Equações de Navier-Stokes e turbulência. Ricardo M. S. Rosa Instituto de Matemática Universidade Federal do Rio de Janeiro (IM-UFRJ)

Equa¸

c˜

oes de Navier-Stokes e turbulˆ

encia

Ricardo M. S. Rosa

Instituto de Matem´

atica

Universidade Federal do Rio de Janeiro

(IM-UFRJ)

24 a 27 de fevereiro de 2003

Programa de Ver˜

ao do LNCC

1

T´ıtulo alternativo:

M´

etodos matem´

aticos em dinˆ

amica dos fluidos

T´

opicos:

•

Teoria estat´ıstica convencional de turbulˆ

encia

•

Sistemas dinˆ

amicos

•

Teoria matem´

atica das equa¸

c˜

oes de Navier-Stokes

•

Formula¸

c˜

ao matem´

atica da teoria convencional de

turbulˆ

encia

1. Conceitos b´

asicos da teoria convencional de

turbulˆ

encia

– Ordem e m´

edias estat´ısticas

– Turbulˆ

encia homogˆ

enea e isotr´

opica

– Espectro de energia

– Cascata de energia

– A teoria homogˆ

ena isotr´

opica local de Kolmogorov

– estruturas coerentes e intermitˆ

encia

– Graus de liberdade

– Lei de dissipa¸

c˜

ao de energia

– N´

umero de Reynolds, lei de Moore e DNS

– Cascata de enstrofia e espectro de Kraichnan em 2D

3

2. Algumas aplica¸

c˜

oes de sistemas dinˆ

amicos

– imprevisibilidade determin´ıstica

– liga¸

c˜

oes homocl´ınicas e intermitˆ

encia

– turbulˆ

encia fraca

×

plenamente desenvolvida

– bifurca¸

c˜

oes e transi¸

c˜

ao para turbulˆ

encia

– dinˆ

amica de l´

obulos e transporte lagrangiano

– ENS como sistema dinˆ

amico em dimens˜

ao infinita

– atratores, dimens˜

ao e graus de liberdade

– variedades inerciais/lentas e o problema da

inicializa¸

c˜

ao em previs˜

oes

3. Teoria matem´

atica das equa¸

c˜

oes de Navier-Stokes

– O prˆ

emio de US$

1, 00 × 10

6

_{da Funda¸}

_c˜

_{ao Clay}

– Formula¸

c˜

ao matem´

atica das ENS segundo Leray

– Existˆ

encia global de solu¸

c˜

ao fraca

– Unicidade local de solu¸

c˜

ao forte

– Singularidades no tempo

– Dimens˜

ao de Hausdorff das singularidades temporais

– Singularidades no tempo e no espa¸

co

– Dimens˜

ao de Hausdorff das singularidades

espa¸

co-temporais

– Regularidade eventual e regularidade assint´

otica

5

4. Formula¸

c˜

ao matem´

atica da teoria convencional de

turbulˆ

encia

– Solu¸

c˜

oes estat´ısticas e equa¸

c˜

ao de Liouville-Foias

– As equa¸

c˜

oes de Reynolds para solu¸

c˜

oes estat´ısticas

– Equa¸

c˜

oes de fluxo de energia

– Cascata de energia

– Estimativas de quantidades f´ısicas

– Cascata de enstrofia em duas dimens˜

oes

– Condi¸

c˜

oes para turbulˆ

encia for¸

cada

– Turbulˆ

encia homogˆ

enea em decaimento

– Leis de potˆ

encia

Escoamentos turbulentos: v´

arias escalas presentes, se

movendo de maneira imprevis´ıvel, mas bem comportadas

em um sentido estat´ıstico.

7

Reynolds (1895):

Decomposi¸

c˜

ao do escoamento em

escoamento m´

edio

+

flutua¸

c˜

oes

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 −1.2 −0.8 −0.4 0 0.4 0.8 1.2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 −1.2 −0.8 −0.4 0 0.4 0.8 1.2

Tipos de m´

edia:

M´

edia temporal:

U(x) ≈

1

T

Z

T

0

u(t, x)

d

t

M´

edia experimental:

U(x) ≈

1

N

N

X

n=1

u

(n)

(t, x)

Hip´

otese erg´

odica:

Os valores m´

edios independem do tipo de m´

edia

considerada

Reynolds:

Opera¸

c˜

ao formal de m´

edia, satisfazendo propriedades de

linearidade.

9

Quantidades m´

edias - nota¸

c˜

ao

ϕ(u)

ou

hϕ(u)i =

1

N

N

X

n=1

ϕ(u

(n)

)

onde

u

= u(t, x)

e

ϕ = ϕ(u)

.

Exemplos:

u

1

(t, x),

hu

1

(t, x)i,

ρ

0

2

h|u(t, x)|

2

_i

Linearidade:

∂u

3

∂x

2

=

∂u

3

∂x

2

,

h

Z

Ω

u(t, y)

d

yi =

Z

Ω

hu(t, y)i

d

y,

hu

1

(x)u

2

(y)i 6= hu

1

(x)i hu

2

(y)i

Pausa para a nota¸

c˜

ao

•

Regi˜

ao

_{Ω ⊂ R}

3

ocupada pelo fluido

•

Vari´

aveis espacial

x

= (x

1

, x

2

, x

3

) ∈ Ω

e temporal

t ≥ 0

•

Campo de velocidades

u

= u(t, x) = (u

1

, u

2

, u

3

) ∈ R

3

•

Press˜

ao

_{p = p(t, x) ∈ R}

e for¸

ca de volume

f

= (f

1

, f

2

, f

3

)

•

Equa¸

c˜

oes de Navier-Stokes (ENS) para um escoamento

incompress´ıvel e homogˆ

eneo, viscosidade cinem´

atica

ν

:

forma escalar







∂u

i

∂t

+

3

X

j=1

u

j

∂u

i

∂x

j

+

∂p

∂x

i

= ν∆u

i

+ f

i

,

3

X

i=1

∂u

i

∂x

i

= 0

forma vetorial

 ∂u

∂t

+ (u · ∇)u + ∇p = ν∆u + f ,

∇

· u = 0

11

•

Escoamento m´

edio

U (x, t) = hu(t, x)i =

1

N

N

X

n=1

u

(n)

(t, x)

•

Energia cin´

etica m´

edia por unidade de massa:

e(t, x) =

1

2

h|u(t, x)|

2

_{i =}

1

N

N

X

n=1

1

2

|u

(n)

_{(t, x)|}

2

•

Raz˜

ao de dissipa¸

c˜

ao viscosa de energia por unidade

de tempo e unidade de massa:

(t, x) = νh|∇ ⊗ u(t, x)|

2

i =

ν

N

N

X

n=1 3

X

i,j=1

∂u

(n)_i

∂x

j

!

2

Equa¸

c˜

ao de energia

•

Equa¸

c˜

oes de Navier-Stokes:

∂u

∂t

− ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f ,

∇

· u = 0,

•

Multiplicando as ENS por

u

e integrando no dom´ınio:

Z

Ω

(

ENS

) · u

d

x

= 0

•

Usando as condi¸

c˜

ao de incompressibilidade:

1

2

d

d

t

Z

Ω

|u|

2

+ ν

Z

Ω

|∇ ⊗ u|

2

+

(termos no bordo)

= 0

Fora os termos de produ¸

c˜

ao de energia.

