UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO TECNOLÓGICO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
Lucas Iensen Bortoluzzi
Estudo Sobre Aplicação de Otimização topológica ao Problema de Análise Limite para Obtenção de Componentes Estruturais
Florianópolis 2020
Lucas Iensen Bortoluzzi
ESTUDO SOBRE APLICAÇÃO DE OTIMIZAÇÃO
TOPOLÓGICA AO PROBLEMA DE ANÁLISE LIMITE
PARA OBTENÇÃO DE COMPONENTES ESTRUTURAIS
Dissertação submetida ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica da Uni-versidade Federal de Santa Catarina como parte dos requisitos para a obtenção do grau de Mestre em Engenharia Mecânica.
Universidade Federal de Santa Catarina
Orientador: Prof. Eduardo Alberto Fancello, D.Sc.
Coorientador: Prof. Lavinia Maria Sanabio Alves Borges, D.Sc.
Florianópolis
Março, 2020
Ficha de identificação da obra elaborada pelo autor,
através do Programa de Geração Automática da Biblioteca Universitária da UFSC.
Iensen Bortoluzzi, Lucas
Estudo sobre aplicação de Otimização Topológica ao problema de Análise Limite para obtenção de componentes estruturais / Lucas Iensen Bortoluzzi ; orientador, Eduardo Alberto Fancello, coorientador, Lavinia Maria Sanabio Alves Borges, 2020.
163 p.
Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro Tecnológico, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica, Florianópolis, 2020.
Inclui referências.
1. Engenharia Mecânica. 2. Otimização Topológica. 3. Análise Limite. 4. Elementos Finitos. I. Fancello, Eduardo Alberto. II. Sanabio Alves Borges, Lavinia Maria. III. Universidade Federal de Santa Catarina. Programa de Pós Graduação em Engenharia Mecânica. IV. Título.
Lucas Iensen Bortoluzzi
Estudo Sobre Aplicação de Otimização topológica ao Problema de Análise Limite para Obtenção de Componentes Estruturais
O presente trabalho em nível de mestre foi avaliado e aprovado por banca examinadora composta pelos seguintes membros:
Prof.(a) Eduardo Alberto Fancello, Dr.(a) Universidade Federal de Santa Catarina
Prof.(a) Paulo de Tarso Rocha de Mendonça, Dr.(a) Universidade Federal de Santa Catarina
Prof.(a) Antonio André Novotny, Dr.(a) Laboratório Nacional de Computação Científica
Certificamos que esta é a versão original e final do trabalho de conclusão que foi
julgado adequado para obtenção do título de mestre em Engenharia Mecânica.
____________________________ Coordenação do Programa de Pós-Graduação
____________________________ Prof.(a) Eduardo Alberto Fancello, Dr.(a)
Orientador(a)
Florianópolis, 2020.
Documento assinado digitalmente Eduardo Alberto Fancello Data: 01/06/2020 16:20:16-0300 CPF: 028.089.757-08
Documento assinado digitalmente Jonny Carlos da Silva
Data: 02/06/2020 11:15:03-0300 CPF: 514.515.064-49
Agradecimentos
Agradeço:
• aos meus pais Evandro e Valeria, que sempre proveram todo suporte necessário para minha formação como Engenheiro Mecânico, apoiando as minhas escolhas com amor, conselhos e com o suporte financeiro necessário;
• à minha namorada Bruna Pias Peixe, que desde o tempo de colégio está ao meu lado, compartilhando amor e carinho e dividindo todos os momentos, os alegres e os difíceis, e que sempre compreendeu e apoiou minhas decisões, mesmo que isto significasse passar por encontros e despedidas;
• aos meus avós, que sempre se preocuparam com meu bem estar e sempre demonstraram orgulho e carinho por mim;
• aos amigos de Santa Maria, que mesmo longe sempre estiveram perto, trazendo risadas e leveza em momentos difíceis;
• aos amigos que fiz nesta jornada em Florianópolis, que compartilharam o convívio diário no laboratório e as dificuldades da obtenção de título de pós-graduação;
• ao meu orientador Eduardo Fancello, por todo conhecimento compartilhado nesta jor-nada;
“The price for men in motion is the occasional collision.” (Carroll Smith)
Resumo
Há mais de duas décadas o problema de Otimização Topológica (OT) tem sido amplamente estudado, desenvolvendo-se diferentes formulações de algorítmo de otimização, variados mé-todos de solução, e alternando-se os problemas físicos nos quais baseia-se o problema de busca de ótimo. Tratando-se do problema físico, a aplicação mais comum se dá no campo da otimização estrutural, no qual o processo mais explorado consiste na busca da redução da fle-xibilidade de uma estrutura, respeitando uma quantidade de massa disponível para a solução do problema. Mais recentemente tem-se abordado o uso de OT com o objetivo de minimizar a massa de estruturas, com restrições baseadas no campo de tensão da análise. Contudo, ainda versa-se pouco a respeito de OT aplicada à problemas envolvendo processos de deformação plástica, e menos ainda a respeito da aplicação deste método à casos nos quais busca-se o limite plástico de estruturas. Tendo isto em vista, esta dissertação aborda o emprego de Otimização Topológica à estruturas nas quais se aplica o problema de Análise Limite, cuja solução fornece o estado de colapso plástico e a carga limite de um corpo submetido a um perfil de carregamento. Para isto, utiliza-se o método SIMP como técnica de otimização, com solução obtida através de programação matemática com uso do método do Lagrangeano Aumentado. Duas formulações do problema são exploradas, sendo elas: maximização de fator de colapso com restrição de massa (P1), e minimização de massa com restrição de fator de colapso (P2). Diversos exemplos são solucionados, com base nas análises apresentadas no trabalho de (FIN; BORGES; FANCELLO, 2018), mostrando a aplicabilidade das formula-ções propostas, assim como suas vantagens e desvantagens em relação àquela apresentada no trabalho utilizado como referência. A formulação do problema P1 mostrou-se mais capaz de alcançar maiores valores de fator de colapso do que os encontrados no trabalho de referência. Já o problema P2 alcançou mínimos próximos, ou até melhores, que àqueles alcançados em P1, com o limite mínimo de fator de colapso imposto em P2 sendo o mesmo que o valor máximo encontrado em P1, em um mesmo exemplo. Desta forma, considera-se que o uso de uma abordagem baseada em programação matemática foi capaz de prover maior versa-tilidade na escolha do problema de ótimo. Em contrapartida, os algorítmos escolhidos para a solução dos problemas necessitaram de um número superior de iterações para definição de uma topologia final, em relação ao algorítmo baseado em heurística utilizado em (FIN; BORGES; FANCELLO, 2018). Além disto, foi necessário o uso de uma técnica de projeção aliada a uma abordagem de continuação para obtenção de uma topologia bem definida, o que tornou o problema mais complexo e menos eficiente.
Palavras-chave: Otimização Topológica. Análise Limite. Lagrangeano Aumentado.
