DESENVOLVIMENTO DO MÉTODO SONAR PARA GERENCIAMENTO DA INCERTEZA EM PLMO

DESENVOLVIMENTO DO MÉTODO SONAR PARA GERENCIAMENTO

DA INCERTEZA EM PLMO

Solange Maria Fortuna Lucas Faculdades IBMEC/RJ, INESC – Coimbra e IBGE – Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística

slucas@ibmecrj.br

Carlos Henggeler Antunes

Depto. de Eng. Electrotécnica e de Computadores, Universidade de Coimbra,

e INESC - Coimbra.

cantunes@inescc.pt

João Clímaco

Faculdade de Economia, Universidade de Coimbra,

e INESC - Coimbra.

jclimaco@inescc.pt

Resumo:

Neste trabalho, desenvolvemos um método para gerenciamento da incerteza em problemas de Programação Linear Multiobjetivo (PLMO) que denominamos Método SONAR. Inicialmente, introduzimos o modelo geral de PLMO. A seguir, apresentamos as seguintes técnicas de gerenciamento da incerteza em processos de decisão baseados em métodos matemáticos: programação estocástica, teoria dos conjuntos difusos (“fuzzy sets”), programação intervalar e análise de sensibilidade. Ainda nesta parte, descrevemos o método desenvolvido por Urli e Nadeau (1992) que será utilizado na seção seguinte para comparar os resultados com o Método SONAR. Na quarta seção, apresentamos o desenvolvimento do Método SONAR, os resultados obtidos e a conclusão.

Palavras-chave: PLMO, Gerenciamento da Incerteza, Programação Intervalar. Abstract:

In this work, we develop a method for managing uncertainty in Multiobjective Linear Programming (MOLP) that we call SONAR Method. Initially, we introduce the general MOLP model. After, we briefly present the following techniques to deal with uncertainty in decision processes based on mathematical methods: stochastic programming, fuzzy sets theory, Interval Programming, Sensitivity Analysis. The method develop by Urli and Nadeau (1992) is described, which is used in the next section to compare the results obtained with the SONAR Method. In the fourth section, we present the development, the results obtained and the conclusion.

Key-word: MOLP, Uncertainty, Interval Programming. 1. INTRODUÇÃO

A tomada de decisão num ambiente complexo, caracterizado pela existência de múltiplos critérios conflituosos, é influenciada por fatores de incerteza associados aos dados de entrada, à fase de modelagem, e ao caráter evolutivo da estrutura de preferências do decisor durante o processo interativo de decisão.

Os dados de entrada são muitas vezes imprecisos, incompletos, sujeitos a variações ou dependentes do tempo, refletindo a natureza complexa e mal estruturada dos problemas.

Torna-se fundamental dispor de ferramentas que possam avaliar a robustez das soluções face à incerteza, proveniente de várias fontes, subjacente ao processo decisão, como um meio de auxiliar o decisor a explorar não apenas o problema, mas também as suas próprias convicções.

Uma metodologia apresentada na literatura científica, que considera a introdução da incerteza em todos os parâmetros do modelo em problemas de PLMO, foi proposta por Urli e Nadeau (1992) que é baseada, essencialmente, em Goal Programming.

O método SONAR, apresentado neste texto, considera a introdução da incerteza em todos os parâmetros do modelo em problemas de PLMO, sendo baseado em intervalos de números reais (Interval Programming, em português, Programação Intervalar).

Os resultados de Urli e Nadeau foram comparados com os obtidos no método que está sendo desenvolvido neste trabalho.

O Método SONAR é um método gerador de soluções eficientes em problemas em que haja incerteza nos parâmetros do modelo. A partir desta versão básica do método é possível desenvolver uma abordagem interativa, importante para o aprendizado de forma progressiva e selectiva do problema em questão (Clímaco, Antunes e Alves, 2003, Steuer e Gardiner, 1990).

2. MÉTODOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR MULTIOBJETIVO

Nas últimas décadas, a área de apoio multicritério à decisão e, em particular, a programação com múltiplas funções objectivo (Multiple Criteria Decision Making, MCDM) tem ganho muita importância e profissionais de todo o mundo estão atualmente envolvidos em pesquisa e programas de ensino de diferentes âmbitos. Além disso, a área de MCDM tem, cada vez mais, recebido a atenção de profissionais dos setores público e privado.

2.1 Problema Linear Multiobjetivo

O problema de programação linear com objetivos múltiplos consiste na otimização de p funções objetivo lineares sujeitas a um conjunto de restrições lineares.

Para facilitar a notação, considera-se que as funções objetivo são todas a maximizar:

onde p é o número de funções objetivo, n o número de variáveis, m o número de restrições, x o vetor das variáveis de decisão, C é a matriz dos objetivos (dimensão p × n), cujas linhas são os vetores cp (coeficientes da função objetivo fp), A é a matriz dos coeficientes tecnológicos (m × n), b é o vetor dos

termos independentes, X é a região viável no espaço das variáveis (Steuer, 1986; Clímaco, Antunes e Alves, 2003).

