Cálculo de depleção isotópica usando teoria de perturbação generalizada em um sistema subcrítico guiado por uma fonte externa

(1)

C ÁLCULO DE DEPLEÇ ÃO ISOT ÓPICA USANDO TEORIA DE PERTURBAÇ ÃO GENERALIZADA EM UM SISTEMA SUBCRÍTICO

GUIADO POR UMA FONTE EXTERNA

Patricia Kelly Taipe Torres

Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós-gradua¸cão em Engenharia Nuclear, COPPE, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários `

a obten¸c˜ao do t´ıtulo de Doutor em Engenharia Nuclear.

Orientadores: Fernando Carvalho da Silva Antonio Carlos Marques Alvim

Rio de Janeiro Dezembro de 2019

(2)

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ COIMBRA DE P ÓS-GRADUAÇ ÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESS ÁRIOS PARA A OBTENÇ ÃO DO GRAU DE DOUTOR EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA NUCLEAR.

Examinada por:

Prof. Fernando Carvalho da Silva, D.Sc.

Prof. Antonio Carlos Marques Alvim, Ph.D.

Prof. Aquilino Senra Martinez, D.Sc.

Prof. Ricardo Carvalho de Barros, Ph.D.

Prof. Cl´aubia Pereira Bezerra Lima, D.Sc.

Prof. Hermes Alves Filho, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL DEZEMBRO DE 2019

(3)

Taipe Torres, Patricia Kelly

Cálculo de Deple¸cão Isotópica usando Teoria de Perturba¸cão Generalizada em um sistema subcr´ıtico guiado por uma fonte externa/Patricia Kelly Taipe Torres. – Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, 2019.

XIV, 58 p.: il.; 29, 7cm.

Orientadores: Fernando Carvalho da Silva Antonio Carlos Marques Alvim

Tese (doutorado) – UFRJ/COPPE/Programa de Engenharia Nuclear, 2019.

Referˆencias Bibliogr´aficas: p. 52 – 55.

1. Cálculo deple¸cão isotópica. 2. Teoria de perturba¸cão generalizada. 3. Sistemas subcr´ıticos guiados por uma fonte externa. I. Silva, Fernando Carvalho da et al. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia Nuclear. III. T´ıtulo.

(4)

A minha amada filha, Emilia Domenica.

(5)

Agradecimentos

Cada pessoa que conheci ao longo do meu caminho tiveram mérito e propósito, a vida as escolheu e as colocou quando eu precisava delas. Por isso, gostaria de agradecer a todos, principalmente, à minha amada filha Emilia, por me deixar culminar este sonho e ser forte enquanto eu não estava com você. A Hidmer por cuidar bem de nossa filha. A minha mãe, Teresa, por aquela fortaleza e decisão que me seguiram até esta etapa. Ao meu pai, Antedoro, por ser minha armadura, meu cora¸cão, quando sentia fraqueza. Aos meus irmãos, Rocio, por ser a mãe que toda irmã gostaria de ter. Pelayo, por ser fomento e ajuda para terminar esta última parte do doutorado. Efrain, pelo amor a mim e a minha filha. Ao meu orientador, Professor Fernando Carvalho da Silva, por sua incansável dedica¸cão quando trata-se de ensinar, por seu apoio como orientador e ser humano, um eterno agradecimento. Ao meu orientador, Professor Antônio Carlos Marques Alvim, por me aceitar como orientada (onde tudo come¸cou) e pela confian¸ca. À fam´ılia que encontrei aqui, dizem que os amigos são a fam´ılia com quem não nasce, mas sim escolhe. Obrigada José, Carolina, Liliana, Isela, Orlando, Lionel, Omar, Abraham e Rafael. Ao CNPq pelo aux´ılio financeiro que possibilitou minha pesquisa durante desenvolvimento deste trabalho. A todos que me ajudaram chegar até este ponto, sem vocês eu não estaria aqui, Gracias Totales.

(6)

Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obten¸cão do grau de Doutor em Ciências (D.Sc.)

Dezembro/2019

Orientadores: Fernando Carvalho da Silva Antonio Carlos Marques Alvim Programa: Engenharia Nuclear

Apresenta-se, nesta tese, o desenvolvimento de um método de cálculo de deple¸cão isotópica usando Teoria de Perturba¸cão Generalizada (GPT), tendo em vista a sua aplica¸cão em sistemas subcr´ıticos guiados por uma fonte externa de nêutrons.

Ao longo do ciclo de queima do combust´ıvel ocorrem processos que ocasionam varia¸cões nas concentra¸cões isotópicas e induzem varia¸cões no fluxo de nêutrons, o que levam a mudan¸cas nas taxas de rea¸cões presentes, em cálculos de deple¸cão isotópica. na matriz evolu¸cão. O método perturbativo proposto, trata estas taxas de rea¸cões como quantidades integrais. E as mudan¸cas nestas quantidades integrais são tratadas como perturba¸cões vindas das mudan¸cas nas concentra¸cões isotópicas. Este método foi aplicado em um reator subcr´ıtico guiado por uma fonte externa de nêutrons e os resultados obtidos mostram boa concordância com aqueles obti-dos pelo método de cálculo direto. Isto assegura que o método proposto é uma alternativa válida para tratar problemas deste tipo.

(7)

Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Doctor of Science (D.Sc.)

ISOTOPIC DEPLETION CALCULATION WITH GENERALIZED PERTURBATION THEORY IN A SUBCRITICAL SYSTEM DRIVEN BY AN

EXTERNAL SOURCE

December/2019

Advisors: Fernando Carvalho da Silva Antonio Carlos Marques Alvim Department: Nuclear Engineering

In this thesis, it is proposed and developed a method of isotopic depletion calcu-lation using Generalized Perturbation Theory (GPT), for subcritical systems driven by an external neutron source.

Throughout fuel burnup cycle, occur process that cause changes in the nuclide densities and induce variations in the neutron flux, which lead to changes in reaction rates, present in the evolution matrix, in isotopic depletion calculations. The pro-posed perturbative method treats these reaction rates as integral quantities. And changes in these integral quantities are treated as perturbations coming from the changes in the nuclide densities.

This method was applied in a sub-critical reactor driven by an external neutron source whose obtained results show good agreement with those obtained by the direct calculation method. This ensures that the proposed method is a valid alternative to treat problems of this kind.

(8)

Sum´

ario

Lista de Figuras xi

Lista de Tabelas xii

Gloss´ario xiii

1 Introdu¸c˜ao 1

1.1 Objetivo e Divis˜ao do Trabalho . . . 3

2 Cálculo de Deple¸cão Isotópica 5 2.1 Introdu¸cão . . . 5

2.2 Equa¸cão de Deple¸cão Isotópica . . . 5

2.3 Elementos da Matriz de Evolu¸c˜ao . . . 6

2.4 Equa¸c˜ao para o Fluxo de Nˆeutrons . . . 9

2.5 Aproxima¸c˜ao Quase-Est´atica . . . 10

2.6 M´edias por Regi˜ao . . . 12

2.7 M´etodo de C´alculo Direto . . . 13

3 Cálculo de Deple¸cão Isotópica usando GPT 15 3.1 Introdu¸cão . . . 15

3.2 Quantidades Integrais . . . 16

3.3 Equa¸cão da Fun¸cão Importância . . . 19

3.4 Equa¸c˜ao da Varia¸c˜ao do Fluxo . . . 20

(9)

4 Fluxogramas dos Programas de C´alculo 25

4.1 Introdu¸c˜ao . . . 25

4.2 Fluxograma do Programa M´etodo de C´alculo Direto . . . 26

4.2.1 Fluxograma do M´odulo Problema de Fonte Fixa . . . 28

4.2.2 Fluxograma do Módulo Cálculo de Deple¸cão . . . 28

4.3 Fluxograma do Programa M´etodo Perturbativo . . . 29

4.3.1 Fluxograma do Módulo Fun¸cões Importâncias . . . 30

4.3.2 Fluxograma do Programa de C´alculo Perturbativo . . . 30

4.3.3 Fluxograma do Módulo de Cálculo de Deple¸cão Perturbativo . 32 4.4 Fluxograma do Módulo Problema de autovalor . . . 32

5 Apresenta¸cão e Análise dos Resultados 34 5.1 Introdu¸cão . . . 34

5.2 Apresenta¸c˜ao do Caso Teste . . . 35

5.3 An´alise dos Resultados de C´alculo . . . 41

6 Conclus˜oes 50

Referˆencias Bibliogr´aficas 52

(10)

Lista de Figuras

2.1 Poss´ıveis formas de produ¸c˜ao ou transmuta¸c˜ao para um actin´ıdeo. . . 7

2.2 Poss´ıveis formas de produ¸c˜ao ou transmuta¸c˜ao para um PF. . . 8

2.3 Discretiza¸c˜ao temporal do ciclo de opera¸c˜ao do reator . . . 10

4.1 Fluxograma do Programa M´etodo de C´alculo Direto. . . 27

4.2 Fluxograma do M´odulo Problema de Fonte Fixa. . . 28

4.3 Fluxograma do C´alculo de Deple¸c˜ao. . . 29

4.4 Fluxograma do Módulo Fun¸cões Importâncias. . . 30

4.5 Fluxograma do Programa de C´alculo Perturbativo. . . 31

4.6 Fluxograma do C´alculo de Deple¸c˜ao Perturbativo. . . 32

4.7 Fluxograma do M´odulo Problema de Autovalor. . . 33

5.1 Configura¸c˜ao do n´ucleo unidimensional. . . 35

5.2 Cadeia de deple¸c˜ao dos Actin´ıdeos para as regi˜oes do combust´ıvel. . . 37

5.3 Cadeias de deple¸c˜ao dos PF. . . 37

5.4 Cadeia de deple¸c˜ao dos Actin´ıdeos para as regi˜oes com Actin´ıdeos Menores. . . 38

5.5 Compara¸cão de algumas concentra¸cões isotópicas da Região 6. . . 43

5.8 Compara¸c˜ao do Fator de Multiplica¸c˜ao Efetivo . . . 47

(11)

Lista de Tabelas

5.1 Materiais em suas respectivas regi˜oes . . . 36

5.2 Concentra¸c˜oes isot´opicas iniciais. . . 39

5.3 Parˆametros nucleares . . . 39

5.4 Se¸c˜oes de choque microsc´opicas n2n . . . 39

5.5 Se¸c˜oes de choque microsc´opicas (em barn) . . . 40

5.6 Intervalos de tempo . . . 41

5.7 Teste do cálculo da Fun¸cão Importância. . . 41

5.8 Desvios relativos percentuais. . . 46

1 Produ¸c˜ao dos produtos de fiss˜ao . . . 57

(12)

Gloss´

ario

PWR : Pressurized Water Reactor

AM : Actin´ıdeos Menores

PF : Produtos de Fiss˜ao

(13)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

´

E frequente o interesse em calcular a mudan¸ca na multiplica¸cão do núcleo de um reator causada por uma pequena mudan¸ca na geometria ou composi¸cão do núcleo. Afortunadamente, se esta mudan¸ca ou perturba¸cão é suficientemente pequena, o cálculo de criticalidade original não terá que ser repetido, podendo-se usar métodos bem conhecidos da Teoria de perturba¸cão, os quais expressam a mudan¸ca correspon-dente à multiplica¸cão em termos do fluxo de nêutrons que caracteriza o núcleo não perturbado (DUDERSTADT e HAMILTON, 1976).

