01_Comportamento das cargas RLC em CA

(1)

Eletricidade Industrial

FATEC MAUÁ

PROFESSOR: Ms VOLPIANO PROFESSOR: Ms VOLPIANO

COMPORTAMENTO DAS CARGA RLC EM

CORRENTE ALTERNADA

(2)

Circuito Resistivo

O valor da corrente elétrica calculada no circuito da figura 1 pela lei de Ohm é proporcional ao valor da tensão, a corrente é igual a zero e possui o valor máximo positivo e negativo nos mesmos instantes que a tensão, observe na figura 2 que a forma de onda da corrente esta em fase com a forma de onda da tensão, ambas estão sincronizadas.

v(t)

i(t)

Figura 1

(3)

A representação fasorial da tensão em relação à corrente para a

carga resistiva é mostrada na figura 3.

Para v(t) = V

_max

. sen (ω.t) tem-se:

ω 90°

)

.

(

.

)

(

)

.

(

.

)

(

)

(

)

(

max

i

t

I

_max

sen

t

R

t

sen

V

t

i

R

t

v

t

i

=

→

=

ω

→

=

ω

v(t)

i(t)

ω 0° 180° -180 -90° Figura 3

(4)

Circuito Indutivo

Quando um indutor é percorrido por uma corrente alternada i(t) = I_max. sen (ωt), é auto-induzida uma força contra-eletromotriz (f.c.e.m) no indutor contrária a força eletromotriz que lhe deu origem segundo a lei de Lens.

Em 1834 o físico Russo Heinrich Friedrich Lenz pesquisando a lei da indução eletromagnética descoberta por Faraday em 1831 descobre que o sentido da tensão ou da corrente induzida em uma espira é oposto ao sentido da tensão ou corrente que a induziu.

Esta força contra-eletromotriz é representada pela equação

( )

t

i

dt

d

L

e

=

−

.

(5)

Como a tensão induzida tem sentido contrário a tensão que a

induziu tem-se

( )

t

I

L

cos

( )

t

(

cos

( )

t

sen

(

t

)

v

t

cos

I

t

sen

I

dt

d

t

sen

I

dt

d

L

t

v

t

sen

I

t

i

t

i

dt

d

L

t

v

t

i

dt

d

L

t

v

e

t

v

90 .

.

max max max max

°

+

ω

=

ω

→

ω

=













ω

=

ω

→

ω

=

ω

=

→

=

→













−

=

→

−

=

( )

(

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

t

sen

I

t

i

t

sen

V

t

v

L

I

V

t

sen

L

I

t

v

t

sen

t

cos

t

cos

L

I

t

v

.

)

(

90 .

.

90 .

.

90 .

.

max max . max max max max

ω

=

°

+

ω

=

ω

=

→

°

+

ω

=

°

+

ω

=

ω

→

ω

=

Conclusão: A corrente esta atrasada

em 90

° em relação à tensão.

(6)

A representação fasorial da tensão em relação à corrente para

uma carga indutiva é mostrada na figura 4.

v(t)

i(t)

ω

0°

90°

180°

0°

-180°

-90°

Figura 4

(7)

O circuito da figura 5 e as formas de onda da figura 6 representam o comportamento do indutor em corrente alternada. Observe na figura 6 que a tensão passa por zero no sentido do semi-ciclo positivo exatamente após 90° a corrente estará passando por zero definindo o atraso de 90° entre a onda da corrente em relação à onda da tensão.

v(t) i(t) Figura 5 Figura 5 Figura 6 90°

Defasagem de 90° entre a tensão e a corrente

( )

=

(

+

°

)

=

90 t

.

sen

.

Vmax

t

v

t

.

sen

I

)

t

(

i

_max .

ω

(8)

Ao energizar um indutor instantaneamente aparece tensão em seus terminais porém somente irá circular corrente após o estabelecimento do campo magnético

por este motivo ocorre o atraso da corrente em relação à tensão, para um indutor ideal com resistência de bobina igual a zero consideração teórica este atraso é de 90° como demonstrado na equação.

O produto (ω.L) é chamado de reatância indutiva (XL) que representa a resistência

( )

(

)

( )

=

(

+ °

)

= ° + = = 90 t . sen . V t v L . . I V onde 90 t . sen . L . . I t v t . sen I ) t ( i max max max max . max

ω

O produto (ω.L) é chamado de reatância indutiva (XL) que representa a resistência que o indutor oferece a passagem da corrente alternada, seu valor depende da

freqüência. Para a freqüência igual a zero a reatância indutiva (XL) será igual a zero é o indutor apresenta pouca oposição a passagem da corrente elétrica, porque a resistência da bobina é muito pequena, se a freqüência for muito alta a reatância indutiva (XL) será muito alta e o indutor apresenta grande oposição a passagem da corrente elétrica.

L

f

2 XL

f

2 L

XL

=

ω

.

→

ω

=

.

