Aula ESTUDO DA RETA. Uma reta (r) fica bem definida quando se conhecem um de seus pontos A(x o, y o, z o ) e um vetor

Aula 8

8.1.ESTUDO DA RETA

Uma reta (r) fica bem definida quando se conhecem um de seus pontos 𝑨(𝒙𝒐, 𝒚𝒐, 𝒛𝒐) e um vetor

não nulo 𝒗 ⃗⃗⃗ = 𝒂. 𝒊 ⃗⃗ + 𝒃. 𝒋 ⃗⃗ + 𝒄. 𝒌 ⃗⃗⃗ , paralelo à reta (r) e chamado de vetor diretor da reta considerada.

Assim, sejam 𝑨(𝒙𝒐, 𝒚𝒐, 𝒛𝒐) um ponto fixo pertencente à reta (r), 𝒗 ⃗⃗⃗ = (𝒂, 𝒃, 𝒄) o seu vetor

diretor, ou seja, 𝒗 ⃗⃗⃗ paralelo à reta (r), conforme a figura, e considere sobre (r) um ponto genérico 𝑷(𝒙, 𝒚, 𝒛).

𝒗 ⃗⃗⃗ = (𝒂, 𝒃, 𝒄)

* * (r) 𝑨(𝒙𝒐, 𝒚𝒐, 𝒛𝒐) 𝑷(𝒙, 𝒚, 𝒛)

Nestas condições, pode-se afirmar corretamente que o vetor 𝑨𝑷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , sobre (r), é paralelo ao vetor 𝒗 ⃗⃗⃗ e, portanto, valendo a relação 𝑨𝑷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒕. 𝒗 ⃗⃗⃗ , com 𝒕 ∈ ℝ, isto é, 𝑨𝑷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ é múltiplo do vetor 𝒗 ⃗⃗⃗ , onde 𝒕 ∈ ℝ é denominado de parâmetro.

𝑨𝑷

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒕. 𝒗 ⃗⃗⃗ é chamada de equação vetorial da reta (r)

Como 𝑨𝑷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑷 − 𝑨 = (𝒙, 𝒚, 𝒛) − (𝒙𝒐, 𝒚𝒐, 𝒛𝒐), então 𝑨𝑷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝒙 − 𝒙𝒐, 𝒚 − 𝒚𝒐, 𝒛 − 𝒛𝒐) Desta maneira, se 𝑨𝑷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒕. 𝒗 ⃗⃗⃗ , então, tem-se que (𝒙 − 𝒙𝒐, 𝒚 − 𝒚𝒐, 𝒛 − 𝒛𝒐) = 𝒕. (𝒂, 𝒃, 𝒄).

Daí, (𝒙 − 𝒙𝒐, 𝒚 − 𝒚𝒐, 𝒛 − 𝒛𝒐) = (𝒂𝒕, 𝒃𝒕, 𝒄𝒕) ⟹ { 𝒙 − 𝒙_𝒐 = 𝒂𝒕 𝒚 − 𝒚_𝒐 = 𝒃𝒕 𝒛 − 𝒛_𝒐 = 𝒄𝒕 ⟹ (𝒓): { 𝒙 = 𝒙_𝒐+ 𝒂𝒕 𝒚 = 𝒚_𝒐+ 𝒃𝒕 𝒛 = 𝒛_𝒐+ 𝒄𝒕

Estas equações I são chamadas de equações paramétricas da reta (r).

De I, conclui-se que

(𝒓): {

𝒙− 𝒙𝒐

𝒂

=

𝒚− 𝒚𝒐

𝒃

=

𝒛− 𝒛𝒐

𝒄 II, denominadas de equações simétricas

da reta (r).

8.2.RETA DEFINIDA POR DOIS PONTOS

* * (r) 𝑨(𝑥𝑜, 𝑦𝑜, 𝑧𝑜) 𝑩(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1)

Uma reta definida pelos pontos 𝑨(𝒙𝒐, 𝒚𝒐, 𝒛𝒐) e 𝑩(𝒙𝟏, 𝒚𝟏, 𝒛𝟏) significa a reta que contem estes pontos e tem como vetor diretor o vetor 𝒗 ⃗⃗⃗ = 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑩 − 𝑨 = (𝒙 − 𝒙𝒐, 𝒚 − 𝒚𝒐, 𝒛 − 𝒛𝒐). Exemplo:

Obtenha as equações simétricas da reta definida pelos pontos 𝑨(𝟏, −𝟐, −𝟏) 𝑒 𝑩(−𝟑, 𝟏, 𝟐).

