Egilea: Jesus Mari Goñi
LEHEN HEZKUNTZA
Hirugarren Zikloa
BAGA BIGA
6
MATEMATIKA
P R O I E K T U A
Proiektuaren arduradun pedagogikoa: Ikastolen Elkartea Txanela proiektuaren koordinatzailea: Maite Saenz Matematika - Baga Biga-ren koordinatzailea: Jesus Mari Goñi
Edizioaren arduraduna: Elkar
Diseinua: Ainhoa Lukas, Iñigo Uribetxebarria Maketatzailea: Iñigo Uribetxebarria
Marrazkilaria: Alex Orbe, Mónica Ausín, Iñigo Uribetxebarria Argazkiak: Iñigo Uribetxebarria
Ikasmaterial honek Hezkuntza, Unibertsitate eta Ikerketa Sailaren egokitasun-aitormena du. Data: 2004-07-16 © ELKARLANEAN S.L. - Donostia © G.I.E. - Donostia ISBN: 84-9783-114-4 ISBN: 84-7703-506-7 L.G.: SS -343/2004 ELKAR Argitaletxea Portuetxe kalea, 88 bis
Tel. 943 31 02 67 - Fax 943 31 02 16 e-mail: [email protected] http://www.elkarlanean.com/elkarlanean 20018 Donostia
Inprimatzailea: Leitzaran Grafikak, Martin Ugalde Kultur Parkea, Gudarien etorbidea 8, Andoain. Liburu honetako ariketak eta jarduerak ez dira bertan egiteko, beste koaderno batean baizik.
Eragotzita dago, legeak ezarritako salbuespenetan izan ezik, obra honen edozein berregintza, komunikazio publiko edo moldaketa, aurrez jabetza intelektualaren titularren baimena eskuratzen ez bada. Eskubide horien urraketa jabetza intelektualaren aurkako delitutzat har daiteke (Kode Penaleko 270 eta hurrengo artikuluak). CEDRO erakundeak (www.cedro.org) babesten ditu aipatu eskubide horiek.
Liburu honetako ariketak eta jarduerak ez dira bertan egiteko, beste koaderno batean baizik.
1
Makinak eta diagramak
PROBLEMA
K
1/Erreparatu arretaz honako makina hauei. Kokatu gero horietako bakoitzaren sarre-ran zenbaki batzuk eta kalkulatu irteerako emaitzak:
Bete ezazu taula zeuk aukeratutako zenbakiekin:
Bete ezazu taula zeuk aukeratutako zenbakiekin:
Adierazi A irteerara iristen diren zenbakiak zein zenbakiren multiploak diren.
Adierazi A irteerara iristen diren zenbakiak zein zenbakiren multiploak diren.
SARRERA
1. MAKINA
A
IRTEERA
B
IRTEERA
C
IRTEERA
D
IRTEERA
BAI
EZ
BAI
EZ
BAI
EZ
2ren multiploa al da? 3ren multiploa al da? 3ren multiploa al da? Sarrera Irteera 12 A 15 CSARRERA
2. MAKINA
A
IRTEERA
B
IRTEERA
C
IRTEERA
D
IRTEERA
BAI
EZ
BAI
EZ
BAI
EZ
2ren multiploa al da? 5en multiploa al da? 5en multiploa al da? Sarrera Irteera 25 C•Asmatu aurrekoen antzeko makina bat, A irteerara iristen diren zenbaki guztiak 15en multiploak izan daitezen.
•Adierazi nola definituko zenituzkeen kasu bakoitzean B, C eta D irteeretatik ir-teten diren zenbakiak.
M3 M5 A
M2 M3
A
Sailkatu eta ordenatu
P
RO
BLEMAK
2/Adierazi Venn-en diagramaren zein zati dagokion honako diagrametako irteera ba-koitzari:
2 = 2ren multiploa; 3 = 3ren multiploa
SARRERA
A
IRTEERA
IRTEERA
B
IRTEERA
C
IRTEERA
D
BAI
EZ
EZ
EZ
2 al da?BAI
3 al da?BAI
3 al da?Honako makina hau gaizki diseina-tuta dago, ezinezko egoera bat adierazten baitu. Bilatu non dago-en akatsa:
SARRERA
A
IRTEERA
IRTEERA
B
IRTEERA
C
IRTEERA
D
BAI
EZ
EZ
EZ
5 al da?BAI
3 al da?BAI
3 al da?SARRERA
A
B
C
D
BAI
EZ
EZ
EZ
2 al da?BAI
4 al da?BAI
4 al da?1/Adierazi honako baldintza hauek be-tetzen dituzten zenbaki guztiak: - Hiru zifra dituzte eta 250 baino
txi-kiagoak dira.
- Kapikuak eta bikoitiak dira.
Adierazi zergatik ezin den izan 161 zenbaki horietako bat.
2/Adierazi honako baldintza hauek be-tetzen dituzten zenbaki guztiak: - Lau zifra desberdin dituzte eta
mila-koak dira txikienak.
- 6.000 baino handiagoak dira. - Bikoitiak dira.
3/Zein da 5, 7, 8 eta 9 zifrak ondorengo adierazpen aritmetikoko hutsuneetan jarriz lor daitekeen zenbaki bikoiti handiena?
... ...X ... ...
Eta beste kasu honetan?
... ... ...X ...
Zenbaki-sistema
PROBLEMA
K
Bilatu 40 baino txikiagoa den bi zi-frako zenbaki bat, zifrak tokiz alda-tzean 18 unitate txikiagoa den zen-baki bat emango duena.
Zenbakiak aldatzeko jolasa da honako hau, baina bi eragiketa-mota baino ez dira onartzen: unitate osoak edo horien multiploak batzea edo kentzea (1, 2, 3, 4... 10, 20, 30, 40... 100, 200, 300, 400... 1.000, 2.000, 3.000, 4.000...), edo zifrak tokiz aldatzea:
Adibidez, 3.456 (batekoak, hamarrekoak) 3.465.
Jolasa kontrolatzen duenak 4 zifrako bi zenbaki ematen ditu eta zenbaki batetik bestera ahal den pauso gutxien emanez igarotzea lortzen duenak irabaziko du. 3.872 zenbakitik 4.327 zenbakira
1) 3.872 – 400 = 3.472
2) 3.472 (milakoak - ehunekoak) 4.372 3) 4.372 (batekoak - hamarrekoak) 4.327
Zenbaki-sistema
ARI
KETAK
1/Osatu honako erlazio hauek falta di-ren zenbakiak idatziz:
-Hamar milakoa = ...hamarreko
-Ehun milakoa = ...ehuneko
-Milakoa =...bateko
-Ehun milakoa = ...hamarreko
-Milakoa =...ehuneko
-Hamar milakoa =...bateko
2/Ordenatu txikienetik handienera ho-nako zenbaki hauek:
300 hamarreko, 12 ehuneko, 2.826, 46 ehuneko, 10 milako
Eta handienetik txikienera beste hauek: 45 ehuneko, 650 hamarreko, 5.812, 3.500 hamarreko, 13.500, 75 hama-rreko
Bere eskuineko bien biderkadura da.
Bere eskuinean kokatutakoaren erdia gehi 0,5 da.
Bi zifrako zenbaki bikoiti txikiena da. Gainean dagoenaren zifren arteko batura da. Bere ezkerrekoaren zifra berdinak ditu, baina tokiz aldatuta.
Bere ezkerreko bien batura da.
Bere gainean dagoenari 70 izateko
falta zaiona da. Gainean dagoenaren
zifren batura da.
Goian dagoenaren zifra berdinak ditu, baina tokiz aldatuta.
Zatiki inpropiotik zatiki propiora edo alderantziz modu azkarrean igarotzeko bi proze-dura daude. Ikertu bi kasuetan eman beharreko pausoak eta azaldu modu argian. Zenbaki nahasitik zatiki inpropiora: Zenbakitzailea: Zati osoa bider ...
Izendatzailea: ...
Zatiki inpropiotik zenbaki nahasira: Zati osoa:...
Zatiki propioa: ...
Zatikiak eta zenbaki nahasiak
IKERKETA 3 1 2 7 3
i
Zatiki propioek unitatea baino txikiagoak diren kopuru baten zatiak adierazten dituzte. Hala, bada, 3/4, 2/5 edo 3/7 zatiki propioak dira. Kasu hauetan zenbaki-tzailea izendazenbaki-tzailea baino txikiagoa da beti.
Unitate oso bat, edo gehiago, eta gainera unitatearen zati bat adierazteko bi modu daude:
- Zenbaki nahasia: zati osoa idazten da eta, ondoren, zatiki propioa.
- Zatiki inpropioa: bi zatiak batuz lortzen da, zati osoa eta zatikiarra. Gogoan izan unitatea zenbakitzaile eta izendatzaile berdinak dituen edozein zatikiren bidez asdieraz daitekeela. 1 = 2/2 = 3/3 = 4/4, etab.
Zatiki inpropioen kasuan, zenbakitzailea izendatzailea baino handiagoa izan ohi da. 0 2/5 1 12 6 9 3 3/4 ordu 2 1 2 2 1 2 = 22+ 22+ 12= 52
Zatikiak eta zenbaki nahasiak
ARI
KETAK
1/Idatzi dagokion zatiki inpropioan honako zenbaki nahasietako bakoitza: 1 3/4 1 4/5 2 1/4 3 1/2
2/Idatzi honako zatiki inpropioei dagozkien zenbaki nahasia: 11/7 9/4 6/5 5/2 11/3
3/Ordenatu zenbaki hauek txikienetik handienera:
1 3/4 3/2 1 3/4 1/2 5/2
4/Marraztu zenbakien zuzena eta kokatu bertan zenbaki hauek: 5/2 7/3 2 1/4 9/5 3 1/2
1/Bi ordu eta erdian zenbat minutu dau-den jakin nahi dugu.
2/Gazta baten batez besteko pisua 900 g-koa bada, gazta bat eta hiru laurde-nen pisua, batez besteko, zein den ja-kin nahi dugu.
3/Ontzi batean 4 litro sartzen badira eta 10 litro gorde behar baditugu, zenbat ontzi beteko ditugu eta azkeneko on-tziaren zein zati osatu ahal izango du-gu?
4/36 ordu egun bat baino gehiago eta bi egun baino gutxiago dira. Nola adieraz dezakezu kopuru hori zenbaki nahasi baten bidez?
12
6
9 3
Gogoratzen al duzu erregela eta konpasa erabiliz segmentu baten zatiki propioa nola marrazten zen? Gogoratzen ez baduzu, bilatu infor-mazioa edo galdetu.
Zuk nahi duzun luzerako AB seg-mentua oinarritzat hartuta, ma-rraztu, erregela eta konpasa erabi-liz, halako bat eta erdi izango den beste segmentu bat.
B
P
RO
Imajinatu bi igel harriz harri jauzika ari direla ibai bat gurutzatzeko. Txikienak binaka salta-tzen du eta, handienak, hirunaka.
