O Teorema da Separatriz

(1)

INSTITUTO DE CIˆENCIAS EXATAS Departamento de Matem´atica

Disserta¸c˜ao de Mestrado

O Teorema da Separatriz

Gilberto Duarte Cuzzuol

Orientador:

M´

arcio Gomes Soares

(2)

Introdu¸c˜ao 3

1 Preliminares 4

1.1 Germes . . . 4

1.2 Campo de vetores . . . 5

1.3 Fra¸c˜oes Cont´ınuas . . . 7

1.4 Folhea¸c˜oes . . . 10

1.4.1 Folhea¸c˜oes n˜ao singulares . . . 10

1.4.2 Exemplos de folhea¸c˜oes n˜ao singulares . . . 11

1.4.3 Folhea¸c˜oes singulares . . . 13

1.5 Blow-up (ou explos˜_{ao) de C}2 _{em 0. . . .} ₁₅

1.6 Separatrizes . . . 19

2 O Teorema da Separatriz 23 2.1 Introdu¸c˜ao . . . 23

2.2 Ordenando a resolu¸c˜ao de FZ . . . 25

2.3 ´Indices de Subvariedades Integrais . . . 28

2.4 Demonstra¸cão do Teorema . . . 40 3 Prova de Sebastiani 44 3.1 Introdu¸cão . . . 44 3.2 Enunciado do Teorema . . . 45 3.3 Demonstra¸cão do Teorema 3.1 . . . 47 3.3.1 Prova da Proposi¸cão . . . 49 3.4 Prova do Teorema 3.1 . . . 49 2

(3)

Referˆencias Bibliogr´aficas 53

(4)

Introdu¸

c˜

ao

´

E

natural se perguntar se existem solu¸c˜oes da equa¸c˜ao diferencial dz

dT = Z(z), Z(0) = 0

que tendem a 0 ∈ C2 . Essa é uma questão natural que aparece na dinâmica complexa, e estudada pela primeira vez por C. A. Briot e J.C. Bouquet, quando eles mostraram em diversos casos particulares que existem tais solu¸c˜_{oes tendendo assintoticamente a 0 ∈ C}2_{. Este problema}

também foi considerado por H. Dulac de um outro ponto de vista. Dada a equa¸cão diferencial com parte linear não nula ele se propôs a determinar o conjunto de solu¸cões que tendem assintoticamente a 0 ∈ C2. Demonstraremos assim neste trabalho o seguinte teorema devido `

a C. Camacho e P. Sad [1]:

T

EOREMA 0.1 Teorema da Separatriz Considere a equa¸c˜ao diferencial

dz

dT = Z(z), Z(0) = 0

com uma singularidade isolada em 0 ∈ C2. Existe uma subvariedade anal´ıtica complexa de dimens˜_{ao 1, passando por 0 ∈ C}2_{, invariante por Z numa vizinhan¸}_{ca de 0 ∈ C}2_.

Isto significa que existe uma vizinhan¸ca U de 0 ∈ C2 e uma curva complexa V ⊂ U , integral da equa¸c˜ao diferencial em U tal que ¯V = V ∪ {0} e ¯V ´e um conjunto anal´ıtico complexo.

Na estrutura da demonstra¸cão de sua existência, poderemos ver que tal curva pode ser detectada na resolu¸cão da folhea¸cão.

O que faremos então nessa disserta¸cão é um estudo detalhado sobre a demonstra¸cão do Teorema da Separatriz, apresentando antes ao leitor alguns conceitos importantes para o estudo de folhea¸cões. Introduziremos o ´ındice de uma folhea¸cão F relativo a uma curva anal´ıtica num ponto p, devido a C. Camacho P. Sad, que veremos no decorrer deste trabalho, ser de extrema importância para a prova do teorema

No cap´ıtulos 3 e 4, s˜ao apresentadas demonstra¸c˜oes alternativas para o Teorema da Separatriz devido a M. Sebastiani e J. Cano, respectivamente.

(5)

Preliminares

1.1 Germes

Com interesse num estudo local de existência de separatrizes, não nos preocupamos em quais vizinhan¸cas da singularidade valem os resultados, para nós, basta que estes valham para alguma vizinhan¸ca da singularidade. Por isto introduzimos o conceito de germes de aplica¸cões e germes de conjuntos.

D

EFINIÇ ÃO 1.1 Sejam M e N espa¸cos topológicos e seja p ∈ M . Consideremos a fam´ılia de todas as aplica¸cões definidas em alguma vizinhan¸ca de p e com valores em N . Nesta fam´ılia definimos uma rela¸cão de equivalência.

Seja f : Up → Vq uma aplica¸c˜ao definida numa vizinhan¸ca aberta Up de p em M , sobre uma

vizinhan¸ca aberta Vq de q em N , levando p em q. Definimos

[f ] := {g : (M, p) → (N, q)}/ ∼

onde ”∼”indica a rela¸c˜ao de equivalˆencia ”g ∼ f ⇔ g e f coincidem em uma vizinhan¸ca qualquer U_p0 ⊆ Up”. Claramente devemos ter g(p) = q.

Chamaremos [f ] de germe da aplica¸c˜ao f , notado por f

(M,p): (M, p) → (N, q). Adotaremos

a seguinte nota¸c˜ao:

Cm,p = C[(M, p), (N )] := germes de aplica¸c˜oes cont´ınuas f : (M, p) → N ;

Om,p = O[(M, p), (N )] := germes de aplica¸c˜oes holomorfas f : (M, p) → N.

(6)

Denotaremos por

Xp(M ) :=

[

q∈N

X[(M, p), (N, q)], para X = C, O.

E chamaremos de valor comum (em p) de todas as aplica¸c˜oes que pertencem a um mesmo germe de valor do germe.

1.2 Campo de vetores

Um campo vetorial X sobre uma variedade complexa M é uma fun¸cão que associa a cada ponto p ∈ M um vetor Xp ∈ TpM , o espa¸co tangente de M em p. Se f é uma fun¸cão diferenciável sobre

M , então X f é uma fun¸cão sobre M definida por (X f )(p) = Xpf = f0(p) · Xp.

Em termos de um sistema local de coordenadas u1, u2, . . . , un, um campo vetorial pode ser

expresso por X = P aj

∂ ∂uj

, onde aj s˜ao fun¸c˜oes definidas na vizinhan¸ca coordenada, chamadas

componentes de X com respeito a u1, u2, . . . , un. X ´e diferenci´avel (respectivamente anal´ıtico)

se, e somente, se suas componentes aj s˜ao diferenci´aveis (respectivamente anal´ıticas).

Seja χ(M ) o conjunto de todos os campos vetoriais diferenciáveis sobre M . χ(M ) é um espa¸co vetorial complexo com as opera¸cões naturais de adi¸cão e multiplica¸cão por escalar. Note que se f é uma fun¸cão sobre M e X ∈ χ(M ), então f X ∈ χ(M ). A um campo de vetores X em U ⊂ M está associado uma equa¸cão diferencial ordinária dx

dT = X (x). O Teorema de existência e unicidade de solu¸cões garante que, dados um ponto qualquer p ∈ U ⊂ M e um compacto K ⊂ U , existem r > 0 e uma única aplica¸c˜_{ao holomorfa ψ : D(r) × K → U de modo que}

(i) ψ(0 , z) = z para todo z ∈ K e (ii) dψ

dT(T, z) = x(ψ(T, z)).∀ (T, z)

Fixado z0 ∈ U , existe então solu¸cão holomorfa ϕ : D(r0) → U , isto é, ϕ(0) = z0 e

ϕ0(T ) = X (ϕ(T )) para todo |T | < r0 (r0 depende de z0, e a solu¸cão é única no disco D(r0)).

Os pontos onde X (z0) = 0 s˜ao as singularidades do campo; vamos supor sempre que o

(7)

campo holomorfo X não possui singularidades, ou seja, X (x) 6= 0∀ x ∈ M , as órbitas de X definem localmente as folhas de uma folhea¸cão complexa de dimensão 1. Uma folha é uma curva, conexa e regular em U a qual localmente pode ser parametrizada como solu¸cão da equa¸cão diferencial. No cap´ıtulo 1.4 será feito um estudo mais detalhado sobre folhea¸cões.

Dizemos que q é uma singularidade não degenerada se DX (q) é não singular. Seja Λ = {λ1, . . . , λn} o espectro de DX (q). A singularidade será hiperbólica, se todos os quocientes

λi/λj, i 6= j, forem não reais. Se a envoltória convexa de Λ não contém 0 ∈ C, dizemos que a

singularidade está no dom´ınio de Poincaré. Caso contrário, dizemos que ela está no dom´ınio de Siegel.

Observe que a folhea¸cão entendida como conjunto de folhas não se altera quando multiplicamos a equa¸cão diferencial acima por uma fun¸cão holomorfa que não se anula. Podemos portanto, encarar a folhea¸cão como definida pelas solu¸cões da equa¸cão

ω = Q(x, y) dx − P (x, y) dy = 0 onde esta ´e a chamada forma dual de X .

Se X ´_{e um campo anal´ıtico em U ⊂ C}2 _{com singularidade em (0, 0), isto ´}_e,

X (x, y) = (P (x, y) , Q(x, y)) onde P (x, y) e Q(x, y) são fun¸cões anal´ıticas com P (0, 0) = Q(0, 0) = 0, temos que P e Q são representados em série de Taylor centrada em (0, 0) como

P (x, y) = a1 0x + a0 1y + r(x, y)

Q(x, y) = b1 0x + b0 1y + s(x, y)

onde r e s s˜ao fun¸c˜oes holomorfas que envolvem termos de grau ≥2. Logo X = " P (x, y) Q(x, y) # = " a0 1 a1 0 b0 1 a1 0 # " x y # + " · · · · · · #

onde a derivada do campo X no ponto (0, 0) ´e DX (0) =

"

a0 1 a1 0

b0 1 a1 0

#

que ´_{e a parte linear do campo X . Assim, se for um campo em U ⊂ C}n_{, ent˜}_{ao DX (0) ser´}_{a uma}

matriz n × n.

Seja X um campo holomorfo em uma variedade Mm. Dado um ponto p ∈ M tal que X (p) = 0, podemos encontrar uma carta local (ζp, Vp) tal que ζ(p) = 0. Assim para estudar singularidades

de um campo em M , basta estudar singularidades de campos de vetores numa vizinhan¸ca de 0 ∈ Cn_.

