O Método SAA. PUC-Rio

O Método SAA

Conteúdo

Conteúdo

Motivação

► O método do SAA é utilizado todos os dias por diversas empresas/estudos/universidades

► É utilizado mesmo que os usuários não saibam o que estão fazendo

► Método mais clássico para resolução de problemas de otimização relativamente complexos

Motivação

► Paper publicado por Shapiro et al em ~2001

► Método já era utilizado antes do paper

▪ Metodologia intuitiva

▪ O paper do Shapiro foi uma das primeiras analises teóricas sobre o método

Motivação

► É utilizado para a resolução de inúmeros problemas

▪ Clássicos: • Jornaleiro • Fazendeiro • Mochila ▪ Vida Real • Despacho hidrotérmico • Modelo de expansão

• Alocação ótima de portfólio

Motivação

► É utilizado em todos os problemas que tratam de incerteza, ou seja, é utilizado em todos os problemas da vida real

► Claro que existem outras metodologias para resolver

problemas que envolvam incerteza, porém o SAA é o método mais intuitivo e simples de implementar, por isso é muito

Conteúdo

Tipo de problemas

► Vamos resolver problemas da seguinte forma

► Onde Q é uma função que modela as consequências das decisões em termos de custo

Tipo de problemas

► Para economizar na notação, podemos reescreve-lo

► Considerando a distribuição de probabilidade dada, podemos gerar tantas amostras quanto o necessário da incerteza

Instância do SAA

► Sendo assim, vamos calcular uma instância do SAA

► Note que, a priori, resolver este problema é possível e obteremos algum resultado a partir disto

Definições Importantes

Instância do SAA

► Conforme veremos, para N suficientemente grande, temos que

► Porém, o problema é que resolver um problema de tamanho N é muito difícil. Mas resolver N problemas de tamanho 1 é bem mais fácil

► Para que a convergência seja valida, N precisaria ser muito grande, levando a tempos computacionais inviáveis.

Problemas da prática

► Então como a escolha N deveria ser a menor que ainda preserve a qualidade da solução

► Shapiro et al propuseram que as instâncias do SAA devem ser replicadas, com amostras da incerteza i.i.d

► Sendo assim, replicaremos a instância de tamanho N do SAA M vezes

Possíveis problemas de convergência

► Utilizando essa estratégia, mantendo um N pequeno mas aumentando o número de replicações, ainda conseguimos uma solução com boa qualidade?

► Suponha que p(N) seja a probabilidade da solução de uma instância de tamanho N ser a ótima

Possíveis problemas de convergência

► Então a probabilidade de uma solução de tamanho N das M replicações ser igual a ótima e de:

► A probabilidade de fazer mais uma replicação e a solução

encontrada ser á melhor até então é de 1

𝑀+1, pois as amostras

aleatórias são i.i.d para cada uma das replicações

16

Critérios de convergência

► Sendo assim, para levar em consideração a estocasticidade do problema, precisamos de critérios estocásticos de

convergência.

► Shapiro et al propôs um método baseado no GAP de

otimalidade, que consiste em calcular um estimador para o Lower-bound do problema original, e um estimador para o Upper-bound

Calculo Lower-Bound

► Para calcular um Lower-bound válido, vamos considerar que cada um das M amostras de tamanho N seja uma variável aleatória, dessa forma podemos escrever que:

Calculo Lower-Bound

► Para desenhar um Lower-bound, vamos utilizar o fato de que o mínimo de funções convexas é uma função côncava. Logo se 𝑣∗ é uma função côncava:

Calculo Lower-Bound

Calculo Lower-Bound

► Agora que temos um Lower-Bound, vamos calcular o

Calculo Lower-Bound

► Note que 𝑣ҧ_𝑁,𝑀 é um estimador consistente e não viesado para o Lower-bound do problema original

► Obtendo um Lower-bound com 1 − 𝛼 porcento de probabilidade de ser valido

Calculo Upper-bound

► Agora precisamos calcular um Upper-bound para o problema original. Note que um Upper-bound é qualquer solução sub-ótima avaliada na função objetivo

► Então vamos aproveitar todas as j=1,..,M soluções

encontradas no cálculo do Lower-bound, e vamos avaliá-las na função objetivo.

Calculo Upper-bound

► Para isso temos que gerar S cenários e fazer uma conta

► Note que agora teremos M estimativas para o Upper-bound, onde pegaremos a menor delas.

GAP otimalidade

► Agora vamos montar o seguinte teste de hipótese:

► Onde caso a hipótese nula seja rejeitada, o SAA convergiu e portanto chegamos na solução ótima.

GAP otimalidade

► Como estatística de teste utilizaremos:

Desenho do algoritmo

► Dado todas as considerações até aqui, o seguinte algoritmo é proposto para o SAA:

Conteúdo

Prova de convergência

► Vamos mostrar que uma instância do SAA converge com probabilidade 1

► Quando dizemos que converge com probabilidade 1,

queremos dizer para um N suficientemente grande, o método converge

Definições

► Seja S o conjunto de soluções viáveis do problema original.

► Considere as definições anteriores:

Definições

► Dizemos que ҧ𝑥 é uma solução 𝜖-ótima se:

► Dizemos que 𝑆𝜖 é o conjunto de todas as soluções 𝜖-ótimas do problema original, e መ𝑆_𝑁𝜖 o mesmo conjunto para o problema aproximado.

Lema

32

► As seguintes propriedades são verdadeiras:

1. 𝑣ො_𝑁 → 𝑣∗ c.p.1 conforme 𝑁 → ∞

Prova

► Pela lei dos grandes números:

Prova

34

► Como 𝑣ො_𝑁 − 𝑣∗ ≤ 𝛿_𝑁, então 𝑣ො_𝑁 − 𝑣∗ → 0, logo ො𝑣_𝑁 → 𝑣∗

► Provando a parte 1 do lema.

► Para a parte 2, vamos considerar o seguinte numero:

Prova

► Vamos supor agora que o N seja suficientemente grande para

que 𝛿_𝑁 < 1

2 𝑝 𝜖

► Neste caso temos: 𝑣ො_𝑁 − 𝑣∗ ≤ 𝛿_𝑁 ≤ 1

2 𝑝 𝜖

► Logo: 𝑣ො_𝑁 < 𝑣∗ + 1

2 𝑝 𝜖

► E para todo 𝑥 ∈ 𝑆 ∖ 𝑆𝜖 segue que:

► 𝑔ො_𝑁 > 𝑣∗ + 𝜖 − 1

Prova

36

► Segue então que se 𝑥 ∈ 𝑆 ∖ 𝑆𝜖 então 𝑔ො_𝑁 > ො𝑣_𝑁 + 𝜖

► Ou seja, x não pertence ao conjunto መ𝑆_𝑁𝜖

► Se x não pertence ao conjunto መ𝑆_𝑁𝜖, mas o único conjunto que ficou de fora foi o 𝑆𝜖, então መ𝑆_𝑁𝜖 ⊂ 𝑆𝜖, conforme queríamos

Conteúdo

Resultados do SAA para o jornaleiro

Conteúdo

Conclusão

► Método do SAA serve para resolver problemas de otimização estocástica discretos

► Discutimos alguns problemas que devem ser avaliados –

existe um risco em usar o SAA “sem olhar para trás”.

► Critério de convergência folgado – soluções ruins podem ser