Zein harri komun zapalduko dituzten bi ige-lek jakin nahi dugu.
Multiplo komunak
ESPERIENTZ
IA
•Problema hau ebazteko modu erraz bat igel batek zapalduko dituen harriak kolore batez margotzea eta beste igelak zapalduko dituen harriak beste kolore batez mar-gotzea da. Gero, bi koloreekin margotutako harriak zein diren ikusita, erantzuna ja-kingo dugu.
Bi kolorez margotutako harriak seigarrena eta hamabigarrena dira; beraz, bi harri horietatik bi igelak igaroko dira.
•Arretaz begiratuz gero, igel batek 2, 4, 6, 8, 10... zenbakien gainera jauzi egi-ten duela eta zenbaki horiek 2ren mul-tiploak direla jabetuko zarete; beste igelak, berriz, 3, 6, 9, 12... zenbakia duten harrien gainera egiten du jauzi, hau da, 3ren multiploen gainera. 6, 12... zenbakiek 2ren eta 3ren multi-plo komunak adierazten dituzte. - Zein zenbakiren multiploak dira 2ren
eta 3ren multiplo komunak?
•Kalkulatu zenbaki-pare hauen bizpahi-ru multiplo komun. Adierazi, kasu ba-koitzean, multiplo komun horiek zein zenbakiren multiploak diren:
2 eta 4 2 eta 5 3 eta 4 3, 5 eta 6
Multiplo komunak
IKER
KETA
•Margotu laukitxo hauek zehaztutako kolore-kodearen arabera:
- 2ren multiploak direnak, baina 3renak ez direnak, urdinez.
- 3ren multiploak direnak, baina 2renak ez direnak, gorriz.
- 2ren eta 3ren multiploak diren zenbakiak, horiz.
- 2ren multiploak direnak, baina 5enak ez direnak, urdinez.
- 5en multiploak direnak, baina 2re-nak ez dire2re-nak, gorriz.
- 2ren eta 5en multiploak diren zen-bakiak, horiz.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32
Asmatu kolore-kode bat 3ren eta 5en multiploak izateko propieta-tea erabiliz. Margotu gero zenba-kiak:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32
... ...
...
Jada ezagutzen duzu zenbakiak murtxika-tzen dituen makina. Makina honek zenba-kiak faktoreetan ahal beste deskonposa-tzen ditu.
•Gero, faktoreak txikienetik handienera idazten dira.
•Erabili zenbakiak murtxikatzeko makina, hauek faktoreetan deskonposatzeko:
Egizu lan bera zenbaki hauekin:
12 20 24 25 30 32 36 40 Deskonposaketa faktoriala ESPERIENTZ IA 24 = 2 · 2 · 2 · 3 24 4 6 2 2 2 3 80 = ... 80 8 2 4 2 ... 72 = ... 72 8 ... ... ... ... ... ... ...
Eragiketa konposatuak ARI KETAK 1 3 2 x 2 x 5 x 5 x 5 x 5 x 2 x 3 x 2 x 3 x 5 x 3 x 2 x 3 x 2 x 3 x 2 x 3 ... ... ... ... ... ... ... ... ...
•Zenbakiak faktoreetan deskonposatzeko beste modu bat sareak erabiltzea da. Osatu ondorengo sare hau eta deskonposatu gero adierazitako zenbakiak faktoreetan:
30 100 200 300
45 150 225 450
•Idatzi 100 baino txikiagoak diren zenbaki guztiak, deskonposaketa faktoriala egite-an, zenbaki bakar bat errepikatzen dela kontuan izanda:
4 = 2 · 2 8 = 2 · 2 · 2 ...
IKER
Zatiki baliokideak
•Kalkulatu honako hauen baliokideak di-ren zatikiak eta, horretarako, erabili an-plifikatzeko araua eta egiaztatu balioki-deak direla:
1/3 2/5
3/4
3/7 5/8
•Hartu bi zatiki baliokide eta egin hona-ko eragiketa hau:
- Biderkatu lehenengoaren zenbakitzai-lea bigarrenaren izendatzaizenbakitzai-learekin. - Biderkatu lehenengoaren
izendatzai-lea bigarrenaren zenbakitzaiizendatzai-learekin. Nolakoak dira lortutako balioak? Egin gauza bera beste zatiki-pare ba-tzuekin; batzuk baliokideak izango dira eta beste batzuk, aldiz, ez.
Zein ondorio atera duzu hainbat proba egin ondoren? Adierazi.
i
Zatiki baten bidez kopuru baten zati bat adierazteko modu bat baino gehiago daude. Kopuru beraren zati bera adierazten duten zatikiak zatiki baliokideak di-rela esaten dugu.
Hala, bada, 1/2, 2/4 eta 3/6 zatiki baliokideak dira, kopuru beraren zati bera adierazten baitute. Baliokidetasun hori honela egiazta daiteke:
a) Marraztuz
b) Dagokion zatiketa kalkulatuz
Badago emandako zatiki baten zatiki baliokidea kalkulatzeko modu bat: zatiki horren zenbakitzailea eta izendatzailea zenbaki berberaz biderkatu behar dira:
Prozesu horri zatikien anplifikazioa deritzo. Gogoratu ondo erregela hori, aurre-rantzean askotan erabiliko baituzu kalkulatzeko.
1/2 2/4 0,5 1 2 = 0,5 2 4 = 1 2 = 24 1 2 ; 1 x 2 = 22 x 2 = 4 ; 2 4 ; 1 2 = 24 1 2 ; 1 x 3 = 32 x 3 = 6 ; 3 6 ; 1 2 = 36 ARIKETAK IKER KETA
•Idatzi kartoi txiki batzuetan zatiki hauek: 1/2, 2/4, 1/3, 2/6, 2/3, 4/6, 1/5, 2/10, 2/5, 4/10, 3/4, 6/8.
Ahuspez begira jarri, nahastu eta ordenatu 3 x 4 neurriko laukizuzen batean.
- Aukeratu bi kartoi eta buelta eman. Baliokideak baldin badira, bikote bat osatu duzu eta gorde egin ditzakezu. Gainera, jolasten jarraituko duzu. - Baliokideak ez badira, behera begira utziko dituzu berriro zeuden toki berean.
Gainera, txanda galduko duzu eta hurrengoak jokatuko du. - Bikote gehien egiten dituenak irabaziko du.
Aurrerago, zatiki baliokideen bikote gehiago txerta ditzakezu, jolasaren aukerak zabaltzeko. Memoria-jokoa ARI KETAK P RO BLEMAK
1/Ur-botila batek hiru litro laurden baldin baditu eta edalontzi bakoitzean 1/8 litro sartzen bada, zenbat edalontzi bete ahal izango ditugu botila horretako urarekin? Arrazoitu zure erantzuna.
2/Uholdeetan, herri baten bi bostenak urak hartu zituela irakurri dugu egunkari ba-tean. Beste egunkari batean urak herriaren lau hamarrenak hartu zituela dio. Bat al datoz bi informazio horiek?
Eragiketak zenbaki hamar
tarrekin
i
Jada badakizu zenbaki hamartarrekin eragiketak egiten, baina errepasatzea ko-meni da.
BATUKETA
Zenbaki hamartarren arteko batuketak egiteko unitateak zuzen lerrokatu behar dira eta, ondoren, batuketaren algoritmoa aplikatu behar da:
3,65 + 4,3 3,65 4,30
7,95 3,65 + 4,3 = 7,95 KENKETA
Kenketaren kasuan batuketaren antzera jokatu behar da. Baina kenkizunaren za-ti hamartarrean kentzailean baino hamarren gutxiago badaude, zeroak gehituz berdindu behar dira:
12,5 – 3,72 12,50 3,72
8,78 12,5 – 3,72 = 8,78
BIDERKETA
Biderketaren kasuan, azkarrena komak kenduz biderkatzea eta emaitzari honako arau hau aplikatzea da: biderkaduraren zati hamartarraren zifra-kopurua fakto-reen zati hamartarren zifren batura izango da.
Biderketa egin aurretik emaitzaren hamarren-kopurua erabakitzea komeni da eta, hala, faktoreak nahiz biderkadura bera biribilketaren bidez berdinduko dira.
Zenbaki hamartarren biderkadura kalkulatzeko kalkulagailua erabiliz gero, oso garrantzitsua izango da biribiltzeko arauak errespetatzea, bai faktoreetan eta baita emaitzan ere.
+ – 4,636 x 0,94 4,64 x 0,94 (Kalkulua bi hamarrenekin) Biribilketa 4,64 0,94 1856 4176 4,3616 4,36 biribiltzea 2 zifra + 2 zifra = 4 zifra komaren ondoren
Kalkulua
ARI
KETAK
Ariketa hauek kalkuluak egiteko gaitasu-na lantzen eta orain arte ikasitakoa go-goratzen lagunduko dizuete.
1/Kalkulatu buruz: 67 + 46 = ... 82 + 49 = ... 75 + 57 = ... 84 + 37 = ... 82 – 36 =... 90 – 38 = ... 126 – 34 = ... 165 – 72 = ... 147 – 27 = ... 255 – 66 = ... 2/Kalkulatu buruz: 1,3 + 0,8 = ... 3 – 1,5 = ... 4,2 + 2,9 = ... 4 – 2,5 = ... 0,8 x 10 = ... 1,2 x 10 = ... 0,6 x 100 = ... 0,3 x 100 = ... 1,2 x 4 = ... 1,3 x 5 = ... 3/Kalkulatu papera eta arkatza erabiliz.
(Biribildu emaitzak 2 hamarren era-biliz): 3,6 + 14,52 + 3,65 + 0,4 = ... 20 – (3,62 + 0,857 + 3,1) = ... 1,6 x 3,25 = ... 3,18 x 0,65 = ... 3165 : 14 = ...
4/Kalkulatu papera eta arkatza erabiliz: 16 + 4 x 25 = ...
(16 + 4) x 25 = ...
5/Kalkulatu kalkulagailuz,
memoria erabiliz, eta biribildu emaitzak 2 hamarrenekin:
3,25 x 17 + 4,32 x 6,42 – 3,5 x 4,27 4,32 x 0,61 + 3,23 x 4,17 – 6,25 x 17 (3,5 x 18 + 4,25 x 23) : (63 – 31,17) (3,5 x 6,35 + 4,27 x 6,18) x (17 x 5 + 3,35)
6/Adierazi ezkerretara dauden balioak eskuinekoak baino handiagoak (>) edo txikiagoak (<) diren, kalkulu ze-hatzak egin gabe:
12 x 10,75 ...120 13 x 9,16 ...130 176 + 45 ...200 316 – 134 ...200 9,5 x 9,6 ...100 300 : 9,4...30 400 : 10,25...40
7/13 x 12 = 156 baldin bada, kalkulatu eragiketa hauek: 1,3 x 12 = ... 13 x 1,2 = ... 1,3 x 1,2 = ... 13 x 0,12 = ... 1,3 x 0,12 = ... 0,13 x 12 = ... 0,13 x 1,2 = ...
