UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
Faculdade de Filosofia e Ciências UNESP - Campus de Marília
ALCIR ROJAS VALERA
USO SOCIAL E ESCOLAR DOS NÚMEROS RACIONAIS:
Representação Fracionária e Decimal
MARILIA 2003
ALCIR ROJAS VALERA
USO SOCIAL E ESCOLAR DOS NÚMEROS RACIONAIS:
Representação Fracionária e Decimal
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação da Faculdade de Filosofia e Ciências, Campus de Marília, Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” (UNESP), como requisito parcial à obtenção do Título de Mestre em Educação.
Orientador: Prof. Dr. Vinício de Macedo Santos
MARILIA 2003
ALCIR ROJAS VALERA
USO SOCIAL E ESCOLAR DOS NÚMEROS RACIONAIS:
Representação Fracionária e Decimal
COMISSÃO EXAMINADORA
_________________________________
Prof. Dr.Vinício de Macedo Santos
Universidade de São Paulo (USP-SP)
__________________________________________
Profª. Drª. Célia Maria Carolino Pires
Pontifícia Universidade Católica (PUC-SP
)
_________________________________
Prof. Dr.José Carlos Miguel
Universidade Estadual Paulista (UNESP)
Dedicatória
Dedico este meu trabalho aos meus três
maravilhosos filhos:
Daniela
Rogério
Flávia
AGRADECIMENTOS
Ao Prof. Dr. Vinício de Macedo Santos (USP - SP), que soube, como orientador ser compreensivo, organizado e criativo para sugerir correções e alterações nos documentos que lhe enviava. Conduziu seu trabalho comigo, com o zelo que se oferece a um amigo: paciencioso, solidário e benevolente. Não poupou esforços. Reduziu ainda mais seu pouco tempo disponível, para compartilhar comigo suas sábias instruções e ajuda.
Ao Prof. Dr. José Carlos Miguel (UNESP - Campus de Marília), que também proporcionou valiosas orientações e com a paciência que lhe é peculiar, prestou-me ajudas significativas para construir conceitos no momento em que lhe solicitei. Participou da banca de qualificação, oferecendo contribuições com o compromisso de quem acredita na importância e valor do trabalho apreciado.
À Profª. Drª. Célia Maria Carolino Pires (PUC-SP), que além do seu carinho e generosidade na leitura do trabalho apresentado no exame de qualificação, proporcionou sugestões valiosíssimas, que se transformaram, aqui, na estrutura dos capítulos.
Ao amigo Antonio dos Reis Lopes Mello, que apesar de ter inúmeras tarefas sempre esteve presente quando solicitado. Muito lhe devo pela revisão, ajuda e incentivo.
À Nena, pela suas palavras animadoras, que contribuíram para o desenvolvimento do meu trabalho.
À Daniela, ao Rogério e à Flávia que compreenderam a minha dedicação ao trabalho de estudo e pesquisa, causando-lhes restrições tanto em dedicação quanto em carinho, dos quais são merecedores.
Resumo
Os números racionais apresentam-se como conteúdo que os alunos do Ensino Fundamental e Médio têm dificuldades para aprender. Parte dessas dificuldades decorre da diferença instituída entre o uso cotidiano dos números racionais pelo aluno e a maneira como são ensinados na escola e, também pelo desconhecimento, por parte da escola, da multiplicidade dos significados dos racionais. Enquanto o uso social centra-se na forma decimal o uso escolar recai mais sobre a forma fracionária dos números racionais. É uma separação indesejável que as práticas escolares trataram de acentuar ao longo do tempo.
A partir de pesquisa bibliográfica e de estudo documental procurou-se caracterizar, nesse trabalho, a dicotomização existente entre o uso e o ensino da Matemática, que acabam sendo responsáveis por prejuízos na aprendizagem dos alunos. Isto pode ser verificado nos erros que os alunos cometeram nas provas oficiais (SARESP, SAEB...). Procurou-se analisar como essa separação vem sendo reforçada nos documentos oficiais, por meio das propostas pedagógicas e curriculares. Verificaram-se como diferentes documentos e publicações oficiais abordam os números racionais e tratam da articulação entre a perspectivas do uso escolar e a do uso cotidiano dos números racionais.
Essa análise possibilitou compreender diferentes tipos de argumentações e justificativas para o ensino das frações, presentes nos currículos oficiais, bem como explicitar os conteúdos e metodologias adequadas às concepções apresentadas em tais documentos. Tudo isso possibilitou conhecer parte dos problemas que ocorrem com o ensino de frações e suas causas e por isso sugerir propostas que sinalizam para a sua superação.
Embora o estabelecimento de relações entre o uso social e uso escolar ainda não ocorra de maneira efetiva, reconhece-se que aquelas orientações dos múltiplos significados dos números racionais e, conseqüentemente, pela resolução de diversificadas situações-problema associadas ao tema, abrem caminho para uma aproximação entre ambos e para o enfrentamento de rupturas verificadas no ensino e na aprendizagem dos Números Racionais.
Palavras-chaves: Números Racionais: ensino e aprendizagem; representação
decimal e fracionária dos números racionais; uso escolar e social dos números racionais.
Abstract
The rational numbers are shown as a subject that the students of the Elementary and High School have difficulties to learn. Some of these difficulties are due to the difference established between the daily use of the rational numbers by the student and the way it is taught at the school and, also for the ignorance, on the part of the school, of the multiplicity of their meanings. While the social use is centered in the decimal form, the school use lies more on the fractional form of the rational numbers. It is an undesirable separation that the school practices have accentuated through time.
This study tried to characterize the existent dichotomization between it the use and the teaching of the Mathematics, starting from bibliographical research and of documental study that end up being responsible for damages in the students' learning.. This can be verified in the mistakes committed in the official tests (SARESP, SAEB...). It was sought to analyze how that separation has been reinforced in the official documents, by the pedagogic proposals and curricula. It was verified how the different documents and official publications deal with the rational numbers and the articulation among perspectives of the school use and the daily use of the rational numbers. That analysis made possible to understand different types of arguments and justifications for the teaching of the fractions, present in the official curricula, as well as explain the contents and the most appropriate methodologies of the conceptions presented in such documents. All this made possible to know part of the problems that happen with the teaching of fractions and their causes, and so, make suggestions on how these problems can be solved.
Although the establishment of relationships between the social use and school use still doesn't happen in an effective way, it is recognized that those orientations of the multiples meanings of the rational numbers and, consequently, for the resolution of having diversified situation-problem associated to the theme, they make way for both an approach and the face of ruptures verified in the teaching and learning of the Rational Numbers.
KEYWORDS: Rational Numbers; Fractions; teaching and learning of the fractions; decimal numbers and fractional numbers; social use off the fractions; school use of the fractions.
Índice
Introdução 10
Capítulo 1 16
1.1 Os erros revelados pelas avaliações feitas por órgãos oficiais nas 4ª, 7ª e 8ª séries, referentes ao conteúdo Números
Racionais 17
1.2 Sistema de Avaliação Externa - As provas de Matemática 17 1.3 Análises de questões de avaliações externas. 19 1.3.1 Análise do desempenho das 7ª séries, no SARESP/96 22 1.3.2 Análise do desempenho das 4ª séries, no SARESP/97 40 1.3.3 Análise do desempenho das 8ª séries, no SARESP/97 45 1.4 Análise do Relatório da Diretoria de Ensino - Região de Marília 53 1.4.1 Algumas considerações sobre a prova das 4ª séries, no
SARESP/97
53 1.4.2 Algumas considerações sobre a prova das 8ª séries, no
SARESP/97.
53 Capítulo 2
Discussão preliminar sobre os diferentes aspectos implicados no ensino dos Números Racionais.