2.1.1 Solução Eficiente

Uma solução é dita eficiente para um problema multiobjetivo se e somente se não existir outra solução viável que melhore o valor de uma função objetivo, sem piorar o valor de, pelo menos, outra função objetivo (Clímaco, Antunes e Alves, 2003).

( )

( )

( )

}

{

( )

X x a s x C x f Max ou b b x x x X x a sujeito x c x f x c x f x c x f m n p p ∈ = ℜ ∈ = Α ≥ ℜ ∈ ∈ = = = . " " , , 0 max max max 2 2 1 1 K K K K K K K K

(2.2) 2.2 O Método TRIMAP

O método TRIMAP, desenvolvido por Clímaco e Antunes (1989) é um ambiente computacional interativo dedicado a apoiar os agentes de decisão, na pesquisa de soluções eficientes, em problemas de programação linear tricritério. É constituído por um conjunto de procedimentos, que permitem uma pesquisa livre, com base numa aprendizagem progressiva e seletiva do conjunto das soluções eficientes. Este método combina a redução da região admissível, com a redução do espaço dos pesos. O agente de decisão pode especificar limitações inferiores para os valores de funções objetivo, e/ou impor restrições no espaço dos pesos em cada fase de cálculo, é otimizada uma soma ponderada das funções objetivo. O TRIMAP combina três procedimentos fundamentais: decomposição do espaço dos pesos, introdução de restrições no espaço dos objetivos e introdução de restrições no espaço dos pesos. As limitações introduzidas nos valores das funções objetivo são automaticamente traduzidas para o espaço dos pesos, o que é usado como um valioso meio para recolher e apresentar a informação ao agente de decisão. Este método é vocacionado para problemas com três funções objetivo, o que, embora constitua uma limitação, permite o uso de meios gráficos adequados ao diálogo com o agente de decisão. O principal objetivo é possibilitar ao agente de decisão um preenchimento progressivo e seletivo do espaço dos pesos, que lhe dê informação adequada sobre a região eficiente, evitando, deste modo, um estudo exaustivo de áreas onde os valores das funções objetivo sejam muito semelhantes (Clímaco, Antunes e Alves, 2003).

O método TRIMAP será utilizado na implementação do exemplo ilustrativo do método desenvolvido neste trabalho.

3. TRATAMENTO DA INCERTEZA EM PROGRAMAÇÃO LINEAR

MULTIOBJETIVO

Na literatura científica, os textos dedicados a este assunto utilizam, de forma não uniforme (de acordo com os autores), diversos termos cujo significado nem sempre é intermutável. As tentativas de definição seguintes, adotadas neste trabalho pretendem fazer uma síntese do uso mais comum dos termos. A “confusão” mais freqüente é entre os termos “incerteza” e “risco”. Enquanto a incerteza é caracterizada pela inexistência de alguma distribuição de probabilidade conhecida dos acontecimentos razoavelmente válida, o risco é caracterizado por uma distribuição de freqüência dos acontecimentos de acordo com probabilidades bem conhecidas ou mensuráveis, mesmo se o tempo específico ou a seqüência espacial de ocorrência dos acontecimentos não pode ser determinada (Haimes et al.,1975). O termo risco é associado a fatores mensuráveis controlados pelo acaso, enquanto a incerteza se aplica a todos os outros (caracterizando-se pela indeterminação dos resultados que não podem ser repetidos de todo ou apenas excepcionalmente e em situações tão diferentes que o significado das sucessivas observações dificilmente existe).

Os termos imprecisão, insuficiência, informação incompleta, inexatidão referem-se geralmente à qualidade dos dados de entrada, entendidos como a “melhor” representação possível dos parâmetros relevantes requeridos pelo modelo, num dado contexto. Por seu lado, incerteza (num sentido mais estrito do que o descrito acima) e ambigüidade são usados, em geral, para classificar a informação de preferências fornecidas pelo decisor. Neste trabalho é usado o termo incerteza para dar conta de fatores ligados á imprecisão dos dados iniciais, à imperfeição inerente ao modelo matemático e ao caráter não estruturado e evolutivo das preferências expressas pelo decisor, os quais não são suscetíveis de um tratamento probabilístico.

3.1 Diferentes abordagens para tratamento da incerteza

Existem quatro abordagens básicas para lidar com questões ligadas à incerteza em processo de decisão baseados em modelos e métodos de programação matemática: programação estocástica, teoria dos conjuntos difusos (“fuzzy sets”), análise de sensibilidade e programação intervalar.