Propor
tzionaltasuna
ESPERIENTZ
IA
Fotokopia baten prezioa galdetu dugu eta 5 zentimo balio duela esan digute.
Fotokopiak egiten dituen pertsonak taula bat duela jabetu gara, hala, biderketa egin beharrik gabe ordaindu beharrekoa zenbat den jakin ahal izateko.
•Lagundu pertsona horri taula hau osatzen:
Erlazionatutako pareak diagrama kartesiar batean adierazten baditugu eta puntu horiek lotzen baditugu, jatorritik igarotzen den lerro zuzen bat lortuko dugu. Osatu lerroa, puntu gehiago marraztuz:
Fotokopia--kopurua €-tan ordaindu beharrekoa 1 0,05 5 0,25 10 0,5 15 20 1 25 30 40 2 45 50 2,5 80 100 5 120 140 7 Eurotan ordaindu beharreko kopurua 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 Fotokopia-kopurua
Propor
tzionaltasuna
P
RO
BLEMAK
1/Zenbat ordaindu beharko dugu 140 fotokopia egiten baditugu?
2/Zenbat fotokopia egin ditugu 8,5 € ordaindu baditugu? (Kalkulagailua erabil
dezakezu)
3/Imajinatu 134 orrialdeko sorta baten 4 kopia egin nahi ditugula. Zenbat diru or-daindu beharko dugu?
Eta 225 orrialde dituen sorta baten 6 kopia egin nahi baditugu?
4/Zein da honako lan honen kostua?
- 156 orrialdeko sorta baten 3 kopia egin dira eta 226 orrialdeko beste sorta ba-ten 4 kopia.
5/Fotokopia batzuk koadernatzeko 3 € ordaindu ditugu. Kalkulatu ordaindu
beha-rreko prezioa 5 sorta kopiatzen eta koadernatzen baldin badira, kontuan hartuta horietako bakoitzak 284 orrialde dituela.
i
•Prezioak, fotokopien kasuan bezala, magnitudeen arteko proportzionaltasun-er-lazioaren adibide bat dira.
Kasu honetan erlazionatutako magnitudeak kopurua (fotokopia-kopurua) eta ordaindu beharrekoa dira.
Erlazio-mota hau beste erlazio batzuetatik bereizteko ezaugarriak honako hauek dira:
- Erlazionatutako pareak balio konstante batez biderkatzean (edo zatitzean) lortzen dira eta balio konstante horri proportzionaltasun-konstantea deritzo.
10 fotokopia x 0,05 = 0,5 € 2 € : 0,05 = 40 fotokopia 20 fotokopia x 0,05 = 1 € 3 € : 0,05 = 60 fotokopia
- Erlazionatutako balioei dagozkien pareak diagrama kartesiar batean adieraz-ten baditugu eta lortutako puntuak lotzen baditugu, jatorritik igarotzen den lerro zuzen bat lortuko dugu.
Pisua
ESPERIENTZ
IA
Gaur egun balantza automatikoak erabil-tzen ditugu objektuen pisua kalkulatzeko. Balantza horiek bisore bat dute eta ber-tan adierazten dute pisua. Ohikoena balio hori kg-tan adierazita egotea da.
1/Adierazi honako kasu hauen balioa gramotan:
2,354
0,750
0,350
2,125
0,075
1,250
0,095
2/Hiru kilo laurden haragi nahi baditugu eta balantzan 0,690 kg jartzen badu, zen-bat gramo gehitu behar dira nahi dugun kopurua osatzeko?
3/Makinek prezioa sartzeko teklatu bat izan ohi dute. Erosi dugun haragiaren pre-zioa kiloko 6,65 €-koa bada, kalkulatu zenbat ordaindu beharko dugun.
Pisua
ARI
KETAK
1/Ordenatu pisu-neurri hauek txikienetik handienera. Ondo eginez gero, eskuinalde-ko marrazkietaeskuinalde-ko bat lortueskuinalde-ko duzu.
8 g 0,5 kg 600 g 1 kg 1 dag 200 g 2 kg 1.500 g 20 g 0,1 kg 4.000 g 3,5 kg 1 t 20 kg 6 kg 3.750 g 2/Idatzi gramotan: 3,5 kg = ...g 1/2 kg = ...g 0,8 kg = ...g 0,2 kg = ...g 3,45 kg = ...g 3 kg = ...g 1/4 kg = ...g 4,5 kg =...g 3/Idatzi kg-tan: 800 g = ...kg 4.500 g = ...kg 1.500 g = ... kg 100 g = ...kg 400 g = ... kg 450 g = ...kg 600 g = ... kg 36 g = ...kg 4/Egin kalkulu hauek:
5/Esan gutxi gorabehera zenbat pisa-tzen duten: ... ... ... + 600 g + 1,5 kg ... ... + 3,5 kg – 800 g
Egunero, gutxi gorabehera, 150 g zereal gosaltzen badugu, zenbat egunetarako izango dut 1 kg-ko
pa-Denbora
PROBLEMA
K
1/Honako bineta hauek txirrindularitza-etapa batean bizitako egoera batzuk adieraz-ten dituzte. Ordenatu lehenengotik azkenekora, etapa goizeko hamabiak laurden gutxiagotan hasi dela jakinda. Adierazi, bestalde, irabazleak zer denbora egin duen.
13 : 50 11 : 45 +... +... +... +... : 13 :15 : +5 min 12 : 25 : +1 h 25 min : +1 h 35 min +1 h 40 min 1
2/Ondorengo bineta hauek urte bateko hainbat hilabetetan paisaiak izandako alda-keta erakusten dute. Urte hau bisurtea dela jakinda, ordenatu binetak eta adierazi kasu bakoitzean falta den informazioa.
Denbora
P
RO
BLEMAK
Urtarrilak 1 Martxoak 16
Triangeluak: altuera
i
Poligonoen artetik, triangelua da oinarrizkoena. Oinarrizko elementuak 3 alde, hiru angelu eta hiru erpin dira.
Jarduera honetan triangelu baten beste elementu ba-tzuk aztertuko ditugu eta altuerarekin hasiko gara.
A B C Aldeak: AB, BC, AC Erpinak: A, B, C Angeluak: a, b, c a c b
Triangelu baten altuera erpin batetik kontrako aldera perpendikularki doan seg-mentua da.
Triangelu batek hiru erpin eta hiru alde dituenez, hiru altuera ere izango ditu, ba-koitza alde bati eta kontrako erpinari dagokiona.
Triangelu baten altuera marrazteko modu errazena erregela eta kartaboia erabil-tzea eta erpinetik kontrako aldera zuzen perpendikular bat marraztea da, ma-rrazki honetan ikus daitekeen moduan.
A
D B
C
BD segmentua ABC triangeluaren al-tuera da, B erpinari eta AC aldea-ri dagokiena.
Tr
iangeluak: altuera
P
RO
BLEMAK
1/Marraztu, erregela eta konpasa erabi-liz, 6 cm-ko aldea duen triangelu alde-kide bat. Marraztu gero hiru altuerak. Arretaz egiten baduzu, hiru altuerak puntu batean ebakitzen direla egiaz-tatu ahal izango duzu.
2/Marraztu, erregela eta konpasa erabi-liz, triangelu isoszele bat, kontuan izanda bi alde berdinek 7 cm dituztela eta hirugarren aldeak 6 cm dituela. Marraztu gero triangelu horren bi al-tuera. Marraz al dezakezu hirugarren altuera perpendikularra egin gabe? Nola eta zergatik?
3/Bi zuzen paralelo marrazten badituzu eta zuzen horietako batean segmentu bat hartzen baduzu eta bestean edo-zein puntu aukeratzen baduzu, trian-gelu bat marraz dezakezu. Aukeratu-tako puntua mugitzen baduzu, hain-bat triangelu lortuko dituzu, baina guztiek oinarria eta beste elementu bat berdinak izango dituzte. Zein da bigarren elementu hori?
4/Honako propietate hau betetzen du-ten triangelu asko daude: 6 cm-ko oi-narria dute eta alde horri dagokion altuerak 4 cm ditu. Marraztu baldin-tza horiek betetzen dituen edozein triangelu.
1/Marraztu triangelu zorrotz bat eta ebaki. Marraztu triangelu horren altuera papera tolestuz. 6 cm A B C1 C2 C3 IKER KETA
Triangelu kamutsaren kasuan, altuera bat ez da aldearen gainera eroriko, baizik
2/Triangelu zuzen bat marrazten baduzu, triangelu horren bi altuera marraztu dituzu jada. Zergatik?
Triangeluak: azalera
i
Triangelu baten altueraren trazaduraren aplikazio zuzenetako bat triangeluaren azalera kalkulatzeko formula lortzea da.
- Ondorengo marrazki hauek oinarri eta altuera berdineko triangelu baten eta laukizuzen baten arteko erlazioa erakusten dute.
- ABC triangelua marraztu ondoren, AB aldearen altuera marrazten da (CD segmentua).
- A eta B muturretatik CD altuerare-kiko zuzen paraleloak marrazten dira. AE eta BF.
- C puntutik AB aldearekiko zuzen paraleloa marrazten da.
Hala, ABFE laukizuzena dugu.
- Laukizuzen horren azalera AB (b) oinarria BF (h) altueraz (CDren berdina da) biderkatuz lortzen da.
Laukizuzenaren azalera = AB x CD = b x h
- Baina ABC triangeluaren azalera laukizuzen horren azaleraren erdia da eta, beraz, b x h biderketaren biderkaduraren erdia.
A C B D A C B E F D A C B E h 1 2 3 4 F D Triangeluaren azalera = b x h 2 A laukizuzena = b x h A triangelua = b x h 2 1 = 2; 3 = 4
6 cm 2 cm 3 cm 3 cm 5 cm 5 cm 4 cm 2 cm 2 cm 5 cm 1 cm 5 cm 8 cm 6 cm 4 cm 5 cm 4 cm 8 cm 3 cm Triangeluak: azalera ARI KETAK
•Kalkulatu irudi geometriko hauen azalerak, dagozkien formulak erabiliz.
•Marraztu bi zuzen paralelo. Marraztu zuzen horietako batean segmentu bat, eta aukeratu bestean edozein puntu. Segmentuaren muturrak puntu horrekin lotzen badituzu triangelu bat lortuko duzu. Segmentua bere tokian mantenduz puntua mugitzen baduzu, hainbat triangelu lortuko dituzu. Saiatu triangelu guztiek aza-lera berbera dutela frogatzen.
C1 C2 C3
IKER
Hegazkinetako pilotuek egin behar duten ibilbidea jakiteko bi datu era-biltzen dituzte: mugimendua zein ranzkotan egin behar duten eta no-ranzko horretan egin behar duten distantzia.
