O MODELO DE VAN HIELE DE DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO GEOMÉTRICO

O MODELO DE VAN HIELE DE DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO GEOMÉTRICO

Alessandra Coelho Rodrigues

Universidade Católica de Brasília Curso de Matemática

Orientador: Vilmondes Rocha

RESUMO

Este trabalho é resultado da pesquisa que teve como objetivo verificar se o modelo de Van Hiele de desenvolvimento do pensamento geométrico tem maior proficiência com alunos da sétima série do Ensino Fundamental. Foi verificado se os alunos submetidos ao modelo adquirem as habilidades e competências com maior facilidade que outros não submetidos ao modelo, e observou-se as diferenças entre médias de notas dos alunos submetidos à intervenção pedagógica da teoria de Van Hiele.

Palavras-chave: Van Hiele, pensamento geométrico, ensino de geometria.

1. INTRODUÇÃO

Esse artigo é o resultado do Trabalho de Conclusão de Curso de Matemática na Universidade Católica de Brasília. O trabalho desdobrou se em uma pesquisa de campo com o objetivo de analisar a eficiência do método de Van Hiele. Foi oferecido um minicurso voltado para alunos da sétima série do Ensino Fundamental em uma escola da rede pública de ensino de Ceilândia, a fim de discutir e comparar as médias de notas dos grupos (experimental e controle), analisando o desempenho dos alunos da intervenção pedagógica e se as instruções recebidas promovem aquisição de cada um dos níveis de Van Hiele.

O modelo de Van Hiele de desenvolvimento do pensamento geométrico tem sido utilizado para facilitar a compreensão de conteúdos em geometria, enriquecendo o espaço de ensino e aprendizagem. O trabalho permitiu investigar, também, quais poderiam ser as dificuldades em ensinar e aprender geometria.1

Pois esse modelo de pensamento geométrico pode proporcionar resultados satisfatórios para orientar a formação assim como para avaliar as habilidades dos alunos podendo fornecer lhes um modelo útil para o uso em sala de aula.

O modelo de desenvolvimento geométrico e as fases de aprendizagem desenvolvidas pelos Van Hiele propõem um meio de identificar o nível de maturidade geométrica dos alunos e indicam caminhos para ajudá-los a avançar de um nível para outro. Ressalta se o ensino, mais do que a maturidade, como fator que contribui mais significativamente para esse modelo.

1 _{CROWLEY, Mary L. O modelo Van Hiele de desenvolvimento do pensamento geométrico. In:}

LINDQUIST, Mary & SHULTE, Albert P. (organizadores), Aprendendo e Ensinando Geometria. São Paulo: Atual, 1994.

2. O MODELO DE VAN HIELE DE DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO GEOMÉTRICO

O Modelo Van Hiele definido por Dina van Hiele Geldof e seu marido Pierre Marie van Hiele, tendo por base as dificuldades apresentadas por seus alunos do curso secundário na Holanda, identifica o comportamento na aprendizagem como o nível de maturidade geométrica do aluno. Assim o modelo geométrico pode ser usado para orientar na formação e também para avaliar as habilidades do aluno. A idéia principal do modelo Van Hiele é que os alunos progridam de acordo com uma seqüência de níveis de compreensão de conceitos, enquanto aprendem geometria.

O Modelo concebe diversos níveis de aprendizagem geométrica (ou níveis de desenvolvimento do pensamento geométrico) com as seguintes características: no nível inicial (visualização), as figuras são avaliadas apenas pela sua aparência, a ele pertencem os alunos que só conseguem reconhecer ou reproduzir figuras (através das formas e não pelas propriedades); no nível seguinte (análise) os alunos conseguem perceber características das figuras e descrever algumas propriedades delas; no outro nível (dedução informal), as propriedades das figuras são ordenadas logicamente (dedução formal) e a construção das definições se baseia na percepção do necessário e do suficiente. As demonstrações podem ser acompanhadas, memorizadas, mas dificilmente elaboradas. Até o nível mais elevado (rigor). E este último é alcançado por poucos alunos, pois diz respeito aos aspectos abstratos formais da dedução. Segundo van Hiele, cada nível é caracterizado por relações entre os objetos de estudo e linguagem próprios. Conseqüentemente, não pode haver compreensão quando o curso é dado num nível mais elevado do que o atingido pelo aluno.

