O corpo representado na figura 2 está sob a acção simultânea F 1 F 2. Figura 1.1: Exercício 1.2.

(1)

No¸

c˜

oes matem´

aticas

Exerc´ıcio 1.1: Um jogador de golfe dá três tacadas para colocar a sua bola num buraco. A primeira tacada desloca a bola 5 m para Sul, a segunda 2 m para Sudeste e a terceira 1 m para Norte. Determinar o deslocamento necessário para colocar a bola nesse buraco com uma só tacada.

Exerc´ıcio 1.2: O corpo representado na figura 2 está sob a açcão simultânea

º 20 F₁ º 60 F₂ Figura 1.1: Exerc´ıcio 1.2.

de 2 for¸cas ~F1 e ~F2 de intensidades, respectivamente, 300 N e 200 N. Determinar

a grandeza da resultante destas 2 for¸cas e o ˆangulo que ela faz com a horizontal: a) Decompondo as for¸cas num sistema de eixos ortogonal.

b) Graficamente, utilizando a regra do pol´ıgono.

Exerc´ıcio 1.3: Um transatlântico avariado é rebocado por três rebocadores como mostra a figura 3. Sabendo que a tensão em cada cabo é de 5000 N, determinar a for¸ca resultante que actua na proa do navio, decompondo cada uma das for¸cas num sistema de eixos ortogonais.

Exerc´ıcio 1.4: Determinar a resultante do sistema de for¸cas representado na

(2)

º 20 R₁ º 10 R₂ R₃ º 15 Figura 1.2: Exerc´ıcio 1.3. 3 -3 X Y 0 3 -3 F4 F₃ F₁ F₂ º 45 º 45 º 30 Figura 1.3: Exerc´ıcio 1.4.

Exerc´ıcio 1.5: Representar, na figura 5, o vector ~P Q.

x(cm) 2 y(cm) 2 4 6 8 8 P Q 4 6 0 Figura 1.4: Exerc´ıcio 1.5.

a) Determinar as componentes deste vector no sistema de eixos OXY represen-tado na figura 5.

b) Desenhar um novo sistema de eixos, paralelos ao da figura 5, passando por

(3)

c) Dizer em que condi¸c˜oes um vector se altera:

a) se efectuarmos uma translaçcão do sistema de eixos de referência? b) se rodarmos o sistema de eixos de referência?

E as componentes do vector alteram-se?

Exerc´ıcio 1.6: Determinar a resultante de três for¸cas de intensidades iguais a 1, 2 e 3 kgf cujas direçcões e sentidos são os das diagonais das três faces cont´ıguas de um cubo, orientadas do vértice comum para o vértice oposto da respectiva face (ver figura 1.5). X F₁ F₃ F₂ Y Z Figura 1.5: Exerc´ıcio 1.6.

Exerc´ıcio 1.7: Considere o vector ~a = 3ˆı + ˆ + 2ˆk a) Determine o m´odulo de ~a.

b) Determine o módulo da projeçcão de ~a no plano XY.

c) Construa um vector ~b no plano XY que seja perpendicular ~a. d) Construa o versor ˆb.

e) Calcule o produto escalar de ~a com o vector ~c = 2ˆı.

f) Determine o produto vectorial ~a_{∧ ~c.}

g) Determine o vector ~a− ~c.

Exerc´ıcio 1.8: Provar que:

a) Se os módulos da soma e da diferen¸ca de 2 vectores, não nulos, são iguais, os vectores são perpendiculares.

(4)

b) Se a soma e a diferen¸ca de 2 vectores são perpendiculares, os 2 vectores têm módulos iguais.

Sugest˜ao: Repare que_|~u|2 _{= ~u.~u.}

Exerc´ıcio 1.9: Um vector ~a tem m´odulo 10 unidades e um outro vector ~b tem

m´odulo 6 unidades . Os dois vectores fazem um ˆangulo entre si de 60◦_.

a) Determine o produto escalar ~a.~b.

b) Determine o m´odulo do produto vectorial ~a_{∧ ~b.}

c) Verifique que o módulo de ~a∧ ~b é numericamente igual à área do

paralelo-grama que tem os vectores por lados.

d) Exprima em fun¸cão de ~a_{∧~b o valor numérico da área do triângulo de que ~a}

e ~b s˜ao dois lados.

Exerc´ıcio 1.10: As direçcões dos vectores ~b, ~c e ~d estão representadas no cubo de aresta a da figura 10.

a) Determine o ˆangulo formado pela diagonal do cubo (vector ~d) com um lado

do cubo (vector ~b).

b) Indique a grandeza, direc¸c˜ao e sentido do vector ~b∧ ~c.

b c

d

Figura 1.6: Exerc´ıcio 1.10.

Exerc´ıcio 1.11: Na figura 1.7, o rectˆangulo ABCD de lados a e b est´a sobre

um plano vertical que faz 45◦ _{com o eixo OX.}

a) Indicar a grandeza, direc¸c˜ao e sentido de ~a∧ ~b, sendo |~a| = |~b| = 1.

b) Escrever a express˜ao cartesiana do vector ~c = (~a∧ ~b) e determinar o ˆangulo

(5)

X ₄₅º Y Z A B C D a b Figura 1.7: Exerc´ıcio 1.11.

Exerc´ıcio 1.12: Determine o valor de a para o qual os vectores 2ˆı_{− ˆ + ˆk,}

ˆı + 2ˆ_{− 3ˆk e 3ˆı+ aˆ+ ˆk s˜ao complanares.}

Exerc´ıcio 1.13: Dados os vectores a ~a = 3ˆı+ 4ˆ_{−5ˆk e ~b = −ˆı+2ˆ+6ˆk, referidos} em rela¸c˜ao a um sistema ortonormado calcular:

a) A grandeza de cada um. b) O produto escalar ~a.~b.

c) O ˆangulo que formam os vectores ~a e ~b.

d) A soma e a diferen¸ca (~a + ~b) e (~a_−~b).

e) O produto vectorial (~a_{∧ ~b).}

f) A projec¸c˜ao de ~a sobre ~b e a de ~b sobre ~a.

Exerc´ıcio 1.14: Considerar o plano definido pelos 3 pontos seguintes:

P1 −→ (−1, 1, 2)

P2 −→ (0, 0, 2)

P3 −→ (1, 0, 1)

Determinar um versor normal a esse plano. A resposta ´e ´unica?

Exerc´ıcio 1.15: Considerar 3 vectores ~u1, ~u2 e ~u3 n˜ao colineares tais que

~

u1+ ~u2+ ~u3 = 0 (ver figura 1.8).

(6)

b) Ser´a capaz de mostrar, partindo do resultado da al´ınea anterior, que: | ~u1| sin α1 = | ~u2| sin α2 = | ~u3| sin α3

Este resultado ´e conhecido por ”lei dos senos”.

u₁ u₃ u₂ α₁ α₃ α₂ Figura 1.8: Exerc´ıcio 1.15.

Exerc´ıcio 1.16: Considerando 3 vectores n˜ao colineares ~u, ~v e ~w tais que

~u = ~v + ~w (ver figura 1.9).

a) Mostrar que_{|~u| =}

|~v|2+_{| ~}w_|2+ 2_{|~v| | ~}w_{| cos α (Teorema de Carnot).}

b) ´E capaz de descobrir na al´ınea anterior o ”Teorema de Pit´agoras”?

c) Se ~u = ~v_{− ~}w que express˜ao dever´ıamos utilizar?

v

u w α

Exerc´ıcio 1.17: Considere um sistema de eixos OXYZ em que ˆz aponta para

cima do plano do papel. Considere 2 vectores ~u e ~v de coordenadas (X1 > 0,

Y1 > 0, 0) e (X2 < 0, Y2 > 0, 0) neste sistema de eixos.

a) Qual a express˜ao cartesiana para ~w = ~u_{∧ ~v? ~}w aponta para cima ou para

baixo do plano do papel?

b) Se mud´assemos do sistema de eixos OXYZ para o sistema de eixos OX0_Y0_Z0_,

tal queOX~ 0 ₌ _{− ~}_{OX; ~}_OY0 ₌ _{− ~}_{OY ; ~}_OZ0 ₌ _{− ~}_{OZ , o que acontecia `as}

(7)

a) ~u? b) ~v?

c) ~w = ~u_{∧ ~v?}

E agora ~w aponta para cima ou para baixo do plano do papel? Surpreendido?

´

E capaz de explicar o que aconteceu?

Exerc´ıcio 1.18: Em certas situa¸c˜oes ´e conveniente especificar um ponto num

X Y P O ϕ r Figura 1.10: Exerc´ıcio 1.18.

plano através de 2 coordenadas, ditas polares, r e ϕ, referidas em rela¸cão a um sistema de eixos OXY (ver figura 1.10). r é a distância do ponto considerado à

origem do sistema de referência e ϕ é o ângulo que o vector ~OP = ~r faz com o

semi-eixo positivo ~OX.

a) Mostre que ~r = rˆr, com ˆr = cos ϕˆı + sin ϕˆ. Represente ˆr na figura 1.10.

b) Se o ponto P se mover, r e ϕ s˜ao fun¸c˜oes do tempo. Sejam elas r(t) e ϕ(t). Mostre que: d~r dt = dr dtˆr + r dϕ dtϕˆ

sendo ˆϕ =_{− sin ϕˆı+ cos ϕˆ.}

Desenhe ˆϕ na figura 1.10. Qual a posi¸c˜ao relativa de ˆr e ˆϕ?