Osatu taula, mugimendu bakoitzaren angelua eta kasu bakoitzean eginda-ko distantzia gutxi gorabehera
adiera-ziz. Kontuan izan mapako mm bakoitzari errealitatean 1 km dagokiola. Noranzkoa ze-hazteko behean duzun haize-arrosa izan behar duzu kontuan.
•Osatu taula ibilbidearen angelua, no-ranzkoa (E edo M) eta distantzia ze-haztuz:
Angeluak eta horien neurriak
ESPERIENTZ IA Direkzioa Distantzia 45º E A B C D
I
H
M
E
1/Marraztu paper batean lerro berean ez dauden hiru puntu. Lotu puntu horiek, eta triangelu bat osatuko duzu. Kalkulatu barneko angeluen eta kanpoko angeluen balioak erpin bakoitzean, garraiagai-lua erabiliz. Batu gero hiru balioak. Zein emaitza lortu duzu kasu bakoitzean?
Angeluak eta horien neurriak
IKER KETA Erpin-kopurua 3 4 5 Barneko angeluen baturaren balioa Kanpoko angeluen baturaren balioa A B a1 a2 b2 b1 C c2 c1 A B a1 a2 D d1 d2 b2 b 1 C C c2 c1 A B a1 a2 D d1 d2 E e1 e2 b2 b1 c2 c1
- Egin gauza berbera, baina kasu ho-netan oinarritzat lau puntu hartuz.
- Egin gauza berbera, baina kasu hone-tan oinarritzat bost puntu hartuz.
Zatikien sailkapena SINTESIA
i
Zatikiak propioak edo inpropioak izan daitezke.
a) Zenbakitzailea izendatzailea baino txikiagoa baldin bada, zatikia propioa da.
- 1 zenbakitzailea duten zatiki propioak zatiki unitarioak direla esaten da.
b) Zenbakitzailea izendatzailearen berdina edo handiagoa bada, zatikia inpro-pioa da.
- Zenbakitzailea izendatzailearen multiploa bada, zenbaki osoa izango da.
- Multiploa ez bada, zatikia zati osoan eta zatiki propioan deskonposa daite-ke, eta zenbaki hori nahasia dela esaten da.
4 5 3 4 ; 4 5 3 4 1 2 1 3 ; 1 2 1 3 4 4 1 4 4 4 1 4 + 5 4 = = 1 5 4 4 2 = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + 4 2 = 9 2 8 2 = 1 2 + 1 2 = 4 5 4 4 4 = 1 4 + 1 4 = 1
•Kontzeptuen mapa honetan adierazpen batzuk falta dira eta behean dituzu. Osa ezazu: Zatikien sailkapena SIN TESIA ZATIKIAK honakoak ditu izan daitezke
hauetako batzuk izan daitezke
ZENBAKI NAHASIAK ZATIKI PROPIOA ZATI OSOA PROPIOAK:... ... ... UNITARIOAK:... ... ... INPROPIOAK: ... ... ... ZENBAKI OSOAK: ... ...
• Definitu kontzeptu hauek:
– Zatiki propioa: ... – Zatiki unitarioa: ... – Zatiki inpropioa:... ZENBAKITZAILEA IZENDATZAILEA BAINO HANDIAGOA ZENBAKITZAILEA IZENDATZAILEA BAINO TXIKIAGOA ZENBAKITZAILEA IZENDATZAILEAREN MULTIPLOA ZENBAKITZAILEA 1
PROBLEMAK
1/ Diagrama hauek hainbat aukera eskaintzen dituzte honako zenbaki-multzoak adierazteko: M2 (2ren mul-tiploen multzoa); M3 (3ren multiplo-ak diren zenbmultiplo-akien multzoa). Adiera-zi diagrama hauetako zein den zuzena eta zergatik.
2/ Zenbat bide desberdin egin daitez-ke A puntutik B puntura joateko?
3/ Zein da 4ren eta 6ren multiploa den zenbaki txikiena?
4/ 2ren, 3ren eta 5en multiploa ez den zenbaki baten bila gabiltza. 20 baino txikiagoa da eta zifra desberdi-nak ditu. Emaitza bat baino gehiago daude. Saiatu guztiak bilatzen.
5/ Andonik, etxetik irten zenean, hain-bat kromo zituen, eta hain-batere gabe itzu-li zen etxera. Bere aitak honela galdetu zion: “Zer egin duzu kromoekin?”. An-donik esan zion topo egin zuen adiski-de bakoitzari zituen kromoen erdia gehi bat eman ziola.
Andonik bidean 3 adiskidere-kin topo egin bazuen, zen-bat kromo zi-tuen etxetik irten zenean?
6/ Bilbotik Gasteizera joan nahi dute 4 adiskidek. Kostatzen zaiena kalkulatze-ko ondorengo informazio hau behar dute: autopistaren kostua tarte horre-tan, bi hirien arteko distantzia eta ga-solinaren kostua egindako kilometro bakoitzeko. Bilatu informazio hori edo kalkulatu gutxi gorabehera balio ho-riek eta kalkulatu gero adiskide bakoi-tzak zenbat ordaindu beharko duen. 7/ Irudi honetako adreilu bakoitzaren balioa adreilu horien azpikoen balioa biderkatuz lortzen da. Kalkulatu adrei-lu bakoitzaren balioa, goian
dagoenak 30 balio de-zan. Emaitza bat baino gehiago daude. Saia-tu bat baino gehiago bi-latzen.
8/ Lantegi bateko kalitate-kontrolak, batez beste, produzitzen diren 12 pie-zatatik bat baztertzen du. Pieza-mota jakin baten produkzioa orduko 9 pie-zakoa bada, adierazi 8 lan-ordutan baliozko zenbat pieza produzituko di-tuzten. M3 M2 N M3 M2 N M3 M2 N 30 30
9/ Fotokopia bakoitzaren kostua uni-tateko 4 zentimokoa bada eta koader-natzeak 3 € balio baditu, sorta baten zenbat ale kopiatu eta koadernatu ahal izango ditugu gehienez 50 €-ko aurrekontua badugu eta sortak 275 orrialde baditu?
10/ Arroz-paketeak dituen kaxa bate-an irakur daitekeenaren arabera, ka-xan 24 pakete daude eta kaka-xan da-goen arrozak 6 kg pisatzen ditu guz-tira. Kalkulatu 2,5 kg arroz osatzeko zenbat pakete beharko ditugun. 11/ Ontziratzeko makina batek 3/4 litroko 8 botila betetzen ditu minutu-ko. Zenbat litro ontziratuko ditu mi-nutuko? Zenbat litro ontziratuko ditu 8 orduan? Zenbat denbora beharko du 1.200 litro ontziratzeko?
12/ Donostiatik Iruñera doan trenak ordubete eta hiru laurden behar ditu gutxi gorabehera ibilbide hori egite-ko. Goizeko 7:50ean irten beharko lu-ke, baina 15 minutuko atzerapenare-kin irten da. Zer ordutan iritsiko da Iruñera?
13/ Kalkulatu, dagozkion formulak erabiliz, irudi lau hauen azalera:
14/ Marraztu konpasa, erregela eta kartaboia erabiliz, aldi berean zuzena eta isoszelea den triangelu bat. Alde-en balioa zuk zeuk aukera dezakezu. Marraztu gero alde luzeenari dago-kion altuera.
15/ Apalategi batean esne-kaxak hiru altueratan pilatuta daude. Lehenengo bietan 5 ilara oso daude eta ilara ba-koitzean 4 kaxa eta, goikoan, 4 kaxa-ko bi ilara daude. Zenbat esne-kaxa daude guztira?
16/ Kubo batek karratuak diren 6 de ditu. Karratu horietako baten al-deak 6 cm baldin baditu, zein izango da irudian margotutako ibilbidearen luzera? Zein da, zure ustez, kubo ho-netan mutur batetik bestera joateko biderik laburrena?
17/ Honako adierazpen aritmetiko honek irudi lau baten azalera kalku-latzeko aukera ematen du.
A = (4 cm x 5 cm) + ( 6 cm x 2 cm). Marraz ezazu. Emaitza bat baino gehiago daude, baina bat marraztea nahikoa izango da.
6 cm 5 cm 3 cm 2 cm 5 cm 8 cm 3 cm
Zenbaki bat perfektua dela esaten da zenbaki horren zatitzaileen — zenbakia bera izan ezik— baturak zenbaki hori bera ematen duene-an. Zenbaki perfektuak oso arra-roak dira eta oso zaila da horiek aurkitzea. Hala ere, 25 eta 30 ar-tean zenbaki perfektu bat dago. Saiatu zein den aurkitzen.
A B
2
PROPORTZIO-NALTASUNA
Inkestak eta datuak ESPERIENTZ
IA
1/Auzo batean, etxebizitza bakoitzean zenbat pertsona bizi den jakiteko honako in-kesta hau egin dugu. Hona hemen emaitzak:
-Zenbat etxebizitzatan egin da inkesta? -Zein etxebizitza motari dagokio kopuru
handiena?
-Zein da honako gertaera honen maiz-tasuna: “3 pertsona etxebizitza bakoi-tzeko”?
-Kasu honetan zein gertaerari dagokio moda? Zein da modaren balioa?
-Zein gertaerari dagokio 25eko maizta-suna?
•Osatu ondorengo diagrama kartesiarra. Ardatz bertikalean ez dugu idatzi eskala. Kontuz, beraz, eskala aukeratzerakoan.
1 2 3 4 5 6 Etxebizitza-kopurua Etxebizitza bakoitzeko pertsonen kopurua Etxe bakoitzeko pertsona-kopurua Etxebizitza--kopurua 1 12 2 25 3 45 4 50 5 23 6 8
i
-Ikerketagaiak har dezakeen balio bakoitzari gertaera deritzo.
-Eta gertaera hori zenbat aldiz gertatu den adierazten duen zenbakiari maiztasu-na deritzo.
100 7 h Auto-kopurua Ordua 200 300 400 500 600 700 8 h 9 h 10 h 11 h 12 h 13 h
Inkestak eta datuak
ES
PERIENTZIA
2/Ondorengo diagrama kartesiar honek ordu horietan autobideko ordainlekutik ira-gan den auto-kopurua adierazten du. Aztertu arretaz honako grafiko hau:
Bide-zati horretan bidesaria 0,85 €-koa da. Adierazi goiz horretan guztira bildu Eguneko ordua Autoen kopurua 7-8 8-9 9-10 10-11 11-12 12-13 Guztira
•Osatu honako taula hau:
-Zein da honako gertaera honen maiztasuna?: “Goize-ko 8etatik 9etara pasatzen diren autoak”.
-Zein gertaerari dagokio 580ko maiztasuna? -Kasu honetan zein da moda?
Zenbaki-sistema ESPERIENTZ
IA
Zenbakiak kopuruak adierazteko erabiltzen dira. Baina egoera desberdinei zenbaki-mota desberdinak dagozkie.