As propriedades do modelo servem para os educadores, pois pode orientar a tomada de decisões quanto ao ensino.

Seqüencial – E uma fase sucessiva que cada aluno deve passar para se sair bem nos respectivos níveis passando pelas estratégias dos níveis anteriores. Avanço – Van Hiele salientou que é possível ensinar a um aluno de talento habilidades que estejam acima de seu nível. Por exemplo: ensinar frações sem lhes dizer o que significa frações embora não saibam o que é frações exemplos disso na geometria incluem a memorização como “um quadrado é um retângulo” essa situação é reduzida a um nível inferior e não há compreensão. Intrínseco e Extrínseco – Os objetivos implícitos num nível tornam-se explícitos no nível seguinte. Lingüística – algumas noções do conhecimento não é a linguagem do aluno devido ele ainda não ter chegado a certo nível. Exemplo um quadrado também é retângulo. Combinação inadequada: se o nível do professor estiver mais alto do que o do aluno este não será capaz de acompanhar o raciocínio que estarão sendo empregados.

2.1 O Modelo - Níveis de Raciocínio

Visualização (Nível 1)- reconhece visualmente uma figura geométrica, tem condições de aprender o vocabulário geométrico e não reconhece ainda as propriedades de uma determinada figura.

Análise (Nível 2 ) – Identifica as propriedades de uma determinada figura, e não faz inclusão de classes.

Dedução Informal ( Nível 3)- Já é capaz de fazer a inclusão de classes, acompanhar uma prova informal, mas não é capaz de construir uma outra.

Dedução Formal ( Nível 4)- É capaz de fazer provas formais, e raciocina num contexto de um sistema matemático completo .

Rigor ( Nível 5)- È capaz de comparar sistemas baseados em diferentes axiomas, e neste nível que as geometrias não – euclidianas são compreendidas.

2.2 Fases de Aprendizagem Características

Informação Fase 1- O professor e aluno dialogam sobre o material de estudo, o professor deve perceber quais os conhecimentos anteriores do aluno sobre o assunto a ser estudado.

Orientação Dirigida Fase 2 – Os alunos exploram o assunto de estudo através do material selecionado pelo professor, as atividades deverão proporcionar respostas especificas e objetivas.

Explicação Fase 3 – O papel do professor é o de observador.

Orientação Livre Fase 4 – tarefas constituídas de varias etapas,possibilitando diversas respostas,a fim de que o aluno ganhe experiências e autonomia.

Integração Fase 5– O professor auxilia no processo de síntese,fornecendo experiências e observações globais, sem apresentar novas e discordantes idéias.

2.3 Influência do Trabalho de Piaget no Modelo de Van Hiele

O próprio Van Hiele diferencia as duas teorias (a dele e a de Piaget), ressaltando que a psicologia de Piaget era de desenvolvimento e não de aprendizagem, mas admite ter recebido algumas influencias após leituras de alguns textos piagetianos.

Piaget, na maioria de suas publicações, tratou do aspecto cognitivo particularmente do desenvolvimento operatório. No entanto, seus primeiros trabalhos, enfatizam a importância das trocas inter individuais, no sentido de que é fundamental, desde a infância, o confronto de pontos de vista para elaboração do pensamento lógico. É claro, entretanto que a figura do professor é indispensável nas orientações principalmente com crianças em inicio de escolarização. A interação social com o adulto é indispensável para o desenvolvimento do pensamento e a intervenção é necessária porque, a partir dos estímulos provocados pelo professor, a criança será capaz de refletir sobre suas ações, explicar fatos observados e caminhar em direção da estruturação do conhecimento. O trabalho de Van Hiele fundamenta se na teoria de que o desenvolvimento mental esta ligado às mudanças cognitivas dos alunos e em experiências educacionais e, esta baseado em três elementos: a influencia da psicologia de gestalt, e uma forte base estruturalista e a preocupação com a didática matemática.

3.PESQUISA 3.1 O Método

O Trabalho foi fundamentado com artigos e monografias relativas ao tema, junto com uma pesquisa de campo realizada numa escola pública do Distrito federal. Através de uma aula expositiva dialogada onde foi oferecido um mini – curso dentro do Modelo de Van Hiele de desenvolvimento do pensamento de geométrico.