Os métodos da Teoria de Perturba¸cão têm sido úteis em F´ısica de Reatores, desde o trabalho pioneiro de (WIGNER, 1945). Como feito por (WIGNER, 1992), contri-bui¸cões adicionais foram introduzidas por (USACHEV, 1964). Outras contribui¸cões iniciais também foram desenvolvidas nas aplica¸cões nucleares por (LEWINS, 1965), (POMRANING, 1965), (GANDINI, 1967), (STACEY, 1974), (CACUCI et al., 1980) e outros. Vários trabalhos têm sido desenvolvidos usando Teoria de Perturba¸cão, estendendo sua aplicabilidade para cálculos de projeto de reator, como por exemplo, cálculo de criticalidade, cálculos de deple¸cão, cálculos de blindagem e problemas de cinética pontual. Dentre estes trabalhos os métodos da Teoria de Perturba¸cão têm sido amplamente usados para realizar análise de sensibilidade em F´ısica de Reato-res (ABDEL-KHALIK, 2012), (REARDEN, 2004) e (CACUCI, 1981), cálculos de deple¸cão isotópica (WILLIAMS, 1979), (DA SILVA e THOMÉ, 1987), (DOWNAR, 1992) e (KALLFELZ et al., 1977) e análise de sistemas subcr´ıticos (DA SILVA et al.,

(14)

2012), (GONC¸ ALVES et al., 2015) e (GONC¸ ALVES et al., 2017).

Deve ser mencionado que muitos formalismos da Teoria de Perturba¸cão exis-tem na literatura, como mencionado por (GANDINI, 2001), dentre estes, os três formalismos mais proeminentes são:

a) Teoria de Perturba¸cão Generalizada (GPT). Foi adotado primeiro por (USACHEV, 1964) e depois exclusivamente desenvolvido por (GANDINI, 1967). (USACHEV, 1964), fazendo uso exclusivo do Princ´ıpio de Conserva¸cão de Importância, desenvolveu esta Teoria de Perturba¸cão para respostas linea-res no fluxo de nêutrons em um reator sob condi¸cões de estado estacionário. A fun¸cão importância de nêutrons corresponde à contribui¸cão de uma dada part´ıcula, inserida em um dado instante e em um dado ponto do espa¸co de fase, a uma quantidade integral de interesse. Este enfoque foi desenvolvido, em pro-blemas estáticos (GANDINI, 1969) e (GANDINI et al., 1986), problemas de-pendente do tempo (GANDINI, 1978), problemas de análises de sensibilidade (GANDINI et al., 1977), (GANDINI, 1990) e (LIMA et al., 1998), e sistemas subcr´ıticos (GANDINI, 1997), (GANDINI, 2001), (GANDINI e SALVATO-RES, 2002) e foi chamado de Teoria de Perturba¸cão Generalizada (GPT) por GANDINI (1987).

b) Formalismo Variacional. Adotado por (LEWINS, 1965) e STACEY (1974), esta abordagem está baseada em pr´ıncipios variacionais e foi desenvolvida por (LEWINS, 1965), (POMRANING, 1965), (STACEY, 1974) e (WILLIAMS, 1979). Ela fornece uma forte base teórica para Teoria de Perturba¸cão e tem uma aplica¸cão ampla em F´ısica de Reatores. (SLESAREV e SIROTKIN, 1971) introduzem os princ´ıpios variacionais nos esquemas de diferen¸cas finitas para resolver a equa¸cão de transporte de nêutrons, além de outras aplica¸cões. c) Formalismo Diferencial. Proposto por (OBLOW, 1976) e incluindo o

forma-lismo matricial desenvolvido por (CACUCI et al., 1980). As aplica¸c˜oes iniciais foram feitas no campo termo-hidr´aulico por (OBLOW, 1978). Um formalismo

(15)

rigoroso da abordagem diferencial para Teoria de Perturba¸cão foi estabelecida, em particular, o formalismo matricial foi desenvolvido fazendo uso dos mes-mos pr´ıncipios empregados para determinar a fun¸cão importância (CACUCI et al., 1980), baseados neste formalismo surge o procedimento de análises de sensibilidade adjunta (CACUCI et al., 2005), que tem aplica¸cão para simular caracter´ısticas termo-hidráulicas escoamento bifásico em LWR.

Cada um dos formalismos mencionados acima tem seu próprio mérito, embora pare¸cam muitos diferentes, todos eles são equivalentes entre si (GREENSPAN, 1975). Os formalismos Variacional e Diferencial fornecem uma estrutura matemática estrita, enquanto GPT é uma abordagem orientada à f´ısica baseada no Princ´ıpio de Conserva¸cão de Importância, sendo, por tanto, uma abordagem heur´ıstica.

A análise da deple¸cão isotópica é uma tarefa de grande relevância realizada no ciclo de opera¸cão do reator, por isso na F´ısica de Reatores sempre são desenvolvidos métodos que melhorem e/ou otimizem os métodos que realizam o cálculo de de-ple¸cão, para assim, ter uma resposta antecipada frente a poss´ıveis complica¸cões que ponham em risco a seguran¸ca do núcleo, durante a evolu¸cão do ciclo do combust´ıvel. Estudos prévios, (GANDINI, 1975), (KALLFELZ et al., 1977) e (DA SILVA e THOMÉ, 1987), têm demonstrado que a GPT é uma forte ferramenta, frente a outros métodos numéricos (NAKAMURA, 1977) e (STACEY, 2004), para reduzir o custo operacional do cálculo de deple¸cão sem sacrificar a precisão dos resultados.

1.1 Objetivo e Divis˜

ao do Trabalho

Esta tese de doutorado tem como objetivo desenvolver um método capaz de calcular as concentra¸cões isotópicas usando a GPT, elaborada para um sistema subcr´ıtico guiado por uma fonte externa de nêutrons. Para isto, ele considera a varia¸cão no tempo das concentra¸cões isotópicas, devido à queima do combust´ıvel, como sendo perturba¸cões causadas no sistema. Assim, a GPT pode ser usada para calcular as perturba¸cões nas Quantidades Integrais de interesse, devido à deple¸cão isotópica.

(16)

Com isto, a proposta desta tese, que é o método perturbativo ao qual espera-se atingir, trata a integral dos fluxos de nêutrons como quantidades integrais.

Esta tese está dividida em 5 cap´ıtulos, onde no cap´ıtulo 2 será detalhado o cálculo de deple¸cão isotópica na sua forma convencional e será definido o Método de Cálculo Direto. Aqui serão apresentadas as equa¸cões de deple¸cão e as demais defini¸cões pertirnentes.

No cap´ıtulo 3, é estabelecido o formalismo da GPT no qual se baseia esta tese. É definida a quantidade integral de interesse e sua fun¸cão importância associada. Aqui também é deduzida a equa¸cão para a varia¸cão do fluxo de nêutrons e determinado seu termo de fonte. Além disso, neste cap´ıtulo é apresentado o Método Perturbativo para Cálculo de Deple¸cão Isotópica desenvolvido.

No cap´ıtulo 4, são apresentados os fluxogramas que descrevem os programas com-putacionais desenvolvidos para a realiza¸cão dos cálculos apresentados nos resultados numéricos da tese.

No cap´ıtulo 5, são apresentados os resultados de um caso teste simples, usado para validar o Método Perturbativo, para cálculo de deple¸cão, desenvolvido nesta tese.

E, finalmente, no cap´ıtulo 6, s˜ao apresentadas as conclus˜oes que nos deixam este trabalho.

(17)

Cap´ıtulo 2

C´

alculo de Deple¸

c˜

ao Isot´

opica

2.1 Introdu¸

c˜

ao

Durante a opera¸cão de um reator nuclear ocorrem inúmeras mudan¸cas na com-posi¸cão do núcleo, que envolve uma variedade de processos, onde calcular o cálculo do fator de multiplica¸cão efetivo (kef f), distribu¸cão de potência e concentra¸cões

isotópicas torna-se uma tarefa de principal importância. Estudos, que antecipem o desenvolvimento da evolu¸cão da queima do combust´ıvel são elaborados sempre (WILLIAMS, 1979), (DOWNAR, 1992), (ALVIM et al., 2011), para assegurar o correto funcionamento e seguran¸ca do reator.

´

E importante ter uma análise de deple¸cão ao longo da queima porque elementos altamente radiotóxicos e radioativos são produzidos, e armazenados como AM e PF no rejeito nuclear.

2.2 Equa¸

c˜

ao de Deple¸

c˜

ao Isot´

opica

Mudan¸cas das concentra¸cões isotópicas devido à varia¸cão do fluxo de nêutrons, que ocorrem ao longo do ciclo de opera¸cão do reator, são descritas pelas equa¸cões de deple¸cão. O cálculo destas concentra¸cões em qualquer posi¸cão do núcleo do reator, em qualquer instante de tempo, pode ser feito usando a seguinte equa¸cão de deple¸cão

(18)

isot´opica:

∂

∂tN(~r, t) = EN(~r, t) , (2.1) onde N(~r, t) é o vetor das concentra¸cões isotópicas e E é a matriz de evolu¸cão, assim definidos, respectivamente: N(~r, t) ≡                 N1(~r, t) N2(~r, t) .. . Ni(~r, t) .. . NI(~r, t)(t)                 e E ≡                 e11(~r, t) e12(~r, t) · · · e1I(~r, t) e21(~r, t) e22(~r, t) · · · e2I(~r, t) .. . . .. ... eI1(~r, t) eI2(~r, t) · · · eII(~r, t)                 ,

sendo Ni(~r, t) a concentra¸cão isotópica do nucl´ıdeo i na posi¸cão ~r, no instante t, e I

é o número total de nucl´ıdeos na cadeia de deple¸cão.