(8)

1.3 Fra¸

c˜

oes Cont´ınuas

D

EFINIÇ ÃO 1.2 Uma fra¸cão cont´ınua é uma terna [{an}∞1 , {bn}∞1 , {wn}∞1 ] de sequênciasde

n´umeros complexos, tais que an 6= 0, n ≥ 1 e wn ´e um elemento do plano complexo estendido

definido da seguinte forma:

Se tk denota uma transforma¸c˜ao de M ¨obius do tipo

tk: u 7→ ak bk+ u , k = 1, 2, . . . , ent˜ao wn:= t1◦ t2 ◦ · · · ◦ tn(0), n = 1, 2, . . . ,

Ao escrever os primeiros termos wn0_s o leitor ficará convencido que w_n se iguala à fra¸cão inicial

desta se¸c˜ao fixando an+1 = 0.

an e bn s˜ao chamados de n−´esimos numeradores e denominadores parciais, respectivamente.

wn é chamado de o n−ésimo aproximador da fra¸cão cont´ınua. Os numeradores e

denominadores parciais também são chamados de elementos da fra¸cão cont´ınua, e as transforma¸cões tk de suas componentes.

Se a sequência de aproxima¸cões de uma fra¸cão cont´ınua C converge, isto é, se o limite w := lim

n→∞wn

existe e é finito, então C é dito ser (propriamente) convergente, e w é chamado de valor de C. Se lim wn = ∞, C é chamado impropriamente convergente. Além de fra¸cões cont´ınuas infinitas, nós

também temos que considerar as fra¸cões cont´ınuas finitas. Estas, são triplas [{an}, {bn}, {wn}]

de sequˆencias finitas, com ´ındices que percorrem de 1 a n para algum inteiro n ≥ 1, onde ak

e bk são números complexos, ak 6= 0, e wk está definido para k = 1, 2, · · · , n. Neste caso wn é

(9)

Ele sempre existe como elemento do plano complexo estendido e é como a própria fra¸cão, comumente encontrado na forma

a1 b1+ a2 b2+ a3 b3+ a4 . .. bn−2+ an−1 bn−1+ an bn

Existem dois métodos essencialmente diferentes para calcular o valor de uma fra¸cão cont´ınua, chamados, respectivamente, de métodos ascendente e descendente.

O uso do m´etodo ascendente consiste em calcular os n´umeros

wm,n := tm◦ tm+1◦ · · · ◦ tn(0), m = 1, 2, . . . , n.

Por recurs˜ao temos

wn,n = tn(0) = an bn , wm,n = tm(wm+1,n) = am bm+ wm+1,n , m = n − 1, n − 2, . . . , 1 e claramente, w1,n= wn.

O cálculo desta fra¸cão cont´ınua pelo método ascendente requer não mais que (n − 1) somas e n divisões.

(10)

E

XEMPLO 1.1 Dada a fra¸c˜ao cont´ınua 2 −1 + 7 6 − 1 5 + 3 4 − 2 3 − 5 2 obtemos a seguinte tabela de valores

m 6 5 4 3 2 1 am − 5 − 2 3 − 1 7 2 bm 2 3 4 5 6 − 1 wm, 6 − 5 2 − 4 ∞ 0 7 6 12

(11)

1.4 Folhea¸

c˜

oes

A idéia intuitiva de folhea¸cão corresponde à decomposi¸cão de uma variedade numa união de subvariedades conexas, disjuntas, de mesma dimensão, chamadas folhas.

1.4.1 Folhea¸

c˜

oes n˜

ao singulares

Sejam Mm _{uma variedade complexa m-dimensional, m ∈ N − {0}. Seja P}k um polidisco aberto em Ck_{, onde k ∈ N − {0}. Seja 0 ≤ n ≤ m fixados.}

Uma folhea¸c˜ao de classe Cr_{e codimens˜}_{ao m−n de M ´}_{e um atlas m´}_{aximo F = {(U}

α, ϕα)}α∈A

de M satisfazendo as seguintes propriedades: (i) ϕα(Uα) = Pn× Pm−n

(ii) Para todo α, β ∈ A a aplica¸c˜ao ϕβ ◦ (ϕα)−1: ϕ(Uα∩ Uβ) → ϕβ(Uα∩ Uβ) ´e de classe Cr e

tem a forma ϕβ◦ (ϕα)−1(xα, yα) = (fαβ(xα, yα), gαβ(yα)).

Uma placa de F ´e um conjunto γ = ϕ−1_α (Pα× {q}). As placas de F definem uma rela¸c˜ao

de equivalência ”∼”em M do seguinte modo: Se p, q ∈ M , então p ∼ q se, e somente se, existe uma cole¸cão finita de placas ρ1, · · · , ρk de F tal que p ∈ ρ1, q ∈ ρk e ρi∩ ρi+1 6= 0, para todo

1 ≤ i ≤ k − 1. Pode-se mostrar que ∼ é uma rela¸cão de equivalência e então podemos considerar a classe de equivalência Fx de ∼ contendo x ∈ M

Uma folha de F ´e precisamente uma classe de equivalˆencia L = Fxde ∼ (para algum x ∈ M ).

Assim, dois pontos estão na mesma folha se, e somente se, existe uma cadeia de placas como acima que contém estes pontos. Como as placas são conexas, as folhas também são.

Segue da defini¸cão que toda folha de F é uma subvariedade imersa de M . Sob o ponto de vista da equivalência ∼, podemos definir F como uma parti¸cão de M por subvariedades imersas L tal que para todo x ∈ M existe uma vizinhan¸ca U difeomorfa a Pn_{× P}m−n _{tal que as folhas}

(12)

Isto nos leva a estabelecer a seguinte defini¸c˜ao equivalente de folhea¸c˜ao.

Uma folhea¸cão de codimensão m−n de M é uma parti¸cão F de M , formada por subvariedades imersas Fx ⊂ M tal que todo X ∈ M exibe uma vizinhan¸ca U e um difeomorfismo

ϕ : U → Pn_{× P}m−n _{tal que ∀ y ∈ P}m−n_{, existe L ⊂ F satisfazendo}

ϕ−1(Pn× y) ⊂ L.

Os elementos da parti¸cão F são chamados folhas de F . O elemento Fx contendo x ∈ M é

chamado folha de F contendo x.

1.4.2 Exemplos de folhea¸

c˜

oes n˜

ao singulares

E

XEMPLO 1.2 (Folhea¸cões derivadas de Submersões). Uma aplica¸cão diferenciável f : M → N entre variedades diferenciáveis M e N é chamada uma submersão se para todo ponto p ∈ M a diferencial df : TpM → Tf (p)N é uma aplica¸cão sobrejetiva dos espa¸cos tangentes.

Segue da forma local das submers˜oes que se f : Mm → Nn _´_{e uma submers˜}_{ao entre as}

variedades diferenci´aveis M, N , ent˜ao as curvas de n´ıvel Lc= f−1(c), c ∈ N

são folhas de uma folhea¸cão de codimensão n de M .

E

XEMPLO 1.3 (Folhea¸cões derivadas de Campos de Vetores). Seja X um campo vetorial não-singular em uma variedade diferenciável real M . Então a X podemos associar uma equa¸cão diferencial

˙x = X (x(t))

onde t é o tempo real. As solu¸cões desta equacão definem um fluxo local na variedade M . As subvariedades de M obtidas pelo prolongamento destas solu¸cões locais são chamadas de trajetórias de X , que são curvas lisas em M , duas a duas disjuntas e por cada ponto p ∈ M passa uma e somente uma trajetória de X .

(13)

ϕα

ϕβ◦ ϕ−1α

ϕβ

(14)

1.4.3 Folhea¸

c˜

oes singulares

D

EFINIC¸ ˜AO 1.3 Seja Mn _{uma variedade complexa de dimens˜}_{ao n. Uma folhea¸}_c˜_{ao holomorfa}

singular de dimensão k ou codimensão n − k, onde 1 ≤ k ≤ n − 1, em M é uma folhea¸cão não singular de dimensão k em M \ S, onde S é um conjunto anal´ıtico em M de codimensão maior ou igual a 2.

Exigiremos ainda que o conjunto S da defini¸cão acima seja minimal no seguinte sentido: não existe subconjunto anal´ıtico próprio S0 ⊂ S tal que a folhea¸cão regular em M \ S se estenda a M \ S0. Nessas condi¸cões, S é chamado de conjunto singular da folhea¸cão. O conjunto singular da folhea¸cão F é denotado por Sing(F ). Os elementos de Sing(F ) são chamados de pontos singulares ou singularidades, enquanto os elementos de M \ Sing(F ) são chamados de pontos regulares. As folhas de F são, por defini¸cão, as folhas da folhea¸cão regular F|M \Sing(F ).

De agora em diante, usaremos o termo folhea¸c˜ao para designar folhea¸c˜ao holomorfa singular.

E

XEMPLO 1.4 Se v ´e um campo de vetores holomorfo n˜ao singular em um aberto U ⊂ M ,

ent˜ao o teorema do Fluxo Tubular que pode ser enunciado da seguinte forma:

T

EOREMA 1.1 (Teorema do Fluxo Tubular)

Para todo p ∈ M tal que X(p) 6= 0, existe um sistema de coordenadas holomorfo (φ = (z1, . . . , zn), U ), onde φ : U → φ(U ) = A × B ⊂ C × Cn−1, e no qual X =

∂ ∂z1

.

implica que U possui uma estrutura de folhea¸cão de dimensão 1. Note que as trajetórias de X são as solu¸cões da equa¸cão diferencial dz

dt = X(z) e X|U =

∂ ∂z1

, e que essas trajet´orias em U s˜ao da forma φ−1(A × {w}) com w ∈ B.

Observe que, se eU ⊂ M ´e aberto com U ∩ e_{U 6= ∅ adimite um campo de vetores n˜ao singular} ˜

v que satisfaz v|_{U ∩ e}_U = f ˜v|_{U ∩ e}_U para alguma fun¸c˜ao f : U ∩ eU → C∗ holomorfa, ent˜ao v e ˜v induzem

a mesma folhea¸cão em U ∩ eU . Temos assim, uma folhea¸cão definida em U ∩ eU . Reciprocamente, uma folhea¸cão de dimensão 1 é induzida localmente por campo de vetores não singulares.

Com efeito, basta tomar em cada aberto trivializador Uα, o campo vα = D(Φ−1α )

∂ ∂z1

, onde (z1, (z2, . . . , zn)) são coordenadas de D × Dn−1, onde D é o disco unitário centrado na origem.

Observe que, se Uα β 6= ∅, para cada p ∈ Uα β, existe fα β(p) ∈ C∗tal que vα(p) = fα β(p)vβ(p).

(15)

(a) Uma cobertura {Uα}α∈A de M por abertos

(b) para cada α ∈ A, um campo de vetores holomorfos n˜ao singular vα em Uα

(c) sempre que Uα β 6= ∅, uma fun¸c˜ao holomorfa fα β: Uα β → C∗ tal que

vα|_{Uα β} = fα β(p)vβ|_{Uα β},

define uma folhea¸c˜ao de dimens˜ao 1 em M .

P

ROPOSIÇ ÃO 1.1 Toda folhea¸cão de dimensão 1 é induzida localmente por um campo de vetores holomorfo.

Demonstra¸c˜ao: Uma vez que o problema ´e local, podemos consider´_{a-lo em um polidisco P ⊂ C}n_.