Abstract
For over two decades, the Topology Optimization (TO) problem has been widely studied, with developments in the formulation of optimization algorithm, in the methods employed to obtain the solution and in the physical problem in which the optimization problem is based. The most common application is in the structural optimization field, in which the most explored problem is the search for the minimum compliance of a structure, with an upper bound constraint in the amount of material available to the solution. Recently, the application of the TO method in different structural problems has been taken in account, as the mass reduction of a body with constraints in its stress field. However, there are few studies about Topology Optimization applied to inelastic bodies, and even less about the use of the TO method in bodies in which the plastic limit is considered. Based on what was exposed, this thesis concerns the application of the Topology Optimization method to structures analyzed by the Limit Analysis theory, which solution provides the collapse state and the limit load of a body submitted to a load profile. The SIMP optimization algorithm is used, with its solution provided by a mathematical programming approach, using the Augmented Lagrange method. Two optimization problems were formulated: the maximization of the collapse factor with an upper bound constraint in the available material (P1), and the mass minimization with a lower bound constraint in the collapse factor (P2). Many cases were analyzed, taking as example the ones presented by (FIN; BORGES; FANCELLO, 2018), and the results were compared to show the applicability and the advantages and disadvantages of the proposed formulations. For the problem P1, the formulation proposed in this work achieved higher values of collapse factor than the ones presented in the reference work. Meanwhile, the problem P2 achieved the same optimums results, or even better in some cases, than those reached with the use of P1 formulation, with the minimum limit to the collapse factor settled in P2 being the same as the maximum value obtained in P1 in the same example. Therefore, it is considered that the use of a mathematical programming approach was able to provide more versatility in the selection of the optimization problem. However, the optimization routines used to solve the problem resulted in a greater number of iterations to obtain a topology when compared to the heuristic algorithm used in (FIN; BORGES; FANCELLO, 2018). Furthermore, the use of a projection method paired with a continuation approach was needed to achieve a well-defined topology, which contributed to make the problem more complex and less efficient.
Keywords: Topology Optimization. Limit Analysis. Augmented Lagrange. Collapse factor.
Lista de Figuras
Figura 1 – Ilustração das geometrias obtidas através dos processos de otimização pa-ramétrica, de forma e topológica, respectivamente. . . 19 Figura 2 – Curva representativa do modelo elástico idealmente plástico. . . 29 Figura 3 – Representação da função de escoamento f (T ) genérica em um caso
uni-dimensional. . . 31 Figura 4 – Representação da superfície de escoamento de von Mises. . . 32 Figura 5 – Representação da função χc(T ) em um caso unidimensional. . . . 33
Figura 6 – Representação de vetores representando os tensores de tensão e de taxa de deformação plástica, no espaço das tensões principais, na superfície de escoamento cilíndrica de von Mises. . . 34 Figura 7 – Representação de domínio original e domínio otimizado. . . 44 Figura 8 – Influência dos valores do expoente p na não linearidade da variável ρ. . . 45 Figura 9 – Influência dos parâmetros δ e η na variável densidade projetada. . . . 52 Figura 10 – Problema do cilindro de paredes espessas utilizado como referência. . . . 54 Figura 11 – Tensão equivalente de von Mises no caso de referência. . . 55 Figura 12 – Problema da placa com furo central utilizado para reproduzir topologia
do cilindro de paredes espessas. . . 55 Figura 13 – Distribuição de densidades a fim de simular problema de tubo de parede
espessa, no caso otimizado. . . 56 Figura 14 – Campo de tensão equivalente de von Mises para ρmin = 0.010. a)
Confi-guração com p = 1.0. b) ConfiConfi-guração com p = 2.0. . . . 58 Figura 15 – Campo de tensão equivalente de von Mises para ρmin = 0.05. a)
Configu-ração com p = 1. b) ConfiguConfigu-ração com p = 2. c) ConfiguConfigu-ração com p = 3. . . . 59 Figura 16 – Campo de tensão equivalente de von Mises e convergência de α para
ρmin = 0.1. a) Configuração com p = 1. b) Configuração com p = 2.
c) Configuração com p = 3. . . . 60 Figura 17 – Campo de tensão equivalente de von Mises e convergência de α utilizando
a nova formulação com ρmin = 0.010. a) Configuração com p = 1. b)
Configuração com p = 2. c) Configuração com p = 3. . . . 65 Figura 18 – Campo de tensão equivalente de von Mises e convergência de α utilizando
a nova formulação com ρmin = 0.050. a) Configuração com p = 1. b)
Figura 19 – Campo de tensão equivalente de von Mises e convergência de α utilizando a nova formulação com ρmin = 0.1. a) Configuração com p = 1. b)
Configuração com p = 2. c) Configuração com p = 3. . . . 67
Figura 20 – Evolução do fator de relaxação ao longo das iterações. a) Formulação com tensão não homogeneizada. b) Formulação com tensão homogeneizada. . 68
Figura 21 – Evolução do fator de relaxação durante todo processo de solução do pro-blema de Análise Limite com uso de tensão homogeneizada. . . 69
Figura 22 – Exemplificação da montagem dos conjuntos Vi e I para o cálculo da sen-sibilidade. . . 75
Figura 23 – Representação do problema da barra sob tração. . . 81
Figura 24 – Representação do problema do cilindro de paredes espessas sob pressão interna. . . 82
Figura 25 – Representação do problema da viga engastada sob flexão. . . 83
Figura 26 – Representação do problema da viga bi-engastada sob flexão. . . 83
Figura 27 – Representação do problema da viga em formato de “L” sob flexão. . . 84
Figura 28 – Campo de densidades projetado (ρ) obtido com uso do algorítmo ALG1 aplicado ao problema da barra sob tração. . . 86
Figura 29 – Gráfico da função de Lagrangeano Aumentado e das funções a compõe. . 87
Figura 30 – Gráficos das cem primeiras iterações do processo de minimização com: a) M = 5 b) M = 1. . . . 87
Figura 31 – Configuração final do campo de densidades projetadas, obtida com ALG3. 88 Figura 32 – Campo de Tensão Equivalente de Von-Mises para a distribuição de densi-dades da Figura (28). . . 90
Figura 33 – Campo de densidades projetado (ρ) e respectivos gráficos de funções ob-tidos com uso dos algorítmos ALG1 (a) e ALG3 (b) aplicado ao problema do cilindro de parede espessa. . . 91
Figura 34 – Campos de tensão equivalente de Von-Mises para as topologias obtidas com: a) ALG1 e b) ALG3. . . 93
Figura 35 – Campos de magnitude de taxa de deformação para as topologias obtidas com: a) ALG1 e b) ALG3. . . 94
Figura 36 – Topologias finais obtidas para o problema do cilindro e seus respectivos gráficos de funções com uso do algorítmo: a) ALG2 e b) ALG4. . . 95
Figura 37 – Distribuições ótimas de densidades obtidas com uso do algorítmo ALG3 com uso de raio de filtro: a) R = 0.026, b) R = 0.076. . . . 96
Figura 38 – Campo de densidades filtradas obtido com uso do algorítmo ALG3 e raio de filtro R = 0.076. . . . 97
Figura 39 – Campos de tensões equivalentes de Von-Mises e campos de velocidades resultantes dos campos de densidades da Figura (37). . . 98 Figura 40 – Topologias finais e gráfico das funções do processo de otimização obtidos
com uso do algorítmo ALG3 com os seguintes tamanhos de malha: a)
Le = 0.025, b) Le = 0.045, c) Le= 0.075. . . . 100