π

.

∴

=

.

π

.

(9)

Exemplo de Aplicação:

Uma tensão eficaz de 110V alimenta uma bobina de 100mH, determine a reatância indutiva da bobina e a corrente solicitada da fonte para os seguintes casos:

a-) Para uma freqüência de 60Hz. b-) Para uma freqüência de 1kHz.

Resolução: a-) Para f = 60Hz

(

)

XL XL L f XL f L XL 7 , 37 10 . 100 . 60 . 2 . . 2 . 2 . 3 Ω = → π = π = → π = ω → ω = − v(t) i(t)

(

)

A I I XL V I XL XL 918 , 2 7 , 37 110 7 , 37 10 . 100 . 60 . 2 = → = → = Ω = → π = b-) Para f = 1kHz

(

)

mA I I XL V I XL XL L f XL f L XL 175 32 , 628 110 32 , 628 10 . 100 . 10 . 1 . 2 . . 2 . 2 . 3 3 = → = → = Ω = → π = π = → π = ω → ω = −

Observe que o valor da reatância

indutiva XL é diretamente proporcional ao valor da frequência. Quanto maior o valor da frequência maior será o valor da reatância indutiva XL e

consequentemente menor será o valor da corrente.

(10)

Impedância Indutiva (ZL)

Como a resistência ohmica da bobina não é igual a zero a impedância indutiva ZL corresponde à soma vetorial da resistência da bobina Rb com a reatância indutiva XL. A figura 7 representa o diagrama fasorial da impedância indutiva.

XL ZL

φ

90° 180° XL Rb

φ

0° 180° -180 -90° Figura 7

( ) ( )

( )

Rb

XL

atan

Rb

XL

tan

Rb

XL

tan

XL

Rb

ZL

=

ϕ

→

=

ϕ

→

=

ϕ

+

=

1

2 2

(11)

Exemplo de Aplicação

Uma fonte de 127V com freqüência igual a 60 Hz alimenta um indutor com resistência Rb = 2,5 Ω e uma indutância L = 11,49mH.

Com os valores calcule:

a-) A impedância indutiva ZL.

b-) A corrente solicitada da fonte de alimentação

c-) O ângulo de defasagem em graus entre a onda da tensão e a onda da corrente.

Resolução

a-) Calculo da impedância ZL

(

)

(

)

( ) ( )

+ → =

( ) (

+

)

→ = Ω = Ω = → π = → π = − 5 332 , 4 5 , 2 332 , 4 10 . 49 , 11 . 60 . 2 . . 2 2 2 2 2 3 ZL ZL XL Rb ZL XL XL L f XL

(12)

b-) Calculo da corrente solicitada da fonte de alimentação

A

I

ZL

V

I

25 ,

4

5

127 =

→

=

→

=

c-) Calculo do ângulo de defasagem entre a onda tensão e da corrente

(

)

→ ϕ= ° = ϕ → = ϕ → = ϕ 1,7328 60 5 , 2 332 , 4 atan atan Rb XL atan

A tensão e a corrente podem ser representadas conforme a figura 8 .

ω 90° V I ω 0° 90° 180° -180° -90° ϕ = - 60° Figura 8

(13)

A figura 9 representa a forma de onda da tensão e da corrente com a defasagem de 60° e seus respectivos valores máximos para o exemplo.

Vmax = 179,60V

Imax = 35,92A

60°

(14)

Circuito Capacitivo

Um capacitor é formado por duas placas isoladas por um dielétrico, ao aplicar tensão entre as placas ocorre um deslocamento de cargas, em função deste efeito o capacitor gera um campo elétrico que armazena energia cujo valor depende da capacitância (C) do capacitor.

A quantidade de carga (Q) que circula por um capacitor em um determinado

V

C

Q

V

Q

C

=

→

=

.

A quantidade de carga (Q) que circula por um capacitor em um determinado tempo define o valor da corrente absorvida pelo capacitor .

V

dt

d

C

I

V

C

dt

d

I

Q

dt

d

I

=

→

=

.

→

=

.

(15)

Se um capacitor for alimentado por uma tensão alternada senoidal igual a:

( )

t

sen

V

t

v

(

)

=

max

.

ω

.

a corrente i(t) será igual a:

v(t) i(t) C

( )

t V cos

( )

t sen V d t sen V dt d C t i t v dt d C t i . . . . . . . . ) ( ) ( . ) ( max max max ω ω = ω ω = → =

Comparando a equação da corrente que circula pelo capacitor com a tensão aplicada em seus terminais é possível verificar que a corrente esta adiantada em relação à tensão em 90° para um capacitor ideal.