2.3 Elementos da Matriz de Evolu¸

c˜

ao

As intera¸cões nucleares, fazem variar as concentra¸cões isotópicas e mudam a identi-dade dos nucl´ıdeos que aparecem na matriz de evolu¸cão. Deste modo, as equa¸cões que descrevem os processos de produ¸cão e consumo dos nucl´ıdeos, ou seja, actin´ıdeos e produtos de fissão, são mostrados a seguir.

1. Para os Actin´ıdeos: Assumimos as seguintes formas, como mostrado na Figura 2.1, para um actin´ıdeo ser produzido ou se transmutar:

(19)

Figura 2.1: Poss´ıveis formas de produ¸c˜ao ou transmuta¸c˜ao para um actin´ıdeo.

Da Figura 2.1 vemos que a produ¸cão do nucl´ıdeo i pode ser devida à captura radiativa de um nêutron pelo nucl´ıdeo i − 1, ao decaimento-α do nucl´ıdeo j, e/ou à rea¸cão n2n do nucl´ıdeo i + 1. Por sua vez, ele pode se transmutar devido ao decaimento β− ou captura de um nêutron, neste caso dando origem ao nucl´ıdeo i+1. Tais rea¸cões vêm descritas na equa¸cão de deple¸cão do nucl´ıdeo i, que tem a seguinte forma geral:

∂

∂tNi(~r, t) = ei,i−1(~r, t)Ni−1(~r, t) + ei,i+1(~r, t)Ni+1(~r, t)+

+ei,j(~r, t)Nj(~r, t) + ei,i(~r, t)Ni(~r, t) , (2.2) onde: ei,i−1(~r, t) ≡ 10−24 G X g=1 σ_cgi−1φg(~r, t) , (2.3) ei,i+1(~r, t) ≡ 10−24 G X g=1 σ_n2n,gi+1 φg(~r, t) , (2.4) ei,j(~r, t) ≡ λj (2.5) e ei,i(~r, t) ≡ −(λi+ 10−24 G X g=1 (σi_cg+ σ_{f g}i )φg(~r, t)) . (2.6)

2. Para os Produtos de Fiss˜ao: Agora, asumimos as seguintes formas, como mostrado na figura 2.2, para um Produto de Fiss˜ao(PF) ser produzido ou se transmutar

(20)

Figura 2.2: Poss´ıveis formas de produ¸c˜ao ou transmuta¸c˜ao para um PF.

Na Figura 2.2 é observado que a cria¸cão do produto de fissão i é devido à contribui¸cão dos actin´ıdeos que sofrem fissão e/ou também devida à captura do seu antecesor (i − 1). Por sua vez, ele pode se transmutar devido ao decaimento β− e/ou quando captura um nêutron. Assim, tais rea¸cões vêm descritas na equa¸cão de deple¸cão do PF i, que tem a seguinte forma geral:

∂

∂tNi(~r, t) =

If

X

j=1

ei,j(~r, t)Nj(~r, t) + ei,i−1(~r, t)Ni−1(~r, t)+

+ei,i(~r, t)Ni(~r, t) , (2.7) onde: ei,j(~r, t) ≡ 10−24γi,j G X g=1 σj_{f g}φg(~r, t) , (2.8) ei,i−1(~r, t) ≡ λi−1 (2.9) e ei,i(~r, t) ≡ −(λi+ 10−24 G X g=1 σ_cgi φg(~r, t)) . (2.10)

Nas equa¸cões de deple¸cão dos actin´ıdeos e dos PF aparecem as se¸cões de choque microscópicas de absor¸cão (σi_ag), captura (σi_cg), fissão (σ_{f g}i ) e rea¸cão n2n (σ_n2n,gi ) do nucl´ıdeo i para o grupo g de energia, com g = 1, G. λi é a constante de decaimento

do nucl´ıdeo i e γi,j _´_{e a fra¸c˜}_{ao da fiss˜}_{ao de um actin´ıdeo j para produzir o produto}

de fissão i. Notamos que os elementos da matriz de evolu¸cão estão em fun¸cão da posi¸cão e do tempo, e requerem prévio conhecimento do fluxo de nêutrons.

(21)

2.4 Equa¸

c˜

ao para o Fluxo de Nˆ

eutrons

Observamos que a análise de deple¸cão do combust´ıvel envolve uma variedade de processos nucleares que afetam o fluxo de nêutrons. Por isso, procuramos resolver a equa¸cão de difusão, na formula¸cão de multigrupos de energia, com fonte externa de nêutrons (mantida constante), ao longo do ciclo de opera¸cão do reator.

1 υg ∂ ∂tφg(~r, t) − ~∇ · Dg(~r, t) ~∇φg(~r, t) + Σtg(~r, t)φg(~r, t) = = χg G X g0₌₁ νΣf g0(~r, t)φ_g0(~r, t) + G X g0₌₁ Σgg0(~r, t)φ_g0(~r, t) + s_ext,g(~r) ; g = 1, G ,(2.11)

sendo υg a velocidade dos nêutrons do grupo g; φg é o fluxo de nêutrons do grupo

g; Σtg é se¸cão de choque macroscópica total do grupo g; χg é o espectro de fissão

do grupo g; νΣf g0 é o produto do número médio de nêutrons emitidos na fissão

pela se¸cão de choque macroscópica de fissão do grupo g0; Σgg0 é a se¸cão de choque

macrosc´opica de espalhamento do grupo g0 para o grupo g; sext,g ´e a fonte externa

de nêutrons de grupo g; e Dg é o coeficiente de difusão do grupo g. Esta equa¸cão de

difusão de nêutrons usa como condi¸cão de contorno o Fluxo Nulo fora das regiões do núcleo do reator, estas condi¸cões estão amplamente descritas em (TAIPE, 2014). Além disso, a se¸cão de choque macroscópica total e o coeficiente de difusão, são da seguinte forma: Σtg(~r, t) = Σcg(~r, t) + Σf g(~r, t) + G X g0₌₁ Σg0_g(~r, t) , (2.12) e Dg(~r, t) = 1 3Σtrg(~r, t) , (2.13) com Σcg(~r, t) = I X i=1 Ni(~r, t)σicg , (2.14) Σf g(~r, t) = If X i=1 Ni(~r, t)σif g , (2.15)

(22)

Σgg0(~r, t) = I X i=1 Ni(~r, t)σigg0 , (2.16) Σtrg(~r, t) = I X i=1 Ni(~r, t)σtrgi (2.17) e νΣf g(~r, t) = If X i=1 Ni(~r, t)νσf gi , (2.18)

onde If é o número de nucl´ıdeos fissionáveis. Como é notado, a deple¸cão isotópica se

dá à medida que o ciclo de queima avan¸ca e com ela venham modifica¸cões nas se¸cões de choque macroscópicas, que por consequência acarreta perturba¸cões no fluxo de nêutrons, exigindo assim um novo cálculo no tempo.

2.5 Aproxima¸

c˜

ao Quase-Est´

atica

Embora as concentra¸cões isotópicas variem exponencialmente no tempo, a forma espacial do fluxo de nêutrons varia lentamente com o tempo. Sendo assim, para intervalos de tempo [t`, t`+l) nos quais o per´ıodo de queima (ou ciclo de queima)

[t1, tL+1] é dividido, como é ilustrado na figura 2.3, a chamada Aproxima¸cão Quase

Est´atica ´e usada, onde:

φg(~r, t) ∼= φg(~r, t`); para t ∈ [t`, t`+l).

Assim, para analisar o núcleo de um reator, durante o seu per´ıodo de queima, utiliza-se uma sequência de cálculos estáticos, para obter o fluxo de nêutrons, in-tercalados com os cálculos das equa¸cões de deple¸cão dependentes do tempo para determinar todas as concentra¸cões isotópicas no núcleo do reator.

Figura 2.3: Discretiza¸c˜ao temporal do ciclo de opera¸c˜ao do reator

(23)

que torna a equa¸c˜ao (2.11), como segue − ~∇ ·Dg(~r, t`) ~∇φg(~r, t`) + Σtg(~r, t`)φg(~r, t`) = χg G X g0₌₁ νΣf g0(~r, t_`)φ_g0(~r, t_`)+ + G X g0₌₁ Σgg0(~r, t_`)φ_g0(~r, t_`) + s_ext,g(~r) ; g = 1, G , (2.19)

onde os parâmetros nucleares, dados pelas equa¸cões (2.12) a (2.18), são agora escritos em termos das concentra¸cões isotópicas Ni(~r, t`), as quais são obtidas através da

equa¸c˜ao (2.1), que torna-se da seguinte forma:

∂

∂tN(~r, t) = E`N(~r, t) ; t` ≤ t ≤ t`+1 , (2.20)

com os elementos da matriz de evolu¸c˜ao E` agora sendo calculados para φg(~r, t`).

Para as equa¸c˜oes (2.3), (2.4) e (2.8), por exemplo, ter-se-ia:

ei,i−1(~r, t`) ≡ 10−24 G X g=1 σ_cgi−1φg(~r, t`) , (2.21) ei,i+1(~r, t`) ≡ 10−24 G X g=1 σ_n2n,gi+1 φg(~r, t`) (2.22) e ei,j(~r, t`) ≡ 10−24γi,j G X g=1 σj_{f g}φg(~r, t`) . (2.23)

Note-se que o desenvolvimento da Equa¸cão de difusão de nêutrons multigru-pos dado por (2.19), trabalha com a condi¸cão de contorno de Fluxo Nulo, descrito amplamente em (TAIPE, 2014).

(24)

2.6 M´

edias por Regi˜

ao

Em geral, o núcleo do reator é dividido em regiões nas quais os parâmetros nucleares são uniformes, ou seja, para uma região de volume Vm, tem-se que

Σcg(~r, t`) = I X i=1 N_im(t`)σcgi ≡ Σ m cg(t`) , (2.24) Σf g(~r, t`) = If X i=1 N_im(t`)σf gi ≡ Σ m f g(t`) , (2.25) Σgg0(~r, t_`) = I X i=1 N_im(t`)σigg0 ≡ Σm_gg0(t_`) , (2.26) Σtrg(~r, t`) = I X i=1 N_im(t`)σtrgi ≡ Σ m trg(t`) (2.27) e νΣf g(~r, t`) = If X i=1 N_im(t`)νσf gi ≡ νΣ m f g(t`) , (2.28) para ~r ∈ Vm.