Exerc´ıcio 1.19: Calcule os seguintes integrais:

a) 5 0 x 2_{+ x} dx b) √ 2 0 √ xdx c) π 2 −2πsin t 2 dt d) 2π 0 cos (5t) dt e) 3 2 t2_{ˆı + 20ˆ}_{ + t}3_kˆ dt f) 3 0 sin (2πt) ˆı + cos (2πt) ˆk dt

(8)

1.1 Solu¸

c˜

oes das no¸

c˜

oes matem´

aticas

Solu¸cão 1.1: ~tequivalente= 1.414ˆı− 5.4ˆ (m). Solu¸cão 1.2: ~ R = 4.36× 10 2_N θ = 56.6◦ Solu¸cão 1.3: R = 5000 (2.83ˆı~ _{− 0.25ˆ) (N).} Solu¸cão 1.4: R = 17.5ˆı~ _{− 12.99ˆ (N).} Solu¸cão 1.5: a) ~P Q =_{−4ˆı+ 3ˆ} b) ~P Q =−4ˆı0_{+ 3ˆ}_0

c) a) O vector não se altera. As componentes do vector também não se

alteram.

b) O vector n˜ao se altera. As componentes do vector, no entanto, alte-ram-se.

Solu¸c˜ao 1.6: R =~ √₂2 4ˆı + 5ˆ + 3ˆk

(kgf).

Solu¸c˜ao 1.7:

a) _{|~a| =}√14.

b) O módulo da projeçcão de ~a no plano XY é

a2 x+ a2y = √ 10. c) ~b = ˆı− 3ˆ, por exemplo. d) ˆb = ˆı−3ˆ√ 10. e) ~a.~c = 6. f) ~a∧ ~c = 4ˆ− 2ˆk. g) ~a_{− ~c = ˆı+ ˆ+ 2ˆk.}

(9)

Solu¸cão 1.8: Demonstra¸cão. Solu¸cão 1.9: a) ~a.~b = 30. b) ~a∧~b = 52. c) ~a∧~b . d) |~a∧~b₂ |. Solu¸cão 1.10: a) θ = 54.7◦_. b) ~b_{∧ ~c = a}2ˆı. Solu¸cão 1.11: a) ~a∧~b

= 1; perpendicular ao plano definido por ~a e ~b, com o sentido dado

pelo sentido do vector ~c da al´ınea seguinte.

b) ~c = √₂2(_{−ˆı+ ˆ).} Solu¸c˜ao 1.12: a =−8 7. Solu¸c˜ao 1.13: a) |~a| = 7.07 ~b = 6.40 b) ~a.~b =_−25. c) θ ~a,~b = 123.5 ◦_. d) ~a + ~b = 2ˆı + 6ˆ + ˆk ~a_{−~b = 4ˆı+ 2ˆ− 11ˆk} e) ~a_{∧~b = 34ˆı− 13ˆ+ 10ˆk}

(10)

f) proj_~b~a = −3.90 proj_~_a~b = −3.54 Solu¸cão 1.14: n =ˆ _±ˆı+ˆ√+ˆk 3 Solu¸cão 1.15: Demonstra¸cão. Solu¸cão 1.16: Demonstra¸cão. Solu¸cão 1.17: a) ~w = ~u_{∧ ~v = ˆk (X}1Y2− Y1X2), ~

w aponta para cima do plano do papel.

b) a) ~u =_−X1ˆı0− Y1ˆ0.

b) ~v =_−X2ˆı0− Y2ˆ0.

c) ~w =_{− (X}1Y2− Y1X2) ˆk0

~

w continua a apontar para cima do plano do papel.

Solu¸c˜ao 1.18: Demonstra¸c˜ao. ˆ

r e ˆϕ s˜ao perpendiculares entre si.

Solu¸c˜ao 1.19: a) 325₆ . b) 2₃234. c) −√2− 2. d) 0. e) 19₃ˆı + 20ˆ + 65₄k.ˆ f) 0.

(11)

Cinem´

atica

Exerc´ıcio 2.1: O gr´afico da figura 2.1 representa a velocidade escalar de um ponto material, que se desloca em linha recta, em fun¸c˜ao do tempo.

t(s) -5 v (m/s) 1 2 3 4 5 6 7 5 10 Figura 2.1: Exerc´ıcio 2.1.

a) Indicar em qual dos trˆes intervalos de tempo, 2 a 3 s, 4 a 5 s e 6 a 7 s:

i. É máximo o módulo da velocidade média.

ii. ´E m´ınimo o espa¸co percorrido.

b) Determinar a acelera¸c˜ao do ponto material no instante t = 3 s. c) Durante o intervalo de tempo de 2 a 5 s indicar:

i. O espa¸co percorrido pelo ponto material. ii. O deslocamento do ponto material.

d) Em que instante esteve o ponto material a maior distˆancia do ponto de partida?

(12)

e) Construir o gr´afico a(t) para o movimento deste ponto material no intervalo de 0 a 7 s, admitindo que entre os instantes t = 6 s e t = 7 s a acelera¸c˜ao varia linearmente com o tempo.

Exerc´ıcio 2.2: Dois estudantes realizam a seguinte experiência num laboratório de F´ısica: do n´ıvel do chão de uma varanda, um dos estudantes deixa cair um ob-jecto. Num piso abaixo o seu colega verifica, com um dispositivo automático para medir o tempo, que esse objecto demora 0.15 s a percorrer o espa¸co compreendido entre a parte superior e a parte inferior da porta de uma varanda, cuja altura é de 2 m.

Assumindo que o objecto partiu sem velocidade inicial, calcular a distˆancia entre os dois pisos.

Exerc´ıcio 2.3: Lan¸ca-se uma bola verticalmente, para cima, com uma velocidade inicial de 20 m/s.

a) Quanto tempo permanece a bola no ar? b) Qual ´e a altura m´axima que a bola atinge?

c) Em que instante(s) est´a a bola a 15 m do solo?

Exerc´ıcio 2.4: Um corpo com movimento rectil´ıneo tem uma velocidade inicial

de 5 m/s e uma acelera¸c˜ao de 2 m/s2. Que distˆancia deve o corpo percorrer para

que a sua velocidade m´edia atinja o valor de 15 m/s?

Exerc´ıcio 2.5: Um m´ovel desloca-se em linha recta com velocidade inicial vo

e acelera¸c˜ao constante a. Quando atinge a velocidade 5vo, a acelera¸c˜ao muda de

sinal ficando a sua grandeza inalter´avel.

a) Qual a velocidade do m´ovel no instante em que volta a passar pelo ponto de partida?

b) Qual o espa¸co percorrido, at´e voltar a passar pelo ponto de partida?

Exerc´ıcio 2.6: Duas part´ıculas partem do repouso, sobre uma mesma recta, movendo-se em sentidos opostos, animadas de acelera¸cões com módulos iguais e constantes, encontrando-se ao fim de 10 s. Qual o incremento a dar à acelera¸cão de uma delas para que se encontrem ao fim de 5 segundos?

(13)

Exerc´ıcio 2.7: Uma part´ıcula move-se no plano XOY segundo a lei:

~r = 3t2ˆı− (8t + 1) ˆ

Determine:

a) O vector deslocamento, entre os instantes 1 s e 3 s. b) O vector velocidade m´edia, entre os mesmos instantes. c) O vector velocidade.

d) A equa¸c˜ao da traject´oria.

e) Os m´odulos das componentes tangencial e normal da acelera¸c˜ao.

Exerc´ıcio 2.8: O vector posicional de uma part´ıcula no instante t ´e:

~r = tˆı + t

2ˆ + t

2_ˆ_k _(S.I.)

Determinar:

a) A velocidade em cada instante t.

b) O m´odulo da velocidade em qualquer instante t. c) A velocidade no instante t = 0 s.

d) A velocidade ao fim de 10 s de movimento.

e) A acelera¸cão e o módulo da acelera¸cão num instante t.

f) Os m´odulos das componentes normal e tangencial da acelera¸c˜ao num in-stante t.

g) O raio de curvatura no instante t = 0 s.

Exerc´ıcio 2.9: Uma part´ıcula descreve uma trajectória circular em torno da origem dos eixos. A sua posi¸cão é dada em cada instante pela expressão:

~r = 3 sin(2t)ˆı + 3 cos(2t)ˆ

em que ~r est´a expresso em metros e o argumento das fun¸c˜oes seno e co-seno em radianos.

a) Calcular ~v(t), ~a(t), v(t) e a(t).

(14)

c) Calcular a express˜ao para s(t) assumindo s(0) = 0 m.

d) Calcular ~r, ~v e ~a nos instantes t = 0 s e t = 2 s. Qual o espa¸co percorrido entre estes dois instantes?

e) Desenhar uma circunferˆencia centrada nos eixos cartesianos e representar as quantidades calculadas na al´ınea anterior.

f) Calcular o ˆangulo θ descrito pelo vector ~r entre os dois instantes referidos e a partir da´ı calcular a velocidade angular ω.

Exerc´ıcio 2.10: Uma part´ıcula descreve uma traject´oria circular segundo a lei

s(t) =_−t2_{+ 4t + 3 (S.I.) e parte no instante t = 0 s de A deslocando-se no sentido}

anti-horário (ver figura 2.2). O raio da trajectória é tal que o sentido do movimento se inverte à primeira passagem por B.

Determinar:

a) O raio da traject´oria.

b) A acelera¸c˜ao do movimento na primeira vez que a part´ıcula passa por B. c) Os instantes em que a part´ıcula passa pelo ponto A.

d) A acelera¸c˜ao do movimento nas sucessivas passagens em A.

O _A

B

Exerc´ıcio 2.11: Uma part´ıcula descreve um movimento cuja traject´oria ´e

cir-cular, de raio 6 m, e centrada no ponto A(3; 5; 2) m. O vector ~w tem a forma

~

w = wxˆı, com wx constante > 0. No instante t = 0 s a part´ıcula encontra-se no

ponto B(3; 5 + 3√2; 2 + 3√2) m e executa 150 voltas em 30 s.

a) Calcular o per´ıodo do movimento.

(15)

c) Determinar em que instantes a part´ıcula se encontra no plano XOZ, e no plano XOY.

d) Obter os vectores velocidade, ~v(t), e acelera¸c˜ao, ~a(t).

e) Escrever a expressão s(t), considerando a origem dos arcos no ponto B, e calcular o espa¸co percorrido pela part´ıcula até ao instante t = 0.15 s. f) Calcular o ângulo formado entre ~r(t = 0 s) e ~r(t = 0.15 s).

g) Determinar o ˆangulo que formariam entre si os vectores posicionais ~

r0_{(t = 0 s) e ~}_r0_{(t = 0.15 s), se tivessemos considerado um sistema de}

coor-denadas com a origem coincidente com o centro de curvatura da traject´oria.

