UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação
Vanessa Silva Pereira Araujo
Análise e Controle de Sistemas Lineares Híbridos
Sujeitos a Saltos Markovianos
Campinas
2019
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação
Vanessa Silva Pereira Araujo
Análise e Controle de Sistemas Lineares Híbridos Sujeitos a
Saltos Markovianos
Dissertação apresentada à Faculdade de Enge-nharia Elétrica e de Computação da Univer-sidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestre em Engenharia Elétrica, na Área de Automação.
Orientador: Prof. Dr. Matheus Souza
Este exemplar corresponde à versão final da dissertação defendida pelo aluno Vanessa Silva Pereira Araujo, e orientada pelo Prof. Dr. Matheus Souza
Campinas
2019
Ficha catalográfica
Universidade Estadual de Campinas Biblioteca da Área de Engenharia e Arquitetura
Rose Meire da Silva - CRB 8/5974
Araujo, Vanessa Silva Pereira,
Ar15a AraAnálise e controle de sistemas lineares híbridos sujeito a saltos
Markovianos / Vanessa Silva Pereira Araujo. – Campinas, SP : [s.n.], 2019.
AraOrientador: Matheus Souza.
AraDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação.
Ara1. Markov, Processos de. 2. Sistemas lineares. 3. Sistemas híbridos. 4. Teoria do controle. I. Souza, Matheus, 1990-. II. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: Analysis and control of Markov jump hybrid linear systems Palavras-chave em inglês:
Markov, processes of Linear systems Hybrid systems Control theory
Área de concentração: Automação Titulação: Mestra em Engenharia Elétrica Banca examinadora:
Matheus Souza [Orientador] Alim Pedro de Castro Gonçalves Luz Adriana Alvarez Toro
Data de defesa: 30-08-2019
Programa de Pós-Graduação: Engenharia Elétrica
Identificação e informações acadêmicas do(a) aluno(a)
- ORCID do autor: https://orcid.org/0000-0001-7106-0199 - Currículo Lattes do autor: http://lattes.cnpq.br/7037615991233134
COMISSÃO JULGADORA – DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
Candidato: Vanessa Silva Pereira Araujo RA: 036377
Data da Defesa: 30 de agosto de 2019
Título da Dissertação: “Análise e Controle de Sistemas Lineares Híbridos Sujeitos
a Saltos Markovianos”.
Prof. Dr. Matheus Souza (Presidente)
Profa. Dra. Luz Adriana Alvarez Toro
Prof. Dr. Alim Pedro de Castro Gonçalves
A ata de defesa, com as respectivas assinaturas dos membros da Comissão
Julgadora, encontra-se no SIGA (Sistema de Fluxo de Dissertação/Tese) e na
Secretaria de Pós-Graduação da Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação.
Dedico ao Papai e Mamãe. Familiares e amigos que me apoiaram .
Agradecimentos
A Deus, que sempre me concedeu condições para continuar os estudos mesmo pas-sando por tratamento de saúde.
Aos meus pais que sempre me apoiaram e me incentivaram mesmo sem conhecer os caminhos que trilharia. Obrigada pela confiança!
Aos meus amigos de faculdade que entram, saem e que ficam na minha vida acadê-mica e particular, deixando enormes saudades e grandes aprendizados. Agora preciso traba-lhar para ter dinheiro e visitar todos.
Aos queridos e especiais professores que tive a honra de ter na faculdade e de querer ser tão boa profissional quanto eles.
Às minhas grandes amigas de república. Pela convivência tao boa que sempre tivemos e acabamos por formar nossa família longe de nossos lares. Amo vocês meninas! Obrigada pela parceria.
Aos meus colegas de laboratório e grandes amigos Rafael Martins , Lucas, Mateus, Rafael e Tiago, pela incrível convivência e ajuda nos momentos de dúvidas. A todos os docentes e funcionários da FEEC, por sua contribuição e colaboração na minha formação. Aos colegas de CEPROCAMP, que sempre me apoiam e tem um ombro amigo para oferecer em momentos difíceis e conturbados. Obrigada pela "comissão do bem estar.
Aos meus queridos alunos que tenho o prazer de me aproximar e poder contribuir com seus projetos de vida e me mostram que é muito bom ser professora.
Não posso deixar de agradecer aos membros da banca examinadora desta dissertação. Suas sugestoes e observações contribuíram muito para a versão final deste trabalho. Muito obrigado por tudo.
Ao Professor e amigo Matheus Souza, que conheci na minha primeira tentativa de pós graduação, por quem tenho uma admiração gigantesca tanto profissionalmente quanto pessoalmente. Obrigada pela orientação neste trabalho.
O presente trabalho foi realizado com apoio do CNPq, Conselho Nacional de Desen-volvimento Científico e Tecnológico - Brasil.
“Plante seu jardim e decore sua alma, ao invés de esperar que alguém lhe traga flores. E você aprende que realmente pode suportar, que realmente é forte, e que pode ir muito mais longe depois de pensar que não se pode mais. E que realmente a vida tem valor e que você tem valor diante da vida!“ (William Shakespeare.)
Resumo
Neste trabalho, apresentamos um modelo de sistema linear híbrido sujeito a saltos Marko-vianos. Desenvolvemos condições suficientes de estabilidade e de desempenho, assim como condições de projeto de controladores dependentes do modo via realimentação de estado para tais sistemas. Simulações numéricas validam a teoria desenvolvida.
Palavras-chaves: Sistemas Sujeitos a Saltos Markovianos; Sistemas Lineares; Sistemas
Abstract
In this work, we present a hybrid Markov jump linear system model. We devise sufficient con-ditions for stability and performance, together with mode-dependent state-feedback control design conditions for such systems. Numerical experiments validate the developed theory.
Keywords: Markov Jump Systems; Linear Systems; Hybrid Systems; Control Theory; ℋ∞
Sumário
1 Introdução . . . . 11
1.1 Notação . . . 12
1.2 Organização da Dissertação . . . 12
2 Fundamentos . . . . 14
2.1 Sistemas Dinâmicos Lineares Invariantes no Tempo . . . 14
2.2 Realimentação de Estado e Regulador Linear Quadrático . . . 16
2.3 Sistemas sujeitos a Saltos Markovianos a Tempo Contínuo . . . 17
2.4 Sistemas sujeitos a Saltos Markovianos a Tempo Discreto . . . 21
3 Apresentação do Problema . . . . 26
4 Resultados Principais . . . . 29
4.1 Estabilidade e Custo Quadrático . . . 29
4.2 Estabilização via Realimentação de Estado . . . 35
5 Conclusões e Comentários Finais . . . . 44
Conclusão . . . . 44
Referências . . . . 45
11
1 Introdução
Sistemas híbridos e sistemas com saltos são modelos dinâmicos frequentemente ado-tados na literatura para descrever fenômenos que apresentam variações abruptas em seu comportamento (GOEBEL; SANFELICE, 2012; ICHIKAWA; KATAYAMA, 2001; SHOR-TEN et al., 2007). Usualmente, tais variações se apresentam de duas formas: ora são trocas entre modos de operação do sistema, ou seja, são chaveamentos entre dois subsistemas; ora são saltos (ou descontinuidades) no estado. De qualquer forma, ambas combinam elementos de dinâmicas a tempo contínuo e a tempo discreto.
Diversas aplicações práticas apresentam alguma dessas naturezas. Com efeito, po-demos citar os circuitos chaveados utilizados na eletrônica de potência (SUN; GE, 2005), as arquiteturas de controle baseadas em gain scheduling (LEITH; LEITHEAD, 2000), sistemas de controle com falhas de atuadores ou de sensores (GONÇALVES et al., 2012) e sistemas de controle amostrado e em rede (ICHIKAWA; KATAYAMA, 2001; SOUZA et al., 2013; GEROMEL; SOUZA, 2015), entre outras. Para muitas destas aplicações, uma abordagem determinística pode ser adotada e, neste caso, temos um problema clássico de sistemas cha-veados. Em outras situações, no entanto, as variações abruptas são induzidas por processos aleatórios e, portanto, um tratamento estocástico deve ser considerado. É neste segundo caso que surgem os sistemas sujeitos a saltos Markovianos (MJS) (COSTA et al., 2006; COSTA
et al., 2013a).
Um MJS 𝒮 é um sistema dinâmico composto de 𝑁 subsistemas 𝒮1, · · · ,𝒮𝑁, que
representam os seus diferentes modos de operação, e de uma variável aleatória 𝜃(𝑡) que indica o modo de operação do sistema em algum instante de tempo 𝑡, ou seja, 𝜃(𝑡) = 𝑖 se o subsistema 𝒮𝑖 definir a dinâmica de𝒮 no instante 𝑡. Assim, a dinâmica de 𝒮 é fortemente dependente
dos saltos da variável 𝜃, que são determinados segundo uma Cadeia de Markov, ou seja, o conhecimento do modo atual da cadeia é suficiente para determinar as probabilidades de salto para o próximo modo. Finalmente, se os subsistemas de 𝒮 forem lineares, então 𝒮 é um sistema linear sujeito a saltos Markovianos (MJLS1).
Neste trabalho, estamos particularmente interessados em um modelo que combine as duas naturezas híbridas descritas acima: chaveamentos entre modos de operação e saltos no estado. Mais especificamente, abordamos sistemas lineares sujeitos a saltos Markovianos
Capítulo 1. Introdução 12
híbridos, ou seja, os chaveamentos são determinados por uma cadeia de Markov. Esta cadeia de Markov também é, de certa forma, híbrida, como está detalhado na próxima seção. Acre-ditamos que este tipo de sistema possa servir para modelar situações comuns em sistemas de controle em rede, que combinam elementos de amostragem e de perdas de pacote ou falhas de atuadores. Os resultados apresentados aqui envolvem a análise e o controle de tais sistemas, considerando tanto a sua estabilidade quanto a sua norma ℋ∞.
Um tratamento geral dos sistemas sujeitos a saltos Markovianos é dado em (COSTA
et al., 2013b; COSTA et al., 2006). MJLSs 2 híbridos são analisados em poucas referências na literatura, como em (GABRIEL et al., 2018), no contexto de sistemas amostrados. No entanto, no melhor conhecimento dos autores, não há, na literatura atual, trabalhos que analisem a estrutura proposta aqui.