( )

( )

{

}

( )

x

f

( )

x

sse

f

( )

x

f

( ) ( )

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e

f

x

f

( )

x

f

onde

x

f

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X

x

X

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_E

≠

≥

≥

≥

∈

∈

=

'

'

'

'

:

'

A teoria das probabilidades é uma das abordagens mais usadas para modelar a incerteza (risco, na nossa terminologia). Contudo, a análise probabilística própria para fenômenos que são reproduzíveis e que já ocorreram um número de vezes suficiente no passado, assume a possibilidade de representação dos parâmetros por meio de uma variável aleatória (programação estocástica). Ou seja, uma aproximação probabilística requer a existência de dados estatísticos suficientes que forneçam informação sobre as funções de distribuição das variáveis aleatórias do modelo matemático (embora o uso de probabilidades subjetivas permita lidar com a inexistência deste tipo de informação) (Stancu-Minasian, 1984).

A modelagem da imprecisão dos dados pode também ser feita por meio da teoria dos conjuntos difusos. Inicialmente a teoria dos conjuntos difusos pretendeu tornar menos rígida a noção de restrição em problemas de programação matemática, atribuindo a mesma natureza a funções objetivo e restrições, e fazendo flexível (no sentido gradual) a desigualdade (ou igualdade) entre ambos os lados de restrições e funções objetivo lineares (programação flexível) (Zimmermann,1978). A programação linear difusa evoluiu depois (numa aproximação mais parecida com a da programação estocástica) para a modelagem do caráter impreciso ou mal definido dos coeficientes através de distribuições possibilísticas (programação robusta). (Dubois e Prade, 1980; Luhandjula, 1987).

Num volume editado por Slowinski e Teghem (1990) são reunidos artigos sobre programação matemática estocástica e programação matemática difusa com objetivos múltiplos, que apresentam o estado da arte de ambas as aproximações de modelação e tratamento da incerteza, discutem as respectivas vantagens e desvantagens e exploram as relações entre elas, nomeadamente através de análises comparativas de metodologias.

A análise de sensibilidade e a teoria da estabilidade em programação matemática fornecem informação sobre o comportamento de soluções ótimas e as gamas de valores ótimos dos parâmetros de perturbação. Em programação linear multiobjetivo a análise de sensibilidade (também designada por análise pós-optimal, ou análise de estabilidade) pretende determinar as gamas de variação dos parâmetros de perturbação dos dados iniciais, de modo que a base ótima para o problema perturbado. Em programação linear multiobjetivo, o conceito de solução ótima (em geral única) cede lugar ao conceito de solução eficiente (em geral muitas, mesmo se apenas forem considerados pontos extremos). Por outro lado, deve ter tido em conta o caráter evolutivo da estrutura de preferências do decisor como resultado da informação adquirida ao longo do processo interativo, que pode mesmo tornar interessante observar a expansão do espaço das ações potenciais (soluções não dominadas). Nestas circunstâncias, torna-se ainda mais difícil definir análise de sensibilidade num contexto multiobjetivo, e, de fato, o problema não é tratado de forma uniforme na literatura (Gal e Wolf, 1986). A programação intervalar considera os coeficientes de um problema de programação matemática como intervalos, refletindo a impossibilidade de especificar valores precisos. Pode considerar-se a programação intervalar como um caso particular da programação inexata, na qual se assume que os coeficientes não são exatamente conhecidos, mas apenas que pertencem a algum conjunto não vazio (Bitran, 1980). Na programação inexata as restrições de igualdade ou desigualdade são substituídas por restrições de caráter mais geral de tipo inclusão (Stancu-Minasian e Tigan, 1990).

O método desenvolvido neste trabalho utiliza a abordagem de programação intervalar para tratamento da incerteza.

3.2 Programação Intervalar no Tratamento da Incerteza em Problemas de Programação Linear Multiobjetivo (PLMO)

A programação intervalar é uma abordagem interessante para o tratamento da incerteza por não requerer a definição de uma distribuição probabilística (como na programação estocástica) ou uma distribuição possibilística (como em programação fuzzy). A teoria de programação intervalar assume que o decisor tenha informação sobre a amplitude da variação de alguns (ou todos) os parâmetros com a qual pode-se especificar um modelo com os coeficientes em intervalos.

Essa abordagem tem sido utilizada para resolver problemas específicos em PLMO. Foram desenvolvidos algoritmos para resolver problemas com incerteza: somente nos coeficientes das funções objetivo, nas restrições e em todos os parâmetros do modelo.

A metodologia desenvolvida neste trabalho considera a introdução da incerteza em todos os parâmetros do modelo.

3.2.1 Algoritmos para resolver problemas com incerteza somente nos coeficientes da função objetivo

Bitran (1980) é um dos trabalhos pioneiros da área que hoje conhecemos como Programação Intervalar, nomeadamente no caso multiobjectivo. Nesse trabalho, inicialmente foi considerado um subproblema para testar se um ponto viável extremo é eficiente. A seguir, é desenvolvido um algoritmo do tipo Branch and Bound para resolver o subproblema e algumas extensões são discutidas. Em Chanas e Kuchta (1996) são generalizados conceitos de solução de problemas de programação linear com os coeficientes da função objetivo em intervalos baseado nas relações de preferências entre intervalos.