Seja F folhea¸cão em P . F|P \Sing(F ) é uma folhea¸cão holomorfa não singular e, de acordo com

o exemplo acima, existem uma cobertura aberta {Uα}α∈A de P \ Sing(F ) e um campo de

vetores vα em Uα induzindo F|_Uα, satisfazendo vα|_{Uα β} = fα β(p)vβ|_{Uα β} sempre que Uα β 6= ∅,

onde fα β: Uα β → C∗ ´e holomorfa.

Escrevemos cada um desses campos em coordenadas: vα = (v1α, . . . , v

α n).

Uma vez que P \ Sing(F ) ´e conexo, podemos supor que vα

n 6= 0 ∀ α ∈ A. Para cada α ∈ A, gα₁ = v α 1 vα n , . . . , g_n−1α = vn−1 vα n (∗) s˜ao fun¸c˜oes meromorfas em Uα. Se Uα β 6= ∅, visto que vα|_{Uα β} = fα β(p)vβ|_{Uα β}, teremos

g₁α = g₁β, . . . , gα_n−1= g_n−1β

Assim as defini¸cões locais de (∗) são compat´ıveis e definem fun¸cões meromorfas g1, . . . , gn−1

em P \ Sing(F ).

Uma vez que Sing(F ) tem codimens˜ao pelo menos 2, o teorema de extens˜ao de Levi,

([9], p´ag. 396), nos permite extender g1, . . . , gn−1 a fun¸c˜oes meromorfas em P , ainda denotadas

por g1, . . . , gn−1.

Em um polidisco, uma fun¸cão meromorfa é o quociente de duas fun¸cões holomorfas, seja h, o m.m.c dos seus denominadores.

O campo v = (h g1, . . . , h gn−1, h) ´e holomorfo em P , seu conjunto singular est´a contido em

(16)

1.5 Blow-up (ou explos˜

_{ao) de C}

2

em 0.

A explos˜_{ao de C}2 _{em (0, 0) consiste em criar uma nova superf´ıcie complexa ao substituir o}

ponto (0, 0) pelo conjunto de dire¸cões complexas neste ponto o qual é isomorfo a ¯_{C, a esfera de} Riemann. Definimos então a explosão como sendo a superf´ıcie complexa e_C2 _{= {((x, y), (u : t)) ∈}

C2 × P1; tx = yu}. A curva complexa mergulhada D ∼= ¯C = P1 chamada divisor excepcional : temos duas cartas coordenadas (x, t) em C2 e (u, y) em C2 com a mudan¸ca de coordenadas entre U e V dada pelo difeomorfismo holomorfo (x, t) 7→ (u, y) = (t−1, tx) e o divisor por x = 0 ou y = 0. Além disso, existe uma aplica¸cão holomorfa π : e_C2 _{→ C}2 definida em coordenadas locais por π(x, t) = (x, tx) e π(u, y) = (uy, y); tem-se que π é um difeomorfismo holomorfo entre e_C2_{\ D}

e C2 _{\ {(0, 0)}, e π(D) = (0, 0). A mesma constru¸c˜}_{ao pode ser feita em qualquer superf´ıcie, em}

vez de C2.

D

EFINIC¸ ˜AO 1.4 Seja X um campo de vetores holomorfo definido numa vizinhan¸_{ca de 0 ∈ C}2

tal que 0 ´e uma singularidade isolada de X . Sejam λ1 e λ2 os auto-valores de DX (0). Dizemos

que 0 ´e uma singularidade simples de X se uma das condi¸c˜oes abaixo for verificada:

(a) Se λ1·λ2 = 0, então um dos autovalores é não nulo. Neste caso, dizemos que a singularidade

´ e uma sela-n´o. (b) Se λ1· λ2 6= 0 ent˜ao λ1 λ1 / ∈ Q+_.

Os números λ2/λ1 e λ1/λ2 serão chamados de números caracter´ısticos da singularidade.

Note que as condi¸cões acima são invariantes por mudan¸cas holomorfas de coordenadas e por multiplica¸cão de X por uma fun¸cão que não se anula em 0. Desta maneira, elas podem ser estendidas às singularidades isoladas de folhea¸cões em superf´ıcies complexas.

O teorema de resolu¸c˜ao de Seidenberg que pode ser enunciado da seguinte forma

T

EOREMA 1.2 ( Teorema de resolu¸c˜ao de singularidades de Seidenberg)

Toda singularidade isoladade uma folhea¸c˜ao holomorfa em uma superf´ıcie complexa admite uma resolu¸c˜ao.

diz, a grosso modo, que se 0 é uma singularidade isolada de uma folhea¸cão F , então após uma sequˆ_{encia de ”blow-ups”, π : M → C}2, é poss´ıvel definir uma folhea¸cão F∗ = π∗(F ) que coincide com F fora da união dos divisores de π e cujas singularidades são todas simples.

(17)

Vejamos o que ocorre com uma folhea¸cão após uma explosão em 0. Cosideremos uma folhea¸c˜_{ao holomorfa F numa vizinhan¸ca de 0 ∈ C}2 _{com singularidade isolada em 0. Vamos}

supor F representada pelo campo X = (P (x, y) , Q(x, y)), ou equivalentemente, pela 1-forma dual ω = P (x, y) dy − Q(x, y) dx. Denotemos por F∗ a folhea¸c˜ao dada por π∗(ω). Podemos escrever o desenvolvimento de Taylor de ω em 0 como:

ω =

∞

X

j=k

(Pjdy − Qjdx),

onde Pj e Qj são polinômios homogêneos de grau j, com Pk 6= 0 ou Qk 6= 0. A forma π∗(ω) se

escreve na carta ((t, x), U ) como:

π∗(ω) = ∞ X j=k (Pj(x, tx) d(tx) − Qj(x, tx) dx) = = xk · ∞ X j=k xj−k· [(t Pj(1, t) − Qj(1, t)) dx) + x Pj(1, t) dt].

Dividindo a forma acima por xk _obtemos:

x−k.π∗(ω) = (t Pk(1, t) − Qk(1, t)) dx + x Pk(1, t) dt + x α (?)

onde α =P∞

j=k+1x

j−k−1_{· [(t P}

j(1, t) − Qj(1, t)) dx + x Pj(1, t) dt]

Coloquemos R(x, y) = y Pk(x, y) − x Qk(x, y), de forma que x−k.π∗(ω) = R (1, t) dx +

x Pk(1, t) dt + x. α. Analogamente, ao calcularmos a express˜ao de π∗(ω) na carta ((u, y), V ),

obtemos:

y−k.π∗(ω) = R (u, 1) dy − y Qk(u, 1) du + y. β (??)

Temos pois dois casos a considerar:

(a) R ≡ 0. Neste caso, dizemos que a singularidade ´e dicr´ıtica.

(18)

Analisemos os casos acima.

Caso(a): neste caso, as formas em (?) e (? ?) ainda podem ser divididas por x e y respectivamente. Dividindo (?) por x obtemos

ω1 = Pk(1, t) dt + α = Pk(1, t) dt + (t Pk+1(1, t) − Qk+1(1, t) dx + x. α1,

forma esta que não pode ser mais dividada por x, uma vez que Pk ≡/ 0. A folhea¸cão F∗ será

ent˜ao representada nesta carta por ω1 e na outra carta por uma forma ω2, obtida da divis˜ao de

(? ?) por y. Observe que, nos pontos do divisor {x = 0}, da forma (t0, 0), tais que Pk(1, t0) 6= 0,

as folhas de F∗ s˜ao transversais ao divisor. Os pontos (t0, 0) tais que Pk(1, t0) = 0 ser˜ao ou

pontos singulares de F∗ ou pontos de tangˆencia das folhas de F∗ com o divisor.

Note que cada folha transversal ao divisor d´a origem a uma separatriz local de F . Sendo assim, uma singularidade dicr´ıtica possui uma infinidade de separatrizes.

Caso (b). Neste caso as formas em (?) e (? ?) não podem mais ser divididas. Portanto, elas representam F∗ nas cartas respectivas. Note que o divisor é invariante por F∗. Além disto, as singularidades de F∗ no divisor são os pontos, da primeira carta, da forma (0, t0) onde

R (1, t0) = 0, e mais o ponto (0, 0), da segunda carta, se 0 for raiz de R (u, 1) = 0. Vemos ent˜ao

que F∗ possui k + 1 singularidades, contadas com multiplicidade, no divisor. Observe que as singularidades de F∗ s˜ao isoladas.

E

XEMPLO 1.5 Consideremos agora uma superf´ıcie S com uma folhea¸c˜ao F descrita numa vizinhan¸ca U de (0, 0) como

xdx + ydy + a0(x, y)dx + b0(x, y)dy = 0 onde a0 e b0 possuem multiplicidade alg´ebrica pelo menos 2 em (0, 0).

Fixemos p ∈ S, e denotemos por π a aplica¸c˜ao associada a explos˜ao eS de S em p, D = π−1_{{(0, 0)}. Em e}_{S \ D podemos tomar a folhea¸c˜}_{ao pela transformada estrita de F , denotada}

por π∗F , cujas folhas são as imagens inversas por π das folhas de F . Um cálculo simples, que faremos a seguir diretamente para a folhea¸cão definida acima, mostra que podemos estender π∗F holomorficamente a uma folhea¸cão eF definida em todo eS, incluindo o divisor D.

De fato, no sistema de coordenadas (x, t) para e_C2_{, obtemos}

x(1 + t2

(19)

como expressão para π∗F fora de D. No outro sistema de coordenadas, obtemos por cálculo análogo

y(1 + u2_{)dy + uydu + y}−1

[(b0(uy, y) + ua0(uY, Y ))dy + a0(uy, y)du] = 0 Portanto, podemos estender π∗F para D (com singularidades isoladas) como

ω1 = (1 + t2)dx + txdt + x−1((a0(x, tx) + tb0(x, tx))dx + b0(x, tx)dt) = 0

num sistema de coordenadas e

ω2 = (1 + u2)dy + uydu + y−1((b0(uy, y) + ua0(uy, y))dy + a0(uy, y)du) = 0

no outro sistema. Observe-se que h∗ω2 = t−1ω1 para h(x, t) = (t−1, tx) = (u, y), de modo que

realmente temos uma folhea¸cão de eU segundo o conceito introduzido no in´ıcio deste trabalho. Além disso, o divisor D é invariante, isto é, composto por singularidades e uma folha. De fato, temos duas singularidades, nos pontos p1 = (x = 0, t = i) e p2 = (x = 0, t = −i). As

partes lineares de ω1 e ω2 nestes pontos podem ser calculadas fazendo-se t0 = t + i e t0 = t − i

respectivamente. Obtemos a express˜ao 2t0dx + xdt0 = 0, de modo que tanto p1 quanto p2

s˜ao singularidades ressonantes no dom´ınio de Siegel. Cada uma delas possui uma separatriz transversal a D (as quais se projetam via π nas separatrizes S1 e S2 de (0, 0)), estando as outras

(20)

1.6 Separatrizes

Seja ω um germe de uma 1-forma holomorfa em 0 ∈ C2_{, com uma singularidade isolada em 0.}

Uma separatriz anal´ıtica de ω ´_{e um germe de curva complexa S em 0 ∈ C}2 onde, se f é uma fun¸cão que define S, com f (0) = 0, então

ω ∧ df = f η

para alguma 2-forma η. Em outros termos, dada uma folhea¸c˜ao holomorfa F de dimens˜ao 1 em uma variedade complexa M2 _{e q ∈ M}2 _{uma singularidade isolada de F , dizemos que F possui}

uma separatriz em q se existem uma vizinhan¸ca U de q e uma curva anal´ıtica em U , digamos γ, com as seguintes propriedades:

(i) q ∈ γ,

(ii) γ \ {q} ´e uma folha de F|U.