13

Equa¸

c˜

oes de Reynolds para o escoamento m´

edio

•

Equa¸

c˜

oes de Navier-Stokes:

∂u

∂t

− ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = 0,

∇

· u = 0.

•

Substituindo

u

= U + u

0

_{e tomando a m´}

_edia:

∂U

∂t

− ν∆U + (U · ∇)U + ∇P = −∇ · (u

0

_{⊗ u}

0

_),

_∇

_{· U = 0.}

Escoamentos turbulentos m´

edios

Em canais:

camadas

V´

arias camadas com diferentes perfis de velocidade m´

edia

(simplifica¸

c˜

ao do tensor de Reynolds via simetrias, an´

alise

dimensional, argumentos fenomenol´

ogicos, ...)

Analogamente para outras geometrias (canos, etc.)

15

Correla¸

c˜

oes e m´

etodos estat´

ısticos - Taylor (1921,35)

Correla¸

c˜

oes (2-pontos):

hu

i

(x)u

j

(x + `)i

PSfrag replacements

u(x)

u(x + `)

• u

(n)

(x + `)

e

u

(n)

(x)

apontam freq¨

uentemente na mesma

dire¸

c˜

ao e mesmo sentido

⇒ hu

i

(x)u

i

(x + `)i > 0

e as

velocidades est˜

ao correlacionadas.

• u

(n)

_{(x + `)}

_e

_u

(n)

_(x)

_{apontam em dire¸}

_c˜

_oes

arbitrariamente diferentes

⇒ hu

i

(x)u

i

(x + `)i = 0

e as

velocidades n˜

ao est˜

ao correlacionadas.

Turbulˆ

encia homogˆ

enea - Taylor (1935)

Em certos escoamentos, correla¸

c˜

oes s˜

ao homogˆ

eneas:

hu

i

(x)u

j

(x + `)i =

fun¸

c˜

ao apenas de

`

,

independe de

x

17

Comprimento de Taylor (1921,1935)

Correla¸

c˜

ao lateral de segunda ordem normalizada:

g(`) =

hu

1

(x)u

1

(x + `e

2

)i

hu

1

(x)

2

i

,

` ∈ R.

• g(0) = 1

•

Homogeneidade implica em

g(−`) = g(`)

, logo

g

0

_{(0) = g}

000

_{(0) = . . . = 0}

_.

• g(`) = 1 −



<sub>`T</sub>`



2

+ O





` `0 T



4



• `

T

=

comprimento de Taylor

•

1

`

2 T

= lim

`→0

1 − g(`)

`

2

=

1

2

g

00

_{(0) =}

1

2

h



∂u1(x)_∂x2



2

i

hu

1

(x)

2

i

Comprimento de Taylor - verifica¸

c˜

ao experimental

g(`) =

hu

1

(x)u

1

(x + `e

2

)i

hu

1

(x)

2

i

= 1 −

 `

`

T



2

+ O

 `

`

0_T



4

!

`

T

=

“comprimento m´

edio dos menores turbilh˜

oes

respons´

aveis pela dissipa¸

c˜

ao de energia pela viscosidade”

19

Turbulˆ

encia homogˆ

enea isotr´

opica - Taylor (1935)

Em certos escoamentos turbulentos, em particular quando o

escoamento m´

edio ´

e desprez´ıvel, as correla¸

c˜

oes s˜

ao

homogˆ

eneas e isotr´

opicas

no espa¸

co, isto ´

e independentes

de transla¸

c˜

oes e rota¸

c˜

oes do conjunto de pontos.

hu

i

(x)u

j

(x + `)i =











fun¸

c˜

ao apenas do m´

odulo

` = |`|,

independe de

x

e da dire¸

c˜

ao

`

|`|

PSfrag replacements

u

1

(x − `e

1

)

u

2

(x)

u

2

(x + `e

2

)

u

1

(x)

`

`

Conseq¨

uˆ

encias da isotropia

K´

arm´

an e Howarth (1937) mostraram que em escoamentos

homogˆ

eneos isotr´

opicos, correla¸

c˜

oes de segunda ordem

podem ser escritas em termos de apenas uma correla¸

c˜

ao

 hu

i

(x)u

j

(x + `)i

hu(x)

2

_i



3 i,j=1

=

f (`) − g(`)

`

2

` ⊗ ` + g(`)δ

i,j

,

onde

f (`) =

hu

1

(x)u

1

(x + `e

1

)i

hu(x)

2

_i

,

g(`) =

hu

1

(x)u

1

(x + `e

2

)i

hu(x)

2

_i

e, da condi¸

c˜

ao de incompressibilidade,

f (`) +

`

2

f

0

_{(`) = g(`).}

Verificado experimentalmente por Taylor (1937).

21

Espectro de energia e correla¸

c˜

oes - Taylor (1938)

•

Tra¸

co do tensor de correla¸

c˜

oes

Tr

R(`) = R

11

(`) + R

22

(`) + R

33

(`),

R

ij

= hu

i

(x)u

j

(x + `)i

•

Transformada de Fourier

Q(κ)

de Tr

R(`)

Tr

R(`) =

1

(2π)

3/2

Z

R3

Q(κ)e

i`·κ

d

κ

•

Espectro de energia

(segundo Batchelor (1953))

S(κ) =

1

2

1

(2π)

3/2

Z

|κ|=κ

Q(κ)

d

Σ(κ)

=⇒

e =

1

2

h|u(x)|

2

_{i =}

1

2

Tr

R(0) =

Z

∞ 0

S(κ)

d

κ

Cascata de energia - Richardson (1922)

PSfrag replacements

inje¸c˜ao de energia transferˆencia/cascata dissipa¸c˜ao de energia de energia

23

Teoria de Kolmogorov

•

Produ¸

c˜

ao de energia nas grandes escalas

` ∼ `

0

•

No intervalo de equil´

ıbrio,

`  `

0

, o escoamento tem

um comportamento universal, independente das

caracter´ısticas de produ¸

c˜

ao de energia e dependentes

apenas de

ν

e



.

•

A viscosidade se torna importante apenas a partir de

escalas muito menores, da ordem do comprimento de

Kolmogorov,

`



= (ν

3

/)

1/4

.

•

No intervalo inercial,

`

0

 `  `



, a viscosidade ´

e

desprez´ıvel em rela¸

c˜

ao `

as for¸

cas de inercia (cin´

eticas),

com o espectro de energia

S(κ) ∼ 

2/3

κ

−5/3

.

Teoria de turbulˆ

encia homogˆ

enea isotr´

opica local

-Kolmogorov (1941)

•

Correla¸

c˜

oes de diferen¸

cas

de velocidades s˜

ao

homogˆ

eneas e isotr´

opicas no espa¸

co e em equil´ıbrio

estat´ıstico (homogˆ

eneas) no tempo.

•

(Homogeneidade)

 =

ν₂

h|∇ ⊗ u(t, x)|

2

i

independe de

t, x

.

