EDPs2014

(1)

AN ´

ALISE COMPLEXA E EQUAC

¸ ˜

OES DIFERENCIAIS,

aulas te´oricas

PARTE II: EQUAC

¸ ˜

OES DIFERENCIAIS (Breve introdu¸c˜ao

`as equa¸c˜oes com derivadas parciais)

Lu´ıs Sanchez

Faculdade de Ciˆ

encias da Universidade de Lisboa, 2014

As equa¸cões com derivadas parciais estão relacionadas com modelos matemáticos de importância fundamental na ciência e na técnica. A teoria correspondente tem também um lugar central na Matemática e é objecto de investiga¸cão muito activa. Por limita¸cão de tempo, não poderemos neste curso dar senão uma introdu¸cão ao estudo de algumas equa¸cões lineares de tipos bastante simples.

As derivadas parciais de uma fun¸cão u serão representadas no que segue com nota¸cão do tipo ux, ut, etc. Limitar-nos-emos a considerar fun¸cões (incógnitas) com duas variáveis.

1 Equa¸c˜

oes lineares de primeira ordem

Consideremos a equa¸c˜ao

aux+ buy = 0 (1)

onde ~v = (a, b) 6= (0, 0) é um vector constante. Se recordarmos o conceito de derivada de uma fun¸cão real segundo um vector, vemos que (1) é o mesmo que

D~vu = 0 (2)

significando que u é constante em cada recta com a direçcão de ~v:

u(x, y) (de classe C1_{) satisfaz (1) se e s´}_{o se, para cada constante k, u toma um valor fixo em}

todos os pontos tais que bx − ay = k.

O mesmo ´e dizer:

u(x, y) (de classe C1_{) satisfaz (1) se e s´}_{o se, existe f ∈ C}1_{(R) tal que u(x, y) = f (bx − ay).}

Podemos chegar à mesma conclusão usando uma mudan¸ca de variáveis independentes:

ξ = bx − ay, η = x (3)

Aqui estamos a supôr, para fixar ideias, que a 6= 0, a segunda equa¸cão (3) é de alguma forma arbitrária e apenas nos interessa que a mudan¸ca seja invert´ıvel; o objectivo é provar que a fun¸cão composta U (ξ, η) = u(x, y) não depende de η. Como

(2)

confirmamos a partir de (1):

Uη= 0

o que conduz a U (ξ, η) = f (ξ) ou, regressando às variáveis iniciais, à conclusão já enunciada u(x, y) = f (bx − ay).

Consideremos seguidamente uma equa¸cão linear com um termo na fun¸cão incógnita

aux+ buy+ cu = 0 (4)

e, usando o caso anterior como motiva¸c˜ao, consideremos a mudan¸ca de vari´aveis independentes:

ξ = bx − ay, η = ax + by (4) Obtemos ent˜ao, para a fun¸c˜ao composta U ,

(a2_{+ b}2_)U

η+ cU = 0

que, para cada ξ fixo é uma equa¸cão diferencial ordinária, cuja solu¸cão tem a forma

U = f (ξ)e− c a2 +b2η e concluimos u = f (bx − ay)e− c a2 +b2(ax+by).

Passemos à equa¸cão linear de primeira ordem geral, com coeficientes variáveis

a(x, y)ux+ b(x, y)uy+ c(x, y)u = f (x, y) (5)

e procuremos uma mudan¸ca de vari´aveis conveniente

ξ = φ(x, y), η = ψ(x, y). (6)

Feitos os c´alculos, vemos que a fun¸c˜ao composta U satisfaz

(φxa + φyb)Uξ+ (ψxa + ψyb)Uη+ cU = F (7)

onde omitimos as vari´aveis para al´ıvio da escrita. A mudan¸ca “conveniente”´e a que satisfaz

ψxa + ψyb = 0 (8)

visto que transforma a equa¸c˜ao original nesta mais simples:

(φxa + φyb)Uξ+ cU = F (9)

Ora, para determinar ψ observamos o seguinte:

Se ψ(x, y) ´e constante nas traject´orias do sistema

x′

= a(x, y), y′

(3)

ou se ψ(x, y) = const constitui uma fam´ılia de solu¸c˜oes de dy

dx = b(x, y) a(x, y) (supondo, para fixar ideias, a 6= 0) ent˜ao verifica-se (8).