Inuiguchie Sakawa (1997) também tratam de problemas de programação linear com coeficientes intervalares na função objectivo. Do ponto de vista do “achievement rate”, é mostrado um novo conceito de solução e suas propriedades. Também é proposto um novo algoritmo para uma solução “maximin achievement rate” baseado em relaxação e no método simplex.

3.2.2 Algoritmos para resolver problemas com incerteza nas restrições.

Inuiguchie Kume (1991) tratam de problemas de Goal Programming com os coeficientes e os valores das metas em intervalos. Os autores mostram que quatro problemas podem ser formulados e apresentam suas propriedades. As diferenças entre as quatro formulações são demonstradas.

Chinneck e Ramadan (2000) propõem uma nova abordagem em que alguns ou todos os coeficientes das restrições são especificados como intervalos. Encontram o “melhor ótimo” e o “pior ótimo” para o modelo, e o conjunto de pontos dos coeficientes em intervalos que produz esses pontos extremos. 3.2.3 Programação Intervalar para Problemas que consideram a incerteza em todos os parâmetros do modelo.

Urli e Nadeau (1992) desenvolveram uma metodologia que possibilita a transformação de um modelo de PLMO não determinístico em um modelo determinístico. A seguir, este problema é solucionado por um método interativo derivado do método STEM (Benayoun e tal., 1971).

Este método é inspirado em programação fuzzy e programação estocástica, embora não use nem números fuzzy nem distribuições de probabilidade. Inicialmente, por uma aproximação inspirada em goal programming e números fuzzy respectivamente, as funções objetivo não determinísticas e as restrições não determinísticas são transformadas em determinísticas. O problema de PLMO determinístico obtido é solucionado por um procedimento interativo derivado do método STEM.

• O problema e a idéia geral do algoritmo

Consideremos o seguinte PLMO sob incerteza:

( )

( )

3

.

1

,

,

1

;

,

,

1

;

,

,

1

,

0

,

.

.

.

.

1 1

K

k

n

j

m

i

x

b

x

a

t

s

x

c

x

Z

Max

j i n j j ij n j j kj k

L

L

L

=

=

=

≥

≤

=

∑

∑

= = onde x ∈ ℜn

e os parâmetros ckj, aij, e bi são valores não determinísticos.

Para cada coeficiente ckj, um valor central c0kj, e os limites de variação c-kj e c+kj são conhecidos.

Para cada coeficiente aij e bi, os limites de variação a

-ij, a+ij e b

-i, b+i são conhecidos.

Para resolver (3.1), foi desenvolvido um novo método interativo sob incerteza.

Primeiro, a partir do PLMO sob incerteza foi obtido um PLMO determinístico. A seguir o algoritmo interativo é inicializado. A primeira fase do algoritmo consiste na obtenção da primeira solução de compromisso. A seguir, através das fases interativas, novas soluções de compromisso são apresentadas ao decisor, até que ele considere que a solução seja satisfatória.

Modelando funções objetivo não determinísticas

Considere as funções objetivo não determinísticas Zk(x), k=1, ... , K, e utilizando os conceitos de Goal

Programming para transformar o problema inicial (3.1) em um novo problema modelado por meio de inequações não determinísticas na forma:

) 2 . 3 ( ) ( k k x g Z ≥

onde gk representa a meta a ser atingida relativa ao objetivo Zk(x). Supõe-se que ckj ∈ [c

-kj,c+kj] e gk ∈

[g-k,g+k]; g+k representa a meta que o decisor deseja atingir para Zk(x), enquanto g

-k representa o limite

inferior que o decisor aceita para a meta gk. Em outras palavras, o problema então consiste em olhar

para a solução x∗ tal que alcance estes valores para as diferentes funções objetivo Zk(x) sejam tão

fechadas quanto possível para a meta g+k enquanto, ao mesmo tempo satisfaz a meta mínima g-k. Para

cada função objetivo Zk(x), a solução é comparada a meta gk de tal modo que o decisor é argüido a

expressar a sua preferência considerando o desvio relativo as sua metas, que é relativo a (gk - Zk(x)).

Neste contexto, o maior destes desvios representa menos satisfação para o decisor e o mais fraco grau de satisfação para cada solução.

O grau de satisfação para o decisor relativamente ao atendimento de suas metas gk é expresso pela

função de diferença (gk - Zk(x)). O grau de satisfação traduz a seguinte afirmação: o decisor está cada

vez menos satisfeito esse Z-k(x) = c

-k x é fechado para g

-k e cada vez mais satisfeito esse Z

+

k(x) = c

+

k x é

fechado para g+k . Para isto, duas variáveis de folga d+k = g+k - Z

+ k(x) e d -k = g -k - Z -k(x) são usadas.