•Adierazi kasu bakoitzean erabili den zenbakia osoa, zatikia edo hamartarra den:
Erdi mailako herri batek 15.000 biztanle inguru ditu.
Trenak ordu eta erdi behar du herri batetik bestera joateko.
Freskagarri baten bolumena 0,33 l-koa da.
Autobidearen gainetik doan zubiaren altuera 4,5 m-koa da.
Erosi dudan arroz paketeak kilo 1/4eko pisua du.
0,20 € eta euro baten bostena baliokideak dira.
Zenbaki-sistema
ARI
KETAK
1/Ordenatu zenbaki hauek txikienetik handienera:
3 2/5 1,2 4/5 36/100 5/2 2/100 0,6 Eta handienetik txikienera honako hauek:
3/4 0,8 2 4/3 0,25 7/100 25/100 1,5
2/Osatu serie hauek, beste 4 gai idatziz: 3; 3,2; 3,4; 3,6; 3,8 ... 6; 5,7; 5,4; 5,1 ... 1/2; 3/2; 5/2; 7/2 ... 11/9; 10/8; 9/7; 8/6 ...
3/Deskonposatu eta bereizi bakoitzaren unitateak: 3.214 = 3.000 + 200 + 10 + 4 46,13 = 40 + 6 + 0,1 + 0,03 5.414 = ... 125,6 = ... 0,032 = ... 6,034 = ... 0 1 2 3
4/Bilatu kaxa bakoitzari dagokion zenbakia:
Zati osoa 3 da eta hamartarra, berriz, 0,5. Ezkerrekoa baino 10 aldiz handiagoa da. Ezkerreko zifren bider-kaduraren baliokidea da. Goian duenaren bikoitza da. Ezkerrekoa baino 10 aldiz handiagoa da. Goian duena baino 10 unitate txikiagoa da. Zutabe honetako hi-ru zenbakien batura 20 da. Ilara hone-tako hiru zenbakien batura 20 da. Zutabe hone-tako hiru zenbakien ba-tura 25,5 da.
Zatikiak: ordena IKERKETA
Zein bide jarraitu beharko da zatikiak ordenatze-ko, hau da, zatiki bat bestea baino handiagoa edo txikiagoa den jakiteko?
Batzuetan nahiko erraza da:
a) Zatiki bat propioa bada eta bestea inpropioa bada, zatiki propioa txikiagoa dela esango du-gu: 7/4 eta 8/9.
-8/9 zatikia 7/4 baino txikiagoa da, 8/9 zati-kia 1 baino txizati-kiagoa baita eta 7/4 zatizati-kia 1 baino handiagoa baita: 8/9 < 7/4.
b) Bi zatikik izendatzaile bera badute, zenbakitzaile txikiena duena izango da txikie-na: 5/8 eta 7/8.
-5/8 txikiagoa da 7/8 baino, 1/8 zatia gutxiagotan duelako: 5/8 < 7/8.
c) Bi zatikik zenbakitzaile bera badute, izendatzaile txikiena duena izango da handie-na: 4/5 eta 4/6.
-4/5 handiagoa da 4/6 baino, 1/5 handiagoa delako 1/6 baino eta bi kasuetan 4 zati hartu ditugulako: 4/5 >4/6.
Hauek nahiko kasu xumeak dira, baina zer egingo dugu bai izendatzailea eta bai zenbakitzailea desberdinak direnean?
Horixe da proposatu nahi dizugun ikerketa. Laguntzeko, gutxienez bi modu daudela esango dizugu:
Bata zuzenekoa, zatiketa eginez dagokion hamartarra kalkulatzean datzana. Eta bestea, zatiki baliokideen kalkuluan oinarritzen dena.
•Aztertu arretaz egingo duguna: Zein da handiagoa, 2/3 ala 3/4?
-2/3 zatikiaren baliokideak bilatuko di-tugu, zatiki hori anplifikatuz: 2/3; 4/6; 6/9; 8/12; 10/15…
-3/4 zatikiaren baliokideak aurkituko ditugu, zatikia anplifikatuz: 3/4; 6/8;
9/12; 12/16...
-Zatiki baliokide horien artean, bik izendatzaile bera dute.
-2/3 eta 3/4 konparatu ordez, 8/12 eta 9/12 konparatuko ditugu.
-8/12 zatikia 9/12 baino txikiagoa de-nez, 2/3 zatikia 3/4 zatikia baino txikia-goa izango dela ondoriozta dezakegu.
Saiatu bide horri berari jarraituz honako hau jakiten:
Zatikiak: ordena
ARI
KETAK
1/Kokatu zenbakien zuzenaren gainean honako zenbaki hauek eta, ondoren, adierazi baliokideak direnak: 3/4 1,25 6/8 5/4 0,25 2/4 1/4 1/2 2/8 0 1 2 0 1 2 E A C B F D 0 1 2 A C E F D B
2/Adierazi zein letra dagokion ondorengo zenbakietako bakoitzari:
0,4 1,2 4/4 8/5 6/10 14/10
1,25 6/8 5/5 5/10 6/4 3/12
3/Ordenatu zenbaki hauek, txikienetik handienera. Erabaki zein den bikote hauetako bakoitzean handiena:
1/2; 2/3 2/5; 4/4 3/4; 4/3 2/3; 5/6 3/4; 7/8 4/3; 9/6
Ea gai zaren 3 zatiki edo gehiago ordenatzeko, izendatzaile bereko zatiki balioki-deak aurkituz.
Zatikien ar
teko batuketak eta kenketak
ESPERIENTZ
IA
Zeregin hau egiteko, marrazkian ageri di-ren paperezko zerdi-renden antzekoak be-har dituzu. Horretarako:
-Marraztu orri batean beheko marraz-kian ikus dezakezunaren antzeko lau-kizuzena, baina utzi horrelaxe, ukitu gabe, zure lanerako oinarri gisa erabil-tzeko.
-Ondoren, egizu azpiko txantiloiaren ko-pia bat eta ebaki. Horrela, ebakitako paper-zerrendetan unitatearen 1/2, 1/3, 1/4, 1/6, 1/9 eta 1/12 balioak izango dituzu, unitatea hasierako zerrenda izango dela kontuan hartuta.
ZATIKIEN ARTEKO BATUKETAK ETA KENKETAK EGITEKO MATERIALA 1 1/2 1/3 1/4 1/6 1/9 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/4 1/4 1/4 1/3 1/3 1/2 1/2 1/3 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 10/12 1/2 + 1/3 5/6
Zatikien ar
teko batuketak eta kenketak
ES
PERIENTZIA
•Kalkulatu, aurreko orrialdeko materiala erabiliz zatikien arteko honako batuketa eta kenketa hauek:
1/6 1/2 1/4
?
1/2 + 1/4 = ...?
1/4 + 5/12 = ... 1/4 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12?
1/3 + 1/6 = ... 1/3 1/6?
1/2 – 1/3 = ... 1/2 1/3Zenbaki errektangeluarrak puntuen mul-tzo errektangeluar modura (ilaretan eta zutabeetan) adieraz daitezkeenak dira. Noski, ilara bat baino gehiago erabiliz. Adibidez, 12 zenbaki errektangeluarra da.
Zenbaki konposatuak eta zenbaki lehenak
ESPERIENTZ
IA
8 ere zenbaki errektangeluarra da.
Aldiz, 7 ez da zenbaki errektangeluarra, ezin baita modu errektangeluarrean puntuen multzo modura adierazi.
•Esan ondorengo zenbaki hauetatik zein diren errektangeluarrak eta zein ez. Marraztu, direnak, zenbaki errektangeluar modura:
16 11 14 13 19 20 25
i
Errektangeluarrak ez diren zenbakiak zenbaki lehenak dira. 5, 7 eta 13 zenbaki lehenak dira.
4, 9 eta 12 ez dira zenbaki lehenak.
IKERKETA
1/Idatzi lehenengo 30 zenbakietan aurki ditzakezun zenbaki lehen guztiak.
2/Batzuek diote 4tik gorako zenbakietan ez daudela elkarren segidako bi zenbaki le-hen. Egia ote da?
Zenbaki konposatuak eta zenbaki lehenak
IKER
KETA
1/Idatzi ondorengo zenbaki hauen des-konposizio faktoriala, zenbaki lehe-nak soilik erabiliz:
60 32 20 40
36 18 24 25
2/Biderkagai modura soilik 2 erabiliz zenbaki hauek lor daitezke:
2; 2 x 2 = 4; 2 x 2 x 2 = 8; 2 x 2 x 2 x 2 = 16...
-Idatzi biderkagai modura soilik 2 bakia erabiliz lor daitekeen beste zen-baki bat.
-Idatzi biderkagai modura soilik 3 zen-bakia erabiliz lor daitezkeen zenbaki batzuk.
-Idatzi biderkagai modura soilik 5 zen-bakia erabiliz lor daitezkeen zenbaki batzuk.
3/Idatzi biderkagai modura soilik 2 eta 3 zenbakiak erabiliz lor daitezkeen zenbaki batzuk. Adibidez:
6 6 = 2 x 3 edo 12 = 2 x 2 x 3...
1/ Lehena ez den zenbaki baten deskon-posizio faktoriala egiteko, modu bat baino gehiago daude:
30 = 10 x 3; 30 = 6 x 5
Dena den, biderkagaiak edo faktore-ak lehenfaktore-ak badira, soilik modu batera egingo da: 30 = 2 x 3 x 5.
Egia al da? Eman adibideak, zure eran-tzuna justifikatuz.
2/ Egia al da honako esaldi hau?
Zenbaki bikoiti guztien artetik soilik 2 zenbakia da lehena.
3/ 20tik beherako zenbakien artean zen-bat dira biderkagai modura soilik 2
i
Badakizu zenbaki bat faktoreetan edo biderkagaietan deskonposatzea beste zen-baki batzuen arteko biderketa modura idaztea dela.
20ren deskonposizio faktoriala hauxe da: 20 = 4 x 5.
Orain, zera ikasi behar duzu: zenbaki bat faktore lehenetan deskonposatzea fak-tore guztiak lehenak dituen biderkagaien biderketa modura idaztea da.
20ren deskonposizioa faktore lehenetan: 20 = 2 x 2 x 5. Biderkagaiak txikienetik handienera idatzi ohi dira.
Zein da biderkagai modura soilik 2, 3 eta 5 zenbakiak erabiliz lor
Kalkulua
1/Erabili goian azaldu dizkizugun triki-mailuak ondorengo eragiketa hauen emaitzak buruz kalkulatzeko:
24 x 5 46 x 5 18 x 25 36 x 25 14 x 25 82 x 5 2/Kalkulatu buruz: 8 x 100 0,8 x 100 80 : 100 8 x 200 0,8 x 200 80 : 200 0,6 x 100 0,6 x 200 0,6 x 300
3/Azaldu kasu bakoitzean zein prozesu egiten duzun eragiketen emaitzak bu-ruz kalkulatzeko: 86 + 94 35 + 69 115 + 56 215 – 35 324 – 46 134 – 51 8 x 12 0,6 x 100 22 x 5 900 : 25 180 : 5 400 : 25
i
Kalkuluak buruz egiteko gaitasun handiagoa izan dezazun, hemen azalduko diz-kizugu hainbat trikimailu: lehenagotik dakizkizunak batzuk, eta berriak beste ba-tzuk.
