CÁLCULO NUMÉRICO. Profa. Dra. Yara de Souza Tadano

MOTIVAÇÃO

¨  A seguinte tabela relaciona densidade da água e temperatura:

¨  Suponha que se queira calcular:

¤  A densidade da água à 32,5oC;

¤  A temperatura para a qual a densidade é 993,3 kg/m3.

Temperatura (o_{C) 20 25 30 35 40}

MOTIVAÇÃO

¨  A seguinte tabela fornece os resultados do censo no Brasil,

em milhões de pessoas, entre 1960 e 2010.

¨  Poderíamos nos perguntar:

¤  Esses dados podem ser utilizados para fornecer uma estimativa

razoável da população, digamos em 1983?

Ano 1960 1970 1980 1991 2000 2010

População

Quando aplicar

¨  A interpolação nos ajuda a resolver estes tipos de problemas.

¨ 

¤  Quando são somente conhecidos os valores numéricos da função

para um conjunto de pontos, e é necessário calcular o valor de um ponto não tabelado.

¤  Quando a expressão da função é complicada demais para ser

INTERPOLAÇÃO

POLINOMIAL

¨  Uma das classes mais conhecidas e úteis de funções que

levam o conjunto de números reais em si mesmo é a classe

dos :

P

( )

x

_{= a}

_{+ a}

_{x + a}

x

₊

!+ a

x

=

a

x

∑

,

a

∈ R, ∀i

n ∈ Ζ

%

&

'

('

PORQUE POLINÔMIOS???

¨  Os polinômios são importantes, pois aproximam as funções

contínuas uniformemente.

¨  Dada qualquer função definida e contínua em um intervalo

fechado, existe um polinômio que está tão próximo da função dada quanto quisermos.

PORQUE POLINÔMIOS???

¨  Suponha f definida e contínua em [a, b]. Para cada ε > 0,

existe um polinômio P (x), tal que:

PORQUE POLINÔMIOS????

¨  Outra razão para considerar a classe de polinômios na

aproximação de funções é que derivadas e integrais de

polinômios são também polinômios, têm tratamento

COMO DETERMINÁ-LOS???

¨  Os polinômios de Taylor são uma opção, mas nem sempre

são satisfatórios (podem divergir).

¨  Eles têm uma boa aproximação para pontos específicos.

¨  Um bom polinômio interpolador precisa fornecer uma

Polinômios e Série

de Taylor

Teorema de Taylor

¨  Suponha que , que exista em [a, b] e

que . Para todo , existe um número entre x₀ e x, tal que , onde:

f ∈ C

_[

a, b

_]

_f

x

∈ [a, b]

x ∈ [a, b]

ξ

_{( )}

x

f x

_{( )}

= P

_{( )}

x

+ R

_{( )}

x

P

_{( )}

x

_{= f x}

_{( )}

_{+ f ' x}

_{( )}

₍

x − x

₎

+

f " x

( )

2!

(

x − x

)

+!+

f

_x

( )

n!

(

x − x

)

Teorema de Taylor

¨  P_n(x) é chamado polinômio de Taylor de grau n de f em x₀

e

¨  R_n (x) é chamado resto (ou erro de truncamento)

relativo a P_n (x).

P

_{( )}

x

=

f

_x

( )

k!

(

x − x

)

∑

R

( )

x

=

f

(

)

ξ

( )

x

(

)

n +1!

(

x − x

)

¨  ξ é um valor que depende de x, porém não sabemos

determiná-lo explicitamente.

¨  O Teorema de Taylor apenas garante que tal função existe

e que seu valor está entre x e x₀ .

¨  PROBLEMA nos métodos numéricos: Determinar uma

limitação realística para o valor de quando está definido em um intervalo específico, tal que a aproximação f (x) ≈ P_n (x) seja razoável.