Ora, encontrado um tal ψ(x, y), e supondo para fixar ideias ψy6= 0, para completar a mudan¸ca

de vari´aveis basta fazˆe-lo da maneira mais simples, pondo

φ(x, y) = x.

A nova equa¸cão é então (A, C, F são as fun¸cões compostas de a, c, f respectivamente com a mudan¸ca de variável escolhida: são fun¸cões de ξ e η)

Uξ+

C AU =

F A que tem como solu¸c˜ao geral

U (ξ, η) = e−_P(ξ,η)

[d(η) + R(ξ, η)]

onde

P ´e, como fun¸c˜ao de ξ, primitiva de C A e

R é, como fun¸cão de ξ, primitiva de ePF A. Voltando às variáveis iniciais obtemos a solu¸cão do problema proposto.

As curvas ψ(x, y) =const chamam-se caracter´ısticas da equa¸c˜ao dada.

2 Equa¸c˜

ao das ondas unidimensional (na recta e num

inter-valo limitado)

Vamos fazer referência a métodos elementares para trabalhar com dois tipos de equa¸cões com derivadas parciais lineares de segunda ordem. Come¸camos pela equa¸cão das ondas

utt= c2uxx (1)

onde c ´e uma constante positiva. Por serem constantes os coeficientes das derivadas, imediatamente se reconhece que (1) ´e equivalente ao sistema em u e v

vt− cvx= 0, ut+ cux= v. (2)

De acordo com a técnica das caracter´ısticas, estudada anteriormente, a primeira equa¸cão tem a solu¸cão geral

v(x, t) = h(x + ct)

onde h ´e uma fun¸c˜ao C1 _{em R. Quanto `}_{a segunda, o segundo membro sugere que procuremos}

solu¸c˜oes da forma f (x+ct): de facto, substituindo, conclui-se que basta tomar para f uma primitiva de _2c1h.

(4)

Para obtermos qualquer outra solu¸cão C2_{basta adicionar as solu¸cões (de classe C}2_{) da equa¸cão}

homogénea ut+ cux = 0 que são, como também sabemos, da forma g(x − ct). Concluimos que

qualquer solu¸c˜ao de (1) pode ser representada na forma

u(x, t) = f (x + ct) + g(x − ct) (2) onde f e g são fun¸cões arbitrárias (de classe C2_{!). Inversamente, é trivial verificar que (2) representa}

solu¸c˜oes de (1).

Se considerarmos o problema de valor inicial      utt= c2uxx, u(x, 0) = φ0(x), ut(x, 0) = φ1(x)

obtemos, atendendo a (2), φ0(x) = f (x) + g(x), φ1(x) = cf′(x) − cg′(x) e daqui um sistema linear

em f′ e g′ que conduz a 2cf′ (x) = cφ′ 0(x) + φ1(x), −2cg ′ (x) = −cφ′ 0(x) + φ1(x), de onde f (x) =1 2φ0(x) + 1 2c Z x 0 φ1(s) ds, g(x) = 1 2φ0(x) − 1 2c Z x 0 φ1(s) ds.

A solu¸cão do problema de valor inicial é então (fórmula de d’Alembert)

u(x, t) = 1 2[φ0(x + ct) + φ0(x − ct)] + 1 2c Z x+ct x−ct φ1(s) ds. (3)

Reciprocamente, esta express˜ao define uma solu¸c˜ao do problema de valor inicial desde que φ0∈ C2

e φ1∈ C1.

Exerc´ıcio. Se φ0 e φ1 são fun¸cões pares, a solu¸cão dada por (3) é par na variável x.

