 rad π ° =90 2rad π ° =270 2 3 rad π

a) 1550° R:110° b) 930° R:210° c) rad 4 23π R:315° d) rad 2 15π R:270° e) −2165 ° R: 355° f) −3190 ° R: 50° g) rad 3 17π R: 300°

2) Verifique as são côngruos os seguintes pares de arcos: a) 1490° e -1030° R:sim, 50° e 50° b) rad 9 19π e rad 9 27π − R:não, 20° e 180° c) rad 3 14π e rad 3 19π R:não, 120° e 60°

3) Determine os arcos positivos:

a) menores que 900° e côngruos a 2140° R: 340° e 700°

b) menores que 4πrad e côngruos a rad 6 55π R: rad 6 7π e rad 6 19π

4) Diga em qual quadrante está a extremidade de cada arco:

a) 1750° R: 4°Q b) rad 3 19π R: 1°Q c) −3010 ° R:3°Q Funções circulares 1. Função Seno

Dado um arco AM de medida x radianos, definimos como seno de x a ordenada do ponto M e representamos por senx=OP.

Definimos função seno como a função que associa a cada número real x, o número real OP e indicamos por f

( )

x =senx

Gráfico da função seno Montamos a tabela: x senx 0° 0 90° 1 180° 0 270° -1 360° 0 Observações:

• O gráfico da função seno é chamado de senóide.

• O gráfico continua a esquerda de zero e a direita de 2 . π

• A função é positiva no 1° e 2° quadrantes e negativa para 3° e 4° quadrantes.

• O domínio da função seno é o conjunto dos números reais.

• A imagem da função seno é o intervalo

[ ]

−1,1 , isto é −1≤senx≤1

Exemplos: a) Calcule sen450° volta 1 90 360 450 sen450°=sen90°=1 b) Calcule       3 19π sen ° = ° ⋅ 1140 3 180 19 voltas 3 60 360 1140 2 3 60 3 19 = ° =       sen sen

π

α x y 2 π π 3₂π 2π

c) Determine o valor de k, para que exista 5 2 − = k senx . 1 5 2 1≤ − ≤ − k 5 2 1≤ − − k 2k−5≤1 1 5 2 ≤− + − k 2k ≤1+5 4 2 ≤− − k 2k ≤6 4 2k ≥ k ≤3 2 ≥ k

{

∈ℜ/2≤ ≤3

}

= k k S Exercícios:

1) Determine o valor de:

a) sen900° R:0 b) sen1620° R:0 c) sen

(

−2130°

)

R: 2 1 d) sen6π R:0 e) sen11π R:0 f) 6 25

π

sen R: 2 1

2) Determine os valores reais de m, para que existam as funções:

a) senx=7m−20 R: 3 7 19 ≤ ≤m b) senx=3m+4 1 3 5 :− ≤m≤− R c) senx+2m=9 R:4≤m≤5 d) 3 1 2 − = m senx R:−1≤k ≤2

Período da Função Seno

Notamos que, a partir de 2 , a função π seno se repete em seus valores, portanto dizemos que esta função é periódica.

rad p=2

π

Observações:

Considerando a função f

( )

x =a⋅sen

( )

kx , definimos como período da função seno

k

p= 2

π

(observe que k é o coeficiente de x)

Exemplos:

Qual o período das funções:

a) y =3senx R: p=2

π

rad b) y=sen

( )

4x R p rad 2 : =

π

c)       − = 3 2 4sen x

π

y R: p=4

π

rad Exercícios:

Determine o período das funções:

a) y=sen

( )

8x R rad 4 :

π

b) y=sen

( )

10x R rad 5 :

π

c)       = 5 x sen y R:10πrad d)       + = 6 4 5 x

π

sen y R rad 10 :

π

e)       + + = sen x y 2 2 3 1

π

R:πrad 2.Função Cosseno

Dado um arco AM, de medida x radianos, definimos como cosseno de x a abscissa do ponto M e representamos:

OQ x= cos

Definimos função cosseno como a função que associa a cada número real x o número real OQ .