1.1
Notação
Os símbolos R, R+ e N correspondem, ao conjunto dos números reais, reais
não-negativos, números naturais, respectivamente. Definimos, também, os intervalos discretos ⟨𝑛,𝑚⟩ , {𝑘 ∈ N : 𝑛 ≤ 𝑘 ≤ 𝑚}, ⟨𝑛⟩ = ⟨1,𝑛⟩ e, por simplicidade, 𝑚 + ⟨𝑛⟩ = ⟨𝑚 + 1,𝑚 + 𝑛⟩. Para matrizes ou vetores reais, (T) se refere ao seu transposto. A norma euclidiana de um
vetor 𝑥 ∈ R𝑛 é denotada por ‖ · ‖. Para matrizes simétricas, (⋆) denota o bloco simétrico e 𝑋 > 0 (𝑋 ≥ 0) indica que a matriz é (semi-)definida positiva. Ainda para matrizes simétricas, 𝜆min(·) e 𝜆max(·) denotam os seus valores próprios mínimo e máximo. O cone
das matrizes definidas positivas de ordem 𝑛 é denotado por S𝑛
+. Para uma matriz quadrada
𝑋 ∈ R𝑛×𝑛, definimos He(𝑋) = 𝑋 + 𝑋T. O operador esperança matemática é representado
por ℰ [·] e 𝒫(·) é a probabilidade de ocorrer o evento (·). Para um sinal a tempo contínuo
𝑥 : R+ → R𝑛, usaremos a notação 𝑥(𝑡+) = lim𝛿→0+𝑥(𝑡 + 𝛿) e 𝑥(𝑡−) = lim𝛿→0−𝑥(𝑡 − 𝛿). Seja
𝑓 (𝑋(𝑡)) uma função qualquer, então o gerador infinitesimal de 𝑋(𝑡) aplicado a 𝑓 será dado
por ℒ 𝑓(𝑋(𝑡)) = limΔ→0+ℰ [︁𝑓 (𝑋(𝑡+Δ))−𝑓 (𝑋(𝑡)) Δ ]︁ .
1.2
Organização da Dissertação
A organização da dissertação está estruturada da seguinte forma:
Capítulo 2: Neste capítulo, apresentamos conceitos matemáticos básicos que serão
fundamentais para o desenvolvimento dos principais resultados deste trabalho.
Capítulo 1. Introdução 13
Capítulo 3: Apresentamos o sistema linear sujeito a saltos Markovianos, assim como
suas matrizes de probabilidades de transição associada a cada conjunto de modos contínuos e discretos.
Capítulo 4: Principais resultados desenvolvidos para o modelo proposto tais como
condições de análise da estabilidade, desempenho quadrático e estabilização via realimentação de estado deste tipo de sistema linear. Exemplo numérico ilustrando os principais aspectos da teoria desenvolvidas nos demais capítulos.
Capítulo 5: Finalizamos descrevendo as principais conclusões e as perspectivas para
14
2 Fundamentos
O objetivo deste capítulo é estabelecer os conceitos matemáticos básicos sobre os quais trabalharemos em seguida. Iniciamos esse capítulo discutindo resultados clássicos de análise e de controle de sistemas lineares e invariantes no tempo. Além disso, uma vez que o sistema 𝒮 apresentado no capítulo anterior combina elementos de sistemas Markovianos a tempo discreto e a tempo contínuo, neste capítulo apresentamos conceitos e resultados fundamentais envolvendo estas duas importantes classes de sistemas.
2.1
Sistemas Dinâmicos Lineares Invariantes no Tempo
Dado os sistemas dinâmicos lineares e invariantes no tempo que podem ser represen-tados como 𝒮𝑐: ⎧ ⎨ ⎩ ˙𝑥(𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝐵𝑢(𝑡), 𝑥(0) = 𝑥0, 𝑦(𝑡) = 𝐶𝑥(𝑡) + 𝐷𝑢(𝑡), (2.1) em tempo contínuo e 𝒮𝑑: ⎧ ⎨ ⎩ 𝑥[𝑘 + 1] = 𝐴𝑥[𝑘] + 𝐵𝑢[𝑘], 𝑥[0] = 𝑥0, 𝑦[𝑘] = 𝐶𝑥[𝑘] + 𝐷𝑢[𝑘], (2.2)
em tempo discreto. Nos dois casos, 𝑥 : R+ → R𝑛𝑥 é o estado e 𝑢 : R+ → R𝑛𝑢 a entrada de
controle, 𝑦 : R+ → R𝑛𝑦 e as demais matrizes com dimensões compatíveis.
A função de transferência do sistema (2.1) é dada, em termos da transformada de Laplace, por
𝐻(𝑠) = 𝐶(𝑠𝐼 − 𝐴)−1𝐵 + 𝐷. (2.3) Para o sistema discreto (2.2), a função de transferência é dada, em termos da transformada Z, por
𝐻(𝑧) = 𝐶(𝑧𝐼 − 𝐴)−1𝐵 + 𝐷. (2.4) A matriz 𝐴 tem um papel fundamental sobre a dinâmica do sistema pois seus autovalores determinam os polos das funções de transferência (2.3) e (2.4) e, consequentemente, os modos próprios de (2.1) e (2.2) (GEROMEL; PALHARES, 2011).
A noção de estabilidade de um sistema linear dinâmico é essencial para que se possa projetar controladores. A matriz 𝐴 ∈ R𝑛𝑥×𝑛𝑥 define sua dinâmica e é um requisito para o
Capítulo 2. Fundamentos 15
projeto de controle. A estabilidade desses sistemas lineares podem ser garantidas com os teoremas abaixo.
Teorema 2.1 – Estabilidade de Lyapunov - Tempo Contínuo. As condições a
seguir são equivalentes:
1. O sistema (2.1) é assintoticamente estável;
2. A matriz 𝐴 é Hurwitz: todos os autovalores têm parte real estritamente negativas;
3. Para qualquer matriz definida positiva 𝑄, existe uma única solução 𝑃 para se-guinte equação de Lyapunov
𝐴T𝑃 + 𝑃 𝐴 = −𝑄. (2.5) Além disso, 𝑃 é simétrica e definida positiva;
4. Existe uma matriz 𝑃 simétrica definida positiva tal que a desigualdade matricial de Lyapunov é satisfeita:
𝐴T𝑃 + 𝑃 𝐴 < 0. (2.6)
Teorema 2.2 – Estabilidade de Lyapunov - Tempo Discreto. As condições
se-guintes são equivalentes:
1. O sistema (2.2) é assintoticamente estável;
2. A matriz 𝐴 é Schur: todos os autovalores têm módulo menor do que 1;
3. Para qualquer matriz simétrica definida positiva 𝑄, existe uma única solução
𝑃 simétrica definida positiva para a seguinte equação (chamada de equação de
Lyapunov a tempo discreto)
𝐴T𝑃 𝐴 − 𝑃 = −𝑄; (2.7) 4. Existe uma matriz simétrica definida positiva 𝑃 solução da seguinte desigualdade
de Lyapunov
Capítulo 2. Fundamentos 16
2.2
Realimentação de Estado e Regulador Linear Quadrático
Uma das técnicas clássicas de controle ótimo é o regulador linear quadrático (LQR1)
do qual considera um sistema dinâmico linear invariante no tempo. O sistema a ser controlado tem a seguinte realização (2.1) em tempo contínuo e (2.2) em tempo discreto. Nos dois casos,
𝑥 : R+ → R𝑛𝑥 é o estado, 𝑦 : R+ → R𝑛𝑦 é a saída controlada, 𝑢 : R+ → R𝑛𝑢 é a entrada de
controle, e as demais matrizes com dimensões compatíveis. Estamos interessados na estratégia de controle via realimentação de estado, na qual o sinal de controle a ser considerado é da forma
𝑢 = 𝐾𝑥,
em que 𝐾 ∈ R𝑛𝑢×𝑛𝑥 é o ganho de realimentação de estado a ser projetado levando em
consideração a estabilidade para sistema em malha fechada.
Deseja-se determinar a entrada 𝑢 de controle que minimiza os custos quadráticos
𝐽 (𝑢) :=∫︀∞
0 ||𝑦||22dt, a tempo contínuo, 𝐽 (𝑢) :=
∑︀∞
𝑘=0||𝑦||22, a tempo discreto. Podemos
escre-ver esses custos como
𝐽 (𝑢) = ∫︁ ∞ 0 𝑦(𝑡)𝑇𝑦(𝑡) 𝑑𝑡 = ∫︁ ∞ 0 (︁ 𝑥𝑇𝑄𝑥 + 2𝑥𝑇𝑆𝑢 + 𝑢𝑇𝑅𝑢)︁𝑑𝑡, (2.9) a tempo contínuo, e 𝐽 (𝑢) = ∞ ∑︁ 𝑘∈N 𝑦[𝑘]𝑇𝑦[𝑘] = ∑︁ 𝑘∈N (︁ 𝑥[𝑘]𝑇𝑄𝑥[𝑘] + 2𝑥[𝑘]𝑇𝑆𝑢[𝑘] + 𝑢[𝑘]𝑇𝑅𝑢[𝑘])︁, (2.10)
a tempo discreto, sendo 𝑄 = 𝐶𝑇𝐶 ≥ 0, 𝑆 = 𝐶𝑇𝐷 e 𝑅 = 𝐷𝑇𝐷 ≥ 0. Observe que o vetor
de estado é penalizado quadraticamente pela matriz 𝑄, enquanto o sinal de controle 𝑢 é penalizado pela matriz 𝑅. Em (FRANKLIN et al., 2009) são discutidas algumas formas de escolher 𝑄 e 𝑅 convenientemente para o problema de interesse.
A seguir, temos o teorema que fornece as soluções de controle ótimo para o sistema a tempo contínuo (2.1).
Teorema 2.3. A solução ótima do problema linear quadrático de minimizar 𝐽 (𝑢) a
tempo contínuo (2.1) se expressa na forma 𝑢(𝑡) = 𝐾𝑥(𝑡) com 𝐾 = −𝑅−1(𝐵𝑇𝑃 + 𝑆𝑇)
em que 𝑃 ∈ S𝑛
+é a solução simétrica e definida positiva da equação matricial de Riccati
Capítulo 2. Fundamentos 17
a tempo contínuo
𝐴𝑇𝑃 + 𝑃 𝐴 − (𝑃 𝐵 + 𝑆)𝑅−1(𝐵𝑇𝑃 + 𝑆𝑇) + 𝑄 = 0. (2.11) O valor do desempenho quadrático da solução ótima é 𝑥𝑇
0𝑃 𝑥0.
Para o sistema a tempo discreto 2.2, temos o seguinte teorema:
Teorema 2.4. A solução ótima do problema linear quadrático de minimizar 𝐽 (𝑢)
a tempo discreto (2.2) se expressa na forma 𝑢[𝑘] = 𝐾𝑥[𝑘] com 𝐾 = −(𝐵𝑇𝑃 𝐵 +
𝑅)−1(𝐵𝑇𝑃 𝐴 + 𝑆𝑇) na qual 𝑃 ∈ S𝑛
+é a solução simétrica e definida positiva da equação
matricial de Riccati a tempo discreto
𝐴𝑇𝑃 𝐴 − 𝑃 − (𝐴𝑇𝑃 𝐵 + 𝑆)(𝐵𝑇𝑃 𝐵 + 𝑅)−1(𝐵𝑇𝑃 𝐴 + 𝑆𝑇) + 𝑄 = 0. (2.12) O valor do desempenho quadrático da solução ótima é 𝑥𝑇0𝑃 𝑥0.