•

1.

a

hip´

otese de similaridade: correla¸

c˜

oes dependem

apenas de



e

ν

(nas escalas suficientemente menores

que as de produ¸

c˜

ao de energia,

`

0

)

•

2.

a

hip´

otese de similaridade: H´

a um subintervalo de

escalas no qual as correla¸

c˜

oes dependem apenas de



25

Comprimento de Kolmogorov (1941)

´

E o comprimento

`



para o qual os efeitos de viscosidade e

in´

ercia s˜

ao compar´

aveis e significativos.

Pela transforma¸

c˜

ao

`

0

= `/λ

,

t

0

= t/τ

, temos

ν

0

=

τ

λ

2

ν,



0

₌

τ

3

λ

2

.

Logo,

ν

0

= 1 = 

0

⇐⇒

`



= λ =





ν

3



1/4

.

A lei de potˆ

encia

2/3

de Kolmogorov (1941)

Pela segunda hip´

otese de similaridade, as correla¸

c˜

oes para

`



 `  `

0

s´

o dependem de



.

S

2

(`) = h



(u(x + `) − u(x)) ·

`

|`|



2

i = g(`, ).

Pela similaridade,

S

₂0

(`

0

) = g(`

0

, 

0

)

, logo

τ

2

λ

2

S

2

(`) = g(

`

λ

,

τ

3

λ

2

).

Tomando

`

λ

= 1,

τ

3

λ

2

 = 1,

=⇒

S

2

(`)

= g(1, 1)

λ

2

τ

2

= g(1, 1)

`

2

(`

2/3

_/

1/3

₎

2

=

const.

(`)

2/3

_.

27

O espectro

−5/3

de Kolmogorov

• S(κ)

= espectro de energia

⇒

dimens˜

ao =

L

3

T

• 

= raz˜

ao de dissipa¸

c˜

ao de energia no tempo =

L

2

T

3

•

Hip´

otese de similaridade

⇒ S(κ)

depende de



e

κ

(no

intervalo inercial)

•

Intervalo inercial:

κ

0

 κ  κ



,

κ

0

= `

−10

,

κ



= `

−1

•

An´

alise dimensional

⇒

Espectro de energia - mecanismo de Oboukhof (1941)

•

Energia cin´

etica m´

edia para os turbilh˜

oes de

comprimento

` = 1/κ

:

e

κ

= S(κ)κ

•

Tempo caracter´ıstico para esses turbilh˜

oes:

τ

κ

= (S(κ)κ

3

)

1/2

•

No intervalo inercial, energia cin´

etica ´

e transferida para

as escalas menores, `

a raz˜

ao temporal da ordem da

raz˜

ao de dissipa¸

c˜

ao de energia:

e

κ

τ

κ

∼ 

•

Logo,

S(κ)κ

(S(κ)κ

3

₎

1/2

∼ 

=⇒

S(κ) ∼ 

2/3

_κ

−5/3 29

Teoria de Kolmogorov

•

Produ¸

c˜

ao de energia nas grandes escalas

` ∼ `

0

•

No intervalo de equil´

ıbrio,

`  `

0

, o escoamento tem

um comportamento universal, independente das

caracter´ısticas de produ¸

c˜

ao de energia e dependentes

apenas de

ν

e



.

•

A viscosidade se torna importante apenas a partir de

escalas muito menores, da ordem do comprimento de

Kolmogorov,

`



= (ν

3

/)

1/4

.

•

No intervalo inercial,

`

0

 `  `



, a viscosidade ´

e

desprez´ıvel em rela¸

c˜

ao `

as for¸

cas de inercia (cin´

eticas),

com o espectro de energia

S(κ) ∼ 

2/3

κ

−5/3

.

Diagrama da teoria de Kolmogorov

Os espectros de energia e de dissipa¸

c˜

ao de energia

PSfrag replacements

κ

S(κ)κ/e

_νκ

2

_S(κ)κ/

intervalo de equil´ıbrio

intervalo

inercial

intervalo

de dissipa¸

c˜

ao

κ

0

κ



31

Estruturas coerentes e intermitˆ

encia

•

Universalidade questionada devido a varia¸

c˜

oes

intermitentes na dissipa¸

c˜

ao de energia



•

Estruturas coerentes: filamentos de v´

ortices com baixa

dissipa¸

c˜

ao de energia, diˆ

ametro da ordem do

comprimento de Kolmogorov e comprimento variando

entre comprimento de Taylor e escala integral.

Graus de liberdade - Landau e Lifchitz (1971)

•

Teoria de Kolmogorov: escalas

`  `



s˜

ao dominadas

pela dissipa¸

c˜

ao e irrelevantes para o movimento

•

Basta representarmos as escalas de ordem at´

e

`



•

Basta uma malha de espa¸

camento

∼ `

0

/`



•

Graus de liberdade:

(`

0

/`



)

3

PSfrag replacements

`

0

`

 35

N´

umero de Reynolds

•

Escala de comprimento:

L

•

Escala de velocidade:

U

•

Dimens˜

ao f´ısica do termo inercial:

(u · ∇)u ∼

U

2

L

•

Dimens˜

ao f´ısica do termo viscoso:

ν∆u ∼

νU

L

2

•

Raz˜

ao entre os dois termos:

Re

=

inercial

viscoso

=

LU

ν

•

Re

>> 1 ⇒

termo inercial domina

Lei de dissipa¸

c˜

ao de energia

•

Comprimento das grandes escalas:

`

0

•

Velocidade das grandes escalas:

U

0

•

Energia cin´

etica das grandes escalas:

e

0

= U

02

/2

•

Tempo de circula¸

c˜

ao das grandes escalas:

τ

0

= `

0

/U

0

•

Raz˜

ao de dissipa¸

c˜

ao de energia por unidade de tempo

(escoamentos em equil´ıbrio estat´ıstico):

 ∼

e

0

τ

0

⇒

 ∼

U

3 0

`

0

(lei de dissipa¸

c˜

ao de energia)

•

Mais precisamente, lei considerada para escala integral

`

0₀

=

1

hu

2₁

i

Z

∞ 0

hu

1

(x)u

1

(x + `e1)i

d

`

e velocidade turbulenta

U

₀0

= hu

1

(x)

2

i

1/2 37

Graus de liberdade em termos do n´

umero de Reynolds

•

N´

umero de Reynolds das grandes escalas: Re

= `

0

U

0

/ν

•

Comprimento de Kolmogorov:

`



= (ν

3

/)

1/4

•

Lei de dissipa¸

c˜

ao de energia:

 ∼ U

₀3

/`

0

•

Logo,

`

0

/`



∼

Re

3/4

•

Graus de liberdade:

N ∼

 `

0

`





3

∼

Re

9/4

Exemplos de n´

umeros de Reynolds de escoamentos

•

T´

unel de vento

`

0

∼ 2m, U

0

∼ 5m/s, ν ∼ 10

−5

m

2

/s

⇒

Re

∼ 10

6

,

N ∼ 10

13

,

`



∼ 0.1mm

•

Escoamentos geof´ısicos

`

0

∼ 10000km, U

0

∼ 100km/h

,

⇒

Re

∼ 10

12

,

N ∼ 10

27

,

`



∼ 1cm

Obs: estimativas aproximadas, pois n˜

ao estamos

considerando a escala integral e a intensidade turbulenta.

39

N´

umero de Reynolds e CFD

•

Para a representa¸

c˜

ao espacial apropriada do

escoamento:

N ∼

Re

9/4

graus de liberdade.