Figura 41 – Topologias obtidas para o problema da barra engastada com uso do algo-rítmo ALG1 para malhas com tamanhos de elementos configurados em:
Le = 0.025 (a), Le = 0.045 (b) e Le = 0.075 (c). . . . 102
Figura 42 – Topologias obtidas para o problema da barra engastada com uso do al-gorítmo ALG1 para malhas com tamanhos de elementos configurados em
Le = 0.045 (a) e Le = 0.075 (b), com fatores de penalização κg = 10−5 (a)
e κg = 10−4 (b). . . 103
Figura 43 – Campos de densidades projetadadas do problema da viga bi-engastada, obtidos com uso do algorítmo ALG3 com uso de M = 10 (a), M = 5 (b) e M = 1 (c). . . 105 Figura 44 – Gráficos das funções referentes às análises realizadas na Figura (44). . . 106 Figura 45 – Comparação entre topologias no inínico da segunda iteração de projeção,
para o problema da viga bi-engastada com uso do algorítmo ALG3 com
M = 10 (a) e M = 1 (b). . . . 107
Figura 46 – Campos de densidades projetadadas do problema da viga bi-engastada, obtidos com uso do algorítmo ALG1 (a) e ALG2 (b). . . 109 Figura 47 – Campo de tensões equivalentes de Von-Mises (a) e campo de
magnitu-des de taxa de deformação (b) referentes à topologia obtida com uso do algorítmo ALG1. . . 110 Figura 48 – Progresso do campo de densidades do processo de otimização realizado na
viga Bi-engastada com uso do algorítmo ALG1. . . 111 Figura 49 – Campos de densidades projetadas das análises realizadas com uso do
al-gorítmo ALG3 (a) e ALG4 (b) aplicado ao problema da viga em formato de “L”. . . 112 Figura 50 – Campo de densidades projetadas exposto de forma elementar juntamente
com a estrutura da malha, obtido com uso do algorítmo ALG3 aplicado ao problema da viga em formato de “L”. . . 113 Figura 51 – Campo de densidades projetadas obtido com uso do algorítmo ALG3
apli-cado ao problema da viga em formato de “L”, exposto de forma elementar juntamente com a estrutura da malha regularizada. . . 114
Figura 52 – Campo de densidades projetadas obtido com uso do algorítmo ALG1 apli-cado ao problema da viga em formato de “L”, com fatores de penalização
κg = 10−5 (a) e κg = 10−6 (b). . . 115
Figura 53 – Topologias obtidas com aplicação do algorítmo ALG1 ao problema de mi-nimização de flexibilidade da viga em formato de “L” sob flexão. Utilizou-se como fatores de penalização: κg = 10−6 (a) e κg = 10−7 (b). . . 116
Figura 54 – Campos de tensão equivalente de Von-Mises e de magnitude de taxa de deformação plástica para os problemas de maximização de fator de colapso (a) e minimização de flexibilidade (b) de topologias obtidas com uso do algorítmo ALG1. . . 117 Figura 55 – Campos de densidades projetadas das topologias finais obtidas para o
problema da barra sob tração, com formulação de minimização de massa com restrição de fator de colapso, utilizando os algorítmos ALG1 (a) e ALG3 (b). . . 119 Figura 56 – Campos de tensão equivalente de Von-Mises das topologias finais obtidas
para o problema da barra sob tração, com formulação de minimização de massa com restrição de fator de colapso, utilizando os algorítmos ALG1 (a) e ALG3 (b). . . 119 Figura 57 – Campos de magnitudes de taxa de deformação e de velocidades das
topo-logias finais obtidas para o problema da barra sob tração, com formulação de minimização de massa com restrição de fator de colapso, utilizando os algorítmos ALG1 (a) e ALG3 (b). . . 120 Figura 58 – Campos de densidades projetadas das topologias finais obtidas para o
pro-blema do cilindro de parede espessa sob pressão interna, com formulação de minimização de massa com restrição de fator de colapso, utilizando os algorítmos ALG1 (a) e ALG3 (b). . . 121 Figura 59 – Campos de tensão equivalente de Von-Mises das topologias finais obtidas
para o problema do cilindro de parede espessa sob pressão interna, com formulação de minimização de massa com restrição de fator de colapso, utilizando os algorítmos ALG1 (a) e ALG3 (b). . . 122 Figura 60 – Campos de magnitudes de taxa de deformação e de velocidades das
to-pologias finais obtidas para o problema do cilindro de parede espessa sob pressão interna, com formulação de minimização de massa com restrição de fator de colapso, utilizando os algorítmos ALG1 (a) e ALG3 (b). . . . 123 Figura 61 – Campo de densidades projetadas da topologia final obtida para o problema
da viga engastada, com formulação de minimização de massa com restrição de fator de colapso. . . 124
Figura 62 – Topologias finais obtida para o problema da viga engastada, com formula-ção de minimizaformula-ção de massa com restriformula-ção de fator de colapso, utilizando o algorítmo ALG1 com: (a) κg = 5 × 10−7 e (b) κg = 10−7. . . 125
Figura 63 – Campos de tensão equivalente e magnitudes de taxa de deformação, das topologias obtidas para o problema da viga engastada, com formulação de minimização de massa com restrição de fator de colapso, utilizando o algorítmo ALG1 com: (a) κα = 5 × 10−7 e (b) κg = 10−7. . . 126
Figura 64 – Campos de velocidades das topologias obtidas para o problema da viga engastada, com formulação de minimização de massa com restrição de fator de colapso, utilizando o algorítmo ALG1 com: (a) κg = 10−6, (b)
κg = 5 × 10−7 e (c) κg = 10−7. . . 127
Figura 65 – Topologias final obtida para o problema da viga engastada, com formula-ção de minimizaformula-ção de massa com restriformula-ção de fator de colapso, utilizando o algorítmo ALG3. . . 128 Figura 66 – Campos de tensão equivalente, magnitudes de taxa de deformação e
ve-locidade, da topologia obtida para o problema da viga engastada, com formulação de minimização de massa com restrição de fator de colapso, utilizando o algorítmo ALG3. . . 129 Figura 67 – Topologias finais obtidas com uso dos algorítmos ALG1 (a) e ALG3 (b)
para o problema da viga bi-engastada sob flexão, com formulação de mi-nimização de massa com restrição de fator de colapso. . . 130 Figura 68 – Topologias finais obtidas com uso do algorítmo ALG1, para o problema
da viga bi-engastada sob flexão, com formulação de minimização de massa com restrição de fator de colapso, fazendo uso de κg = 3 × 10−3 (a),
κg = 5 × 10−3 (b) e κg = 10−2 (c). . . 131
Figura 69 – Campos de tensão equivalente de Von-Mises das topologias obtidas com uso dos algorítmos ALG1 (a) e ALG3 (b) para o problema da viga bi-engastada sob flexão, com formulação de minimização de massa com res-trição de fator de colapso. . . 132 Figura 70 – Campos de magnitudes de taxa de deformação das topologias obtidas com
uso dos algorítmos ALG1 (a) e ALG3 (b) para o problema da viga bi-engastada sob flexão, com formulação de minimização de massa com res-trição de fator de colapso. . . 133 Figura 71 – Campos de densidades projetadas, de tensão equivalente de Von-Mises, de
magnitudes de taxa de deformação e de velocidades referentes à topologia obtida com uso do algorítmo ALG1. . . 134
Figura 72 – Topologias finais obtidas com uso do algorítmo ALG3 aplicado ao pro-blema da viga em formato de “L”, com formulação de minimização de massa com restrição de fator de colapso, com uso de fatores de penaliza-ção: κα = 10 (a) e κα = 100 (b). . . 135
Figura 73 – Campos de magnitudes de taxa de deformação e de velocidades referentes às topologias obtidas com uso do algorítmo ALG3 aplicado ao problema da viga em formato de “L”, com formulação de minimização de massa com restrição de fator de colapso, com fatores de penalização: κα = 10 (a) e
Lista de Tabelas
Tabela 1 – Resultados dos testes com geometria de referência para problema do ci-líndro de paredes espessas. . . 54 Tabela 2 – Resultados obtidos para variados parâmetros no caso otimizado. . . 57 Tabela 3 – Resultados obtidos para variados parâmetros no caso otimizado, com a