2.3
Sistemas sujeitos a Saltos Markovianos a Tempo Contínuo
Um sistema linear sujeito a saltos Markovianos (MJLS) a tempo contínuo é descrito pelo seguinte modelo de espaço de estados estocástico
𝒮𝑐 : ⎧ ⎨ ⎩ ˙𝑥(𝑡) = 𝐴𝜃(𝑡)𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡) = 𝐶𝜃(𝑡)𝑥(𝑡), (2.13)
em que, novamente, 𝑥 é a variável de estado, 𝜃(𝑡) ∈ ⟨𝑁𝑐⟩ é uma variável aleatória e 𝑦 é uma
saída de interesse. As condições iniciais 𝑥(0) = 𝑥0 ∈ R𝑛 e 𝜃(0) = 𝜃0 ∈ ⟨𝑁𝑐⟩ são dadas. O
processo que rege 𝜃 é um processo Markoviano com probabilidades de transição dadas por (3.2). A matriz de transição
Λ = 𝜆𝑖𝑗 ∈ R𝑁 ×𝑁, (2.14)
é formada pelas taxas de transição entre os modos do processo de Markov que governa a evolução de 𝜃(𝑡) ∈ ⟨𝑁𝑐⟩. Caso especial de (3.1) no qual o 𝑁𝑑 = 0. Existem diversas noções
equivalentes de estabilidade para sistemas estocásticos (COSTA et al., 2013a). Definiremos a estabilidade desta classe de sistemas da forma a seguir:
Capítulo 2. Fundamentos 18
qualquer condição inicial (𝑥0,𝜃0), existir 𝑀 ∈ S𝑛+ tal que
ℰ ⎡ ⎣ ∫︁ ∞ 0 𝑥(𝑡)T𝑥(𝑡)d𝑡 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝜃0 ⎤ ⎦≤ 𝑥 T 0𝑀 𝑥0. (2.15)
A definição anterior também implica que, para um dado estado inicial (𝑥0,𝜃0), 𝑥(𝑡)
deve convergir assintoticamente para a origem, em média quadrática. Quando este for o caso, existem 𝑎 > 0 e 𝑏 > 0 tais que
ℰ [︁
||𝑥(𝑡)||2]︁≤ 𝑏||𝑥
0||2𝑒−𝑎𝑡, ∀𝑡 ≥ 0. (2.16)
Teorema 2.5 – (BOUKAS, 2007). O sistema (2.13) é estocasticamente estável se, e
somente se, existirem matrizes simétricas 𝑃𝑖 ∈ S𝑛+, 𝑖 ∈ ⟨𝑁𝑐⟩, tais que as desigualdades
𝐴𝑇𝑖 𝑃𝑖+ 𝑃𝑖𝐴𝑖+ 𝑁𝑐 ∑︁ 𝑗=1 𝜆𝑖𝑗𝑃𝑗 < 0, ∀𝑖 ∈ ⟨𝑁𝑐⟩, (2.17) sejam satisfeitas.
Demonstração. (Suficiência) Reescrevendo a desigualdade (2.17) desta forma 𝐴𝑇𝑖𝑃𝑖+ 𝑃𝑖𝐴𝑖+
𝑁𝑐
∑︁
𝑗=1
𝜆𝑖𝑗𝑃𝑗 + 𝑄𝑖 = 0, 𝑄𝑖 > 0, ∀𝑖 ∈ ⟨𝑁𝑐⟩, (2.18)
escolhendo a seguinte função de Lyapunov estocástica 𝑉 (𝑥(𝑡),𝜃𝑡) = 𝑥(𝑡)𝑇𝑃 (𝜃𝑡)𝑥(𝑡) e aplicando
o gerador infinitesimal, temos
ℒ 𝑉 (𝑥(𝑡),𝜃𝑡= 𝑖)) = ˙𝑥(𝑡)𝑇𝑃 (𝜃𝑡)𝑥(𝑡) + 𝑥(𝑡)𝑇𝑃 (𝜃𝑡) ˙𝑥(𝑡) + 𝑥(𝑡)𝑇ℒ 𝑃 (𝜃𝑡)𝑥(𝑡), = 𝑥(𝑡)𝑇 ⎛ ⎝𝐴 𝑇 𝑖 𝑃𝑖+ 𝑃𝑖𝐴𝑖+ 𝑁𝑐 ∑︁ 𝑗=1 𝜆𝑖𝑗𝑃𝑗 ⎞ ⎠𝑥(𝑡), = −𝑥(𝑡)𝑇𝑄𝑖𝑥(𝑡), (2.19) pois ℒ 𝑃 = lim Δ→0+ℰ ⎡ ⎣ 𝑃 (𝜃𝑡+Δ) − 𝑃 (𝜃𝑡) Δ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝜃𝑡 = 𝑖 ⎤ ⎦, = lim Δ→0+ ∑︀𝑁𝑐 𝑗=1𝜆𝑖𝑗Δ𝑃𝑗+ (1 + 𝜆𝑖𝑖Δ)𝑃𝑖− 𝑃𝑖 Δ , = 𝑁𝑐 ∑︁ 𝑗=1 𝜆𝑖𝑗𝑃𝑗.
Capítulo 2. Fundamentos 19
Sem perda de generalidade, podemos assumir 𝑥(𝑡) ̸= 0 pois, caso contrário, 𝑉 (𝑥(𝜏 ),𝜃𝜏 =
𝑖) = 0, ∀𝜏 > 𝑡. Portanto, podemos dividir os dois lados da equação 2.19 por 𝑉 (𝑥(𝑡),𝜃𝑡 = 𝑖),
obtendo ℒ 𝑉 (𝑥(𝑡),𝜃𝑡= 𝑖) 𝑉 (𝑥(𝑡),𝜃𝑡 = 𝑖) = −𝑥(𝑡) 𝑇𝑄 𝑖𝑥(𝑡) 𝑥(𝑡)𝑇𝑃 𝑖𝑥(𝑡) , ≤ − min 𝑖∈⟨𝑁𝑐⟩ 𝜆min(𝑄𝑖) 𝜆max(𝑃𝑖) , (2.20)
onde 𝜆min(.) e 𝜆max(.) são os autovalores mínimo e máximo, respectivamente. Definindo
𝛼 = min
𝑖∈⟨𝑁𝑐⟩
𝜆min(𝑄𝑖)
𝜆max(𝑃𝑖)
> 0,
temos então pela equação 2.20, que
ℒ 𝑉 (𝑥(𝑡),𝜃𝑡= 𝑖) ≤ −𝛼𝑉 (𝑥(𝑡),𝜃𝑡),
implicando em
ℰ [𝑉 (𝑥(𝑡),𝜃𝑡= 𝑖)] ≤ 𝑒−𝛼𝑡𝑉 (𝑥(0),𝜃0). (2.21)
Fazendo a integral dos dois lados da desigualdade acima 2.21 de 0 a 𝑇 e fazendo o limite em que 𝑇 tende a infinito, obtemos
lim 𝑇 →∞ℰ ⎡ ⎣ ∫︁ 𝑇 0 𝑥(𝑡)𝑇𝑃 (𝜃𝑡)𝑥(𝑡)𝑑𝑡 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝜃0 = 𝑖 ⎤ ⎦≤ lim 𝑇 →∞ ⎛ ⎝ ∫︁ 𝑇 0 𝑒−𝛼𝑡𝑉 (𝑥(0),𝜃0) ⎞ ⎠𝑥𝑇0𝑃𝑖𝑥0, ≤ 𝛼−1𝑥𝑇0𝑃𝑖𝑥0. (2.22)
Por fim, definindo 𝑀 ≥ 𝛼𝜆 1
min(𝑃𝑖)𝑃𝑖, ∀𝑖 ∈ ⟨𝑁𝑐⟩, chegando no resultado desejado
ℰ ⎡ ⎣ ∫︁ ∞ 0 𝑥(𝑡)𝑇𝑥(𝑡)𝑑𝑡 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝜃0 ⎤ ⎦≤ 𝑥𝑇0𝑀 𝑥0.
Capítulo 2. Fundamentos 20
Exemplo 2.1. Neste exemplo, iremos ilustrar alguns aspectos do teorema (2.6),
apre-sentado acima para sistemas do tipo (2.13) com as seguintes matrizes
𝐴1 = ⎡ ⎣ −7 25 0 −0.7 ⎤ ⎦, 𝐴2 = ⎡ ⎣ −0.7 0 25 −7 ⎤ ⎦,
em que a matriz de transição foi construída da seguinte forma,
Λ = ⎡ ⎣ −𝑎(𝑖) 𝑎(𝑖) 𝑏(𝑗) −𝑏(𝑗) ⎤ ⎦
e as entradas 𝑎(𝑖) e 𝑏(𝑗) são de tal forma que 𝑎(𝑖) ∈ [10, −10] e 𝑏(𝑗) ∈ [−10,10] a fim de analisar como a mudança da matriz de transição modifica a permanência nos dois modos e seus efeitos na estabilidade do sistema.
Com a Figura (2.1), é possível visualizarmos como a estabilidade do sistema se comporta para as variações que ocorrem com a matriz de transição entre os modos. Então, dependendo da matriz de transição que temos, o resultado da estabilidade pode ser diferente. Um sistema com dois modos estáveis pode ser instável do ponto de vista estocástico para escolhas particulares da matriz de taxas de transição. Similarmente, um sistema composto de dois modos instáveis pode ser estável para uma escolha conve-niente da matriz Λ. Assim, a dinâmica de um sistema Markoviano depende não apenas das dinâmicas dos modos, mas também da matriz de taxas de transição.
Capítulo 2. Fundamentos 21
Figura 2.1 – Resultados das simulações da estabilidade do sistema com as modificações da matriz de transição no intervalo desejado. A parte vermelha do gráfico mostra onde o sistema é estável e a azul representa as entradas da matriz de transição onde ocorreu instabilidade no sistema.
2.4
Sistemas sujeitos a Saltos Markovianos a Tempo Discreto
No caso discreto, um MJLS também pode ser descrito por equações de estado esto-cásticas: 𝒮𝑑 : ⎧ ⎨ ⎩ 𝑥[𝑘 + 1] = 𝐴𝜃[𝑘]𝑥[𝑘], 𝑦[𝑘] = 𝐶𝜃[𝑘]𝑥[𝑘], (2.23)
em que, novamente, 𝑥 é a variável de estado, 𝜃[𝑘] ∈ ⟨𝑁𝑑⟩ é uma variável aleatória e 𝑦 é uma
saída de interesse. As condições iniciais 𝑥[0] = 𝑥0 ∈ R𝑛e 𝜃[0] = 𝜃0 ∈ ⟨𝑁𝑑⟩ também são dadas.