Por vezes admite-se que φ0 e φ1 possam ter menos regularidade (por exemplo, que n˜ao sejam

diferenciáveis em certos pontos isolados) e falamos então de solu¸cão generalizada do problema (mas não damos aqui defini¸cão formal deste conceito). Estas solu¸cões verificam a equa¸cão diferencial excepto numa fam´ılia numerável de rectas da forma x ± ct = k.

Consideremos agora o caso do problema n˜ao homog´eneo

     utt= c2uxx+ f (x, t), u(x, 0) = φ0(x), ut(x, 0) = φ1(x)

onde a fun¸cão das variáveis independentes, f , que figura no segundo membro, é pelo menos cont´ınua em R2_.

Suponhamos determinada uma solu¸cão particular da equa¸cão diferencial não homogénea, pre-cisamente a solu¸cão v com condi¸cões iniciais nulas:

     vtt= c2vxx+ f (x, t), v(x, 0) = 0, vt(x, 0) = 0.

(5)

Então, os argumentos usuais de linearidade permitem concluir que a solu¸cão do problema não homogéneo obtém-se somando a v a expressão que figura na fórmula de d’Alembert.

Vamos, pois, deduzir uma express˜ao para v.

Consideremos um ponto (x0, t0) arbitr´ario e o triˆangulo Ω limitado pelas caracter´ısticas que

passam neste ponto e pelo eixo dos xx. A fronteira de Ω é a união de três segmentos: S, b, a e vamos considerá-la percorrida no sentido positivo do plano xt para aplicar o teorema de Green. (A a figura esquematiza a situa¸cão, com t0> 0.)

Z Z Ω f (x, t) dx dt = Z Z Ω (vtt− c2vxx) dx dt = Z [S∪b∪a] (−c2vxdt − vtdx).

Ora, em S, t é constante (é zero) e v = 0 por hipótese; logo o integral de caminho em S é nulo. Em b temos x + ct = x0+ ct0e portanto dx = −c dt. Assim, encontramos o integral de um campo

primitiv´avel em b, concluindo-se Z b (−c2vxdt − vtdx) = c Z b (vxdx + vtdt) = c(v(x0, t0) − 0) = cv(x0, t0).

No segmento a temos, analogamente, dx = c dt e calcula-se Z b (−c2_v xdt − vtdx) = −c Z a (vxdx + vtdt) = −c(0 − v(x0, t0)) = cv(x0, t0). Obtemos, finalmente, v(x0, t0) = 1 2c Z Z Ω f (x, t) dx dt. (∗)

Este cálculo mostra que a solu¸cão v procurada só pode ser dada por esta expressão. Se admi-tirmos que f é C1_{, facilmente se conclui que efectivamente (*) é a solu¸cão (exerc´ıcio).}

(6)

Corda vibrante (problema homogéneo) com extremos fixos. A fórmula de d’Alembert determina uma solu¸cão do problema de valor inicial definida para todo o x e todo o t. Mas há interesse também em resolver problemas em dom´ınios limitados no espa¸co, como é o caso do seguinte problema misto no intervalo [0, L] onde há condi¸cões iniciais e de fronteira:

               utt= c2uxx, u(x, 0) = φ0(x), ut(x, 0) = φ1(x), 0 < x < L u(0, t) = 0, u(L, t) = 0, t ∈ R. (4)

Trata-se do problema da corda vibrante com os extremos fixos.

Observemos que para que o problema admita solu¸cões regulares têm de se verificar as condi¸cões de compatibilidade φ0(0) = 0, φ0(L) = 0, φ1(0) = 0, φ1(L) = 0, φ ′′ 0(0) = 0, φ ′′ 0(L) = 0

(as duas últimas resultam das condi¸cões de fronteira e da própria equa¸cão). ´

E fácil então verificar o seguinte: Se considerarmos as extensões ´ımpares e 2L-periódicas de φ0,

φ1 e continuarmos a representá-las por estas letras, a fórmula de d’Alembert (3) dá uma solu¸cão

do problema (4).

Efectivamente, (3) define uma fun¸c˜ao C2 _{que verifica as condi¸c˜oes iniciais e de fronteira}

(exerc´ıcio simples).