A intenção do trabalho foi facilitar a compreensão do conteúdo para os alunos trazendo um conhecimento mais especifico enriquecendo o espaço de ensino aprendizagem.

3.2 O Método Experimental

Para realização do projeto faz necessário de uma avaliação do referido projeto. Foi feita de forma sistemática, através de analises de experiências em sala de aula. O processo partiu da aplicação de um mini - curso, onde foi elaborado um pré-teste e pós- teste, onde posteriormente serão coletados para análise. Por fim, depois da analise foi definido se o modelo de Van Hiele é ou não eficaz no processo de ensino da geometria.

3.3 Características do Grupo

Os estudantes envolvidos na pesquisa foram 35 alunos ambos os sexos em média 12 anos de idade, cursando a sétima série do série do Ensino Fundamental de uma escola pública do Distrito Federal situada em Ceilândia.

Após a aplicação do pré - teste para os 35 alunos, formou-se dois grupos distintos um com 18 alunos no grupo experimental e outro com 17 alunos no grupo de controle. Ao final das atividades desenvolvidas aplicou se o pós-teste sendo que três alunos não fizeram à avaliação porque não compareceram na escola. Por fim ficaram então 16 alunos em cada grupo, sendo que dois alunos faltaram no pós-teste do grupo experimental e um aluno faltou no pós-teste do grupo de controle.

3.4 Procedimentos e Material

As atividades desenvolvidas nas sessões de intervenção pedagógica com o grupo experimental com alunos da sétima série do Ensino Fundamental, situada no Distrito Federal. As fases de aprendizagem de Van Hiele afirmam que a instrução recebida de acordo com seqüência das fases promove aquisição de cada um dos níveis.

Seguindo a fase 1 de aprendizado do modelo de Van Hiele começou-se a aula perguntando sobre o que é ângulo, após a discussão de ângulo foi solicitado aos alunos que fizessem a identificação de ângulos de objetos do cotidiano.

Respostas dos alunos: A tesoura de cortar papel, o compasso aberto forma um ângulo, as cadeiras da sala também têm ângulos, a porta da sala de aula aberta forma um ângulo. Agora podemos definir o que é ângulo.

Definição: Ângulo é a região do plano determinada pela reunião de duas semi-retas de mesma origem nem sempre colineares.

Seguindo as fases de aprendizagem do modelo Van Hiele aplicou-se uma atividade chamada brincadeira do robô. No sentido de observar até que ponto os alunos tinham noção do tamanho de um ângulo e também desenvolver uma melhor noção na classificação de ângulos.

Brincadeira do Robô:

• cada aluno formou sua dupla, segundo afinidades; cada dupla brincou uma vez, sendo que as outras crianças permaneceram em silencio durante a brincadeira, dando apenas alguns palpites; em cada uma das duplas escolheu-se quem seria o robô e quem seria o comandante; o robô teve os olhos vendados; o comandante escondia um pirulito levado pelo pesquisador, onde quisesse desde que respeitasse os limites da sala de aula; em seguida o comandante indicava o caminho a ser percorrido pelo robô; os comandos eram do tipo: “siga em frente”, “vire á direita”, “vire á esquerda”, “vire de costas”, “gire segundo um ângulo de 90º”, “de uma volta de 180º”, entre outros. A brincadeira só terminava quando o robô encontrava seu “prêmio”.

Após essa atividade começou-se com explicação da classificação dos ângulos seguida de questionamento verbal a todos os alunos.

Seguindo a fase 1 de aprendizado do modelo de Van Hiele, questionou se o que é bissetriz.Respostas dos alunos: apenas um aluno respondeu o seguinte, divide o ângulo em duas partes iguais o restante da sala disse que não lembrava e não sabia o que era bissetriz.

Antes de passar a definição de bissetriz, foi entregue um papel sulfite para cada aluno, para que fosse construído um triângulo e determinar as bissetrizes dos ângulos do triângulo por meio de dobraduras. Após a resolução da atividade pelos alunos definiu se bissetriz.

Definição: bissetriz de um ângulo é a semi-reta com origem no vértice do ângulo e que o divide em dois outros ângulos congruentes.