Dizemos que γ é uma separatriz lisa se q não é singularidade de γ. Isto equivale a dizer que γ é uma curva complexa regular em U .

E

XEMPLO 1.6 _{Considere a 1-forma holomorfa ω(x, y) = x dy − y dx onde (x, y) ∈ C}2. Observe que f = {x = 0} é uma separatriz, pois f (x, y) = x ⇒ d f = dx, logo ω ∧ d f = x dx ∧ dy = f η onde η = d x ∧ d y. Do mesmo modo, g = {y = 0} é uma separatriz. Logo {x = 0} e {y = 0} são separatrizes de ω.

Observa¸c˜ao 1.1 Podemos tamb´em definir uma separatriz da seguinte forma:

Seja F uma folhea¸c˜ao de dimens˜ao 1 em uma variedade M2_{. Dado p ∈ Sing(F ), uma}

separatriz em p é um germe de curva anal´ıtica V ⊂ M contendo p e invariante por F , ou seja, V \ Sing(F ) é localmente, uma união de folhas de F .

E

XEMPLO 1.7 Vamos achar uma separatriz da folhea¸c˜ao F definida pelo campo X (x, y) = (λ1x, λ2y). O fluxo do campo que ´e dado por

(21)

nos diz que ϕ(1, 0, t) = (exp(λ1t), 0) é uma folha da folhea¸cão F . Como a aplica¸cão exponencial

assume qualquer valor complexo não nulo, podemos dizer que o plano (x, 0) menos (0, 0) é uma folha L de F , e S = L ∪ {(0, 0)} é uma separatriz por zero, pois satisfaz as condi¸cões da defini¸cão.

E

XEMPLO 1.8 Considere o campo real

X : R2 _−→

R2 (x, y) 7−→ (−y, x)

cuja forma associada a esse campo é dada por ω = −ydy − xdx, 0 é uma singularidade isolada e esse campo define uma folhea¸c˜_{ao F de R}2 onde as folhas de F são c´ırculos concêntricos como mostra a figura abaixo

0 x

y

Figura 1.2: C´ırculos concˆentricos

Portanto n˜ao temos nenhuma folha que passa por zero. Logo n˜ao temos uma separatriz de F

(22)

E

XEMPLO 1.9 Vamos agora, considerar o campo complexo Z : C2 _{−→ C}2

(z1, z2) 7→ (−z2, z1)

Observe que 0 ´e uma singularidade isolada e vejamos como se comporta as folhas da folhea¸c˜ao induzida por este campo sobre a esfera S3r = S3(0, r) ⊂ R4 ' C2. Para isto, tomemos o campo

radial ~_{R de C}2 _{e calculemos h ~}_{R, Zi.}

h ~R, Zi = h ~R, Zi = h(z1, z2), (−z2, z1)i =

= −z1z¯2+ z2z¯1 = −z1z¯2+ ¯z1z2 =

= −( ¯z1z2) + ( ¯z1z2) = 2 Im ( ¯z1z2)

Duas possibilidades se apresentam:

(i) Im (z1) = Im (z2) = 0

Neste caso teremos h ~R, Zi = 0. Estudemos ent˜ao o conjunto de tangˆencia do campo Z com as esferas S3(0, r).

Temos que tal conjunto ´e dado por

T ang(Z, S3r) = {z = (z1, z2) ∈ C2; h ~R, Zi = 0}

Mas por outro lado, temos que

h ~R, Zi = 0 ⇐⇒ Im (z1) = Im (z2) = 0

Agora, escrevendo zj = xj + iyj, com j = 1, 2, podemos identificar os

(23)

E como S3r = {(z1, z2) ∈ C2; |z1|2+ |z2|2 = r2} = {(x1, y1, x2, y2) ∈ R4; x12+ y12+ x22+ y22 = r2} ⇒ S3 r|R2 = {(x1, x2) ∈ R 2_{; x}2 1+ x22 = r2} = S1r Teremos T ang(Z, S3r) = [ r>0 S1r

E voltamos assim ao caso real estudado anteriormente.

x1

x2

R2

(ii) Im (z1) 6= 0 e/ou Im (z2) 6= 0

Neste outro caso, teremos h ~R, Zi = 2 Im ( ¯z1z2) 6= 0, donde se conclui que o campo ´e

transversal ´a esfera S3

r (consequentemente, a folhas da folhea¸c˜ao induzida por este campo

são tansversais á S_r3) e juntamente com o fato de o polinômio R(z1, z2) = z2P (z1, z2) −

z1Q(z1, z2) = z2z1 − z1z2 se anular, vemos que estamos no caso onde a singularidade ´e

(24)

O Teorema da Separatriz

2.1 Introdu¸

c˜

ao

T

EOREMA 2.1 Teorema da Separatriz Considere a equa¸c˜ao diferencial

dz

dT = Z(z), Z(0) = 0

com uma singularidade isolada em 0 ∈ C2_{. Existe uma subvariedade anal´ıtica complexa de}

dimens˜_{ao 1, passando por 0 ∈ C}2, invariante por Z numa vizinhan¸_{ca de 0 ∈ C}2.

Isto significa que existe uma vizinhan¸ca U de 0 ∈ C2 _{e uma curva complexa V ⊂ U , integral}

da equa¸c˜ao diferencial em U tal que ¯V = V ∪ {0} e ¯V ´e um conjunto anal´ıtico complexo.

(25)

Na estrutura da demonstra¸cão de sua existência, poderemos ver que tal curva pode ser detectada na resolu¸cão da folhea¸cão. Esta resolu¸cão contém em particular a resolu¸cão eV de V e duas possibilidades se apresentam:

(I) a primeira ´e que eV ´e transversal a uma componente dicr´ıtica.

e V

(II) a segunda possibilidade ´e que eV seja uma curva integral passando por um ponto singular

e V

Se a resolu¸cão de F apresenta uma componente dicr´ıtica, então pelo Teorema da Aplica¸cão própria, qualquer curva integral, tranversal ao divisor, se projetará numa curva anal´ıtica passando por 0 ∈ C2, invariante por Z.

O problema fica então reduzido a mostrar que caso não existam componentes dicr´ıticas na resolu¸cão de FZ, existe um ponto singular que possui uma separatriz tranversal ao divisor.

A proje¸cão da resolu¸cão levará esta separatriz sobre uma curva anal´ıtica invariante por Z, eventualmente singular em 0 ∈ C2_.

(26)

Passemos agora ao esquema de demonstra¸c˜ao do Teorema.

2.2 Ordenando a resolu¸

c˜

ao de F

Z

Suponhamos que Z est´_{a definido numa vizinhan¸ca U de 0 ∈ C}2 e seja (U(1), π(1), p(1), F(1)) a primeira explos˜ao de Z U(1) U π(1) P(1) 0

Lembre-se que π(1)_{: U}(1) _{→ U envia P}(1) _{em 0 ∈ U e ´}_{e um difeomorfismo de U}(1)_{\ P}(1) _sobre

U \ {0}. Al´em disso a folhea¸c˜ao F(1) _{tem singularidades isoladas e ´}_{e difeomorfa via π}(1)_|

U(1)_\P(1)

`

a folhea¸c˜ao FZ de U \ {0}.

A próxima etapa do processo de resolu¸cão será definir (U(2)_{, π}(2)_{, p}(2)_{, F}(2)_{) da seguinte}

maneira:

Para cada singularidade redut´ıvel q de F(1) _{na linha projetiva P = P}(1)_{, definimos uma}

cadeia linear C(q) com origem em q ∈ P , isto ´e, uma sequˆencia de linhas projetivas (P(j)₎m j=0

onde P(0) = P , obtidas assim.

O elemento P(1) _´_{e o divisor criado por explos˜}_{ao do ponto q.}

Se πq: U (1)

q → U(1) é a proje¸cão da explosão em q ∈ P então

π_q−1(q) = P(1)_.

A restri¸c˜ao de πq a π−1q (P \ {q}) ´e um difeomorfismo sobre P \ {q}.

Afim de evitar uma nota¸c˜ao carregada, denotaremos por P , ainda, o conjunto π−1

q (P \ {q}).

´

E claro que P(0) _{e P}(1) _{se intersectam transversalmente num ´}_{unico ponto, que ´}_{e uma}

(27)

P(0) q P(0) τ (q) P(1) P(0) τ(2)_(q) P(2) P(1)

Suponhamos j´a definidos P(1)_{, . . . , P}(k)_{, k ≥ 1. Se alguma esquina P ∩ P}(i) _{ou P}(i) _{∩ P}(j) _´_e

redut´ıvel, introduzimos P(k+1) fazendo uma nova explos˜ao nessa esquina.

O teorema de resolu¸c˜ao nos garante que existe m, menor entre todos com a seguinte propriedade: todas as esquinas P(i)∩ P(j)

6= ∅, 0 ≤ i, j ≤ m s˜ao irredut´ıveis.

Ap´os a reordena¸c˜ao dos ´ındices podemos supor que a cadeia C(q) = (P(j)₎m

j=0 tem a

propriedade P(J )_{∩ P}(j+1) _{6= ∅, para j = 1, . . . , m − 1 e P}(m)_{∩ P}(0) _{6= ∅.}

Nesta cadeia, introduzimos a ordem P(0) > P(m) > P(m−1) > · · · > P(1). P(0) _P(m) _{· · ·}

P(2) _P(1)

τ(k)_(q)

Denotemos por τ (q) o ponto originado da explos˜ao do ponto q. As singularidades q, τ (q), τ (τ (q)), . . . , em P ser˜ao denotadas por

q = τ0_{(q), τ (q), τ}2_{(q), . . . , τ}m_{(q) . Se τ}k_{(q) ´}_{e irredut´ıvel mas τ}k−1_{(q) ´}_{e redut´ıvel, n´}_{os diremos que}

k ´e a ordem de C(q).

A ordem de C(q) é assim, o número de vezes que o ponto q ∈ P foi explodido até obter a cadeia C(q).

Se q é irredut´ıvel a sua ordem é 0. Aplicamos a mesma constru¸cão para todas as singularidades redut´ıveis de F(1) _{em P}(1)_.

