Geometria I Aula 13.1

(1)

Curso Turno Disciplina Carga Horária

Licenciatura Plena em Matemática

Noturno Geometria I 90h

Aula Período Data Planejamento

13.1 2.0 15/12/2006 – 6ª. feira Andréa

Tempo Estratégia Descrição (Arte)

18:10 / 18:15 5’ Vh Abertura 18:15 / 18:50 35’ P1 – Vítor

Unidade V: Áreas de superfície

Tema 29: Relações métricas na circunferência Objetivo: Identificar e demonstrar as relações.

(2) Relações métricas

Duas cordas

Se duas cordas de uma circunferência se interceptam em um ponto P então o produto das medidas das duas partes de uma corda é igual ao produto das medidas das duas partes da outra corda. (AP).(PB) = (CP).(PD) (3) Duas cordas Demonstração Hipótese: Tese:

AP

.

PB

=

DP

.

PC

(4) Duas cordas Demonstração

Os triângulos APD e CPB são semelhantes (A.A.)

PC

DP

PB

AP

PB

PC

DP

AP

.

=

⇒

=

(5) Aplicação

(2)

(6) Solução

x

.(

1 )

(

4

1 ).

3 +

=

−

0 4 0 3 3 4 4 3 3 2 2 2 2 2 = − ⇒ = − − − − = + x x x x x x x x x x

0

0 )

4 (

x

−

=

⇒

x

=

x

ou

x

=

4 (

)

19

1

4 .

5

1

5

1

4 =

⇒

−

=

−

=

⇒

+

−

=

CD

x

CD

x

CD

(7) Relações métricas Duas secantes

Quando duas secantes se interceptam externamente a uma circunferência, o produto da medida da secante inteira pela medida de sua parte externa é constante.

(PA).(PB)=(PC).(PD) (8) Duas secantes Demonstração Hipótese: Tese:

PA

.

PB

=

PC

.

PD

(9) Duas secantes Demonstração

(3)

PD

PC

PB

PA

PB

PC

PD

PA

BPC

APD

A A

.

~

. .

=

⇒

=

⇒

Δ

(10) Aplicação Na figura, tem-se:

PA

=

2 AB

,

PO

=

17

cm e

OC

=

5

cm. Determine o valor de

AB

. (11) Solução

33

2

11 .

3 .

2

12 .

11

12 .

22 .

2

2 2 2

=

⇒

=

⇒

=

x

(12) Relações métricas Secante e tangente

O quadrado da medida do segmento tangente é igual ao produto da medida do segmento secante inteiro pela medida de sua parte externa.

( )

AP

2

=

PB

.

PC

(13) Secante e tangente Demonstração

( )

AP

PB

PC

PB

AP

PC

PB

AP

APC

ABP

.

~

2

=

⇒

=

⇒

Δ

(4)

(14) Aplicação

Na figura

AC

=

CD

é tangente à circunferência. Calcule

AC

:

(15) Solução

( )

3

2

=

2 x

.

x

⇒

2 x

2

=

9 .

2 ⇒

x

2

=

9 ⇒

x

=

3

18:50 / 19:15 25’ P1/DL Vítor (16) Dinâmica Local

1. Por um ponto P traçam-se uma tangente e uma secante a uma circunferência. Medindo o segmento da tangente 8 cm e o da secante 16 cm, quanto medirá a parte exterior da secante? (17) Dinâmica Local

2.Por um ponto P distante 18 cm de uma circunferência, traça-se uma traça-secante que determina na circunferência uma corda AB de medida 10 cm. Calcule o comprimento da tangente a essa circunferência traçada do ponto P, sabendo que AB passa pelo centro da circunferência. 19:15 / 19:20 5’ Retorno DL (18) Solução 1

4

16

64 .

16

8

2

=

⇒

=

⇒

=

x

cm (19) Solução 2

14

6

2 .

3 .

7 .

2

18 .

28

2 2 2 2

=

⇒

=

⇒

=

PT

(5)

Licenciatura em Matemática

Geometria I

Aula 13.2

19:20 / 19:55 35’

P2 – Clício

Unidade V: Relações métricas

Tema 30: Relações métricas na circunferência

Objetivo: Estudar os principais casos de relações métricas na

circunferência e suas aplicações no cotidiano. (2) Relações métricas Definição A B P2 D C P1 (3) Relações métricas 1º caso A D C B P PA. PB = PC. PD (4) 1º caso Demonstração A D C B P P é comum ou o. p. v A = C =

2 BD

ΔPAD ∼ΔPCB ⇒ PAPB PCPD PB PD PC PA . . = ⇒ = (5) Aplicação

Determine o valor de x na figura.

A D C B 4 P 3 2 x

(6)

(6) Solução A D C B 4 P 3 2 x 2.x = 3.4 2x = 12 x = 6 (7) Aplicação

Determine o valor de x na figura abaixo.