•

Para escoamentos peri´

odicos 3D (via fft):

N ln N

opera¸

c˜

oes de ponto flutuante (flop) por itera¸

c˜

ao.

•

Como a escala de tempo dos menores turbilh˜

oes ´

e

τ



= (`

2

/)

1/3

= (ν/)

2

, precisamos (usando

 ∼ U

0

/`

0

), de

τ

0

/τ



= (`

0

U

0

/ν)

1/2

=

Re

1/2

itera¸

c˜

oes para integra¸

c˜

ao em

um ciclo de circula¸

c˜

ao das grandes escalas, logo

N

11/9

ln N ∼

Re

11/4

ln

Re flop para cada ciclo.

•

Com os supercomputadores teraflop (

10

12

_flop/s),

podemos chegar a aproximadamente Re

∼ 10

4

.

•

Lei de Moore: performance

×1.58

por ano.

•

Mudan¸

cas na arquitetura: performance

×1.82

por ano.

41

Previs˜

ao para DNS: Re

= 10

13

em 2100?

•

Para simula¸

c˜

ao DNS homogˆ

enea:

P ∼

Re

3

flop/s.

•

Como a “performance”

P ∼

Re

4/11

se multiplica por

1.82

por ano, temos Re se multiplica por

(1.82)

4/11

≈ 1.243

.

2000 2010 2020 2030 2040 2050 2060 2070 2080 2090 2100 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9 10 10 10 11 10 12 10 13 10 14 10

Turbulˆ

encia em duas dimens˜

oes

•

Conserva¸

c˜

ao de enstrofia:

1

2

Z

Ω

|ω(x)|

2

d

x

•

Cascata de enstrofia para as escalas menores

•

Cascata inversa de energia para as escalas maiores

PSfrag replacements

κ

S(κ)κ/e

νκ

2

S(κ)κ/

νκ

4

S(κ)κ/η

cascata inversa de energia produ¸c˜ao

de enstrofia cascatade enstrofia dissipa¸de enstrofiac˜ao

43

O espectro de Kraichnan (1967)

•

Inje¸

c˜

ao de enstrofia nas escalas

κ ∼ κ

f

•

Raz˜

ao de dissipa¸

c˜

ao de enstrofia

η

•

Comprimento de Kraichnan

κ

η

= (η/ν

3

)

1/6

•

Dissipa¸

c˜

ao de enstrofia nas escalas

κ & κ

η

•

Cascata de enstrofia em

κ

f

 κ  κ

η

•

Espectro de Kraichnan

S(κ) ∼ η

2/3

κ

−3

em

κ

f

 κ  κ

η

•

Cascata inversa de energia em

κ

0

 κ  κ

f

•

Espectro de Kolmogorov

S(κ) ∼ 

2/3

κ

−5/3

em

Equa¸

c˜

oes de Navier-Stokes e turbulˆ

encia

Ricardo M. S. Rosa

Instituto de Matem´

atica

Universidade Federal do Rio de Janeiro

(IM-UFRJ)

24 a 27 de fevereiro de 2003

Programa de Ver˜

ao do LNCC

1

T´ıtulo alternativo:

M´

etodos matem´

aticos em dinˆ

amica dos fluidos

T´

opicos:

•

Teoria estat´ıstica convencional de turbulˆ

encia

•

Sistemas dinˆ

amicos

•

Teoria matem´

atica das equa¸

c˜

oes de Navier-Stokes

•

Formula¸

c˜

ao matem´

atica da teoria convencional de

turbulˆ

encia

Algumas aplica¸

c˜

oes de sistemas dinˆ

amicos:

•

imprevisibilidade determin´ıstica

•

liga¸

c˜

oes homocl´ınicas e intermitˆ

encia

•

turbulˆ

encia fraca

_×

plenamente desenvolvida

•

bifurca¸

c˜

oes e transi¸

c˜

ao para turbulˆ

encia

•

dinˆ

amica de l´

obulos e transporte lagrangiano

•

NSE como sistema dinˆ

amico em dimens˜

ao infinita

•

atratores, dimens˜

ao e graus de liberdade

•

variedades inerciais/lentas e o problema da inicializa¸

c˜

ao

em previs˜

oes

3

Sistema de Lorenz (1963)

Sistema obtido a partir de equa¸

c˜

oes de convec¸

c˜

ao t´

ermica,

de um fluido aquecido por baixo, truncando bruscamente as

equa¸

c˜

oes em apenas trˆ

es modos de Fourier (um para a

velocidade e dois para a temperatura), representando

perturba¸

c˜

oes das c´

elulas de convec¸

c˜

ao de B´

enard (dois

modos de Fourier)















x

0

_{= −σx − σy}

y

0

_{= rx − y − xz}

z

0

= xy − bz

Atrator de Lorenz (1963)

E a s´

erie temporal de x(t)

44.8 25.2 5.6 Z 22 −1 −24 Y −18.0 −0.5X 17.1 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 −19 −15 −11 −7 −3 1 5 9 13 17 21 5

Imprevisibilidade I

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 −19 −15 −11 −7 −3 1 5 9 13 17 21 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 −17 −13 −9 −5 −1 3 7 11 15 19

PSfrag replacements

x(0) = −3,

y(0) = −6,

z(0) = 12

x(0) = −3.01,

y(0) = −6,

z(0) = 12

Imprevisibilidade II

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 −19 −15 −11 −7 −3 1 5 9 13 17 21 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 −18 −14 −10 −6 −2 2 6 10 14 18

PSfrag replacements

x(0) = −3,

y(0) = −6,

z(0) = 12

x(0) = −3 + 10

−12

_,

_{y(0) = −6,}

_{z(0) = 12}

7

Sistemas dinˆ

amicos

•

Poincar´

e j´

a havia observado, no in´ıcio do s´

eculo XX, a

imprevisibilidade e a riqueza da dinˆ

amica de sistemas

determin´ısticos, estudando o problema da estabilidade

do sistema solar (e extrapolando para a meteorologia);

•

Sistemas autˆ

onomos de duas equa¸

c˜

oes diferenciais

ordin´

arias s˜

ao bem comportados;

•

Sistemas autˆ

onomos de mais de duas equa¸

c˜

oes podem

exibir comportamento ca´

otico;

•

Sistemas n˜

ao-autˆ

onomos de duas equa¸

c˜

oes e

mapeamentos (sistemas dinˆ

amicos discretos) de uma

ou mais dimens˜

oes tamb´

em podem exibir

Crescimento exponencial

Um dos mecanismos respons´

aveis pela imprevisibilidade

(quando associado a n˜

ao-linearidade, etc.)

Se

x

2

(t) − x

1

(t) = e

λt

(x

2

(0) − x

1

(0))

e

λ = 3

, ent˜

ao em

t = 10

,

erro ´

e amplificado por

e

30

_{≈ 10}

13

_.