56 2.1 A polêmica do ensino dos Números Racionais 56 2.2 As dificuldades e os erros na aprendizagem dos Números
Racionais: compreendendo suas naturezas e procedências
63 2.3 Quando e por que iniciar o ensino dos Números Racionais 71 2.4 Números Racionais usados nas aplicações sociais do número 74 2.5 O recurso à História da Matemática: conseqüências para o
ensino dos Números Racionais
76 2.6 O recurso à Tecnologia: conseqüências para o ensino dos
Números Racionais
83 Capítulo 3
3.1 Documentos oficiais que provocaram mudanças na metodologia do ensino da Matemática
88 3.1.1 Guias Curriculares propostos para as matérias do Núcleo
comum do Ensino do 1º Grau
88 3.1.2 Proposta Curricular para o Ensino de Matemática no Ensino de
1º Grau
90 3.1.3 Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática 92 3.2 O tratamento metodológico dos racionais recomendado pelas
reformas curriculares
99 3.2.1 Nos “Subsídios para a Implementação dos Guias Curriculares
de Matemática.
100
3.2.3 Nas “Experiências Matemáticas” 104 3.2.4 Nas “Propostas Curriculares para o Ensino de Matemática no
Ensino de 1º Grau”
106 3.3 Tentativas de reorganização curricular: conseqüências para a
prática docente.
107 3.3.1 Subsídios para a implementação do Guia Curricular de
Matemática
112
3.3.2 Atividades Matemáticas (AM) 113
3.3.3 Experiências Matemáticas (EM) 115
3.4 O desafio da contextualização do ensino da Matemática 116 3.5 Recursos didáticos utilizados no ensino dos Números Racionais 120 3.5.1 Exemplos de experiências ou atividades com números racionais
que utilizam os materiais concretos
120 Capítulo 4
4.1 Para além da polêmica e da dicotomização: uma perspectiva integradora para a abordagem escolar dos Números Racionais
127
4.2 Os diferentes significados das frações 128
4.2.1 A fração como relação parte-todo 128
4.2.2 A fração como quociente 136
4.2.3 A fração como razão 138
4.2.3.1 A fração no estudo das “probabilidades” 140
4.2.3.2 A fração como idéia de “escala” 141
4.2.3.3 A fração como idéia de “porcentagem” 141
4.2.4 A fração como operador 142
Considerações Finais 148
Bibliografia 152
Anexo 1: Oficina Pedagógica e Assistente Técnico Pedagógico 156
Anexo 2: SARESP 158
Anexo 3: Eixo Temático - As medidas e os Números Racionais 163 Anexo 4: Eixo Temático - Números Racionais: Significados 164
Introdução
Que relação um aprendiz pode ter com a Matemática? No excerto de “O diabo dos números” apresenta-se uma pequena história, na qual se oferecem algumas situações relacionadas à compreensão que possivelmente um aprendiz pode vivenciar com a matemática.
- Mas quem é você ? - Robert perguntou.
E o homem gritou numa altura que o surpreendeu: - Sou o diabo dos números!
Robert, porém, não estava disposto a se deixar perturbar por um anãozinho daqueles.
- Em primeiro lugar - disse - não existe nenhum diabo dos números. - Ah, é? E por que você está falando comigo, se eu não existo? - Em segundo lugar, odeio tudo o que tenha a ver com
matemática.
- E por quê?
- Se 2 padeiros fazem 444 rosquinhas em 6 horas, de quanto
tempo precisarão 5 padeiros para fazer 88 rosquinhas? Coisa mais idiota - Robert seguiu resmungando. - Um jeito estúpido de matar o
tempo. Portanto, desapareça! Caia fora!
Com elegância, o diabo dos números saltou de sua folha de azedinha e foi sentar-se ao lado de Robert, que, em sinal de protesto, se acomodou na grama alta como as árvores.
- De onde você tirou essa história das rosquinhas? Provavelmente
da escola.
- De onde mais poderia ser? Disse Robert. - O professor Bockel, um novato que dá aula de matemática para nós, está sempre com fome, embora já seja bem gordo. Quando ele pensa que não estamos vendo, porque estamos fazendo as contas que ele passa, ele tira escondido outra rosquinha da sua pasta. E devora a rosquinha enquanto nós
fazemos nossas contas.
- Tudo bem disse o diabo dos números com um sorrisinho irônico. - Não quero falar nada contra o seu professor, mas isso não tem nada a
ver com matemática. Sabe de uma coisa? A maioria dos matemáticos de verdade nem sabem fazer contas. E, além do mais, eles nem têm tempo para isso. Para fazer contas existem as calculadoras. Você não
tem uma?
- Tenho, mas não podemos usar na escola.
- Ah... Não tem importância. Um pouquinho de tabuada não faz mal a ninguém - disse o diabo dos números. Pode ser bastante útil quando a bateria acaba. Mas matemática, meu caro, é outra coisa bem diferente!
- Você está querendo me levar na conversa - disse Robert. - Não confio em você. E se você vier me passar tarefa até no meu sonho, eu começo a gritar. Isso é um desrespeito aos direitos da criança!1 .
Enzensberger ilustra o medo universalizado dos alunos pela Matemática, que a consideram, assim como Robert, o menino do pijama azul, aquela montanha de números sem sentido, aqueles cálculos que não servem para nada.
1
Acreditam que os números não são apenas monstruosos, mas também absurdos e inúteis.
A compreensão de Robert reforça uma visão fetichizada da Matemática, como se fosse possível compreendê-la liberta das imperfeições humanas, revelando-se, assim uma área de conhecimento difícil, acessível somente a mentes privilegiadas. O aluno que obtém êxito com facilidade nesse conhecimento, adquire, em seu meio, o reconhecimento de inteligente.
O ensino da Matemática, nesse sentido, pode ser suscetível de outras críticas ainda mais aprofundadas, dado ao vasto conteúdo que a compõe. A prática educativa denota um trabalho mecânico. Predomina o emprego de fórmulas e repetição de exercícios, sem que se dê ao aluno oportunidade para descobertas e compreensões dos conceitos envolvidos. O aluno se torna expectador deste saber e é levado a conceber a matemática numa dimensão reducionista, incompatível com sua natureza. Por isso, nas escolas, a matemática tem se assemelhado a um feixe de informações estáticas, porque é ensinada como saber indiscutível e, desse modo, distante da realidade do sujeito.
Não se duvida que o desejo dos educadores seja o de promover o aprendizado correto da matemática. Porém, a metodologia utilizada parece ser a mesma que caberia àquele que é um diletante da Matemática.
Também é certo que os professores, em sua maioria, desejam demonstrar para os alunos o verdadeiro sentido da aprendizagem da Matemática, mas continua, ainda, o grande desafio, que é o de despertar a curiosidade nos alunos para a relevância do seu significado. A metodologia pode proporcionar uma predisposição para aprendizagem, motivada pelo raciocínio lógico e pelo desejo de saber.
A compreensão das diversas dificuldades que se pode ter na aprendizagem da matemática é objeto de estudo de vários educadores. Por isso, busca-se, nesse trabalho, apresentar algumas daquelas que se encontram no ensino escolar dos Números Racionais2. O enfoque recai sobre a perspectiva voltada para a vivência do aluno, em que a experiência acumulada do dia-a-dia é um dado que deve ser considerado, sem deixar de lado as formalizações,
2
Entende-se por números racionais aqueles pertencentes ao conjunto dos números racionais – conjunto Q = {x | x = p/q; p∈Z e q∈Z*}.
representações, regras e técnicas, que devem ser trabalhadas em seu devido tempo.
Leva-se em conta, nesse trabalho, que as atividades e as situações problema são necessárias no caso dos números racionais, pois diferentemente dos números naturais3, que aparecem constantemente em situações vividas no cotidiano, eles, os racionais, não aparecem natural e espontaneamente no dia a dia dos alunos, senão em situações como uso das medidas, uso do dinheiro, aparelhos de calcular, quando na representação decimal e em situações simples, como por exemplo, no uso de metades, terças partes, quartos, quando na forma fracionária.
Assim sendo, o ensino da Matemática não poderia prescindir:
• Da aprendizagem dos números racionais nas suas duas representações: a representação fracionária (comumente chamada fração) e a representação decimal aos quais os alunos deveriam ser encorajados a explorar, desenvolver e discutir suas idéias.
