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FICHA DE TRABALHO N.º 5
TURMA:12.ºA
outubro de 2016
2016/2017
Análise Combinatória; Triângulo de Pascal; Binómio de Newton; Aplicações ao Cálculo das Probabilidades1. A Sara é colecionadora e tem 200 chávenas, 100 pratos e 12 taças. Vai dar um presente à Rita escolhendo uma chávena, um prato e uma taça. Quantos presentes diferentes, pode a Sara oferecer?
2. Com os algarismos 2, 4, 6, 8, quantos números diferentes de três algarismos se podem escrever?
3. Quantos números naturais há menores do que 800 e que sejam múltiplos de cinco. 4. Com os números do conjunto A = {0, 1, 3, 5}, quantos números diferentes de três algarismos repetidos ou não é possível escrever?
5. Na Montejunlândia, as matrículas dos automóveis são do tipo 5-DET-46, ou seja, um algarismo, três letras e mais um número de dois algarismos. Qual é o máximo de automóveis que este sistema comporta?
6. Numa prova final de natação participam 6 nadadores, que disputam as medalhas de ouro, prata e bronze. De quantas formas diferentes se podem repartir os três prémios? 7. Sendo #A= 4 e #B = 6, determina:
7.1. quantas aplicações é possível definir de domínio A e conjunto de chegada B?
7.2. quantas aplicações injectivas é possível definir de domínio A e conjunto de chegada B? 8. A Sara tem 5 livros de Matemática e 5 livros de Biologia. De quantas formas diferentes os pode colocar numa prateleira se:
8.1. os livros da mesma disciplina ficam juntos?
8.2. os livros de Matemática e Biologia ficam colocados alternadamente? 8.3. os livros de Matemática ficam juntos?
9. A Ana vai formar palavras com ou sem sentido (anagramas) usando as letras da palavra LOURES.
9.1. Quantos anagramas diferentes, é possível formar?
9.2. Quantos anagramas diferentes, é possível formar se a letra L é sempre a primeira letra?
9.3. Quantos anagramas diferentes, é possível formar se a letra S é sempre a primeira e R é a última?
10. Quantos anagramas diferentes, é possível fazer com as letras da palavra MATEMATICA? 11. Um grupo de sete amigos vão realizar um jantar. De quantos modos diferentes se podem sentar:
11.1. em fila?
11.2. numa mesa redonda?
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12. Dispomos de 5 quadros, 2 com flores (rosa e papoila) e 3 com animais (borboleta, leão e águia). Com eles vão ser feitas decorações. Determina de quantas formas diferentes se podem dispor os quadros:12.1. em fila.
12.2. fazendo uma “roda”.
12.3. em fila mas com as flores nos extremos. 12.4. em fila mas com o da borboleta no meio.
12.5. dois atrás e três à frente, sendo os de trás os das flores.
13. De um grupo de 12 pessoas, sendo 7 mulheres e 5 homens, vai ser escolhida uma comissão de 6 pessoas. De quantas formas diferentes se pode formar a comissão se:
13.1. tem tantos homens como mulheres? 13.2. tem pelo menos um homem?
13.3. tem mais mulheres do que homens?
14. De um baralho de 40 cartas de quantas maneiras diferentes se pode tirar um grupo de 6 cartas, sabendo que saem:
14.1. uma copa, três ouros e dois paus? 14.2. três e só três reis?
14.3. pelo menos três reis?
14.4. no máximo duas cartas vermelhas?
15. Numa caixa tenho 4 lápis vermelhos de marcas diferentes e mais 7 lápis de outras cores todas diferentes. Quantas maneiras existem de retirar 4 lápis sem haver repetição de cor? 16. Com whisky, cognac, porto, vodka, rum, Coca-Cola e sumo de limão, quantos cocktails diferentes:
16.1. de três bebidas se podem fazer?
16.2. de três bebidas se podem fazer, sem porto e vodka?
16.3. de três bebidas se podem fazer, apenas com bebidas com álcool? 17. Observa este mapa, em que as linhas representam ruas.