Saiatu horrelako eragiketak egin behar dituzunean erabiltzen:
-5 zenbakiaz biderkatzea bider 10 egin eta, ondoren, zati 2 egitearen parekoa da: 44 x 5 44 x 10 = 440 440 : 2 = 220
36 x 5 36 x 10 = 360 360 : 2 = 180
-Zati 5 egitea zati 10 egin eta, ondoren, bider 2 egitearen parekoa da: 460 : 5 460 : 10 = 46 46 x 2 = 92
38 : 5 38 : 10 = 3,8 3,8 x 2 = 7,6
-25 zenbakiaz biderkatzea bider 100 egin eta, ondoren, zati 4 egitea da: 8 x 25 8 x 100 = 800 800 : 4 = 200
12 x 25 12 x 100 = 1.200 1.200 : 4 = 300
-Zati 25 egitea zati 100 egin eta ondoren 4 zenbakiaz biderkatzearen parekoa da: 400 : 25 400 : 100 = 4 4 x 4 = 16
150 : 25 150 : 100 = 1,5 1,5 x 4 = 6
ARIKETAK
Kalkulua
ARI
KETAK
Ariketa hauek kalkuluak egiteko gaitasuna lantzen lagunduko dizute.
1/Kalkulatu buruz: 38 + 65 = ... 72 + 84 = ... 92 – 48 = ... 115 – 36 = ... 8 x 12 = ... 6 x 14 = ... 18 x 25 = ... 62 x 5 = ... 44 : 5 = ... 600 : 25 = ... 2/Kalkulatu buruz: 2,4 + 1,6 = ... 3 – 1, 2 = ... 4,6 + 3,5 = ... 8 – 4,5 = ... 0,6 x 100 = ... 1,02 x 100 = ... 46 : 10 = ... 84 : 100 = ... 1,4 x 4 =... 2,3 x 3= ... 3/Kalkulatu buruz. Adierazi emaitza
za-tiki modura:
1/2 + 1/4 = ... 1/3 + 1/3 = ...
1 – 1/4 = ... 1 – 1/2 = ...
1/2 – 1/4 = ... 2/5 + 1/5 = ...
2 – 1/2 = ... 3 – 1/4 = ...
4/Kalkulatu papera eta arkatza erabiliz (2 hamarrenekin):
(18,4 + 36,5) – (16,25 – 4,75) (3,16 + 2,85 + 1,55) – (6,23 + 1,36) 2,3 x 1,45 4,65 x 3,6 2,25 x 14 16,5 : 2,3
5/Kalkulatu kalkulagailuz eta memoria erabiliz. Biribildu emaitza, bi hama-rren erabiliz:
2,65 x 1,9 + 3,42 x 6,4 – 2,15 x 0,87 (6,5 + 4,23) : (9,2 – 3,36)
(6,4 – 0,33) x (8,2 – 2,39) (4,25 + 3,8) x (6,4 + 3,76)
6/Adierazi, kalkulu zehatzak egin gabe, ezkerreko balioa eskuinekoa baino txi-kiagoa (<) edo handiagoa (>) den:
13 x 10,25...130 15 x 0,9...15 34 x 20,5...600 32 x 31,4...900 800 : 22,3...40 90 : 10,9...9 63 : 19,8...3
7/Baldin eta 14 x 15 = 120 bada, kalku-latu: 14 x 1,5 = ... 1,4 x 15 = ... 0,14 x 15 = ... 1,4 x 1,5 = ... 210 : 14 = ... 210 : 1,4 = ... 210 : 1,5 = ...
Egunkarian irakurri dugunez, aparkale-kuetan ordu laurdeneko zati bakoitzeko ordainduko da, eta ez ordu osoen arabe-ra. Egunkariak dioenez, dirua aurrezteko modua ekarriko die erabiltzaileei horrek. Hona lehengo tarifa eta berria:
Lehengo tarifa: 1,20 € ordu edo zati ba-koitzeko.
Tarifa berria: 0,30 € ordu laurden edo zati bakoitzeko. Propor tzionaltasuna Prezioa eurotan (€) 1,20 € 30 c 2,40 € 3,60 € 4,80 € 6,0 € Denbora (min) 20 40 15
min min30 min45 ordu1 ordu2 ordu3 ordu4 ordu5 1 € 2 € 3 € 4 € 5 € 6 €
Ondorengo grafikoan, kasu bakoitzean ordaindu beharrekoa zein den ikus daiteke. Ikusiko duzunez, alde handia dago batetik bestera.
Propor
tzionaltasuna
P
RO
BLEMAK
•Osatu honako taula hau eta adierazi bakoitzean aurreztuko dena:
-Zein denbora tartetan aurreztu da gehien? -Noiz ez da ezer aurreztu?
-Proportzionala al da autoak apar-katuta egiten duen denboraren eta ordaindu beharrekoaren ar-teko erlazioa? Esan zergatik.
Ba al dakizu nola aplikatzen diren telefo-no-tarifak? Ikertu gaur egun dauden or-dainketa-moduak. Ia guztietan kontsu-mitutako denbora-tarteen arabera or-daintzen da.
Hona hemen zure ikerketarako funtsez-koak izan daitezkeen bi galdera:
-Proportzionala al da hizketan egin du-gun denboraren eta ordaindu beharre-ko beharre-kopuruaren artebeharre-ko erlazioa?
-Ideia ona izan daiteke grafiko karte-siar bat marraztea, biltzen dituzun da-tuak adierazteko. Aparkatuta egindako denbora 10 minutu 25 minutu 40 minutu 1 ordu Lehengo tarifaren arabera ordaindu beharrekoa Tarifa berriaren arabera ordaindu beharrekoa Aurreztutakoa 1h 45min 2 h 2h 30 min IKERKETA
Gogoan izan erlazio hori propor-tzionala izan dadin ordaindutako kopuruaren eta aparkatuta egin-dako denboraren arteko zatidurak konstantea izan behar duela.
Ehunekoa ESPERIENTZ
IA
Askotan ikusi ohi ditugu beherapenen berri ematen duten iragarkiak. Gehiene-tan, beherapen horiek iragartzeko ehune-koak erabiltzen dira.
Adibidez, gauza batean % 50eko behera-pena egingo dutela iragartzen dute, er-dia kobratu behar dutenean.
Zerbaiten % 50 eta erdia adierazpen ba-liokideak dira.
Gauza bera esan dezakegu % 25az edo laurdenaz ere. Edo % 10az eta hamarre-naz.
Donostiako biztan-leen % 50ek baino gehiagok sakelako telefonoa dute. % 25 arteko beherapenak produktu guztietan. 80 urtetik gorako pertsonen artetik soilik % 10 bizi dira
beren etxeetan.
Botoa eman zute-nen % 52k baiez-koa eman zuten erreferendumean. Igerilekuaren % 25 bakarrik dago beteta. Urtean pertsonen % 10ek harrapa-tzen dute gripea.
Ehunekoa
P
RO
BLEMAK
1/Egunkarietan irakurri dugunez, soilik pertsonen % 25ek dute kirola egiteko ohitura. 800 pertsonako talde batean zenbatek egingo dute kirola, horren arabera?
2/Bi herriren arteko distantzia 240 km-koa bada eta ibilbidearen % 50 auto-biaz egin badaiteke, ibilbide horreta-ko zenbat kilometro egin daitezke au-tobiaz?
3/350 hektareako zuhaizti baten % 10 erre da. Zenbat hektarea erre ditu suak?
Saltzen diren liburuen % 20 bidaia-liburuak izan ohi dira. Hori kon-tuan hartuta, horrelako zenbat buru salduko ziren, guztira 400 li-buru saldu badira?
1/Kalkulatu:
40ren % 50 120ren % 25 120ren % 10 20ren % 20 350en % 10 70en % 20 320ren % 25 400en % 50
2/Kokatu zenbakien zuzenean honako balio hauek: 0,4 % 30 6/10 % 70 0,8 9/10 0 0,5 1 ARI KETAK % 50 = 1/2 % 25 = 1/4 % 10 = 1/10 % 20 = 1/5
i
Unitate-aldaketa
Matematikan, nahiko maiz egin behar izaten den gauza da neurri bat idazteko erabili den unitatea aldatzea.
Orain arte horretarako erabili dugun metodoa neurria unitateen taulan idaztea eta, ondoren, unitate berria erabiliz berriro idaztea izan da.
Esate baterako, 3,5 m cm-tan adierazteko, prozesu horixe egingo dugu: -Unitateen taulan idatziko dugu: 3,5 m.
-Ondoren, berriro idatziko da, baina unitate berria hautatuz: 350 cm. 3,5 m = 350 cm
Bada zeregin hau bera egiteko beste modu zuzenago bat, honako ideia honetan oinarritzen dena: m-tan adierazitakoa cm-tan adieraztea, neurria 100 aldiz txi-kiagoa den unitate baten bidez adieraztea. Horregatik, konpentsazio modura, zenbakia 100 bider handiagoa izango da.
3,5 m = ...cm 3,5 m x 100 = 350 cm 3,5 m = 350 cm
Ikus dezagun nola aplika daitekeen ideia hori beste kasu batzuetan: 85 cl litrotan adierazteko, zati 100 egin beharko da:
85 cl : 100 = 0,85 l 85 cl = 0,85 l
0,6 kg gramotan adierazteko, 1.000 zenbakiaz biderkatu beharko da: 0,6 kg x 1.000 = 600 g 0,6 kg = 600 g
45 m hektometrotan adierazteko, 100 zenbakiaz zatitu beharko da: 45 m : 100 = 0,45 hm 45 m = 0,45 hm ... m 3 dm 5 cm 0 ... 0 3 5 0 0
1/Osatu, kasu bakoitzean falta dena idatziz:
-Zentimetroa baino 100 aldiz handia-goa da metroa.
-Metroa baino ...aldiz txikiagoa da
de-zimetroa.
-Zentilitroa baino ...aldiz ...da litroa.
-Gramoa baino ... aldiz ... da
kilogra-moa.
-Metroa baino ... aldiz ...da
hektome-troa.
-Metroa baino ... aldiz ... da
zentime-troa.
-Litroa baino ...aldiz ...da zentilitroa.
2/Osatu, kasu bakoitzean falta dena idatziz:
-m-tik cm-ra pasatzeko 100 zenba-kiaz biderkatu behar da.
-cl-tik l-ra ... -km-tik m-ra ... -dm-tik m-ra ... -cm-tik m-ra ... -hm-tik m-ra ... -dm-tik cm-ra ... ARIKETAK
Unitate-aldaketa
ARI
KETAK
•Neurri baliokideak zuzen idazten badituzu, mezu idatzia irakurri ahal izango duzu.