Aplicando o operador m´edia _V1

m

R

Vm(·)dV `a equa¸c˜ao (2.20) segue que,

d dt 1 Vm Z Vm N(~r, t)dV= 1 Vm Z V E`(~r)N(~r, t)dV . (2.29)

Como Ni(~r, t) = Nim(t) para ~r ∈ Vm, da equa¸c˜ao (2.29) segue que

d dtN m_{(t) = E}m ` N m_(t) _; _t ` ≤ t ≤ t`+1 , (2.30) onde: Em_` ≡ 1 Vm Z Vm E`(~r)dV . (2.31)

Com isso, os elementos da matriz de evolu¸c˜ao Em

` s˜ao dados por em_i,j(t`) ≡ 1 Vm Z Vm ei,j(~r, t`)dV , (2.32)

(25)

ou seja, por exemplo, para as equa¸c˜oes (2.21) a (2.23), tem-se que em_i,i−1(t`) = 10−24 G X g=1 σi−1_c,g φ¯m_g (t`) , (2.33) em_i,i+1(t`) = 10−24 G X g=1 σ_n2n,gi+1 φ¯m_g (t`) , (2.34) e em_i,j(t`) = 10−24γi,j G X g=1 σ_{f g}j φ¯m_g (t`) , (2.35) com ¯ φm_g (t`) ≡ 1 Vm Z Vm φg(~r, t`)dV . (2.36)

Uma vez que o fluxo de nêutrons é determinado, de acordo com a equa¸cão (2.36), e tendo Nm(t`) conhecido, pode-se escolher um método numérico para resolver a

equa¸cão (2.30), para t ∈ [t`; t`+1], com o qual o vetor solu¸cão Nm(t`+1) é obtido.

2.7 M´

etodo de C´

alculo Direto

O procedimento convencional, usado até agora para realizar o cálculo de deple¸cão isotópica será chamado de Método de Cálculo Direto. Neste método são resolvidas as equa¸cões para obten¸cão do fluxo de nêutrons, equa¸cão (2.19), no inicio de cada intervalo de tempo [t`; t`+1). Com os fluxos e as concentra¸cões isotópicas conhecidos

em t`, pode-se resolver a equa¸cão de deple¸cão isotópica, equa¸cão (2.30), e ,finalmente,

determinar as concentra¸c˜oes isot´opicas em t`+1. Para um melhor entendimento, o

resumo deste procedimento ´e mostrado a seguir:

1. Resolver a equa¸c˜ao (2.19) para obter φg(~r, t`), v´alido no intervalo [t`; t`+1).

2. Calcular ¯φm

g (t`) usando a equa¸c˜ao (2.36).

3. Calcular os elementos da matriz de evolu¸c˜ao, em_i,j(t`).

4. Resolver a equa¸cão (2.30), para obter as concentra¸cões isotópicas no instante t`+1.

(26)

5. Repetir os passos 1 − 5 at´e o intervalo de tempo final L.

Os resultados obtidos pelo Método de Cálculo Direto, serão usados como re-ferência, para verifica¸cão da precisão dos resultados obtidos com o método de de-ple¸cão, usando a GPT, desenvolvido nesta tese.

(27)

Cap´ıtulo 3

C´

alculo de Deple¸

c˜

ao Isot´

opica

usando GPT

3.1 Introdu¸

c˜

ao

A análise de deple¸cão é uma das tarefas mais importantes, que é feita para o núcleo do reator, além de exigir um grande custo operacional quando o cálculo de deple¸cão isotópica é realizado. Estudos prévios que usam a GPT, para realizar o cálculo de deple¸cão isotópica (GANDINI, 1967), (GANDINI et al., 1977), (KALLFELZ et al., 1977), (GANDINI, 1997) e (GANDINI, 1987) e (DA SILVA e THOMÉ, 1987), mostram a redu¸cão do custo operacional, sem sacrificar a precisão dos resultados.

Neste cap´ıtulo é apresentado um método alternativo para o cálculo de deple¸cão isotópica, onde faz-se uso da Teoria de Perturba¸cão Generalizada (GPT). Para isto, considera-se a varia¸cão no tempo das concentra¸cões isotópicas, devido à queima do combust´ıvel, como perturba¸cões causadas no sistema. Assim, a GPT pode ser usada para calcular as perturba¸cões nas Quantidades Integrais de interesse, devido `

a deple¸cão isotópica. As Quantidades Integrais podem ser as taxas de rea¸cões ou integrais do fluxo de nêutrons, por exemplo.

A metodologia da GPT (GANDINI, 2001) usada para desenvolver o tema desta tese se ap´oia, principalmente, em dois fundamentos essenciais, descritos a seguir.

(28)

Conceito de Importância: A importância de um nêutron é a provável contri-bui¸cão deste nêutron a um processo arbitrário detectável (Quantidade Inte-gral), em um instante t entre t1 e tF.

Pr´ıncipio de Conserva¸cão de Importância (GANDINI, 1969): A im-portância de um nêutron em um instante t, antes de tF, é igual a importância

total de sua prov´avel prole em qualquer instante mais tarde, antes de tF.

Sendo assim, a defini¸cão das Quantidades Integrais de interesse se faz necessária. E isto é feito a seguir.

3.2 Quantidades Integrais

Os elementos da matriz de evolu¸cão contêm as taxas de rea¸cões, com as quais traba-lha o método de cálculo de deple¸cão isotópica desenvolvido nesta tese. Sendo assim, para o exemplo das equa¸cões (2.33) a (2.35), os elementos da matriz de evolu¸cão podem ser representados da seguinte forma:

em_i,i−1(t`) ≡ 10−24Tc,i−1m (t`) , (3.1)

em_i,i+1(t`) ≡ 10−24Tn2n,i+1m (t`) (3.2)

e

em_i,j(t`) ≡ 10−24γi,jTf,jm(t`) , (3.3)

onde as taxas de rea¸c˜oes de captura (Tm

c,i(t`)), fiss˜ao (Tf,im(t`)) e n2n (Tn2n,im (t`)), do

nucl´ıdeo i, dependem do fluxo de nˆeutrons da seguinte forma:

T_c,im(t`) ≡ 1 Vm G X g=1 σ_cgi Z Vm φg(~r, t`)dV , (3.4) T_f,im(t`) ≡ 1 Vm G X g=1 σi_{f g} Z Vm φg(~r, t`)dV (3.5)

(29)

e T_n2n,im (t`) ≡ 1 Vm G X g=1 σ_n2n,gi Z Vm φg(~r, t`)dV , (3.6)

estas taxas de rea¸c˜oes podem ser escritas na seguinte forma gen´erica:

T_x,im(t`) ≡ 1 Vm G X g=1 σ_x,gi Qm_g (t`) , (3.7) com Qm_g (t`) ≡ Z Vm φg(~r, t`)dV . (3.8)

Considerando a mudan¸ca no tempo das concentra¸cões isotópicas, devido à queima de combust´ıvel, como perturba¸cões causadas no sistema, o método da GPT pode ser usada para calcular as perturba¸cões nas quantidades integrais de interesse, devido à deple¸cão isotópica. Uma vez que a deple¸cão isotópica implica mudan¸cas do fluxo de nêutrons e este, por sua vez, comparece nas taxas de rea¸cões, equa¸cão (3.7), as Quantidades Integrais de interesse, para a GPT, são as seguintes:

Qm_g0(t₁) ≡

Z

Vm

φg0(~r, t₁)dV ; para g0 = 1, G e m = 1, M , (3.9)

com φg(~r, t1) sendo solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (2.19) no instante de tempo t1, qual seja,

− ~∇ ·Dg(~r, t1) ~∇φg(~r, t1) + Σtg(~r, t1)φg(~r, t1) = χg G X g0₌₁ νΣf g0(~r, t₁)φ_g0(~r, t₁)+ + G X g0₌₁ Σgg0(~r, t₁)φ_g0(~r, t₁) + s_ext,g(~r) ; g = 1, G , (3.10) onde tem-se: Σtg(~r, t1) = Σcg(~r, t1) + Σf g(~r, t1) + G X g0₌₁ Σg0_g(~r, t₁) , (3.11) e Dg(~r, t1) = 1 3Σtrg(~r, t1) , (3.12)

(30)

com Σcg(~r, t1) = If X i=1 Ni(~r, t1)σicg , (3.13) Σf g(~r, t1) = If X i=1 Ni(~r, t1)σif g , (3.14) Σgg0(~r, t₁) = If X i=1 Ni(~r, t1)σigg0 , (3.15) Σtrg(~r, t1) = If X i=1 Ni(~r, t1)σitrg , (3.16) e νΣf g(~r, t1) = If X i=1 Ni(~r, t1)νσf gi , (3.17)

onde If é o número de nucl´ıdeos fissionáveis.

Mas, a quantidade integral dada pela equa¸c˜ao (3.9) pode ser assim reescrita:

Qm_g0(t₁) = G X g=1 Z V s+_g(~r)φg(~r, t1)dV ; g0 = 1, G e m = 1, M , (3.18) com s+_g(~r) =      1 para ~r ∈ Vm e g = g0 0 para ~r /∈ Vm e/ou g 6= g0 . (3.19)

Definidas as quantidades integrais de interesse, as fun¸cões importâncias a elas associadas, podem ser definidas como será visto a seguir.

(31)

3.3 Equa¸

c˜

ao da Fun¸

c˜

ao Importˆ

ancia

Para a quantidade integral dada pela equa¸cão (3.18), a fun¸cão importância associada ψ∗_(m,g0_),g(~r) ´ e solu¸cão de − ~∇ ·Dg(~r, t1) ~∇ψ∗(m,g0_),g(~r) + Σtg(~r, t1)ψ(m,g∗ 0_),g(~r) = νΣ_{f g}(~r, t₁) G X g00₌₁ χg00ψ∗ (m,g0_),g00(~r)+ + G X g00₌₁ Σg00_g(~r, t₁)ψ∗ (m,g0_),g00(~r) + s+_g(~r) ; g = 1, G , (3.20) lembrando que s+

g(~r) s´o ´e diferente de zero para g = g

0 _{e ~}_{r ∈ V}

m. Observa-se que

tantas fun¸cões importâncias quanto for o produto do número de regiões (M ) pelo número de grupos de energia (G) devem ser calculadas.