Exemplo 1

¨  Use expansões em série de Taylor com x₀ = 0 (em série de

Maclaurin) para aproximar:

f (x) = e

¨  Começando com a versão mais simples ex = 1, some um

termo de cada vez para estimar e0,5_{. Depois que cada termo}

for adicionado, calcule o erro verdadeiro e o erro relativo percentual aproximado. Observe que o valor verdadeiro é

Exemplo 1

¨  Adicione termos até que o valor absoluto do erro estimado

aproximado _εa esteja dentro do critério de erro

pré-estabelecido _εs que garanta três algarismos significativos.

¨  Portanto, adicionaremos termos à série de Taylor até que ε_a

esteja abaixo de 0,05%.

Exemplo 1

¨  Usando os polinômios de Taylor centrados em x₀ = 0 para

estimar e0,5_.

P

_{( )}

x

= 1

P

_{( )}

x

=

f

_x

( )

k!

(

x − x

)

∑

P

_{( )}

x

_{= 1+ x +}

x

2

+

x

6

+

x

24

+

x

120

P

_{( )}

x

= 1+ x

P

_{( )}

x

= 1+ x +

x

2

!

Exemplo 1

P

₀

( )

x

_{= 1}

e

x

_{≈ 1}

_e

0,5

≈ 1

P

₁

( )

x

_{= 1+ x}

e

x

_{≈ 1+ x}

e

0,5

_{≈ 1, 5}

Exemplo 1

¨  A segunda tentativa apresenta um erro relativo percentual

verdadeiro de:

=

1, 648721−1, 5

1, 658721

×100% = 9, 02%

ε

=

x

− x

Exemplo 1

¨  E apresenta uma estimativa aproximada do erro de:

¨  Como ε_a > ε_s, então temos que acrescentar mais um termo à

série.

=

1, 5 −1, 0

1, 5

×100% = 33, 3% > 0, 05%

ε

_a

=

x

j

− x

j−1

x

j

⋅100%

Exemplo 1

P

₂

( )

x

_{= 1+ x +}

x

2

2

e

x

≈ 1+ x +

x

2

2

e

0,5

_{≈ 1, 625}

ε

= 1, 44%

ε

= 7, 69% > 0, 05%

Exemplo 1

¨  Como ε_a > ε_s, então temos que acrescentar termos à série de

Taylor até que Como _εa < _εs .

¨ 

Termos Resultados

_ε

(%)

ε

(%)

1

1

39,3

2

1,5

9,91

33,3

3

1,625

1,46

7,69

4

1,645833

0,175

1,27

5

1,648438

0,0172

0,158

Exemplo 1

¨  Portanto, depois que seis termos foram incluídos à série, o

erro aproximado cai abaixo de:

¨  Observe que, em vez de três algarismos significativos, os

resultados são exatos até cinco!

Exemplo 1

Próximo de x₀ = 0 erros pequenos

Quanto mais longe de x₀ maior o erro

Exemplo 2

¨  Considere, agora, o uso dos polinômios de Taylor para

expandir f (x) = 1/x em torno de x₀ = 1 e obter uma

aproximação para f (3) = 1/3.

¨  Os polinômios de Taylor são:

P_n

_{( )}

( )

∑

₍

₎

Exemplo 2

¨  Aplicando em x = 3, teremos:

n 0 1 2 3 4 5 6 7

Exemplo 2

¨  Neste exemplo fica claro que os polinômios de Taylor

podem não fornecer uma boa representação de f.

¨  Isto se deve, essencialmente, ao fato do polinômio de Taylor

ser construído apenas com “informações locais”, isto é, analisando f e suas derivadas em apenas um ponto.

POLINÔMIOS

INTERPOLADORES

DE LAGRANGE

Forma de Lagrange

¨  Iremos encontrar polinômios aproximadores que são

determinados, simplesmente, especificando-se certos pontos no plano pelos quais eles devem passar.

¨  Caso mais simples Interpolação

Linear

Interpolação Linear

¨  Os coeficientes a₀ e a₁ de P₁ (x) devem ser tais que:

e

ou seja, o P₁(x) coincide com a

função f nos x₀ e x₁ (também chamados

malhas de interpolação).