Exerc´ıcio. A solu¸cão de (4) é periódica na variável t?

Com menos exigência de regularidade sobre os dados poderemos utilizar ainda a expressão (3) como solu¸cão generalizada do problema da corda vibrante.

3 Equa¸c˜

ao do calor (num intervalo limitado) - separa¸c˜

ao de

vari´

aveis e m´

etodo de Fourier

Vamos considerar nesta seçcão a equa¸cão linear de segunda ordem

ut= duxx (1)

onde d é uma constante positiva e, concretamente, procuraremos solu¸cões u(x, t) de (1) em [0, L] × [0, ∞) que satisfa¸cam as condi¸cões inicial e de fronteira seguintes:

     u(x, 0) = f (x), 0 < x < L u(0, t) = 0, u(L, t) = 0, t > 0. (2)

Ilustramos com este problema o método de separa¸cão de variáveis. Procuremos em primeiro lugar solu¸cões (não triviais) da forma

X(x)T (t)

que satisfa¸cam as condi¸c˜oes de fronteira: teremos ent˜ao X(0) = X(L) = 0 e X(x)T′

(t) = dX′′

(7)

e portanto, para todo o x e todo o t T′ (t) dT (t)= X′′ (x) X(x).

Como as variáveis x e t são independentes, esta igualdade só pode dar-se se ambos os membros são uma constante −λ:

X′′

+ λX = 0, X(0) = X(L) = 0.

Este problema só tem solu¸cões não triviais para λ > 0, como facilmente se reconhece. Na ver-dade um cálculo simples conduz às únicas solu¸cões (a menos de uma constante multiplicativa, obviamente) Xn(x) = sin nπx L , correspondentes a λn = n2_π2 L2 .

Para cada n temos ent˜ao T′

(t) + dλnT (t) = 0 e portanto (tamb´em a menos de uma constante

multiplicativa)

T (t) = e−dn2 π2 t

L2 .

Então, é fácil verificar que qualquer fun¸cão da forma

N X n=1 Ane −dn2 π2 t L2 sinnπx L (3)

com os An constantes, satisfaz (1) e as condi¸c˜oes de fronteira em (2); para que tamb´em satisfa¸ca

a condi¸cão inicial em (2) é necessário e suficiente que

f (x) = N X n=1 Ansin nπx L . (3)

Podemos concluir que, no caso particular em que o dado f (x) é combina¸cão linear finita de senos como em (3), encontrámos uma solu¸cão para o problema. Mas, procurando maior generalidade, suponhamos que f (x) = ∞ X n=1 Ansin nπx L . (4)

´e o desenvolvimento de f em s´erie de senos. Mais precisamente, para fixar ideias, suponhamos

(H) f cont´ınua em [0, L], f (0) = f (L) = 0 e f seccionalmente C1_.

Sabemos da teoria das séries de Fourier que, sob a condi¸cão (H), a série no segundo membro de (4) não só converge uniformemente para f mas também existe uma constante M > 0 tal que

|An| ≤

M

n2. (5)

Podemos ent˜ao concluir que sob a condi¸c˜ao (H),

u(x, t) = ∞ X n=1 Ane −dn2 tπ2 t L2 sinnπx L (6)

constitui uma solu¸cão do problema (1)-(2) que é cont´ınua em [0, L] × [0, ∞) e diferenciável em [0, L] × (0, ∞), verificando aqui a equa¸cão diferencial (1).

(8)

Efectivamente: devido a (6) e ao critério de Weierstrass para a convergência uniforme de séries, a série em (6) converge uniformemente, e por isso representa uma fun¸cão cont´ınua, em [0, L]×[0, ∞); em cada dom´ınio [0, L] × [t0, ∞) com t0> 0, a mesma série é derivável termo a termo (um número

arbitrário de vezes!) porque cada deriva¸cão faz surgir uma nova série com termos majorados em valor absoluto por

|An|nke

−dn2 π2 t0

L2

o que implica que a série obtida por deriva¸cão termo a termo é também uniformemente convergente. Como cada termo verifica a equa¸cão (1), a soma da série verifica a equa¸cão (1) em [0, L] × [t0, ∞).