Usando a defini¸c˜ao da explos˜ao em cada etapa, obtemos facilmente U(2)_{, π}(2)

1 : U(2)→ U

sobre U(1).

A composi¸c˜ao π(2) _{= π}(2)

(28)

(π₁(2))−1(P(1)_).

Mais geralmente tendo j´a definido (U(2)_{, π}(2)_{, p}(2)_{, F}(2)_{), l ≥ 1 tal que:}

(i) U(l)é uma variedade complexa com um subconjunto P(l), o l-divisor de Z, que é uma união finita de variedades complexas, todas elas isomorfas à linha projetiva;

Além disso, duas destas variedades se interesectam no máximo num ponto de esquina e esta interseçcão é transversal.

(ii) Uma proje¸c˜ao π(l)_{: U}(l) _{→ U tal que π}(l)_(P(l)_{) = 0 e tal que ´}_{e um isomorfismo entre}

U(l)\ P(l) _{e U \ {0};}

(iii) Uma folhea¸c˜ao Fl _{em U}(l) _{que coincide fora de P}(l) _{com (π}(l)₎∗_F

Z e tem um n´umero finito

de singularidades em P(l), e al´em disso todas as esquinas s˜ao singularidades irredut´ıveis de Fl_.

Neste ponto definimos U(l+1)_{, P}(l+1)_{, π}(l+1)_{e F}(l+1)_{acrescentando como antes, cadeias lineares}

a todos os pontos redut´ıveis de F(l) em P(l).

Esta sequência de explosões nos dá uma variedade complexa U(l+1) _{e uma proje¸c˜}_ao

π(l+1): U(l+1) → U(l) _{que ´}_{e sobrejetiva.} A composi¸c˜ao π(l+1) _{= π}(l+1) l ◦ πl: U(l+1) → U q P(0) π(l) P(0) P(l) P(2) P(1) π(l+1) P(0) P(l+1) P(2) P(1) ´

e a proje¸c˜ao e o (l + 1)-divisor P(l+1) _´_{e a uni˜}_{ao de (π}(l+1) l )

−1_(P(l)_{) com todas as linhas projetivas}

nas cadeias lineares enxertadas em P(l)_.

Finalmente, F(l+1) provém de F(l) pela sequência de explosões associadas á inser¸cão de todas as cadeias lineares. As propriedades (i)-(iii) para os objetos definidos é imediata.

(29)

2.3 ´

Indices de Subvariedades Integrais

Seja M2 _{ma subvariedade complexa de dimens˜}_{ao 2, uma folhea¸c˜}_{ao holomorfa F com}

singularidades isoladas e uma curva lisa S, integral de F , contendo singularidades.

Seja q ∈ S um ponto singular de F e (x, y) um sistema de coordenadas em torno de q tais que x(q) = y(q) = 0 e S = {y = 0} localmente.

Neste sistema de coordenadas F ´e dada pelas integrais de um campo de vetores A(x, y) ∂

∂x + B(x, y) ∂ ∂y com A(0, 0) = B(0, 0) = 0 e B(x, 0) ≡ 0.

D

EFINIÇ ÃO 2.1 O ´ındice de F relativo a S em q é iq(F , S) = Resx=0 ∂ ∂y B(x, y) A(x, y) (x, 0)dx

E

XEMPLO 2.1 _{Suponha q ∈ C}2 um ponto singular de uma equa¸c˜ao ˙x = λ1x + · · ·

˙

y = λ2y + · · ·

λ1 6= 0 6= λ2

na vizinhan¸ca de 0 ∈ C2_.

Sabemos de ?? (p´_{ag. 54), que existe uma mudan¸ca de coordenadas locais ξ em (0, 0) ∈ C}2

de modo que ξ∗Z = (λ1x + xyα(x, y)) ∂ ∂x + (λ2y + xyβ(x, y)) ∂ ∂y onde as fun¸c˜oes α, β s˜ao anal´ıticas.

Consideremos A(x, y) = λ1x + xyα(x, y) e B(x, y) = λ2y + xyβ(x, y).

Temos assim duas curvas invariantes S1 = {y = 0} e S2 = {x = 0} passando por 0 ∈ C2

(30)

Passemos aos c´alculos de i0(F , S1) e i0(F , S2).

(i) i0(F , S1)

Aqui, temos S1 = {y = 0} localmente e A(0, 0) = B(0, 0) = 0, B(x, 0) = 0.

Assim, i0(F , S1) = Resx=0 ∂ ∂y B(x, y) A(x, y) (x, 0)dx = Resx=0 ∂ ∂y λ2y + xyβ(x, y) λ1x + xyα(x, y) (x, 0)dx = = Resx=0 λ2+ xβ(x, 0) λ1x dx = Resx=0 λ2 λ1 1 x+ β(x, 0) dx = = 1 2π√−1 Z γ1 λ2 λ1 1 x+ β(x, 0) dx = λ2 λ1 1 2π√−1 Z γ1 1 xdx = λ2 λ1 .

onde γ1 ´e um c´ırculo contendo a origem no plano x.

(ii) i0(F , S2)

Aqui, temos S2 = {x = 0} localmente e A(0, 0) = B(0, 0) = 0, A(0, y) = 0.

Assim, i0(F , S2) = Resy=0 ∂ ∂x A(x, y) B(x, y)

(0, y)dy = Resy=0

∂ ∂y λ1x + xyα(x, y)) λ2y + xyβ(x, y) (0, y)dy = = Resx=0 λ1+ yα(0, y) λ2y dy = Resy=0 λ1 λ2 1 y + α(0, y) dy = = 1 2π√−1 Z γ2 λ1 λ2 1 y + α(0, y) dy = λ1 λ2 1 2π√−1 Z γ2 1 ydy = λ1 λ2 .

(31)

E

XEMPLO 2.2 No outro caso irredut´ıvel (sela-n´o) com a forma normal ˙x = λ1x + A(x, y) A de multiplicidade em (0, 0) ≥ 2

˙

y = yp+1 _{p ≥ 1}

existe uma subvariedade invariante S = {y = 0} tangente ao auto-espa¸co correpondente a λ1.

Calculemos i0(F , S):

Aqui, temos

Z(x, y) = (λ1x + A(x, y), yp+1)

com p ≥ 1, A de multiplicidade em (0, 0) ≥ 2

Seja a(x, y) = λ1x + A(x, y) e b(x, y) = yp+1 ⇒ a(0, 0) = b(0, 0) = 0 com b(x, 0) ≡ 0 e neste caso,

S ´e dada localmente por {y = 0}. Assim, teremos que i0(F , S) = Resx=0 ∂ ∂y b(x, y) a(x, y) (x, 0)dx = = Resx=0 ∂ ∂y yp+1 λ1x + A(x, y) (x, 0)dx = = Resx=0     (p + 1)yp_(λ 1x + A(x, y)) + yp+1 ∂ ∂yA(x, y) (λ1x + A(x, y))2     (x, 0)dx = 0

(32)

Vamos agora ver como este ´ındice se comporta por explos˜oes.

Suponhamos que (U(1)_{, π}(1)_{, p}(1)_{, F}(1)_{) ´}_{e a explos˜}_{ao de F em p. Denotemos π}(1)?_{(S) de novo}

por S e seja q ∈ S ∩ P(1)_.

P

ROPOSIC¸ ˜AO 2.1 iq(F(1), S) = ip(F , S) − 1

Demonstra¸cão: Suponhamos que a folhea¸cão F é induzida por uma

1-forma holomorfa η. Seja ϕ : (C2_{, 0) → (U, p) uma carta local em torno de p tal que ϕ(0) = p e}

{ϕ(x, 0); x ∈ C} ⊂ S. Temos ent˜ao

(ϕ∗η)(x, y) = A(x, y)dx + B(x, y)dy com A(0, 0) = B(0, 0) = 0 e B(x, 0) = 0

Existe uma carta local ˜_{ϕ : (C}2_{, 0) → (U}(1)_{, q) tal que π}(1)_{◦ ˜}_{ϕ = ϕ ◦ T}

U(1) ˜ ϕ q 0 (x, t) 7→ (x, tx) T ₀ ϕ p S η ϕ∗η = A dx + B dy π(1) onde T = ϕ−1◦ π(1)_{◦ ˜}_ϕ.

(33)

A forma π∗η se escreve na vizinhan¸ca de q ∈ U(1) _{da seguinte maneira:} T∗η q (x, t) 7→ (x, t x) (x, 0) S (T∗ϕ∗η)(x, tx) = (A(x, tx)dx + B(x, tx)(tdx + xdt) = [A(x, tx) + tB(x, tx)]dx + xB(x, tx)dt

Segue pois que nestas coordenadas, F(1) ´e dada pelas integrais do campo de vetores −xB(x, tx) ∂

∂x + [A(x, tx) + tB(x, tx)] ∂ ∂t e assim teremos que

iq(F(1), S) = Resx=0 ∂ ∂t A(x, tx) + tB(x, tx) −xB(x, tx) (x, 0)dx = −Resx=0 ∂ ∂tA(x, 0) + B(x, 0) x B(x, 0) + A(x, 0)_∂t∂B(x, 0) (B(x, 0))2 dx = −Resx=0 ∂ ∂tA(x, 0) B(x, 0) + 1 x + A(x, 0)_∂t∂B(x, 0) (B(x, 0))2 dx = −Resx=0 ∂ ∂tA(x, 0) B(x, 0) + A(x, 0)_∂t∂B(x, 0) (B(x, 0))2 dx − Resx=0 1 x dx = −Resx=0 ∂ ∂tA(x, 0) B(x, 0) dx − Resx=0 1 x dx = ip(F , S) − 1

(34)

Suponha agora que η é uma 1-forma em M induzindo uma folhea¸cão F com singularidade isolada p ∈ M não dicr´ıtica. Ao fazer uma explosão em p ∈ M , obtemos como divisor uma linha projetiva Pp e uma folhea¸cão F(1) definida próximo à Pp com singularidades q1, · · · , qr.

P

ROPOSIC¸ ˜AO 2.2 r X j=1 iqj(F (1)_{, P} p) = −1

Demonstra¸c˜ao : Seja ην = Aν(x, y)dx + Bν(x, y)dy o primeiro jato n˜ao nulo de η em p.

Consideremos em U(1) a carta local (x, t) com y = tx. Podemos supor que esta carta cont´em todos os pontos singulares de F(1) _{e sejam t}

1, · · · , tr as t−coordenadas dos pontos q1, · · · , qr.

A folhea¸c˜ao F(1) _{nesta carta ´}_{e dada por}

˜

η = P (1, t) + xQ(x, t)dx + x Bν(1, t) + xR(x, t)dt

onde P (1, t) = Aν(1, t) + tBν(1, t).

Observe que as ra´ızes de P (1, t) s˜ao t1, · · · , tr.