nova formulação do problema. . . 64 Tabela 4 – Tabela de parâmetros de execução do algorítmo que resultou na solução
demonstrada na Figura (28). . . 85 Tabela 5 – Tabela de parâmetros de execução do algorítmo que resultou na solução
demonstrada na Figura (31). . . 89 Tabela 6 – Tabela de parâmetros de execução do algorítmo que resultou na solução
demonstrada na Figura (33). . . 92 Tabela 7 – Parâmetros utilizados na análise de convergência de malha con uso do
Sumário
Lista de Figuras . . . . 7 Lista de Tabelas . . . . 13 1 INTRODUÇÃO . . . . 18 1.1 Contexto . . . 18 1.2 Objetivos . . . 20 1.3 Estrutura do Documento . . . 21 2 REVISÃO TEÓRICA . . . . 23 2.1 Análise Limite . . . 23 2.1.1 Relações cinemáticas . . . 232.1.2 Equações de balanço e princípios termodinâmicos . . . 24
2.1.3 Relações constitutivas e modelo rígido plástico . . . 26
2.1.3.1 Modelo elástico idealmente plástico . . . 29
2.1.4 Princípios e caracterização do colapso plástico . . . 34
2.1.4.1 Formulação estática . . . 36
2.1.4.2 Formulação cinemática. . . 36
2.1.4.3 Formulação mista . . . 37
2.1.5 Formulação discreta . . . 38
2.1.6 Solução do problema de Análise Limite . . . 41
2.2 Otimização Topológica . . . 44
2.3 Método do Gradiente Projetado Espectral . . . 46
3 FORMULAÇÕES DOS PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO . . . . 49
3.1 Métodos para redução do espaço de solução . . . 49
3.1.1 Penalização do gradiente do campo de densidades . . . 49
3.1.2 Filtro de densidade . . . 50
3.1.3 Projeção parametrizada . . . 51
3.2 Uso do método SIMP aplicado ao problema de Análise Limite . . . . 52
3.2.1 Formulação com base em tensão não homogeneizada . . . 61
3.3 Definição dos Problemas de Projeto Ótimo . . . 69
3.3.1 Análise de Sensibilidade das Funções. . . 72
3.3.1.2 Sensibilidade do volume . . . 75
3.3.1.3 Sensibilidade da norma do gradiente de densidades . . . 76
3.3.1.4 Sensibilidade da densidade projetada através da projeção paramétrica . . . 76
3.4 Algorítmos . . . 77
4 RESULTADOS NUMÉRICOS E DISCUSSÕES . . . . 81
4.1 Problema de minimização de fator de colapso com restrição de massa 85 4.1.1 Barra sob tração . . . 85
4.1.2 Cilindro de parede espessa sob pressão interna. . . 90
4.1.3 Viga engastada sob flexão . . . 95
4.1.4 Viga Bi-engastada sob flexão. . . 104
4.1.5 Viga em formato de “L” sob flexão . . . 111
4.2 Problema de minimização de massa com restrição de fator de colapso 117 4.2.1 Barra sob tração . . . 118
4.2.2 Cilindro de parede espessa sob pressão interna. . . 121
4.2.3 Viga engastada sob flexão . . . 123
4.2.4 Viga bi-engastada sob flexão . . . 129
4.2.5 Viga em formato de “L” sob flexão . . . 133
5 CONCLUSÕES . . . 137
5.1 Sugestões para trabalhos futuros . . . 138
A – ALGORÍTMO DE SOLUÇÃO DO PROBLEMA DE ANÁLISE LI-MITE . . . 140
A.1 Algorítmo A . . . 140
A.2 Inicialização . . . 141
A.3 Critérios de convergência . . . 141
A.4 Determinação dos fatores de contração e relaxação . . . 142
A.4.1 Algorítmo B . . . 143
APÊNDICE B – PROCESSO DE OBTENÇÃO DAS EQUAÇÕES DO ALGORÍTMO DO PROBLEMA DE ANÁLISE LI-MITE . . . 145
B.1 Forma discreta da matriz B. . . 148
B.2 Forma discreta da matriz gradiente da função de escoamento . . . . 150
B.3 Forma discreta da matriz H. . . 152
SUMÁRIO 17
APÊNDICE C – CRITÉRIO DE ESCOAMENTO DA MÁXIMA ENER-GIA DE DISTORÇÃO . . . 156 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS . . . 160
18
1 Introdução
1.1 Contexto
Nas décadas passadas, o processo de desenvolvimento de um produto era realizado baseado predominantemente em experiências prévias dos projetistas envolvidos, e em sucessões de processos de tentativa e erro. Contudo, nos últimos anos, devido às maiores exigências do mercado, tem-se buscado o emprego de técnicas que permitam alcançar resultados com maior qualidade, em menor tempo e com menor custo Zargham et al. (2016).
Tratando-se do projeto estrutural de um produto, a qualidade usualmente está atrelada à obtenção de uma estrutura de baixo peso, que tenha sua produção de forma rápida, pouco custosa, e que suporte as cargas de projeto pré estabelecidas. Estas características podem ser empregadas em um contexto de otimização, que segundo Arora (2016), baseia-se em melhorar uma medida de performance, satisfazendo os requerimentos existentes. Para isto, utilizam-se funções de desempenho que fornecem esta medida de performance, de acordo com um conjunto de variáveis denominadas variáveis de projeto.
De uma forma geral o problema de otimização pode então ser enunciado formalmente como min x f (x) sujeito à h (x) = 0 g (x) ≤ 0, (1.1) em que f (x) é a função de desempenho, h (x) e g (x) são respectivamente as restrições de igualdade e desigualdade, e x é o vetor de variáveis de projeto.
O problema de otimização estrutural geralmente é dividido em três grupos clássicos, sendo eles o da otimização paramétrica, da otimização de forma e da otimização topológica Bendsoe (1995), Emmendoerfer Jr. (2015). Apesar de simplificada, esta definição introduz as principais características de cada classe, sendo elas:
• Otimização paramétrica: o domínio do problema é fixo ao longo do processo de otimi-zação e as variáveis de projeto são características do material e/ou geométricas; • Otimização de forma: o domínio do problema é determinado de acordo com a
pa-rametrização do seu contorno, cujo controle é feito através das variáveis de projeto. Tem como principal contraponto, que a topologia inicial deve ser determinada pelo projetista;
Capítulo 1. Introdução 20
O uso da otimização topológica pode ser distinguido quanto ao tipo de problema à qual ela será empregada. A grande maioria dos estudos foram realizados com sua aplicação em problemas de minimização de compliance com restrição de massa, ou, mais recentemente, minimização de massa com restrição de tensão, em problemas de elasticidade linear. Contudo, alguns trabalhos focaram na aplicação do processo de otimização topológica a modelos de materiais elasto-plásticos, não lineares. Destacam-se, neste contexto, os trabalhos de Jung e Gea (2004), Huang, Xie e Lu (2007), Nakshatrala e Tortorelli (2015), Wallin, Jönsson e Wingren (2016), onde o enfoque se dá principalmente no desenvolvimento de estruturas para absorção de energia. Este tipo de abordagem, entretanto, requer o conhecimento da história do processo de deformação, sendo necessária a sua execução de forma incremental, aumentando o custo computacional e a dificuldade da obtenção da sensibilidade do problema de ótimo.
Uma alternativa para contornar este problema é a utilização da formulação de Análise Limite, cujos teoremas de limite mínimo e limite máximo fornecem um intervalo para a carga limite de colapso que atua em um corpo, sem a necessidade de utilização de um processo incremental. O emprego desta teoria se dá principalmente na análise de estabilidade de solos sob a atuação de carregamentos, sendo utilizada no projeto de alicerces e barreiras de contenção Chen e Liu (1990); e também na análise das cargas atuantes em processos de conformação de metal, destacando-se os processos de extrusão e trefilação Avitzur (1977). Um terceiro caso de aplicação está na determinação da energia de deformação e modos de colapso de estruturas para absorção de energia Fin, Borges e Fancello (2018). Tem-se como exemplo o trabalho de Feng et al. (2015), que visa determinar os modos de colapso de tubos de paredes finas.
1.2 Objetivos
Tendo visto o contexto no qual está inserida a otimização topológica e as capacidades de aplicação do problema de Análise Limite, tem-se como principal motivação para esta pesquisa, o desenvolvimento de procedimentos de otimização topológica que possibilitem determinar a topologia de corpos que, sob regime de deformação plástica, consigam suportar uma dada carga de projeto.
