MECÂNI
MECÂNI CA DOS S
CA DOS SÓLIDOS II
ÓLIDOS II
P3 – 11/12/2009 P3 – 11/12/2009
1 1
Problema 1.
Problema 1. Considere o pórtico mostrado na figura aoConsidere o pórtico mostrado na figura ao lado. A seção transversal das barras, todas de lado. A seção transversal das barras, todas de comprimento
comprimento L L, possui rigidez a flexão representada, possui rigidez a flexão representada por
por EI EI . Utilizando o teorema de Castigliano, determine. Utilizando o teorema de Castigliano, determine o deslocamento horizontal (2,0 pontos) e a rotação (1,0 o deslocamento horizontal (2,0 pontos) e a rotação (1,0 ponto) do ponto
ponto) do ponto A A em função da carga concentradaem função da carga concentrada PP (3,0 pontos). (3,0 pontos). PP L L L L EI EI Problema 2.
Problema 2. O vaso de pressão cilíndrico esquematicamente mostradoO vaso de pressão cilíndrico esquematicamente mostrado na figura ao lado, cujo material tem limite de escoamento de 350 MPa, foi na figura ao lado, cujo material tem limite de escoamento de 350 MPa, foi dimensionado para operar a uma pressão interna máxima de 5.000 psi dimensionado para operar a uma pressão interna máxima de 5.000 psi (34,5 MPa). Seu raio externo,
(34,5 MPa). Seu raio externo, bb, mede 90,5 mm e seu raio interno,, mede 90,5 mm e seu raio interno, aa,,
mede 41,3 mm. Calcule as tensões normais radial, circunferencial e axial mede 41,3 mm. Calcule as tensões normais radial, circunferencial e axial máximas quando o vaso está sob a pressão máxima de operação. máximas quando o vaso está sob a pressão máxima de operação. Consideran
Considerando do os os critérios de critérios de escoamento de escoamento de von von Mises Mises e e Tresca,Tresca, determine os respectivos fatores de segurança de operação (3,0 pontos). determine os respectivos fatores de segurança de operação (3,0 pontos).
b b a a
Problema 3.
Problema 3. Considere a estrutura mostrada naConsidere a estrutura mostrada na figura ao lado, onde
figura ao lado, onde L L = 200 mm. Os apoios nos= 200 mm. Os apoios nos pontos
pontos OO,, B B ee D D não transmitem momentos. A barranão transmitem momentos. A barra OC
OC e a barrae a barra BD BD são fabricadas de materiais cujossão fabricadas de materiais cujos módulos de elasticidade são idênticos e iguais a módulos de elasticidade são idênticos e iguais a 200 GPa, e cujos limites de escoamento são 200 GPa, e cujos limites de escoamento são respectivamente
respectivamente Y Y V V = 480 MPa e= 480 MPa e Y Y B B= 180 MPa. A= 180 MPa. A seção transversal dos dois componentes é seção transversal dos dois componentes é quadrada de lado
quadrada de lado aa = 5 mm. Determine o valor da= 5 mm. Determine o valor da carga que leva a estrutura ao
carga que leva a estrutura ao colapso (2,0 pontos).colapso (2,0 pontos).
P P O O B B C C D D 2 2 L L L L 22 2 2 3 3 L L Problema 4.
Problema 4. Considere o conjunto formado por duas barras mostrado na figura abaixo. As barras deConsidere o conjunto formado por duas barras mostrado na figura abaixo. As barras de comprimentos idênticos são fabricadas do mesmo material, que pode ser considerado comprimentos idênticos são fabricadas do mesmo material, que pode ser considerado elástico/perfeitamente-plástico (ver o diagrama tensão
elástico/perfeitamente-plástico (ver o diagrama tensão vs vs . deformação esquematicamente. deformação esquematicamente apresentado). A área da seção transversal da barra da direita é o dobro da outra. O conjunto é apresentado). A área da seção transversal da barra da direita é o dobro da outra. O conjunto é submetido a um ciclo de carregamento e descarregamento de tal forma que o deslocamento máximo submetido a um ciclo de carregamento e descarregamento de tal forma que o deslocamento máximo atingido chegue a um valor
atingido chegue a um valor maxmax
33YLYL / / E E . Determine o . Determine o deslocamendeslocamento residual do to residual do conjunto,conjunto,R R
, após, após
a remoção da carga
a remoção da carga PP. Verifique também se o conjunto permanece com alguma tensão residual. Verifique também se o conjunto permanece com alguma tensão residual quando o carregamento é removido. (2,0 pontos).
quando o carregamento é removido. (2,0 pontos).
P P L L LL EA EA 22EAEA Y Y Y Y
2
Carga Crítica de Flam bagem
2 L EI c Pcr
Tipo de Apoio c Simples-Simples 2 Engastada-Livre 2 /4 Engastada-Simples 20.2 Engastada-Engastada 2Tensão de Flexão
I
x
M
y
y
x
xx)
(
)
,
(
Moment o de Inéricia para seção
Circular 64 4 D I
Retangular 12 3 h b I
Tubular (D>>t ) 8 3 t D I
Comportamento Elastoplástico de Vigas de Seção Retangular 6 2 Y Y S bh M
M L M Y 2 3
Energia de Deformação Teorema de Castigliano
Vigas em Flexão
ds EI M U 2 2 P U
Vigas em Flexão Mds P M EI
1 Eixos em Torção
ds GJ T U 2 2 Eixos em Torção Tds P T GJ
1 Barras sob Esforço
Axial
EAdsN U
2
2
Barras sob Esforço
Axial P Nds N EA
1 EI PL 16 2 max max
2 , ) 2 ( 8 4 3 6 2 , 4 3 48 ) ( 3 3 2 3 2 L x L x x x L EI P L x x x L EI P x EI PL 48 3 max max 2 L P 2 L
L x
EI Px x 3 6 ) ( 2 EI PL 3 3 max max L P max EI PL 2 2 max EI Mx x 2 ) ( 2 EI ML 2 2 max max L M max EI ML max3