Como t0> 0 é arbitrário, u verifica a equa¸cão (1) em [0, L] × (0, ∞).

Observemos que, tal como na seçcão anterior, para que se obtenham solu¸cões regulares no sentido clássico, também aqui o dado inicial f (x) deve satisfazer condi¸cões de compatibilidade impostas pelas condi¸cões de fronteira e pela própria equa¸cão diferencial. Neste caso, tais condi¸cões são

f (0) = f (L) = 0; f′′

(0) = f′′

(L) = 0.

Se f é C2_{e satisfaz tais condi¸cões não é dif´ıcil concluir que u satisfaz todas as condi¸cões (inicial e}

de fronteira) (2).

Noutros casos falamos de “solu¸c˜ao generalizada”do problema (1)-(2).

O problema não homogéneo. A mesma técnica pode ser usada para resolver o problema          ut= duxx+ g(x, t), 0 < x < L, t > 0 u(x, 0) = f (x), 0 < x < L u(0, t) = 0, u(L, t) = 0, t > 0. (7)

Vamos delinear o procedimento. Para cada t fa¸camos o desenvolvimento de g(·, t) em s´erie de Fourier como fun¸c˜ao de x

g(x, t) = ∞ X n=1 gn(t) sin nπx L .

Procuremos a solu¸c˜ao do novo problema sob a forma de s´erie de Fourier relativamente a x,

u(x, t) = ∞ X n=1 Tn(t) sin nπx L . Substituindo em (7) obtemos ∞ X n=1 T′ n(t) sin nπx L + d ∞ X n=1 (nπ L ) 2_T n(t) sin nπx L = ∞ X n=1 gn(t) sin nπx L .

Dado que o sistema ortogonal {sinnπx_L | n ∈ N} é completo, esta equa¸cão é equivalente a um sistema infinito de equa¸cões diferenciais ordinárias independentes

T′ n+ d( nπ L ) 2_T n= gn(t)

onde a derivada se faz em ordem a t. Para cumprir a condi¸c˜ao inicial, teremos Tn(0) = An, n ∈ N.

(9)

Resolvendo estas equa¸c˜oes lineares de primeira ordem obtemos Tn(t) = Ane −d(nπ L) 2 t₊Z t 0 e−d(nπ L) 2 (t−τ )_g n(τ ) dτ

o que conduz `a solu¸c˜ao pretendida:

u(x, t) = ∞ X n=1 Ane −d(nπ L) 2 t_sinnπx L + ∞ X n=1 sinnπx L Z t 0 e−d(nπ L) 2_{(t−τ )} gn(τ ) dτ.

Uma vez mais, reconhecemos nesta expressão a soma de uma “solu¸cão geral”do problema ho-mogéneo (com condi¸cão inicial), com a “solu¸cão particular”que resulta da presen¸ca de g(x, t).

4 Duas quest˜

oes de unicidade

Nesta seçcão vamos abordar a questão de unicidade de solu¸cão do problema da corda vibrante e do problema que estudámos para a equa¸cão do calor.

Consideremos duas solu¸c˜oes u1 e u2 do problema da corda vibrante

               utt= c2uxx, u(x, 0) = φ0(x), ut(x, 0) = φ1(x), 0 < x < L u(0, t) = 0, u(L, t) = 0, t ∈ R. (1)

Então a diferen¸ca w = u1− u2é uma fun¸cão C2 que satisfaz

               wtt= c2wxx, w(x, 0) = 0, wt(x, 0) = 0, 0 < x < L w(0, t) = 0, w(L, t) = 0, t ∈ R. (2)

Consideremos a fun¸c˜ao (“energia”’)

E(t) = 1 2[ Z L 0 wt(s, t)2ds + c2 Z L 0 wx(s, t)2ds].