Delimita-se então como objetivo principal para este trabalho, o estudo de diferentes alter-nativas para formular o problema de otimização topológica estrutural, considerando o critério de falha por colapso plástico, utilizando para isto o modelo de Análise Limite e algoritmos de programação matemática baseados em cálculo de gradientes.
Esta proposta busca dar continuidade e complementar estudos já iniciado neste tema e expostos na publicação de Fin, Borges e Fancello (2018). A satisfação deste objetivo
Capítulo 1. Introdução 21
principal implicará, como consequencia, em alcançar o seguinte conjunto de objetivos inter-mediários/específicos:
• O entendimento do problema de Análise Limite, incluindo suas diferentes formulações e formas variacionais;
• Formulação de uma abordagem de otimização baseada em programação matemática, aplicada ao problema de Análise Limite, que permita modificar de forma fácil os obje-tivos e restrições do problema;
• Implementação numérica do programa de otimização;
• Obtenção de resultados numéricos para avaliação de capacidade e desempenho da me-todologia proposta, utilizando casos padrão encontrados na bilbliografia relacionada.
1.3 Estrutura do Documento
O conteúdo desta dissertação foi dividido em cinco capítulos, cada um deles podendo con-ter uma, ou mais seções, ou subseções. Os assuntos relacionados a cada um destes capítulos são:
• Capítulo 1: contém uma contextualização dos temas abordados na dissertação, assim como os objetivos do trabalho realizado e a estrutura do texto em questão.
• Capítulo 2: contém revisão teórica dos temas envolvidos no trabalho, divididos em duas grandes partes, sendo elas a Análise Limite e a Otimização Topológica. Em relação ao primeiro tema está apresentada a sua formulação e como ela foi originada, enquanto ao que tange o segundo tema, estão dissertados os conceitos primários acerca do método SIMP e as teorias de otimização com uso do método do gradiente projetado utilizando passo espectral.
• Capítulo 3: neste capítulo está descrito como foi abordado o processo de otimização topológica utilizando o problema de Análise Limite (incluindo as modificações neces-sárias na sua formulação), as formulações dos problemas de otimização e as análises de sensibilidade das funções objetivos.
• Capítulo 4: neste capítulo estão expostos os resultados obtidos na execução dos pro-blemas de otimização, assim como os comparativos com dados existentes na literatura. • Capítulo 5: contém o que foi concluído com a realização do trabalho de mestrado, usando como base os resultados obtidos. Além disto, estão expostas as possíveis sequên-cias que podem ser dadas em um estudo nesta linha de pesquisa.
Capítulo 1. Introdução 22
Este material possui também três apêndices, com os seguintes conteúdos:
• Apêndice A: descrição do algorítmo para solução do problema de Análise Limite em forma de tópicos.
• Apêndice B: contém informações pertinentes à dedução do algorítmo para solução do problema de Análise Limite e a topologia das matrizes envolvidas na sua formulação discreta.
• Apêndice C: descrição do critério de falha utilizado na solução do problema de Análise Limite e como este foi utilizado no algorítmo.
23
2 Revisão Teórica
2.1 Análise Limite
Define-se um estado crítico de um corpo de material rígido-plástico, como aquele em que é possível haver um crescimento considerável da deformação plástica (muito superior do que o da deformação elástica), sem variação de carregamento. Em corpos de materiais perfeitamente plásticos, este estado é chamado de fluxo plástico irrestrito e o carregamento que provoca sua ocorrência é chamado de carga limite ou, mais especificamente, carga limite devido ao colapso plástico Lubliner (2006).
No contexto da teoria da Plasticidade, a Análise Limite aparece como uma alternativa para o cálculo da carga de colapso, sendo outra possibilidade a execução de uma análise elastoplástica incremental. Contudo, como o foco de interesse reside no estado final e não na história (ou processo) de deformação, o custo computacional intrínseco à uma análise incremental torna esta menos atrativa Borges (1991).
2.1.1
Relações cinemáticas
Designa-se B como um corpo deformável que ocupa regiões no espaço Euclidiano de pontos. O domínio ocupado pelo corpo B na sua condição indeformada, aqui tomada como configuração de referência, é denotado por Ω0. Cada um dos pontos do corpo são referenciados
por seu vetor posição X. Designa-se Γ0 = ∂Ω0 como a fronteira deste domínio. A partir
da configuração de referência, admite-se a existência de uma configuração deformada, cujos pontos são obtidos através da transformação biunívoca
x= χ (X, t) . (2.1)
O deslocamento do corpo entre a configuração de referência e a configuração deformada no instante t, é dado pelo campo u, definido mediante a seguinte expressão:
u(X, t) = χ (X, t) − X. (2.2)
O gradiente do campo de mapeamento em relação às coordenadas X fornece o tensor F :
Capítulo 2. Revisão Teórica 24
Designa-se como medida de deformação, o tensor de deformação de Green - St. Venan: E= 1
2
FTF − I. (2.4)
Este pode ser colocado em função do gradiente do vetor deslocamento, tendo em vista que
∇u = F − I, (2.5)
e que esta igualdade, substituída na Equação (2.4), resulta em E= 1
2
h
∇u + (∇u)T + (∇u)T ∇ui. (2.6)
Levando-se em conta a teoria de pequenas deformações, tem-se que F ≈ I e portanto, ∇u → 0, resultando no surgimento do tensor de deformações infinitesimais, dado por
ε = 1 2
h
∇u + (∇u)Ti. (2.7)
A derivada temporal do tensor ε fornece o tensor taxa de deformação infinitesimal D, que é expresso segundo a equação
D= 1 2
h
∇v + (∇v)Ti, (2.8)
sendo v = ˙u o campo de velocidades.
2.1.2
Equações de balanço e princípios termodinâmicos
O princípio da conservação de massa dita que no movimento entre a configuração de referência Ω0 e a configuração deformada Ω, não há alteração de massa do corpo B, ou seja,
m (Ω0) = m (Ω). Este princípio sintetiza-se na forma local da equação da continuidade de
massa
˙ρ + ρdiv (v) = 0. (2.9)
O teorema de Cauchy estabelece que para um campo de forças de superfície t atuando na fronteira Γ ∈ ∂Ω de normal n, existe um único campo tensorial T , tal que
t= T n. (2.10)
Por outro lado, o balanço mecânico do corpo dita que a variação da quantidade de movimento linear é equilibrada pela atuação da tração t, na fronteira Γt (sendo esta a parte da fronteira
Γ na qual se prescreve tração) e da força de corpo b no volume Ω, logo,
Z Ωρ ˙vdV = Z Γt tdS + Z ΩbdV. (2.11)
Capítulo 2. Revisão Teórica 25
Tem-se que dV e dS são respectivamente diferencial de volume e diferencial de área. Da conservação de quantidade de movimento angular, é possível estabelecer a relação de simetria do tensor de tensões, isto é,
T = TT. (2.12)
Através destes dois princípios obtém-se a forma local da equação do movimento, representada pela equação diferencial parcial
∇ · T + b = ρ¨u. (2.13)
Para o caso em que as forças inerciais ρ¨usão muito pequenas, chega-se a denominada equação de equilíbrio quase estático:
∇ · T + b = 0. (2.14)
Utilizando resíduos ponderados, é possível verificar que a Equação (2.14) é equivalente ao denominado Princípio das Potências Virtuais, dado por:
Z ΩT : DwdV = Z Ωb· wdV + Z Γt t· wdS, ∀w ∈ W0, (2.15)
sendo W0 o conjunto das velocidades virtuais cinematicamente admissíveis, e D o operador
de derivação que fornece a parte simétrica do gradiente de velocidades. Designa-se como carregamento externo a parcela à direita desta equação, referida como
L (v) = Z Ωb· wdV + Z Γt t· wdS. (2.16)
Já o lado esquerdo da Equação (2.15) é denotado por hT , Dwi =
Z
ΩT : DwdV . (2.17)
Levando em consideração a conservação de massa, a conservação de momentos, o teorema de Cauchy, e fazendo uso do postulado do princípio da conservação de energia, obtém-se a expressão local da primeira Lei da Termodinâmica
ρ ˙e = T : D + ρr − ∇ · q, ∀x ∈ Ω, (2.18)
sendo e a densidade de energia interna específica, r a densidade de geração de calor, e q o fluxo de calor para o corpo.