Exerc´ıcio 2.12: Um m´ovel, A, parte do ponto P1 da figura 2.3, deslocando-se

no sentido horário com uma velocidade de módulo igual a 6 m/s, que se mantém constante durante o movimento. Decorrido 1 segundo após o in´ıcio do movimento de A, outro móvel B, inicialmente em repouso, parte do ponto O, sendo a

com-ponente tangencial da sua acelera¸c˜ao contante e igual a 2 m/s2. O valor de R

indicado na figura ´e 2/π metros.

a) Determinar o ˆangulo formado entre os vectores velocidade e acelera¸c˜ao para

os m´oveis A e B, quando estes fazem a sua passagem pelo ponto P2.

b) Calcular a distância (marcada sobre a trajectória) entre A e B quando os módulos das suas velocidades são iguais.

c) Calcular a rela¸c˜ao entre as velocidades angulares do m´ovel A nos percursos

P1P3 e P3P4. 4R P₄ P₁ P₂ P₃ OR 2R 3R P₀ Figura 2.3: Exerc´ıcio 2.12.

Exerc´ıcio 2.13: Um ponto material desloca-se sobre a traject´oria [ABCD] in-dicada na figura 2.4 no sentido de A para D. O movimento ´e uniforme em AB,

(16)

uniformemente acelerado em BC e uniformemente retardado em CD. Sabendo

que o ponto material demora 2 s a percorrerBP 1, que a velocidade angular m´edia

emP 1P2 ´e π/6 rad/s e que o ponto material chega a D com velocidade nula:

a) Calcule a acelera¸c˜ao tangencial do ponto material em BC e a acelera¸c˜ao em

CD.

b) Qual o ˆangulo que a velocidade faz com a acelera¸c˜ao no ponto P2?

c) Quais os instantes em que o ponto material tem velocidade escalar in-stanânea igual à velocidade escalar média no percurso [ABCD]?

π m 180 R= º 30 P₁ P₂ A B C D º 30 100 m 100 m Figura 2.4: Exerc´ıcio 2.13.

Exerc´ıcio 2.14: Para determinar a velocidade de lan¸camento de uma arma, um estudante realizou a seguinte experiência: deitou-se numa rampa e disparou a arma perpendicularmente à rampa, como mostra a figura 2.5. Verificou que o projéctil tocou a rampa num ponto P à distância de 40 m do ponto de lan¸camento. Que valor calculou para a velocidade de lan¸camento da sua arma?

v_o P

º

30

Exerc´ıcio 2.15: Um lan¸ca projécteis está regulado para um ângulo de tiro de

45◦ _{e imprime uma velocidade inicial de m´odulo 6 m/s. Colocando esse lan¸ca}

proj´ecteis sobre um solo horizontal, calcule:

a) a altura máxima que poderá ter um muro, e a que distância deverá estar do ponto de lan¸camento, para que os projécteis passem por cima dele;

(17)

Exerc´ıcio 2.16: Um motociclista acrobata pretende saltar um desfiladeiro de 10 metros de largura, indo de A para B (consultar a figura 2.6). As duas margens do desfiladeiro tˆem um desn´ıvel de 3 metros. A margem mais baixa tem uma

inclina¸c˜ao de 30◦_{. Sabendo que a velocidade m´axima conseguida pela moto na}

subida ´e de 60 km/h, valer´a a pena tentar o salto?

A B º 30 10 m 3 m Figura 2.6: Exerc´ıcio 2.16.

Exerc´ıcio 2.17: Uma bola, que se movia horizontalmente com uma velocidade de 1.5 m/s, cai por uma escada abaixo. Os degraus da escada tˆem 20 cm de altura e 20 cm de largura. Qual ´e o primeiro degrau em que a bola bate?

Exerc´ıcio 2.18: Um indiv´ıduo vai num autom´ovel a 56.7 km/h e deixa cair uma garrafa vazia de um metro de altura.

a) Desprezando a velocidade e a resistência do ar, a que distância (segundo a horizontal) cairá a garrafa do ponto onde foi largada?

b) No instante em que toca o solo, a que distˆancia (segundo a horizontal) se encontra a garrafa da m˜ao do indiv´ıduo?

Exerc´ıcio 2.19: Dois aviões em vôo horizontal aproximam-se de um porta--aviões parado. Um dos aviões voa a uma altura 4 vezes superior à do outro, com velocidade de módulo v. Quando passam na mesma vertical cada um deixa cair uma bomba. Qual a velocidade do avião que voa a menor altura para que as duas bombas atinjam o porta-aviões no mesmo ponto?

Exerc´ıcio 2.20: Um comboio desloca-se com velocidade −20ˆı (m/s). O

(18)

pas-sageiro B desloca-se, em rela¸c˜ao a um objecto fixo do exterior, com velocidade −21ˆı− 2ˆ (m/s).

a) Calcular a velocidade do passageiro A em rela¸c˜ao ao exterior. b) Calcular a velocidade do passageiro B em rela¸c˜ao ao passageiro A.

Exerc´ıcio 2.21: Um nadador pretende atravessar um rio com 0.25 km de largura. A ´agua tem uma velocidade de 0.5 km/h e o nadador ´e capaz de nadar a uma velocidade de 1 km/h.

a) Indicar, justificando, qual a escolha mais vantajosa (menor tempo de per-curso).

i. Tomar um rumo perpendicular `a corrente (nadar com o corpo perpen-dicular `a margem).

ii. Tomar um rumo contra a corrente, de tal modo que chegue `a outra margem no ponto directamente oposto.

b) Qual a direçcão do movimento do nadador em rela¸cão à corrente para que atinja o ponto do rio exactamente oposto?

Exerc´ıcio 2.22: O piloto de um avião deseja alcan¸car um ponto a 200 km a Este do lugar onde se encontra. Sopra vento de Noroeste com velocidade de módulo 30 km/h. Calcular a velocidade do avião em rela¸cão ao ar, se o avião demorar 40 minutos a chegar ao seu destino, com velocidade constante.

Exerc´ıcio 2.23: As 12 horas o barco A est´a a 10 km a Este e a 20 km a Norte de`

um certo ponto, navegando a 40 km/h numa direc¸c˜ao 30◦ _{Este da linha Sul-Norte.}

No mesmo instante o barco B est´a a 50 km a Este e a 40 km a Norte do mesmo

ponto e navega a 20 km/h na direc¸c˜ao 30◦ _{Oeste da linha Sul-Norte.}

a) Determinar a velocidade do barco B relativamente ao barco A.

b) Se os barcos continuarem em movimento, com as velocidades acima men-cionadas, quando se encontrarão à menor distância um do outro e qual é essa distância?

Exerc´ıcio 2.24: Um elevador sobe um prédio com velocidade constante de módulo 4.9 m/s. Em dado instante a lâmpada do tecto desprende-se e vai es-tilha¸car-se contra o chão do elevador, que tem 4.9 m de altura.

(19)

a) Calcular o tempo de queda da lˆampada do ponto de vista de um observador viajando no elevador.

b) Analisar como um observador solid´ario com o edif´ıcio veria o acontecimento. c) Verifique para este caso a validade das transforma¸c˜oes de Galileu.

Exerc´ıcio 2.25: Dois carros viajam, um atr´as do outro, numa estrada recta, ambos a 60 km/h e a 25 m de distˆancia um do outro. O condutor do carro de

trás decide ultrapassar o outro e fá-lo com acelera¸cão de módulo 20_{× 10}3 km/h2

até atingir a velocidade de 90 km/h; continua então com esta velocidade até se encontrar a 25 m à frente do outro carro.

a) Que distância percorre, ao longo da estrada, o carro que faz a ultrapassagem, desde o in´ıcio até ao fim desta opera¸cão?

b) Se no sentido oposto se deslocasse um carro a 80 km/h, qual seria, no in´ıcio da manobra de ultrapassagem, a m´ınima distância poss´ıvel entre o terceiro carro e o carro que pretende ultrapassar para não haver colisão?

Exerc´ıcio 2.26: Do cimo de uma torre lan¸ca-se uma pedra A verticalmente e para cima, com velocidade de m´odulo 14.7 m/s. Dois segundos depois, deixa-se cair, do mesmo ponto, uma pedra B. (Desprezar a resistˆencia do ar, e considerar

g = 9.8 m/s2_).

a) Calcular a acelera¸c˜ao de A em rela¸c˜ao a B.

b) Determinar a velocidade escalar de B relativamente a A em fun¸c˜ao do tempo

(vBA(t)) e represent´a-la graficamente. Com base nessa fun¸c˜ao caracterizar

o movimento que a pedra B descreve em rela¸c˜ao a A, a partir do instante t = 0 s.

c) Calcular a distˆancia entre A e B, em fun¸c˜ao do tempo, a partir do instante t = 2 s. Determinar o instante em que uma pedra ultrapassa a outra.

Exerc´ıcio 2.27: Um observador encontra-se sobre uma vagonete que se move com movimento rectil´ıneo uniforme, num plano horizontal, com uma velocidade cujo módulo é de 2 m/s (ver figura 2.7). Uma pedra é lan¸cada de um ponto, que

no sistema S0 _{solid´ario com a vagonete, tem as coordenadas (0; 0). A velocidade}

inicial da pedra, no sistema S0_{, tem a direçcão do eixo Y}0 _{e o seu módulo é de}

14.7 m/s. Relativamente ao sistema S, o lan¸camento ´e feito do ponto (_{−3; 0) m.}

(20)

b) Como descreve o movimento da pedra, um observador do sistema fixo S? c) Como descreve o movimento da pedra o observador que se encontra sobre a

vagonete?

d) Calcular a velocidade da pedra relativamente a S0_{, no instante em que volta}

a atingir o ch˜ao da vagonete.

e) Determinar a distˆancia da pedra ao ponto O0 _{no instante em que a sua}

velocidade relativamente a S0 _{´e nula.}

X X' Y O' O Y' Figura 2.7: Exerc´ıcio 2.27.