Pelas regras de deriva¸c˜ao de integrais param´etricos, temos

E′ (t) = [ Z L 0 wt(s, t)2wtt(s, t) ds + c2 Z L 0 wx(s, t)wxt(s, t) ds]. Ora, wtt(s, t) = c2wxx(s, t) e portanto E′ (t) = c2 Z L 0 [wt(s, t)2wxx(s, t) + wx(s, t)wxt(s, t) ds] = c2 Z L 0 ∂ ∂x[wx(s, t)wt(s, t)] ds. Atendendo `as condi¸c˜oes de fronteira em (2), vem

E′

(10)

Por conseguinte, E(t) é constante, e então E ≡ E(0) = 0 (já que, pelas condi¸cões de (2), wt(s, 0) =

0 = wx(s, 0)). Logo, wt= wx= 0 para todo o t e todo o x, e concluimos w = 0.

Este argumento prova a unicidade de solu¸c˜ao de (1).

Do mesmo modo, se forem u1e u2solu¸c˜oes do problema (onde β > 0)

         ut= βuxx u(x, 0) = f (x), 0 < x < L u(0, t) = 0, u(L, t) = 0, t > 0. (3)

a diferen¸ca w = u1 − u2 é uma fun¸cão cont´ınua em [0, L] × [0, ∞) e diferenciável um número

qualquer de vezes em [0, L] × (0, ∞), que satisfaz          wt= βwxx w(x, 0) = 0, 0 < x < L w(0, t) = 0, w(L, t) = 0, t > 0. (4)

Para demonstrar a unicidade em (3) basta ver que w = 0 em (4). Isso resulta do seguinte lema, muitas vezes referido como princ´ıpio do m´aximo.

Lemma 4.1 Seja w(x, t) cont´ınua em D = [0, L] × [0, ∞) e satisfazendo em [0, L] × (0, ∞) a inequa¸c˜ao diferencial

wt− βwxx≥ 0.

Se w ≥ 0 na fronteira de D, ent˜ao w ≥ 0 em D.

Demonstra¸c˜ao. Com vista a uma contradi¸c˜ao, suponhamos que existe (x0, t0) ∈ D tal que

u(x0, t0) = −N < 0. Escolhamos T > t0 e consideremos o rectˆangulo R == [0, L] × [0, T ]. A

fun¸c˜ao

v(x, t) = w(x, t) − ǫ(x − x0)2

onde 0 < ǫ < N/(2L2) atinge em R um m´ınimo absoluto (teorema de Weierstrass) necessariamente menor ou igual a v(x0, t0) = −N. A fronteira de R ´e composta pelos segmentos

t = 0, 0 ≤ x ≤ L, x = 0, 0 ≤ t ≤ T, x = L, 0 ≤ t ≤ T, e

t = T, 0 ≤ x ≤ L.

Nos trˆes primeiros, pela hip´otese, tem-se v ≥ −ǫ(x − x0)2 ≥ −ǫL2 ≥ −N/2. Logo, o m´ınimo

absoluto de v ´e certamente atingido num ponto (x1, t1) do interior de D ou do quarto segmento

da fronteira. Em qualquer dos casos, pelo facto de se tratar de um m´ınimo, temos (considerar separadamente as duas situa¸c˜oes!)

0 ≥ vt(x1, t1) − βvxx(x1, t1) = wt(x1, t1) − βwxx(x1, t1) + 2βǫ

e, pela desigualdade da hip´otese,

0 ≥ 2βǫ o que é contraditório e termina a demonstra¸cão.

(11)

Corol´ario 4.1 Seja w(x, t) solu¸c˜ao de

wt− βwxx≥ 0

em D = [0, L] × [0, ∞) com β > 0. Se existe a ∈ R tal que w ≥ a na fronteira de D, ent˜ao w ≥ a em D.

Para a demonstra¸cão, basta aplicar o lema à fun¸cão w(x, t) − a.

Corol´ario 4.2 Seja u(x, t) solu¸c˜ao de

ut− βuxx= 0

em D = [0, L] × [0, ∞) com β > 0. Se existem a, b ∈ R tal que a ≤ u ≤ b na fronteira de D, ent˜ao a ≤ u ≤ b em D.