Logo depois de passar a definição de bissetriz, foi descrita a seguinte situação abaixo: Calcule x, sabendo queOM é bissetriz do ângulo dado.

Após a resolução das atividades pelos alunos, discutiu se as diferentes soluções encontradas para todas as atividades.

As atividades desenvolvidas com o grupo de controle foram as seguintes: ministrou se aulas expositivas dialogada com o uso do quadro e giz, com carga horária de 4 horas aulas. Sobre noções básicas de ângulos congruentes, bissetriz de um ângulo, ângulo reto, agudo e obtuso, ângulos complementares, suplementares e ângulos opostos pelo vértice. Fez argumentações de forma clara, porém percebi que os alunos têm uma grande dificuldade de aprendizagem em geometria, observando em cada cadeira alguns não sabiam como iniciar o exercício mesmo depois da explicação no quadro e do

O M

4x+5o 37o

exemplo dado em sala de aula. Para concluir a aula começou se a correção dos exercícios de ângulos.

4. ANÁLISE DOS DADOS

Com o objetivo de verificar se as intervenções pedagógicas do Grupo Experimental e do Grupo de Controle foram eficientes, utilizou o teste de Wilcoxon – dois grupos relacionados para comparação das notas do pré-teste e pós-teste. Esse teste é utilizado quando se pretende analisar dados emparelhados, ou seja, quando o mesmo indivíduo é submetido a duas medidas. Será utilizado para verificar se as duas situações (pré-teste e pós-teste) são diferentes2

A tabela 1 a seguir mostra desempenho dos dois grupos durante a pesquisa.

Tabela 1: Comparação entre as diferenças de notas do grupo de controle e o grupo experimental.

Grupo de Controle Grupo Experimental

Grupos Pré-teste Pós-teste Pré-teste Pós-teste

1 4,0 5,5 3,0 4,0 2 1,5 1,5 5,0 5,5 3 3,5 3,0 6,5 10,0 4 3,0 4,5 6,0 9,0 5 7,5 7,5 6,0 8,5 6 3,0 5,0 7,0 7,5 7 6,0 7,5 4,0 6,5 8 5,0 6,5 5,0 5,0 9 3,5 6,0 3,5 2,5 10 9,0 10,0 3,0 3,0 11 4,0 3,5 4,5 5,0 12 5,0 7,0 4,0 6,0 13 1,0 2,0 6,0 7,0 14 5,5 7,5 8,0 10,0 15 4,0 3,5 4,0 6,0 16 5,0 8,0 6,0 7,0 Média 4,4 5,5 5,1 6,4

A observação direta da tabela mostra que os indivíduos do grupo experimental obtiveram mais acertos e que intervenção a pedagógica não atingiu igualmente todos os alunos. Uma possível explicação para esse fato é que a teoria de Van Hiele contribuiu para a ampliação do conhecimento existente sobre o processo de ensino aprendizagem, levando alguns alunos adquirirem mais as habilidades e competências com mais facilidade do que os não submetidos ao modelo, porém outras variáveis fora de controle do pesquisador podem ter interferido no processo de modo a não atingir igualmente todos os alunos. As diferenças individuais dos alunos podem ser levadas em consideração.

As tabelas 2 e 3 a seguir mostram os dados obtidos para o teste de Wilcoxon para os dois grupos do estudo. Foi considerada a significância

α

2

H0: as duas médias (do grupo experimental e do grupo de controle) são iguais

Tabela 2: Valores para o Teste de Wilcoxon do Grupo de Controle

Individuo

Pré-teste Pós-teste di |di|

Posto das diferenças

Posto com sinais

1 4,0 5,5 1,5 1,5 7,5 7,5 2 1,5 1,5 0,0 0,0 0,0 3 3,5 3,0 -0,5 0,5 2,0 -2,0 4 3,0 4,5 1,5 1,5 7,5 7,5 5 7,5 7,5 0,0 0,0 0,0 6 3,0 5,0 2,0 2,0 11,0 11,0 7 6,0 7,5 1,5 1,5 7,5 7,5 8 5,0 6,5 1,5 1,5 7,5 7,5 9 3,5 6,0 2,5 2,5 13 13 10 9,0 10,0 1,0 1,0 4,5 4,5 11 4,0 3,5 -0,5 0,5 2,0 -2,0 12 5,0 7,0 2,0 2,0 11,0 11,0 13 1,0 2,0 1,0 1,0 4,5 4,5 14 5,5 7,5 2,0 2,0 11,0 11,0 15 4,0 3,5 -0,5 0,5 2,0 -2,0 16 5,0 8,0 3,0 3,0 14,0 14,0