(21)

2.1 Solu¸

c˜

oes da cinem´

atica

Solu¸c˜ao 2.1:

a) i. _|vm´edia|m´axima, t∈ [2 s; 3 s].

ii. |∆e|m´ınimo, t∈ [6 s; 7 s].

b) a(3) =_{−5 m/s}2. c) i. ∆e =_{|x(4) − x(2)| + |x(5) − x(4)| = 12.5 m.} ii. ∆x = x(5)− x(2) = 7.5 m. d) t = 4 s. e) t∈ [0 s; 1 s]: a = 10 m/s2 t∈ [1 s; 2 s]: a = 0 m/s2 t∈ [2 s; 5 s]: a = −5 m/s2 t_{∈ [5 s; 6 s]: a = 0 m/s}2 t_{∈ [6 s; 7 s]: a = −10t + 70 (m/s}2)

Solu¸cão 2.2: A distância entre os dois pisos é igual a 10.1 m.

Solu¸c˜ao 2.3:

a) ∆t = 4.1 s.

b) hm´axima = ym´aximo= 20.4 m.

c) t = 0.99 s _{∨ t = 3.09 s.}

Solu¸c˜ao 2.4: Deve percorrer 150 m.

Solu¸c˜ao 2.5:

a) v =−7vo.

b) ∆e = 49v2o

a .

Solu¸c˜ao 2.6: ∆a = 6a.

(22)

a) ∆~r = ~r(3)_{− ~r(1) = 24ˆı− 16ˆ (m).} b) ~vmédia= ∆~_∆tr = 12ˆı− 8ˆ (m/s). c) ~v = 6tˆı_{− 8ˆ (m/s).} d) 64x = 3 + 3y2+ 6y. e) |an| = 48 √ 36t2 +64 (m/s 2 ) |at| =√_36t36t2 +64 (m/s 2 ) Solu¸cão 2.8: a) ~v(t) = ˆı + 1₂ˆ + 2tˆk (m/s). b) |~v(t)| = 5 4 + 4t2 m/s. c) ~v(0) = ˆı + 1₂ˆ (m/s). d) ~v(10) = ˆı + 1₂ + 20ˆˆ k (m/s). e) ~a(t) = 2ˆk (m/s2);|~a(t)| = 2 m/s2_. f) |at| = 4t 5 4+4t 2 (m/s 2₎ |an| = √ 5 5 4+4t 2 (m/s 2₎ g) ρ(0) = 62.5 cm. Solu¸cão 2.9: a) ~v(t) = 6 cos (2t) ˆı_{− 6 sin (2t) ˆ} (m/s)

~a(t) =_{−12 sin (2t)ˆı− 12 cos (2t) ˆ (m/s}2)

v(t) = 6 m/s a(t) = 12 m/s2 b) |at| = 0 m/s2 |an| = 12 m/s2 c) s(t) = 6t (m). d) ~r(0) = 3ˆ (m) ~r(2) =_{−2.27ˆı− 1.96ˆ (m)} ~v(0) = 6ˆı (m/s) ~v(2) =_{−3.92ˆı+ 4.54ˆ (m/s)}

(23)

~a(0) =−12ˆ (m/s2) ~a(2) = +9.08ˆı + 7.84ˆ (m/s2) ∆s = s(2)− s(0) = 12 m. e) Gráfico. f) θ = 4 rad; ω = 2 rad/s. Solu¸cão 2.10: a) R = _π8 m. b) ~a =_{−2ˆt (m/s}2). c) t = 0 s t = 2 +√4 + 16n s, com n∈ N0 d) ~a =−2ˆt+ π 2(4 + 16n) ˆn (m/s 2 ). Solu¸cão 2.11: a) T = 0.2 s. b) ~r = 3ˆı + 5 + 6 cos10πt + π 4 ˆ + 2 + 6 sin 10πt + π 4 ˆ k (m). c) XOZ: t1 = 2nπ+2.94_10π ; t2 = 2nπ+1.77_10π XOY : t1 = 2nπ+5.16_10π ; t2 = 2nπ+2.70_10π , com n_{∈ N}0 d) ~v = 60π − sin10πt + π 4  + cosˆ 10πt + π 4 ˆ k (m/s). ~a =_−600π2 cos 10πt + π₄ ˆ + sin 10πt + π₄ ˆk (m/s 2_). e) s(t) = 60πt m ∆s = s(0.15)− s(0) = 28.3 m f) θ = 45.6◦_. g) α = 3₂π rad. Solu¸cão 2.12: a) θA=π₂ θB= 83.9◦ b) ∆s = 21 m.

(24)

c) ω13 ω34 = 4 3. Solu¸c˜ao 2.13: a) BC : at= 5 m/s2 CD : a =−9.5 m/s2 b) θ = 79.8◦_.

c) 11.6 s e 19.4 s ap´os o in´ıcio do movimento no ponto A.

Solu¸cão 2.14: _{| ~}vo| = 17.2 m/s. Solu¸cão 2.15: a) hmáxima= 0.92 m d = 1.84 m b) d = 3.68 m.

Solu¸c˜ao 2.16: Vale a pena tentar o salto porque ∆y = 3.4 m > 3 m quando ∆x = 10 m.

Solu¸c˜ao 2.17: A bola bate no 3◦ _degrau.

Solu¸c˜ao 2.18:

a) ∆x = 7.1 m.

b) ∆x = 0 m porque, ao desprezar a resistência ao ar, a velocidade do au-tomóvel e a da componente horizontal da velocidade da garrafa são iguais (a 56.7 km/h).

Solu¸cão 2.19: O avião que voa mais baixo necessita de ter uma velocidade de módulo 2v.

Solu¸c˜ao 2.20:

a) ~vA(t) =−19ˆı+ 2ˆ (m/s).

(25)

Solu¸c˜ao 2.21:

a) Tomar um rumo perpendicular `a corrente.

b) θ = 2₃π.

Solu¸c˜ao 2.22:

v(t)av= 279. 6 km/h.

θ = 4.35◦_{, a Norte da direc¸c˜ao OE.}

Solu¸cão 2.23: a) ~vB− ~vA=−30ˆı− 10 √ 3ˆ (km/h). b) t = 13.3 h. dm´ınima= 2.68 km. Solu¸cão 2.24: a) t = 1 s. b) Análise. c) Verifica¸cão. Solu¸cão 2.25: a) d = 195 m. b) dm´ınima = 388.3 m. Solu¸cão 2.26: a) 0 < t < 2 s ~aAB=−9.8ˆ (m/s2) t_{≥ 2 s} ~aAB= 0 b) 0 < t < 2 s ~vBA= (−14.7 + 9.8t) ˆ (m/s) t_{≥ 2 s} ~vBA= 4.9ˆ (m/s) c) to= 4 s. Solu¸cão 2.27: a) ~vps(t) = 2ˆı + 14.7ˆ (m/s)

(26)

b) Movimento de um proj´ectil, com componente vertical e horizontal. c) Movimento de um proj´ectil vertical.

d) ~vps0 =−14.7ˆ0 (m/s)

(27)

Dinˆ

amica

Exerc´ıcio 3.1: Um homem de massa 90 kg est´a dentro de um elevador. Deter-mine a for¸ca que o piso exerce sobre o homem em cada um dos seguintes casos:

a) O elevador sobe com velocidade constante. b) O elevador desce com velocidade constante.

c) O elevador desce com movimento uniformemente retardado de acelera¸c˜ao

igual a 3 m/s2.

d) O cabo do elevador parte.

Exerc´ıcio 3.2: Uma sonda meteorológica com a massa de 20 kg encontra-se suspensa de um balão de hélio, por meio de uma corda.

a) Se, na sua viagem estratosférica, o balão subir com uma acelera¸cão máxima

de grandeza 3.5 m/s2, qual é a tensão m´ınima que a corda deverá suportar?

b) Em que condi¸c˜oes seria a tens˜ao na corda igual ao peso da sonda?

c) Se a sonda e o bal˜ao ca´ırem verticalmente com acelera¸c˜ao de grandeza

4.9 m/s2, qual ´e a for¸ca que a corda exerce sobre a sonda?

Representar, num diagrama, as for¸cas que actuam na sonda para cada uma das 3 situa¸c˜oes.

(28)

Exerc´ıcio 3.3: Dois blocos A e B, de massas mA = 2 kg e mB = 1 kg

re-spectivamente, est˜ao em contacto e sobre uma mesa plana sem atrito. Uma for¸ca horizontal ´e aplicada a um dos blocos:

A

B F

a) Se a for¸ca, com intensidade 3 N, for aplicada com o sentido indicado na figura 3.1, determinar a for¸ca de contacto entre os dois blocos.

b) Mostrar que, se uma for¸ca com igual grandeza mas sentido oposto for apli-cada n˜ao no bloco A mas no bloco B, a for¸ca de contacto entre os dois blocos ser´a 2 N (de valor diferente do encontrado na al´ınea anterior).

Exerc´ıcio 3.4: Um bloco A com 3 kg de massa é colocado sobre um bloco B de massa igual a 5 kg, como mostra a figura 3.2. Admita que não há atrito entre o bloco B e a superf´ıcie sobre a qual está colocado. Os coeficientes de atrito estático e cinético entre os dois blocos são 0.2 e 0.1, respectivamente, e todas as superf´ıcies em contacto são horizontais.

B A F

a) Qual a for¸ca máxima que, aplicada paralelamente à superf´ıcie, sobre o bloco B, movimenta o sistema sem que os blocos se desloquem um em rela¸cão ao outro?

b) Qual a acelera¸c˜ao dos blocos na situa¸c˜ao da al´ınea anterior?

c) Qual a acelera¸c˜ao do bloco A, se a for¸ca aplicada no bloco B exceder o valor calculado na primeira al´ınea?