O processo que rege 𝜃 é uma cadeia de Markov com probabilidades de transição dadas por
𝜋𝑖𝑗 =𝒫 (︂ 𝜃[𝑘 + 1] = 𝑗 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒𝜃[𝑘] = 𝑖 )︂ . (2.24) A matriz estocástica Π = 𝜋𝑖𝑗 ∈ R𝑁𝑑×𝑁𝑑 (2.25)
Capítulo 2. Fundamentos 22
é formada pelas probabilidades de transição entre os modos do processo de Markov que governa a evolução do 𝜃(𝑡) ∈ ⟨𝑁𝑑⟩. Assim como no caso contínuo, este é um caso especial de
(3.1), se forem permitidas transições entre os modos discretos e se 𝑁𝑐= 0.
Assim como no caso contínuo, existem diferentes noções de estabilidade para sistemas Markovianos a tempo discreto. A definição adotada neste trabalho está apresentada a seguir (COSTA et al., 2006).
Definição 2.2. O sistema 𝒮𝑑 dado em (2.23) é dito estocasticamente estável se, para
qualquer condição inicial (𝑥0,𝜃0),
ℰ ⎧ ⎨ ⎩ ∞ ∑︁ 𝑘=0 𝑥[𝑘]T𝑥[𝑘] ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑥0,𝜃0 ⎫ ⎬ ⎭ , (2.26)
for um número finito.
Teorema 2.6 – (JI; CHIZECK, 1990; COSTA; FRAGOSO, 1993). O sistema
𝒮𝑑 dado em (2.23) é estocasticamente estável se, e apenas se, existirem 𝑃𝑖 ∈ S𝑛+,
𝑖 ∈ ⟨𝑁𝑑⟩, tais que as desigualdades
𝐴T𝑖 ⎛ ⎝ 𝑁𝑑 ∑︁ 𝑗=1 𝜋𝑖𝑗𝑃𝑗 ⎞ ⎠𝐴𝑖 − 𝑃𝑖 < 0, 𝑖 ∈ ⟨𝑁𝑑⟩, (2.27) sejam satisfeitas.
Demonstração. (Suficiência) Sejam as desigualdades em 2.27 verdadeiras, definimos as
ma-trizes 𝑊𝑖 = 𝑊𝑖𝑇 > 0, com 𝑖 ∈ ⟨𝑁𝑑⟩ que satisfaçam as equações
𝐴T𝑖 ⎛ ⎝ 𝑁𝑑 ∑︁ 𝑗=1 𝜋𝑖𝑗𝑃𝑗 ⎞ ⎠𝐴𝑖− 𝑃𝑖 = −𝑊𝑖.
Definimos a função de Lyapunov estocástica ,
𝑉 (𝜃𝑘, 𝑥[𝑘]) := 𝑥[𝑘]𝑇𝑃𝜃𝑘𝑥[𝑘], (2.28)
Capítulo 2. Fundamentos 23 ℰ [𝑉 (𝜃𝑘+1, 𝑥[𝑘 + 1]) | 𝜃𝑘, 𝑥[𝑘]] − 𝑉 (𝜃𝑘, 𝑥[𝑘]) = 𝑥[𝑘]𝑇𝐴𝑇𝜃𝑘𝑃𝜃𝑘𝐴𝜃𝑘𝑥[𝑘] − 𝑥[𝑘] 𝑇𝑃 𝜃𝑘𝑥[𝑘], = −𝑥[𝑘]𝑇𝑊𝜃𝑘𝑥[𝑘], < 0. (2.29) Podemos assumir 𝑥[𝑘] ̸= 0, sem perda de generalidade, e dividir ambos os lados da igualdade por 𝑉 (𝜃𝑘, 𝑥[𝑘]), obtendo-se:
ℰ [𝑉 (𝜃𝑘+1, 𝑥[𝑘 + 1]) | 𝜃𝑘, 𝑥[𝑘]] − 𝑉 (𝜃𝑘, 𝑥[𝑘]) 𝑉 (𝜃𝑘, 𝑥[𝑘]) = −𝑥[𝑘] 𝑇𝑊 𝜃𝑘𝑥[𝑘] 𝑥[𝑘]𝑇𝑃 𝜃𝑘𝑥[𝑘] , ≤ − min 𝑖∈𝑁𝑐+⟨𝑁𝑑⟩ 𝜆min(𝑊𝑖) 𝜆max(𝑃𝑖) , (2.30) onde 𝜆min(.) e 𝜆max(.) são os autovalores mínimo e máximo, respectivamente, das matrizes
indicadas. Definimos então
𝛼 := 1 − min
𝑖∈𝑁𝑐+⟨𝑁𝑑⟩
𝜆min(𝑄𝑖)
𝜆max(𝑃𝑖)
, (2.31)
verificando que, por um lado 𝛼 < 1 pois 𝑊𝑖 e 𝑃𝑖 são matrizes definidas positvas. Por outro
lado, a partir da equação (2.30)
𝛼 ≥ ℰ [𝑉 (𝜃𝑘+1, 𝑥[𝑘 + 1]) | 𝜃𝑘, 𝑥[𝑘]] − 𝑉 (𝜃𝑘, 𝑥[𝑘]) 𝑉 (𝜃𝑘, 𝑥[𝑘])
> 0, (2.32) o que implica na existência de algum 𝛼 ∈ (0,1) tal que
ℰ [𝑉 (𝜃𝑘+1, 𝑥[𝑘 + 1]) | 𝜃𝑘, 𝑥[𝑘]] ≤ 𝛼𝑉 (𝜃𝑘, 𝑥[𝑘]), (2.33)
e portanto,
ℰ [𝑉 (𝜃𝑘, 𝑥[𝑘]) | 𝜃0, 𝑥[0]] ≤ 𝛼𝑘𝑉 (𝜃0, 𝑥[0]). (2.34)
Podemos assim, calcular o somatório dos termos da desigualadade anterior para todo
𝑘. Usando o fato de que 𝛼 ∈ (0,1), temos que :
lim 𝑇 →∞ℰ ⎡ ⎣ 𝑇 ∑︁ 𝑘=0 𝑉 (𝜃𝑘, 𝑥[𝑘]) ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝜃0, 𝑥(0) ⎤ ⎦≤ lim 𝑇 →∞ ⎛ ⎝ 𝑇 ∑︁ 𝑘=0 𝛼𝑘𝑉 (𝑥(0),𝜃0) ⎞ ⎠, ≤ 1 1 − 𝛼𝑥 𝑇 0𝑃𝜃0𝑥0. (2.35)
Capítulo 2. Fundamentos 24
Porém, tem-se no caso geral que
min
𝑖∈𝑁𝑐+⟨𝑁𝑑⟩
{𝜆min(𝑃𝑖)}ℰ [𝑥[𝑘]𝑇𝑥[𝑘]] ≤ℰ [𝑉 (𝜃𝑘, 𝑥[𝑘])], (2.36)
e desta forma, retomando que 𝑃𝑖 > 0, chega-se a
ℰ ⎡ ⎣ 𝑇 ∑︁ 𝑘=0 𝑉 (𝜃𝑘, 𝑥[𝑘]) ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝜃0, 𝑥(0) ⎤ ⎦≤ 1 1 − 𝛼 1 min𝑖∈𝑁𝑐+⟨𝑁𝑑⟩{𝜆min(𝑃𝑖)} 𝑥𝑇0𝑃𝜃0𝑥0 := 𝑀 (𝑥0,𝜃0), (2.37) mostrando a estabilidade de acordo com (2.26).
Exemplo 2.2. Neste exemplo, iremos ilustrar alguns aspectos do teorema (2.6),
apre-sentado acima para sistemas do tipo (2.13) com as seguintes matrizes
𝐴1 = ⎡ ⎣ 2 −1 0 0 ⎤ ⎦, 𝐴2 = ⎡ ⎣ 0 1 0 2 ⎤ ⎦,
em que a matriz de transição foi construída da seguinte forma,
Π = ⎡ ⎣ 𝑎(𝑖) 1 − 𝑎(𝑖) 1 − 𝑏(𝑗) 𝑏(𝑗) ⎤ ⎦
e as entradas 𝑎(𝑖) e 𝑏(𝑗) são de tal forma que 𝑎(𝑖) ∈ [0, 2] e 𝑏(𝑗) ∈ [0,2] a fim de analisar como a mudança da matriz de transição modifica a permanência nos dois modos e seus efeitos na estabilidade do sistema.
Na Figura (2.2), é possível visualizarmos como a estabilidade do sistema se comporta para as variações que ocorrem com a matriz de transição entre os modos no intervalo sugerido para análise.
Capítulo 2. Fundamentos 25
Figura 2.2 – Resultados das simulações da estabilidade do sistema com as modificações da matriz de transição no intervalo desejado. A parte vermelha do gráfico mostra onde o sistema é estável e a azul representa as entradas da matriz de transição onde ocorreu instabilidade no sistema.
26
3 Apresentação do Problema
Neste capítulo, apresentamos um modelo de sistema dinâmico híbrido sujeito a saltos Markovianos. Iremos analisar posteriormente no capítulo 4 a estabilidade de um sistema linear sujeito a saltos Markovianos da forma
𝒮 : ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ˙𝑥(𝑡) = 𝐴𝜃(𝑡)𝑥(𝑡), 𝜃(𝑡) ∈ ⟨𝑁𝑐⟩, 𝑥(𝑡+) = 𝐴 𝜃(𝑡)𝑥(𝑡), 𝜃(𝑡) ∈ 𝑁𝑐+ ⟨𝑁𝑑⟩, 𝑦(𝑡) = 𝐶𝜃(𝑡)𝑥(𝑡), ∀𝜃(𝑡), (3.1)
em que 𝑥 : R+ → R𝑛𝑥 é o estado e 𝑦 : R+ → R𝑛𝑦 é a saída. O estado evolui a partir de uma
condição inicial 𝑥0 ∈ R𝑛𝑥 e de um modo inicial 𝜃(0) = 𝜃0 ∈ ⟨𝑁𝑐+ 𝑁𝑑⟩.
Antes de entrarmos em detalhes com relação à variável aleatória de Markov 𝜃(𝑡) ∈ ⟨𝑁𝑐+ 𝑁𝑑⟩, 𝑡 ∈ R+, observe que o sistema híbrido acima combina duas dinâmicas: a dinâmica
contínua é usada para calcular o seu fluxo se 𝜃(𝑡) assumir algum valor em ⟨𝑁𝑐⟩ – chamamos
esses subsistemas de modos contínuos; a dinâmica discreta é usada para calcular os saltos se 𝜃(𝑡) assumir algum valor em 𝑁𝑐+ ⟨𝑁𝑑⟩ – esses são os modos discretos de 𝒮 . A variável
Markoviana 𝜃 4 orquestra a transição entre modos contínuos e discretos conforme o diagrama da Figura 3.1. Uma propriedade importante do problema proposto aqui é que modos discretos não admitem transições entre si. Esta hipótese foi assumida para evitar efeito Zeno1 nas
soluções de 𝒮 , uma vez que assumimos que os saltos discretos são instantâneos. Considerar tais transições pode ser feito sem qualquer dificuldade adicional se cada salto discreto de 𝒮 for associado a um passo fixo de tempo.