• Da visão integrada dos números racionais em seus múltiplos significados e idéias.
• Do questionamento das metodologias, da relevância social/escolar dos conteúdos, da opção curricular como exercício, que amplia e enriquece as possibilidades de trabalho no ensino e aprendizagem desse campo numérico.
Os números racionais, considerados tanto na sua representação fracionária como na representação decimal, constituem conteúdos que engrossam as fileiras daqueles em que os alunos apresentam grandes dificuldades de aprendizagem. Esse ensino tornou-se objeto de críticas porque sua abordagem tem despertado pouco interesse no aluno, em parte devido ao insuficiente aproveitamento prático dos conteúdos e também pela forma como o programa vem sendo realizado, cuja aplicabilidade do aprendizado não encontra caminho na realidade do aluno.
Esse ensino tem se caracterizado como assunto demasiadamente difícil. Os alunos das escolas brasileiras, conforme demonstram as análises dos resultados dos exames do SAEB (Sistema de Avaliação do Ensino Básico) e
3
Entende-se por números naturais aqueles pertencentes ao conjunto dos números naturais – conjunto N = {1 ,2, 3, 4, 5, . . . } – ensinado aos alunos desde o início de sua educação formal.
SARESP (Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo) não são temas de simples assimilação.
Em virtude do exposto, o presente trabalho dissertará sobre os números racionais enfocando o uso escolar (como esses números são ensinados na escola) e o social (como eles são utilizados no cotidiano, no dia a dia), sem pretender, com isso, reduzi-los a apenas essas duas formas. Considerou-se que o enfoque dado ao uso social dos números racionais, no processo de aprendizagem escolar, consumaria uma educação focada tanto no saber pensar como no saber fazer. E por isso, a aprendizagem dos alunos transcorreria através de um processo mais simples, porque as dificuldades seriam menores nessa metodologia, e a prática, mais objetiva, porque os alunos teriam um campo maior de referência nas suas reflexões, pois há sempre equivalência entre o conceito construído e o fato observado.
O presente estudo, elaborado a partir de pesquisas bibliográficas, das análises de documentos oficiais e observação de avaliações do rendimento dos alunos estruturou-se em quatro capítulos.
No Capítulo 1 tornaram-se objetos de estudos os “erros” cometidos pelos alunos, nas provas aplicadas pelos órgãos oficiais. Observa-se, porém que as questões analisadas são aquelas que trabalham com o tema Números Racionais.
Lê-se no Capítulo 2 uma discussão polêmica, que é a do ensino dos Números Racionais. Aborda-se esse problema desde a sua representação fracionária, observando-se que há opiniões distintas entre os estudiosos, porque alguns defendem sua presença no currículo escolar e outros que optam sua possível extinção.
Nesse capítulo apresentam-se os obstáculos epistemológicos e didáticos detectados, que envolvem o ensino dos Números Racionais. São analisados os questionamentos havidos acerca das rupturas da passagem dos números naturais para os racionais, conforme menções constantes nos Parâmetros Curriculares Nacionais.
A investigação sobre a aplicabilidade social dos números racionais é observada porque se verifica que o ensino escolar não prima pela sua correlação,
visto que os livros didáticos se restringem, na maioria das vezes, ao uso escolar. Isso é ratificado, quando o professor se faz usuário apenas do livro didático.
Inclui-se nesse estudo a sugestão do uso da História da Matemática como um recurso válido para a facilitação do ensino dos Números Racionais. Os recursos tecnológicos são também considerados como mecanismos auxiliares do processo do ensino da Matemática e, conseqüentemente, dos Números Racionais.
O Capítulo 3 tem a finalidade de apontar uma trajetória de abordagem do tema: Números Racionais, conforme ocorreu seguindo-se as propostas oficiais do governo, apresentando, juntamente, os materiais usados para dar condições de suas implantações.
Os documentos oficiais apresentados são aqueles que se priorizou tendo em vista sua influência no sistema educacional, por exemplo: “Guias Curriculares propostos para as matérias do Núcleo Comum do Ensino do 1º Grau” da SEE/SP (de âmbito estadual), “Proposta Curricular para o Ensino de Matemática no Ensino de 1º Grau”, da SEE/SP (de âmbito estadual) e “Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática” do MEC (de âmbito nacional).
Consta, também da análise, com ênfase específica os documentos oficiais produzidos pela Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas (CENP), da Secretaria Estadual de Educação (SEE) de São Paulo, “Subsídios para a Implementação do Guia Curricular de Matemática”, “Atividades Matemáticas (AM)” e “Experiências Matemáticas (EM)”, destinados à prática docente.
No Capítulo 4 apresenta-se o ensino da Matemática contextualizado. Esse é um desafio possível ao professor, com a vantagem de que esse procedimento pode solucionar vários problemas com o ensino dos Números Racionais, como o de facilitar a compreensão dos alunos a problemas propostos. Assim sendo, apresentam-se diferentes tratamentos metodológicos relacionados aos Números Racionais, já recomendados pelas reformas curriculares havidas, porém, pouco verificadas. Os documentos oficiais selecionados para isso foram: “Subsídios para a Implementação dos Guias Curriculares de Matemática”, “Atividades Matemáticas”, “Experiências Matemáticas”, “Propostas Curriculares para o Ensino
de Matemática no Ensino de 1º Grau”. Apresentam-se, ainda, exemplos de recursos didáticos aplicados à aprendizagem dos Números Racionais.
Constam deste Capítulo as diferentes perspectivas e idéias que possivelmente explicitam os significados e os contextos nos quais os números racionais podem ser abordados, de modo a promover a aproximação entre os usos social e escolar.
Capítulo 1
1.1 Os erros revelados pelas avaliações feitas por órgãos oficiais nas
4ª, 7ª e 8ª séries, referentes ao conteúdo Números Racionais.
O desenvolvimento deste trabalho suscitou a verificação necessária do desempenho dos alunos nos exames de avaliação do SARESP, dos anos de 1996 e 1997, aplicados às 4a, 7a e 8a séries do Ensino Fundamental. Este estudo contém provas dos períodos diurno e noturno, da cidade de Marília (SP). Restringiu-se à cidade de Marília porque ela oferece parâmetro suficiente para generalização das conclusões pretendidas em relação à política educacional do Estado. A observação exclusiva das questões referentes aos números racionais deveu-se porque é objeto de estudo deste trabalho.
As fontes de dados utilizadas foram os relatórios feitos pelos especialistas da Secretaria da Educação de São Paulo, bem como os da Delegacia de Ensino de Marília4. Nesta última, participei como Assistente Técnico Pedagógico (ATP) e, nesta condição tive a oportunidade de envolver-me diretamente na elaboração dos relatórios regionais.
Além de comparar o aproveitamento e os tipos de erros nas duas análises, para efeito deste estudo, serão destacados os erros mais ocorrentes, bem como as dificuldades dos alunos com os números racionais, para que se possa refletir sobre:
o A natureza desses erros e dificuldades; o Suas possíveis procedências;
o Cotejar o desempenho dos alunos nas diferentes questões, tanto naquelas em que se focalizam mais os aspectos de linguagem e dos processos formais, bem como naquelas em que se privilegia um conhecimento referencial dos alunos, relativamente aos números racionais.
As prioridades apresentadas pelos educadores têm se distanciado sobremaneira de seus alunos e os baixos índices de rendimento verificados nas avaliações institucionais e externas, denotam a necessidade de uma mudança
4
Em 1996, a Instituição referida ainda era chamada de Delegacia de Ensino de Marília. Passou a denominar-se Diretoria de Ensino – Região de Marília, pelo Decreto nº 43.948, de 09/04/1999, do Governo de Estado.
urgente, para que o quadro que se configura hoje, possa apresentar resultados mais favoráveis.
1.2 Sistema de Avaliação Externa – As provas de Matemática
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo (SEE), desde 1992, instituiu o Programa de Avaliação Educacional da Rede Estadual, o qual vem sendo realizado através de avaliações, para se obter parâmetro do rendimento escolar e destes conceber elementos para a formulação de políticas educacionais.