H
30 lT
8 lD
0,008 lA
0,3 lT
0,025 lN
3 lI
0,03 lE
25 lU
0,25 lZ
0,08 lB
2,5 lL
0,8 lI
....A
....K
....D
....T
.... .... .... ....A
B E
.... .... ....A
....A
3 300 cl = ...l 4 30 cl = ...l 2 300 dl = ...l 5 30 ml = ...l 6 25 cl = ... l 1 250 cl = ... l 7 250 dl = ... l 8 25 ml = ... l 9 80 cl = ...l 10 800 cl = ...l 11 0,8 dl = ...l 12 8 ml = ...lAngeluak: erlazioak ESPERIENTZ
IA
Marraztu pare bat zuzen paralelo eta beste zuzen bat, biak ebakitzen dituena, eskuinean duzun ereduari jarraituz. Marrazki horretan 8 angelu egongo di-ra. Azter ditzagun beren balioak:
-A, B, C eta D letren bidez adieraziko ditugu goiko angeluak eta E, F, G eta H letren bidez beheko aldekoak. -Neurtu angelu-garraiagailuaren bidez
angelu horien balioak eta osatu hona-ko taula hau: A B C D E F G H A B C D F E G H Angelua A B C D E F G H Balioa gradutan
-Margotu gorriz B angeluaren erpinez aurkako angelua eta adierazi bere izena. -Margotu beltzez H angeluaren
albo-an-gelua eta adierazi bere izena.
-Margotu berdez C angeluaren txandaka-ko barne-angelua eta adierazi bere izena.
-Margotu, kolore bera erabiliz, berdinak diren angelu guztiak.
i
-A eta C angeluak erpinez aurkako angeluak dira eta balio bera dute.
-A eta B angeluak albo-angeluak dira, biak alde baten gainean daudelako eta osagarriak direlako. Bien artean 180º dituzte.
Angeluak: erlazioak
P
RO
BLEMAK
1/Triangelu zuzen batean zuzena ez den angelu batek 30º neurtzen ditu. Zen-bat neurtuko du besteak?
2/Kalkulatu paralelogramo honetako bes-te hiru angeluen balioa. Adierazi zein propietatez baliatu zaren hori jakiteko.
3/Zein balio du triangelu aldekide bate-ko kanpo eta barne-angeluetabate-ko ba-koitzak?
4/Triangelu isoszele batean desberdina den angeluak 40º neurtzen ditu. Zen-bat neurtzen dute bi angelu berdinek?
5/Zenbat neurtzen dute zuzena eta isos-zelea den triangelu bateko zuzenak ez diren angeluek?
Triangelu batean barneko angeluen batura 180º da eta lauki baten barne-angelue-na,berriz, 360º.
Bada lauki bateko barneko angeluen balioa kalkulatzeko beste modu bat. Hauxe da:
-Diagonalak marraztu.
-Osatzen diren 4 triangeluetako angeluen balioak batu.
-Zentroko 4 angeluen balioa kendu, 4ren artean 360º izango baitituzte.
-Zein balio lortu duzu? Balio hori lortzea
2 1 3 4 30º ? b a a c b c d a + b + c = 180º a + b + c + d = 360º 40º ? ? 90º ? ? ? ? 120º IKER KETA
Jarduera hau egiteko hauexek behar di-tuzu: kortxo zuri zati bat, pare bat ispilu, kola pixka bat, kuterra eta erregela eta eskuaira.
-Hartu orri zuri bat eta marraztu angelu zuzen bat. Ezarri orria kortxo zatiaren gainean eta markatu angelua kortxoa-ren gainean marka hori argi eta garbi nabarmendu arte.
-Hartu kuterra eta, kontu handiz, egin bi ebakidura, angelu zuzeneko zuzenei ja-rraituz.
-Ezarri ispiluak zulo horietan eta itsatsi kola pixka baten laguntzaz.
Simetria
IKERKETA
•Hartu orain orri bat eta marraztu lerro edo irudi bat, ezarri ispiluaren aurrean eta ea zer ikusten duzun. Saiatu beste orri batean marrazten. Hona hemen zenbait kasu erraz, hasteko, baina zerorrek nahi duzuna egin dezakezu.
Simetria
IKER
KETA
•Hona hemen nahastuta zenbait marrazki ispiluen aurrean jarri aurretik eta ispiluen aurrean kokatzen direnean ikusten dena marraztuta. Lotu bakoitza dagokionarekin, bikoteak osatuz. F E D A B C ... ... ... ...
Solidoen garapena ESPERIENTZ
IA
Hona hemen kubo bat perspektiban.
Adierazi zenbat aurpegi, ertz eta erpin dituen.
Hauxe da gorputz horren garapena, hau da, bere aurpegien marrazki laua.
Zenbatu aurpegiak, ertzak eta erpinak. Ertz eta erpin gehiago daude. Zergatik?
•Ea prisma eta piramide hauen garapena margotzeko gai zaren, baina ertz bera duten bi aurpegik ez dutela kolore bera izan behar kontuan hartuta. Geuk esango dizugu kasu bakoitzean erabili beharko dituzun koloreen kopurua. Bat ezinezkoa da. Zein?
Hiru kolore
Hiru kolore
Hiru kolore Hiru kolore
Solidoen garapena ES
PERIENTZIA
•Aztertu solidoen gainean marraztu diren bideak. Marraztu zerorrek bide horiek be-ren garapenetan:
Espazioa imajinatzea zaila egiten bazaizu, egin plastilinazko kubotxo batzuk eta A B A B A B A A B A B A B A B B
Propor
tzionaltasuna
SINTESIA
i
Matematikaren ikaskuntzan, magnitudeen arteko erlazioen atalak izugarrizko ga-rrantzia du. Erlazio mota horien artean, proportzionaltasun-erlazioa deritzona garrantzi handikoa da, egoera askotan gertatzen den erlazio mota baita.
Prezioak, iturri baten emaria, soldata… erlazio mota horren adibide argiak dira. Prezioak trukean ordaintzen den diruaren eta erositako kopuruaren arteko erla-zioa adierazten du.
Iturri baten emariak tarte batean iturritik irten den ur bolumenaren eta denbora-tarte horren arteko erlazioa adierazten du.
Soldatak lan baten truke jaso beharreko diru-kopuruaren eta lanean egin den denboraren arteko erlazioa adierazten du.
Har dezagun azken kasu hori eta demagun pertsona bati orduko 15 € ordaintzen dizkiotela. Horrek esan nahi du lan egiten duen ordu bakoitzeko kopuru hori ja-soko duela.
Ondorengo taula honetan lanean aritutako denbora eta kasu bakoitzean jaso be-harreko diru-kopurua erlazionatzen dituzten balioak ageri dira.
Balio-pare horiek diagrama kartesiar batean adierazi eta puntuak batzen ba-ditugu, koordenatu-jatorritik pasatuko den lerro zuzen bat lortuko dugu. Erlazionatutako bikoteko balioak elkarrekin zatitzen baditugu, zatidura edo arrazoi konstante bat lortuko dugu. Balio horri proportzionaltasun-konstantea deritzo.
Balio konstante hori (15) izango da proportzionaltasun-konstantea. Bi propietate horien bidez, erlazio proportzionalak eta proportziona-lak ez direnak bereizten ikasi be-har dugu.
Lanean aritutako orduak 1
15 2 30 3 45 4 60 5 75 6 90 7 105 Jasoko den diru-kopurua
25 50 75 100 1 2 3 4 5 6 Irabazitako dirua €-tan Lanean egindako orduak 15; 30 2 = 15; 15 1 = 15; 45 3 = 15 60 4 =
•Aztertu arretaz kontzeptuen mapa hau eta aurkitu testuan hemen laburtuta dagoen informazioa. Propor tzionaltasuna SIN TESIA EGOERAK EDO FENOMENOAK MAGNITUDEEN ARTEKO ERLAZIOA Zer adierazten dute?
ezaugarriak Soldata Emaria Prezioa Abiadura Dentsitatea PROPORTZIONAL-TASUN-ERLAZIOA BESTE BATZUK Erlazionatutako bikoteen zatidura edo
arrazoia konstantea da. Balio horri proportzionaltasun--konstantea deritzo. Erlazionatutako
bikoteak diagrama kartesiar batean adieraziz gero, zuzen
bat osatuko dute.
-Azaldu nola jakin daitekeen bi magnituderen arteko erlazioa proportzionala den edo ez.
-Eman proportzionalki erlazionatutako magnitudeen adibideak. -Definitu proportzionaltasun-konstantearen kontzeptua.
PROBLEMAK
1/ Aukeratu normalean jendeak ikus-ten dituen telebistako 5 programa eta antolatu inkesta bat zure gelan, pro-grama horietako bakoitza zenbat la-gunek ikusten duen jakiteko. Egin ba-lio horiek bilduko dituen taula bat. Ondoren, marraztu egoera hori adie-razten duen diagrama kartesiar bat. Zein da lagun gehienek ikusten duten programa?
2/ Bi ur-deposituk bi iturri desberdi-netatik hartzen dute ura. Ordubete-an, iturri batek deposituaren 2/5 bete du urez eta besteak, berriz, deposi-tuaren 3/7. Bi iturrietatik zeinek isur-tzen du ur gehiago minutuko?
3/ Berotegi batean, azaleraren erdia tomateak landatzeko erabili da eta heren bat, berriz, urazak landatzeko. Gainerakoa beste labore batzuetara-ko utzi da. Beste labore batzuetarabatzuetara-ko berotegiaren zein zati erabiliko den jakin nahi dugu.
4/ Izozmendi batean, bere altueraren 1/12 ikusten da soilik ur gainean. Adierazi zatiki baten bidez, altuera osoa aintzat hartuta urpean dagoen zatia adierazten duen balioa. Izoz-mendi horretatik ikusten den zatiaren altuera 6,5 metrokoa bada, kalkulatu izozmendi horren
altuera osoa.
5/ 5 l-ko flasko baten etiketan hauxe irakur daiteke: 80ko alkohola. Datu horrek 100etik 80 zati alkoholari da-gozkiola eta 20, berriz, urari adieraz-ten du. Kalkulatu flasko horretan da-goen ur eta alkohol-kopurua litrotan. 6/ Ikastetxe batean 6. mailan 4 gela daude. Horietako bakoitzeko ikasle-kopurua hauxe da: 6A: 24, 6B: 27, 6C: 25 eta 6D: 28. Guztiek batera txango bat egin nahi dute. Autobus bakoitzean 45 sartzen badira eta au-tobus bakoitza hartzea 200 € kosta-tzen bada, kalkulatu ikasle bakoitzak zenbat ordaindu beharko duen. 7/ Hona hemen loradenda bateko tarifak:
Gainera, lore-sorta egiteagatik 1,5 € kobratzen dute.