5 Equa¸c˜

ao de Laplace num disco e f´

ormula de Poisson

Nesta seçcão faremos uma breve referência ao problema relativo à equa¸cão de Laplace dm dimensão 2 num disco: ∂2_u ∂x2 + ∂2_u ∂y2 = 0, x 2_{+ y}2_{< R}2_. ₍₁₎

Mais precisamente, vamos apenas referir o problema de determinar a solu¸c˜ao de (1) no disco BR,

centrado em (0, 0) e raio R, e que é cont´ınua na aderência BR e satisfaz a condi¸cão de fronteira

u|∂BR = g (2)

onde g ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua dada na fronteira ∂BR daquele disco.

Comecemos por observar que uma fun¸c˜ao de classe C2 _{que satisfa¸ca (1) num disco (isto ´e,}

uma fun¸cão harmónica nesse disco) é parte real de uma fun¸cão holomorfa f no mesmo disco. Para simplificar a discussão, suponhamos que u é harmónica num disco “ligeiramente”maior que o dado, isto é, com raio R′

> R. Então u é parte real de uma fun¸cão holomorfa f definida num disco que contém ¯BR. Ora, para uma tal fun¸cão tem-se1

f (a) = 1 2πi Z γ R2_{− a¯}_a (z − a)(R2_{− z¯}_a)f (z) dz, a ∈ BR. (3)

onde γ ´e ∂BR percorrida uma vez no sentido directo. De facto, verifica-se facilmente que

R2_{− a¯}_a

(R2_{− z¯}_a)f (z)

´e holomorfa em ¯BR com o valor f (a) em z = a: por isso o res´ıduo da integranda em (3) ´e

precisamente f (a), o que prova (3).

Escrevendo a = reiθ_{e exprimindo o integral em (3) atrav´es da parametriza¸c˜ao de ∂B}

Robtemos (para r < R) f (reiθ_{) =} 1 2π Z 2π 0 R2_{− r}2 R2_{− 2Rr cos(θ − t) + r}2f (Re it_{) dt.}

(12)

A parte real de f ´e, pois: u(reiθ) = 1 2π Z 2π 0 R2_{− r}2 R2_{− 2Rr cos(θ − t) + r}2u(Re it_{) dt.} ₍₄₎

Ora, t 7→ u(Reit_{) ´e a representa¸c˜ao do valor de u em ∂B}

R: ´e a fun¸c˜ao g a que se alude em (2) (que

pode ser pensada como uma fun¸cão periódia de per´ıodo 2π). Podemos dizer então que a solu¸cão de (1)-(2) é u(reiθ) = 1 2π Z 2π 0 R2− r2 R2_{− 2Rr cos(θ − t) + r}2g(Re it_{) dt} ₍₄₎

pelo menos no caso em que u é harmónica num disco ligeiramente maior. Na verdade este resultado é válido em condi¸cões mais gerais:

Se g ´e cont´ınua em ∂BR, o segundo membro de (4) define uma fun¸c˜ao cont´ınua em ¯BR,

harmónica em BR e que é solu¸cão de (1)-(2).

Além disso, mesmo que g seja apenas seccionalmente cont´ınua, (4) representa ainda uma fun¸cão harmónica que se pode considerar solu¸cão generalizada do problema

∂2_u

∂x2 +

∂2_u

∂y2 = 0 em BR, u|∂BR= g

pois pode demonstrar-se que u fica C2_{no interior e cont´ınua em B}

R com excep¸c˜ao dos pontos de

∂BR onde falha a continuidade de g.

A igualdade (4) ´e conhecida como f´ormula de Poisson.

Nota: que nos leva a escrever a equa¸c˜ao (3)? Sabemos, utilizando o teorema dos res´ıduos, que para a ∈ BRtem-se

f (a) = 1 2πi Z γ ϕ(z)f (z) z − a dz

onde ϕ é uma qualquer fun¸cão holomorfa em ¯BRcom ϕ(a) = 1. O que pretendemos é escolher ϕ de

modo a facilitar-nos a separa¸cão da parte real no integral já escrito em termos de parametriza¸cão:

f (a) = 1 2π

Z 2π

0

ϕ(Reit_)Reit_{f (Re}it₎

Reit_{− a} dt.