PSfrag replacements

x

1

(0)

x

2

(0)

x

1

(t)

x

2

(t)

t

x

9

Liga¸

c˜

oes heterocl´

ınicas

11

Ciclos homoc´

ınicos e intermitˆ

encia

Transporte de temperatura na Corrente do Golfo

13

Transporte Lagrangiano - escoamento de Rossby

•

Campo de velocidades do escoamento

u

_{(t, x)}

•

Transporte Lagrangiano:

d

x

(t)

d

t

= u(t, x(t))

•

Escoamento de Rossby:

Transporte Lagrangiano - perturba¸

c˜

ao do Rossby

•

Quebra da liga¸

c˜

oes heteroc´ınicas

•

Aproxima¸

c˜

ao de variedades invariantes

15

Turbulˆ

encia fraca

_×

plenamente desenvolvida

•

Teoria estat´ıstica convencial trata de turbulˆ

encia

plenamente desenvolvida

•

Teoria geom´

etrica de sistemas dinˆ

amicos tem sido ´

util

em turbulˆ

encia fraca

•

Aplica¸

c˜

ao da teoria de bifurca¸

c˜

oes em transi¸

c˜

ao para

turbulˆ

encia

•

DNS (Simula¸

c˜

ao num´

erica direta): aux´ılio fundamental

nos m´

etodos de sistemas dinˆ

amicos

17

O problema de Couette-Taylor

Couette:

ω

i

= 0

,

ω

e

6= 0

Mallock, Taylor:

ω

i

6= 0

,

ω

e

= 0

PSfrag replacements

r

i

r

e

ω

i

ω

e 19

Couette-Taylor - bifurca¸

c˜

oes,

ω

e

= 0, ω

i

> 0

ponto fixo

escoamento de Couette escoamento de Taylor

ponto fixo

escoamento "wavy vortex" órbita quasi−periódica (toro T^2)

ondas moduladas

Bifurca¸

c˜

oes Couette-Taylor - 2 parˆ

ametros Reynolds

Re

i

=

r

i

(r

e

− r

i

)ω

i

ν

,

Re

e

=

r

e

(r

e

− r

i

)ω

e

ν

.

21

Bifurca¸

c˜

oes e transi¸

c˜

ao para turbulˆ

encia

•

Bifurca¸

c˜

oes para outros pontos fixos, ´

orbitas peri´

odicas,

toros

T

2

,

T

3

, T

4

, . . .

, do tipo Ruelle-Takens-Sell de

T

2

para um atrator estranho, etc.;

•

Bifurca¸

c˜

oes: em um certo sentido, extens˜

ao n˜

ao-linear

do m´

etodo de lineariza¸

c˜

ao - procuramos reduzir a

equa¸

c˜

ao para

x

0

= λx

, com

_{λ 6= 0}

, mas se

λ = 0

,

precisamos dos termos de ordem mais alta;

Bifurca¸

c˜

oes unidimensionais - “pitchfork”

• x

0

= λx − x

3

_,

_{λ ∈ R}

•

pontos fixos:

x = 0

¯

(se

_{λ ≤ 0}

),

_{x = 0, ±}

¯

√

λ

(se

λ > 0

)

• λ ≤ 0 ⇒

todas solu¸

c˜

oes

_{x(t) →}

t−→∞

0

• λ > 0 ⇒ x(t) →

_t−→∞

±

√

λ

• λ = 0 ⇒

derivada de

_{F (x) = λx − x}

3

se anula em

x = 0

PSfrag replacements

λ x x2 = λ 23

Bifurca¸

c˜

oes unidimensionais - sela-n´

o e transcr´

ıtica

• x

0

= λ − x

2

PSfrag replacements

λ x x2 = λ

• x

0

= λx − x

2

PSfrag replacements

λ x x2 = λ λ x x= λ

Bifurca¸

c˜

ao de Hopf

•

Em coordenadas cartesianas

(

x

0

_{= λx − y − x}

3

_{− xy}

2

y

0

_{= x + λy − x}

2

_{y − y}

3

•

Em coordenadas polares

( r

0

= λr − r

3

θ

0

= 1

PSfrag replacements

x y λ 25

Mapas de Poincar´

e e bifurca¸

c˜

oes dinˆ

amicas

Bifurca¸

c˜

oes a partir de ´

orbitas peri´

odicas, homocl´ınicas,

etc., podem ser estudadas construindo-se mapeamentos

dentro do espa¸

co de fase de sistemas cont´ınuos

Duplica¸

c˜

ao de per´

ıodo

Atrav´

es de bifurca¸

c˜

ao tipo “flip” (“multiplica¸

c˜

ao por

₋₁

”)

no mapeamento de Poincar´

e

27

Bifurca¸

c˜

ao de Hopf de ´

orbita peri´

odica para toro

Atrav´

es de bifurca¸

c˜

ao de Hopf no mapa de Poincar´

e

Redu¸

c˜

ao de dimens˜

ao

•

Variedade central

•

Em

x

0

= F (x)

, multiplicidade alg´

ebrica

n

do autovalor

zero de

DF (¯

_{x) ⇒}

redu¸

c˜

ao para sistema de dimens˜

ao

n

•

Redu¸

c˜

ao de Liapunov-Schmidt para

x

0

_{= F (x, λ)}

•

Formas normais, teoria de singularidades, etc.

29

Equa¸

c˜

ao funcional para ENS

•

Equa¸

c˜

oes de Navier-Stokes:

∂u

∂t

− ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f,

∇

· u = 0.

•

Tomando divergente da ENS obtemos equa¸

c˜

ao para

press˜

ao (assumindo

∇

_{· f = 0}

_{), como fun¸}

_c˜

_{ao de}

u

−∆p = ∂

xi

u

j

∂

xj

u

i

(condi¸

c˜

oes de Neumann no bordo)

•

No espa¸

co das fun¸

c˜

oes de divergente nulo, equa¸

c˜

ao

apenas para o campo de velocidades

u

_:

d

u

ENS como sistema dinˆ

amico de dimens˜

ao infinita

•

ENS funcional em espa¸

cos de divergente nulo

d

u

d

t

= F(u),

F

(u) = f − νAu − B(u, u)

•

Existˆ

encia e unicidade de solu¸

c˜

ao global (ENS 2D):

∀u

0

,

∃u(t), ∀t ≥ 0,

u

(0) = u

0

•

Sistema dinˆ

amico:

S(t)u

0

= u(t), t ≥ 0

PSfrag replacements

u₀ S(t)u₀ = u(t)

•

V´

arios conceitos se aplicam em 3D, apesar de faltar

existˆ

encia/unicidade global (no tempo)

31

Atrator global

PSfrag replacements

A ´ orbita Exemplo 1

•

Conjunto compacto

_A

•

Invariante:

_{S(t)A = A, ∀t ∈ R}

•

Atrai todas as ´

orbitas, uniformemente para condi¸

c˜

oes

iniciais limitadas

PSfrag replacements

A ´ orbita Exemplo 1A ´ orbita Exemplo 2

Existˆ

encia de atrator global

•

Existˆ

encia de um conjunto absorvente limitado

_B

{u

(n)0

}

n

limitado

⇒ ∃T, S(t)u

0

∈ B, ∀t ≥ T

•

Compacidade assint´

otica para conjuntos limitados de

condi¸

c˜

oes iniciais

∃

subseq¨

uˆ

encia convergente

S(t

nj

)u

(nj)₀

, ∀t

n

→ ∞

• A = ω(B) =

n

v

_{= lim}

_t→∞

_S(t

_nj

_)u

(nj) 0

, {u

0

(n

j

)} ⊂ B

o

PSfrag replacements

B u(1) 0 u(2) 0 u(3) 0 u(4) 0 ω(u(3)₀ ) 33

Dimens˜

ao do atrator global

•

Sendo compacto,

_A

pode ser aproximado por

subespa¸

cos afins de dimens˜

ao finita

•

Na maioria dos casos,

_A

tem dimens˜

ao fractal finita

•

Nesses casos,

_A

pode ser imerso em variedades

euclidianas de dimens˜

ao finita

•

Possibilidade de se obter sistemas finitos de EDOs com

o mesmo comportamento assint´

otico

Dimens˜

ao do atrator das ENS

•

dim

_f

_{A .}

graus de liberdade Landau-Lifchitz

•

ENS 2D peri´

odico: dim

f

A .