(só existem duas direções para cima ou para a direita) 17.1. Quantos caminhos diferentes existem de A para B? 17.2. Quantos caminhos diferentes existem de A para B,
passando por C?
18. No último jogo do Porto – Sporting o resultado foi 3-6, de quantas formas diferentes pode ter sido a marcação dos golos? (exemplo: PPSSSSPSS)
19. Numa turma de 25 alunos, 10 são rapazes e 15 são raparigas. Nessa turma há 2 alunos que são irmãos. Quantas comissões, diferentes, de 6 alunos dessa turma, é possível formar: 19.1. sem quaisquer restrição?
19.2. com 4 rapazes e 2 raparigas?
19.3. fazendo parte da comissão, quando muito, um dos irmãos? 19.4. fazendo parte da comissão, simultaneamente, os dois irmãos?
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20. O produto dos dois primeiros elementos de uma certa linha do triângulo de Pascal é 18. Qual o sexto elemento da linha seguinte?21. a b c d e f g h i representa uma linha completa do triângulo de Pascal, onde todos os elementos estão substituídos por letras. Qual o valor de c?
22. Utilizando o binómio de Newton, desenvolve e simplifica: 22.1. (2x + 1)4 22.2. (
x
- 2)5 23. Determina no desenvolvimento de 23.1. 81
x
x
, (x ≠0) o termo médio. 23.2.1
,
9 2
x
x
(x ≠0) o termo independente de x. 23.3. 122
x
x
, (x ≠0) o termo em x 9.24. Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 formam-se todos os números possíveis maiores do que 1000 e menores do que 3000. Determina a probabilidade de escolhido um ao acaso ele ser par e ter os algarismos todos diferentes.
25. De um baralho de 52 cartas tiram-se seis cartas, simultaneamente, ao acaso. Determina a probabilidade de saírem:
25.1. dois reis.
25.2. duas espadas e o valete de ouros.
26. O Rui arruma numa prateleira, em posições consecutivas, nove livros: três de Matemática, dois de Química e quatro de Física. Calcula a probabilidade de que:
26.1. os três livros de Matemática não fiquem juntos. 26.2. os livros fiquem juntos por disciplina.
26.3. os livros de Matemática fiquem todos juntos, numa das pontas.
27. Um responsável por um programa musical dispõe de dez opções de três géneros musicais: cinco de música ligeira, três de rock e duas de música clássica.
27.1. Utilizando as dez opções, sem repetir, determina o número de alinhamentos diferentes que o responsável pode fazer se:
27.1.1. não tiver qualquer restrição.
27.1.2. começar e acabar o programa com música ligeira. 27.1.3. começar com rock e acabar com música clássica.
27.2. Escolhido, ao acaso, um dos alinhamentos, indica a probabilidade de não conter as três opções de rock consecutivas.
27.3. No final, o responsável pelo programa retira ao acaso, simultaneamente, quatro das dez opções para ouvir em casa. Calcula a probabilidade de:
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27.3.2. nas quatro opções haver no máximo duas de música ligeira.28. Um grupo de amigos, entre eles o Rui e a Ana, vão jantar e ocupam uma mesa retangular em que os lugares se distribuem como mostra a figura.
Calcula a probabilidade de:
28.1. o Rui e a Ana ficarem lado a lado, do mesmo lado da mesa. 28.2. o Rui e a Ana ficarem frente a frente.
29. Num acampamento estão 28 jovens distribuídos, por nacionalidades, da seguinte forma: 8 portugueses, 4 alemães, 10 franceses e 6 ingleses. São escolhidos, ao acaso, sete jovens para a limpeza do acampamento. Determina a probabilidade de:
29.1. pelo menos um jovem alemão ter sido escolhido. 29.2. os jovens escolhidos terem a mesma nacionalidade.
29.3. nos jovens escolhidos, exactamente, dois serem portugueses e um inglês.