SOLUÇÃO: 𝒗 ⃗⃗⃗ = 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑩 − 𝑨 = (−3, 1, 2) − (1, −2, −1) = (−4, 3, 3) * * * (r) 𝑨(1, −2, −1) 𝑩(−3, 1, 2) 𝑷(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑣 ⃗⃗⃗ = (−4, 3, 3) e 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥 − 1, 𝑦 + 2, 𝑧 + 1) 𝑨𝑷 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒕. 𝒗 ⃗⃗⃗ ⟹ (𝑥 − 1, 𝑦 + 2, 𝑧 + 1) = 𝑡. (−4, 3, 3) ⟹ {𝑥 − 1 = −4𝑡𝑦 + 2 = 3𝑡 𝑧 + 1 = 3𝑡 ⟹

(𝒓): {

𝑥 −1₋₄

=

𝑦 + 2 3

=

𝑧 +1 3 (equações simétricas).

8.3.EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DE UM SEGMENTO DE RETA

Considere a reta (r) definida pelos pontos 𝐴(𝑥𝑜, 𝑦𝑜, 𝑧𝑜) e 𝐵(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1)

* * (r) 𝑨(𝑥_𝑜, 𝑦_𝑜, 𝑧_𝑜) 𝑩(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1)

As equações paramétricas do segmento AB são as mesmas equações paramétricas da reta (r), porém, com

0 ≤ 𝑡 ≤

𝑥1− 𝑥𝑜 𝑎

, 𝑜𝑢 0 ≤ 𝑡 ≤

𝑦1− 𝑦𝑜 𝑏

, 𝑜𝑢 0 ≤ 𝑡 ≤

𝑧1− 𝑧𝑜 𝑐

Assim,

(𝐴𝐵): {

𝑥 = 𝑥

_𝑜

+ 𝑎𝑡

𝑦 = 𝑦

_𝑜

+ 𝑏𝑡

𝑧 = 𝑧

_𝑜

+ 𝑐𝑡

,

com:

0 ≤ 𝑡 ≤

𝑥1− 𝑥𝑜 𝑎

, 𝑜𝑢 0 ≤ 𝑡 ≤

𝑦1− 𝑦𝑜 𝑏

, 𝑜𝑢 0 ≤ 𝑡 ≤

𝑧1− 𝑧𝑜 𝑐

8.4.EQUAÇÕES REDUZIDAS DA RETA

Sendo a reta (r) definida pelo ponto 𝑨(𝑥𝑜, 𝑦𝑜, 𝑧𝑜) e pelo seu vetor diretor 𝒗 ⃗⃗⃗ = (𝒂, 𝒃, 𝒄), vimos que suas equações simétricas são

(

𝒓

): {

𝒙− 𝒙𝒐

𝒂

=

𝒚− 𝒚𝒐

𝒃

=

𝒛− 𝒛𝒐

𝒄

E as equações paramétricas são (𝒓): {

𝑥 = 𝑥_𝑜+ 𝑎𝑡 𝑦 = 𝑦𝑜+ 𝑏𝑡 𝑧 = 𝑧𝑜+ 𝑐𝑡

Escrevendo

𝒕

como função de uma das variáveis x, y ou z, como por exemplo:

𝒕 =

𝒛 − 𝒛𝒐

𝒄 , pode-se expressar as outras duas variáveis (x e y) como dependente (função) de z.

Assim, se

𝒕 =

𝒛 − 𝒛𝒐 𝒄

,

então, (𝒓): { 𝒙 = 𝒙𝒐 + 𝒂 (𝒛 − 𝒛_𝒄 𝒐) 𝒚 = 𝒚𝒐 + 𝒃 (𝒛 − 𝒛_𝒄 𝒐) ou

(

𝒓

): {

𝒙 = 𝒙

𝒐

+

𝒂 𝒄

(𝒛 − 𝒛

𝒐

)

𝒚 = 𝒚

_𝒐

+

𝒃_𝒄

(𝒛 − 𝒛

_𝒐

)

Estas últimas são as equações reduzidas na variável

𝒛

da reta (

𝒓

).

Exemplo: Obtenha as equações reduzidas na variável

𝒙

da reta que passa pelos pontos 𝐴(1, 0, −2) e 𝐵(−2, 1, 1).