( )

(

( )

(

)

(

)

(

)

( )

t sen V t v t sen I t i C V I t sen C V t i t sen t cos t cos C V t i t cos V t sen V dt . . ) ( 90 . ) ( . . 90 . . . . ) ( 90 . . . . . . ) ( . . . . . max . max max max max max max max ω = ° + ω = ω = → ° + ω ω = ° + ω = ω → ω ω = ω ω = ω

(16)

A representação fasorial da tensão em relação à corrente para uma carga capacitiva é mostrada na figura 10.

v(t) i(t) ω 0_° 90_° 180_° -180_° -90_°

Ao energizar um capacitor instantaneamente circula corrente pelo componente definindo seu processo de carga porém somente aparecerá tensão entre seus terminais após o estabelecimento do campo elétrico por este motivo a corrente esta adiantada em relação à tensão em 90° para um capacitor ideal com resistência interna igual a zero.

(17)

O circuito da figura 11 e as formas de onda da figura 12 representam o comportamento do capacitor em corrente alternada. Observe na figura 12 que a corrente passa por zero no sentido do semi-ciclo positivo exatamente após 90° a tensão estará passando por zero portanto a onda da corrente esta adiantada em relação à onda da tensão em 90°.

v(t) i(t) C Figura 11 Figura 12 90°

(18)

A razão entre a tensão máxima e a corrente máxima resulta na reatância capacitiva (XC) que é definida com sendo a resistência que o capacitor oferece a passagem da corrente alternada senoidal.

O valor da reatância capacitiva depende do valor da freqüência, para uma freqüência muito baixa a reatância capacitiva será muito alta e nesta situação

C XC C V V XC C V I I V XC . 1 . . . . max max max max max max ω = ω = → ω = → =

freqüência muito baixa a reatância capacitiva será muito alta e nesta situação o capacitor apresenta grande oposição à passagem da corrente elétrica, se a freqüência for muito alta a reatância capacitiva será muito baixa e nesta situação o capacitor apresenta baixa oposição a passagem da corrente elétrica.

(19)

Exemplo de aplicação

Uma tensão eficaz de 110V alimenta um capacitor de 100µF, determine a reatância capacitiva do capacitor e a corrente solicitada da fonte para os seguintes casos:

a-) Para uma freqüência de 60Hz. b-) Para uma freqüência de 1kHz.

Resolução:

a-) Para f = 60Hz 526 , 26 XC 1 XC 1 XC 1 XC = → = → = ₋ → = Ω A 147 , 4 I 526 , 26 110 I XC V I 526 , 26 XC 10 . 100 . 60 . 2 XC C . f . 2 XC C . XC 6 = → = → = = → = → = → = ₋ Ω π π ω b-) Para f = 1kHz A 18 , 69 I 59 , 1 110 I XC V I 59 , 1 XC 10 . 100 . 10 . 1 . 2 1 XC C . f . 2 1 XC C . 1 XC 6 3 = → = → = = → = → = → = ₋ Ω π π ω

(20)

Impedância Capacitiva (ZC)

Como a resistência interna do capacitor não é nula a impedância capacitiva (ZC) corresponde à soma vetorial da resistência interna do capacitor (Rc) com a reatância capacitiva (XC). A figura 13 representa de forma fasorial a impedância capacitiva. 90°

( ) ( )

( )

      − = ϕ →       − = ϕ → = ϕ + = Rc XC atan Rc XC tan Rc XC tan XC Rc ZC 1 2 2 Rc XC ZC -φ 0° 180° -180° -90° Figura 13 O ângulo (φ) é chamado de ângulo da carga e seu valor define em graus o quanto a corrente estará adiantada em relação à tensão.

(21)

Exemplo de Aplicação

Uma fonte de 127V com freqüência igual a 60 Hz alimenta um capacitor com resistência interna Rc = 0,436 Ω e uma capacitância C = 530μF

Com os valores calcule:

a-) A impedância capacitiva ZC.

b-) A corrente solicitada da fonte de alimentação

c-) O ângulo de defasagem em graus entre a onda da tensão e a onda da corrente. v(t) i(t) v(t) C

Resolução

( ) ( )

+ → =

(

) ( )

+ → = Ω = Ω = → π = → π = → ω = ₋ 02 , 5 5 436 , 0 5 10 . 530 . 60 . 2 1 . . 2 1 . 1 2 2 2 2 6 ZC ZC XC Rc ZC XC XC C f XC C XC

(22)

b-) Calculo da corrente solicitada da fonte de alimentação A I I ZC V I 25,3 02 , 5 127 = → = → =

c-) Calculo do ângulo de defasagem entre a onda tensão e da corrente

(

)

→ ϕ= − ° − = ϕ →       − = ϕ →       − = ϕ 11,468 85 436 , 0 5 atan atan Rc XC atan

A tensão e a corrente podem ser representadas conforme a figura 14.

90° V I ω 0° 90° 180° -180° -90° ϕ = 85_° Figura 14

(23)

A figura 15 representa a forma de onda da tensão e da corrente com a defasagem de 85° e seus respectivos valores máximos para o exemplo.

Vmax = 179,60V

Imax = 35,78A

Figura 15

85°