Nessa ocasião foram avaliadas 306 escolas participantes do Projeto Escola-Padrão. 27.609 alunos de todas as 8a séries foram avaliados nos conteúdos de Português (incluindo Redação), Matemática, Ciências, História e Geografia, referentes a várias séries do Ensino Fundamental.
Em 1994, a SEE avaliou o rendimento dos alunos do conjunto da série em referência e não exclusivamente daqueles das Escolas-Padrão.
Assim, nesse ano, tomando por base a amostragem de 818 escolas, foram avaliados 152.279 alunos matriculados nas 4a e 8a séries. Os alunos das 4ª séries realizaram provas de Português (com Redação) e de Matemática. Os alunos da 8a séries, além das provas de Português (com Redação) e de Matemática, também foram avaliados em Ciências, História e Geografia.
Em 1996, a SEE implantou o Sistema de Avaliação e Rendimento do Estado de São Paulo (SARESP), com o objetivo de avaliar os alunos das 3ª séries nos componentes curriculares de Português (com Redação) e Matemática e das 7ª séries em Português (com Redação), Matemática, História, Geografia e Ciências, nos conteúdos respectivamente das séries anteriores.
Ficou determinado que esta prática de avaliação externa seria realizada a cada ano, preconizando aquilo que ficou estabelecido na Lei Federal nº 9.394/96, de 20/12/96, Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional, conhecida como Lei Darcy Ribeiro (ver anexo 2).
A implantação deste sistema de avaliação tomou como metodologia oferecer para as escolas, um relatório sistematizado dos resultados bem como das análises das questões, para que as escolas pudessem valer-se deles, para
reconhecer os pontos críticos do seu processo ensino–aprendizagem e reorganizar-se em seus planejamentos pedagógicos.
A SEE não deixou de aferir, nesta oportunidade, indicadores da eventual melhoria do desempenho de seus alunos.
Tanto em 1996 como em 1997, foram avaliados todos os alunos que freqüentavam as séries envolvidas: tratava-se, portanto, de uma avaliação de caráter censitário. Cada aluno foi avaliado em apenas um componente curricular, ou seja, parte dos alunos respondia à prova de Língua Portuguesa, parte à de Matemática, e assim por diante.
Em 1997, o principal objetivo do SARESP, documentado pelo material elaborado pela SEE e enviado a todas as Diretorias de Ensino e Escolas do Estado de São Paulo, era o de ampliar o conhecimento do perfil de realização dos alunos, fornecendo aos professores descrições dos padrões de desempenho alcançados pelo conjunto dos alunos de modo a subsidiar o trabalho a ser desenvolvido em sala de aula.
Levava-se em conta os seguintes pressupostos:
• a avaliação constitui um processo sistemático, gradativo e contínuo;
• o estabelecimento de uma cultura avaliativa no Estado de São Paulo subsidiaria as ações da SEE.
Tendo em vista que a avaliação é realizada, geralmente, no início do ano letivo, as provas dos alunos nas séries-alvo são baseadas em conteúdos abordados no ano anterior. Assim, em 1996, nas provas dos alunos das 3a e 7a séries continham conteúdos relativos ao Ciclo Básico (Projeto hoje extinto) e à 6a série.
Esta segunda avaliação do Sistema, realizada em 1997, seguiu, basicamente, a orientação da anterior, em termos das redes envolvidas e disciplinas enfocadas; alteram-se, contudo, as séries avaliadas envolvendo-se alunos das 4a e 8 a séries, também com provas baseadas em conteúdos tratados no ano letivo anterior (3a e 7a séries, respectivamente).
1.3. Análises de questões de avaliações externas.
Os resultados alcançados em 1992 mostraram, de modo geral, que os alunos apresentavam melhor desempenho nas questões de conhecimento matemático, cujas soluções limitavam-se ao emprego de técnicas operatórias. As dificuldades foram apresentadas nas questões que exigiram análise e interpretação.
A observação do problema presente na prova da 8ª série, transcrito abaixo, pode oferecer-nos subsídios para a reflexão sobre resolução de problemas, principalmente naquilo que se refere à validação de resultados e contextualização.
“Em um ônibus do exército cabem 36 soldados. Se 1128 soldados precisam ser transportados para um local de treinamento, quantos ônibus são necessários?”.
(C) 31,333... (78%)
(D) 32 (9,83 %)
?
correta Outras (12,17%)Moysés (1997. p.60), observa que Schoenfeld tratou desse problema em uma avaliação realizada nos Estados Unidos, na qual se pretendia reconhecer o aprendizado matemático dos alunos secundaristas.
De acordo com o resultado, 70% dos alunos realizaram a operação aritmética corretamente, porque dividiram 1128 por 36, e apresentaram o quociente de 31 e 12, como resto.
Em relação à questão, apenas 23% responderam corretamente a questão, afirmando que seriam necessários 32 ônibus. Os demais escreveram que o número de ônibus era 31 e sobravam 12 soldados.
Os resultados evidenciam um fenômeno que Moysés chamou de “encasulamento” ou “encapsulamento” dos conteúdos escolares. Trata-se do crescente isolamento dos conteúdos matemáticos trabalhados na escola em relação ao mundo que o rodeia. Verificaram-se respostas matematicamente “corretas”, mas desvinculadas de qualquer significado relacionado com a sua realidade.
O que Moysés evidencia como “encasulamento” ou “encapsulamento” Polya (1978. p. XII e XIII) trata como o quarto passo da resolução de um problema, que ele denomina de retrospecto e se presta a examinar a solução obtida. Nesse passo sugere que se façam as perguntas: É possível verificar o resultado? (validação de respostas). É possível chegar ao resultado por um caminho diferente? É possível perceber isto num relance? É possível utilizar o resultado, ou o método, em algum outro problema?
Esse problema também foi utilizado pela SEE na avaliação do rendimento escolar, com os mesmos dados, nas provas de 8a séries, em 1992, e verificou-se elevado índice de erro.
Foi apresentada uma alternativa em que se afirmava possível 31,333... ônibus, que é o resultado da operação de 1128 dividido por 36. Essa alternativa mais assinalada, apesar de matematicamente correta, não atendia à solicitação do problema que pretendia transportar soldados. O aluno deveria perceber que não existem 31,333... ônibus.
Nota-se aí a importância da observação feita por Moyses, com relação ao ensino de matemática defasado, em nossas escolas. Pois, neste prevalece a preocupação com regras, algoritmos e dispositivos práticos para resolução de problemas.
Segundo informes da própria SEE, no tocante às avaliações de Matemática, das 4ª séries, os resultados, de modo geral, desta avaliação revelaram que:
• Havia mais facilidade para resolver questões que envolviam operações com os números naturais, e mais dificuldade quando se tratava de problemas com números racionais.
Os resultados da avaliação das 8a séries indicaram, por sua vez, que os alunos:
• Apresentavam dificuldades na resolução de questões, que demandavam a compreensão de enunciados, a percepção dos conceitos envolvidos, a seleção de informações e a análise de situações-problema:
No Jornal Estado de São Paulo, em um artigo datado de 16/03/96, com o título “Teste do MEC constata precariedade do ensino no Brasil”, a redação era:
Brasília – Avaliação feita pelo Ministério da Educação em 124 mil alunos de 1º e 2º graus em todo o País confirmou a precariedade do ensino e suas conseqüências para o aprendizado. Nas provas de Matemática, que exigiam um conhecimento mínimo, o percentual de acerto não chegou a 50%. A média em Português (habilidade de leitura) foi de 60%. Entre estudantes da 2ª série do 2º grau, constatou-se índice de apenas 18% de acerto nos testes que exigiam resolução de problemas matemáticos.