Além disso, de acordo com a Rela¸cão de Reciprocidade de Fontes da GPT, a quantidade integral dada pela equa¸cão (3.18) também pode ser assim calculada:

Qm_g0(t₁) = G X g=1 Z V ψ_(m,g∗ 0_),g(~r)s_ext,g(~r)dV ; para g0 = 1, G e m = 1, M , (3.21) lembrando que, neste caso, a fun¸cão importância ψ_(m,g∗ 0_),g(~r) está associada à região

m e ao grupo g0, de acordo com s+

g(~r) definida pela equa¸c˜ao (3.19). Deve ser

no-tado que a aplica¸cão direta da Rela¸cão de Reciprocidade de Fontes (GANDINI, 1987) serve para verificar se ψ∗_(m,g0_),g(~r) está sendo bem calculada, comparando-se os

resultados dados pelas equa¸c˜oes (3.21) e (3.9).

Agora, admitindo que a deple¸cão isotópica causa perturba¸cões no fluxo de nêutrons, ou seja, que

φg(~r, t`) ≡ φg(~r, t1) + δφg(~r, t`) , (3.22)

da equa¸c˜ao (3.9) tem-se que

Qm_g0(t_`) ≡ Z Vm φg0(~r, t_`)dV = G X g=1 Z V s+_g(~r)nφg(~r, t1) + δφg(~r, t`) o dV , (3.23)

(32)

ou seja, lembrando da equa¸c˜ao (3.18), tem-se que: Qm_g0(t_`) = Qm_g0(t₁) + δQm_g0(t_`) , (3.24) com δQm_g0(t_`) ≡ G X g=1 Z V s+_g(~r)δφg(~r, t`)dV . (3.25)

Observa-se que a equa¸cão (3.25) também é uma quantidade integral com o mesmo s+

g(~r) da equa¸cão (3.18), porém para a varia¸cão do fluxo de nêutrons. Então, por

ter o mesmo s+

g(~r) que a equa¸cão (3.18), a fun¸cão importância, associada à esta

quantidade integral (equa¸cão (3.25)), é a mesma dada pela equa¸cão (3.20).

Aqui também poder-se-ia usar a Rela¸cão de Reciprocidade de Fontes, mas, para isso, a equa¸cão que governa a varia¸cão do fluxo precisa ser obtida. Isto é feito a seguir.

3.4 Equa¸

c˜

ao da Varia¸

c˜

ao do Fluxo

Uma vez que a deple¸cão isotópica é considerada como a perturba¸cão que intervém no sistema, segue que

Dg(~r, t`) = Dg(~r, t1) + δDg(~r, t`) , (3.26)

Σtg(~r, t`) = Σtg(~r, t1) + δΣtg(~r, t`) , (3.27)

Σgg0(~r, t_`) = Σ_gg0(~r, t₁) + δΣ_gg0(~r, t_`) , (3.28)

e

νΣf g(~r, t`) = νΣf g(~r, t1) + νδΣf g(~r, t`) . (3.29)

Onde, para ~r ∈ Vm, tem-se que

Dg(~r, t`) =

1 3Σm

trg(t`)

(33)

com Σm_trg(t`) = I X i=1 N_im(t`)σtrgi (3.31) e δΣtg(~r, t`) = I X i=1 h {Nm i (t`) − Nim(t1)}(σicg+ σ i f g + G X g0₌₁ σ_gi0_g) i , (3.32) δΣg0_g(~r, t_`) = I X i=1 n N_im(t`) − Nim(t1) o σ_gi0_g , (3.33) e δνΣf g(~r, t`) = I X i=1 n N_im(t`) − Nim(t1) o νσ_{f g}i . (3.34)

Substituindo a equa¸cão (3.22) e as equa¸cões (3.26) a (3.29) na equa¸cão (2.19) vem − ~∇ ·nDg(~r, t1) + δDg(~r, t`) oh φg(~r, t1) + δφg(~r, t`) i + +nΣtg(~r, t1) + δΣtg(~r, t`) oh φg(~r, t1) + δφg(~r, t`) i = = χg G X g0₌₁ n νΣf g0(~r, t₁) + δνΣ_{f g}0(~r, t_`) oh φg(~r, t1) + δφg(~r, t`) i + + G X g0₌₁ n Σgg0(~r, t₁) + δΣ_gg0(~r, t_`) oh φg(~r, t1) + δφg(~r, t`) i + sext,g(~r) . (3.35)

Agora, rearrumando a equa¸cão (3.35) e lembrando da equa¸cão (3.9), a equa¸cão que governa a varia¸cão do fluxo de nêutrons (δφg(~r, t`)) é da seguinte forma:

− ~∇ ·Dg(~r, t1) ~∇δφg(~r, t`) + Σtg(~r, t1)δφg(~r, t`) = = χg G X g0₌₁ νΣf g0(~r, t₁)δφ_g0(~r, t_`) + G X g0₌₁ Σgg0(~r, t₁)δφ_g0(~r, t_`) + ξ_g(~r, t_`) , (3.36)

(34)

onde: ξg(~r, t`) ≡ ~∇ · δDg(~r, t`) ~∇φg(~r, t`) + χg G X g0₌₁ δνΣf g0(~r, t_`)φ_g0(~r, t_`)+ + G X g0₌₁ δΣgg0(~r, t_`)φ_g0(~r, t_`) − δΣ_tg(~r, t_`)φ_g(~r, t_`) , (3.37)

Como a fun¸cão importância associada à quantidade integral dada pela equa¸cão (3.25) é a mesma dada pela equa¸cão (3.20), segundo a Rela¸cão de Reciprocidade de Fontes da GPT, a equa¸cão (3.25) também pode ser assim calculada:

δQm_g0(t_`) = G X g=1 Z V ψ_g∗(~r)ξg(~r, t`)dV . (3.38)

Substituindo a equa¸c˜ao (3.37) na equa¸c˜ao (3.38), resulta em

δQm_g0(t_`) = G X g=1 Z V ψ∗_g(~r)n ~∇ ·δDg(~r, t`) ~∇φg(~r, t`) + +χg G X g00₌₁ δνΣf g00(~r, t_`)φ_g00(~r, t_`) + G X g00₌₁ δΣgg00(~r, t_`)φ_g00(~r, t_`)− −δΣtg(~r, t`)φg(~r, t`) o dV . (3.39)

Observa-se que a GPT desprezaria produtos de perturba¸c˜oes, como por exemplo δΣtg(~r, t`)δφg(~r, t`). Mas, para este tipo de problema que est´a sendo tratado nesta

tese, Cálculo de Deple¸cão Isotópica, uma aproxima¸cão diferente será considerada, como explicitado na próxima se¸cão.

3.5 M´

etodo de C´

alculo Perturbativo

Como a utiliza¸cão da atual formula¸cão da GPT, que despreza produtos de per-turba¸cões, na equa¸cão (3.39) ter-se-ia φg(~r, t1) no lugar φg(~r, t`) para ` ≥ 1. No

entanto, foi verificado que ao fazer esta aproxima¸cão os resultados obtidos usando a atual formula¸cão da GPT apresentavam altos desvios em compara¸cão com os

(35)

resul-tados do M´etodo de C´alculo Direto.

Logo, levando em considera¸cão que as concentra¸cões isotópicas do Xenônio e Samário atingem o equil´ıbrio depois de aproximadamente 6 dias (instante t3 nos

cálculos), adotou-se o fluxo de nêutrons deste instante na equa¸cão (3.39), a qual pasou a ser da seguinte forma:

δQm_g0(t_`) ∼= G X g=1 Z V ψ_g∗(~r)n ~∇ ·δDg(~r, t`) ~∇φg(~r, t3) + + G X g00₌₁ h χgδνΣf g00(~r, t_`) + δΣ_gg00(~r, t_`) i φg00(~r, t₃)− −δΣtg(~r, t`)φg(~r, t3) o dV para ` ≥ 4 . (3.40)

Então, na elabora¸cão de um procedimento para o cálculo de deple¸cão isotópica usando a GPT, um Método de Cálculo Perturbativo para este fim foi desenvol-vido e este método tem como base a equa¸cão (3.40). E, como pode ser visto, a equa¸cão (3.40) depende tanto das fun¸cões importâncias (ψ_(m,g∗ 0_),g(~r)) quanto do

fluxo de nˆeutrons em t3 (φg(~r, t3)). Sendo assim, uma vez obtidas as

correspon-dentes fun¸cões importâncias (que são calculadas uma única vez), que são tantas quanto o produto de M (número de regiões) por G (número de grupos de energia), o seguinte procedimento é seguido:

1. Resolver a equa¸c˜ao (2.19) para obter φg(~r, t`) no intervalo [t`; t`+1).

2. Calcular ¯φm

g (t`) usando a equa¸c˜ao (2.36).

5. Repetir os passos 1 − 4 nos intervalos de tempo ` = 1, 2 e 3. 6. Calcular δQm

g0(t_`) usando a equa¸c˜ao (3.40).

7. Calcular Qm

(36)

10. Repetir os passos 6 − 9 para ` ≥ 4 at´e o intervalo de tempo final L.

Deve ser notado que o procedimento deste Método Perturbativo inicia como o Método de Cálculo Direto, para os intervalos de tempo ` = 1, 2 e 3, com o Cálculo do fluxo de nêutrons resolvendo-se a equa¸cão (2.19). A partir de ` ≥ 4 os cálculos de deple¸cão prosseguem utilizando a equa¸cão (3.40) e não mais o cálculo iterativo do fluxo de nêutrons.

(37)

Cap´ıtulo 4

Fluxogramas dos Programas de

C´

alculo

4.1 Introdu¸

c˜

ao

Na implementa¸cão do Método Perturbativo proposto para cálculos de deple¸cão isotópica usando a GPT, foram elaborados programas em linguagem FORTRAN com a finalidade de verificar a validade do método proposto, comparando os seus resultados com aqueles de um Método de Cálculo direto.

O programa para o Método de Cálculo Direto consta de dois módulos. O pri-meiro, chamado de Problema de Fonte Fixa resolve a equa¸cão da difusão de nêutron com uma fonte externa de nêutrons. E o segundo, chamado de Cálculo de Deple¸cão, que realiza o cálculo das concentra¸cões isotópicas.

O programa para o Método Perturbativo tem três módulos. O primeiro, que é independente dos outros dois, chamado de Fun¸cões Importâncias, é encarregado de calcular as fun¸cões importâncias para cada grupo de energia e cada região. E os outros dois módulos, que pertencem ao chamado Programa de Cálculo Perturbativo, resolvem as equa¸cões de deple¸cão isotópica , usando GPT.