SOLUÇÃO: 𝑣 ⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵 − 𝐴 = (−3, 1, 3) * * * (r)

𝐴𝑃

⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑃 − 𝐴 = (𝑥 − 1, 𝑦 − 0, 𝑧 + 2) e 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑡. 𝑣 ⃗⃗⃗

𝐴𝑃

⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑡. 𝑣 ⃗⃗⃗ ⟹ (𝑥 − 1, 𝑦 − 0, 𝑧 + 2) = 𝑡. (−3, 1, 3) ⟹ {𝑦 = 𝑡 𝑥 = 1 − 3𝑡 𝑧 = −2 + 3𝑡

Equações reduzidas na variável x, então

𝑡 =

𝑥 − 1

−3 e (𝒓): { 𝑦 = 𝑥 − 1₋₃ 𝑧 = −2 + 3 (𝑥 − 1₋₃ ) ⟹

(

𝒓

): {𝑦 =

𝑥−1 −3

𝑧 = −𝑥 − 1

8.5.RETAS PARALELAS AOS PLANOS COORDENADOS

Quando uma reta (r) é paralela a um dos planos coordenados xOy, xOz ou yOz (ou simplesmente

xy, xz ou yz), o seu vetor diretor 𝒗 ⃗⃗⃗ = (𝒂, 𝒃, 𝒄) é paralelo ao correspondente plano, ou seja, 𝒗 ⃗⃗⃗ pode ser considerado um vetor contido no plano coordenado e, desta forma, a sua componente correspondente à variável que não faz parte do plano coordenado é nula.

Se a reta (r) é paralela ao plano xOz, então 𝒗 ⃗⃗⃗ é paralelo a xOz e a sua componente b (2ª componente) é nula, isto é, b = 0 e o vetor 𝑣 ⃗⃗⃗ tem a forma 𝒗 ⃗⃗⃗ = (𝒂, 𝟎, 𝒄).

Exemplo: Seja a reta (r) dada pelas suas equações paramétricas, ou seja, (𝒓): {

𝒙 = −𝟐 + 𝟑𝒕 𝒚 = 𝟑 𝒛 = 𝟏 − 𝟐𝒕

Esta reta (r) é paralela ao plano coordenado xOz e 𝒗 ⃗⃗⃗ = (𝟑, 𝟎, −𝟐) pode ser considerado um de seus vetores diretores e está contido no plano xOz.

8.6.RETAS PARALELAS AOS EIXOS COORDENADOS

Sendo a reta (𝒓) paralela a um dos eixos coordenados, eixo das abscissas (eixo dos x), eixo das

ordenadas (eixo dos y) ou eixo das cotas (eixo dos z), então o seu vetor diretor também é

paralelo ao correspondente eixo e, desta forma, pode ser considerado um vetor contido no

próprio eixo. Daí, conclui-se que o vetor 𝒗 ⃗⃗⃗ = (𝒂, 𝒃, 𝒄) tem duas das suas componentes nulas

Se a reta (𝒓) é paralela ao eixo das ordenadas (eixo dos y), então 𝒗 ⃗⃗⃗ assume a forma 𝒗 ⃗⃗⃗ = (𝟎, 𝒃, 𝟎) 𝑜𝑢 𝒗 ⃗⃗⃗ = 𝒃. 𝒋 ⃗⃗

NOTA: quando a reta (𝒓) é paralela a um dos eixos coordenados, o vetor 𝒗 ⃗⃗⃗ mais adequado é o próprio vetor unitário do correspondente eixo.

Assim, se (𝒓) é paralela ao eixo das abscissas (eixo dos x), então, 𝒗 ⃗⃗⃗ = 𝒊 ⃗⃗ = (𝟏, 𝟎, 𝟎) (𝒓) // eixo das ordenadas ⟹ 𝒗 ⃗⃗⃗ = 𝒋 ⃗⃗ = (𝟎, 𝟏, 𝟎)

(𝒓) // eixo das cotas ⟹ 𝒗 ⃗⃗⃗⃗ = 𝒌 ⃗⃗⃗ = (𝟎, 𝟎, 𝟏)

Exemplo: Considere a reta (𝒓): {

𝒙 = −𝟑 𝒚 = 𝟒 𝒛 = 𝟐 + 𝟓𝒕.

Neste caso, 𝒗 ⃗⃗⃗ = (𝟎, 𝟎, 𝟓) e (𝒓), portanto, é paralela ao eixo dos z.