 `

0

`

η¯



2



1 + ln

 `

0

`

η¯



1/3

•

ENS 2D com aderˆ

encia na fronteira: dim

f

A .

 `

0

`

¯0



2

•

ENS 3D, para conjuntos invariantes regulares

_V

:

dim

_f

_{A .}

 `

0

`

¯



3

•

onde

η

¯

e

¯



0

_{similares a}

¯

 = ν lim sup

T →∞

sup

u0∈V

1

T

Z

T 0

Z

Ω

|∇ ⊗ u(t, x)|

2

_d

_x

_d

_t

35

Variedade inercial

•

Variedade Lipschitz de dimens˜

ao finita

•

Positivamente invariante, i.e.

_{S(t)M ⊂ M}

,

_{∀t ≥ 0}

•

Atrai todas as ´

orbitas exponencialmente e

uniformemente para condi¸

c˜

oes iniciais limitadas

PSfrag replacements

A M

u₀

Completude assint´

otica de variedades inerciais

•

Em geral, para toda solu¸

c˜

ao

u

_{= u(t)}

_{, existe solu¸}

_c˜

_ao

v

_{= v(t) ∈ M}

_{com o mesmo comportamento assint´}

_otico

lim

t→∞

|u(t) − v(t)| = 0

e

ω(u) = ω(v)

•

Atra¸

c˜

ao exponencial

_{⇒ M}

captura boa parte do

comportamento transiente

PSfrag replacements

u v M 37

Existˆ

encia de variedades inerciais

•

Requer forte dissipa¸

c˜

ao (contra¸

c˜

ao uniforme de

volumes)

•

Existˆ

encia demonstrada para v´

arias equa¸

c˜

oes em uma

dimens˜

ao espacial e em casos especiais em 2D

•

Em aberto para NSE 2D e 3D

•

Transformada de Kwak ainda incompleta

•

Rela¸

c˜

ao com variedades lentas em meteorologia

variedade inercial

dados atmosféricos

Aproxima¸

c˜

ao de variedades inerciais

•

M´

etodos num´

ericos mais precisos baseados em

aproxima¸

c˜

oes de variedades inerciais

•

Eficiˆ

encia depende da regularidade das solu¸

c˜

oes e do

objetivo do estudo

•

Apropriado para estudos da dinˆ

amica (e.g. captura de

liga¸

c˜

oes heterocl´ınicas)

variedade inercial

aproximação de Galerkin variedade inercial aproximada

39

Controle de dimens˜

ao finita

•

Variedade inercial

_⇒

dinˆ

amica de dimens˜

ao finita

•

Possibilidade de controle de dimens˜

ao finita, para

aumentar ou diminuir comportamento ca´

otico

•

Resultados te´

oricos positivos

•

Controle distribuido

_×

controle no bordo

•

Viabilidade dos m´

etodos?

Atrator exponencial

•

Intermedi´

ario entre atrator global e variedade inercial

•

Aproxima exponencialmente as ´

orbitas mas n˜

ao ´

e

variedade euclidiana

•

Existˆ

encia para v´

arias equa¸

c˜

oes, inclusive ENS 2D

•

Parametriza¸

c˜

ao por mapeamentos H¨

older-cont´ınuos

•

Resultados parciais sobre existˆ

encia de sistemas de

dimens˜

ao finita com dinˆ

amica equivalente

atrator exponencial parametrização do atrator exponencial

41

Equa¸

c˜

oes de Navier-Stokes e turbulˆ

encia

Ricardo M. S. Rosa

Instituto de Matem´

atica

Universidade Federal do Rio de Janeiro

(IM-UFRJ)

24 a 27 de fevereiro de 2003

Programa de Ver˜

ao do LNCC

1

T´ıtulo alternativo:

M´

etodos matem´

aticos em dinˆ

amica dos fluidos

T´

opicos:

•

Teoria estat´ıstica convencional de turbulˆ

encia

•

Sistemas dinˆ

amicos

•

Teoria matem´

atica das equa¸

c˜

oes de Navier-Stokes

•

Formula¸

c˜

ao matem´

atica da teoria convencional de

turbulˆ

encia

Teoria matem´

atica das equa¸

c˜

oes de Navier-Stokes

•

O prˆ

emio de US$

1, 00 × 10

6

da Funda¸

c˜

ao Clay

•

Formula¸

c˜

ao matem´

atica das ENS segundo Leray

•

Existˆ

encia global de solu¸

c˜

ao fraca

•

Unicidade local de solu¸

c˜

ao forte

•

Singularidades no tempo

•

Dimens˜

ao de Hausdorff das singularidades temporais

•

Singularidades no tempo e no espa¸

co

•

Dimens˜

ao de Hausdorff das singularidades

espa¸

co-temporais

•

Regularidade eventual e regularidade assint´

otica

3

Equa¸

c˜

oes de Navier-Stokes

•

Regi˜

ao

Ω ⊂ R

3

_{ocupada pelo fluido}

•

Vari´

aveis espacial

x

= (x

1

, x

2

, x

3

) ∈ Ω

e temporal

t ≥ 0

•

Campo de velocidades

u

= u(t, x) = (u

1

, u

2

, u

3

) ∈ R

3

•

Press˜

ao

p = p(t, x) ∈ R

e for¸

ca de volume

f

= (f

1

, f

2

, f

3

)

•

Equa¸

c˜

oes de Navier-Stokes (ENS) para um escoamento

incompress´ıvel e homogˆ

eneo, viscosidade cinem´

atica

ν

:

forma

escalar







∂u

i

∂t

+

3

X

j=1

u

j

∂u

i

∂x

j

+

∂p

∂x

i

= ν∆u

i

+ f

i

,

3

X

i=1

∂u

i

∂x

i

= 0

forma

vetorial

 ∂u

∂t

+ (u · ∇)u + ∇p = ν∆u + f ,

∇

· u = 0

Prˆ

emio:

US$

1, 00 × 10

6

da Clay Foundation

Problema A: (Solu¸

c˜

ao global)

Dado

u

₀

suave, com

∇

_{· u}

₀

_{= 0}

_e

_|∂

k

xi

u

0

(x)| ≤ c

km

(1 + |x|)

−m

, k, m ∈ N, x ∈ R

3

, achar

solu¸

c˜

oes suaves

u

= u(t, x), p = p(t, x)

das ENS em

Ω = R

3

,

com

u, p ∈ C

∞

_{([0, ∞) × R}

3

₎

_,

R

Ω

|u(t, x)|

2

d

x

≤ C, ∀t ≥ 0

, e

u(0, x) = u

0

(x)

.