Então o grau de satisfação Pk (d+k , d

-k ) é expresso por uma função linear incremental onde:

)

3

.

3

(

0

1

0

1

0

0

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

≤

≥

≥

−

−

≥

=

+ − + − + + − k k k k k k k k

d

se

d

d

se

d

d

d

d

se

P

Como em 3.2 k k

x

g

Z

(

)

≥

então

)

4

.

3

(

)

(

_{k k} k

x

d

g

Z

−

=

Então, não esperamos que o decisor fique satisfeito com a variável de folga dk assumindo valores

positivos, assim os autores atribuíram satisfação 0 para o d-k≥ 0.

Consequentemente, o problema inicial que é de maximização de Zk(x) é reproduzido pelo problema de

maximização de Pk(x) relativo à satisfação do decisor no atendimento de suas metas gk. Então o

problema PLMO não determinístico é transformado no seguinte problema que, exceto pelo Bloco 2 de restrições, é determinístico.

(

)

( )

( )

)

5

.

3

(

2

,

,

1

;

,

,

1

;

,

,

1

,

0

,

.

1

,

.

.

1

,

1

Bloco

K

k

n

j

m

i

x

b

x

a

Bloco

x

Z

g

d

x

Z

g

d

t

s

d

d

d

d

d

P

Max

j i n j j ij k k k k k k k k k k k k

L

L

L

=

=

=

≥

≤

−

=

−

=

−

−

=

∑

= − − − + + + − + + − +

Entretanto, é necessária nesta aproximação a determinação da meta gk. Os limites g

-k e g+k para gk

podem ser obtidos do decisor ou por meio de procedimento automático. Usando este último procedimento, as metas são determinadas através da identificação de uma matriz de metas que consiste

numa generalização da clássica matriz payoff de maneira a levar em conta os aspectos não

determinísticos das restrições do problema (3.1). Para cada função objetivo Zk(x), os autores

resolveram um problema monocritério a partir dos parâmetros não determinísticos do problema (3.1) por seus melhores valores e seus piores valores respectivamente, isto é:

( )

( )

)

6

.

3

(

.

.

.

.

− + − + − +

≤

≤

i i k i i k

b

x

a

t

s

x

Z

Max

e

b

x

a

t

s

x

Z

Max

A situação mínima de restrição será identificada por β=0, a restrição máxima por β=1 e a solução ótima do problema correspondente será designada por:

)

7

.

3

(

,

,

1

1

,

0

e

k

K

onde

x

_k

L

=

=

β

β

Então as metas serão escolhidas como segue:

( )

( )

0,1 ; 1, , (3.8) min 0 K k x Z g x Z g j k j k k k k L = = = = − − + +

β

β β

A meta g+k é o ponto ideal porque esta é, no espaço dos objetivos, o ponto correspondente, para cada

função objetivo, o melhor valor possível de Zk(x) no melhor dos casos. O valor g

-k corresponde, para

cada objetivo, o pior valor na matriz de metas.

Deste modelo geral, um particular modelo correspondendo com o caso onde, em adição aos valores extremos, o decisor também conhece os valores centrais c0kj dos parâmetros não determinísticos ckj,

pode ser desenvolvido. Então a função objetivo não determinística Zk(x) é transformada pelo uso da

inequação (2) onde:

[

]

( )

(

3

.

9

)

,

)

(

.

.

),

(

)

(

)

(

0 0 0 0

x

c

x

Z

e

g

g

g

onde

g

x

Z

e

i

x

Z

por

os

substituíd

são

x

Z

e

x

Z

k k k k k k k k k k

⋅

=

∈

≥

+ − − +

Esta inequação traduz a seguinte afirmação: “o decisor é menos satisfeito quando Z0k(x) é fechado para

g-k e mais satisfeito quando Z 0

k(x) é fechado para g +

k”. Então, como temos d+k - d

-k = g+k - g

-k , neste

caso, o grau de satisfação do decisor Pk (d+k , d

)

10

.

3

(

0

1

0

1

0

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

≤

≥

≥

−

−

−

−

≥

=

+ + − + − + + − + − k k k k k k k k k k k

d

se

d

g

g

se

g

g

d

g

g

d

se

P

Esta modelagem da parte não determinística na função objetivo nos habilita a transformar o problema inicial não determinístico num problema multiobjetivo equivalente onde as funções objetivo são lineares e determinísticas. O problema equivalente tem a seguinte forma:

( )

( )

)

11

.

3

(

,

,

1

;

,

,

1

;

,

,

1

,

0

,

.

0

,

.

.