30. Um grupo de cinco amigos, 3 rapazes e 2 raparigas, vão ao cinema, ficando em lugares consecutivos na mesma fila.
30.1. De quantas maneiras diferentes podem ficar dispostos os cinco amigos?
30.2. Admitindo que os cinco amigos se sentam de forma aleatória, calcula a probabilidade de:
30.2.1. as raparigas ficarem todas juntas. 30.2.2. os rapazes não ficarem todos juntos. 30.2.3. nenhuma das raparigas ficar nos extremos. 30.2.4. ambas as raparigas ficarem nos extremos.
31. Se escolher ao acaso três vértices de um cubo, qual é a probabilidade de eles pertencerem todos à mesma face?
32. Se escolher ao acaso três vértices de uma pirâmide pentagonal, qual é a probabilidade de eles pertencerem todos à mesma face?
33. Num saco existem 10 fichas numeradas de 1 a 10, sendo três pretas. Vão ser retiradas uma a uma do saco e vão ser colocadas em fila. Determina a probabilidade de as pretas ficarem juntas?
34. Uma empresa de cofres atribui, ao acaso, um código secreto a cada cofre que comercializa. Cada código secreto é formado por 4 algarismos, por uma certa ordem. Escolhe-se um cofre ao acaso, qual é a probabilidade de o código começar com 1 e acabar em 0?
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35. Uma pessoa tem de tomar diariamente, à mesma refeição, 2 comprimidos de vitamina C e 1 comprimido de vitamina A. Por lapso, misturou todos os comprimidos no mesmo frasco. Os comprimidos têm igual aspecto exterior, sendo 20 de vitamina A e 35 de vitamina C.35.1. Ao retirar simultaneamente 3 comprimidos do frasco de quantas formas diferentes o pode fazer de modo a que sejam todos do mesmo tipo de vitamina?
35.2. Ao tomar 3 dos comprimidos existentes no frasco, qual é a probabilidade de cumprir as indicações do médico?
36. Os medicamentos do laboratório X são identificados por códigos que obedecem às seguintes regras:
. têm 5 letras seguidas de dois algarismos . começam por vogal
. não podem ter duas vogais nem duas consoantes seguidas . o último algarismo é 0 ou 1
36.1. Calcula o número máximo de códigos diferentes que obedecem a estas regras (23 letras e 10 algarismos).
36.2. Escolhendo um código ao acaso, calcula a probabilidade de que ele não tenha letras nem algarismos repetidos.
37. Um quadro de palavras cruzadas constituído por 5 linhas e 5 colunas tem 9 quadrículas a cheio. Destas, sabe-se que 5 ocuparão os 4 cantos e o quadrado central, podendo as restantes ocupar qualquer outra posição.
37.1. Quantos quadros diferentes se podem obter satisfazendo as condições indicadas? 37.2. Qual é a probabilidade de que, ao escolher ao acaso um dos quadros possíveis, este tenha pelo menos uma das diagonais com quadrículas a cheio?
38. Numa terra há só 4 médicos. Numa certa noite, adoecem 5 habitantes. Cada um deles escolhe, ao acaso, um dos médicos e chama-o pelo telefone. Qual é a probabilidade de que não chamem todos o mesmo médico?
39. Para certo concurso, os candidatos terão que preparar 60 temas dos quais quatro, seleccionados ao acaso, sairão na prova. Um candidato apresenta-se à prova tendo preparado apenas
3
1
dos temas. Qual a probabilidade de que tenha estudado só três dos temas que saíram?
40. Sabe-se que, num grupo de 12 professores, 8 lecionam Física e 7 lecionam Química. Nesse grupo são escolhidos, ao acaso, dois professores. Qual é a probabilidade de os dois professores escolhidos lecionarem a mesma disciplina?
41. A empregada de limpeza arruma sempre os 8 volumes da Enciclopédia, ao acaso, na estante. Qual é a probabilidade de que fiquem por ordem (crescente ou decrescente)? 42. Num quartel, os 30 novos recrutas formam em retângulo com 6 filas e 5 em cada fila. Qual é a probabilidade de que um dado grupo de 5 amigos fique na mesma fila?