Temos que a 1-forma ˜η(x, t) = eA(x, t)dx + eB(x, t)dt, induz um campo − eB(x, t) ∂ ∂x + eA(x, t) ∂ ∂t com eA(0, 0) = eB(0, 0) = 0 e eB(0, t) = 0 Aqui, S = Pp = {x = 0} ´e invariante. Assim, itj(F , S) = −Rest=tj ∂ ∂x x Bν(1, t) + xR(x, t) P (1, t) + xQ(x, t) x=0 = −Rest=tj B(1, t) P (1, t)

Para simplificarmos a nota¸c˜ao escreveremos B(t) = Bν(1, t), A(t) = Aν(1, t) e

P (t) = P (1, t) = tB(t) + A(t) onde grau(B) = grau(A).

A fun¸c˜ao racional R(t) = B(t)

tB(t) + A(t) ´e tal que grau(B(t)) + 1 = grau(tB(t) + A(t)). Fa¸ca a deforma¸c˜ao F (λ) = 1 2π√−1 Z |t|=r B(t) tB(t) + λA(t)dt

(35)

Aqui, r >> 1, de modo que os zeros de A, B e de tB + A estejam no interior do c´ırculo |t| = r, e λ deve ser escolhido de modo que tB(t) + λA(t) 6= 0 para t no c´ırculo |t| = r, ou seja, λ est´a no complemento do tra¸co da curva compacta α(θ) = −re

√

−1 θ_B(re√−1 θ₎

A(re√−1 θ₎ , 0 ≤ θ ≤ 2π. Pela escolha

de r, 0 ∈ C está numa das componentes conexas do complemento do tra¸co de α, que é um aberto, digamos U . Agora modificamos r se necessário, para que todo o disco fechado D(0, 1) ⊂ U . Isto é poss´ıvel pois |α(θ)| = r|B(re

√ −1 θ_)|

|A(re√−1 θ_)| → ∞ para r → ∞ pois A e B tem o mesmo grau.

Temos ent˜ao a fun¸c˜_{ao holomorfa F : U → C, com D(0, 1) ⊂ U .}

Para mostrar que F (λ) ≡ 1 derive sob o sinal de integral: F0(λ) = 1 2π√−1 Z |t|=r −A(t)B(t) (tB(t) + λA(t))2 dt (])

Agora, para λ ∈ U fixado, temos que o quociente de polinˆomios na vari´avel t,

G(t) = −A(t)B(t)

(tB(t) + λA(t))2 ´e tal que o grau do numerador ´e o grau do denominador menos 2. Mas

temos o seguinte Lema:

L

EMA 2.1 Seja h = P

Q uma fun¸c˜ao racional tal que grau(Q) ≥ grau(P) + 2. Ent˜ao

X

z∈C

Res (h, z) = 0.

Demonstra¸c˜ao: Podemos supor que P e Q s˜ao dados por

P(z) = (z − a1)k1. . . (z − an)kn e Q(z) = (z − b1)m1. . . (z − bl)ml

Considere h = P

Q. Sabemos que os p´olos de h s˜ao os zeros de Q.

Seja A = {zeros de Q}. A ´e finito e possui exatamente grau(Q) elementos. Assim, existe R > 0 tal que A ⊂ B (0, R). Considere γ(t) = Reit_{, t ∈ [0, 2π].}

Como P e Q são fun¸cões inteiras, h é holomorfa em B (0, R + 1)\A. Então, pelo teorema dos res´ıduos:

temos 1 2π√−1 Z γ h(z)dz = X z∈A Res (h, z). (∗)

(36)

Vamos então mostrar queR_γh(z)dz = 0 Z γ h(z)dz = Z γ (z − a1)k1. . . (z − an)kn (z − b1)m1. . . (z − bl)ml dz = Z 2π 0 (Reit− a1)k1. . . (Reit− an)kn (Reit_{− b} 1)m1. . . (Reit− bl)ml R i eitdt No numerador temos que a maior potência de R é k1+. . .+kn+1 e no denominador é m1+. . .+ml.

Mas grau(Q) = m1+ . . . + ml ≥ grau(P) + 2 = (k1+ . . . + kn+ 1) + 1, e portanto, a potˆencia

de R no denominador ´e maior que a do numerador. Assim, Z γ h(z)dz ≤ Z 2π 0 (Reit_{− a} 1)k1. . . (Reit− an)kn (Reit_{− b} 1)m1. . . (Reit− bl)ml R i eit dt ⇒ lim R→∞ Z γ h(z)dz ≤ lim R→∞ Z 2π 0 (Reit− a1)k1. . . (Reit− an)kn (Reit_{− b} 1)m1. . . (Reit− bl)ml R i eit dt = = Z 2π 0 lim R→∞ (Reit_{− a} 1)k1. . . (Reit− an)kn (Reit_{− b} 1)m1. . . (Reit− bl)ml R i eit dt = Z 2π 0 0 dt = 0.

Logo, dado > 0 e γ = Rei θ _teremosR

γh(z)dz < . De (∗) conclui-se que

R

γh(z)dz = 0

Assim segue que

X z∈A Res (h, z) = 1 2π√−1 Z γ h(z)dz = 0

Logo podemos afirmar que a soma dos res´ıduos de G(t) é zero. Mas pelo teorema dos Res´ıduos, a integral (]) é precisamente essa soma, potanto é nula. Consequentemente, F0(λ) ≡ 0 para todo λ ∈ U e então F é constante no aberto conexo U . Como

F (0) = 1 2π√−1 Z |t|=r 1 t dt = 1,

conclu´ımos que F (λ) = 1 para todo λ ∈ U . Mas, novamente pelo teorema dos Res´ıduos, 1 = F (1) = 1 2π√−1 Z |t|=r B(t) tB(t) + A(t)dt = X p Res B(t) tB(t) + A(t), p ,

onde a soma é sobre todos os pólos da fun¸cão racional B(t) tB(t) + A(t). Por outro lado

iqj(F

(1)_{, P}

p) = −Rest=tj

Bν(1, t)

(37)

Portanto, r X j=1 iqj(F (1)_{, P} p) = −1

Considere agora um ponto arbitrário p1 ∈ Pp. Uma nova explosão π(2) no ponto p1 terá como

divisor a linha projetiva P(2). Como no complementar de P(2)a aplica¸c˜ao π(2)´e um difeomorfismo

p P(1) −1 p1 π(2) ₋₂ ₋₁ p₂ P(1) P(2) P(2) −2 −1 −3 P(3) P(1)

podemos denotar π(2)∗(P(1)) novamente por P(1). Este ser´a agora um mergulho diferente da linha projetiva. Seja F(2) _{a folhea¸c˜}_{ao induzida por π}(2)∗_F(1)_{. Ent˜}_{ao a soma}

X

q∈Sing(F(2)₎

iq(F(2), P(1))

´

e agora −2 pela proposi¸cão 2.2. Mais geralmente pode ser demonstrado que se P é uma linha projetiva mergulhada numa superf´ıcie complexa M e F é uma folhea¸cão por curvas complexas em uma vizinhan¸ca de P tal que

(i) Sing(F ) ∩ P = {q1, · · · , qr} ⊂ P e

(ii) P \ {q1, · · · , qr} ´e uma folha de F .

ent˜ao a soma c(P ) =Pr

j=1iqj(F , P ) ´e um inteiro que s´o depende do mergulho de P e coincide

com o n´umero de Euler do fibrado normal a P em M .

Considere agora uma cadeia linear C(q) = (Pj)mj=0 com origem num ponto singular q ∈ P0

da folhea¸c˜ao F(l)_{. Suponha que P}

(0) > P(m) > · · · > P(1). Pelas proposi¸c˜oes (1) e (2) para

j = 1, · · · m, a soma

C(Pj) =

X

p∈Sing(F(l)₎

(38)

´

e um inteiro negativo definido como a classe de Pj. Escrevamos C(Pj) = −kj, vamos supor que

a ordem de C(q) é k. Lembremos que a ordem de C(q) é o número de vezes que o ponto q foi explodido no processo de cria¸cão da cadeia linear.

Temos então que a sequência k · km· · · k1 é obtida da sequinte maneira. Comecemos com

a sequência de dois elementos 1 · 1 que correspondem a explodir q uma vez e ao fato de que a classe da linha projetiva criada na explosão é −1. Suponha agora que tenhamos a cadeia (Q)s

j=0

onde Q0 > Qs > · · · > Q1 e a sequência a0 · as· · · a1 onde a0 é o número de vezes que o ponto

q = Q0∩ Qs foi explodido e −aj = classe de Qj, j = 1 · · · , s. H´a portanto duas possibilidades:

Na primeira, o ponto q é explodido mais uma vez e a sequência se transforma em a0+ 1 · 1 · as+ 1 · . . . · a1. Na segunda, outra esquina, digamos Qj∩ Qj+1, com j < s é explodida

e a nova sequˆencia se transforma em a0· as· · · aj+1+ 1 · 1 · aj+ 1 · . . . · a1. Este processo termina

quando, pela primeira vez, todas as esquinas aparecem como singularidades irredut´ıveis. Neste caso a sequˆencia ser´a k · km· · · k1.

(39)

P

ROPOSIC¸ ˜AO 2.3 k = [ km, . . . , k1], onde [ km, . . . , k1] = 1 km− 1 km−1 − 1 km−2 − 1 . .. k3− 1 k2− 1 k1

Demonstra¸cão : Primeiro mostraremos que a fra¸cão acima está bem definida. De fato mostraremos mais que isso, ou seja, que

[ km, . . . , kh] > 0, se 1 ≤ h ≤ j ≤ m e m ≥ 2

Isto ´e claro para m = 2, j´a que [k2.k1] =

1 k2−

1 k1

. Agora suponha válido também para a sequência k0· ks· ks−1· · · k1 e mostremos para as sequências que se originam desta.

(i) a sequˆencia ´e (k0+ 1) · 1 · (ks+ 1) · ks−1· · · k1.

J´a temos que [ km, . . . , kh] > 0, assim

1 ks− [ ks−1, . . . , kh] > 0 ⇒ ks− [ ks−1, . . . , kh] > 0 ⇒ (ks+ 1) − [ ks−1, . . . , kh] > 1 ⇒ 1 (ks+ 1) − [ ks−1, . . . , kh] < 1 logo, [ ks+ 1, ks−1, . . . , kh] > 0 e 1 − ks+ 1 − [ ks−1, . . . , kh] −1 > 0. Segue pois que [ 1, ks+ 1, ks−1, . . . , kh] > 0.

(ii) A sequˆencia ´e k0· ks· · · (ki+1+ 1) · 1 · (ki+ 1) · · · k1.

Sabemos pelo item (i) que [ ki+ 1, ki−1, · · · , kh] > 0 e [1, ki+ 1, ki−1, · · · , kh] > 0. Logo,

ki+1− [ ki, ki−1, · · · , kh] = ki+1−

1 ki− [ ki−1, · · · , kh] = = ki+1+ 1 − 1 + 1 ki− [ ki−1, · · · , kh] (?)