Capítulo 2. Revisão Teórica 26
Por fim, a segunda Lei da Termodinâmica postula que, em processos termodinamicamente admissíveis, a taxa de produção de entropia ˙S é maior ou igual a taxa de produção interna de entropia ˙η: ˙ S ≥ ˙η, (2.19) onde ˙ S = Z Ω ˙sdV , (2.20)
com s representando a densidade de entropia, e ˙η = Z Ω r θdV − Z Ω∇ · q θ dV, (2.21)
na qual a variável θ representa a temperatura absoluta. A segunda Lei da Termodinâmica, dada pela inequação (2.19), tem sua forma local expressa por:
˙s −rθ + ∇ ·
q θ
≥ 0. (2.22)
A substituição da primeira lei (2.18), na inequação da segunda lei (2.22), resulta na desigualdade de Clausius-Duhem, expressa como
T : D − q ·∇θ
θ −
˙
Ψ + ˙θs≥ 0. (2.23)
A variável Ψ designa a densidade de energia livre de Helmholtz, que tem como definição
Ψ = e − θs, (2.24)
podendo ser substituída pela relação
Ψ = ρψ, (2.25)
sendo ψ a densidade de energia livre específica.
O processo de obtenção das equações e inequações apresentadas neste item pode ser conferido em Holzapfel (2000), Gurtin, Fried e Anand (2010), Tadmor e Miller (2011).
2.1.3
Relações constitutivas e modelo rígido plástico
A fim de diferenciar os tipos existentes de materiais, introduz-se a noção de modelo cons-titutivo do material. Todo modelo conscons-titutivo, inclusive o modelo rígido plástico utilizado
Capítulo 2. Revisão Teórica 27
na formulação do problema de Análise Limite, deve respeitar os axiomas básicos da mode-lagem constitutiva. Para isto, é estabelecida a definição de processo termocinético em um corpo B, como o par de campos χ (X, t) e θ (X, t). Define-se também o conjunto de campos {T (X, t) , e (X, t) , s (X, t) , r (X, t) , b (X, t) , q (X, t)} , (2.26) satisfazendo as equações de balanço mecânico, a conservação de energia e a segunda lei da termodinâmica, como um processo caloridinâmico de B de Souza Neto, Peric e Owen (2011). De acordo com o determinismo termodinâmico para materiais simples, a história do pro-cesso termocinético em um ponto X ∈ Ω0, determina o processo caloridinâmico neste mesmo
ponto, ou seja, T (t) =FFt, θt ψ (t) =GFt, θt s (t) =HFt, θt q(t) =IFt, θt , (2.27)
sendo r e b prescritos. O supra-índice designa a dependência na história de F e θ, até o tempo
t. Contudo, uma alternativa eficiente à esta representação é a utilização da termodinâmica
de variáveis internas, na qual se assume como hipótese, que em qualquer instante de um processo termodinâmico, o estado termodinâmico em um ponto X pode ser completamente determinado através do valor instantâneo de um número finito de variáveis, denominadas variáveis de estado. Consequentemente, a evolução do processo termodinâmico pode ser considerada como uma sucessão de estados de equilíbrio.
Portanto, admite-se que em um dado instante t, o estado termodinâmico em um ponto X pode ser representado pelas variáveis
{F , θ, ∇θ, α} , (2.28)
sendo α o vetor de variáveis internas associadas aos mecanismos de dissipação. Considerando um processo isotérmico e com ocorrência de pequenas deformações, tem-se que a densidade de energia livre específica é uma função da deformação ε e das variáveis internas α:
ψ = ψ (ε, α) , (2.29)
e portanto sua derivada temporal é dada por: ˙
ψ = ∂ψ ∂ε : ˙ε +
∂ψ
Capítulo 2. Revisão Teórica 28
Levando-se em consideração a Equação (2.8), e substituindo-a, junto com a igualdade em (2.30), na inequação da expressão (2.23), obtém-se uma segunda expressão para desigualdade de Clausius-Duhem, definida por
T − ρ∂ψ
∂ε !
: D − ρ∂α∂ψ · ˙α ≥ 0. (2.31)
As variáveis D e ˙α são independentes e podem ser escolhidas de forma arbitrária. Isto faz com que seja necessária a imposição de uma restrição, para que todos os processos constitu-tivos sejam termodinamicamente admissíveis Gurtin, Fried e Anand (2010). Para isto faz-se uso do procedimento que leva o nome dos autores Colleman-Noll, que baseia-se na escolha, dentre todos processos arbitrários possíveis, de um que resulte em ˙α = 0. Neste caso, o primeiro termo da inequação deve ser não negativo para qualquer valor de D, fazendo com que o operador tensorial entre parenteses seja nulo. Isto resulta na relação
T = ρ∂ψ
∂ε. (2.32)
A desigualdade (2.31) se reduz então ao segundo termo, que é denotado por dissipação interna Dint:
Dint= −A · ˙α ≥ 0, (2.33)
sendo
A= ρ∂ψ
∂α (2.34)
o vetor de forças termodinâmicas conjugadas às taxas de variação das variáveis internas ˙α. A fim de completar as relações constitutivas, é necessário obter expressões para as va-riáveis de fluxo contidas no vetor ˙α. Um jeito eficiente de obter estas relações, garantindo a priori a satisfação da inequação dada em (2.33), é propor uma função φ (A; D) de valor escalar, convexa, não negativa e nula na origem, de tal forma que as variáveis de fluxo sejam dadas segundo a expressão
˙αk = −
∂φ (A) ∂Ak
, (2.35)
sendo ˙αk a k − ésima componente do vetor ˙α contendo as taxas das variáveis internas, e Ak
a k − ésima componente do vetor A de forças termodinâmicas.
Admitindo-se a existência de um potencial conjugado dado pela transformada de Legendre Fenchel φc ∂φ ∂A ! = sup A ( A· ∂φ ∂A − φ (A) ) , (2.36)
Capítulo 2. Revisão Teórica 30
Da definição de força termodinâmica conjugada à variável interna αk, dada na Equação
(2.34), e da relação obtida através da execução do procedimento de Coleman-Noll, dada na Equação (2.32), é possível verificar que
A1 = ρ
∂ψ
∂εp = −ρ
∂ψ
∂ε = −T . (2.40)
Sendo assim, a dissipação intrínseca dada em (2.33) assume a forma
Dint= T : Dp ≥ 0. (2.41)
Para propor uma lei de evolução para as variáveis internas, seguindo o mesmo conceito empregado em (2.35), propõe-se um potencial χc(T ), função da força termodinâmica
conju-gada, cuja derivada fornece a lei de evolução da variável interna εp:
˙εp = Dp
= −∂χ∂Ac(A1)
1
= ∂χc(T )
∂T . (2.42)
Também, tal qual expresso em (2.37), de um potencial conjugado χ (Dp
), obtém-se a relação para a força termodinâmica T :
T = ∂χ ( ˙α1)
∂ ˙α1
= ∂χ (D
p)
∂Dp . (2.43)
Para potenciais não suaves, introduz-se a noção de conjunto subdiferencial Maugin (1992), segundo a qual as derivadas expostas devem ser redefinidas. Portanto, nestes casos, a tensão T é um elemento de um conjunto, isto é T ∈ ∂χ (Dp), sendo ∂χ (Dp) o conjunto subdiferen-cial do potensubdiferen-cial χ (Dp
), no ponto Dp, definido como
χ (Dp∗) − χ (Dp) ≥ ∂χ (Dp) : (Dp∗− Dp) . (2.44) Define-se o potencial χ (Dp) como
χ (Dp) = sup
T∗|f (T )≤0
T∗ : DP, (2.45)
sendo f (T ) ≤ 0 a função de critério plástico que define o conjunto das tensões plasticamente admissíveis. Neste trabalho o critério plástico adotado é o Critério da Máxima Energia de Distorção enunciado por Richard von Mises e expresso como
f (T ) =qTd: Td− s
2
3σy, (2.46)
Sendo Td a componente desviadora do tensor T , e σy a tensão limite de escoamento do
Capítulo 2. Revisão Teórica 35
ˆ
WP =nDp ∈ W|Dp ∈ WP, ∀x ∈ Bo, Da mesma forma, o cone das normais exteriores é definido como
ˆ CP = Dp ∈ W| Z Ω(T ∗ − T ) : Dp dV ≤ 0, T∗ ∈ ˆP . (2.56)
A notação ˆ(•) será abandonada no decorrer do texto a fim de facilitar a leitura.