Demagun 15 € dituzula gastatzeko. Pentsatu nolako sorta eska dezake-zun eta zenbat euro geldituko zaizki-zun soberan.
8/ Teleaulki bateko aulki bakoitzean bi pertsona sartzen dira. Minutu ba-koitzeko 12 aulki irteten badira, zen-bat denbora beharko du teleaulki ho-rrek 600 pertsona alde batetik beste-ra ebeste-ramateko?
Lore mota Kopurua Prezioa Arrosa 6 5,50 € Krabelin gorria 12 3,25 € Krabelin zuria 12 3,85 € Idi-bihotza, edozein koloretakoa 6 1,50 €
9/ Telefonoa denbora-tarte bakoitzeko ordaintzen bada eta denbora-tarte ba-koitzean 15 segundoz hitz egin bade-zakegu, zenbat ordaindu beharko da 2 minutu eta 10 segundoz hitz egite-ko, denbora-tarte bakoitzaren prezioa 0,25 € bada? Zenbat denbora egin de-zakegu hizketan 2,5 € baditugu? 10/ 3.500 pertsona sartzen diren an-tzoki batean, besaulkien % 10 hutsik daude. Kalkulatu zenbat sarrera sal-du diren.
11/ 3 errotuladoreen kaxa erosi ditu-gu, bakoitza 4,65 € ordainduta, eta % 10eko deskontua egin digute daintzera joan garenean. Zenbat or-daindu beharko dugu?
12/ Denda baten ordutegia hauxe da: astelehenetik ostiralera, goizez, 8:30etik 13etara eta arratsaldez 15:30etik 19:30era. Kalkulatu denda horrek astean irekita egiten duen denbora.
13/ 15 cm x 25 cm-ko koadroak egin nahi ditugu. 1 m-ko 3 listoi ditugu, eta horietako bakoitzak 3,5 € balio ditu. Zenbat koadro egin ditzakegu eta zenbat kostatuko zaigu bakoitza? 14/ Paralelogramo batean angelu ba-tek 60º neurtzen dituela jakinik, kal-kulatu beste hiru angeluen balioak. Marrazki bat egiteak lagundu egingo dizu.
15/ Kalkulatu ondorengo irudi hone-tako angelu guztien balioak.
16/ Kalkulatu ondorengo irudi hone-tako angelu guztien balioak. Trapezio isoszele bat da.
45º
60º
1/ Marraztu kuboaren gainean ga-rapenean marraztuta ageri den ibil-bidea:
2/ Kontratatuta daukagun telefo-no-tarifaren arabera, 20 segundo-ko tarte basegundo-koitzesegundo-ko 0,25 segundo-kobratzen digute. Dei batean 4 €-ko gastua gainditzen badugu, % 10eko des-kontua egiten digute. Kalkulatu zenbat ordaindu beharko dugun 5 minutu eta erdiko dei baten truke.
3/ Hiru garapen hauetatik bat ku-boari dagokio. Zein da?
3
MULTIPLOAK
ETA
Horrelako problemetan, garrantzi handi-koa da kontzentratuta lan egitea eta gauzak ondo pentsatzea.
Ondorengo irudietako koadroetako ba-koitzak zenbaki bat du barruan. Zenbaki horrek adierazten du inguruan zenbat lauki zuzen margutu dituen, betiere ain-tzat hartuta zenbakia dagoen laukizuzen hori ere margotuta badago zenbatu egin-go dela. Behatu eskuineko irudiari.
Dedukzioa / Indukzioa PROBLEMA K
2
2
1
2
2
3
3
3
4
4
4
5
5
4
3
4
5
6
4
3
3
4
4
2
1
1/Idatzi laukizuzen bakoitzean falta den zenbakia:
2/Margotu koadroak, ematen diren zen-bakien arabera:
4
4
2
4
5
3
2
3
2
2
3
2
3
4
2
2
2
0
Dedukzioa / Indukzioa
ARI
KETAK
3/Marraztu segida bakoitzeko azkeneko koadroa. Ondoren, azaldu labur-labur segida bakoitzaren araua:
Zenbaki-sistema erromatarra
i
Badakizu erromatarrek letrak erabiltzen zituztela kopuruak adierazteko:
I - 1 V- 5 X- 10 L- 50 C- 100 D- 500 M- 1.000 Handienetik txikienera doazenean, balio horiek batu egiten dira:
DCCXXV 500 + 100 + 100 + 10 + 10 + 5 = 725
MCCLXII 1.000 + 100 + 100 + 50 + 10 + 1 + 1 = 1.262
Batzuetan, ordea, ordena aldatu egiten da; halakoetan, eskuineko balioari ezke-rrekoaren balioa kendu behar zaio:
XL 50 – 10 = 40
DXC 500 + (100 – 10) = 590
MCDXIX 1.000 + (500 – 100) + 10 + (10 – 1) = 1.419 Gaur egun, batik bat datak idazteko erabiltzen da.
1/Data hauek historiarako garrantzi handia izan duten urteak adierazten dituzte. Or-denatu eta adierazi beheko ardatzean:
ARIKETAK
Gizakia lehen aldiz Ilargira iritsi:
MCMLXIX MCMLXIX Amerika aurkitu: MCDXCII MCDXCII Gernikaren bonbardaketa: MCMXXXVII MCMXXXVII Frantziako Iraultza: MDCCLXXXIX MDCCLXXXIX 1000 1500 2000
2/Idatzi ondorengo data hauek, zenba-ki-sistema erromatarra erabiliz:
645 1517 475 2002 820 1657 1808 1245 1657
3/Idatzi honako data hauek, zenbaki-sistema arabiarra erabiliz:
MDCIX MCDXXXII DXCVII MCCLXI DCCXCIX MCMXLII
Zenbaki-sistema hamar
tarra
ARI
KETAK
1/Ordenatu zenbaki hauek, handienetik txikienera:
48 ehuneko ... 4 milako ... 2,6 x 1.000 ... 115 hamar reko ... 120 hamar reko ... 10.890 ... 90 ehuneko ... 750 hamar reko ... 2 milako ... 29 x 100 ... 3.200 ... 6.500 ...
2/Idatzi kasu bakoitzean adierazten den zenbakia baino hamar bider handia-goa:
Hirurehun eta berrogeita hamabi Laurehun eta hogeita lau
Bi mila eta bi
Lau mila seiehun eta zortzi
3/Zein unitate da?
-Ehunekoa baino hamar bider handia-goa.
-Ehunekoa baino ehun bider handia-goa.
-Milakoa baino ehun bider txikiagoa. -Milakoa baino hamar bider txikiagoa. -Hamarrekoa baino mila bider
handia-goa.
-Hamar milakoa baino mila bider txi-kiagoa.
4/Behatu eta osatu:
12.513 = 10.000 + 2.000 + 500 + 10 + 3 25.346 = ...
1.089 = ...
123.678 =
1/ Honako baldintza hauek betetzen di-tuzten zenbaki guztien bila gabiltza: -Hiru zifra desberdin dituzte.
-400 baino txikiagoak dira. -Bikoitiak dira.
-Hamarrekoen zifra da txikiena. -Ehunekoena da handiena. Zenbakia = ...
-Lau zifra dituzte. -Kapikuak dira.
-7.000 baino handiagoak eta 9.000 baino txikiagoak dira.
-Hamarrekoen zifra batekoena baino handiagoa da.
Zenbakia = ...
P
RO
Dakizunez, zatiki bat baino gehiago dau-de unitatearen zati bera adierazten du-tenak. Adibidez:
Zatikien anplifikazioa eta sinplifikazioa
ESPERIENTZ
IA
•Idatzi 4 modutara unitatearen herena:
Ondorengo irudi hauek guztiek unitatearen zati bera adierazten duten zatikiak dira; hau da, unitatearen erdia adierazten dute:
1 2 2 4 3 6 4 8 6 12 1 2 = 2 4 = 3 6 1 3 1 4 ... ... ...
Zatikien anplifikazioa eta sinplifikazioa
i
1/2, 2/4, 3/6, 4/8, 5/10 zatikiak erdia adierazteko erabiltzen diren adierazpideak dira, eta, horregatik, zatiki baliokideak direla esango dugu.
Zatiki bat beste zatiki baliokide batez adierazten dugunean eta berau zenbaki handiagoek osatzen badute, zatiki horren anplifikazioa egingo dugu.
Adibidez, 1/2 zatikitik 2/4 zatikia ateratzen badugu, zatiki hori anplifikatu egin dugula esango dugu. Zatiki bat anplifikatzeko, zenbakitzailea eta izendatzailea kopuru beraz biderkatu behar dira.
-2/4 zatikitik 1/2 zatikia ateratzen badugu, zatiki horren sinplifikazioa egin du-gu. Zatiki bat sinplifikatzeko, zenbakitzailea eta izendatzailea kopuru beraz zati-tu behar dira.
-Beti egin daiteke zatiki baten anplifikazioa; baina zatiki bat sinplifikatu ahal iza-teko, aukeratzen den zenbakiak zenbakitzailearen eta izendatzailearen zatitzaile izan behar du.
1 2 ; 1 x 2 = 2 2 x 2 = 4; 2 4 ; 1 2 2 4 = 1 2 ; 1 x 3 = 3 2 x 3 = 6; 3 6 ; 1 2 3 6 = 2 4 ; 2 : 2 = 1 4 : 2 = 2 ; 2 4 ; 2 4 1 2 = 3 6 ; 3 : 3 = 1 6 : 3 = 2 ; 1 2 ; 3 6 1 2 = 3 4 ; 3 x 3 = 9 4 x 3 = 12 ; 3 4 9 12 = Edozein zenbaki erabiliz anplifika daiteke
8 10; 8 : 2 = 4 10 : 2 = 5 ; 4 5 ; 8 10 4 5 = 8 10; 8 : 4 = 2 10 : 4 = ? Ezinezkoa da beti sinplifikatzea
1/Anplifikatu zatiki bikote hauek, bietan izendatzaile bera izatea lortu arte:
1/2 eta 1/3 1/4 eta 2/3 2/5 eta 2/3 1/4 eta 1/5 3/2 eta 2/3 5/4 eta 5/6
2/Sinplifikatu zatiki hauek, kasu bakoi-tzean adierazten den zenbakia erabiliz:
6/10 (2) 8/20 (4) 3/6 (3) 4/12 (4) 10/25 (5) 8/32 (8)
•Ondorengo zenbakietako batzuk sinplifi-ka daitezke, baina beste batzuk ezin dira sinplifikatu. Sinplifika daitezkeenak zein diren eta zein ezin diren sinplifikatu esan behar diguzu: 6/8 5/7 8/14 3/5 6/9 7/15 4/16 5/13 9/36 IKER KETA ARIKETAK
i
Sinplifikatu ezin diren zatikiei labur-tezinak edo sinplifikaezinak deritze. 1/2, 3/5, 4/7 eta 9/5 zatiki
