Solução de Blasius para a equação da camada limite laminar para placa plana com dp e /dx=0

(1)

Solução de Blasius para a equação da camada

limite laminar para placa plana com dp_e/dx=0

Equações de camada limite laminar 2D delgada (δ<<x) para placa plana:

2 2 y u y u v x u u ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ _ν 0 = ∂ ∂ + ∂ ∂ y v x u

Condições de fronteira: y=0 u=v=0

(2)

Hipótese de Blasius: f ( )η com

Uu =

A introdução de corresponde a reconhecer que o perfil de velocidades adimensional está estabilizado.

n

x Ay

=

η

A e n são parâmetros a determinar.

Nota: e y x A y n η η ₌ ₌ ∂ ∂ η _η x n y x nA x = − n = − ∂ ∂ +1

(3)

Procedimento:

o Utilizar a função corrente:

y u ∂ Ψ ∂ = x v ∂ Ψ ∂ − = o Nota: y y d d ∂ ∂ ∂ Ψ ∂ = Ψ η η u x_A Uf ( ) x_A n n η = = ( )η F ( )η dη f A x U n = Ψ

o Substituir u/U=f( ) e na equação da CL, escolher n de modo a que a equação resultante não dependa de x e A de modo a simplificar a equação.

x v = −∂Ψ ∂

(4)

o UF ( )η y u = ′ ∂ Ψ ∂ = resulta: ( )η ηF x nU x u ₌ ₋ _′′ ∂ ∂ o o F ( )η x UA y u n ′′ = ∂ ∂ _o _{( )} η F x UA y u n ′′′ = ∂ ∂ 2 2 2 2 o

[

nx F( )η nηx F ( )η

]

A U x v ₌ ₋ n ₋ n ′ ∂ Ψ ∂ − = −1 −1 ( )η F A x U n = Ψ De:

(5)

Obtém-se: 0 2 1 2 = ′′ + ′′′ − FF A Unx F n ν 2 2 y u y u v x u u ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ _ν ( )x,0 = 0 u ( )x,0 = 0 v ( )x U u ,∞ = Condições fronteira:

o Tomando n=1/2 e simplifica a equação para:A = U ν

( ) ( ) ( ) 0 2F ′′′ η + F η F ′′ η = x U y ν η = com ( )0 = 0 ′ F U F′( )0 = 0 ( ) ( )

[

F η −ηF′ η

]

_η₌₀ = 0 _F( )₀ ₌ ₀ ( ) U F U ′ ∞ = F′( )∞ =1

(6)

Solução:

0 0 0,3321 1 0,3298 0,323 2 0,6298 0,2668 3 0,8461 0,1614 4 0,9555 0,0642 5 0,9916 0,0059 6 0,999 0,0024 7 0,999 0,0002 8 1 0,0001 x U y ν η = F ( )η U u ₌ _′ _{( )} η F ′′ 0 0,4 0,8 1,2 0 2 4 6 8 10 x U y ν η =

( )

η F U u ₌ _′

( )

η F ′′

(7)

Solução:

0 0 0,3321 1 0,3298 0,323 2 0,6298 0,2668 3 0,8461 0,1614 4 0,9555 0,0642 5 0,9916 0,0059 6 0,999 0,0024 7 0,999 0,0002 8 1 0,0001 x U y ν η = F ( )η U u ₌ _′ _{( )} η F ′′

( )

0 F x U U ′′ = ν µ ( ) Re 664 , 0 0 2 _′′ ₌ = F Ux ν 0 0 = ∂ ∂ = y y u µ τ

o Tensão de corte na parede

2 0 2 1 U f

c

ρ τ

=

o Coeficiente de atrito

(8)

Solução:

0 0 0,3321 1 0,3298 0,323 2 0,6298 0,2668 3 0,8461 0,1614 4 0,9555 0,0642 5 0,9916 0,0059 6 0,999 0,0024 7 0,999 0,0002 8 1 0,0001 x U y ν η = F ( )η U u ₌ _′ _{( )} η F ′′ dx D L o = τ₀ o Força de resistência L D L U D C Re 328 , 1 2 1 ₂ = = ρ o Coeficiente de resistência ν UL L = Re

( )

0 2 1 F L U U ′′ = ν µ

(9)

Solução:

(

y

)

U u = δ = 0,99 o Espessura da CL 0 0 0,3321 1 0,3298 0,323 2 0,6298 0,2668 3 0,8461 0,1614 4 0,9555 0,0642 5 0,9916 0,0059 6 0,999 0,0024 7 0,999 0,0002 8 1 0,0001 x U y ν η = F

( )

η U u ₌ _′ _{( )} η F ′′ L Ux x Re 5 5 ₌ = ν δ =5

( )

0 1,8% 5 0 = ′′ ′′ = F F τ τ_δ o Tensão de corte em y=

(10)

Espessura de deslocamento:

( ) ∞ − = 0 1 _U _u _dy U d δ ( − ) ≅ δ δ 0 1 dy u U U d = − δ δ δ 0 udy U U _d U ( ) ∞ − 0 dy u U Caudal para

fluido invíscido Caudal real

Déficit de caudal devido à redução de velocidade na CL.

(11)

Espessura de deslocamento: = ∞( − ) 0 1 _U _u _dy U d δ ( − ) ≅ δ δ 0 1 dy u U U d = − δ δ δ 0 1 udy U d Afastamento inicial da LC d q/U _LC

(12)

Valor da solução de Blasius para a espessura de deslocamento: x d x _Re 72 , 1 = δ d q/U _LC ν Ux x = Re com 334 , 0 = δ δ_d ou

(13)

Espessura de quantidade de movimento:

( ) ∞ − = 0 2 1 udy u U U m δ ( − ) ≅ δ δ 0 2 1 _U _u _udy U m ( d ) U δ −δ = ( d m ) U dy u δ δ δ δ − − = 2 0 2 m U udy U dy u δ δ δ 2 0 0 2 ₌ ₋ − = δ δ δ 0 2 0 2 _U _udy _u _dy U _m

(14)

Caudal de quantidade de movimento através duma secção da CL: m d qm u dy U U U q _x ρ ρ δ ρ δ ρ δ δ 2 2 2 0 2 ₌ ₋ ₋ = Caudal de q.m. com perfil uniforme (ρUδ ) U Redução devido ao déficit de caudal ( U d ) U ρ δ Redução devido ao déficit de q.m. na C.L. ( U m) U ρ δ

(15)

Valor da solução de Blasius para a espessura de quantidade de movimento: x m x Re 664 , 0 = δ ν Ux x = Re com 133 . 0 = δ δ_m ou

(16)

Conceitos:

– Solução de Blasius para CL laminar com gradiente de pressão nulo;

– Número de Reynolds local; – Número de Reynolds global; – Espessura de deslocamento;

– Espessura de quantidade de movimento.

(17)

Bibliografia:

– Sabersky – Fluid Flow: 8.3, 8.4

– White – Fluid Mechanics: 7.4 (sem método de Thwaites)