O processo Markoviano que rege a variável 𝜃 tem grande contribuição no comporta-mento do sistema híbrido𝒮 dado acima. Neste problema, este processo tem natureza também híbrida, combinando características Markovianas contínuas e discretas. As probabilidades de transição do modo 𝑖 para o modo 𝑗 são definidas como segue. Se 𝑖 ∈ ⟨𝑁𝑐⟩, então
𝑝𝑖𝑗(Δ) =𝒫 (︂ 𝜃(𝑡 + Δ) = 𝑗 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒𝜃(𝑡) = 𝑖 )︂ , = ⎧ ⎨ ⎩ 𝜆𝑖𝑗Δ + 𝑜(Δ), 𝑖 ̸= 𝑗, 1 + 𝜆𝑖𝑖Δ + 𝑜(Δ), 𝑖 = 𝑗, (3.2)
1 Efeito Zeno, também conhecido como efeito Zenão é uma característica dos sistemas dinâmicos em relação
à sua dinâmica temporal, que sob a observação em um dado período de tempo, o mesmo seja de certa forma interrompido.
Capítulo 3. Apresentação do Problema 27 2 1 modos contínuos modos discretos 3 4
Figura 3.1 – Ilustra um sistema linear híbrido sujeito a saltos Markovianos com dois modos contínuos e dois modos discretos( 𝑁𝑐= 2, 𝑁𝑑= 2).
em que Λ = (𝜆𝑖𝑗) ∈ R𝑁𝑐×(𝑁𝑐+𝑁𝑑)é a matriz de taxas de transição a partir dos modos contínuos.
Portanto, os escalares 𝜆𝑖𝑗 devem verificar as condições:
𝜆𝑖𝑗 ≥ 0, ∀𝑖,𝑗, 𝑖 ̸= 𝑗, (3.3)
∑︁
𝑗
𝜆𝑖𝑗 = 0, ∀𝑖. (3.4)
Observe que Λ não é quadrada e pode ser vista como uma matriz formada por dois blocos:
Λ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝜆1,1 . . . . . . 𝜆1,𝑁𝑐 .. . 𝜆2,2 ... .. . . .. ... 𝜆𝑁𝑐,1 . . . . . . 𝜆𝑁𝑐,𝑁𝑐 𝜆1,𝑁𝑐+1 . . . . 𝜆1,𝑁𝑐+𝑁𝑑 .. . ... .. . ... 𝜆𝑁𝑐,𝑁𝑐+1 . . . 𝜆𝑁𝑐,𝑁𝑐+𝑁𝑑 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ . (3.5)
O bloco da esquerda representa a parte do processo que liga dois modos contínuos; o bloco da direita representa as taxas de transição de modos contínuos para modos discretos.
Caso 𝑖 ∈ 𝑁𝑐+ ⟨𝑁𝑑⟩, as probabilidades de transição são dadas por
𝑝𝑖𝑗 =𝒫 (︂ 𝜃(𝑡+) = 𝑗 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝜃(𝑡) = 𝑖 )︂ , = ⎧ ⎨ ⎩ 𝜋𝑖𝑗, 𝑗 ∈ ⟨𝑁𝑐⟩, 0 𝑗 ∈ 𝑁𝑐+ ⟨𝑁𝑑⟩, (3.6)
Capítulo 3. Apresentação do Problema 28
discretos de 𝒮 . Portanto, os escalares 𝜋𝑖𝑗 devem verificar as condições:
𝜋𝑖𝑗 ≥ 0, ∀𝑖,𝑗, (3.7)
∑︁
𝑗
𝜋𝑖𝑗 = 1, ∀𝑖. (3.8)
Assim como no caso contínuo, Π não é quadrada e pode ser vista como uma matriz formada por dois blocos:
Π = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝜋𝑁𝑐+1,1 . . . . 𝜋𝑁𝑐+1,𝑁𝑐 .. . ... .. . ... 𝜋𝑁𝑐+𝑁𝑑,1 . . . 𝜋𝑁𝑐+𝑁𝑑,𝑁𝑐 0 . . . 0 .. . ... .. . ... 0 . . . 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ . (3.9)
O bloco da esquerda contém as probabilidades de transição dos modos discretos para os contínuos; o bloco da direita é nulo, indicando que transições entre modos discretos não são permitidas.
Nosso objetivo neste trabalho é propor condições de estabilidade estocástica para o sistema híbrido Markoviano apresentado neste capítulo. Com as condições de estabilidade, esperamos ser possível propor condições de projeto de controladores via realimentação de estado que estabilizem sistemas com esta estrutura.
29
4 Resultados Principais
Neste capítulo, apresentamos os resultados desenvolvidos do trabalho. Primeira-mente, apresentamos a noção de estabilidade utilizada neste trabalho e enunciamos um te-orema que provê condições suficientes para esta. Posteriormente, estendemos este tete-orema para calcularmos a norma ℒ2 da saída de 𝒮 .
4.1
Estabilidade e Custo Quadrático
Como os saltos definidos pelos modos discretos são instantâneos, a dinâmica do sistema 𝒮 será, em cada instância do processo estocástico, contínua por partes, ou seja, a evolução do estado é dada por fluxos contínuos com variações abruptas entre estes. Dada esta natureza contínua por partes da dinâmica de 𝒮 , adotamos a noção de estabilidade já bem estabelecida apresentada para MJLS a tempo contínuo (COSTA et al., 2013b), definida a seguir.
Definição 4.1. O sistema 𝒮 dado em (3.1) é dito estocasticamente estável se, para
qualquer condição inicial (𝑥0,𝜃0), existir 𝑀 ∈ S𝑛+ tal que
ℰ ⎡ ⎣ ∫︁ ∞ 0 𝑥(𝑡)T𝑥(𝑡)𝑑𝑡 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝜃0 ⎤ ⎦≤ 𝑥T0𝑀 𝑥0. (4.1)
Com base na definição acima, podemos enunciar o teorema a seguir, que fornece as condições de estabilidade para 𝒮 .
Teorema 4.1. Considere o sistema𝒮 definido em (3.1). Se existirem matrizes 𝑃𝑖 ∈ S𝑛+,
𝑖 ∈ ⟨𝑁𝑐+ 𝑁𝑑⟩, verificando as desigualdades 𝐴T𝑖 𝑃𝑖+ 𝑃𝑖𝐴𝑖 + 𝑁𝑐+𝑁𝑑 ∑︁ 𝑗=1 𝜆𝑖𝑗𝑃𝑗 < 0, ∀𝑖 ∈ ⟨𝑁𝑐⟩, (4.2) 𝐴T𝑖 ⎛ ⎝ 𝑁𝑐 ∑︁ 𝑗=1 𝜋𝑖𝑗𝑃𝑗 ⎞ ⎠𝐴𝑖− 𝑃𝑖 < 0, ∀𝑖 ∈ 𝑁𝑐+ ⟨𝑁𝑑⟩, (4.3)
Capítulo 4. Resultados Principais 30
Demonstração. Primeiramente, defina as matrizes 𝑄𝑖 ∈ S𝑛+, 𝑖 ∈ ⟨𝑁𝑐+ 𝑁𝑑⟩, dadas por
𝑄𝑖 = − ⎛ ⎝𝐴T𝑖𝑃𝑖 + 𝑃𝑖𝐴𝑖+ 𝑁𝑐+𝑁𝑑 ∑︁ 𝑗=1 𝜆𝑖𝑗𝑃𝑗 ⎞ ⎠, 𝑖 ∈ ⟨𝑁𝑐⟩, (4.4) 𝑄𝑖 = 𝑃𝑖− 𝐴T𝑖 ⎛ ⎝ 𝑁𝑐 ∑︁ 𝑗=1 𝜋𝑖𝑗𝑃𝑗 ⎞ ⎠𝐴𝑖, 𝑖 ∈ 𝑁𝑐+ ⟨𝑁𝑑⟩. (4.5)
Defina, também, a função quadrática 𝑣 : R+→ R+ dada por
𝑣(𝑡) = 𝑥(𝑡)T𝑃𝜃(𝑡)𝑥(𝑡). (4.6)
Seja (𝑡𝑘)𝑘∈N a sequência de instantes de transição da variável 𝜃 em que 𝜃(𝑡−𝑘),𝜃(𝑡
+
𝑘) ∈
⟨𝑁𝑐⟩ e 𝜃(𝑡𝑘) ∈ 𝑁𝑐+ ⟨𝑁𝑑⟩, ou seja, a sequência de instantes de tempo em que ocorre alguma
transição que envolve um salto discreto. Assuma, por mera simplicidade, que 𝑡0 = 0, mesmo
que não haja necessariamente uma transição na variável 𝜃 em 𝑡0, ou seja, 𝜃(𝑡0) nem sempre é
um modo discreto da cadeia. Logo, 𝜃(𝑡0) = 𝜃0 ∈ ⟨𝑁𝑐+𝑁𝑑⟩. Assuma ainda que 𝑥(𝑡0) = 𝑥0 ∈ R𝑛
seja dado. Neste caso, aplicando-se o gerador infinitesimal a 𝑣 para 𝑡 ∈ (𝑡𝑘,𝑡𝑘+1) e utilizando-se
(4.4), temos ℒ 𝑣(𝑡) = ˙𝑥(𝑡)T𝑃 𝜃(𝑡)𝑥(𝑡) + 𝑥(𝑡)T𝑃𝜃(𝑡)˙𝑥(𝑡) + 𝑥(𝑡)Tℒ 𝑃𝜃(𝑡)𝑥(𝑡), = 𝑥(𝑡)T ⎛ ⎝𝐴 T 𝜃(𝑡)𝑃𝜃(𝑡)+ 𝑃𝜃(𝑡)𝐴𝜃(𝑡)+ 𝑁𝑐+𝑁𝑑 ∑︁ 𝑗=1 𝜆𝜃(𝑡)𝑗𝑃𝑗 ⎞ ⎠𝑥(𝑡), = −𝑥(𝑡)T𝑄𝜃(𝑡)𝑥(𝑡), (4.7) pois 𝜃(𝑡) ∈ ⟨𝑁𝑐⟩ e ℒ 𝑃𝜃(𝑡)= lim Δ→0+ℰ ⎡ ⎣ 𝑃𝜃(𝑡+Δ)− 𝑃𝜃(𝑡) Δ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝜃(𝑡) ⎤ ⎦= 𝑁𝑐+𝑁𝑑 ∑︁ 𝑗=1 𝜆𝜃(𝑡)𝑗𝑃𝑗, (4.8)
por (3.2). Assumindo, sem perda de generalidade, que 𝑥(𝑡) ̸= 0 para todo 𝑡 neste intervalo, podemos dividir ambos os membros da equação (4.8) e obter
ℒ 𝑣(𝑡) 𝑣(𝑡) = − 𝑥(𝑡)T𝑄 𝜃(𝑡)𝑥(𝑡) 𝑥(𝑡)T𝑃 𝜃(𝑡)𝑥(𝑡) ≤ − min 𝑖∈K 𝜆min(𝑄𝑖) 𝜆max(𝑃𝑖) . (4.9) Definindo 𝛼 = min 𝑖∈K 𝜆min(𝑄𝑖) 𝜆max(𝑃𝑖) > 0, (4.10) temos, pela equação (4.9), que
Capítulo 4. Resultados Principais 31
é válida para todo 𝑡 ∈ (𝑡𝑘,𝑡𝑘+1). Assim, segue daí que
ℰ [𝑣(𝑡)|𝜃(𝑡+ 𝑘),𝑥(𝑡 + 𝑘)] ≤ 𝑒 −𝛼(𝑡−𝑡𝑘)𝑣(𝑡+ 𝑘), (4.12)
é verificada para todo 𝑡 ∈ (𝑡𝑘,𝑡𝑘+1).