Deve ser observado que existe um módulo chamado Problema de Autovalor. Este módulo é encarregado de calcular o fator de multiplica¸cão efetivo, independente do

(38)

método de cálculo de deple¸cão isotópica utilizado. A sua finalidade é apenas verificar se o sistema permanece subcr´ıtico ao longo do per´ıodo de queima.

A seguir são apresentados os fluxogramas que explicam, de uma forma geral, o funcionamento dos programas dos respectivos módulos. Os nomes de cada um deles definem suas fun¸cões.

4.2 Fluxograma do Programa M´

etodo de C´

alculo

Direto

Na Figura 4.1 apresenta-se o fluxograma do módulo de controle do Programa Método de Cálculo Direto. Este programa se encarrega do cálculo das concentra¸cões isotópicas da maneira convencional. E isto é feito mediante o recálculo, em cada instante de tempo, dos parâmetros nucleares, dos fluxos médios por região, usando o módulo Problema de Fonte Fixa, e do cálculo das concentra¸cões isotópicas, usando o módulo Cálculo de Deple¸cão.

(39)

(40)

4.2.1 Fluxograma do M´

odulo Problema de Fonte Fixa

O fluxograma do módulo Problema de Fonte Fixa, que é encarregado de obter o fluxo de nêutrons para cada cálculo de deple¸cão isotópica, é apresentado na Figura 4.2.

Figura 4.2: Fluxograma do M´odulo Problema de Fonte Fixa.

4.2.2 Fluxograma do M´

odulo C´

alculo de Deple¸

c˜

ao

O fluxograma do módulo Cálculo de Deple¸cão, que realiza o cálculo das concen-tra¸cões isotópicas, é apresentado na Figura 4.3. Uma vez calculada a matriz evolu¸cão, para cada intervalo de tempo, o método Matriz de Transi¸cão (ALVIM et al., 2011) é usado para resolver as equa¸cões de deple¸cão e, assim, obter as con-centra¸cões isotópicas no instante final do intervalo.

(41)

Figura 4.3: Fluxograma do C´alculo de Deple¸c˜ao.

4.3 Fluxograma do Programa M´

etodo

Perturba-tivo

Como no Método Perturbativo são necessárias as fun¸cões importâncias, primeiro é apresentado o fluxograma do módulo de cálculo destas fun¸cões. E, em seguida, os fluxogramas relacionados aos módulos de cálculo do Método Perturbativo desen-volvidos são apresentados. Nestes módulos os programas se encarregam do cálculo das concentra¸cões isotópicas usando a Teoria de Perturba¸cão Generalizada. No pro-grama, primeiro, para ` ≤ 3, o reator se comporta como um sistema não perturbado, onde as concentra¸cões isotópicas são determinadas pelo Método de Cálculo Direto, cujos módulos foram apresentadas nas se¸cão 4.2. E, segundo, para ` ≥ 4, o reator se comporta como um sistema perturbado, onde as concentra¸cões isotópicas, para es-tes intervalos de queima, são determinadas pelo Método Perturbativo desenvolvido nesta tese.

(42)

4.3.1 Fluxograma do M´

odulo Fun¸

c˜

oes Importˆ

ancias

Este é um módulo independente, chamado Fun¸cões Importâncias, que calcula as fun¸cões importâncias e as reserva até que sejam requeridas no Método Perturbativo. A Figura 4.4 apresenta o fluxograma deste módulo.

Figura 4.4: Fluxograma do Módulo Fun¸cões Importâncias.

4.3.2 Fluxograma do Programa de C´

alculo Perturbativo

Na Figura 4.5 é apresentado o fluxograma do módulo de controle do Programa de Cálculo Perturbativo, onde se pode observar toda a estrutura de cálculo do Método Perturbativo desenvolvido para cálculo de deple¸cão isotópica em reatores subcr´ıticos guiados por uma fonte externa de nêutrons.

(43)

(44)

4.3.3 Fluxograma do M´

odulo de C´

alculo de Deple¸

c˜

ao

Per-turbativo

Na Figura 4.6 é apresentado o fluxograma do módulo de Cálculo de Deple¸cão Pertur-bativo, onde se pode observar que para ` ≤ 3 os cálculos são feitos usando o Método de Cálculo Direto, ou seja, onde o fluxo de nêutrons é recalculado. E que para ` ≥ 4 a equa¸cão (3.40) passa a ser usada nos cálculos das concentra¸cões isotópicas.

Figura 4.6: Fluxograma do C´alculo de Deple¸c˜ao Perturbativo.

4.4 Fluxograma do M´

odulo Problema de

autova-lor

O módulo Problema de Autovalor é utilizado só para verificar a subcriticalidade do núcleo do reator, ou seja, para se ter a certeza que a queima de combust´ıvel não muda esta condi¸cão do núcleo do reator. Na Figura 4.7 é apresentado o fluxograma

(45)

deste m´odulo.

Figura 4.7: Fluxograma do M´odulo Problema de Autovalor.

No caso do problema de autovalor, o termo de fonte bg,` ´e assim definido:

bg,` ≡      S1,`+ E12,`ϕ (i−1) 2 ; g = 1 S2,`+ E21,`ϕ(i)1 ; g = 2 (4.1) com Sg,` ≡ 1 k_{ef f}(i−1)Sf g . (4.2)

(46)

Cap´ıtulo 5

Apresenta¸

c˜

ao e An´

alise dos

Resultados

5.1 Introdu¸

c˜

ao

Neste cap´ıtulo são apresentados os resultados obtidos com o Método de Cálculo Perturbativo e sua compara¸cão com os resultados obtidos pelo Método de Cálculo Direto. As equa¸cões (2.19) e (3.20) são resolvidas usando o Método de Diferen¸cas Finitas (TAIPE, 2014) e as equa¸cões de deple¸cão, equa¸cão (2.30), são resolvidas do Método de Matriz de Transi¸cão (ALVIM et al., 2011).

Também é apresentada a configura¸cão adotada na realiza¸cão dos cálculos. As dimensões, distribui¸cão e composi¸cão isotópica para cada região do núcleo, assim como os parâmetros nucleares, as cadeias de deple¸cão usadas e os dados nucleares, dos materiais que correspondem à configura¸cão do núcleo do reator.

Finalmente, são apresentados algumas concentra¸cões isotópicas, fatores de mul-tiplica¸cão efetiva, densidade de potência, respectivos desvios, e porcentagens de trasmuta¸cão, além da análise dos resultados obtidos.

(47)

5.2 Apresenta¸

c˜

ao do Caso Teste

A fim de demonstrar a aplicabilidade do Método de Cálculo Perturbativo, um caso simples, porém significativo, foi usado. Para isto, foi considerado o caso de um sistema subcr´ıtico, unidimensional e de dois grupos de energia, guiado por uma fonte externa de nêutrons, localizada no centro do núcleo subcr´ıtico. Na figura 5.1, mostra-se a configura¸cão do núcleo do reator, na qual é observada a disposi¸cão das regiões e suas dimensões, onde a = 10cm.

Figura 5.1: Configura¸c˜ao do n´ucleo unidimensional.

Pode ser visto na Figura 5.1 que, as regiões 1 e 9 contêm o refletor, as regiões 2-3 e 6-8 contêm o combust´ıvel, e a região 5 contém a fonte externa de nêutrons. Esta fonte, que é mantida constante no tempo, é dada por

Sext,g(x) =       

1012δ1g nˆeutrons/cm3s ; para x ∈ regi˜ao 5

0 ; para x /∈ regi˜ao 5

,

sendo que δ1g ´e o Delta de Kronecker.

Os materias estruturais que complementam a composi¸cão isotópica do núcleo do reator são dados na Tabela 5.1.

(48)

Tabela 5.1: Materiais em suas respectivas regi˜oes

Regi˜ao Materiais

Combust´ıvel Urˆanio, 10_{B, H}

2O e STRM1

Refletor H₂O e STRM

Fonte Externa STRM

1 _{STRM: material estrutural.}

A cadeia de deple¸cão nas regiões do combust´ıvel é composta por 17 nucl´ıdeos e é apresentada na Figura 5.2. As cadeias para os produtos de fissão considerados neste cálculo são apresentadas na Figura 5.3. Já a cadeia de deple¸cão usada nas regiões dos AM é composta por 15 nucl´ıdeos e é apresentada na Figura 5.4. Note-se que a cadeia usada na região dos AM é a mesma usada na região do combust´ıvel, salvo que nesta são exclu´ıdos os nucl´ıdeos238_{U e} 239_Np.

(49)

Figura 5.2: Cadeia de deple¸c˜ao dos Actin´ıdeos para as regi˜oes do combust´ıvel.

(50)

Figura 5.4: Cadeia de deple¸c˜ao dos Actin´ıdeos para as regi˜oes com Actin´ıdeos Menores.

(51)

As concentra¸cões isotópicas iniciais e alguns parâmetros nucleares, usados nos cálculos, são apresentadas nas Tabelas 5.2 e 5.3, respectivamente.

Tabela 5.2: Concentra¸c˜oes isot´opicas iniciais.

Combust´ıvel AM

Nucl´ıdeo Concentra¸c˜ao2 _Nucl´ıdeo _Concentra¸_c˜_ao 234_U _0.126020E-5 237_Np _1.390E-6 235_U _0.152537E-3 241_Am _8.775E-8 238_U _0.702007E-2 242m_Am _1.112E-9 10_B3 _0.147846E-4 242_Am _3.041E-10 243_Am _2.041E-7 242_Cm _3.338E-8 244_Cm _3.534E-8 10_B3 _0.147846E-4 2 _{As concentra¸c˜}_{oes isot´}_{opicas s˜}_{ao dadas em ´}_{atomos/barn.cm} 3 _{(HAECK et al.)}

Tabela 5.3: Parˆametros nucleares Dado g Valor (cm−1) Σtr,g 1 0.243009E+0 2 0.804673E+0 ΣST RM c,g 1 0.271398E-3 2 0.103122E-2 Σg→3−g_{s,ST RM} 1 0.146344E-3 2 0.0 ΣH2O c,g 1 0.158293E-3 2 0.505096E-2 Σg→3−g_s,H 2O 1 0.158057E-1 2 0.0

Nas Tabelas 5.4 e 5.5 são mostradas as se¸cões de choque microscópicas dos nucl´ıdeos usados nos cálculos e presentes nas cadeias de deple¸cão.