8.7.ÂNGULO DE DUAS RETAS

Considere as retas (𝒓𝟏) 𝑒 (𝒓𝟐), cujos vetores diretores são

𝒗𝟏

⃗⃗⃗⃗ = (𝒙_𝟏, 𝒚𝟏, 𝒛𝟏) e 𝒗⃗⃗⃗⃗ = (𝒙𝟐 𝟐, 𝒚𝟐, 𝒛𝟐).

O menor ângulo formado pelas retas (𝒓𝟏) 𝑒 (𝒓𝟐) é o mesmo ângulo existente entre os vetores

𝒗_𝟏

⃗⃗⃗⃗ e 𝒗⃗⃗⃗⃗ , ou seja, 𝟐

chamando de 𝜽 o ângulo formado por (𝒓𝟏) 𝑒 (𝒓𝟐), então,

𝑐𝑜𝑠𝜃 =

_|𝑣𝑣⃗⃗⃗⃗ . 𝑣1 ⃗⃗⃗⃗ 2 1 ⃗⃗⃗⃗ |.|𝑣⃗⃗⃗⃗ | 2

Exemplo: Calcule o ângulo formado pelas retas

(𝑟

₁

): {

𝑥 − 1

2

= 𝑦 + 2 =

𝑧 + 3 −2

e (𝑟2): {𝑦 = −2𝑥 + 1_{𝑧 = 3𝑥 + 4}

(𝒓

_𝟏

)

(𝒓

_𝟐

)

𝒗𝟏 ⃗⃗⃗⃗ 𝒗_𝟐 ⃗⃗⃗⃗ 𝜃

SOLUÇÃO: Neste exemplo, 𝒗⃗⃗⃗⃗ = (𝟐, 𝟏, −𝟐) e, para identificar 𝒗𝟏 ⃗⃗⃗⃗ , escrevemos a reta (𝒓𝟐 𝟐)

através de suas equações simétricas, ou seja,

(𝒓

_𝟐

): {

𝒙

𝟏

=

𝒚 − 𝟏 −𝟐

=

𝒛 − 𝟒 𝟑 Daí, 𝒗⃗⃗⃗⃗ = (𝟏, −𝟐, 𝟑) 𝟐

cos𝜃 =

(2, 1, −2) . (1, −2, 3) √4+1+4 . √1+4+9

=

2 − 2 − 6 3.√14

=

−6 3.√14

⟹ 𝑐𝑜𝑠𝜃 = −

√14 7 Logo,

𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 (−

√𝟏𝟒 𝟕

)

(ângulo obtuso).

O menor ângulo (ângulo agudo) entre as retas (𝑟1) 𝑒 (𝑟2) é

𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 (

√𝟏𝟒

𝟕

)

(ângulo agudo).

8.8.RETAS ORTOGONAIS

Duas retas (𝒓𝟏) 𝑒 (𝒓𝟐), com vetores diretores 𝒗⃗⃗⃗⃗ e 𝒗𝟏 ⃗⃗⃗⃗ , respectivamente, são ditas ortogonais 𝟐

se, e somente se, 𝒗⃗⃗⃗⃗ . 𝒗𝟏 ⃗⃗⃗⃗ = 𝟎 𝟐

Duas retas ortogonais (𝒓𝟏) 𝑒 (𝒓𝟐) podem ser concorrentes ou não. Se forem concorrentes,

então, são chamadas de retas perpendiculares.

Na figura, (𝒓𝟏) 𝑒 (𝒓𝟐) são ortogonais à reta (t), mas somente (𝒓𝟏) é perpendicular a (t), pois

são concorrentes. (t)

8.9.RETA ORTGOGONAL A DUAS OUTRAS RETAS

Uma reta (t), com direção 𝒗 ⃗⃗⃗ , é ortogonal a duas outras retas não paralelas (𝒓𝟏) 𝑒 (𝒓𝟐), com

direções 𝒗⃗⃗⃗⃗ e 𝒗𝟏 ⃗⃗⃗⃗ , respectivamente, se o vetor 𝒗 𝟐 ⃗⃗⃗ é tal que: {𝒗 ⃗⃗⃗ . 𝒗_{𝒗 ⃗⃗⃗ . 𝒗}⃗⃗⃗⃗ = 𝟎𝟏 𝟐

⃗⃗⃗⃗ = 𝟎 ou (𝑟2)

{𝒗 ⃗⃗⃗ = 𝒗⃗⃗⃗⃗ 𝒙 𝒗_𝟏 ⃗⃗⃗⃗ , 𝒄𝒐𝒎 𝒗 _𝟐 ⃗⃗⃗ ≠ 𝟎 ⃗⃗⃗

(t)

8.10.INTERSEÇÃO DE DUAS RETAS

Considere as retas (𝒓𝟏) 𝑒 (𝒓𝟐), cujas direções são dadas pelos vetores 𝒗⃗⃗⃗⃗ e 𝒗𝟏 ⃗⃗⃗⃗ , 𝟐 respectivamente. Se existir um único ponto 𝑰(𝒙𝒐, 𝒚𝒐, 𝒛𝒐) comum às duas retas, então, diz-se que elas são concorrentes.