(40)

agora observe que [ 1, ki+ 1, ki−1, · · · , kh] = 1 1 − [ ki+ 1, ki−1, · · · , kh] = = 1 1 − 1 ki+ 1 − [ ki−1, · · · , kh] = ki+ 1 − [ ki−1, · · · , kh] ki− [ ki−1, · · · , kh] = 1 + 1 ki− [ ki−1, · · · , kh] assim, de (?) obtemos ki+1+ 1 − 1 + _k 1 i−[ ki−1,··· ,kh] = ki+1+ 1 − [ 1, ki+ 1, ki−1, · · · , kh]

Donde [ ki+1, ki, · · · , kh] = [ ki+1+ 1, 1, ki+ 1, · · · , kh] e portanto

[ kj, · · · ki+1, ki, · · · , kh] = [ kj, · · · , ki+1+ 1, 1, ki+ 1, · · · , kh],

para i + 1 < j ≤ m.

Mostremos agora que k = [ km, · · · , k1].

Note que este fato é claro para a sequência 1 · 1. Suponha agora que seja válida para a sequência k0· ks· ks−1· · · k1. Temos pois dois casos a considerar:

(iii) Como k0 = [ ks, . . . , k1] = 1 ks− [ ks−1, . . . , k1] , temos que [ 1, ks+ 1, ks−1. . . , k1] = 1 1 − 1 ks+ 1 − [ ks−1, . . . , k1] = ks+ 1 − [ ks−1, . . . , k1] ks− [ ks−1, . . . , k1] = = 1 + 1 ks− [ ks−1, . . . , k1] = 1 + k0

(iv) Agora se tomarmos k0· ks· · · (kj+1+ 1) · 1 · (kj + 1) · · · k1 teremos

k0 = [ ks, . . . , kj+1+ 1, 1, kj+ 1, . . . , k1]

P

ROPOSIC¸ ˜AO 2.4 0 < [ km, . . . , km−j] < [ km, . . . , k1], para 0 ≤ j ≤ m − 2.

Demonstra¸c˜ao: Claramente temos 0 < 1 km

= [ km] < [ km, . . . , k1].

Agora observe que ´e suficiente provarmos que [ km, . . . , km−j−1] > [ km, . . . , km−j] para obtermos

(41)

km−j− 1 km−j−1 < km−j ⇒ 1 km−j − 1 km−j−1 > 1 km−j ⇒ [ km−j, km−j−1] > [ km−j]. Portanto, km−j+1− [ km−j, km−j−1] < km−j+1− [ km−j] ⇒ [ km−j+1, km−j, km−j−1] > [ km−j+1, km−j]

Continuando este processo, conclu´ımos que

[ km, . . . , km−j−1] > [ km, . . . , km−j], ∀j = 1, . . . , m.

o que encerra a demonstra¸c˜ao˙

2.4 Demonstra¸

c˜

ao do Teorema

Quando 0 ∈ C2 _´_{e uma singularidade reduzida de Z, existe uma subvariedade lisa passando}

pela singularidade e invariante por Z, (veja exemplos 2.1 e 2.2). Podemos portanto, supor de agora em diante que 0 ∈ C2 _´_{e uma singularidade redut´ıvel. A id´}_{eia ´}_{e considerar a resolu¸c˜}_ao

(U(n)_{, π}(n)_{, p}(n)_{, F}(n)_{) de Z em 0 ∈ C}2 _{e encontrar em P}(n) _{uma linha projetiva P contendo}

uma singularidade p de F(n) que n˜ao seja uma esquina, tal que ip(F(n), P ) 6= 0. Como π(n) ´e

uma aplica¸cão própria, segue do teorema da Aplica¸cão Própria, que a imagem V = π(n)_(S n) do

conjunto anal´ıtico Sn ´e uma curva anal´ıtica, eventualmente singular em 0 ∈ C2, invariante por

Z.

Afim de simplificarmos a nota¸c˜ao escreveremos iq(P ) em vez de iq(F , P ).

Suponha agora por absurdo que ip(P(n)) = 0 para todas as singularidades de F(n) que n˜ao

s˜ao esquinas de P(n)_.

P

ROPOSIÇ ÃO 2.5 Seja 1 ≤ l ≤ n e q ∈ P ⊂ P(l) um ponto singular de F(l) na linha projetiva P . Consideremos uma cadeia linear C(q) de ordem k, com origem em q (isto é, q se expressa por τk_{(q) como elemento de P}(n)_{). Ent˜}_ao

(42)

Demonstra¸cão: A prova será dada por indu¸cão finita no conjunto de cadeias lineares necessárias para a resolu¸cão (U(n)_{, π}(n)_{, p}(n)_{, F}(n)_{) de Z.}

Afirma¸cão : A proposi¸cão é verdadeira para todas as cadeias lineares com origem em singularidades de F(n−1)_.

Com efeito, seja C(q) uma destas cadeias, C(q) = (Pi)mi=0, P0 = P, P0 > Pm > · · · > P1,

e considere tamb´em −ki = c(Pi), a classe de Pi. Pela proposi¸c˜ao (3), temos que

k = [ km, . . . , k1]

Sejam qi = Pi∩ Pi+1, 1 ≤ i ≤ m − 1. Por hip´otese, as singularidades de

F(n) _em m

[

i=0

Pi diferentes de q1, . . . , qm−1 e τk(q) possuem ´ındice relativo a P(n)nulo.

Logo,

iq1(P1) = c(P1) = −k1

Observa¸c˜ao 2.1 Suponha p uma singularidade irredut´ıvel com autovalores λ1, λ2.

Se λ1 · λ2 6= 0, então se o campo está na forma normal, S1 = {x = 0}, S2 = {y = 0} são

subvariedades invariantes contendo p, tangentes aos auto-espa¸cos de λ1, λ2. Logo,

ip(F , S1) = λ2 λ1 e ip(F , S2) = λ1 λ2 . E note que ip(F , S1) · ip(F , S2) = 1. ( vide exemplo 2.1).

Assim, como q1 ´e irredut´ıvel, teremos

iq1(P2) = − 1 k1 ou iq1(P2) = 0 E como iq1(P2) + iq2(P2) = c(P2), obtemos iq2(P2) = −k2+ 1 k1 ou iq2(P2) = −k2 mas iq2(P2) · iq2(P3) = 1 ⇒ iq2(P3) = − 1 k2− 1 k1 ou iq2(P3) = − 1 k2 ou iq2(P3) = 0

Continuando este processo, teremos que i_τ(k)_(q)(P ) deve ser 0 ou algum n´umero da forma

−[ km, . . . , km−j], j ≤ m − 1. E pelas proposi¸c˜oes 2.4 e 2.5, segue que

(43)

Suponhamos que a proposi¸c˜ao seja verdadeira para todas as cadeias lineares com origem em singularidades de F(l)_{, 1 ≤ l ≤ n, que n˜}_{ao s˜}_{ao esquinas de P}(l)_{. Mostraremos ent˜}_{ao que ela ´}_e

ainda verdadeira para todas as cadeias lineares com origem em singularidades de F(l−1)_{. Seja}

C(q) = (Pi)mi=0 uma cadeia destas com P0 > Pm > · · · > P1.

Como antes, escrevemos qi = Pi∩ Pi+1, 1 ≤ i ≤ m − 1. Sejam q11, . . . , qr11 ∈ P1, singularidades de

F(l−1) _{onde se originam cadeias lineares associadas a F}(l)_.

Temos iq1(P1) + r1 X j=1 i_τ(uj )_(q1 j)(P1) = c(P1)

onde uj é a ordem de C(qj1). Pela hipótese de indu¸cão

− r1 X j=1 ordem C(q1_j) ≤ r1 X j=1 i_τ(uj )_(q1 j)(P1) Logo, iq1(P1) ≤ c(P1) + r1 X j=1 ordem C(q_j1) = ¯c(P1)

Onde ¯c(P1) representa a classe de P1 antes das explos˜oes nos pontos

q_j1, j = 1, . . . , r.

Como q1 ´e irredut´ıvel temos iq1(P2) ≥

1 ¯ c(P1) ou 0. Similarmente em P2 obtemos iq2(P2) + iq1(P2) + r2 X j=1 i_τ(vj )_(q2 j) (P2) = c(P2) onde q2

j, 1 ≤ j ≤ r2 s˜ao as singularidades de F(l−1) onde se originam cadeias lineares de F(l) e vj

denota a ordem de C(q2). Pela hip´otese de indu¸c˜ao

− r2 X j=1 ordem C(q_j2) ≤ r2 X j=1 i_τ(vj )_(q2 j) (P2) logo iq2(P2) + iq1(P2) ≤ c(P2) + r2 X j=1 ordem C(q2_j) = ¯c(P2) ⇒ iq2(P2) ≤ ¯c(P2) − iq1(P2) ≤ ¯c(P2) − 1 ¯ c(P1)

(44)

Aqui de novo, ¯c(P2) ´e a classe de P2 antes das explos˜oes nos pontos

q2

j, 1 ≤ j ≤ r2. E como q2 ´e irredut´ıvel, vem que

iq2(P3) ≥ 1 ¯ c(P2) − 1 ¯ c(P1) ou iq2(P3) ≥ 1 ¯ c(P2) ou iq2(P3) = 0

E continuando este processo, obteremos

iτk_(q)(P ) ≥ [ ¯c(P_m), . . . , ¯c(P_m−j) ] ou i_τk_(q)(P ) = 0 para algum j ≤ m − 1.

Pelas proposi¸c˜oes (2.3) e (2.4) teremos i_τk_(q)(P ) ≥ −k.

Para finalizar a demonstra¸c˜ao do teorema, cosideremos F(1) e P(1). Sejam C(q₁0) . . . , C(q_m0 ) todas as cadeia lineares com origem nas singularidades redut´ıveis em P(1)_{. Considere tamb´}_em,

li como sendo a ordem de C(qi0). Pelas proposi¸c˜oes (2.1) e (2.2) m0 X i=1 i_τ(li)(q0 i)(P (1)_{) = −1 −} m0 X i=1 li,

e pela proposi¸c˜ao (2.5), temos

− m0 X i=1 li ≤ m0 X i=1 i_τ(li)(q0_i)(P (1)₎

(45)

Prova de Sebastiani

3.1 Introdu¸

c˜

ao

Seja M uma superf´ıcie complexa regular e seja S ⊂ M uma curva anal´ıtica com as seguintes propriedades:

(a) todos os pontos singulares de S s˜ao isolados,

(b) S possui um n´umero finito de componentes irredut´ıveis S1, . . . , Sme cada Sj´e uma superf´ıcie

de Riemann compacta.