Diz-se que um corpo está na situação de colapso plástico se nele atua um campo de velocidades v, puramente plástico, não rígido e associado à um campo de tensões T através da taxa de deformação D compatível (isto é, D = Dv), respeitando a relação constitutiva, o que implica em Dp
∈ CP. Já o campo de velocidades é puramente plástico se ˙T = 0. De fato,
dada a relação constitutiva T = C : εese tem que se ˙T = 0, então ˙εe = 0. Consequentemente,
através da hipótese de decomposição aditiva tem-se
D= ˙εe+ ˙εp = ˙εp = Dp. (2.57)
Por fim, o campo v é não rígido se D = Dp
6= 0.
O campo de velocidades que respeita estas características determina os possíveis me-canismos de colapso, enquanto o campo de tensões associado é denominado de campo de tensões de colapso (estando este necessariamente na fronteira de P para aqueles pontos onde a deformação plástica é não nula).
Admite-se que o carregamento externo é fornecido segundo um programa de carga pro-porcional, no qual a potência exercida pelas forças externas é dada por
L (v, α) = αL (v) = α Z Ωb· vdΩ + Z Γt· vdS . (2.58)
Segundo esta definição, considera-se α > 0 como o fator de colapso associado ao carregamento
L (v), com amplitude e direção. Em resumo, para o corpo estar em uma situação de colapso
plástico, deve ter seus campos de velocidade e tensão respeitando as seguintes condições:
Dp = Dv, (2.59) Z ΩT : D p dV = L (v, α) , ∀α > 0, (2.60) T ∈ ∂X (Dp) ⇐⇒ Dp ∈ CP(T ) . (2.61)
A primeira equação é de natureza cinemática e estabelece a compatibiliade entre os cam-pos de velocidade e taxa de deformação plástica. A segunda define o equilíbrio (balanço)
Capítulo 2. Revisão Teórica 36
mecânico das tensões com o carregamento externo. A terceira define a relação constitutiva entre T e Dp
Este sistema de equações e inequações pode ser formalizado de três maneiras alternativas, conhecidas como formulações variacionais para o problema de Análise Limite. Elas são conhecidas como os princípios estático, cienemático e misto. Estes princípios variacionais estão apresentados na sequência, para o problema de carga externa prescrita e velocidade nula na fronteira prescrita.
2.1.4.1 Formulação estática
A formulação denominada estática consiste em substituir a Equação (2.59) em (2.61), para obter a desigualdade:
Z
Ω(T − T ∗
) : DvdV ≥ 0, ∀T∗ ∈ P. (2.62)
A condição de equilíbrio (2.60) também é substituída na desigualdade acima, resultando em
αL (v) ≥ Z
ΩT ∗
: DvdV , ∀T∗ ∈ P. (2.63)
Em particular, para um campo T∗ equilibrado com α∗L (v), é possível estabelecer a relação
αL (v) ≥ α∗L (v) . (2.64)
Sendo assim, o problema de Análise Limite pode ser formulado como um problema de otimização da forma α = sup α∗,T∗ α∗ sujeito à Z ΩT ∗ : DpdV = α∗L (v) T∗ ∈ P. (2.65) 2.1.4.2 Formulação cinemática
A formulação cinemática permite a obtenção de um campo de velocidades v cinematica-mente admissível, que define um campo de taxa de deformação compatível (D = Dv). Da relação constitutiva (2.61a), tem-se que
X (D∗) − X (D) ≥ Z ΩT : (D ∗ − D) dV , D ∈ WP e ∀D∗ ∈ W. (2.66)
Capítulo 2. Revisão Teórica 37
Sendo T vinculado à D mediante a relação constitutiva, tem-se que a função de dissipação
X (D) =R
ΩT : DdV , substituída na relação (2.66), resulta em
X (D∗) ≥ Z
ΩT : D
∗dV, ∀D∗
∈ W. (2.67)
Contudo, como os campos de taxa de deformação são compatíveis e estão associados aos campos de tensões equilibrados, tem-se a validade da igualdade
Z
ΩT : D
∗dV =Z
ΩT : Dv
∗dV = αL (v∗) . (2.68)
Substituindo a expressão acima na desigualdade em (2.67), obtém-se a desigualdade que rege a formulação cinemática:
α ≤ X (Dv
∗)
L (v∗) , (2.69)
sendo L (v∗) > 0. Sabendo que X (Dv∗) é uma função homogênea de grau um, e L (v∗) uma
função linear em v∗ então o problema para determinar α passa a ser
α = inf
v∗X (Dv
∗) , (2.70)
para a variável v∗ dissipando sobre a carga de referência, uma potência unitária, ou seja,
v∗ ∈ V = {v∗|L (v∗) = 1} . (2.71)
2.1.4.3 Formulação mista
A substituição da definição do potencial de dissipação, expressa em (2.55), na definição da formulação cinemática, fornece o que é chamado de princípio misto da formulação variacional para Análise Limite. Sendo assim, tem-se como expressão para a forma mista, o problema de ótimo α = inf v∗ sup T∗ Z ΩT ∗ · Dv∗dV sujeito à L (v∗) = 1 T∗ ∈ P, (2.72)
sendo que a satisfação da restrição de potência externa unitária implica na satisfação da restrição de equilibrio mecânico.
Capítulo 2. Revisão Teórica 38
2.1.5
Formulação discreta
No trabalho em questão, optou-se pela resolução do problema misto através das equações que sintetizam suas condições de otimalidade. O problema foi formulado em estado plano de tensões, possuindo, portanto, duas dimensões espaciais em coordenadas cartesianas (x e
y), e três componentes de tensão (Tx, Ty e Txy). Sendo os campos de tensões e velocidades
incógnitas do problema, seus espaços foram discretizados respectivamente por elementos tri-angulares de seis nós (funções de interpolação quadráticas), e elementos tritri-angulares de três nós (funções de interpolação linear).
Desta forma, o campo de velocidades no domínio do elemento e pode ser descrito por ve(x, y) = vx e(x, y) vy e(x, y) = P6 i=1Nv e(i)ˆvx(i) P6 i=1Nv e(i)ˆvy(i) (2.73) sendo N(i)
v e as funções de forma que interpolam o campo de velocidades, relativas ao nó i
do elemento e. Escolhe-se uma aproximação contínua do campo de velocidades. Portanto, para cada nó da malha tem-se duas componentes de velocidade, proporcionando 2 × nnos
incógnitas do problema (nnos representanda o número de nós da malha).