1

1 0

K

k

n

j

m

i

x

b

x

a

d

g

g

d

x

Z

g

d

t

s

g

g

d

d

P

Max

j i n j j ij k k k k k k k k k k k k

L

L

L

=

=

=

≥

≤

≥

−

≤

−

=

−

−

=

∑

= + − + + + + − + + +

Modelando restrições não determinísticas

O segundo passo do método consiste em modificar restrições não determinísticas e matematicamente mal definidas para restrições matematicamente bem definidas. Para fazer isto foi proposta a idéia de “satisfação no limiar das restrições”; essa aproximação tem a vantagem de não aumentar excessivamente o tamanho do problema:

ai. x ≤ bi (3.12) onde ai∈[a -i , a + i] e bi∈ [b -i , b +

i], i=1,...,m, cada uma destas restrições é interpretada como o seguinte:

“o decisor deseja que a-i. x não seja maior do que b +

i e seu nível de satisfação será cada vez mais alto

se a+i. x será fechado a b +

i “. Consequentemente, nós introduzimos o grau de satisfação do decisor

relativo às restrições não determinísticas (12); este grau de satisfação é chamado de μ e é definido como as seguintes funções lineares:

(

)

(

) (

)

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

−

+

−

⋅

−

≥

≥

=

≤

⋅

− + − + − + − + + −

)

13

.

3

(

,

.

/

.

,

1

.

,

0

qqer

para

x

a

a

b

b

x

a

b

b

x

a

se

b

x

a

se

b

x

a

i i i i i i i i i i i i

μ

Urli e Nadeau atribuíram μ=0 para a

-i. x ≥ b+i uma vez que as soluções são inviáveis; entretanto,

deveria ser atribuído μ=0 quando ai. x ≥ b+

i pois também quando a+i. x ≥ b+i as soluções são

inviáveis.

Urli e Nadeau nomearam também uma satisfação de restrição individual, designado por αi; este

corresponde à idéia de um limiar de probabilidade individual em “chance-constrained programming”. Usando este raciocínio, cada restrição não determinística é reproduzida por uma restrição determinística da forma:

μ (ai. x ≤ bi ) ≥ αi (3.14)

onde 0 ≤ αi ≤1. Da relação (13) essa restrição determinística tem a seguinte forma:

(

)

No contexto desta aproximação, o αi será determinado de uma maneira interativa. Através desse αi, o

decisor pode modificar seu requerimento relativo ao seu nível de satisfação das restrições. 4 O MÉTODO SONAR DE TRATAMENTO DA INCERTEZA EM PLMO

Quando um gestor utiliza um modelo de programação matemática para a tomada de decisão, tão importante quanto conhecer a solução ótima é conhecer o valor da função objetivo. Qual será o lucro máximo? Qual será o mínimo custo? Muitas vezes, as respostas a essas perguntas determinam a utilização ou não desses modelos para a tomada de decisão. Para problemas com objetivos conflitantes estas questões se tornam mais importantes.

Um questionamento importante na prática é: que confiança temos nos parâmetros do modelo? Existe incerteza? Caso exista, o lucro máximo se reduzirá ou aumentará? Em que margens de variabilidade? No sentido de responder a essas questões, apresentamos o Método SONAR como possibilidade factível de atender as necessidades dos gestores no momento da tomada da decisão.

O Método SONAR tem como objetivo identificar vértices eficientes num problema de Programação Linear Multiobjetivo onde alguns ou todos os coeficientes das funções objetivo, coeficientes ou termos independentes das restrições sejam intervalos de números reais.

4.1 Introdução à Análise de Intervalos

Em matemática, existem os números reais, uma aritmética real para combiná-los e a análise real para o estudo das propriedades dos números e da aritmética. Matemática de Intervalos é a generalização no qual os números intervalos substituem os números reais, aritmética de intervalos substitui aritmética dos reais, e análise de intervalos substitui análise real (Hansen, 1992).

Podemos afirmar que a matemática de intervalos teve início com o aparecimento do livro de R. E. Moore “Interval Analysis” em 1966. Este trabalho transformou esta simples idéia numa ferramenta viável para análise do erro. Ao invés de meramente tratamento de arredondamento de erro, Moore estendeu o uso de análise de intervalos para limitar o efeito do erro de todas as origens, inclusive erro de aproximação e erro em dados.

Desde o aparecimento do livro do Moore, várias publicações sobre análise de intervalos têm ocorrido (Hansen, 1992).

4.1.1 Principais definições

Um número intervalo é definido como um conjunto fechado de números reais.

Consideremos um intervalo real X = [a, b], o número intervalo X é tal como um intervalo fechado. Este consiste no conjunto {x: a ≤ x ≤ b} de números reais incluindo os pontos a e b.

Um número real x é equivalente a um intervalo [x, x]. Tal intervalo é denominado intervalo degenerado. Quando expressamos um número real como um intervalo, ós usualmente mantemos a notação simples. Por exemplo, nós podemos escrever 2 no lugar de [2, 2] ou x no lugar de [x, x]. As regras para aritmética de intervalos são simples quando um ou ambos os termos intervalos são degenerados. Portanto, neste caso é melhor deixar um intervalo degenerado como uma quantidade real.