Agora, avaliemos o que ocorre no instante de salto discreto 𝑡 = 𝑡𝑘+1. Primeiramente,
observe que a equação (4.8) implica que
ℰ [𝑣(𝑡𝑘+1)|𝜃(𝑡−𝑘+1),𝑥(𝑡
−
𝑘+1)] ≤ 𝑣(𝑡
−
𝑘+1), (4.13)
uma vez que ℒ 𝑣(𝑡−𝑡+1) ≤ 0. Logo, (4.12) é válida também para 𝑡 = 𝑡𝑘+1. Ademais, (4.5)
implica que ℰ [𝑣(𝑡+ 𝑘+1)|𝜃(𝑡𝑘+1),𝑥(𝑡𝑘+1)] − 𝑣(𝑡𝑘+1) = = 𝑥(𝑡𝑘+1)T𝐴𝜃(𝑡𝑘+1)ℰ [︂ 𝑃𝜃(𝑡+ 𝑘+1) ⃒ ⃒ ⃒𝜃(𝑡𝑘+1) ]︂ 𝐴𝜃(𝑡𝑘+1)𝑥(𝑡𝑘+1)− − 𝑥(𝑡𝑘+1)T𝑃𝜃(𝑡𝑘+1)𝑥(𝑡𝑘+1), = −𝑥(𝑡𝑘+1)T𝑄𝜃(𝑡𝑘+1)𝑥(𝑡𝑘+1). (4.14)
Mais uma vez, assumimos sem perda de generalidade que 𝑥(𝑡𝑘+1) ̸= 0 e dividimos os dois
lados da igualdade acima por 𝑣(𝑡𝑘+1), obtendo
ℰ [𝑣(𝑡+ 𝑘+1)|𝜃(𝑡𝑘+1),𝑥(𝑡𝑘+1)] − 𝑣(𝑡𝑘+1) 𝑣(𝑡𝑘+1) = = −𝑥(𝑡𝑘+1) T𝑄 𝜃(𝑡𝑘+1)𝑥(𝑡𝑘+1) 𝑥(𝑡𝑘+1)T𝑃𝜃(𝑡𝑘+1)𝑥(𝑡𝑘+1) , ≤ − min 𝑖∈K ⎛ ⎝ 𝜆min(𝑄𝑖) 𝜆max(𝑃𝑖) ⎞ ⎠. (4.15) Definindo o escalar 𝛽 := 1 − min 𝑖∈K 𝜆min(𝑄𝑖) 𝜆max(𝑃𝑖) ;
verificamos que, por um lado 𝛽 < 1, pois 𝑄𝑖 e 𝑃𝑖 são matrizes definidas positivas, e, por outro
lado, a partir de (4.15) 𝛽 ≥ ℰ [𝑣(𝑡 + 𝑘+1)|𝜃(𝑡𝑘+1),𝑥(𝑡𝑘+1)] 𝑣(𝑡𝑘+1) > 0.
Assim, o escalar 𝛽 ∈ (0,1) assegura
ℰ [𝑣(𝑡+
Capítulo 4. Resultados Principais 32
Tomando as desigualdades (4.12) e (4.16), podemos concluir que a desigualdade
ℰ [𝑣(𝑡𝑘+1)|𝜃(𝑡𝑘),𝑥(𝑡𝑘)] = =ℰ [︁ℰ [𝑣(𝑡𝑘+1)|𝜃(𝑡−𝑘+1),𝑥(𝑡 − 𝑘+1)]|𝜃(𝑡𝑘),𝑥(𝑡𝑘) ]︁ , ≤ℰ [𝑣(𝑡− 𝑘+1)|𝜃(𝑡𝑘),𝑥(𝑡𝑘)], =ℰ [ℰ [𝑣(𝑡−𝑘+1)|𝜃(𝑡+𝑘),𝑥(𝑡+𝑘)]|𝜃(𝑡𝑘)], ≤ℰ [𝑒−𝛼(𝑡𝑘+1−𝑡𝑘)𝑣(𝑡+ 𝑘)|𝜃(𝑡𝑘)], ≤ 𝛽𝑒−𝛼(𝑡𝑘+1−𝑡𝑘)𝑣(𝑡 𝑘), (4.16)
é válida para todo 𝑘 ≥ 1. Para o caso 𝑘 = 0, esta desigualdade permanece válida caso
𝜃0 ∈ 𝑁𝑐+ ⟨𝑁𝑑⟩. Se 𝜃0 ∈ ⟨𝑁𝑐⟩, então 𝑣(𝑡+0) = 𝑣(𝑡0). Em ambos os casos, 𝑣(𝑡1) ≤ 𝑒−𝛼𝑡1𝑣(𝑡0).
Assim, aplicando-se um raciocínio indutivo à condição acima, com especial atenção ao caso
𝑘 = 0, temos
ℰ [𝑣(𝑡𝑘)|𝜃0,𝑥0] ≤ 𝛽𝑘−1𝑒−𝛼𝑡𝑘𝑣(0), (4.17)
para todo 𝑘 ∈ N ∖ {0}. Assim, combinando-se os limitantes obtidos acima, podemos concluir que ℰ ⎡ ⎣ ∫︁ ∞ 0 𝑥(𝑡)T𝑃𝜃(𝑡)𝑥(𝑡)𝑑𝑡 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝜃0,𝑥0 ⎤ ⎦= = ∞ ∑︁ 𝑘=0 ℰ ⎡ ⎣ ∫︁ 𝑡𝑘+1 𝑡𝑘 𝑥(𝑡)T𝑃𝜃(𝑡)𝑥(𝑡)𝑑𝑡 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝜃0,𝑥0 ⎤ ⎦, = ∞ ∑︁ 𝑘=0 ℰ ⎡ ⎣ℰ ⎡ ⎣ ∫︁ 𝑡𝑘+1 𝑡𝑘 𝑥(𝑡)T𝑃𝜃(𝑡)𝑥(𝑡)𝑑𝑡 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝜃(𝑡+𝑘),𝑥(𝑡+𝑘) ⎤ ⎦ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝜃0,𝑥0 ⎤ ⎦, ≤ ∞ ∑︁ 𝑘=0 ℰ ⎡ ⎣ ∫︁ 𝑡𝑘+1 𝑡𝑘 𝑒−𝛼(𝑡−𝑡𝑘)𝑑𝑡 𝑣(𝑡+ 𝑘) ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝜃0,𝑥0 ⎤ ⎦, ≤ ∞ ∑︁ 𝑘=0 (︂∫︁ 𝑡𝑘+1 𝑡𝑘 𝑒−𝛼(𝑡−𝑡𝑘)𝑑𝑡 )︂ ℰ [︃ ℰ [︁ 𝑣(𝑡+𝑘)⃒⃒ ⃒𝜃(𝑡𝑘),𝑥(𝑡𝑘) ]︁ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝜃0,𝑥0 ]︃ , ≤ ∞ ∑︁ 𝑘=0 (︂∫︁ 𝑡𝑘+1 𝑡𝑘 𝑒−𝛼(𝑡−𝑡𝑘)𝑑𝑡 )︂ ℰ [︁ 𝛽𝑣(𝑡𝑘) ⃒ ⃒ ⃒𝜃0,𝑥0 ]︁ , ≤ ∞ ∑︁ 𝑘=0 𝛽𝑘 (︂∫︁ 𝑡𝑘+1 𝑡𝑘 𝑒−𝛼𝑡𝑑𝑡 )︂ 𝑣(0) ≤ 1 𝛼(1 − 𝛽)𝑣(0). (4.18)
Finalmente, escolhendo 𝑀 ∈ R tal que
𝑀 ≥ 𝛼(1 − 𝛽) 𝜆min(𝑃𝑖)
Capítulo 4. Resultados Principais 33 temos que ℰ ⎡ ⎣ ∫︁ ∞ 0 𝑥(𝑡)T𝑥(𝑡)𝑑𝑡 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝜃0,𝑥0 ⎤ ⎦≤ 𝑥𝑇0𝑀 𝑥0, (4.19)
o que completa a prova.
Observação 4.1. Embora apenas a suficiência destas condições esteja demonstrada
aqui, acreditamos que estas também sejam necessárias, como em casos clássicos. Este é um tópico para pesquisas futuras.
Além de estabilidade, podemos formular condições que fornecem um limitante su-perior para uma norma mista ℒ2/ℓ2 da saída 𝑦 do sistema 𝒮 . Sem perda de generalidade,
assumimos no teorema a seguir que o sistema evolui a partir de um modo contínuo.
Teorema 4.2. Considere o sistema 𝒮 definido em (3.1) e sejam as condições iniciais
𝑥(0) = 𝑥0 ∈ R𝑛 e 𝜃(0) = 𝜃0 ∈ ⟨𝑁𝑐⟩ dadas. Se existirem matrizes 𝑃𝑖 ∈ S𝑛+, 𝑖 ∈ ⟨𝑁𝑐+ 𝑁𝑑⟩,
verificando as desigualdades 𝐴T𝑖𝑃𝑖+ 𝑃𝑖𝐴𝑖+ 𝑁𝑐+𝑁𝑑 ∑︁ 𝑗=1 𝜆𝑖𝑗𝑃𝑗 + 𝐶𝑖T𝐶𝑖 < 0, ∀𝑖 ∈ ⟨𝑁𝑐⟩, (4.20) 𝐴T𝑖 ⎛ ⎝ 𝑁𝑐 ∑︁ 𝑗=1 𝜋𝑖𝑗𝑃𝑗 ⎞ ⎠𝐴𝑖− 𝑃𝑖+ 𝐶𝑖T𝐶𝑖 < 0, ∀𝑖 ∈ 𝑁𝑐+ ⟨𝑁𝑑⟩, (4.21)
então 𝒮 é estocasticamente estável e a desigualdade ℰ ⎡ ⎣ ∫︁ ∞ 0 𝑦(𝑡)T𝑦(𝑡) 𝑑𝑡 + ∞ ∑︁ 𝑘=1 𝑦(𝑡𝑘)T𝑦(𝑡𝑘) ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝜃0,𝑥0 ⎤ ⎦≤ 𝜈0 (4.22) é satisfeita, com 𝜈0 = 𝑥(𝑡0)T𝑃𝜃(𝑡0)𝑥(𝑡0).