Tabela 5.4: Se¸c˜oes de choque microsc´opicas n2n Nucl´ıdeo σn2n (b) 236_U _{3.1846659E-03} 238_U _{6.1297184E-03} 239_Pu _{2.4906395E-03} 240_Pu _{8.4665918E-04} 241_Pu _{8.6386986E-03}

(52)

Tabela 5.5: Se¸c˜oes de choque microsc´opicas (em barn)

Nucl´ıdeo g σcg σfg νσfg σsg→3−g

234_U 1 0.184693E+02 0.566605E+00 0.148682E+01 0.239508E-02 2 0.490885E+02 0.218728E+00 0.514448E+00 -235_U 1 0.379149E+01 0.847703E+01 0.207452E+02 0.313969E-02

2 0.466859E+02 0.272112E+03 0.663055E+03 -236_U 1 0.877102E+01 0.346561E+00 0.883709E+00 0.193505E-02

2 0.263981E+01 0.2446200E-01 0.5667860E-01 -238_U 1 0.815563E+00 0.116086E+00 0.323430E+00 0.206684E-02

2 0.137578E+01 0.1349560E-04 0.3363230E-04 -237_Np 1 0.169043E+02 0.582883E+00 0.172221E+01 -2 0.135725E+03 0.9307270E-02 0.2453220E-01 -238_Pu 1 0.484273E+01 0.172715E+01 0.526204E+01 0.338794E-02

2 0.218858E+03 0.664218E+01 0.192291E+02 -239_Pu 1 0.544562E+01 0.923134E+01 0.267070E+02 0.247503E-02

2 0.404398E+03 0.728951E+03 0.208987E+04 -240_Pu 1 0.226074E+03 0.676660E+00 0.208910E+01 0.653193E-03

2 0.181564E+03 0.3948630E-01 0.110680E+00 -241_Pu 1 0.524341E+01 0.167068E+02 0.493534E+02 0.262850E-02

2 0.253379E+03 0.722447E+03 0.212782E+04 -241_Am 1 0.271720E+02 0.758288E+00 0.263524E+01 0.378865E-02

2 0.607092E+03 0.338266E+01 0.109557E+02 -242m_Am 1 0.690154E+01 0.483433E+02 0.158107E+03 0.267449E-02

2 0.942812E+03 0.458573E+04 0.149678E+05 -242_Pu 1 0.370922E+02 0.491756E+00 0.154724E+01 0.152298E-02

2 0.103677E+02 0.5287930E-03 0.1485910E-02 -243_Am 1 0.509104E+02 0.496144E+00 0.177188E+01 0.0

2 0.438253E+02 0.4740130E-01 0.155137E+00 -242_Cm 1 0.369541E+01 0.402363E+00 0.157539E+01 0.228482E-02

2 0.814242E+01 0.145342E+01 0.499975E+01 -244_Cm 1 0.133482E+02 0.972437E+00 0.364166E+01 0.145735E-02

2 0.523725E+01 0.285150E+00 0.986619E+00

-135_Xe 1 0.111639E+03 - -2 0.153220E+07 - -149_Sm 1 0.953017E+02 - -2 0.480351E+05 - -10_B 1 0.436439E+02 - - 0.953950E-02 2 0.104512E+04 - -

(53)

-A opera¸c˜ao do n´ucleo do reator deu-se por um per´ıodo de queima de 300 dias, que foi dividido em 22 intervalos de tempo (∆t` ≡ t`+1 − t`) como mostrado na

Tabela 5.6.

Tabela 5.6: Intervalos de tempo ` ∆t` (dias) 1 3 2 3 3 14 4,. . . ,12 20 13,. . . ,22 10

5.3 An´

alise dos Resultados de C´

alculo

O primeiro teste realizado foi para verificar se as fun¸cões importâncias estavam bem calculadas, o que se traduz pela confirma¸cão da Rela¸cão de Reciprocidade de Fontes.

Na Tabela 5.7, s˜ao mostrados os valores das Quantidades Integrais Qm

g0(t₁) dadas

tanto pela equa¸c˜ao (3.9) quanto pela equa¸c˜ao (3.21).

Tabela 5.7: Teste do cálculo da Fun¸cão Importância.

Região Grupo Equa¸cão Equa¸cão

(m) (g0) (3.9) (3.21) 1 1 2.281546590875647E+01 2.281546590875649E+01 2 2.750613151379487E+01 2.750613151379495E+01 2 1 3.020636011805127E+02 3.020636011805133E+02 2 6.737423352888246E+01 6.737423352888260E+01 3 1 3.831353841090166E+02 3.831353841090163E+02 2 2.312076762783856E+02 2.312076762783857E+02 4 1 4.610666943173988E+03 4.610666943173997E+03 2 9.329665810285653E+02 9.329665810285662E+02 5 1 1.884318130654638E+03 1.884318130654636E+03 2 3.516548496721858E+02 3.516548496721852E+02 6 1 4.610666943173982E+03 4.610666943173979E+03 2 9.329665810285637E+02 9.329665810285645E+02 7 1 3.831353841090146E+02 3.831353841090152E+02 2 2.312076762783845E+02 2.312076762783845E+02 8 1 3.020636011805100E+02 3.020636011805114E+02 2 6.737423352888182E+01 6.737423352888207E+01 9 1 2.281546590875614E+01 2.281546590875632E+01 2 2.750613151379447E+01 2.750613151379464E+01

(54)

Vê-se dos resultados apresentados na Tabela 5.7 a excelente concordância dos dois cálculos, comprovando que as fun¸cões importâncias estão bem calculas. Com isto feito, pôde-se proceder os cálculos de deple¸cão usando o Método Perturbativo desenvolvido. Os resultados obtidos são apresentados a seguir.

Como a geometria do núcleo do reator é simétrica (ver Figura 5.1), somente serão mostrados os resultados para as regiões 6 e 8, e para a região dos AM, região 7. Assim, a compara¸cão dos resultados do Método Perturbativo com aqueles do Método de Cálculo Direto foi feita usando o desvio relativo percentual, dado pela seguinte expressão:

Desvio(i, t`) = 1 − N GP T i (t`) NDireto i (t`) x100% , (5.1)

onde N_iGP T(t`) é a concentra¸cão istópica obtida pelo Método Perturbativo e

N_iDireto(t`) é a concentra¸cão istópica obtida pelo Método de Cálculo Direto, para o

nucl´ıdeo i.

Nas Figuras 5.5, 5.6 e 5.7, são apresentadas a evolu¸cão de algumas concentra¸cões isotópicas, obtidas por ambos métodos, nas regiões 6, 7 e 8, respectivamente. Para isto, foram escolhidos os gráficos de seis nucl´ıdeos que mostraram maiores desvios na compara¸cão dos resultados. Já na Tabela 5.8 são mostrados os desvios relativos percentuais ao fim dos 300 dias do periodo de queima, para todos os nucl´ıdeos das cadeias de deple¸cão.

(55)

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 0 2 4 0 2 6 0 2 8 0 3 0 0 1 , 3 x 1 0- 4 1 , 4 x 1 0- 4 1 , 4 x 1 0- 4 1 , 5 x 1 0- 4 1 , 5 x 1 0- 4 1 , 6 x 1 0- 4 C o n c e n tr a c a o U 2 3 5 ( a to m o s /b .c m ) I n s t a n t e d e t e m p o ( d i a s ) D i r e t o G P T 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 0 2 4 0 2 6 0 2 8 0 3 0 0 0 , 0 5 , 0 x 1 0- 8 1 , 0 x 1 0- 7 1 , 5 x 1 0- 7 2 , 0 x 1 0- 7 C o n c e n tr a c a o N p 2 3 9 ( a to m o s /b .c m ) I n s t a n t e d e t e m p o ( d i a s ) D i r e t o G P T 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 0 2 4 0 2 6 0 2 8 0 3 0 0 - 2 , 0 x 1 0- 6 0 , 0 2 , 0 x 1 0- 6 4 , 0 x 1 0- 6 6 , 0 x 1 0- 6 8 , 0 x 1 0- 6 1 , 0 x 1 0- 5 1 , 2 x 1 0- 5 1 , 4 x 1 0- 5 C o n c e n tr a c a o P u 2 3 9 ( a to m o s /b .c m ) I n s t a n t e d e t e m p o ( d i a s ) D i r e t o G P T 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 0 2 4 0 2 6 0 2 8 0 3 0 0 - 2 , 0 x 1 0- 1 3 0 , 0 2 , 0 x 1 0- 1 3 4 , 0 x 1 0- 1 3 6 , 0 x 1 0- 1 3 8 , 0 x 1 0- 1 3 1 , 0 x 1 0- 1 2 1 , 2 x 1 0- 1 2 1 , 4 x 1 0- 1 2 1 , 6 x 1 0- 1 2 1 , 8 x 1 0- 1 2 C o n c e n tr a c a o A m 2 4 2 ( a to m o s /b .c m ) I n s t a n t e d e t e m p o ( d i a s ) D i r e t o G P T 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 0 2 4 0 2 6 0 2 8 0 3 0 0 0 , 0 5 , 0 x 1 0- 1 0 1 , 0 x 1 0- 9 1 , 5 x 1 0- 9 2 , 0 x 1 0- 9 2 , 5 x 1 0- 9 3 , 0 x 1 0- 9 C o n c e n tr a c a o I 1 3 5 ( a to m o s /b .c m ) I n s t a n t e d e t e m p o ( d i a s ) D i r e t o G P T 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 0 2 4 0 2 6 0 2 8 0 3 0 0 - 2 , 0 x 1 0- 9 0 , 0 2 , 0 x 1 0- 9 4 , 0 x 1 0- 9 6 , 0 x 1 0- 9 8 , 0 x 1 0- 9 1 , 0 x 1 0- 8 1 , 2 x 1 0- 8 1 , 4 x 1 0- 8 1 , 6 x 1 0- 8 C o n c e n tr a c a o S m 1 4 9 ( a to m o s /b .c m ) I n s t a n t e d e t e m p o ( d i a s ) D i r e t o G P T

(56)