Soma dos postos negativos 6

Soma dos postos positivos 99 T = 6

Para α = 0,05
_{Valor critico = 30}

Tabela 3: Valores do teste de Wilcoxon para o Grupo Experimental

Individuo

Pré-teste Pós-teste di |di|

Posto das diferenças Posto com sinais 1 3,0 4,0 1,0 1,0 5,5 5,5 2 5,0 5,5 0,5 0,5 2,0 2,0 3 6,5 10,0 3,5 3,5 14,0 14,0 4 6,0 9,0 3,0 3,0 13,0 13,0 5 6,0 8,5 2,5 2,5 11,5 11,5 6 7,0 7,5 0,5 0,5 2,0 2,0 7 4,0 6,5 2,5 2,5 11,5 11,5 8 5,0 5,0 0,0 0,0 0,0 9 3,5 2,5 -1,0 1,0 5,5 -5,5 10 3,0 3,0 0,0 0,0 0,0 11 4,5 5,0 0,5 0,5 2,0 2,0 12 4,0 6,0 2,0 2,0 9,0 9,0 13 6,0 7,0 1,0 1,0 5,5 5,5 14 8,0 10,0 2,0 2,0 9,0 9,0 15 4,0 6,0 2,0 2,0 9,0 9,0 16 6,0 7,0 1,0 1,0 5,5 5,5

Soma dos postos negativos 5,5

Soma dos postos positivos 99,5 T = 6

Para α = 0,05
Valor critico = 30

Em ambos os casos, o valor crítico igual a 30 indica a rejeição da hipótese nula, ou seja, tanto no grupo experimental quanto no grupo de controle houve um ganho na média dos alunos envolvidos na pesquisa.

Por fim e com o objetivo de verificar se houve diferença significativa entre as notas do pós-teste do Grupo Experimental (GE) e do Grupo de Controle (GC), utilizou-se o teste T – duas amostras em par para médias.

Esse é um teste para diferença entre duas médias de populações diferentes, cujas médias queremos comparar. Se o objetivo é testar a hipótese ao nível de significância de 5%, aceitar a hipótese µa -µb = D se Z esta entre -1,96 e 1,96 em caso contrário,rejeitar a hipótese3.

Os valores do teste estão apresentados na tabela 4.

Utilizando os dados da tabela 4, um conjunto de estatísticas resumidas, resultados da estatística aplicada ao “Teste –T duas amostras em par para médias”, onde:

Ho = hipótese de que em média as diferenças nas notas antes e depois, são iguais nos

dois grupos.

H 1 = hipótese de que em média as diferenças nas notas antes e depois, são diferentes

nos dois grupos, com grau de significância α = 0,05. A fórmula 1 descreve a aplicação do teste:

(

)

σ

σ

O desenvolvimento da expressão acima considerando que X₁ =5,5, X₂ =6,4, d = 0,7 (aumento de sete décimos do grupo experimental sobre o grupo de controle),

715 5

1 = ,

σ

σ

3 _{DOWNING, Douglas & CLARK, Jeffrey. Estatística Aplicada. Trad.: Alfredo Alves de Farias. São}

Paulo: Saraiva, 2000.

Tabela 4: Comparação entre as diferenças de notas do GC e GE

Grupos GC GE

Média 5, 53125 6, 40625

Variância 5, 715625 5, 107291667

Observações 16 16

(

)

Através do teste de comparação entre as diferenças de notas analisando o nível de probabilidade a uma variância de 0,05 pode se afirmar que houve, no grupo experimental, diferença entre os dados obtidos no pré- teste e pós- teste de 0,7. Logo a intervenção pedagógica apresentou resultados de mudanças mínimas.

Então pode se dizer que quase não existiu diferença entre as médias das notas dos grupos. Um dos fatores que pode ter influenciado para que o grupo de intervenção pedagógica não tivesse mais êxito do que o esperado foi a combinação inadequada entre conteúdo e tempo de exposição.