Em 1996, tem-se como fonte para análise, os resultados obtidos nas diferentes provas aplicadas e as informações constantes nos relatórios das escolas, que remetem seus resultados para a Diretoria de Ensino realizar o seu relatório. Surge, daí, um resultado coletivo das escolas públicas estaduais de Marília. Todas as questões foram comentadas. Observa-se, porém, aqui, apenas aquelas que tratavam com os números racionais.
Como a prova de Matemática das 3a séries apresentava questões que abordavam aspectos específicos do Sistema de Numeração Decimal, Número Natural, Operações com Números Naturais, Geometria e Medidas e não continham questões específicas envolvendo diretamente os números racionais serão dispensados comentários, uma vez que não dizem respeito, diretamente, ao objetivo deste estudo.
Período Diurno
As provas das 7a séries aplicadas aos alunos do período diurno continham 30 questões, sendo que nove delas estavam relacionadas ao conteúdo Números Racionais, cujos comentários feitos pela SEE, serão transcritos na integra e comparados ao feito pela DERM (Diretoria de Ensino da Região de Marília).
De um total de 85.928 alunos que fizeram o exame a média de desempenho correspondeu a 31% de acertos, sendo a mediana e a moda equivalente a 30% de acerto, indicando uma distribuição tendendo à simetria, isto é, 50% dos alunos estão abaixo de 30% de acertos e o restante acima desse percentual. O desvio padrão de 2,98 mostrou uma certa homogeneidade no comportamento dos alunos avaliados em termos de dificuldades na resolução dos
itens da prova. O máximo de acerto obtido foi 30 (100%) e o mínimo equivaleu a 0 (0%). Sendo o limite superior estabelecido em 11 pontos (37%) e o inferior em 7 pontos (23%), pode-se inferir que 73% dos alunos não acertaram mais do que 37% da prova.
Período Noturno
As provas do período noturno também continham 30 questões como o diurno.
Os dados dessas provas referem-se a 38.035 folhas ópticas, de respostas, que puderam ser aproveitadas. A média de desempenho correspondeu a 28% de acertos, sendo a mediana e a moda equivalente a 27%, indicando uma distribuição praticamente simétrica, com 50% dos alunos atingindo menos de 9 pontos, em 30 possíveis. O desvio padrão de 3,05 mostrou pouca variabilidade entre os alunos avaliados frente às dificuldades na resolução dos itens. O máximo de acerto obtido foi 30 (100%) e o mínimo 0. Entre os 27% que conseguiram as melhores notas, a pontuação registrada foi de 20 a 30 pontos. Já para os estudantes de desempenho inferior (27%) as notas mantiveram-se entre O e 7 pontos. A maior parte dos alunos, cerca de 46% do total, acertaram apenas 8 ou 9 itens.
1.3.1 Análise do desempenho das 7ª séries, no SARESP/96
Estatísticas básicas da Prova de Matemática – Diurno e NoturnoEstatísticas Diurno Noturno
Nº de alunos 85.928 38.035 Média 9,26 (31%) 8,42 (28%) Moda 9 (30%) 8 (27%) Mediana 9 (30%) 8 (27%) Desvio padrão 2,98 3,05 Coeficiente de fidedignidade 0.40 0.40 Nº máximo de acertos 30 30 Nº mínimo de acertos 0 0 Limite superior 11-30 10-30 Limite inferior 0-7 0-7
As questões de nº 7 a 15, de ambas as provas, referiam-se aos Números Racionais e por isso foram selecionadas. Os organizadores preconizavam, com elas, a abordagem de problemas associados a situações do dia a dia. Pode-se verificar, no entanto, que tal associação não aconteceu, em boa parte das questões.
Questão 7
A figura apresentada mostra um trecho da reta numérica:
Os pontos A e B podem corresponder, respectivamente, aos números: (A) –1,3 e 8 1 (40%) (B) – 3 4 e 1,45 (13%) (C) – 3 4 e 1,8 (10%) * (D) – 5 2 e 1,8 (36%)
O exercício exigia a localização de dois números entre dois inteiros da reta numérica, o que pressupunha comparar números positivos e negativos expressos nas formas fracionária e decimal. Envolvia, portanto, a avaliação da capacidade de relacionar, comparar e ordenar números num contexto mais complexo.
Essa questão que tinha por objetivo localizar os números racionais na reta numérica, com um índice baixo de acertos de 10%, no âmbito estadual, e de 13%, no âmbito da Diretoria de Ensino – Região de Marília, revela que a mesma não recebeu o tratamento que sugere a Proposta Curricular:
... é importante que os alunos adquiram certa facilidade na representação de um número racional absoluto sob as duas formas, pois isso ajudará em seus cálculos, conforme o caso em questão5.
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Vale o comentário da própria SEE em seu documento “Parâmetros para a Avaliação Educacional – Matemática – 7ª Série” (material enviado às Diretorias antes da realização das provas):
No entanto, apesar de terem sido elaboradas há quase 10 anos, não foram assimiladas (“as Propostas”) pelo conjunto dos professores que ensinam Matemática em nossas escolas: alguns desenvolvem ainda em suas aulas apenas os aspectos mecânicos e/ou mnemônicos da Matemática.
Nesta questão houve um número elevado de alunos que optaram pela alternativa A. Pode-se inferir que tal resultado decorreu da associação que os alunos fizeram entre 1,8 e
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e, por extensão, concluíram que o ponto A, logo à esquerda do -1 correspondia ao -1,3.
Também se deve considerar que nessa questão, em que se evidencia mais o uso escolar dos números racionais, acarretou dificuldades por relacionar conhecimento simultâneo de números inteiros (negativos), forma fracionária e decimal dos números racionais, num mesmo problema. Embora o estabelecimento de relações entre fatos matemáticos deva ser a preocupação do professor, sabemos que essa prática não é costumeira no fazer cotidiano da escola, que, via de regra, trata os conteúdos de forma fragmentada.
Questão 8 O número 8 3 é igual a (A) 3,8 (83%) (B) 0,125 (4%) (C) 0,375 (10%) (D) 0,225 (3%)
A elevada concentração de respostas (erradas) na alternativa A evidencia que a grande maioria dos alunos não compreende as relações existentes entre a representação fracionária e a representação decimal de um número. Para aproximadamente 80% dos estudantes, três oitavos é igual a três inteiros e oito décimos. Esse tipo de resposta sugere que muito poucos estão habituados a traduzir em linguagem verbal os dados numéricos apresentados nas situações - problema, sendo igualmente
poucos os que adquiriram o habito de analisar a plausibilidade da alternativa selecionada como resposta à questão.
A questão de número 8, cujo objetivo é o de converter números racionais da forma fracionária para a decimal ou vice-versa, com 10% de acerto em âmbito estadual e 12% no âmbito da Diretoria de Ensino – Região de Marília, revelam dificuldades dos alunos nessas conversões.
Dez das vinte e seis escolas da região de Marília tiveram 0% de acerto nessa questão. Houve uma escola desse rol, com 0% de acertos na questão, que questionei aos professores os possíveis motivos do índice zero de acerto. Os professores alegaram que o índice deveu-se à pressa dos alunos em responder a prova. Pressa justificada para uma breve saída da sala de aulas.
Argumentei ainda que talvez esse erro não se verificasse pela pressa, mas sim pela convicção dos alunos de que
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seja igual a 3,8.
Conferindo, prova por prova, verificou-se que todos os alunos (num total de 30 alunos), nessa questão, apontaram a alternativa A (3,8) como a correta, confirmando o que se previra.
Questão 9
A figura mostra um bolo visto e dividido em 16 fatias iguais
Paulo comeu 4 fatias desse bolo, as quais aparecem destacadas na figura. A que porcentagem do total do bolo corresponde a parte que sobrou? (A) 80% (24%)
(B) 75% (20%)* (C) 65% (13%) (D)60% (42%)
A resolução deste item envolvia operar com frações, relacionar parte/todo e traduzir as relações estabelecidas em termos de porcentagem. Para solucionar o exercício os alunos deveriam compreender que 4 partes num total de l6 correspondem a
4 1
desse total e que a mesma fração, num todo igual a 100 corresponde a 25.