A representação do campo de tensões elementar é dada mediante a relação
Te(x, y) = Tx e(x, y) Ty e(x, y) Txy e(x, y) = P3 i=1N (i) T eTˆx(i) P3 i=1N (i) T eTˆy(i) P3 i=1N (i) T eTˆxy(i) , (2.74) sendo N(i)
T e as funções de forma que interpolam o campo de tensões, relativas ao nó i do
elemento e. Vale ressaltar que o campo de tensões é descontínuo. Assim, o número de parâmetros a determinar é proporcional ao número de nós do elemento (3), ao número de componentes de tensão (3) e ao número de elementos da malha (nelem). Desta forma o número
de parâmetros de tensão que são incógnitas do problema é dado por m = 9 × nelem.
A forma fraca da equação de equilíbrio mecânico, dada em (2.15), pode ser discretizada segundo a igualdade Z Ω h NTTˆiT D NvwˆdV = α Z Ωb· NvwˆdV + Z ∂Ωt· NvwˆdA , (2.75)
sendo ˆw e ˆT respectivamente os vetores de parâmetros de velocidades virtuais e de tensões, para we(x, y) = wx e(x, y) wy e(x, y) = P6 i=1Nv e(i)wˆx(i) P6 i=1Nv e(i)wˆy(i)
Capítulo 2. Revisão Teórica 39
Os termos NT e Nv são as matrizes que contém as funções de forma globais, enquanto D
é uma matriz de operadores de derivação que atua em Nv. Como as componentes nodais de
tensão e velocidade não dependem do domínio, tem-se que a equação de equilíbrio mecânico passa a ser dada por
ˆ TT Z Ω[NT] T D N vdV ˆ w = α Z Ω NT vbdV + Z ∂Ω NT vtdA · ˆw. (2.76) Definindo B= Z Ω[NT] T D N vdV (2.77) e F = Z Ω NT vbdV + Z ∂Ω NT vtdA , (2.78)
a equação em notação matricial torna-se então ˆ
wT BTT − αF= 0, (2.79)
A arbitrariedade do vetor de parâmetros virtuais ˆw permite obter a forma final da equação de equilíbrio mecânico discretizada:
BTT − αF = 0. (2.80)
Nesta equação a matriz B é construída via montagem das matrizes Be elementares, cuja
forma está descrita no Apêndice (B). Vale destacar o fato de que a matriz B é acoplada apenas por colunas devido à característica do campo de tensões. Este desacoplamento por linhas cumpre um papel importante na solução do problema, permitindo que grande parte dos cálculos sejam realizados elemento à elemento.
Considerando-se a formulação mista, o problema discreto pode ser reescrito como
α = inf ˆ v∗∈Rn sup ˆ T∗∈Rm ˆ T∗· Bˆv∗ sujeito à F · ˆv∗ = 1 fTˆ∗≤ 0 (2.81)
Em Borges (1991) é demonstrada a dualidade entre as formas variacionais dos problemas de Análise Limite na sua forma discreta. Através da análise apresentada pela autora,
demonstra-Capítulo 2. Revisão Teórica 40 se que se o sistema BTTˆ − αF =0 F · ˆv =1 ˆ T ∈P Bvˆ∈CP (2.82)
possui uma solução
α, ˆT, ˆv, então esta será um ponto de sela para
L Tˆ, ˆv= ˆT · Bˆv = α. (2.83)
Também é demonstrado que esta é a solução do problema misto, e, por consequência, solução do problema estático e cinemático.
As duas últimas condições em (2.82) referem-se ao fato do campo de tensões pertencer ao espaço das tensões plasticamente admissíveis, enquanto o campo de taxas de deformação pertence ao espaço das taxas de deformações plasticamente admissíveis. Para um modelo constitutivo associativo (tal qual o descrito segundo o critério da máxima energia de distor-ção), estas relações podem ser substituídas por
fT(i)e ≤ 0, (2.84) Dp = λ(i)e ∂f(i) e ∂T(i)e , (2.85) com λ(i)
e ≥ 0, e pela condição de complementaridade
fe(i)λ(i)e = 0, (2.86)
sendo (•)(i)
e um valor escalar, vetorial ou tensorial associado ao nó i do elemento e, e f
(i)
e =
fT(i)e .
Visto isto, o problema de Análise Limite pode ser resumido em resolver um sistema de quatro conjuntos de equações (equilíbrio mecânico, relação constitutiva para taxa de deformação plástica, potência externa unitária e complementaridade), com dois conjuntos de restrições de desigualdade (admissibilidade plástica e positividade da magnitude da taxa de deformação plástica), que representam as condições de otimalidade do problema misto.
Capítulo 2. Revisão Teórica 41
Na ordem que foram citadas, estas relações são representadas pelo sistema de equações e inequações: BTTˆ − αF =0 Bvˆ−∇fTˆT λ=0 F · ˆv =1 GTˆλ=0 fTˆ≤0 λ≥0, (2.87) sendo G ˆ
T uma matriz diagonal definida por
h GTˆi mn = δmnf ˆ T(i)e . (2.88)
É pertinente ressaltar que tanto o vetor f quando o vetor λ contém 3 × nelem componentes,
sendo elas, respectivamente f(i)
e e λ(i)e .
2.1.6
Solução do problema de Análise Limite
Segundo Borges (1991), a solução do problema de Análise Limite baseia-se em determinar o fator de colapso α, os parâmetros de tensão ˆT, de velocidade ˆv, e de magnitude da taxa de deformação λ, que satisfaçam o conjunto de equações e inequações apresentados em (2.87).
Para obtenção da solução, utiliza-se um algorítmo que baseia-se em uma técnica de New-ton para solução do conjunto de equações não linear S (y), de tal forma que
S(y) = BTTˆ − αF Bvˆ−∇fTˆT λ −F · ˆv + 1 GTˆλ = 0, (2.89) e y=nTˆ, ˆv, α, λoT . (2.90) As inequações f ˆ
T ≤ 0 e λ ≥ 0 tem sua satisfação garantida ao longo das iterações do algorítmo proposto.
A solução do sistema não linear (2.89) via Newton, exige a linearização do sistema que adota a forma
Capítulo 2. Revisão Teórica 42
Considera-se a satisfação da condição de equilíbrio na iteração k, do ponto yk, que é o vetor
de variáveis no passo atual. A variável dk
= yk+1 − yk é a direção de atualização, sendo yk+1 o vetor de variáveis atualizado, enquanto Jyké a matriz fornecida pela derivada das equações do sistema em relação à y, cuja forma é dada por
Jyk= ∇yS yk= −H B 0 −∇fT BT 0 −F 0 0 −FT 0 0 −Λ∇f 0 0 −G . (2.92)
A matriz H é obtida através da segunda derivada das componentes do vetor de função de escoamento, ou seja, H = ∇2
Tfi, enquanto Λ é uma matriz diagonal contendo as componentes
do vetor λ
Λij = δijλj. (2.93)
A manipulação algébrica da expressão (2.91), mantendo as variáveis do lado esquerdo do sistema de equações e simplificando as expressões, resulta em
HdkT − Bˆvk+1+ (∇f)T λk+1 = 0 (2.94) BTdkT − F dkα = 0 (2.95) F · ˆvk+1 = 1 (2.96) Λ∇fdk T + Gλ k+1 = 0 (2.97) sendo dk T = ˆT k+1
− ˆTk e dkα = αk+1− αk. A escolha de interpolação de campo de tensões de
forma descontínua entre elementos, resulta na possibilidade de solução deste sistema por uma sequência particular de substituições das equações expostas, envolvendo, como foi abordado na Seção (2.1.5), operações realizadas a nível elementar.
A sequência de substituições inicia com a colocação da Equação (2.94), na Equação (2.97), e multiplicando a expressão obtida por Λ−1, resultando em
W λk+1 = (∇f) H−1Bvˆk+1. (2.98)
Isolando-se a variável λk+1 obtém-se a equação
λk+1 = W−1QTBvˆk+1. (2.99)
Nestas equações, a matriz positiva definida W tem como definição