Problema B: (explos˜

ao em tempo finito)

Mostrar

existˆ

encia de

u

0

e

f

suaves, com

∇

· u

0

= 0

e

|∂

_xik

u

₀

(x)| ≤ c

km

(1 + |x|)

−m

, |∂

tr

∂

xik

u

0

(x)| ≤ c

rkm

(1 + t + |x|)

−m

,

r, k, m ∈ N, t ≥ 0, x ∈ R

3

_{, tais que que n˜}

_{ao existam solu¸}

_c˜

_oes

das ENS em

R

3

_{como acima.}

Problemas A’, B’: vers˜

oes com condi¸

c˜

oes peri´

odicas de

contorno.

5

Resultados conhecidos

•

Existˆ

encia global (no tempo) de solu¸

c˜

oes fracas (n˜

ao

necessariamente regulares)

•

Existˆ

encia por tempo finito de solu¸

c˜

oes suaves

•

Um pouco de regularidade (e.g.

H

1

_(Ω)

_{) implica em}

solu¸

c˜

oes suaves

•

Existˆ

encia global de solu¸

c˜

oes regulares em duas

dimens˜

oes

•

Solu¸

c˜

oes fracas n˜

ao s˜

ao necessariamente ´

unicas (para

cada condi¸

c˜

ao inicial dada)

Uma formula¸

c˜

ao matem´

atica das ENS

•

Primeiro passo: eliminar a press˜

ao considerando

espa¸

cos de divergente nulo

•

Condi¸

c˜

ao natural para o campo de velocidades:

Z

Ω

|u(x)|

2

d

x

< ∞

⇔

energia cin´

etica finita

•

Espa¸

co de partida:

L

2

_{(Ω) =}



u

: Ω → R

3

, |u|

2 def

=

Z

Ω

|u(x)|

2

d

x

< ∞



•

Subespa¸

co de divergente nulo:

H =

u ∈ L

2

_{(Ω); ∇ · u = 0 +}

_(condi¸

_c˜

_{oes de contorno)}

7

• H

´

e um subespa¸

co vetorial fechado de

L

2

•

Decomposi¸

c˜

ao ortogonal

L

2

_{= H ⊕ H}

⊥

PSfrag replacements

H

H⊥

•

Proje¸

c˜

ao ortogonal

P

LH

: L

2

→ H

e

Q

LH

= I − P

LH

•

Decomposi¸

c˜

ao das ENS (assumindo

P

LH

f

= f

):















P

LH

 ∂u

∂t

+ (u · ∇)u − ν∆u + ∇p − f



= 0

Q

LH

 ∂u

∂t

+ (u · ∇)u − ν∆u + ∇p − f



= 0

=⇒







∂u

∂t

+ P

LH

(u · ∇)u − νP

LH

∆u = f

(eq. evolu¸c˜ao para u)

Q

LH

(u · ∇)u − νQ

LH

∆u + ∇p = 0

(eq. p = p(u))

Espa¸

co de enstrofia finita

•

Para o tratamento do termo inercial:

V =

u ∈ H

1

_{(Ω); ∇ · u = 0 +}

_(condi¸

_c˜

_{oes de contorno)}

_,

H

1

_{(Ω) =}



u

∈ L

2

(Ω), kuk

2 def

=

Z

Ω

|∇ ⊗ u|

2

d

x

< ∞



,

onde

∇

_{⊗ u = (∂}

_xi

_u

_j

₎

3 i,j=1

.

•

Com condi¸

c˜

oes de contorno de aderˆ

encia (

u|

∂Ω

= 0

) ou

peri´

odicas:

enstrofia

def

=

1

2

Z

Ω

|ω|

2

d

x

=

1

2

Z

Ω

|∇ ⊗ u|

2

d

x,

onde

ω

= ∇ × u =

curl

u

.

9

Formula¸

c˜

ao funcional das ENS

•

∂u

∂t

+ P

LH

(u · ∇)u − νP

LH

∆u = f

•

Operador de Stokes

Au = −νP

LH

∆u

•

Termo inercial

B(u, u) = P

LH

(u · ∇)u

•

Espa¸

co dual

V ⊂ H ⊂ V

0

:

(u, v)

def

=

Z

Ω

u(x) · v(x)

d

x

−→

hu, vi

V0_,V

.

• A : V → V

0

,

B : V × V → V

0

=⇒

d

u

d

t

+ νAu + B(u, u) = f

Formula¸

c˜

ao variacional (fraca) das ENS

•

Multiplicar ENS por fun¸

c˜

ao teste

v

de divergente nulo e

suporte compacto em

Ω

e integrar em

Ω

:

Z

Ω

 ∂u

∂t

+ (u · ∇)u − ν∆u + ∇p



· v

d

x

= 0;

•

Integrando por partes e usando que

∇

_{· v = 0}

_,

d

d

t

Z

Ω

u·v

d

x+

Z

Ω

[((u·∇)u)·v)]

d

x+ν

Z

Ω

∇

_{⊕u : ∇⊕v}

_d

_x

_{= 0;}

•

Ou, para funcionais apropriados, e incluindo

f

,

d

d

t

(u, v) + b(u, u, v) + a(u, v) = (f , v),

∀v ∈ V.

11

Existˆ

encia de solu¸

c˜

ao fraca

•

Via aproxima¸

c˜

ao de Galerkin, obter aproxima¸

c˜

oes

u

(n)

em espa¸

c˜

oes de Galerkin

V

n

de dimens˜

ao finita,

d

d

t

(u

(n)

_{, v) + b(u}

(n)

_{, u}

(n)

_{, v) + a(u}

(n)

_{, v) = (f , v),}

_{∀v ∈ V}

n

.

•

Obter estimativas de energia, tomando

v

= u

(n)

:

1

2

d

d

t

|u

(n)

_|

2

_{+ νku}

(n)

_k

2

_{= (f , v)}

•

Usando Cauchy-Schwarz e Young no ´

ultimo termo,

d

d

t

|u

(n)

_|

2

_{+ νku}

(n)

_k

2

_≤

1

νλ

1

|f |

2

,

Estimativas globais

•

Assumindo

f

independente de

t

,

|u

(n)

(t)|

2

≤ |u

0

|

2

e

−νλ1t

+

1

ν

2

_λ

2 1

|f |

2

(1 − e

−νλ1t

)

•

Para a enstrofia,

ν

T

Z

T 0

ku

(n)

(t)k

2

d

t ≤

1

T

|u

0

|

2

₊

1

νλ

1

|f |

2

•

Para a derivada temporal de

u

(n)

,

1

T

Z

T

0

k∂

t

u

(n)

(t)k

4/3_V0

d

t ≤ C

•

Por um teorema de compacidade (Aubin), temos

convergˆ

encia (forte) em

H

, suficiente para a passagem

ao limite

13

Solu¸

c˜

ao fraca de Leray-Hopf

Ap´

os a passagem ao limite, obtemos solu¸

c˜

ao fraca

satisfazendo

• u ∈ L

∞

_{(0, ∞; H) ∩ L}

2

loc

(0, ∞; V )

;

• ∂

t

u

∈ L

4/3loc

(0, ∞; V

0

)

;

• u ∈ C([0, ∞); H

w

)

, onde

H

w

:

topologia fraca;

• u(t) → u

0

,

quando

t → 0

;

• u

´

e solu¸

c˜

ao das ENS no sentido das distribui¸

c˜

oes

• u

satisfaz a desigualdade de energia no sentido das

distribui¸

c˜

oes em

t > 0

:

1

2

d

d

t

|u(t)|

2

_{+ νku(t)k}

2

_{≤ (f , u(t))}

Regularidade

•

Para a regularidade, estimar enstrofia

•

Solu¸

c˜

ao fraca satisfaz

d

d

t

(u, v) + b(u, u, v) + a(u, v) = (f , v),

∀v ∈ V.

