Exemplos Ilustrativos de EDO com Problemas de Valores no Contorno 1-) Modelo estacionário do reator com dispersão isotérmico.
Neste caso o modelo é constituído por uma equação diferencial ordinária de segunda ordem que descreve a variação com z da concentração do reagente:
2 2 ( ) 1 ( ) m dy z d y z Da g y zdz Pe dz , definida no domínio: 0<z<1 e sujeita às condições de contorno: CC1: na entrada do reator: z =0: 0 0 1 ( ) ( ) f z z m dy z y z y Pe dz CC2: na saída do reator: z = 1: 1 1 ( ) 0 z m dy z Pe dz .
2-) Modelo estacionário do reator com dispersão axial adiabático.
Neste caso o modelo é constituído por duas equações diferenciais ordinárias, em z, de segunda ordem que descrevem os balanços estacionários de massa do reagente e de energia no interior do reator, assim:
2 2 2 2 ( ) 1 ( ) 1 exp 1 1 1 exp 1 m h dy z d y z Da g y z dz Pe dz z d z d z Da g y z dz Pe dz z Definidas no domínio: 0 < z < 1 e sujeitas às condições de contorno:
CC1: na entrada do reator: z =0: 0 0 0 0 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) f z z m f z z h dy z y z y Pe dz d z z Pe dz CC2: na saída do reator: z = 1: 1 1 1 ( ) 0 1 ( ) 0 z m z h dy z Pe dz d z Pe dz
Multiplicando a equação de balanço do reagente por e adicionando a equação resultante à equação de balanço de energia, tem-se:
2
2
2 2 1 1 h m d z dy z d z d y z dz dz Pe dz Pe dz , ou seja:
1
0 h m d z dy z d z y z dz Pe dz Pe dz Integrando essa equação em z e aplicando as duas condições de contorno, obtém-se:
1 ( ) 1 ( )
( )z y z( ) d z dy z y (1) y(1)
1
h f f m d z dy z Pe z y z y dz Pe dz Associando a essa equação a condição de contorno:
1 f yf y
1 .Para resolver essas equações diferenciais são definidas as seguintes variáveis de estado: 1
; 2
1 ( ) e ( )3 ( ) m dy z x z y z x z y z x z z Pe dz , resultando em:
1 1 2 2 1 3 3 3 2 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 exp 1 ( ) ( ) ( ) ( ) m m h f f dx z dy z Pe x z x z dz dz dx z d dy z y z Da g x z dz dz Pe dz x z dx z Pe x z x z y dz Que é um sistema de EDO’s de primeira ordem de dimensão três, definido no domínio 0 <z <1, sujeito às condições de contorno:
CC1: na entrada do reator: z =0: x2(0) yf;
CC2: na saída do reator: z = 1: x1(1)x2(1) e x3
1 f yf x1
1 3-)Modelo estacionário do reator com dispersão axial não adiabático.Neste caso o modelo é constituído por três equações diferenciais ordinárias, em z, as duas primeiras de segunda ordem e a última de primeira ordem, que descrevem respectivamente os balanços estacionários de massa do reagente e de energia no interior do reator e o balanço de energia no casco de refrigeração, assim:
2 2 2 2 ( ) 1 ( ) 1 exp 1 ( ) 1 ( ) 1 exp 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (contra-corrente) m r h r r r dy z d y z Da g y z dz Pe dz z d z d z Da g y z z z dz Pe dz z d z z z dz O sistema acima é definido no domínio: 0 < z < 1 e está associado às condições de contorno: CC1: na entrada do reator: z =0: 0 0 0 0 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) f z z m f z z h dy z y z y Pe dz d z z Pe dz
CC2: na saída do reator: z = 1: 1 1 , 1 ( ) 0 1 ( ) 0 (1) z m z h r r f dy z Pe dz d z Pe dz
A temperatura do refrigerante pode ser expressa em função da temperatura e da concentração no tubo e de suas respectivas derivadas adicionando a primeira equação multiplicada por e a segunda equação à ultima equação multiplicada por r , de
acordo com: 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) r( ) 0 m h r d dy z d z y z z z dz Pe dz Pe dz
Integrando essa equação de z (genérico) a z=1 e utilizando a CC2, resulta:
, 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) r( ) saida saida r f m h r r dy z d z y z z z y Pe dz Pe dz
Em que: ysaida=y(1) e saida= (1). Essa última equação permite expressar:
, 1 ( ) 1 ( ) ( ) r ( ) ( ) r r f saida saida m h dy z d z z y z y z Pe dz Pe dz
Aplicando essa expressão em z=0, utilizando CC1 e identificando: r(0)= r,saida resulta:
, ,
r
r saida r f yf ysaida saida f
Essa equação traduz o balanço global de energia do sistema (reator+casco de refrigeração). O termo de troca entre o tubo e o casco de refrigeração pode então ser expresso na forma:
, 1 ( ) 1 ( ) ( ) r( ) ( ) r f r ( ) saida ( ) saida m h dy z d z z z z y z y z Pe dz Pe dz E os balanços no reator assumem a forma:
2 2 2 , 2 ( ) 1 ( ) 1 exp 1 ( ) 1 ( ) 1 exp 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) m r f h r saida m h dy z d y z Da g y z dz Pe dz z d z d z Da g y z z dz Pe dz z dy z d z y z y z Pe dz Pe dz saida Definidas no domínio: 0 < z < 1. A esse sistema associam-se as condições de contorno:
CC1: na entrada do reator: z =0: 0 0 0 0 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) f z z m f z z h dy z y z y Pe dz d z z Pe dz
CC2: na saída do reator: z = 1: 1 1 1 ( ) 0 1 ( ) 0 z m z h dy z Pe dz d z Pe dz
e o balanço global de energia: , , r
r saida r f yf ysaida saida f
Para resolver esse sistema de equações diferenciais de segunda ordem, definem-se as definem-seguintes variáveis de estado:
1 2 3 4 1 ( ) 1 ( ) ; ; ( ) ( ) e m h dy z d z x z y z x z y z x z z x z z Pe dz Pe dz
1 1 2 2 1 3 3 3 4 4 1 3 , 3 2 4 ( ) ( ) 1 exp 1 ( ) ( ) ( ) 1 exp 1 ( ) ( ) ( ) ( ) m h r f r saida dx z Pe x z x z dz dx z Da g x z dz x z dx z Pe x z x z dz dx z Da g x z x z dz x z x z y x z
saida
Sistema definido no domínio 0 < z < 1 e sujeito às condições de contorno: CC1: na entrada do reator: z =0: x2(0) yf e (0)x4 f
CC2: na saída do reator: z = 1: x1(1)x2(1)= ysaida e x3
1 x4
1 saidae o balanço global de energia: , , r
r saida r f yf ysaida saida f
.
4-) Exemplo 7.2 da página 179 do livro de Ascher & Petzold .
d t t t t dt y A y q Sendo:
3 2 0 1 0 0 0 1 2 2 t A , com y1
0 b y1, 1
1 b2 e y2
1 b3. A solução analítica do problema é: y
t u t u t u t
, , , em que:
1 2 1 cos
2 t t t e e e u t t e .Considerando o problema para os valores 1 e 10.
( ) 2
( ) 1 ( ) y x
d y x dy x
e
dx x dx , definida no domínio: 0<x<1 e sujeita às condições de contorno: CC1: x =0: 0 ( ) 0 x dy x dx e CC2: x = 1: y
1 . 06-) Exemplo 2.3 da página 36 do livro de Kubiccek & Hlavacek – Modelo Estacionário de uma Partícula de Catalisador Não-Isotérmica.