Um intervalo X = [a, b] é dito positivo (ou não negativo) se a ≥ 0, estritamente positivo se a > 0, negativo (ou não positivo) se b ≤ 0, e estritamente negativo se b < 0.

Dois intervalos [a, b] e [c, d] são iguais se e somente se a = c e b = d.

Os números intervalos são parcialmente ordenados. Temos [a, b] < [c, d] se e somente se b < c. (Hansen, 1992).

4.1.2 Aritmética de Intervalos

As operações de adição, subtração, multiplicação e divisão são indicadas pelos sinais + , − , ∗ , / , respectivamente. Se op significa uma destas operações para a aritmética dos números reais x e y, assim a correspondente operação para a aritmética dos números intervalos X e Y (Hansen, 1992) é :

Assim, o intervalo X op Y resultante desta operação contém todos os números que podem ser formados como x op y para cada x ∈ X e cada y ∈ Y.

4.3 Apresentação do Método SONAR

O método SONAR encontra soluções eficientes para um problema cuja incerteza no modelo é introduzida em intervalos de números reais. Estas soluções são encontradas através de dois modelos cujos coeficientes são todos números reais, mas que foram construídos a partir do modelo em intervalos. A construção dos modelos ocorreu em três partes: como tratar a incerteza nas funções objetivo, a seguir nos termos independentes das restrições e finalmente nos coeficientes das restrições. 4.3.1 Formulação Matemática do PLMO sob incerteza

Modelo com todos os coeficientes em intervalos:

( )

( )

4

.

7

,

,

1

;

,

,

1

;

,

,

1

,

0

,

.

.

.

.

1 1

K

k

n

j

m

i

x

b

x

a

t

s

x

c

x

Z

Max

j i n j j ij n j j kj k

L

L

L

=

=

=

≥

≤

=

∑

∑

= = onde x ∈ ℜn

e os parâmetros ckj, aij, e bi são intervalos de números reais.

Para cada coeficiente ckj ∈ [ c

-kj , c+kj ]

Para cada coeficiente aij ∈ [a-ij, a+ij ] e bi ∈ [b-i, b+i].

A partir do modelo com os coeficientes sob incerteza (4.7), o Método SONAR desenvolve dois modelos de PLMO com todos os coeficientes reais e a solução destes modelos separadamente nos permite encontrar os resultados mais otimistas ou menos otimistas para o PLMO sob incerteza.

Vale ressaltar que qualquer número real pode ser escrito como um intervalo degenerado (seção 4.1.1). Assim, este método pode ser utilizado mesmo quando apenas alguns coeficientes apresentem incerteza sob a forma de intervalos.

4.3.1 Desenvolvimento do Método SONAR

• As Funções Objetivo

Inicialmente consideramos a incerteza nos coeficientes das funções objetivo. No primeiro modelo, todos os coeficientes das funções objetivo foram considerados nos limites inferiores dos intervalos a que pertenciam. Esta escolha foi feita para que este modelo nos proporcionasse os menores valores para cada função objetivo, ou seja, os resultados menos otimistas para o PLMO sob incerteza. No segundo modelo, todos os coeficientes das funções objetivo foram considerados nos limites superiores dos intervalos a que pertenciam. Esta escolha foi feita para que este modelo nos proporcionasse os maiores valores para cada função objetivo, ou seja, os resultados mais otimistas para o PLMO sob incerteza.

Nos dois modelos os blocos de restrições são iguais.

• Os Limites das Restrições:

Para o tratamento da incerteza nos limites das restrições foi observado o seguinte:

Admitimos um PLMO de Maximização cujos sinais das restrições sejam do tipo ≤ a um intervalo que chamamos de [b-i, b+i], neste caso genérico, sobretudo para um problema multiobjetivo, a região

viável mais importante é a que se encontra entre b-i e b+i.

• Os Blocos de Restrições:

Para considerar a incerteza nos coeficientes das restrições, trabalhamos com as seguintes possibilidades:

)

12

.

4

(

4

3

2

1

− + − − + + + −

≥

≥

≤

≤

i i i i i i i i

b

x

a

Bloco

b

x

a

Bloco

b

x

a

Bloco

b

x

a

Bloco

Comparando o Bloco 1 com o Bloco 2, uma vez que ambos estão restritos aos valores máximos, e o Bloco 3 com o Bloco 4, uma vez que ambos estão restritos aos valores mínimos dos termos independentes das restrições, podemos definir dois modelos com os coeficientes reais que traduzem a situação de incerteza do problema em questão:

( )

(

4

.

13

)

,

,

1

;

,

,

1

;

,

,

1

,

0

,

.

.