(29)

Exerc´ıcio 3.5: Dois blocos A e B, de massas m e 10 m, respectivamente, est˜ao colocados ao lado um do outro, sobre uma mesa plana e horizontal. Os coeficientes

de atrito estático e cinético entre os blocos e a mesa são µee µc. Estando o conjunto

dos blocos inicialmente em repouso, aplica-se-lhes uma for¸ca horizontal como se indica na figura 3.3. F F A B B A Figura 3.3: Exerc´ıcio 3.5.

a) Determinar a fun¸c˜ao F1(m, µe) que representa a intensidade m´axima da

for¸ca ~F1, aplicada sobre o corpo A, de modo a que o sistema se mantenha

em repouso.

b) Obter a fun¸c˜ao F2(m, µe), intensidade m´axima da for¸ca horizontal ~F2,

apli-cada sobre o corpo B, para a qual o sistema ainda se mant´em em repouso. c) Comparar os valores das intensidades das for¸cas exercidas por um bloco

sobre o outro, em cada um dos casos anteriores.

d) Determinar a fun¸c˜ao a(F0

1, m, µc), acelera¸c˜ao do movimento dos blocos, se

a intensidade da for¸ca ~F0

1 aplicada em A for maior que a de ~F1 referida na

primeira al´ınea.

e) Retire-se a for¸ca ~F0

1 e aplique-se ~F20 =− ~F10 em B; qual ser´a a acelera¸c˜ao do

movimento de cada um dos blocos?

f) Para as situa¸c˜oes descritas nas duas al´ıneas anteriores, quais ser˜ao as inten-sidades das for¸cas que cada um dos blocos exerce sobre o outro?

Exerc´ıcio 3.6: Os blocos A e B representados na figura 3.4 têm massas de 1 kg e 2 kg, respectivamente. O bloco A está preso à parede por uma corda horizontal e

sobre B est´a a ser exercida uma for¸ca ~F horizontal de intensidade 12.5 N. Sabendo

que o coeficiente de atrito estático entre A e B vale 0.25 e que o corpo B está na eminência de se mover, determine:

a) O coeficiente de atrito estático entre B e a superf´ıcie em que está apoiado. b) A tensão na corda.

(30)

B A

F

c) Sabe-se que o coeficiente de atrito cinético entre A e B é 10% inferior ao coeficiente de atrito estático. Se o corpo B entrar em movimento, quanto passará a valer a tensão no fio?

Exerc´ıcio 3.7: O bloco representado na figura 3.5 está prestes a cair! Sabendo que as massas da esfera e do bloco são iguais, e que o coeficiente de atrito estático entre todas as superf´ıcies em contacto é µ, determine:

m m

a) o ˆangulo θ(µ);

b) a grandeza da tens˜ao no fio T (m, µ).

Exerc´ıcio 3.8: Um corpo de massa 50 g desce um plano inclinado, de altura

1 m e inclina¸c˜ao 30◦_{, partindo do repouso da posi¸c˜ao mais elevada do plano. O}

coeficiente de atrito cin´etico entre o corpo e a superf´ıcie do plano ´e 0.4.

a) Representar num esquema todas as for¸cas aplicadas no corpo e calcular a velocidade com que o corpo atinge a base do plano.

b) Calcular a velocidade com que o corpo atingiria a base do plano se n˜ao houvesse atrito.

(31)

Exerc´ıcio 3.9: Um bloco de 60 N de peso est´a apoiado num plano inclinado sem

atrito, que forma um ˆangulo de 20◦ _{com a horizontal. O bloco ´e empurrado para}

cima por uma for¸ca de 30 N paralela ao plano. Qual ´e a acelera¸c˜ao do bloco?

Exerc´ıcio 3.10: Supondo que os dois blocos, de massas m1= 200 g e m2 = 130 g,

representados na figura 3.6 podem deslizar sobre as superf´ıcies em que assentam sem atrito, determine a acelera¸c˜ao de cada um e a tens˜ao no fio.

m m

30º 60º

Exerc´ıcio 3.11: Dois blocos, de iguais dimens˜oes, mas feitos de materiais dis-tintos, encontram-se sobre um plano inclinado. Fazendo variar a inclina¸c˜ao θ do

plano, verifica-se que o bloco B come¸ca a deslizar para uma inclina¸c˜ao θ1, enquanto

que o bloco A s´o come¸ca a deslizar para um ˆangulo θ2 = 2θ1.

Determinar, em cada um dos casos representados na 3.7, o valor do ângulo θ para o qual o conjunto come¸ca a deslizar, considerando que, em qualquer dos casos, os blocos são apenas justapostos e que não há movimento relativo entre eles.

A B A B A B II I III Figura 3.7: Exerc´ıcio 3.11. Exerc´ıcio 3.12:

a) Qual a for¸ca paralela ao plano que dever´a ser aplicada a uma part´ıcula de massa m = 50 g, para que se encontre em repouso sobre um plano inclinado

que faz um ˆangulo de 20◦ _{com a horizontal? Suponha que o atrito entre o}

(32)

b) Se a mesma part´ıcula for colocada sobre um outro plano com a mesma inclina¸cão, sendo o coeficiente de atrito estático entre o plano e a part´ıcula µ = 0.5, calcule a for¸ca máxima que se lhe pode aplicar, paralelamente ao plano, no sentido ascendente e no sentido descendente sem que ela se mova. Qual é o valor da for¸ca de atrito se a for¸ca aplicada paralelamente ao plano for nula?

Exerc´ıcio 3.13: Um bloco de massa M = 500 g desliza sem atrito sobre uma superf´ıcie horizontal, unido por um fio a um corpo de massa m = 200 g (ver figura 3.8). No instante t = 0 s o bloco movia-se para a esquerda e passados 5 s volta a passar pela posi¸c˜ao inicial, movendo-se em sentido contr´ario. Calcule a velocidade inicial e o espa¸co percorrido pelo bloco durante os primeiros 5 s do movimento.

M

A

Exerc´ıcio 3.14: Nos extremos de uma corda, que passa por uma roldana com eixo fixo, est˜ao penduradas, a uma altura h = 2 m do ch˜ao, dois corpos cujas

massas s˜ao m1 = 100 g e m2 = 200 g (ver figura 3.9). No momento inicial os

corpos est˜ao em repouso. Determinar a tens˜ao da corda, quando os corpos se

movem e o tempo ao fim do qual o corpo de massa m2 atinge o ch˜ao.

1 m h 2 m Figura 3.9: Exerc´ıcio 3.14.

(33)

Exerc´ıcio 3.15: Os corpos A e B representados na figura 3.10 têm massas iguais a 3 kg e 2 kg, respectivamente. O corpo B está ligado ao chão pelo fio 2 e ao corpo A pelo fio 1, que passa pela gola de uma roldana fixa presa ao tecto. Despreze o atrito e a massa da roldana e considere os fios inextens´ıveis e sem massa (roldana e fios ideais). 1 A B 2 Figura 3.10: Exerc´ıcio 3.15.

a) Calcule a tens˜ao no fio 2.

b) Se cortar o fio 2, ao fim de quanto tempo os corpos A e B est˜ao afastados entre si de 2 m, medidos na vertical?

Exerc´ıcio 3.16: Nos extremos de um fio que passa por duas roldanas fixas, foram suspensos dois pratos de balan¸ca; em cada um dos pratos foram colocados corpos de peso total P , tal como indica a figura 3.11.

Se de um dos pratos da balan¸ca se retirarem alguns corpos, ficando o peso nesse

prato reduzido a 2₃P , qual dever´a ser o peso P0 _{que se deve adicionar ao outro}

prato, para que a tens˜ao no fio continue a ter o mesmo valor?

(34)

Exerc´ıcio 3.17: No eixo de uma roldana m´ovel foi pendurado o corpo A de peso ~

P (como mostra a figura 3.12). Com que for¸ca ~F ´e necess´ario puxar o extremo

da corda, passando por uma segunda roldana, para que o corpo A se mova com acelera¸cão ~a no sentido ascendente? E para que o corpo fique em repouso? A massa das roldanas e da corda são desprezáveis e o fio considerado inextens´ıvel.

A

F

Exerc´ıcio 3.18: O sistema representado na figura 3.13 est´a inicialmente em re-pouso, sendo as massas dos corpos A, B e C, respectivamente, iguais a m, 2 m e 1.6 m. As massas das roldanas e dos fios podem ser desprezados, e estes consider-ados inextens´ıveis. Se o sistema for libertado, calcular:

A B C

a) A acelera¸c˜ao de cada um dos corpos.

(35)

Exerc´ıcio 3.19: Qual é a for¸ca com que é necessário empurrar o bloco de massa

M (figura 3.14) para que os corpos de massas m1 e m2 n˜ao se movimentem em

rela¸c˜ao ao bloco de massa M ? Despreze todos os atritos, bem como as massas da roldana e do fio, que se pode considerar inextens´ıvel.

m

M

Exerc´ıcio 3.20: Considere a situa¸cão representada na figura 3.15, em que não há atrito em nenhuma superf´ıcie. Qual deverá ser a rela¸cão entre as massas para

que m3 não se movimente em rela¸cão a m2? Qual é, neste caso, a acelera¸cão do

conjunto? 3 m !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 1 m 2 m !!!! !!!! !!!! !!!! !!!! !!!! !!!! !!!! !!!! !!!! !!!! !!!! !!!! !!!! !!!! !!!! !! !! !! !! α Figura 3.15: Exerc´ıcio 3.20.

Exerc´ıcio 3.21: Uma curva de raio 120 m ´e projectada para uma velocidade de circula¸c˜ao de 18 m/s.

a) Qual será o ângulo correcto para a inclina¸cão da estrada se suposermos que não há atrito entre os pneus e a estrada?

b) Se a curva não for inclinada, qual é o coeficiente m´ınimo de atrito entre os pneus e a estrada de modo que àquela velocidade não haja derrapagens?