Demonstração. Primeiramente, observe que, se as desigualdades (4.20) e (4.21) forem válidas,
então (4.2) e (4.3) são satisfeitas e, portanto,𝒮 é estocasticamente estável. Logo, resta provar a existência do limitante no custo quadrático. Observe que (4.20) implica que
Capítulo 4. Resultados Principais 34
é verificada para qualquer 𝑡 ∈ (𝑡𝑘,𝑡𝑘+1). A desigualdade acima, juntamente com a Fórmula
de Dynkin (COSTA et al., 2013b), implica que
ℰ ⎡ ⎣ ∫︁ 𝑡𝑘+1 𝑡𝑘 ‖𝑦(𝑡)‖2𝑑𝑡 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝜃(𝑡+𝑘) ⎤ ⎦< 𝑣(𝑡+𝑘) −ℰ [𝑣(𝑡𝑘+1)|𝜃(𝑡+𝑘)]. (4.24)
Ademais, (4.21) implica que
ℰ [︁
𝑣(𝑡+𝑘+1)|𝜃(𝑡𝑘+1)
]︁
− 𝑣(𝑡𝑘+1) < −‖𝑦(𝑡𝑘+1)‖2, (4.25)
é válida para todo 𝑘 ∈ N. Logo, combinando-se as duas desigualdades acima, temos ℰ ⎡ ⎣ ∫︁ 𝑡𝑘+1 𝑡𝑘 ‖𝑦(𝑡)‖2𝑑𝑡 + ‖𝑦(𝑡 𝑘+1)‖2 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝜃(𝑡+𝑘) ⎤ ⎦< < 𝑣(𝑡+𝑘) −ℰ [︁𝑣(𝑡+𝑘+1)|𝜃(𝑡𝑘+1) ]︁ . (4.26)
Assim, com as desigualdades acima, temos que
ℰ ⎡ ⎣ ∫︁ ∞ 0 ‖𝑦(𝑡)‖2𝑑𝑡 + ∞ ∑︁ 𝑘=1 ‖𝑦(𝑡𝑘)‖2 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝜃0,𝑥0 ⎤ ⎦= = ∞ ∑︁ 𝑘=0 ℰ ⎡ ⎣ℰ ⎡ ⎣ ∫︁ 𝑡𝑘+1 𝑡𝑘 ‖𝑦(𝑡)‖2𝑑𝑡 + ‖𝑦(𝑡𝑘+1)‖2 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝜃(𝑡+𝑘) ⎤ ⎦ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝜃0 ⎤ ⎦, < ∞ ∑︁ 𝑘=0 ℰ [︂𝑣(𝑡+𝑘) −ℰ [︁𝑣(𝑡+𝑘+1)|𝜃(𝑡𝑘+1) ]︁⃒⃒ ⃒ ⃒𝜃0 ]︂ = 𝜈0, (4.27) com 𝜈0 = 𝑣(𝑡+0) = 𝑣(0), pois 𝜃(𝑡+0) = 𝜃(𝑡0) = 𝜃0 e ℰ [︁ 𝑣(𝑡+𝑘)⃒⃒ ⃒𝜃0 ]︁ =ℰ [︂ ℰ [︁ 𝑣(𝑡+𝑘)⃒⃒ ⃒𝜃(𝑡𝑘) ]︁⃒⃒ ⃒ ⃒𝜃0 ]︂ , (4.28)
o que permite os cancelamentos dos termos da série. A prova está completa.
Usando o teorema acima, podemos calcular o melhor limitante superior para a norma ℒ2 da saída de 𝒮 resolvendo-se o problema de otimização convexa
inf 𝑃𝑖∈S𝑛+ {︂ 𝑥T0𝑃𝜃0𝑥0 : (4.20),(4.21) }︂ , (4.29)
supondo-se que seja conhecido o modo inicial da cadeia. Esta hipótese pode ser trivialmente relaxada. Com efeito, da demonstração do teorema acima, é fácil ver que o limitante, na verdade é dado por 𝜈0 = ℰ [𝑣(0+)]. Logo, conhecida a distribuição inicial de 𝜃(0), podemos
Capítulo 4. Resultados Principais 35
4.2
Estabilização via Realimentação de Estado
Nesta seção, estendemos os resultados de análise obtidos para o desenvolvimento de condições de projeto de leis de controle via realimentação de estado que asseguram a estabilidade estocástica do sistema em malha fechada e, além disso, que minimizam o custo quadrático apresentado na seção anterior. Com este fim, consideremos o MJLS híbrido com realização 𝒮 : ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ˙𝑥(𝑡) = 𝐴𝜃(𝑡)𝑥(𝑡) + 𝐵𝜃(𝑡)𝑢(𝑡), 𝜃(𝑡) ∈ ⟨𝑁𝑐⟩, 𝑥(𝑡+) = 𝐴𝜃(𝑡)𝑥(𝑡) + 𝐵𝜃(𝑡)𝑢(𝑡), 𝜃(𝑡) ∈ 𝑁𝑐+ ⟨𝑁𝑑⟩, 𝑧(𝑡) = 𝐶𝜃(𝑡)𝑥(𝑡) + 𝐷𝜃(𝑡)𝑢(𝑡), ∀𝜃(𝑡), (4.30)
em que 𝑥 : R+ → R𝑛 é o estado, 𝑦 : R+ → R𝑝 é a saída e 𝑢 : R+ → R𝑚 é o controle.
Novamente, o estado evolui a partir de uma condição inicial 𝑥0 ∈ R𝑛 e de um modo inicial
𝜃(0) = 𝜃0 ∈ ⟨𝑁𝑐+ 𝑁𝑑⟩. A lei de controle a ser projetada é da forma
𝑢(𝑡) = 𝐾𝜃(𝑡)𝑥(𝑡), ∀𝑡 ∈ R+, (4.31)
ou seja, a lei de controle é uma realimentação de estado dependente do modo. O teorema a seguir provê condições de projeto para os ganhos 𝐾𝑖 ∈ R𝑚×𝑛, 𝑖 ∈ ⟨𝑁𝑐+ 𝑁𝑑⟩, da lei de controle
acima, de forma que a lei (4.31) seja estabilizante e minimize a norma ℒ2/ℓ2 da saída.
Teorema 4.3. Considere o sistema 𝒮 definido em (4.30) e sejam as condições iniciais
𝑥(0) = 𝑥0 ∈ R𝑛 e 𝜃(0) = 𝜃0 ∈ ⟨𝑁𝑐⟩ dadas. Se existirem matrizes 𝑋𝑖 ∈ S𝑛+, 𝑖 ∈ ⟨𝑁𝑐+ 𝑁𝑑⟩
e 𝑍𝑖 ∈ R𝑚×𝑛, 𝑖 ∈ ⟨𝑁𝑐+ 𝑁𝑑⟩, verificando as desigualdades ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝐴𝑖𝑋𝑖+ 𝑋𝑖𝐴𝑇𝑖 + 𝐵𝑖𝑍𝑖+ 𝑍𝑖𝑇𝐵𝑖𝑇 + 𝜆𝑖𝑖𝑋𝑖 ⋆ ⋆ 𝐶𝑖𝑋𝑖+ 𝐷𝑖𝑍𝑖 −𝐼 ⋆ 𝒥𝑖𝑋𝑖 0 −𝒳𝑖 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ < 0, ∀𝑖 ∈ ⟨𝑁𝑐⟩, (4.32) ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑋𝑖 ⋆ ⋆ 𝐶𝑖𝑋𝑖+ 𝐷𝑖𝑍𝑖 𝐼 ⋆ 𝒯𝑖(𝐴𝑖𝑋𝑖+ 𝐵𝑖𝑍𝑖) 0 𝒳 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ > 0, ∀𝑖 ∈ 𝑁𝑐+ ⟨𝑁𝑑⟩, (4.33)
Capítulo 4. Resultados Principais 36 em que 𝒥 = [︁√︁ 𝜆𝑖1𝐼 · · · √︁ 𝜆𝑖𝑖−1𝐼 √︁ 𝜆𝑖𝑖+1𝐼 · · · √︁ 𝜆𝑖𝑁𝐶+𝑁𝐷𝐼 ]︁T , 𝒯 =[︁√ 𝜋𝑖1𝐼 · · · √ 𝜋𝑖𝑁𝐶+𝑁𝐷𝐼 ]︁T , 𝒳 = diag(𝑋1, · · · ,𝑋𝑁𝑐+𝑁𝑑), 𝒳 = diag(𝑋1, · · · ,𝑋𝑖−1,𝑋𝑖+1, · · · ,𝑋𝑁𝑐+𝑁𝑑),
para 𝑖 ∈ ⟨𝑁𝑐+ 𝑁𝑑⟩, então a lei de controle (4.31) com
𝐾𝑖 = 𝑍𝑖𝑋𝑖−1, 𝑖 ∈ ⟨𝑁𝑐+ 𝑁𝑑⟩, (4.34)
torna 𝒮 estocasticamente estável e assegura que a desigualdade ℰ ⎡ ⎣ ∫︁ ∞ 0 𝑦(𝑡)T𝑦(𝑡) 𝑑𝑡 + ∞ ∑︁ 𝑘=1 𝑦(𝑡𝑘)T𝑦(𝑡𝑘) ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝜃0,𝑥0 ⎤ ⎦≤ 𝜈0, (4.35)
seja satisfeita, com 𝜈0 = 𝑥(𝑡0)T𝑋𝜃(𝑡−10)𝑥(𝑡0).
Demonstração. Assuma que (4.32) e (4.33) sejam verificadas para matrizes 𝑋𝑖 ∈ S𝑛+ e 𝑍𝑖 ∈
R𝑚×𝑛, 𝑖 ∈ ⟨𝑁𝑐+ 𝑁𝑑⟩. Aplicando-se Complemento de Schur (apêndice A) em (4.32), podemos
concluir que ⎡ ⎣ He(𝐴𝑖𝑋𝑖+ 𝐵𝑖𝑍𝑖) + 𝜆𝑖𝑖𝑋𝑖+ 𝑋𝑖𝒥𝑖T𝒳 −1 𝑖 𝒥𝑖𝑋𝑖 ⋆ 𝐶𝑖𝑋𝑖+ 𝐷𝑖𝑍𝑖 −𝐼 ⎤ ⎦< 0, (4.36)
é válida para 𝑖 ∈ ⟨𝑁𝑐⟩. Aplicando-se a transformação de congruência definida por diag(𝑋𝑖−1,𝐼)
à matriz acima e definindo-se 𝑃𝑖 = 𝑋𝑖−1 e 𝐾𝑖 = 𝑍𝑖𝑋𝑖−1, temos que a desigualdade acima
implica que ⎡ ⎣ (𝐴𝑖 + 𝐵𝑖𝐾𝑖)T𝑃𝑖+ 𝑃𝑖(𝐴𝑖+ 𝐵𝑖𝐾𝑖) +∑︀𝑁𝑗=1𝑐 𝜆𝑖𝑗𝑃𝑗 ⋆ 𝐶𝑖+ 𝐷𝑖𝐾𝑖 −𝐼 ⎤ ⎦< 0, (4.37)
é válida para todo 𝑖 ∈ ⟨𝑁𝑐⟩. Aplicando-se mais uma vez o Complemento de Schur, esta
desigualdade se torna (4.20) para o sistema em malha fechada definido por 𝒮 e por (4.31), com ganhos 𝐾𝑖 dados acima. Ao aplicarmos passos semelhantes a (4.33), concluímos que esta
desigualdade também implica que (4.21) é válida para o sistema em malha fechada. A prova está completa.