Além de associar partes de um todo a uma porcentagem (o que implica o conceito de proporcionalidade de grandezas) o problema envolvia a idéia do “complementar”, o que talvez auxilie a compreender porque, dentre as alternativas incorretas, a D tenha sido a mais atrativa.
Questão que apresentava como objetivo associar em gráfico uma porcentagem ou número racional a uma das partes teve como índice de acerto em âmbito estadual 20% e nas escolas da região de Marília 22%.
Foi considerada uma questão que apresentou dificuldade de resolução, evidenciando que os vários significados de fração não são considerados, dando-se ênfadando-se apenas à fração com o significado de parte-todo.
Esperava-se melhor rendimento para essa questão, pois a fração envolvendo a idéia de porcentagem é de largo uso social. Ilustra livros, jornais, televisão, anúncios, revistas, etc.
Questão 10
O valor dessa expressão é: (A) 1,35 (30%)
(B) 0,135 (27%) (C) 0,085 (16%) (D) 0,85 (26%) *
O item 10, que é predominantemente operacional, evidencia mais uma vez a dificuldade dos alunos com a lógica do ordenamento das operações, ou seja, com o sentido e o significado de cada operação. Além disso, a incidência de respostas nas alternativas B e C sugere que parcela significativa dos alunos experimenta dificuldades ainda maiores ao realizar operações com números decimais.
Com 26% no Estado e 25% na Região de Marília essa questão tinha o objetivo de resolver expressões com números racionais na forma decimal.
O que causa estranheza nesse resultado é que a maioria dos livros didáticos apresenta seus exercícios na forma “predominantemente operacional” (expressão usada no relatório da SEE), ou seja, em que predominam sentenças, expressões com operações matemáticas, desvinculadas de contextos significativos, contando com a preferência da maioria dos professores. Em virtude disso deveria ter melhor índice de acerto.
É uma questão que evidencia o aspecto escolar, pois nunca se encontrará situação similar no cotidiano dos alunos. Ainda que se trate de situação matemática que possa permitir uma ampliação do modo de pensar dos alunos consideramos que se trata de postura didática distante da vivência dos alunos e cuja formulação não tem aporte no processo de desenvolvimento cognitivo vivenciado pelos mesmos. Consolida o que se logrou denominar de obstáculo didático.
Questão 11
Um quilograma de manga custa R$ 4,30. Quanto devo pagar por 2,3 kg?
(A) R$ 9,89 (35%) * (B) R$ 9,79 (15%) (C) R$ 9,69 (26%) (D) R$ 9,59 (24%)
O baixo porcentual de acertos registrado neste item confirma os resultados (e o diagnóstico) do item anterior.
Apesar de não apresentar um resultado satisfatório (35%: Estado, 38%: Diretoria de Ensino), a questão 11, com o objetivo de aplicar operações fundamentais na resolução de problemas, com números racionais na forma decimal, já apresenta melhor quadro que a anterior, que também tratava com números nessa representação.
Isso evidencia que questão envolvendo situação-problema com elementos do cotidiano do aluno (uso do dinheiro, por exemplo) é mais bem sucedida em
seu resultado do que as colocadas na forma de exercícios. Deveria ter, na época, levantado questionamento na prática do professor.
Uma outra hipótese é que a questão teria melhor índice de acerto se colocada em um outro contexto, por exemplo, ao invés de 2,3kg se colocasse 2,5kg (dois quilos e meio poderia ter dado mais margem para acertos). Nesse caso a questão foi colocada de maneira errada.
Questão 12
Um aluno fez
3 1
da lição de Matemática na terça feira e
5 2
do restante na quarta-feira. Que fração da lição ele ainda não fez?
(A) 15 4 (18%) (B) 5 2 (21%) * (C) 5 3 (38%) (D) 15 11 (22%)
A atividade envolvia a aplicação de um conceito complexo e de difícil compreensão para a maioria dos estudantes: o da divisão de dois números fracionários. Não é surpreendente, portanto, frente ao desempenho observado na prova como um todo, que a porcentagem de acertos neste item não supere a casa dos 20%.
Com o mesmo objetivo da questão anterior, apenas mudando a forma de tratamento da fração que agora é fracionária, a 12ª questão teve índice de acerto igual, tanto em âmbito estadual como regional (21%).
Se se pensar em problemas que procuram retratar uma situação similar à que o estudante se depara em seu dia a dia, o resultado da questão realmente não é surpreendente, pois fazer um terço da lição de matemática num dia e dois quintos do restante num outro dia, não é que faça sentido para alguém.
“... Quando se precisou somar 3/5 com 7/8? Só pode ter sido na escola!”6.
6
Questão 13
Qual das seguintes afirmações é verdadeira? (A) 12 x (4 x 3) = (12 x 3) x 4 (18%)* (B) 3 x ( 5 1 – 3 1 ) = 3 x 5 1 – 3 1 (19%) (C) A metade de 4 1 igual a 4 1 : 2 1 (44%) (D)( 5 1 + 3 1 )2 = ( 5 1 )2 + ( 3 1 )2 (18%)
O objetivo desta questão era avaliar em que medida os estudantes são capazes de identificar as propriedades das operações com números racionais. Nesse sentido a solução do exercício poderia ser alcançada sem a realização de cálculos. A grande incidência de respostas (erradas) na alternativa C confirma a dificuldade do conceito de divisão de duas frações.
A análise dos resultados deste item autoriza, também, o seguinte comentário: Aproximadamente 20% dos alunos (percentual que corresponde aos que assinalaram a alternativa B) não leva em consideração o fato de que as operações dentro do parênteses devem ser realizadas em primeiro lugar.
Visto o que se observa acima e juntamente se analisa os índices de acertos registrados pela SEE e pela Diretoria de Ensino, vê-se que as dificuldades dos alunos se aproximam (18% e 20% respectivamente), porque podem cometer os mesmos erros.
Também se pode indagar acerca do descaso no ensino das propriedades das operações com números naturais, pois se os alunos tivessem se apropriado delas, ao ler a 1ª alternativa (A), que apresenta propriedades operatórias apenas com os naturais, dispensariam o conhecimento de propriedades e de cálculo com números racionais das demais alternativas, já que a alternativa (A) era a correta. Questão 14
Considerando-se o valor da expressão (
5 4 – 50 33 ) : 5 21 , encontra-se (A) 15 4 (26%) (B) 5 1 (24%) (C) 15 2 (28%) (D) 30 1 (22%) *
Para selecionar uma das alternativas, descartando-se, nesse processo, o comportamento de escolha ao acaso, era necessário simplificar os cálculos, apoiando-se nas propriedades operatórias dos números. Os resultados sugerem que apenas 20% dos alunos foram capazes de identificar essa possibilidade, utilizando, corretamente, esse conhecimento.
Os índices de acertos entre Estado e municípios de Marília, respectivamente, 22% e 23%, foram bastante aproximados e o objetivo dessa 14ª questão era de utilizar, em cálculos, as propriedades operatórias dos números racionais.
Mesmo que o objetivo seja o da utilização de cálculos das propriedades operatórias, não se justifica a presença de frações com numeradores e denominadores com números elevados (21, 33, 50). Observa-se, com isso, uma valorização das operações pelas operações, por isso não se atenta para a ordem dos números envolvidos, nem há preocupação com o tipo de frações usadas socialmente. Questão 15 Escrevendo-se os números – 5 2 , -3 2 , 4 3 e 3 2
em ordem crescente tem-se
(A) – 5 2 ,-3 2 , 3 2 , 4 3 (33%) (B) – 5 2 , -3 2 , 4 3 , 3 2 (22%) (C) -3 2 , – 5 2 , 3 2 , 4 3 (35%) * (D) -3 2 ,– 5 2 , 4 3 , 3 2 (11%)
Neste item os alunos deveriam comparar os números racionais na forma fracionária, colocando-os em ordem crescente. O exercício revelou ser de dificuldade mediana (35,1 % assinalaram a alternativa correta) e a elevada concentração de respostas na alternativa A sugere que a principal dificuldade está associada à comparação/ordenação de números negativos. Para efeitos de diagnóstico, os resultados obtidos nesta questão podem ser comparados com os que foram alcançados no item 7.