Observações:

No caso de existir mais de um ponto comum (infinitos pontos comuns) às duas restas (𝒓𝟏) 𝑒 (𝒓𝟐), então, diz-se que elas são coincidentes e, neste caso, 𝒗⃗⃗⃗⃗ // 𝒗𝟏 ⃗⃗⃗⃗ (𝑣𝟐 ⃗⃗⃗⃗ e 𝑣1 ⃗⃗⃗⃗ são 2 paralelos).

Por outro lado, se não existir ponto comum entre as duas retas (𝒓𝟏) 𝑒 (𝒓𝟐), então, elas são

paralelas, se os seus vetores diretores 𝒗⃗⃗⃗⃗ e 𝒗𝟏 ⃗⃗⃗⃗ são paralelos (𝑣𝟐 ⃗⃗⃗⃗ // 𝑣1 ⃗⃗⃗⃗ ), ou retas reversas, se 2 os seus vetores 𝒗⃗⃗⃗⃗ e 𝒗𝟏 ⃗⃗⃗⃗ não são paralelos. 𝟐

Exemplo: Verifique se as retas (𝒓𝟏) 𝑒 (𝒓𝟐) são concorrentes e, no caso afirmativo, determine o

ponto de interseção entre elas, sendo (𝒓𝟏): {𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟑_{𝒛 = −𝒙 + 𝟐} e (𝒓𝟐): {𝒙 − 𝟐_−𝟐 = 𝟐𝒚 − 𝟑_𝟐 = 𝒛 + 𝟏_−𝟐

(𝒓_𝟏) (𝒓𝟐) 𝒗𝟐 ⃗⃗⃗⃗ 𝒗_𝟏 ⃗⃗⃗⃗ 𝒗 ⃗⃗⃗

SOLUÇÃO: A reta (𝒓𝟏), dada pelas suas equações simétricas, é

(𝒓𝟏): {𝒙_𝟏 = 𝒚 + 𝟑_𝟐 = 𝒛 − 𝟐_−𝟏 . Nesta equação, 𝒗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝟏, 𝟐, −𝟏). 𝟏

Já a reta (𝒓𝟐), através de suas equações simétricas, dada por

(𝒓𝟐): {𝒙 − 𝟐_−𝟐 = 𝒚 − 𝟑_𝟐

𝟏 = 𝒛 + 𝟏

−𝟐 , 𝒗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−𝟐, 𝟏, −𝟐). 𝟐

Verifica-se que, 𝑣⃗⃗⃗⃗ e 𝑣1 ⃗⃗⃗⃗ não são paralelos, pois 2 _−𝟐𝟏 ≠ 𝟐_𝟏 ≠ −𝟏_−𝟐

Pode-se concluir que, (𝒓𝟏) 𝑒 (𝒓𝟐) não são retas paralelas e nem coincidentes.

Escrevendo as retas (𝒓𝟏) 𝑒 (𝒓𝟐) através de suas equações paramétricas, temos que:

(𝑟₁): {𝒚 = −𝟑 + 𝟐𝒕𝒙 = 𝒕 𝒛 = 𝟐 − 𝒕 e (𝑟2 ): { 𝒙 = 𝟐 − 𝟐𝒉 𝒚 = 𝟑_𝟐 + 𝒉 𝒛 = −𝟏 − 𝟐𝒉 Calculando (𝒓𝟏) ∩ (𝒓𝟐): { 𝒕 = 𝟐 − 𝟐𝒉 𝟏 −𝟑 + 𝟐𝒕 = 𝟑_𝟐 + 𝒉 𝟐 𝟐 − 𝒕 = −𝟏 − 𝟐𝒉 𝟑