Gráfico da função Cosseno Montamos a tabela: x cos x 0° 1 90° 0 180° -1 270° 0 360° 1 x y

Observações:

• O gráfico da função cosseno é chamado de cossenóide.

• O gráfico continua a esquerda de zero e a direita de 2 . π

• A função é positiva no 1° e 4° quadrantes e negativa para 2° e 3° quadrantes.

• O domínio da função cosseno é o conjunto dos números reais.

• A imagem da função cosseno é o intervalo

[ ]

−1,1 , isto é −1≤cosx≤1

Exemplos: 1) Calcule cos1830° voltas 5 30 360 1830 2 3 30 cos 1830 cos °= °=

2) Determine k de modo que se tenha 4 3 cosx= k+ 1 4 3 1≤ + ≤ − k 4 3 1≤ + − k 3k+4≤1 5 3 ≤ − k 3k ≤1−4 5 3k ≥ k ≤−1 3 5 − ≥ k       − ≤ ≤ − ℜ ∈ = 1 3 5 / k k S Exercícios:

1) Determine o valor de: a) cos450° R:0 b) cos

(

−900°

)

R:−1 c) cos1620° R:−1 d) cos6π R:1 e) 2 7 cos

π

R:0 f) 6 25 cos

π

2 3 : R

2) Determine m para que exista:

a) cosx=1−6m 3 1 0 : ≤m≤ R b) cosx=2m+5 R:−3≤m≤−2 c) cosx+2m=5 R:2≤m≤3 d) 2 1 4 cosx= m+ 4 1 4 3 :− ≤m≤ R

Período da função Cosseno

Considere a função y =a⋅cos

( )

kx , definimos como período da função cosseno

k p= 2

π

Exemplo:

Determine o período da função

      = 5 3 cos x y 3 10 5 3 2

π

π

= = p Exercícios:

Determine o período de cada função: a) y=cos

( )

6x 3 :

π

R b)       = 7 4 cos x y 2 7 :

π

R c) y=1+cos

( )

3x 3 2 :

π

R d)       + = 7 4 cos 5 x

π

y R:8π 3. Função Tangente

Dado um arco AM, de medida x radianos, com x≠

π

+k

π

2 , definimos como tangente de x a medida algébrica do segmento AT e representamos por AT x tg = Observe também: OQ OA MQ AT = x senx AT cos 1 = ⇒ 2 π π 3₂π π 2

Então: x senx AT cos = , ou seja x senx x tg cos = ondex≠

π

+k

π

2 . Exercício:

Determine o valor de: a) tg900° R:0 b) tg

(

−540°

)

R:0 c) tg1500° R: 3 d) tg

( )

11

π

R:0 e) tg

( )

6

π

R:0 f)       3 13

π

tg R: 3

Gráfico da função Tangente Montamos a tabela: x tgx 0° 0 90° ∃/ ⇒ 0 1 180° 0 270° ∃/ 360° 0 Observações:

• O gráfico da função tangente é chamado de tangentóide.

• O gráfico continua a esquerda de zero e a direita de 2 . π

• A função é positiva no 1° e 3° quadrantes e negativa para 2° e 4° quadrantes. • O domínio da função tangente       + ≠ ℜ ∈ x

π

k

π

x 2 / , com k∈Z .

• A imagem da função tangente é o conjunto dos números reais.