Interpolação Linear

L

( )

x

=

x − x

x

− x

,

L

( )

x

=

x − x

x

− x

P

( )

x

_{= L}

( )

x

f x

( )

_{+ L}

( )

x

f x

( )

Interpolação Linear

¨  P₁ (x) é a única função linear que passa por (x₀ , f (x₀)) e

(x₁ , f (x₁)) x x y₀ = f (x₀) y₁ = f (x₁) y _{y = f (x)} y = P₁(x)

Interpolação Polinomial de ordem n

considerar a construção de um polinômio de grau n (maior potência de x é, possivelmente, n) que interpola f nos pontos

x₀ , x₁ , ..., x_n .

¨  Os coeficientes a_k de P_n (x) devem ser tais que:

(1)

¨  Definiremos as funções L_i (x) com a seguinte propriedade:

L

( )

x

=

δ

=

1, se i = k

0, se i ≠ k

"

#

$

%$

,

i = 0,1,

!, n

¨  Caso tais funções existam:

¨  satisfaz, por construção, a eq. (1).

¨  Determinando as funções L_i (x), P_n (x) é facilmente obtido.

( )

_∑

( ) ( )

=

=

n

k

k

k

n

n

x

L

x

f

x

P

0

,

¨  Para satisfazer L_n,k (x_i) = 0, para cada i ≠ k, é necessário que

o numerador de L_n,k (x_i) contenha o termo:

¨  Para satisfazer L_n,k (x_k) = 1, para cada i = k, o denominador

de L_n,k (x_i) deve ser igual ao numerador calculado em x = x_k .

L

₌

(

x − x

)

! x − x

(

)

(

x − x

)

! x − x

(

)

x

− x

(

)

! x

(

− x

)

(

x

− x

)

! x

(

− x

)

x − x

N-ésimo polinômio interpolador

¨  Se x₀ , x₁ , ..., x_n são n+1 números distintos e f é uma função

cujos valores são dados nesses números, então existe um

único polinômio P(x) de grau no máximo n com:

N-ésimo polinômio interpolador

¨  Esse polinômio é dado por:

onde, para cada k = 0, 1, ..., n:

P

_{( )}

x

_{= f x}

_{( )}

L

_{( )}

x

₊

!+ f x

_{( )}

L

_{( )}

x

=

f x

( )

L

( )

x

∑

L

( )

x

=

(

x − x

)

x

− x

(

)

∏

Qual o erro envolvido???

¨  Agora, vamos apresentar um para o erro envolvido

na aproximação de uma função por um polinômio interpolador.

¨  Suponha x₀ < x₁ < ... < x_n, (n + 1) pontos distintos em [x₀, x_n]

e que . Então, para cada x em [x₀, x_n], existe um número _ξ (x) (geralmente desconhecido) em ] x₀, x_n[, tal que:

onde P_n (x) é o polinômio interpolador de f nos pontos

x , x , ..., x .

f ∈ C

_[

x

, x

_]

R x

_{( )}

= f x

( )

− P

_{( )}

x

=

f

ξ

_{( )}

x

(

)

n +1

(

)

!

(

x − x

)

(

x − x

)

! x − x

(

)

¨  Observe que a forma do erro para o polinômio de Lagrange é

bastante semelhante àquela do polinômio de Taylor.

Informações em x₀ Polinômio de Taylor de ordem n em torno de x₀ Polinômio de Lagrange de ordem n

f

(

_ξ

_{( )}

x

)

n +1

(

)

!

(

x − x

)

f

(

ξ

_{( )}

x

)

n +1

(

)

!

(

x − x

)

(

x − x

)

! x − x

(

)

¨  A fórmula para o erro tem uso limitado na prática, dado que

serão raras as situações em que conheceremos f (n+1) _{(x), e o}

¨  Sob as hipóteses do Teorema 2, podemos escrever a seguinte relação: onde:

R

_{( )}

x

= f x

( )

− P

_{( )}

x

≤ x − x

(

)

₍

x − x

₎

! x − x

₍

₎

M

n +1

(

)

!