(36)

Exerc´ıcio 3.22: Um carro desloca-se numa estrada a 80 km/h, entrando numa curva de 300 m de raio.

a) Se a superf´ıcie da estrada estiver coberta com uma fina camada de gelo, qual deve ser a inclina¸c˜ao m´ınima da curva para que o carro possa descrevˆe-la? b) Quando o gelo funde, deixando a descoberto a superf´ıcie rugosa da estrada,

o coeficiente de atrito entre esta e os pneus do carro é 0.4. Qual é então a máxima velocidade com que o automóvel pode dar a curva (cuja inclina¸cão é a calculada na al´ınea anterior) sem derrapar? O valor encontrado depende da massa do carro?

Exerc´ıcio 3.23: Uma curva de uma estrada forma um arco de circunferˆencia de 135 m de raio.

a) Se a curva tiver 7.4◦ _{de inclina¸c˜ao, para que velocidade foi projectada?}

Considere o atrito desprez´avel.

b) Se o coeficiente de atrito entre o piso e os pneus de um carro que se encontre a dar a curva for 0.4, qual é a máxima velocidade com que este poderá dar a curva (sem se despistar)?

Exerc´ıcio 3.24: Um fio de comprimento L, que se encontra preso a um ponto fixo, tem numa extremidade uma massa m que gira em torno de um eixo vertical com velocidade angular constante ω. Determinar o ˆangulo θ que a corda faz com a vertical.

Exerc´ıcio 3.25: Um avi˜ao desloca-se horizontalmente com uma velocidade con-stante de 360 km/h arrastando um objecto com massa igual a 20 kg, o qual se encontra suspenso do avi˜ao por meio de uma corda que forma com a vertical um

ˆangulo de 60◦_.

a) Determine a for¸ca de resistˆencia do ar exercida sobre o objecto.

b) Passando o avião a descrever circunferências de raio tal que a trajectória do objecto suspenso é uma circunferência de raio 500 m, descrita com a velocidade mencionada inicialmente, determine a tensão da corda.

(37)

Exerc´ıcio 3.26: Uma pequena esfera encontra-se dentro de um tubo de vidro que roda com velocidade angular constante em torno de um eixo vertical (ver figura 3.16). O atrito da esfera com o tubo de vidro é desprezável. Qual deverá

θ h

ω

ser a frequência de rota¸cão do tubo para que a esfera permane¸ca em ”equil´ıbrio” na posi¸cão indicada?

Exerc´ıcio 3.27: Um corpo que serve de suporte a um foguete assenta sem atrito sobre um plano horizontal, preso por um fio de comprimento 0.5 m a um ponto fixo O, como mostra a figura 3.17. O conjunto, cuja massa pode considerar-se constante e igual a 0.5 kg, parte do repouso no instante t = 0 s, com o fio esticado e passa então a descrever uma trajectória circular, centrada em O. O foguete ligado ao corpo tem uma direçcão tangente à trajectória e comunica ao corpo uma

acelera¸c˜ao tangencial constante de m´odulo 2 m/s2_{. O combust´ıvel do foguete dura}

apenas 10 segundos e tem massa desprez´avel.

O

a) Representar num esquema a posi¸cão, a velocidade e a acelera¸cão do conjunto no instante t = 5 s, indicando a posi¸cão inicial escolhida.

b) Se o fio não suportar tensões superiores a 50 N, verificar se ele parte ou não, antes de o combust´ıvel acabar.

c) Se for usado um fio que n˜ao parte, caracterizar o movimento do conjunto a partir do momento em que acaba o combust´ıvel do foguete.

(38)

Exerc´ıcio 3.28: Um bloco de 10 kg de massa repousa sem atrito, sustentado por uma corda com 2 m de comprimento, sobre um plano inclinado que pode girar em torno do eixo AB como mostra a figura 3.18.

A

B 30º

a) Determine a tens˜ao na corda quando a velocidade de rota¸c˜ao do conjunto constitu´ıdo pelo plano inclinado e pelo bloco for igual a 10 rot/minuto. b) Determine a velocidade angular a partir da qual o bloco come¸ca a elevar-se

e abandona o plano.

Exerc´ıcio 3.29: O carrocel de cadeiras suspensas representado na figura 3.19 roda com uma velocidade angular de 1.25 rad/s.

θ 4m

2m

a) Se o peso de cada cadeira for 10 N, calcular o ˆangulo θ quando na cadeira se senta uma pessoa que pesa 500 N.

b) Este ˆangulo aumenta ou diminui se na cadeira estiver uma pessoa mais pesada? E a tens˜ao do fio?

(39)

Exerc´ıcio 3.30: Um jovem encontra-se sobre uma balan¸ca-dinamómetro que, por sua vez, se encontra sobre uma plataforma que desliza, sem atrito, sobre um plano inclinado (ver figura 3.20). Se o peso habitual do jovem for 50 kgf quanto marcará a balan¸ca dinamómetro nesta situa¸cão?

30º

(40)

3.1 Solu¸

c˜

oes da dinˆ

amica

Solu¸c˜ao 3.1: a) ~ F = 882 N. b) ~ F = 882 N. c) ~ F = 1152 N. d) ~ F = 0 N. Solu¸c˜ao 3.2: a) Tm´ınima = 266 N.

b) Se o movimento for rectil´ıneo e uniforme.

c) For¸ca vertical, de baixo para cima, com intensidade igual a 98 N.

Solu¸cão 3.3: a) 1 N. Solu¸cão 3.4: a) ~ F = 15.68 N. b) _{|~a| = 1.96 m/s}2_. c) _{|~a| = 0.98 m/s}2_. Solu¸cão 3.5: a) F1 = 11µemg. b) F2 = 11µemg. c) N_AB(1)= 10µemg N_AB(2)= µemg d) _{|a| =} F10 11m− µcg.

(41)

e) |a| = F10 11m − µcg. f) N_AB0(1)=10₁₁F1 N_AB0(2)=₁₁1F1 Solu¸cão 3.6: a) µe= 0.34. b) T = 2.45 N. c) T0_{= 2.21 N.} Solu¸cão 3.7: a) tan (θ) = _3µ1 . b) T = mg₂ " 9 +_µ12. Solu¸cão 3.8: a) _{|~v| = 2.45 m/s.} b) _{|~v| = 4.43 m/s.} Solu¸cão 3.9: _{|~a| = 1.55 m/s}2. Solu¸cão 3.10: a = 0.37 m/s2_{; T = 1.05 N.} Solu¸cão 3.11: θ = i) θ1 ii) 2θ1

iii) arctanmAtan(2θ1)+mBtan(θ1)

mA+mB Solu¸cão 3.12: a) ~ F = 0.168 N. b) Fmáximaascendente = 0.398 N Fmáximadescendente= 0.063 N

(42)

Solu¸cão 3.13: _|~vo| = 7 m/s; O bloco percorre 17.5 m nos primeiros 5 s. Solu¸cão 3.14: T = 1.31 N; ∆t = 1.11 s Solu¸cão 3.15: a) ~ T = 9.8 N. b) ∆t = 1.01 s. Solu¸cão 3.16: P0_{= P .} Solu¸cão 3.17:

Movendo-se para cima : F = mg+a₂

Em repouso : F = mg₂ Solu¸cão 3.18: a) aA= 0 m/s2 aB=−4.9 m/s2 aC= 2.45 m/s2 b) FA= mg FB= mg FC= 2mg Solu¸cão 3.19: F = (M + m1+ m2)mm21g. Solu¸cão 3.20: tan α = m1 m1+m2+m3 a = g tan α Solu¸cão 3.21: a) θ = 15.4◦ b) µ = 0.28. Solu¸cão 3.22: a) θ = 9.5◦_.

(43)

b) vmáxima = 42.3 m/s = 152 km/h. Solu¸cão 3.23: a) _{|~v| = 13.1 m/s = 47 km/h.} b) |~v| = 27.2 m/s = 98 km/h. Solu¸cão 3.24: θ = arccos g ω2_L Solu¸cão 3.25: a) F = 339 N. b) T = 560 N. Solu¸cão 3.26: f = _2π1 " g htan2 (θ) Solu¸cão 3.27: a) Diagrama. b) Parte.

c) Movimento circular uniforme, com velocidade escalar igual a 20 m/s.

Solu¸c˜ao 3.28:

a) 65.4 N. b) 3.13 rad/s.

Solu¸c˜ao 3.29:

a) θ = 41◦_.

b) O ângulo não varia, enquanto que a tensão no fio é proporcional ao peso da pessoa.

(44)

(45)

Trabalho e Energia

Exerc´ıcio 4.1: Sobre uma part´ıcula de massa 2 kg, actua durante 2 s a for¸ca ~

F = 16tˆı + 21t2ˆ (N). Sabendo que, quando a for¸ca come¸ca a actuar, a part´ıcula

j´a est´a animada de velocidade ~v = 3ˆı + 4ˆ (m/s), determinar:

a) O impulso comunicado pela for¸ca durante os 2 segundos.

b) O trabalho realizado pela for¸ca durante o mesmo intervalo de tempo.

Exerc´ıcio 4.2: Determinar o trabalho realizado pelo campo de for¸cas ~

F = x2_{ˆı + y}2_ˆ_{ (SI) sobre uma part´ıcula que se move de A(0, 0) para B(2, 4):}

a) Ao longo da par´abola y = x2.

b) De (0, 0) a (2, 0) ao longo do eixo dos XX e depois ao longo da recta x = 2 at´e ao ponto (2, 4).

c) Ao longo da recta y = 2x.

Exerc´ıcio 4.3: Um corpo com massa 1 kg ´e lan¸cado da superf´ıcie da terra

com velocidade de módulo 100 m/s na direçcão da vertical. À altitude de 500 m

tem velocidade de módulo 10 m/s. Sabendo que o trabalho da resistência do ar foi de 40 Joules e supondo que é constante a acelera¸cão da gravidade durante o movimento, calcular essa acelera¸cão.