.

.

.

1 1 1

K

k

n

j

m

i

x

b

x

a

b

x

a

t

s

x

c

x

Z

Max

j i n j j ij i n j j ij n j j kj k

L

L

L

=

=

=

≥

≥

≤

=

− = + + = − = − −

∑

∑

∑

e

( )

(

4.14

)

, , 1 ; , , 1 ; , , 1 , 0 , . . . . . 1 1 1 K k n j m i x b x a b x a t s x c x Z Max j i n j j ij i n j j ij n j j kj k L L L = = = ≥ ≥ ≤ = − = + + = − = + +

∑

∑

∑

4.3.2 Comparação entre os resultados do Exemplo ilustrativo utilizando o Método SONAR e a

Metodologia de Urli e Nadeau

Apresentamos como exemplo ilustrativo o mesmo utilizado por Urli e Nadeau (1992). Destacamos que utilizamos a notação de Análise de Intervalos e Urli e Nadeau a de Teoria dos Conjuntos.

f1: c11 ∈ [0.8 , 1.2] c12 ∈ [-0.5 , 0.2] f2: c21 ∈ [-0.3 , 0.2] c22 ∈ [0.7 , 1.2] f3: c31 ∈ [0.8 , 1.1] c32 ∈ [0.9 , 1.2] s. a ai1x1 + ai2x2 ≤ bi onde a11 ∈ [1.5,2.8], a12 ∈ [0.5,1.2], b1 ∈ [7,9] a21 ∈ [0.5,1.5], a22 ∈ [2,4], b2∈ [13.5,16]

Método SONAR Método Urli e Nadeau Max Z+k (x) s.a a -i x ≤ b+i a +i x ≥ b -i Sol 1:x1=5,57 Área: 2,90% x2=1,29 f1:6,94; f2=2,66; f3=7,67 =============== Sol 2: x1=0 Área: 0,89% x2=8 f1=1,6; f2=9,6; f3=9,6 =============== Sol 3: x1=3,64 Área: 96,2% x2=7,09 f1=5,78; f2=9,24; f3=12,51 Max Z+k (x) s.a a -i x ≤ b+i Sol 1: x1= 6 Área: 2,90% x2= 0 f1=7,2 ; f2 = 1,2; f3 = 6,6 =============== Sol2: x1= 0 Área: 0,89% x2 = 8 f1=1,6; f2=9,6; f3= 9,6 =============== Sol 3: x1=3,64 Área: 96,2% x2=7,09 f1=5,78; f2=9,24;f3=12,51 Tabela 4.1 - Max Z+k (x)

Método SONAR Método Urli e Nadeau

Max Z-k (x) s.a a -i x ≤ b + i a +i x ≥ b -i Sol 1: x1=5,57 x2=1,28 Área:29,8% f1=3,81;f2= - 0,77;f3=5,61 =================== Sol2: x1=0 Área: 15,39% x2=8 f1=-4; f2=5,6; f3= 7,2 =================== Sol3: x1=3,64 Área: 57,85% x2=7,09 f1=-0,6; f2=3,9; f3=9,3 Max Z- k (x) s.a a +i x ≤ b -i Sol 1: x1=2,5 Área:30,4% x2= 0 f1=2; f2=0,75; f3=2 ============== Sol 2: x1=0 Área: 19,91% x2=3,38 f1=-1,68; f2=2,36; f3=3,04 ============== Sol 3: x1=1,26 Área:49,73% x2=2,904 f1=-0,48; f2=1,66;f3=3,62 Tabela 4.2 - Max Z-k (x )

4.3.3 Resultados Obtidos e Conclusão

As soluções obtidas pelo TRIMAP e apresentadas na segunda coluna das tabelas 4.1 e 4.2 são as descritas no texto de Urli e Nadeau (1992), mas poderão nem sempre ser as mais interessantes para o problema. Uma vez que limitamos as restrições ao máximo de b-i, a região admissível será reduzida e

uma importante área de interesse vai ser desprezada.

A região que está entre b

-i

e b

+i

deve ser prestigiada, pois está mais próxima das soluções

eficientes.

Com a utilização do Método SONAR procuramos identificar uma solução robusta para o problema face à incerteza. Esta é uma área de grande relevância na aplicação da Pesquisa operacional a problemas reais, que estamos trabalhando.

O Método SONAR é um método gerador de soluções eficientes em problemas em que haja incerteza nos parâmetros do modelo. A partir das técnicas básicas aqui descritas está em curso trabalho de pesquisa para desenvolver um método interativo, dado que a interação com o utilizador é de grande importância para o aprendizado do problema em questão de modo a apoiar a tomada de decisões mais fundamentadas num ambiente de incerteza. Diante da dinâmica dos cenários reais, aceitar a importância deste aprendizado pode decidir a utilidade ou não do modelo para o problema real.

REFERÊNCIAS

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