Com o objetivo de usar propriedades para comparar números racionais na forma fracionária, essa questão teve 35,1% de acerto no âmbito de Estado e 38% no âmbito da Diretoria de Ensino – Região de Marilia.
Lê-se no comentário dos responsáveis pelo Relatório dos Resultados (SEE) que “O exercício revelou ser de dificuldade mediana...”, o que retrata um melhor desempenho se comparado às dificuldades detectadas nas questões anteriores. Pode concluir-se que há maior destreza dos alunos nesse tipo de questão, em virtude dos aspectos enfatizados no ensino das frações da escola, conforme mencionadas anteriormente, que ao uso social das mesmas.
Período Noturno
Os resultados da prova de Matemática do noturno foram obtidos de 38.035 alunos. A média de desempenho correspondeu a 28% de acertos, sendo a mediana e a moda equivalentes a 27%, indicando uma distribuição praticamente simétrica, com 50% dos alunos atingindo menos de 9 pontos em 30 possíveis. O desvio padrão de 3,05 mostrou pouca variabilidade entre os alunos, quando comparados às dificuldades apresentadas na resolução dos itens. O máximo de acerto obtido foi 30 (100%) e o mínimo 0. Entre os 27% que conseguiram as melhores notas, a pontuação registrada foi de 20 a 30 pontos. Já para os estudantes de desempenho inferior (27%) as notas mantiveram-se entre O e 7 pontos. A maior parte dos alunos, cerca de 46% do total deles, acertaram apenas 8 ou 9 itens.
Abaixo, estão apresentadas as questões de nº 7 a 15; como no diurno, referem-se ao tema Números Racionais.
Questão 7
Nessa figura, qual é o ponto correspondente ao número
5 12
(A) N (14%) (B) P (37%) (C) Q (28%) * (D)R (21%)
Objetivo: Representar números racionais na reta numérica.
A atividade envolvia a transformação de número racional da forma fracionária para a decimal e, além disso, que os alunos percebessem que as marcas entre os inteiros assinalam intervalos de 0,2.
O item revelou ser difícil para a maioria dos estudantes, sendo possível distinguir, entre as alternativas incorretas, dois tipos de erros: o primeiro representado pela escolha da alternativa D, que pode estar associado a uma contagem incorreta das marcas entre os inteiros, induzida, talvez pela associação desses intervalos ao valor 0,1. O segundo, correspondendo à seleção das alternativas A e B, sugere a presença de dificuldades de natureza conceitual relacionadas com a transformação de frações em decimais e/ou com a leitura e interpretação dos números racionais.
Essa questão teve o índice de acerto igual a 28% no Estado. O índice da Diretoria de Ensino – Região de Marília foi de 30%.
Essa questão era similar à de número 7 da prova do noturno. Tinha o mesmo objetivo, ou seja, o de representar números racionais na reta numérica. Essa questão obteve melhor desempenho no noturno, com 28%, que no diurno, com 10%, no âmbito estadual. Talvez esse resultado tenha sido motivado pela representação do próprio número, que permitiu uma associação mais imediata da forma decimal e, também, devido a sua configuração na reta numérica.
Questão 8 (A) 8 5 = 0,625 (10%)* (B) 0,2 = 4 1 (13%) (C) 1,25 = 2 3 (10%) (D) 4 3 = 3,4 (66%)
Objetivo: Converter números racionais da forma fracionária para a decimal ou vice-versa.
O baixo percentual de acertos (cerca de 10%) e a elevada concentração de respostas na alternativa D (aproximadamente 65%) evidenciam, de forma inequívoca, a necessidade dos professores retomarem este conteúdo com os estudantes da 7ª série, incluindo-se nesse trabalho de apresentação e/ou desenvolvimento de conceitos tanto os alunos do período diurno como aquele do período noturno.
Essa questão merece uma reflexão mais atenta, visto que o percentual de acertos relativo ao desempenho dos alunos das 7ª séries, do curso noturno, tanto do Estado (10%), quanto das escolas da Região de Marília (13%), revela um baixo rendimento.
Das 23 escolas da Região de Marília, 11 obtiveram 0% de acerto (aproximadamente 48%) nessa questão. Houve elevado número de alunos indicando a alternativa D como correta. O relatório alertava que 66% dos alunos do curso noturno, com suposta maturidade na vida de trabalhador acreditavam que
4 3
= 3,4. Como o conteúdo Números Racionais é ensinado desde as séries
iniciais e que a expressão
4 3
tem largo uso social (canos de
4 3 de polegada, ferramenta de 4 3 de polegada, 4 3
partes da superfície do globo terrestre é de água, etc.), há que se fazer uma reflexão sobre seu ensino, observando como os alunos aprendem determinadas expressões e depois raciocinam sobre elas, induzindo-os, às vezes, ao erro.
Questão 9
A região assinalada corresponde a que porcentagem do círculo?
(A) 30% (50%) (B) 35% (25%)
(C) 37,5% (16%)* (D) 42,5% (8%)
Objetivo: Associar num gráfico de setor, uma porcentagem ou número racional a uma das partes.
A resolução do exercício pressupõe que o aluno: compreenda que cada uma das 8 partes corresponde a 12,5 num total de 100 e seja capaz de interpretar corretamente esse tipo de representação gráfica. O item revelou ser difícil para a maioria dos estudantes avaliados, registrando-se uma elevada porcentagem de respostas na alternativa A, evidenciando que aproximadamente 50% dos alunos associam 3 partes à idéia de 30%.
Nas escolas da Região de Marília o percentual de acerto também foi baixo, 17%.
O conteúdo relacionado à “porcentagem” faz parte do dia–a-dia. Esperava –se que o estudante, principalmente do curso noturno, fosse capaz de realizar uma reflexão sobre esse assunto, na oportunidade, no sentido de uma retomada, já que gráficos representando porcentagens são freqüentes em jornais, revistas, propagandas de lojas, televisão, anúncios, “outdoors”, etc... e assim sendo, obtivessem melhor resultado.
A tendência a compreender o todo como grandeza discreta faz com que o aluno (mesmo sem checar que não há 10 partes) associe uma parte a 10% e escolha a alternativa A. Neste sentido, a questão também induz ao erro do aluno, embora revele, também, indícios de nenhuma compreensão do conceito de frações e de relações que se pode estabelecer entre os seus termos.
Questão 10
Qual é o valor da expressão 0,2 x 0,96 - 0,104? (A) 1,816 (13%)
(B) 1,712 (22%) (C) 0,088 (47%) * (D) 0 ,064 (18%)
Objetivo: Resolver expressões com números racionais na forma decimal.
A porcentagem de acertos indica tratar-se de um item mediano em termos de dificuldade. A análise da distribuição das respostas pelas alternativas permite ressaltar o seguinte: os que assinalaram a alternativa A
(12,8% do total de alunos) erraram na colocação da vírgula ao efetuar a multiplicação de 0,96 por 0,2, o que não deixa de ser inquietante, tratando de conteúdo trabalhado desde a 4ª série. Para os que assinalaram as alternativa B e D é possível supor o seguinte: ou sinalizaram essas respostas ao acaso, ou não conseguem identificar corretamente as operações a serem realizadas com os números apresentados na expressão, diagnóstico este muito provável e igualmente preocupante.
Com acerto de 47%, no Estado e 41% na Região de Marilia, essa questão, cujo objetivo era o de resolver expressões com números racionais na forma decimal, apresentou dificuldade mediana de resolução.