Período da função tangente

Observe que de

π

e

π

a função tangente repete seus valores, portanto p=π. Para a função y=a⋅tg

( )

kx , o período k p=π . Exemplo: Qual o período de       − = 2 2x π tg y ? 2 π = p Exercícios:

1) Determine o período das funções:

a)       − = 2 3x π tg y 3 :π R b) y=tg4x 4 :π R c)       + = 3 5x π tg y 5 :π R d) 3 x tg y= R:3π

2) Determine os valores de: a) sen1260°;cos1260° e tg1260° 0 e 1 -0; : R b) 4 17π sen ; 4 17 cos π e 4 17π tg 1 e 2 2 ; 2 2 : R c) sen

(

−1380°

)

; cos

(

−1380°

)

e tg

(

−1380°

)

3 e 2 1 ; 2 3 : R x y α 2 π π 2 2π 3π

3) Calcule o valor de:

(

)

      + − 3 cos cos 3 cos 4 cos 8 cos

π

π

π

π

π

3 2 : − R 4) Sendo 2 5π = x , calcule: 15 cos 5 cos 2 cos x+ x + x 2 2 3 : − R

5) Determine o valor de:

π π π π π 2 cos 4 2 4 cos 4 −     − + + sen sen 2 2 2 3 : − R 6) Calcule A, sendo: x tg x x sen

A= 3 +cos4 − 2 ,parax rad 2 π = 0 : R 7) Determine o valor de       − + −       − = 2 5 3 3 2 9 cos π tg π sen π y 1 :− R

Outras funções trigonométricas 4. Função Cotangente

Denomina-se função cotangente a função

( )

senx x x

f = cos , definida para todo x real diferente de k π com k∈Z . Representamos por:

( )

senx x x x

f =cotg = cos , com x≠kπ , k∈Z 5. Função Secante

Denomina-se função secante a função

( )

x x f cos 1

= , definida para todo x real

onde x≠ π +kπ 2 com k∈Z. Representamos por:

( )

x x x f cos 1 sec = = 6. Função Cossecante

Denomina-se função cossecante a função

( )

senx x

f = 1 , definida para todo x real diferente de k π com k∈Z. Representamos por:

( )

senx x x f =cossec = 1 , com x≠kπ , Z k∈ Exemplos:

Calcule cotg 30°, sec 30° e cosec 30°

3 2 1 2 3 30 30 cos 30 cotg = = ° ° = ° sen 3 3 2 3 3 3 2 2 3 1 30 cos 1 30 sec = = ⋅ = ° = ° 2 2 1 1 30 1 30 cosec = = ° = ° sen Exercícios:

1) Calcule o valor de cotg 45°, sec 45° e cosec 45° R :1; 2 e 2

2) Determine o valor de cotg 990°, sec990° e cosec 990°. R:0,∃/ e -1 3) Se x=180°, calcule o valor de 2 5 5 2 2 x cosec 5 x sen senx y − = R: y=1

4) Os quadrantes onde estão os ângulos

α

, β e γ , tais que senα <0 e cosα <0;

0 < β

tg e cosβ <0; senγ <0 e 0

cotgγ < , são respectivamente: a) 3°, 2° e 1° b) 2°, 1° e 3° c) 3°, 1° e 2° d) 1°, 2° e 3° e) 3°, 2° e 4° R:e) 5) Se π 3π 2 5 <

a) cosx>0 e senx>0 b) cosx>0 e senx<0 c) cosx<0 e senx>0 d) cosx<0 e senx<0 e) N.D.A. R: c) 6) O período da função       + = 8 2x π sen y é: a) 16 π = p b) 8 π = p c) 2 π = p d) p=π e) p=2π R: d) 7) O período da função

( )

3 2 cos x x f = é: a) p=6π b) p=4π c) p=3π d) 2 3π = p e) p=2π R: c) Relações Trigonométricas Já sabemos que: x cos x sen x tg = senx cosx x cotg = x x cos 1 sec = senx 1 x ec cos =

Relação trigonométrica fundamental:

1

=

OM ; OQ=cosx e MQ=OP=senx

No triângulo retângulo OQM, pelo teorema de Pitágoras, temos:

( ) ( ) ( )

2 2 2 OQ MQ OM = +

(

) (

2

)

2 2 cos 1 = senx + x , logo 1 cos2 2 + = x x sen

Outras relações trigonométricas: x tg x 2 2 1 sec = + x g x ec2 2 cot 1 cos = + Exemplos: 1) Sendo 4 3 =

senx , com x∈2°Q, calcule as outras funções trigonométricas:

Como sen2x+cos2 x=1 1 cos 4 3 2 2 = +       x 16 9 1 cos2 = − ⇒ _x 16 7 cos2 x= 16 7 cos = ⇒ x 4 7

cosx=− (cos no 2° Q é negativo)

7 7 3 7 7 7 3 4 7 4 3 cos = = ⋅ = = x senx tgx 7 7 3 − = tgx (tg no 2° Q é negativo) 3 7 4 3 4 7 cos cot = = = senx x gx 3 7

cotgx=− (cotg no 2° Q é negativo)

7 7 4 7 7 7 4 4 7 1 cos 1 sec = = = ⋅ = x x 7 7 4

secx=− (sec no 2° Q é negativo)

3 4 4 3 1 1 cos = = = senx ecx 3 4 cos = ⇒ ecx (cosec no 2°Q é positivo) x y

2) Para que valores de a temos, simultaneamente senx=a+1 e cosx=a?

1 cos2 2 + = x x sen

(

a+1

) ( )

2 + a 2 =1 1 1 2 2 2 + + + = a a a 0 2 2a2 + a =

(

1

)

0 2a a+ = 0 = a ou a=−1 Exercícios: 1) Dado 2 1 cosx=− , com π <x<π 2 ,

calcule o valor de sen x.

2 3 : R 2) Dado 5 1 cosx=− ,com π <x<π 2 ,

calcule sen x, tg x e cotg x. 12 6 e 6 2 , 5 6 2 : − − R 3) Sendo 3 1 x = sen , com 2 0<x<π , determine cotg x. R:2 2 4) Se cotg x =1, com 2 0<x<π , calcule x sen e cos ec x. e 2 2 2 : R

5) Sendo sen x = a−2 e cosx=a−1, determine a. R:2

6) Quais os valores de a, para que se tenha, simultaneamente, sen x=a e 3 cosx=a . 2 1 -ou 2 1 :a= R 7) Sabendo que 2 1

cosx= , calcule o valor de x ec g y sec x cos 1 x cot − − = . 2 1 : R 8) Se 3 1 x =

sen , calcule o valor da expressão gx tgx x x y cot cos sec + − = . 27 1 : R 9) Sendo 3 1 = x sen , com 2 0< x<π , calcule

(

)(

)

ecx tgx x x sen y cos 1 cos − − = . 72 2 : R 10) Calcule o valor de

(

)(

)

gx ecx x x y cot 1 cos sec sec2 − − = , dado 4 1 cosx= . R:16 Identidades Trigonométricas

Consideremos uma igualdade da forma

( ) ( )

x g x

f = , onde f

( )

x e g

( )

x são funções trigonométricas. Se essa igualdade é válida para qualquer valor real de x, para os quais os valores das funções existem, dizemos que f

( ) ( )

x = g x é uma identidade trigonométrica.

Exemplos:

a) cos2 x=1−sen2x é válido para qualquer x real.

b)

tgx x

g 1

cot = é válido para todo π

π k x≠ +

2

c) cosx⋅cossecx=cotgx gx senx x 1 cot cos ⋅ = gx senx x cot cos ₌ gx gx cot cot = d) Demonstre a identidade x ec tgx gx tgx+cot = ⋅cos 2 x sen x senx senx x x senx 2 1 cos cos cos + = ⋅ x senx x senx x x sen cos 1 cos cos2 2 ⋅ = ⋅ +

x senx x senx cos 1 cos 1 ⋅ = ⋅ ⇒1=1 e) tgx x tgx x + = − sec 1 sec multiplicando

pelo conjugado, temos

(

)

(

x tgx

)

tgx x tgx x tgx x − − ⋅ + = − sec sec sec 1 sec

(

) ( )

2 2 sec sec sec tgx x tgx x tgx x − − ⋅ = − 1 sec secx−tgx=⋅ x−tgx tgx x tgx x− =⋅sec − sec Exercícios: 1) Demonstre as identidades: a) senx⋅cosecx=1

b) cosx⋅tgx=senx c) tgx+cotgx=tgx.cosec2x d)