Este segundo membro ´e igual a 1

2π Z 2π

0

ϕ(Reit_)Reit_(Re−_it

− ¯a)f (Reit₎ (Reit_{− a)(Re}−_it − ¯a) dt = 1 2π Z 2π 0

ϕ(Reit_)(R2_{− Re}it_¯_{a)f (Re}it₎

R2_{− 2Rr cos(θ − t) + r}2 dt

onde a = reiθ_{. O objectivo ´e que o coeficiente de f (Re}it_{) seja real, pois isso permite-nos separar a}

parte real de f (a) do modo mais simples poss´ıvel. Ent˜ao basta que

ϕ(Reit)(R2− Reit¯a)

seja uma constante real, e para que ϕ(a) = 1 facilmente concluimos que podemos tomar

ϕ(z) =R

2_{− a¯}_a

(13)

Efectivamente, esta fun¸c˜ao tem apenas um polo fora de ¯BR, no ponto R2/¯a.

A express˜ao que aparece na integranda de (4), R2_{− r}2

R2_{− 2Rr cos(θ − t) + r}2

é designada por núcleo de Poisson. Trata-se de uma fun¸cão positiva, porque o denominador da fraçcão é maior ou igual a um quadrado. E tem-se

1 2π Z 2π 0 R2_{− r}2 R2_{− 2Rr cos(θ − t) + r}2dt = 1

uma vez que a constante 1 é a (única!) fun¸cão que resolve o problema (1) com condi¸cão na fronteira igual a 1.

As seguintes propriedades decorrem facilmente de (4).

Proposi¸cão 5.1 Se u é solu¸cão de (1)-(2) e u|∂BR≥ 0, então u ≥ 0 em BR.

Proposi¸cão 5.2 Se u é solu¸cão de (1)-(2) e há números m, M tais que m ≤ u|∂BR ≤ M , então

m ≤ u ≤ M em BR.

Exemplo. Calculemos a solu¸c˜ao de (1)-(2) supondo g(Reit_{) = sin 3t. Como}

sin 3t = Im(z

3

R3) se z = Re it

a solu¸c˜ao procurada ´e Im(z3

R3) =

y3₋

3xy2

R3 . Usando a representa¸c˜ao em coordenadas polares dada

em (4) concluimos: 1 2π Z 2π 0 R2_{− r}2 R2_{− 2Rr cos(θ − t) + r}2sin 3t dt = r3 R3sin 3θ.

Na verdade, mais geralmente e pelas mesmas raz˜oes 1 2π Z 2π 0 R2_{− r}2 R2_{− 2Rr cos(θ − t) + r}2sin kt dt = rk Rksin kθ. (6)

Exemplo. Determinemos uma solu¸c˜ao generalizada de (1)-(2) no caso em que

g(Reit_{) =}

(

100, se 0 < t < π 0, se π < t < 2π.

Como fun¸cão da variável real t, com per´ıodo 2π, esta fun¸cão não é par nem ´ımpar. Com o objectivo de usar uma série de Fourier o mais simples poss´ıvel – digamos, uma série de senos – observamos que g(Reit) = 50 + h(Reit) onde h(Reit) = ( 50, se 0 < t < π −50, se π < t < 2π.

(14)

A fun¸cão da variável t que corresponde a h é ´ımpar e de per´ıodo 2π. A sua série de Fourier é a série de senos ∞ X n=1 2(1 − (−1)n₎ nπ sin nt. Introduzindo a representa¸cão de g em (4) e utilizando (6) obtemos

u(r, θ) = 50 + ∞ X n=1 2(1 − (−1)n₎ nπ rn Rnsin nθ.

Este resultado foi obtido sem justifica¸cão formal: há que garantir que a integra¸cão comuta com a soma da série. No entanto é claro, a partir de estimativas simples, que a série obtida converge uniformemente em qualquer disco r ≤ r0, com r0< R.