Essa questão foi acometida pelo mesmo problema que se ressalva na mesma questão da prova do diurno, que os livros didáticos, na sua maioria apresentam exercícios dessa forma. Deve-se observar, porém que tais livros têm a preferência da maioria dos professores. É provável que esse conhecimento prévio proporcionado pelo uso dos livros didáticos e que a maioria dos alunos do período noturno pertence à classe trabalhadora, sejam os motivos do melhor desempenho nessa questão, que nas anteriores. O aluno trabalhador lida freqüentemente com somas e subtrações de números decimais, através de dinheiro, medida e outras grandezas. Há que se ressalvar que essa questão embora evidencia amplo uso escolar, pouca chance há para encontrá-la no cotidiano dos alunos, em situação similar.
Questão 11
Comprei um pacote de queijo fatiado no supermercado. A etiqueta do pacote informava que a quantidade de queijo era 0,350 kg e o seu preço era R$ 1,82. Qual o preço de um quilograma desse queijo?
(A) R$ 4,60 (30%) (B) R$ 4,80 (29%) (C) R$ 5,00 (15%) (D R$ 5,20 (26%) *
Objetivo: Aplicar as operações fundamentais na resolução de problema envolvendo números racionais na forma decimal.
A atividade solicitava a resolução de uma situação - problema muito comum no cotidiano das pessoas. O percentual de acertos
neste item sugere que a grande maioria sente dificuldades na identificação da operação a ser realizada ou comete erros ao realizar os cálculos necessários para chegar à resposta correta.
A compra de produtos em supermercado é uma “situação-problema muito comum no cotidiano das pessoas”, por isso é de se estranhar esse baixo percentual de acerto (26%, tanto em âmbito estadual como regional). Esperava-se índice mais elevado.
Como essa questão pertence realmente ao dia a dia do aluno e o professor é responsável pela formação escolar deste cidadão e o mesmo se vê constantemente envolto em situações similares, sugere-se uma revisão na sua metodologia de ensino.
Conclui-se que embora seja do cotidiano do aluno há que se fazer um trabalho mais cuidadoso no âmbito escolar. Para isso é importante transcrever a ressalva que os Parâmetros Curriculares Nacionais fazem em relação à interpretação da idéia de “cotidiano”.
“Outra distorção perceptível refere-se a uma interpretação equivocada da idéia de “cotidiano”, ou seja, trabalha-se apenas com o que se supõe fazer parte do dia–a–dia do aluno. Desse modo, muitos conteúdos importantes são descartados ou porque se julga, sem uma analise adequada, que não são de interesse para os alunos, ou porque não fazem parte de sua realidade, ou seja, não há uma aplicação prática imediata . Essa postura leva ao empobrecimento do trabalho, produzindo efeitos contrários ao de enriquecer o processo ensino-aprendizagem”
(PCN, p. 25 e 2).
Questão 12
Maria começou a ler um livro que tem 96 páginas. Leu
6 1
do
número de páginas em um dia e
5 3
das páginas restantes no dia seguinte. Quantas páginas ainda faltam para ela ler o livro todo?
A) 30 (24%) (B) 32 (32%) * (C) 46 (27%) (D) 48 (17%)
Objetivo: aplicar as operações fundamentais na resolução de problema envolvendo números racionais na forma fracionária.
O exercício demandava cálculo de fração de número inteiro, envolvendo raciocínios que pressupunham encadeamento de raciocínios e operações. O percentual de acertos (32%) surpreende positivamente, face ao nível de realização alcançado nos demais itens da prova.
Com o objetivo de aplicar as operações fundamentais na resolução de problema, envolvendo números racionais na forma fracionária, a questão 12 obteve 32% de índice de acerto no âmbito estadual e 33% no regional de Marília.
Segundo comentário acima o percentual de acertos (32%) surpreende positivamente, mas se pensarmos em termos de contextualização, o problema nada tem a ver com o cotidiano do aluno, pois ler
6 1 do total de páginas de um livro em um dia e 5 3
do restante de páginas no dia seguinte é algo que surpreende as expectativas. D’Ambrósio assevera em relação a este uso especulativo dos números racionais quando comenta que “Um exemplo chocante de um troço sem serventia alguma: operações com frações. Leva-se tempo enorme no ensino do mínimo múltiplo comum..”7
Questão 13
Uma das sentenças abaixo é FALSA. Qual é? (A) 72 : (0,4 : 0,02) = 72 : 0,4 : 0,02 (14%) * (B) 2,741 : 0,003 = 2741 : 3 (31%)
(C) 6 x 78 + 4 x 78 + 5 x 78 = 15 x 78 (33%)
(D) -71 -32 + 51 -80 +21 = 51 + 21 -71 -32 -80 (21%)
Objetivo: Identificar as propriedades operatórias dos números racionais.
A formulação do item pressupunha que os alunos identificassem a resposta correta analisando os termos das igualdades presentes nas alternativas, o que, por sua vez, demandava a aplicação das propriedades operatórias dos números. O percentual de acertos (14%) pode ser atribuído à dificuldade inerente aos conceitos implícitos na solução da tarefa, mas é possível afirmar, também, que o formato de apresentação do item representou um complicador desnecessário.
7
A questão acima com 14% percentuais de acerto no âmbito estadual e 12% na Diretoria de Ensino – Região de Marília. Ela foi reconhecida pelos elaboradores do Relatório Final da 1ª Avaliação do SARESP, em 1996, que o percentual de acertos (14%) deveu-se à dificuldade inerente à compreensão de conceitos implícitos na solução da tarefa. Outro fator que dificultou a interpretação do problema foi o formato de apresentação do item que continha complicadores desnecessários.
Junte a esse rol de dificuldades um outro, que é a solicitação do problema, a de encontrar a alternativa falsa. Identificar a alternativa falsa é um exercício menos proveitoso para o aprendizado que saber identificar a correta. O que se espera do aluno, quando se propõem atividades intelectuais é que adquira conhecimentos válidos (conhecer o que é correto). Espera-se que o aluno saiba fazer transferências de conhecimentos adquiridos para outras situações problema. O ideal é transferir o certo e não o errado ou duvidoso.
Questão 14
Simplificando a expressão
Chega-se a uma das expressões:
Objetivo: Utilizar as propriedades operatórias dos números para simplificar a realização de cálculos.
A dificuldade em utilizar com segurança os cancelamentos possíveis talvez possa explicar o percentual de acertos inferior a 10%. Adicionalmente, a elevada concentração de respostas na alternativa C (64%) sugere que a maioria foi atraída por esta resposta porque
7 397 21000 71 397 42000 x x −
( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
13%)
7 1 2 71 % 64 397 7 71 21 42 397 % 15 7 71 1 2 1 * %) 8 ( 7 1 x (-71) x 2 x D x x C x x B A − − −reconheceu, de imediato, a possibilidade de simplificação representada pela divisão por 1000, mas não percebeu (ou desconsiderou) que houve a troca de posição dos numeradores com os denominadores.
Essa foi a questão com pior aproveitamento no Estado, 8% de acertos. A Diretoria de Ensino – Região de Marília logrou 14%.
Se o objetivo da questão era “utilizar as propriedades operatórias dos números para simplificar a realização de cálculos”, a troca de posição entre os numeradores e denominadores apresentou-se como uma “armadilha” para o aluno, que não pode evitar o erro.
Essa questão será analisada nas Considerações Finais como exemplo de atividade desnecessária para o aprendizado do aluno.
Questão 15.
Colocando esses números em ordem crescente, é verdade que:
Objetivo: Usar a propriedade para comparar números racionais na forma fracionária.
O exercício exigia a comparação de números fracionários e a verificação de sua apresentação na ordem crescente. Os resultados indicam um percentual de acertos de aproximadamente 50% o que permite classificar a questão como mediana em termos de dificuldade, no entanto, o baixo índice de discriminação do item, associado à forma de disposição dos numeradores nas alternativas, faz supor que tenha havido incidência de acertos ao acaso.
Com o objetivo de usar propriedades para comparar números racionais na forma fracionária, essa questão teve 49% de acertos no Estado e 50% na região de Marília.
O aluno pode ter acertado errando, ou seja, adotou como critério para escolha da alternativa a ordem crescente dos numeradores (
2 13 4 3 3 2 5 1< < < ).