Assim como no caso de análise, podemos usar o teorema acima para determinar a lei de controle que fornece o melhor limitante superior para a norma ℒ2 da saída de 𝒮
Capítulo 4. Resultados Principais 37
resolvendo-se o problema de otimização
inf 𝑋𝑖∈S𝑛+,𝑍𝑖∈R𝑚×𝑛 {︂ 𝑥T0𝑋𝜃−1 0 𝑥0 : (4.20),(4.21) }︂ , (4.38)
que pode ser facilmente tornado convexo. Note que, mais uma vez, existe a hipótese de conhecimento do modo inicial da cadeia, que pode ser relaxada com os mesmos argumentos feitos anteriormente.
Exemplo 4.1. Neste exemplo, ilustraremos os principais aspectos da teoria
desenvol-vida. Considere o sistema 𝒮 descrito em (4.30) com 𝑁𝑐= 2, 𝑁𝑑= 1,
⎡ ⎣ 𝐴1 𝐵1 𝐶1 𝐷1 ⎤ ⎦= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ −2 1 1 3 −6 1 1 0 0 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ , ⎡ ⎣ 𝐴2 𝐵2 𝐶2 𝐷2 ⎤ ⎦= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 1 0 −5 −6 1 1 0 0 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ , ⎡ ⎣ 𝐴3 𝐵3 𝐶3 𝐷3 ⎤ ⎦= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1.0 0.2 1 0.2 0.9 0 0 1 0 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ .
A cadeia de Markov deste MJLS apresenta as seguintes matrizes de transição:
⎡ ⎣ Λ Π ⎤ ⎦= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ −1 0.7 0.3 3 −5.0 2.0 0.8 0.2 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ .
Neste exemplo, consideramos que o sistema evolui a partir de 𝑥0 = [1 1]T e de 𝜃0 = 1.
Primeiramente, analisemos a estabilidade e o desempenho do sistema em malha aberta. Para tanto, resolvemos o problema de otimização (4.29), obtendo as matrizes definidas abaixo 𝑃1 = ⎡ ⎣ 0.3778 0.0633 0.0633 0.0423 ⎤ ⎦; 𝑃2 = ⎡ ⎣ 0.5410 0.0300 0.0300 0.1388 ⎤ ⎦; 𝑃3 = ⎡ ⎣ 0.4356 0.1464 0.1464 1.0867 ⎤ ⎦,
que asseguram a estabilidade do sistema em malha aberta. Estas matrizes asseguram que 𝜈0 = 𝑥T0𝑃1𝑥0 = 0.5467 é um limitante superior para o custo misto ℒ2/ℓ2 da saída.
Capítulo 4. Resultados Principais 38
Para validarmos este custo garantido, realizamos um procedimento de Monte Carlo, com 5000 simulações do sistema em malha aberta, obtendo um custo quadrático médio de 0.4505, abaixo do limitante, como esperado.
Agora, nosso objetivo é utilizar as condições de projeto de controladores pro-posta neste texto para otimizar o custo quadrático do sistema 𝒮 , dado em (4.30), em malha fechada. Resolvendo-se o problema de otimização (4.38), obtivemos os ganhos
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝐾1 𝐾2 𝐾3 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ −0.3623 −0.0868 −0.0121 −0.1327 −0.2631 −0.0788 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ,
que asseguram um limitante 𝜈0 = 0.4491 para as mesmas condições iniciais. Validamos
o projeto realizando 5000 simulações do sistema em malha fechada, obtendo um custo quadrático médio de 0.3991, também abaixo do limitante teórico. Os resultados das duas simulações estão mostrados na Figura 4.1.
Figura 4.1 – Resultados das simulações temporais. Cada gráfico contém uma curva con-tínua, que representa a média da saída 𝑦 em função do tempo, envelopada por uma área de largura igual a um desvio padrão.
Capítulo 4. Resultados Principais 39
Exemplo 4.2. Sistema de Controle Tolerante a Falhas de uma Grua Indus-trial 𝑓 (𝑡) 𝑚𝑡 ( 𝑚𝑝, 𝑙 ) 𝑑 𝜔
Figura 4.2 – Modelo de uma grua industrial
Analisaremos um modelo de uma grua industrial, representada na Figura 4.2, baseado naqueles apresentados em (FIORAVANTI et al., 2014) e (SOUZA; GERO-MEL, 2014). O sistema consiste de um carro de massa 𝑚𝑡, que se move em um trilho
horizontal sob a ação de uma força externa 𝑓 (𝑡), 𝑡 ∈ R+, de uma força de atrito viscoso
com coeficiente 𝑏𝑡. Sobre seu centro de massa, está acoplado um pêndulo composto
homogêneo de massa 𝑚𝑝 e comprimento 𝑙. O pêndulo está sujeito a uma força de atrito
viscoso com coeficiente 𝑏𝑝. Nosso objetivo aqui é projetar adequadamente a força
ex-terna 𝑓 , que tem o conhecimento completo do estado do sistema, de forma a controlar a dinâmica da grua. Neste projeto, consideramos que o sistema de controle apresenta duas possibilidades de falhas: perda de comunicação com sensores e falhas nos atua-dores. O controlador proposto, portanto, dever ser tolerante a estas falhas e assegurar um desempenho médio adequado ao sistema em malha fechada. Antes de discutirmos em detalhes os modos de operação do sistema de controle em questão, apresentaremos o seu modelo dinâmico em detalhes.
Definindo o vetor de estado 𝑥(𝑡) = [𝑑(𝑡) 𝜔(𝑡) ˙𝑑(𝑡) ˙𝜔(𝑡)]T, ∀𝑡 ∈ R+, e sinal
Capítulo 4. Resultados Principais 40
realização dada por (??), em que 𝐴 = 𝑉−1𝐹 e 𝐵 = 𝑉−1𝐽 , com
𝑉 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 𝑚𝑡+ 𝑚𝑝 𝑚𝑝𝑙/2 0 0 𝑚𝑝𝑙/2 −𝑅/𝐿 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ , 𝐹 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 −(𝑏𝑡+ 𝑏𝑝𝑙) −𝑏𝑝𝑙2/2 0 −𝑚𝑝𝑔𝑙/2 −𝑏𝑝𝑙2/2 −𝑏𝑝𝑙3/3 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ,
e 𝐽 = [0 0 1 0]T. Nosso principal objetivo é trazer o carro para a origem, permitindo
apenas pequenas variações na variável 𝜃 e minimizando os esforços de controle neces-sário. Desta forma, a saída controlada é definida pelas matrizes
𝐶 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ , 𝐷 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 0 0.1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ .
Finalmente, assumimos que o sistema parte da posição inicial 𝑑(0) = 10m e que este deve ser trazido para a origem. Para o projeto e simulações numéricas, vamos utilizar os dados numéricos 𝑚𝑡 = 500kg, 𝑚𝑝 = 20kg, 𝑏𝑡 = 1Ns/m2, 𝑏𝑝 = 2Ns/m2, 𝑙 = 1m e
𝑔 = 9.8𝑚/𝑠2. Finalmente, usaremos que 𝐽𝑐𝑚 = 𝑚𝑝𝑙2/12 é o momento de inércia do
pêndulo com respeito a seu centro de massa.
Como dito anteriormente, vamos supor que o sistema está sujeito a falha nos sensores e no seu atuador. Portanto, temos três modos de operação:
∙ 1∘ modo: representa a operação nominal do sistema, ou seja, com funcionamento
ideal dos sensores e aturadores.
∙ 2∘ modo: representa a operação do sistema sujeito a uma falha no seu atuador.
∙ 3∘ modo: representa a operação do sistema sujeito a uma falha nos seus sensores;
neste caso, o sistema opera com a última amostra recebida imediatamente antes da falha.
Modelaremos o sistema em malha fechada como um sistema híbrido com realização (4.30) da seguinte forma. O modo de operação nominal é representado pelas matrizes (𝐴1,𝐵1,𝐶1,𝐷1) = (𝐴,𝐵,𝐶,𝐷). Como a falha de atuação leva a um esforço de controle
Capítulo 4. Resultados Principais 41
𝑢 nulo, representamos o segundo modo pelas matrizes (𝐴1,𝐵1,𝐶1,𝐷1) = (𝐴,0,𝐶,0).
Como dito anteriormente, o terceiro modo compensa a falha nos sensores com o uso da última amostra recebida, 𝑥(𝑡𝑘). A partir desta amostra, o terceiro modo a atualiza com
o modelo da planta a partir de um observador discreto, com período de amostragem
ℎ > 0. O sinal de controle aplicado à planta permanece constante entre duas amostras.
Desta forma, o sinal de controle utilizado se torna
𝑢(𝑡) = 𝐾3𝑥(𝑡𝑘), ∀𝑡 ∈ [𝑡𝑘,𝑡𝑘+ ℎ).
Logo, apenas para esta seção, consideramos que 𝑡+𝑘 = 𝑡𝑘+ ℎ, por questão de
consistên-cia com a notação utilizada anteriormente. Assim, analisando a dinâmica do terceiro modo sob a ótica da evolução discreta 𝑥(𝑡𝑘) → 𝑥(𝑡+𝑘), temos que (𝐴3,𝐵3,𝐶3,𝐷3) =
(𝐴ℎ,𝐵ℎ,𝐶ℎ,𝐷ℎ), em que 𝐴ℎ = 𝑒ℎ𝐴, 𝐵ℎ = ∫︁ ℎ 0 𝑒𝜏 𝐴𝑑𝜏, 𝐶ℎ = √ ℎ𝐶 e 𝐷ℎ = √ ℎ𝐷.
Para este exemplo, adotamos ℎ = 0.1s.
A dinâmica do processo Markoviano que rege as transições deste sistema está ilustrada na Figura 4.3. Para este exemplo, adotamos
⎡ ⎣ Λ Π ⎤ ⎦= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ −1 0.9 0.1 4 −5.0 1.0 0.8 0.1 0.1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ .
Observe que este exemplo permite que a variável de Markov permaneça no modo dis-creto por mais de um instante de tempo. Isto não é permitido no nosso modelo original, mas, como dito anteriormente, pode ser facilmente considerado com uma simples ex-tensão. A principal dificuldade nesta generalização, que estaria no efeito Zeno, não é encontrada neste exemplo pois os saltos discretos estão associados a um passo fixo no tempo, ou seja, 𝑡𝑘+1 = 𝑡+𝑘 = 𝑡𝑘+ ℎ sempre que houver permanência no modo discreto.