Outro aspecto a ser levado em conta é a familiaridade que o professor tem com o método. Essa pesquisa foi o primeiro contato do pesquisado com o método e esse fato, pode ter influenciado no desempenho dos alunos.

Importante lembrar também, a sintonia entre o aluno e o objeto de estudo. Se o aluno está num certo nível e o curso em outro, o aprendizado e o processo desejados podem não se verificar, em particular, se o professor, material didático, conteúdo, vocabulário, estivessem num nível mais alto que o do aluno, este não será capaz de acompanhar os processos de pensamento que estarão sendo empregados.

5. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Ao final desse trabalho a pesquisadora percebeu que foi muito importante à oportunidade de trabalhar a teoria de Van Hiele para contribuição e ampliação do conhecimento existente sobre o processo de ensino aprendizagem, possibilitando os professores a busca por formas variadas de transmitir e melhorar a qualidade do processo de ensino aprendizagem.

A partir de tal importância o trabalho foi divido em dois grupos de controle e o grupo experimental dando a oportunidade de aprender geometria de forma diferente do tradicional sem o uso de quadro e giz, observando que alguns tiveram maior sucesso na intervenção pedagógica.

Portanto, percebemos o extremo valor dessa experiência, pois através da mesma, os conhecimentos adquiridos durante o mini–curso oferecido para os alunos sétima série do Ensino Fundamental fará diferença. Acredito que este mini-curso não consiga mudar este quadro de dificuldade que a grande maioria dos alunos tem em aprender geometria, mas se cada professor continuar fazendo a sua parte com carinho, dedicação e amor ele pode ate não conseguir mudar o mundo, mas a sua historia fará diferença na vida de seus alunos.

Essa experiência vem reafirmar o que o trabalho de Piaget é rico em sugestões para os professores ele e outros mostraram que a capacidade de pensar sob forma de operações formais não se desenvolve antes que as crianças atinjam a idade mental de uns 13 anos.

Daí se segue que os métodos de ensino, para a maioria dos alunos dos cursos de 1° grau, e mesmo mais tarde, deveriam ser adequados a crianças que pensam em termos concretos.

No ensino da matemática, um dos erros a que estamos sujeitos é o de apresentar abstrações a mentes despreparadas para elas. Os exercícios devem ser feitos pelas crianças, sem ajuda, iniciando com a leitura da questão e sua transposição para um esboço, um desenho.

6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ARBACH,Nelson.O Ensino da Geometria Plana: O saber do aluno e o saber escolar. São Paulo, 2006. 95 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) –

PUC/SP, São Paulo.

CROWLEY, Mary L. O modelo Van Hiele de desenvolvimento do pensamento geométrico. In: LINDQUIST, Mary & SHULTE, Albert P. (organizadores),

Aprendendo e Ensinando Geometria. São Paulo: Atual, 1994.

DOWNING, Douglas & CLARK, Jeffrey. Estatística Aplicada. Trad.: Alfredo Alves

de Farias. São Paulo: Saraiva, 2000.

FONSECA, Jairo Simon da & MARTINS, Gilberto de Andrade. Curso de Estatística. 6ª. Ed. São Paulo: Atlas, 1996.

MARTINS, Gilberto de Andrade. Estatística Geral e Aplicada. 3ª. Ed. São Paulo:

Atlas, 2006.

SILVA,Célia. Pontos de Psicologia Geral. São Paulo: Ática, 1991.

HAMAZAKI, Adriana Clara. O Ensino da Geometria por Meio da Metodologia Van Hiele:

Uma Experiência. Disponível em

<http://www.sbempaulista.org.br/epem/anais/Comunicacoes_Orais%5Cco0109.doc>. Acesso em 16/11/2007 ás 14h25.

PEREIRA, G.A., silva, S. P. & MOTTA JR. W. S. O Modelo Van Hiele de Ensino de

Geometria aplicada a 5 e 6 séries do Ensino Fundamental. Disponível em

<http://www.famat.ufu.br/revista/revistaset2005/artigos/ArtigoGislianeSandreaneWalter.pdf>. Acesso em 28/08/2007 às 18h25.