M

= máx

f

(

)

_x

( )

¨  Se além das hipóteses anteriores, os pontos forem

igualmente espaçados, ou seja:

¨  então:

¨  Observe que este majorante do erro independe do ponto x

considerado, .

f x

( )

− P

( )

x

<

h

M

4 n +1

₍

₎

x

_{− x}

_{= x}

_{− x}

₌

! = x

_{− x}

_{= h}

x ∈ x

_[

, x

_]

Exemplo 3

¨  Use os nós x₀ = 2, x₁ = 2,5, x₂ = 4 para determinar o segundo

Exemplo 3

¨  Lembre-se que nenhum polinômio de Taylor, expandido

em torno de x₀ = 1, pôde ser usado para aproximar

EXERCÍCIO

¨  Determine o polinômio interpolador para os pontos:

¨  A resposta será:

i

x

f (x

)

0 -1

6

1

0

1

2

1

0

P

( )

x

_{= 2x}

_{− 3x +1}

Exemplo 4

¨  Determine o limitante para o erro cometido na aproximação

de f (x) = 1/x por P₂ (x) do exemplo 3. Polinômio de Lagrange de ordem 2

f

(

_ξ

_{( )}

x

)

2 +1

(

)

!

(

x − x

)

(

x − x

)

(

x − x

)

¨  Na prática, geralmente, teremos apenas um conjunto de

pontos que representa um problema, portanto não conhecemos f (x).

¨  Qual será o erro cometido devido à uma certa interpolação

polinomial?

Nem sempre a aproximação baseada

em

é a que se aproxima

Exemplo 6

¨  A tabela abaixo fornece os valores de uma função em vários

pontos. Compare as aproximações para f (1,5) obtidas pelos diversos polinômios de Lagrange.

x

f (x)

1,0 0,7651977

1,3 0,6200860

1,6 0,4554022

1,9 0,2818186

2,2 0,1103623

L

_{( )}

x

=

(

x − x

)

x

− x

(

)

∏

P

_{( )}

x

= f x

( )

L

_{( )}

x

+

!+ f x

( )

L

_{( )}

x

=

f x

_{( )}

L

_{( )}

x

∑

Exemplo 6

¨  A função que está sendo aproximada é a função de Bessel de

primeira espécie e ordem zero, cujo valor em 1,5 é conhecido como sendo 0,5118277.

Exemplo 6

¨  A função que está sendo aproximada é a função de Bessel de

primeira espécie e ordem zero, cujo valor em 1,5 é conhecido como sendo 0,5118277.

P_n (1,5) Valor 0,5102968 0,5112857 0,5124715 0,5118302 0,5118127 0,5118200 P₁ P₂ ˆ P₂ ˆ P₃ P₃ P₄ precisão de 2×10-5

Exemplo 6

¨  Como coincidem até uma precisão de

2×10-5_{, espera-se essa ordem de precisão para essas}

aproximações.

¨  Espera-se, também, que P₄ (1,5) seja a aproximação mais

precisa, pois utiliza mais dados fornecidos.

Exemplo 6

¨  Comparação das aproximações com o valor exato

f (1,5) = 0,5118277.

P

_{( )}

1, 5

− f 1, 5

( )

≈ 1, 53×10

P

_{( )}

1, 5

− f 1, 5

( )

≈ 5, 42 ×10

ˆ

P

_{( )}

1, 5

− f 1, 5

( )

≈ 6, 44 ×10

P

_{( )}

1, 5

− f 1, 5

( )

≈ 2, 50 ×10

ˆ

P

_{( )}

1, 5

− f 1, 5

( )

≈ 1, 50 ×10

P

_{( )}

1, 5

− f 1, 5

( )

≈ 7, 70 ×10