Exerc´ıcio 4.4: Um corpo de massa 50 g parte do repouso e desce com atrito, ao

longo de um plano inclinado de altura 1 m e de inclina¸c˜ao 30◦_{. O coeficiente de}

(46)

a) Representar num esquema todas as for¸cas aplicadas no corpo e deter-minar a velocidade com que o corpo atinge a base do plano inclinado. b) Determinar a velocidade com que o corpo atingiria a base do plano se

n˜ao houvesse atrito.

Exerc´ıcio 4.5: Uma part´ıcula de massa m move-se sem atrito sobre uma semi-esfera maci¸ca de raio R, como se vˆe na figura 4.1. O movimento inicia-se no ponto indicado na figura, sendo nula a sua velocidade inicial.

R

a) Determinar o módulo da velocidade da part´ıcula quando esta toca o chão. b) Determinar o ângulo θ para o qual deixa de haver contacto entre a part´ıcula

m e a esfera de raio R.

Exerc´ıcio 4.6: Um objecto de massa 1 kg, ligado por um fio inextens´ıvel a um ponto fixo, descreve uma traject´oria circular de raio igual a 1 m, num plano vertical. Sejam A e C os pontos mais alto e mais baixo da traject´oria, respectivamente, e o sentido do movimento o indicado na figura 4.2. Determinar:

A R D B C Figura 4.2: Exerc´ıcio 4.6.

a) O trabalho de todas as for¸cas aplicadas ao objecto nos percursos AB, AC,

(47)

b) A velocidade escalar do objecto em B, C e D, sabendo que em A ela ´e de 4 m/s.

c) A tens˜ao do fio em A, B, C e D.

Exerc´ıcio 4.7: Um pêndulo simples é abandonado numa posi¸cão em que é de

60◦ _{o ˆangulo do fio com a vertical. O fio tem comprimento l. Desprezando a}

resistˆencia do ar, determinar:

a) As posi¸cões em que é màxima a energia cinética e a energia potencial, calculando-as nesses pontos (Tomar como origem da energia potencial o ponto mais baixo da trajectória).

b) A acelera¸cão do pêndulo nas posi¸cões extremas. c) A acelera¸cão na posi¸cão vertical.

d) A acelera¸cão naquela posi¸cão em que o valor do módulo da acelera¸cão tan-gencial é igual ao módulo da acelera¸cão normal.

e) A tens˜ao no fio em cada um dos casos.

Exerc´ıcio 4.8: Na figura 4.3 est´a representada uma calha cuja parte terminal ´e

constitu´ıda por um quarto de circunferˆencia de raio R = 1/√3 m. Se o corpo A

partir do repouso do cimo da calha, determine:

30º 1 m

A

R

a) A altura m´axima que ele atinge, depois de abandonar a calha, sabendo que

o coeficiente de atrito entre o corpo e o plano inclinado ´e 2/(10√3), e sobre

a por¸cão circular da calha é desprezável.

(48)

Exerc´ıcio 4.9: Um corpo desliza sobre um plano inclinado que forma um ângulo θ com a horizontal, sendo µ o coeficiente de atrito (ver figura 4.4). O corpo recebe um impulso segundo a direçcão de maior declive e no sentido ascendente, o qual

lhe comunica a velocidade v0. Mostrar que, quando o corpo volta a passar pelo

ponto de partida, a sua velocidade ´e dada por v=v0"

tgθ−µ tgθ+µ.

Exerc´ıcio 4.10: Uma pequena esfera de peso P está suspensa de um ponto fixo O por um fio inextens´ıvel, de comprimento L, que parte para tensões iguais a 5P/4. Abandona-se o fio na posi¸cão em que ele faz com a vertical um ângulo α, tal que cos α = 7/8. Determinar a posi¸cão do ponto em que a part´ıcula vai encontrar um plano horizontal à distância 2L do ponto O.

Exerc´ıcio 4.11: A energia potencial de uma part´ıcula que se move num espa¸co

unidimensional ´e da forma: U = a/x2_{− b/x onde a e b s˜ao constantes positivas e}

x > 0. Determinar:

a) A posi¸cão de equil´ıbrio da part´ıcula (verificar que o equil´ıbrio é estável). b) Na região em que a for¸ca é atractiva, onde é máxima a sua intensidade?

Fazer um esbo¸co da representa¸c˜ao gr´afica de U (x) e da for¸ca que actua na part´ıcula.

Exerc´ıcio 4.12: Um corpo de massa 0.1 kg cai de uma altura de 3 metros sobre um monte de areia. Se o corpo penetrar 3 cent´ımetros antes de parar, qual ´e a for¸ca m´edia exercida pela a areia sobre o corpo? Quanto tempo dura o movimento do corpo na areia?

(49)

Exerc´ıcio 4.13: Considere o bloco de 0.5 kg de massa que, após ter sido largado no ponto 1, desliza ao longo da trajectória de raio igual a 1 m da figura 4.5. Quando o bloco atinge o ponto 2, a sua velocidade é 3 m/s. Qual o trabalho realizado pela for¸ca de atrito? R 1 2 N P Figura 4.5: Exerc´ıcio 4.13.

Exerc´ıcio 4.14: Um pequeno bloco de massa m desliza sem atrito pela superf´ıcie da figura 4.6. 5R R Y P X Q Figura 4.6: Exerc´ıcio 4.14.

a) Se o bloco iniciar o seu movimento em P , qual ´e a for¸ca resultante que actua sobre ele imediatamente ap´os passar pelo ponto Q?

b) Qual ´e a altura inicial m´ınima da qual se deve largar o bloco para que este consiga descrever o loop da figura?

c) Qual a altura inicial da qual se deve largar o bloco para que a for¸ca que o bloco exerce sobre a calha no topo do loop tenha uma grandeza igual ao seu peso?

(50)

Exerc´ıcio 4.15: Um bloco de massa 0.528 kg desliza com uma velocidade con-stante de 3.85 m/s sobre uma superf´ıcie horizontal sem atrito. A certa altura, embate contra uma mola horizontal em equil´ıbrio.

a) Se a constante elástica da mola for 26.7 N/m, de quanto é a mola comprimida até que o bloco pare?

b) De quanto se comprimiria a mola se a superf´ıcie sob esta fosse rugosa com um coeficiente de atrito cin´etico de 0.411?

Exerc´ıcio 4.16: Um objecto com massa de 1 kg, ao qual foi comunicado uma velocidade de 10 m/s, desliza sobre uma superf´ıcie horizontal e colide com a ex-tremidade livre de uma mola elástica, após um percurso de 5 m (ver figura 4.7). A mola exerce uma for¸ca de 10 kg quando é comprimida de 1 cm. O coeficiente de atrito entre o objecto e a superf´ıcie horizontal é de 0.5.

5m v

a) Determinar a compress˜ao m´axima sofrida pela mola. b) Determinar o percurso total do objecto.

Exerc´ıcio 4.17: Um objectode massa m desliza sobre uma superf´ıcie horizontal, sendo µ o coeficiente de atrito, e embate na extremidade livre duma mola el´astica

fixa, de constante de el´asticidade k. Sendo v0, a velocidade do objecto no instante

em que toca na mola, determinar em fun¸c˜ao de v0, m, g, µ e k o trabalho realizado

pela for¸ca de atrito desde esse instante at´e ao instante em que se anula a

veloci-dade do referido objecto. Mostrar que o valor m´aximo de v0 para que o objecto

permane¸ca imobilizado em contacto com a mola ´e

(51)

Exerc´ıcio 4.18: Um corpo, ligado a um ponto fixo de uma mesa horizontal por um fio de comprimento 1 m, descreve uma traject´oria circular sobre a mesa. A

velocidade inicial do corpo, vo, ´e 8 m/s. Sabendo que a velocidade do corpo ao

completar a primeira volta ´e vo/2, determine:

a) O coeficiente de atrito entre o corpo e a mesa.

b) O número de voltas que o corpo dá até parar.

Exerc´ıcio 4.19: A potência consumida por um ciclista que se desloca numa estrada horizontal, à velocidade constante de 6 m/s, é 120 W.

a) Qual ´e a for¸ca de resistˆencia exercida pelo ar sobre o conjunto formado pela bicicleta e pelo ciclista?

b) Ao inclinar-se sobre o guiador, o ciclista reduz a for¸ca de resistˆencia do ar para 18 N. Se a potˆencia por ele consumida se mantiver igual a 120 W, qual a velocidade a que este se desloca?

(52)

4.1 Solu¸

c˜

oes de trabalho e energia

Solu¸c˜ao 4.1: a) ~I = 32ˆı + 56ˆ (Ns). b) W = 1.36 kJ. Solu¸c˜ao 4.2: a) W = 24 J. b) W = 24 J. c) W = 24 J.

Solu¸cão 4.3: A acelera¸cão da gravidade é igual a 9.82 m/s2_.

Solu¸cão 4.4: a) v = 2.45 m/s. b) v = 4.43 m/s. Solu¸cão 4.5: a) v =√2gr m/s. b) θ = 48◦_. Solu¸cão 4.6: a) AB : W_T~ = 0 J; W_P~ = 9.8 J AC : W_T~ = 0 J; W_P~ = 19.6 J AD : W_T~ = 0 J; W_P~ = 9.8 J b) vB = 5.97 m/s vC = 7.43 m/s vD = 5.97 m/s

(53)

c) TA = 6.2 N TB = 35.6 N TC = 65 N TD = 35.6 N Solu¸cão 4.7: a) Ec|_m´_axima = Ec(θ = 0◦) = mgl₂ Ep|_m´_axima = Ep(θ = 60◦) = mgl₂ b) ~a = √₂3gˆt = 8.49ˆt m/s2. c) ~a = 9.8ˆn m/s2_. d) ~a = 5.88(ˆn + ˆt) (m/s2). e) ~ T = mg 2 2mg 1.4mg Solu¸cão 4.8: a) hmáxima = 0.8 m. b) ~a = 9.8ˆt + 7.6ˆn (m/s2).