𝟏 em 𝟐 ⟹ −3 + 2(2 − 2ℎ) =

3₂

+ ℎ ∴ −3 + 4 − 4ℎ =

3 2

+ ℎ ⟹ 1 −

3 2

= 5ℎ ∴ 5ℎ = −

1 2

⟹ 𝒉 = −

𝟏 𝟏𝟎

𝟏 em 𝟑 ⟹ 2 − (2 − 2ℎ) = −1 − 2ℎ ∴ 2 − 2 + 2ℎ =

−1 − 2ℎ ⟹ 4ℎ = −1 ∴ 𝒉 = −

𝟏 𝟒

Ao fazer a interseção, encontramos dois valores para h

𝒉 = −_𝟏𝟎𝟏 e 𝒉 = −𝟏_𝟒, isto significa que não existe ponto de interseção entre as retas

Exercícios de reta

1)A reta r passa pelo ponto P(1, 2, 0) e tem a direção do vetor 𝑣 = 3𝑖 + 𝑗 − 𝑘⃗ . Pode-se dizer que as equações reduzidas desta reta, na variável x é:

a) 𝑦 =𝑥−5₃ 𝑒 𝑧 =−𝑥+1₃ ; b) 𝑦 =𝑥+1₃ 𝑒 𝑧 =−𝑥+1₃ ; c) =𝑥−1₃ 𝑒 𝑧 = −𝑥+2₃ ; d) 𝑦 =𝑥+5₃ 𝑒 𝑧 =−𝑥+1₃ .

2)As equações reduzidas da reta na variável x que passa pelos pontos P(0, -4, -5) e Q(1, -2, -2) é: a) 𝑦 = 2𝑥 − 4 𝑒 𝑧 = 3𝑥 − 5 ;

b) 𝑦 = 𝑥 − 4 𝑒 𝑧 = 𝑥 − 5 ; c) 𝑦 = 2𝑥 + 4 𝑒 𝑧 = 𝑥 − 5 ; d) 𝑦 = 𝑥 − 4 𝑒 𝑧 = 3𝑥 − 5 .

3) Seja a reta de equações paramétricas {

𝑥 = 3 + 𝑡 𝑦 = 1 + 𝑡 𝑧 = 4 − 𝑡

. O ponto P desta reta que tem ordenada igual a 5 é:

a) P = (1, 5, 0 ) ; b) P = (-2, 4, 0 ) ; c) P = (7, 5, 0 ) ; d) P = (5, -5, 0 ) .

4) As equações paramétricas da reta r obtida da interseção do plano 2𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 − 12 = 0 com o plano xy são :

a) { 𝑥 = 6 − 6𝑡 𝑦 = 4𝑡 𝑧 = 0 ; b) { 𝑥 = −6𝑡 𝑦 = 1 − 4𝑡 ; 𝑧 = 0 c) { 𝑥 = 6 − 6𝑡 𝑦 = 1 + 4𝑡 𝑧 = 0 ;

d) {

𝑥 = 6 + 6𝑡 𝑦 = − 4𝑡

𝑧 = 0 ;

5) São dadas as equações paramétricas de r: {

𝑥 = 1 + 2𝑡 𝑦 = −2 + 3𝑡

𝑧 = −5𝑡

. Pode-se dizer que as equações simétricas desta reta são:

a) 𝑥+1₂ =𝑦+3₃ = ₋₅𝑧 ; b) 𝑥−1₂ = 𝑦+2₃ =₋₅𝑧 ; c) 𝑥−2₂ =𝑦+2₃ = 𝑧₅ ; d) 𝑥−2₂ = 𝑦+2₃ =₅𝑧 .

6) Dada a reta r: 𝑥−1₃ =𝑦₂ =𝑧+1₁ , podemos dizer sobre os pontos P(4, 2, 0) e Q(1, 0,-1) que: a) 𝑝 ∈ 𝑟 𝑒 𝑄 ∈ 𝑟 ;

b) 𝑝 ∉ 𝑟 𝑒 𝑄 ∈ 𝑟 ; c) 𝑝 ∈ 𝑟 𝑒 𝑄 ∉ 𝑟 ; d) 𝑝 ∉ 𝑟 𝑒 𝑄 ∉ 𝑟.

7) Uma reta passa pelo ponto P(3, 0, 1) e é ortogonal ao plano ∝: 3𝑥 + 4𝑦 + 2 + 0 . Logo sua equação é:

a) 𝑥−1₃ =𝑦₄ 𝑒 𝑧 = −1; b) 𝑥+2₃ =𝑦₄ 𝑒 𝑧 = 1; c) 𝑥+3₃ =𝑦₄ 𝑒 𝑧 = −1; d) 𝑥−3₃ =𝑦₄ 𝑒 𝑧 = 1.