C A B O 3 8 4 x D (8) Solução C A B O 3 8 4 x x - 4 (x – 4).(x + 4) = 3.8 x2 – 42 = 24 x2 – 16 = 24 x2 = 40 x = 2 10 (10) Relações métricas 2º caso . D C A B P PA. PB = PC. PD (11) 2º caso Demonstração D C A B P

(7)

P é comum ou o. p. v A = C = BD/2 ΔPAD ∼ΔPCB ⇒ PAPB PCPD PB PD PC PA . . = ⇒ = (12) Aplicação

Determine o valor de x na figura

A D C B 5 4 P 3 x (13) Solução D C A B P 4 5 3 x 4.(4 + 5) = 3.(3 + x) 4.9 = 9 + 3x 36 – 9 = 3x 3x = 27 x = 9 (14) Aplicação

Na figura ABC representa o trecho de uma estrada que cruza o pátio circular de centro O e raio r. Se

AC = 2r = AO, determine BC. C B A O (15) Solução C A B O D E AO = AC = 2r AB. AC = AD. AE

(AC – BC). AC = (AE – DE).(AO + OE) (2r – BC).2r = (3r – 2r).(2r + r) (2r – BC).2r = r. 3r 2r – BC =

2 3r

BC =

2 r

(16) Relações métricas 3º caso

(8)

A P B T PT2 = PA. PB (17) 3ºcaso Demonstração A P B T P é comum A = T = TB/2 ΔPAT ∼ΔPTB ⇒ _PA_PB _PT2 PB PT PT PA = ⇒ = . (18) Aplicação

Determine o valor de x na figura.

A P B 144 25 x T (19) Solução A P B T x 25 144 x2 = 25.(25 + 144) x2 = 25. 169 x = 5. 13 x = 65 (20) Aplicação

Determine o perímetro do triângulo AMN, sabendo- se que AB = 10 cm. M B A E N T (21) Solução

(9)

M B A E N T AB = AE = 10 BM = x ⇒ AM = AB – BM ⇒ AM = 10 – x EN = y ⇒ AN = AE – EN ⇒ AN = 10 – y BM = MT = x e EN = NT = y P = AM + AN + MN = 10 – x + 10 – y + x + y = 20 cm 19:55 / 20:20 25’ P2 /DL Clício (22) Dinâmica Local

A circunferência está inscrita no triângulo ABC. Determine o valor de x, sabendo- se que AB = 8, AC = 9 e BC = 7.

A B x C 20:20 / 20:25 5’ Retorno DL (23) Solução x C B A x 8 - x 8 - x 7 - x 7 - x AC = 8 – x + 7 – x 9 = 15 – 2x 2x = 6 x = 3 20:25 / 20:45 20’ Intervalo

(10)

Licenciatura em Matemática Planejamento:

Andréa, Antônio

Geometria I

Aula 13.3

20:45 / 21:20 35’

P3 – Iêda

Unidade V: Áreas da superfície

Tema 31: Bissetriz, mediatriz e ângulos internos do triângulo Objetivo: Usar material diversificado para fixar os conteúdos

matemáticos. (2) Bissetriz de um ângulo Material necessário • Régua • Lápis • Compasso • Tesoura • Papel ofício (3) Procedimentos

Animação: Usando o transferidor, trace em uma folha de

papel oficio um ângulo de 70o.

Com a ponta-seca do compasso em O, traça-se um arco determinando M e N.

Com a ponta-seca do compasso em M e depois em N, traça-se com a mesma abertura do compasso os arcos que traça-se cortam em D.

Traça-se a semi – reta OD . A semi-reta

OD é a bissetriz do ângulo AÔB.

A semi-reta OD é a bissetriz do ângulo AÔB. (3) Mediatriz de um segmento

(11)

Procedimentos Passo a passo: 1º Segmento de reta AB

2º Com a ponta-seca do compasso em A e a abertura do

compasso maior que a metade da medida do segmento AB, traçar dois arcos: um abaixo e outro acima de AB. Em

seguida Com a ponta-seca do compasso em B e a mesma abertura do compasso, traçar dois arcos que cortam os primeiros em C e em D.

3º Trace a reta CD, que cruza AB, no ponto M.

(4) Soma dos ângulos internos

Procedimentos Passo a passo:

1º Traçar um triangulo qualquer.

(12)

3º Usando uma tesoura, separe o triângulo em três partes, de

forma que cada parte contenha um dos ângulos do triângulo.

4º Junte os ângulos do triângulo, de forma que a soma dos ângulos a + b + c seja 180°.

A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°

(5) Aplicação

Mostre que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°. 21:20 / 21:45 25’ P3 /DL Iêda (7) Dinâmica Local

1) Com a ajuda de um transferidor, trace um ângulo de 120º. Usando o procedimento do laboratório A, calcule a bissetriz desse ângulo.

2) Usando uma outra medida de segmento, Trace a bissetriz usando o procedimento do laboratório B

3) Adote um procedimento semelhante ao que fizemos no caso dos triângulos e mostre que as medidas dos ângulos internos de um quadrilátero a, b, c e d , mede 360º.

21:45 / 21:50 5’ Retorno DL 21:50 / 22:00 10’ Tira Dúvidas