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 0 2 4 0 2 6 0 2 8 0 3 0 0 0 , 0 1 , 0 x 1 0- 1 5 2 , 0 x 1 0- 1 5 3 , 0 x 1 0- 1 5 4 , 0 x 1 0- 1 5 5 , 0 x 1 0- 1 5 C o n c e n tr a c a o U 2 3 6 ( a to m o s /b .c m ) I n s t a n t e d e t e m p o ( d i a s ) D i r e t o G P T 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 0 2 4 0 2 6 0 2 8 0 3 0 0 7 , 6 x 1 0- 8 7 , 8 x 1 0- 8 8 , 0 x 1 0- 8 8 , 2 x 1 0- 8 8 , 4 x 1 0- 8 8 , 6 x 1 0- 8 8 , 8 x 1 0- 8 C o n c e n tr a c a o A m 2 4 1 ( a to m o s /b .c m ) I n s t a n t e d e t e m p o ( d i a s ) D i r e t o G P T 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 0 2 4 0 2 6 0 2 8 0 3 0 0 3 , 5 x 1 0- 8 3 , 6 x 1 0- 8 3 , 7 x 1 0- 8 3 , 8 x 1 0- 8 3 , 9 x 1 0- 8 4 , 0 x 1 0- 8 C o n c e n tr a c a o C m 2 4 2 ( a to m o s /b .c m ) I n s t a n t e d e t e m p o ( d i a s ) D i r e t o G P T 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 0 2 4 0 2 6 0 2 8 0 3 0 0 3 , 5 x 1 0- 8 3 , 6 x 1 0- 8 3 , 7 x 1 0- 8 3 , 8 x 1 0- 8 3 , 9 x 1 0- 8 4 , 0 x 1 0- 8 C o n c e n tr a c a o C m 2 4 4 ( a to m o s /b .c m ) I n s t a n t e d e t e m p o ( d i a s ) D i r e t o G P T 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 0 2 4 0 2 6 0 2 8 0 3 0 0 0 , 0 1 , 0 x 1 0- 1 4 2 , 0 x 1 0- 1 4 3 , 0 x 1 0- 1 4 4 , 0 x 1 0- 1 4 5 , 0 x 1 0- 1 4 C o n c e n tr a c a o I 1 3 5 ( a to m o s /b .c m ) I n s t a n t e d e t e m p o ( d i a s ) D i r e t o G P T 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 0 2 4 0 2 6 0 2 8 0 3 0 0 - 1 , 0 x 1 0- 1 4 0 , 0 1 , 0 x 1 0- 1 4 2 , 0 x 1 0- 1 4 3 , 0 x 1 0- 1 4 4 , 0 x 1 0- 1 4 5 , 0 x 1 0- 1 4 6 , 0 x 1 0- 1 4 7 , 0 x 1 0- 1 4 8 , 0 x 1 0- 1 4 C o n c e n tr a c a o P m 1 4 9 ( a to m o s /b .c m ) I n s t a n t e d e t e m p o ( d i a s ) D i r e t o G P T

(57)

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 0 2 4 0 2 6 0 2 8 0 3 0 0 7 , 0 x 1 0- 3 7 , 0 x 1 0- 3 7 , 0 x 1 0- 3 7 , 0 x 1 0- 3 7 , 0 x 1 0- 3 7 , 0 x 1 0- 3 7 , 0 x 1 0- 3 7 , 0 x 1 0- 3 C o n c e n tr a c a o U 2 3 8 ( a to m o s /b .c m ) I n s t a n t e d e t e m p o ( d i a s ) D i r e t o G P T 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 0 2 4 0 2 6 0 2 8 0 3 0 0 - 2 , 0 x 1 0- 9 0 , 0 2 , 0 x 1 0- 9 4 , 0 x 1 0- 9 6 , 0 x 1 0- 9 8 , 0 x 1 0- 9 1 , 0 x 1 0- 8 1 , 2 x 1 0- 8 1 , 4 x 1 0- 8 C o n c e n tr a c a o N p 2 3 9 ( a to m o s /b .c m ) I n s t a n t e d e t e m p o ( d i a s ) D i r e t o G P T 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 0 2 4 0 2 6 0 2 8 0 3 0 0 - 1 , 0 x 1 0- 9 0 , 0 1 , 0 x 1 0- 9 2 , 0 x 1 0- 9 3 , 0 x 1 0- 9 4 , 0 x 1 0- 9 5 , 0 x 1 0- 9 6 , 0 x 1 0- 9 7 , 0 x 1 0- 9 8 , 0 x 1 0- 9 C o n c e n tr a c a o P u 2 4 1 ( a to m o s /b .c m ) I n s t a n t e d e t e m p o ( d i a s ) D i r e t o G P T 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 0 2 4 0 2 6 0 2 8 0 3 0 0 0 , 0 5 , 0 x 1 0- 1 6 1 , 0 x 1 0- 1 5 1 , 5 x 1 0- 1 5 2 , 0 x 1 0- 1 5 C o n c e n tr a c a o C m 2 4 2 ( a to m o s /b .c m ) I n s t a n t e d e t e m p o ( d i a s ) D i r e t o G P T 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 0 2 4 0 2 6 0 2 8 0 3 0 0 0 , 0 5 , 0 x 1 0- 2 2 1 , 0 x 1 0- 2 1 1 , 5 x 1 0- 2 1 2 , 0 x 1 0- 2 1 C o n c e n tr a c a o C m 2 4 4 ( a to m o s /b .c m ) I n s t a n t e d e t e m p o ( d i a s ) D i r e t o G P T 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 0 2 4 0 2 6 0 2 8 0 3 0 0 0 , 0 5 , 0 x 1 0- 1 1 1 , 0 x 1 0- 1 0 1 , 5 x 1 0- 1 0 2 , 0 x 1 0- 1 0 C o n c e n tr a c a o P m 1 4 9 ( a to m o s /b .c m ) I n s t a n t e d e t e m p o ( d i a s ) D i r e t o G P T

(58)

Pela an´alise dos resultados mostrados nas Figuras, 5.5, 5.6 e 5.7, pode-se consta-tar que apesar delas corresponderem aos casos com maiores desvios nos resultados, que o M´etodo Perturbativo resulta numa boa alternativa para este tipo de problema.

Tabela 5.8: Desvios relativos percentuais. Nucl´ıdeo Região 6 Região 7 Região 8

234_U _0.01 _0.13 _0.00 235_U _0.01 _-0.51 _0.01 236_U _-0.08 _-1.08 _-0.35 238_U _0.00 _– _0.00 237_Np _-0.17 _0.01 _-0.33 238_Pu _-0.24 _-0.12 _-0.68 239_Np _-0.73 _– _-1.22 239_Pu _-0.11 _-0.45 _-0.31 240_Pu _-0.13 _0.01 _-0.69 241_Pu _-0.34 _-0.56 _-1.02 241_Am _0.18 _0.03 _-0.28 242m_Am _0.08 _0.02 _-0.82 242_Am _-0.31 _-1.00 _-1.54 242_Pu _-0.36 _-0.20 _-1.41 243_Am _-0.09 _0.01 _-1.40 242_Cm _-0.04 _-0.15 _-0.94 244_Cm _-0.49 _-0.03 _-1.92 135_I _-0.51 _-1.25 _-1.26 135_Xe _-0.29 _-0.86 _-1.16 149_Pm _-0.52 _-1.24 _-1.26 149_Sm _-0.09 _-0.20 _-0.14

Da Tabela 5.8 verifica-se que o maior desvio relativo ´e −1.92%, que corresponde ao Actin´ıdeo Menor 244_{Cm o qual est´}_{a no final da cadeia de deple¸c˜}_{ao e na regi˜}_ao

mais externa do núcleo, região 8. Além disso, deve ser ressaltado que nesta região estão presentes os maiores desvios relativos percentuais, obtidos durante o cálculo. Na região 6 o maior desvio é −0.73%, que corresponde ao nucl´ıdeo239Np, sendo que os menores desvios relativos, encontram-se nesta região, que cerca a região da fonte externa. Já na região 7, o maior desvio é −1.25% correspondente ao PF 135I.

Complementarmente, os gráficos da evolu¸cão no tempo dos fatores de multi-plica¸cão e das densidades de potência, são apresentados nas Figuras 5.8 e 5.9, res-pectivamente.

(59)

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 0 2 4 0 2 6 0 2 8 0 3 0 0 0 , 9 3 0 0 , 9 3 5 0 , 9 4 0 0 , 9 4 5 0 , 9 5 0 0 , 9 5 5 keff I n s t a n t e d e t e m p o ( d i a s ) D i r e t o G P T

Figura 5.8: Compara¸c˜ao do Fator de Multiplica¸c˜ao Efetivo

Do gráfico dado pela Figura 5.8, que mostra a compara¸cão dos fatores de multi-plica¸cão efetivo obtidos durante o per´ıodo de queima, pode-se observar que o núcleo do reator permanece subcr´ıtico durante todo o per´ıodo de queima, com fatores de multiplica¸cão efetivo de 0.95339, no instante inicial, e 0.93964, no instante final. Isto está em concordância com o cálculo direto, onde os fatores de multiplica¸cão efetivo vão desde 0.95339 até 0.93966 através do per´ıodo de queima.

Já no gráfico dado pela Figura 5.9 é apresentada a compara¸cão das densidade de potência obtidas. De onde pode ser visto que a densidade de potência gerada pelo reator foi desde 16.86 W/cm3 _{no instante inicial, at´}_{e 12.37 W/cm}3 _{no instante final.}

Este comportamento está em concôrdancia com aqueles obtidos pelo Cálculo Direto, cuja densidade de potência vai desde 16.86 W/cm3 _at´_{e 12.30 W/cm}3 _{ao longo do}

(60)

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 0 2 4 0 2 6 0 2 8 0 3 0 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 D en si da de d e Po tê nc ia (W /c m 3 ) I n s t a n t e d e t e m p o ( d i a s ) D i r e t o G P T

Figura 5.9: Compara¸c˜ao da Densidade de Potˆencia.

Observa-se que para o cálculo da densidade de potência as seguintes equa¸cões foram usadas:

i. Para o M´etodo de C´alculo Direto:

¯ P (t`) = ω 8 X m=2 2 X g=1 nXI j=1 N_jm(t`)σ j f,go ¯φ m g (t`) ; para ` ≥ 1 ,

onde ω = 3.25x10−11 J , é a energ´ıa liberada por fissão. ii. Para o Método de Cálculo Perturbativo:

ii.1. para ` = 1, 3: ¯ P (t`) = ω 8 X m=2 2 X g=1 nXI j=1 N_jm(t`)σ j f,go ¯φ m g (t`) . ii.2. para ` ≥ 4: ¯ P (t`) = ω 8 X m=2 I X j=1 n N_jm(t`)σf,gj Q m g0(t₁) + N_jm(t₁)σj_f,gδQm_g0(t_`) o ,