•

Tomando

v

= Au

(n)

,

d

d

t

(u

(n)

_{, Au}

(n)

_{) + b(u}

(n)

_{, u}

(n)

_{, Au}

(n)

_{) + a(u}

(n)

_{, Au}

(n)

₎

= (f , Au

(n)

),

=⇒

1

2

d

d

t

ku

(n)

_k

2

₊

ν

2

|Au

(n)

_|

2

_{+ b(u}

(n)

_{, u}

(n)

_{, Au}

(n)

_{) =}

1

2

|f |

2 15

•

Para estimar o termo

b(u

(n)

_{, u}

(n)

_{, Au}

(n)

_),

_fazemos

|b(u

(n)

, u

(n)

, Au

(n)

)| ≤ |u

(n)

|

L6

ku

(n)

k

_L3

|Au

(n)

|

≤ ku

(n)

k



ku

(n)

k

1/2

|Au

(n)

|

1/2



|Au

(n)

|

1/2

≤ ku

(n)

k

3/2

|Au

(n)

|

3/2

≤ Cku

(n)

k

6

+

ν

4

|Au

(n)

_|

2

_.

•

Assim,

d

d

t

ku

(n)

_k

2

₊

ν

2

|Au

(n)

_|

2

_{≤ Cku}

(n)

_k

6

_{+ |f |}

2

_.

•

Utilizando

λ

1

kuk

2

≤ |Au|

2

, chegamos a

d

d

t

ku

(n)

_k

2

₊

λ

1

ν

2

ku

(n)

_k

2

_{≤ Cku}

(n)

_k

6

_{+ |f |}

2

_,

•

A solu¸

c˜

ao de

r

0

+ r = r

3

+ k

explode

em tempo finito,

se

r > r

∗

, e ´

e

limitada

,

se

0 ≤ r ≤ r

∗

, onde

r

∗

´

e a maior raiz

de

r

3

− r + k

.

PSfrag replacements

r3− r − k r t r r∗ r∗

•

Conclus˜

ao:

– existˆ

encia de solu¸

c˜

oes regulares locais;

– existˆ

encia de solu¸

c˜

oes regulares globais para for¸

cas

externas e dados iniciais pequenos.

17

Singularidades no tempo

•

As estimativas anteriores indicam a possibilidade de

explos˜

ao em tempo finito de solu¸

c˜

oes regulares;

•

Possibilidade de perda de regularidade das solu¸

c˜

oes

fracas em certos instantes de tempo (

singularidades

temporais

- a enstrofia/vorticidade deixa de ser

limitada):

singularidades

PSfrag replacements

u(t)

r

t

•

Segundo Leray, essas singularidades estariam

associadas a escoamentos turbulentos.

Estimativa da “quantidade” de singularidades

temporais

•

Considere solu¸

c˜

ao fraca

u

= u(t), t ≥ 0,

e o conjunto de

singularidades temporais

S = {t ≥ 0; ku(t)k = ∞}

;

•

Como

R

T

0

ku(t)k

2

d

t < ∞,

temos

S

de medida nula;

•

Mas qu˜

ao grande ou pequeno ´

e

S

?

S

´

e denso na reta,

como os n´

umeros racionais?

S

´

e discreto?

• S

n˜

ao ´

e denso: pela existˆ

encia local de solu¸

c˜

oes

regulares, o conjunto de instantes regulares

(ku(t)k < ∞)

´

e uni˜

ao de intervalos semi-abertos e de medida cheia

•

Como podemos medir o “tamanho” de

S

?

19

Dimens˜

ao de Hausdorff

•

Quantificar o tamanho de

S

pela dimens˜

ao de Hausdorff

•

Medida de dimens˜

ao

D

de Hausdorff de

S

µ

D

(S) = lim

&0

µ

D,

(S) = sup

_>0

µ

D,

(S),

onde

µ

D,

=

inf

∪j(t− j ,t + j )⊃S, |t + j −t − j |≤

X

j

(t

+_j

− t

−_j

)

D

;

•

Dimens˜

ao de Hausdorff

dim

H

(S) = inf{D; µ

D

(S) = 0};

• dim

H

pode ser definida em v´

arias dimens˜

oes e coincide

com a dimens˜

ao euclidiana de subvariedades euclidianas

PSfrag replacements

cobertura:  7→ /2

n.o de “bolas”: n 7→ 2dn

d = dimens˜ao euclidiana µ_D,/2j =2j(d−D)µD,

Dimens˜

ao de Hausdorff das singularidades temporais

Leray (1934), Scheffer (1976)

•

Da inequa¸

c˜

ao

r

0

+ r ≤ r

3

+ k

para enstrofia

r =

1₂

kuk

2

considere

r

0

_{= r}

3

_{, cuja solu¸}

_c˜

_{ao positiva ´}

_e

r(t) = (r

₀−2

− 2(t − t

0

))

−1/2

,

0 ≤ t − t

0

< 1/2r

20

,

r

0

= r(t

0

);

•

Em cada intervalo

(t

−

_{, t}

+

₎

_{de regularidade,}

t

+

− t ≥

1

2ku(t)k

4

⇒

1

(t

+

_{− t)}

1/2

≤ 2ku(t)k

2

_;

•

Integrando no tempo:

(t

+

− t

−

)

1/2

≤

Z

t+ t−

ku(t)k

2

d

t;

•

X

intervalos regulares

(t

+_j

− t

−_j

)

1/2

≤

Z

T 0

ku(t)k

2

d

t < ∞;

•

No conjunto complementar (singular) ...

dim

H

(S) ≤

1/2

.

21

Singularidades espa¸

co-temporais - Scheffer (1976),

Caffareli, Khon, Nirenberg (1982), ...

•

An´

alise mais precisa no conjunto

E

de singularidades

espa¸

co-temporais (de “suitable weak solutions”):

{(t

∗

, x

∗

), u(t, x)

ilimitado em vizinhan¸

cas de

(t

∗

, x

∗

)}

;

• ∃ > 0, lim sup

_R→0

R

−1

R

QR(t,x)

|∇⊗u|

2

<  ⇒ (t, x)

regular;

• P

1

(E) = 0

, onde

P

D

´

e uma vers˜

ao parab´

olica da medida

de Hausdorff (com cilindros parab´

olicos

Q



= I

2

× B

_

ao

inv´

es de bolas);

• @

singularidade tipo folha de v´

ortice em nenhum

instante de tempo (singularidade de dimens˜

ao dois);

• @

singularidade tipo v´

ortice pontual existindo em um

intervalo de tempo (tb. dimens˜

ao dois devido a

I

2

).