(

1+tg2x

)(

1−sen2x

)

=1 e) 1+tg2x=tg2x⋅cosec2x f) 1 cos sec cos = + ecx senx x x

g) tg2x+cos2 x=sec2 x−sen2x h) cotg2x+1=cosec2x 2) A expressão senx x x senx 1 cos cos 1 + + + é igual a:

a) sen x b) secx c) 2sen x d) 2cosecx e) 2secx R:d) 3) Para todo x∈1°Q, a expressão

(

sec x−tg x

)(

secx+tgx

)

−sen2x é igual a: a) cos2 x b) 1+sen2x

c) cosx−senx d) secx+cosx

e) N.D.A. R:a) 4) A expressão senx ecx x x − − cos cos sec é equivalente a : a) sec3x b) sen2x c) tg3x d) tgx 1 e) x tg2 1 1 − R:c) 5) O valor de x tg tgx y ₂ 1 2 − = , quando 7 3 cosx=− e tgx<0, é: a) 31 10 4 b) 3 10 2 c) 15 10 2 d) 7 10 3 e) 31 10 12 ) :e R

Operações com arcos

Sejam a e b dois arcos positivos, do 1° quadrante, cuja soma ainda pertence ao 1°quandrante, então:

(

a

+

b

)

=

sen

a

⋅

cosb

+

sen

b

⋅

cos

a

sen

(

a

−

b

)

=

sen

a

⋅

cosb

−

sen

b

⋅

cos

a

sen

(

)

cos cosb-sen sen b cosa+b = a⋅ a⋅

(

)

cos cosb sen sen b cosa−b = a⋅ + a⋅

(

)

b tg a tg b tg a tg b a tg 1− ⋅ + = +

(

)

b tg a tg b tg a tg b a tg 1+ ⋅ − = − a a sen a sen2 =2 ⋅cos a sen a a cos2 2 2 cos = − a tg a tg a tg ₂ 1 2 2 − = Exemplos: 1) Calcule sen75°

(

°+ °

)

= = ° 45 30 75 sen sen

°

⋅

°

+

°

⋅

°

=

sen

45

cos

30

sen

30

cos

45

4 2 6 2 2 2 1 2 3 2 2 75°= ⋅ + ⋅ = + sen 2) Calcule cos15°

(

°− °

)

= ° cos 45 30 15 cos ° ° + ° °

= cos45 cos30 sen45 sen30

4 2 6 2 1 2 2 2 3 2 2 + = ⋅ + ⋅ = 3) Calcule tg105°

(

°+ °

)

= ₋ °+_°⋅ °_° = ° 45 60 1 45 60 45 60 105 tg tg tg tg tg tg

(

)

(

)

= + + ⋅ − + = − + = 3 1 3 1 3 1 1 3 1 . 3 1 1 3 3 2 2 3 2 4 3 1 1 3 2 3 − − = − + = − + + = Exercícios: 1) Calcule: a) cos105° 4 6 2 : − R b) tg15° R:2− 3 c) 6 5π sen 2 1 : R

2) Usando as fórmulas da adição, mostre que: a) x senx 2 cos =      − π b) sen x cosx 2 =     − π c) sen

(

π

+x

)

=−senx

3) Sendo tgA=2 e tgB=1, ache

(

A B

)

tg − . 3 1 : R 4) Simplifique a expressão

(

)

(

)

      − ⋅ +       − ⋅ + = x sen x x x sen Y 2 5 cos 2 cos π π π π R:tg2x 5) Dado 2 1 = tgx , calcule tg 2x e cotg 2x. 4 3 e 3 4 : R 6) Calcule sen 2x, se 4 3 = x sen e Q x∈2° . 8 7 3 :− R 7) Sabendo que 4 1 = a tg , calcule tg 2a e a g 2 cot . 8 15 e 15 8 : R