Solu¸cão 4.10: ∆x = √₂2L em rela¸c Ão à vertical que passa pelo ponto O.

Solu¸c˜ao 4.11:

a) xequil´ıbrio = 2ab.

b) A intensidade da for¸ca (atractiva) ´e m´axima para x = 3a

b. Solu¸cão 4.12: ~ Fmédia = 99 N; ∆t = 7.82 ms. Solu¸cão 4.13: W =_{−2.65 J.} Solu¸cão 4.14: a) F = 10mg. b) hmin = 5/2R.

(54)

c) h = 3R. Solu¸cão 4.15: a) x = 54.14 cm. b) x = 46.76 cm. Solu¸cão 4.16: a) xmax= 7.2 cm. b) ∆x = 10.2 m. Solu¸cão 4.18: a) µ = 0.39. b) n = 1.3 voltas. Solu¸cão 4.19: a) F = 20 N. b) v = 6.67 m/s.

(55)

Sistemas de part´ıculas

Exerc´ıcio 5.1: Uma granada de massa 3m lan¸cada verticalmente do solo atinge a altura m´axima de 39.2 m e nesse instante explode dividindo-se em 3 fragmentos

de massas iguais. Um deles move-se na vertical, atingindo o solo ao fim de √2 s.

Outro adquire, após a explosão, uma velocidade inicial igual à do primeiro, mas na horizontal.

a) Qual a direc¸c˜ao e a grandeza da velocidade do terceiro fragmento?

b) Determinar a altura do centro de massa do sistema no instante em que o primeiro fragmento toca o solo.

Exerc´ıcio 5.2: Um projéctil é lan¸cado verticalmente, de baixo para cima, com uma velocidade de módulo v. A meio da altura máxima que devia atingir

ex-plode, dividindo-se em dois fragmentos de massa m1 e m2. Estes caem, no

mesmo instante, `as distˆancias, respectivamente, de d1e d2 do ponto de lan¸camento

(distˆancias medidas num plano horizontal que inclui o ponto de lan¸camento).

Cal-cular a rela¸c˜ao m1/m2.

Exerc´ıcio 5.3: Um homem de 60 kg encontra-se em pé, numa extremidade de um barco de 120 kg, que se encontra em repouso em águas paradas e sem friçcão. O barco encontra-se a uma distância de 0.5 m do cais, como mostra a figura 5.1.

a) O homem caminha até à outra extremidade do barco e pára. A que distância se encontra agora o barco do cais?

b) Enquanto caminha, o homem mant´em uma velocidade constante de 3 m/s relativamente ao solo. Calcule a energia cin´etica total do sistema (homem e barco).

(56)

0.5m 6m ### ### ### ### $%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$ $%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$%$ Figura 5.1: Exerc´ıcio 5.3.

c) De onde vem esta energia, e para onde vai quando o homem p´ara na ex-tremidade do barco?

d) Em terra, o homem pode lan¸car um objecto a 6 m de distância. O homem coloca-se numa extremidade do barco e arremessa o objecto com a mesma for¸ca com que o lan¸caria em terra em direçcão à outra extremidade. O objecto cai no barco ou na água?

Exerc´ıcio 5.4: Uma part´ıcula de massa m1 e velocidade ~v1colide com uma outra

part´ıcula de massa m2 que estava antes em repouso. O choque ´e perfeitamente

elástico e depois do choque as part´ıculas têm velocidades com o mesmo módulo e sentidos opostos. Obter:

a) A rela¸c˜ao m1/m2.

b) A velocidade do centro de massa.

c) A energia total das duas part´ıculas no sistema centro de massa, expressa em

fun¸c˜ao de E1= m

1v₁2

2 .

d) A energia cinética final de m1, em fun¸cão de E1, no sistema do laboratório.

Exerc´ıcio 5.5: Uma part´ıcula A, que se move com velocidade de m´odulo vo,

choca com outra part´ıcula B que se encontra em repouso e cuja massa ´e o dobro

da da part´ıcula A. A part´ıcula A ´e desviada 45◦_{, ficando com velocidade de m´odulo}

igual a vo/2. Obter a direc¸c˜ao e a grandeza da velocidade da part´ıcula B depois

da colis˜ao. O choque foi el´astico?

Exerc´ıcio 5.6: Uma esfera, animada de velocidade ~v, choca com uma outra, igual à primeira, que está inicialmente em repouso. Sabendo que, após o choque, o módulo da velocidade relativa fica reduzido a metade do seu valor inicial, deter-minar as velocidades finais das duas esferas:

(57)

b) No caso da primeira esfera sofrer um desvio de 30◦_{. Poder´a o desvio desta}

esfera ser superior?

Exerc´ıcio 5.7: Um jogador de bilhar, situado em A (ver figura 5.2), quer efectuar uma carambola (isto é, dando uma tacada na bola 1, fazê-la chocar sucessivamente com as bolas 2 e 3). Supondo que existe uma for¸ca de atrito constante de 0.01 N sobre a bola que a desacelera, qual é o impulso m´ınimo que o jogador deve dar à bola 1 para que ela atinja a bola 3 seguindo o trajecto indicado na figura? Suponha

40cm &&&& &&&& &&&& &&&& &&&& &&&& &&&& &&&& &&&& &&&& &&&& &&&& 50cm 15cm 3 1 2 A Figura 5.2: Exerc´ıcio 5.7.

todos os choques el´asticos e as paredes da mesa r´ıgidas; considere a massa de cada bola igual a 200 g.

Exerc´ıcio 5.8: Os pontos A, B e C est˜ao sobre uma superf´ıcie horizontal (ver

figura 5.3). A massa m2, em repouso no ponto B, est´a ligada a um fio inextens´ıvel,

de comprimento 0.5 m, que está preso no ponto P . É comunicado um impulso à

massa m1 de forma a que v´a colidir el´astica e centralmente com m2, que depois

do choque se move at´e C. Existe atrito durante o deslocamento de m2 sobre a

superf´ıcie, sendo o coeficiente de atrito cin´etico 0.2. Determine a velocidade das

C m₁ m₂ A B P ''' ''' ''' ''' (((( (((( (((( (((( Figura 5.3: Exerc´ıcio 5.8.

duas massas depois do choque, sabendo que m2 = 2m1.

(58)

fixadas nas extremidades de um suporte r´ıgido sem massa, que se encontra em repouso sobre uma mesa sem atrito (ver figura 5.4). As massas da pistola, da bala

e do bloco s˜ao, respectivamente, mp, mb e mm. Quando a bala abandona o cano

da pistola a sua velocidade, medida por um observador em repouso relativamente

à mesa, é ~vb. Assuma que a trajectória da bala é perfeitamente horizontal e que

esta penetra pouco no bloco de madeira.

L b v ))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) ))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) )))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))*%*%* *%*%* *%*%* Figura 5.4: Exerc´ıcio 5.9.

a) Qual é a velocidade do suporte mal a bala abandona o cano da pistola? b) Qual é a velocidade do suporte imediatamente após a bala ficar em repouso

no interior do bloco de madeira?

c) De quanto se encontra o suporte afastado da sua posi¸c˜ao inicial no instante em que a bala fica em repouso no interior do bloco de madeira?

Exerc´ıcio 5.10: Dois automóveis, ambos com massa m = 1000 kg, colidiram num cruzamento, no ponto A, indo parar juntos ao ponto B, a alguns metros de distância do local da colisão, conforme mostra a figura 5.5. Admitindo que o coeficiente de atrito entre a amálgama dos dois automóveis e o solo é de 0.8, calcule as velocidades, em km/h, que os carros tinham quando colidiram.

A 2 v B 15m 20m 1 v ++ ++ +++ +++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ Figura 5.5: Exerc´ıcio 5.10.

(59)

Exerc´ıcio 5.11: Uma part´ıcula de massa m, que se move com velocidade ~v, choca com uma part´ıcula em repouso de massa 2m. A part´ıcula de massa m ´e

desviada de 60◦_{, ficando com uma velocidade final de m´odulo v/2.}

a) Calcule a velocidade da part´ıcula de massa 2 m depois da colisão. b) Verifique se a colisão é elástica.

Exerc´ıcio 5.12: O dispositivo da figura 5.6, conhecido como pêndulo bal´ıstico, é utilizado para determinar a velocidade duma bala, para o que se mede a altura h a que o bloco sobe depois da bala ter penetrado nele. Verifique que a velocidade da bala é dada por:

v =

2gh(m1+ m2)

m1

onde m1 ´e a massa da bala e m2 a massa do bloco.

h v ,%,%, ,%,%, ,%,%, -------------------------------------------Figura 5.6: Exerc´ıcio 5.12.

Exerc´ıcio 5.13: Uma bala de massa m e velocidade ~v atravessa o pendente do pˆendulo da figura 5.7,de massa M e comprimento L, e sai com uma velocidade de ~v/2.

a) Calcule o valor m´ınimo de|~v| para que o pˆendulo descreva um c´ırculo

com-pleto (suponha que o bra¸co do pˆendulo ´e r´ıgido e sem massa).

b) Qual a rela¸cão que deveria existir entre m e M para que a colisão fosse perfeitamente elástica? E perfeitamente inelástica?

(60)

L

v v₂

O

5.1 Solu¸

c˜

oes de sistemas de part´ıculas

Solu¸c˜ao 5.1:

a) A velocidade do terceiro fragmento tem módulo 29.4 m/s e uma direçcão que

faz um ˆangulo de 135◦ _{com uma linha horizontal orientada com o sentido do}

segundo fragmento num plano vertical. b) h = 29.4 m.

Solu¸c˜ao 5.2: m1/m2 = d2/d1.

Solu¸c˜ao 5.3:

a) 2.5 m. b) 405 J.

c) Graus de liberdade internos do sistema homem+barco. d) Na ´agua. Solu¸c˜ao 5.4: a) m1 m2 = 1 3. b) ~vCM= 1₄~v1. c) E0 total= 34E1. d) Ec1 = 1₄E1.