Seja V um R-espa¸co vetorial cuja base ´e S1, . . . , Sm. Definimos nesse R-espa¸co uma forma

quadr´atica S por

S(Si, Sj) = Si· Sj

onde o ponto indica o ´ındice de interse¸cão em M . Suponha que S também satisfa¸ca: (c) S é negativa definida

Esta é a situa¸cão normalmente encontrada na resolu¸cão de singularidades em superf´ıcies. Associamos a S um grafo Γ da seguinte forma: os vértices v1, . . . , vm, correspondem à S1, . . . , Sme

cujas arestas unindo vi ´a vj correspondem a um ponto de interse¸c˜ao de Sicom Sj(1 ≤ i 6= j ≤ m).

Denotaremos por χ(Γ), a caracter´ıstica de Euler-Poincar´e de Γ.

(46)

3.2 Enunciado do Teorema

Tomemos agora na superf´ıcie complexa M uma folhea¸cão anal´ıtica F , cujas singularidades são isoladas. Vamos supor também que:

(d) S ´e uma separatriz de F .

Se Σ ⊂ M ´e uma superf´ıcie de Riemann e ´e uma separatriz de L e se p ∈ Σ, denotaremos por σ_pF(Σ) a parte real do ´ındice de Camacho-Sad de Σ em p relativo a F .

Sejam N o conjunto dos n´os de S =S Sj, onde cada Sj ´e uma componente irredut´ıvel de S ,

n = card(N ) e consideremos tamb´em Nj = N ∩ Sj.

Seja W o R-espa¸co vetorial cuja base ´e o conjunto dos pares (p, j) tais que p ∈ Nj(j = 1, . . . , m). Ent˜ao dim(W ) = 2n.

Sobre W definiremos uma forma quadr´atica θ por:

θ((p, j), (q, k)) = 0 se p 6= q θ((p, j), (p, k)) = 1 se j 6= k θ((p, j), (p, j)) = σp(Sj)

onde denotamos σp(Sj) = σFp(Sj).

O que nos fornece

θpj =

σpj(Sj1) 1

1 σpj(Sj2)

!

(47)

Como ilustra¸c˜ao, considere a seguinte situa¸c˜ao,

Sj1 p

Sj2 = Sk1

Sk2

q

onde p e q pertencem ´a Sj1 ∩ Sj2 e Sk1 ∩ Sk2 respectivamente. Aqui, Sj2 = Sk1 e Sji, Ski, com

i = 1, 2, s˜ao as componentes irredut´ıveis de S .

Obtemos assim, um R-espa¸co vetorial W com base B = {(p, j1), (p, j2), (q, k1), (q, k2)}.

Segue que a matriz θ definida acima, na base B ´e dada por

θ =       σp(Sj1) 1 0 0 1 σp(Sj2) 0 0 0 0 σq(Sk1) 1 0 0 1 σq(Sk2)      

Vemos assim que (W, θ) ´e uma soma direta ortogonal (W, θ) = X

p∈N

(Vp, θp)

onde Vp ´e o espa¸co vetorial cuja base ´e formada por (p, j1), (p, j2) com p ∈ Sj1 ∩ Sj2 e θp = θ|Vp.

Denotaremos por ind(θ) o ´ındice de θ, ou seja, o número de autovalores negativos da matriz de θ em uma base qualquer, e s(θ) = dim(W )−2 ind(θ), isto é, o número de autovalores positivos menos o número de autovalores negativos.

(48)

T

EOREMA 3.1 Suponha que para todo ponto p ∈ S e para todo germe de separatriz γ de F em p, tenhamos γ ⊂ S . Ent˜ao

2χ(Γ) ≤ −s(θ) ≤ 0

C

OROL ÁRIO 3.1 Seja Λ uma folhea¸cão anal´ıtica singular na superf´ıcie complexa N e seja p um ponto singular de M tal que o grafo de uma desingulariza¸cão de p é uma árvore. Então, existe uma separatriz local de Λ passando por p.

Demonstra¸cão: Em [26] §1 é demonstrado que da desingulariza¸cão de p, Λ é remetida à uma folhea¸cão singular. Então a imagem rec´ıproca de S por π nesta desingulariza¸cão verifica (a), (b) e (c). Assim, se S não verifica (d), então existirá uma infinidade de separatrizes locais passando por p. Podemos assim, supor que S também verifica (d).

Suponha agora que não exista separatrizes locais de Λ passando por p. Então S verifica as hipóteses do teorema. Logo, χ(d) ≤ 0. Mas se Λ é uma árvore, χ(d)=1.

3.3 Demonstra¸

c˜

ao do Teorema 3.1

A prova do teorema se basear´a no seguinte:

P

ROPOSIÇ ÃO 3.1 Suponha que S satisfa¸ca as hipóteses do teorema. Então: (i) se p ∈ S e p /∈ N , σp(Sj) ≥ 0 onde p ∈ Sj e

(ii) se p ∈ N , (Vp, θp) n˜ao ´e negativa definida.

A proposi¸c˜ao se resultar´a do seguinte lema:

L

EMA 3.1 Suponha que S verifique as hip´oteses do teorema 3.1 e que ao menos uma das seguintes condi¸c˜oes seja satisfeita:

(i) existe p ∈ S , p /∈ N , tal que σp(Sj) < 0, onde p ∈ Sj, ou ent˜ao,

(ii) existe p ∈ N tal que (Vp, θp) ´e negativa definida.

Sejam q ∈ S , π : cM → M a explosão de q em M . Sejam ainda S0 = π−1(S ) e bF a transformada estrita de F por π. Então S0 verifica as condi¸cões de S .

(49)

Demonstra¸c˜ao : Comecemos observando que S0 satisfaz (a) e (b). A condi¸c˜ao (c), resulta de [Lauffer, H].

Agora, se S0 não satisfaz (d), então por q, passa uma infinidade de germes de separatrizes de L, o que contradiz a hipótese do teorema. Logo, S0 também satisfaz (d).

Note portanto que S0 satizfas as hip´oteses do teorema, pois π−1(q) ⊂ S0. Resta provar que S0 satisfaz (i) ou (ii).

Observe, antes de mais nada, que os autovalores da matriz a 1

1 b !

com a, b ∈ R s˜ao negativos se, e somente se, a < 0, b < 0 e ab > 1.

Suponha então que S satisfa¸ca (i). Se p 6= q não há nada o que mostrar. Se q = p, seja E = π−1(p). Seja bSj a transformada estrita de Sj por π então σr( bSj) < −1, onde bSj ∩ E = {r}.

Se σr(E) < −1, então r é um nó de S0 tal que (Vr0, θ 0

r) ´e negativa definida, onde (V 0 r e θ

0 r) s˜ao

definidos tal qual Vp, θp por S .

Se σr(E) ≥ −1, ent˜ao existe s ∈ E, s 6= r tal que σs(E) < 0, pois E · E = −1.Esse ponto s ´e

n˜ao singular em S0.

Suponha agora que S verifica (ii).

Se q 6= p, n˜ao h´a o que mostrar. Se q = p, seja E = π−1(p) e sejam bSj1, bSj2 as transformadas

estritas de Sj1, Sj2 por π, onde p ∈ Sj2 ∩ Sj2.

Então E ∩ bSj1 = {r}, E ∩ bSj2 = {s} e r e s são os nós de S 0_. Sejam a = σp(Sj1), b = σp(Sj2) Então a − 1 = σp( bSj1), b − 1 = σp( bSj2)

Por hipótese a < 0,b < 0 e a b > 1. Se σr(E)(a − 1) > 1 então (Vr0, θ 0 r) é negativa definida. Se σs(E)(b − 1) > 1 então (Vs0, θ 0 s) é negativa definida.

Se σr(E)(a − 1) ≤ 1 e σs(E)(b − 1) ≤ 1 ent˜ao

σr(E) + σs(E) ≥ (a − 1)−1+ (b − 1)−1 > −1

Então, novamente pelo Teorema de Camacho-Sad, deve exixtir t ∈ E, t 6= r, t 6= s, tal que σt(E) < 0. Esse ponto t é não singular em S0.

(50)

3.3.1 Prova da Proposi¸

c˜

ao

Suponha por absurdo que S n˜ao satisfa¸ca umas das condi¸c˜oes (i), (ii).

Invocando o lema e o Teorema de resolu¸cões de singularidades de folhea¸cões podemos supor que todas as singularidades de L são reduzidas ([1], def. (1.1)).

Neste caso, algum dos θp n˜ao ´e negativo definido, pois o produto dos ´ındices de Camacho-Sad

de Sj1, Sj2 em p ´e 0 ou 1 se p ∈ Sj1 ∩ Sj2.

Ent˜ao, deve existir p ∈ S , p /∈ N , tal que σp(Sj) < 0 onde p ∈ Sj.

Isto implica que o Índice de Camacho-Sad de Sj em p é não nulo. Como p é irredut´ıvel, isto

acarreta a existˆencia de um germe de separatriz em p diferente dos Sj, o que contradiz a hip´otese

do teorema.

3.4 Prova do Teorema 3.1

Afirmamos que Γ n˜ao possui um v´ertice isolado.

Com efeito, se Sj ´e uma componente isolada de S , ter´ıamos

0 > Sj · Sj =

X

p∈Sj

σp(Sj) ≥ 0

como provado anteriormente.

Isto ´e, definimos f : V → M (linear) por f (Sj) =

X

p∈Nj

(p, j) Ent˜ao f ´e injetiva e mais,

(1) θ(f (Sj1), f (Sj2) = Sj1 · Sj2 = S(Sj1, Sj2) e (2) θ(f (Sj), f (Sj)) = P p∈Njσp(Sj) ≤ P p∈Sjσp(Sj) = Sj· Sj = S(Sj, Sj).

E resulta de (1) e (2) que θ é negativa definida sobre a imagem de f , pois S é definida negativa. Então ind(θ) ≥ m. Assim

2χ(d) = 2(m − n) ≤ 2(ind(θ) − n) = 2 ind(θ) − dim(W ) = −s(θ) Mas por outro lado, a proposi¸c˜ao implica que ind(θ) ≤ n. Ent˜ao

s(θ) = dim(W ) − 2 ind(θ) ≥ 2n − 2n = 0

(51)

Prova de J. Cano

4.1 Introdu¸

c˜

ao

Sejam M uma superf´ıcie complexa, F uma folhea¸c˜ao holomorfa singular, E um divisor a cruzamentos normais e q um ponto em M .

Dizer que a terna (F , E, q) possui a propriedade (∗) significa dizer que uma das seguintes propriedades ´e satisfeita.

(∗)−1 o ponto q est´a exatamente em uma componente irredut´ıvel S de E, que ´e invariante por F e o ´ındice iq(F , S) ∈ Q(≥0);

(∗)−2 o ponto q est´a em duas componentes irredut´ıveis S+ e S−, ambas s˜ao curvas invariantes e

existe um n´umero real a ≥ 0;

iq(F , S+) ∈ Q(≤−a)

iq(F , S−) /∈ Q_(≥−1 a)

(∗)−3 o ponto q está exatamente em uma componente irredut´ıvel S de E, é um ponto regular de F e S é transversal a F em q.