Value-at-Risk: Overview, Parte 2. Análise de Risco (2) R.Vicente

(1)

Value-at-Risk:

Overview, Parte 2

Análise de Risco (2) R.Vicente

(2)

2

Resumo

PARTE 1: MEDINDO VaR

z Fatores de Risco

z Valor em Risco (VaR)

z Profit & Loss (P&L)

z VaR Paramétrico

z Calculando o VaR

PARTE 2: ESTIMANDO VOLATILIDADES E CORRELAÇÕES

z Exponentially Weighted Moving Averages (EWMA)

z Estimando Correlações

z GARCH

PARTE 3: VaR DE ATIVOS NÃO-LINEARES

z Letras “Gregas”

z Aproximação Delta

z Aproximação Linear (Delta-Rô-Vega-Teta)

z Aproximação Delta-Gama

z Aproximação de Cornish-Fisher

z Transformações de Johnson Bibliografia

(3)

Parte 1

(4)

4

Fatores de Risco

1 2

( ,

,...,

_N

)

V S S

S

Valor de Mercado de uma carteira depende de uma série de fatores de mercado:

Estes fatores podem ser : • Preços de mercado; • Taxas de juro;

• Spreads de crédito;

A Gestão de Risco consiste em monitorar possíveis alterações futuras no valor de mercado de uma carteira em uma janela de tempo definida:

1 2 1 1

( , ,...,

_N

)

( (

),...,

_N

(

))

( ( ),...,

_N

( ))

V S S

S

V S t

t

S t

t

V S t

S t

Δ

=

+Δ

+Δ −

(5)

Value at Risk

FATOR 1 FATOR 2 Janela de Tempo Nível de confiança

x

%

x

VaRα % %

(

)

( )

1

x VaR x

P

V

VaR

dv p v

x

− −∞

Δ <−

=

∫

= −

(6)

6

Benchmark Value at Risk

B-VaR

_x

Retorno Esperado Livre de Risco

( )

( (

))

( ( ))

r t t

B

V

t

V

t e

Δ

(7)

P&L como Combinação Linear dos

Fatores de Risco

1 1 1

( (

))

( ( )

)

(

)

( )

N j j j N j j j j j N j j j j j j j j j

V

t

V

t

V

S

V

S

V

S

R

V

R

S

δ

= = =

+Δ

≈

+Δ

∂

+Δ ≈

+

Δ

∂

⎛

_Δ

⎞

∂

_⎜

_⎟

⎜

Δ ≈

_⎜

_⎟

⎟⎟

⎜

∂ ⎜⎝

⎠

Δ

∂

≡

Δ ≈

∂

∑

S

Equivalente Delta

(8)

8

P&L como Combinação Linear dos

Fatores de Risco: Exemplo

(

)

(

_A

,

_FX

)

_A _FX A A FX FX A A A FX A FX FX FX A FX A FX

V S

S

S S

V

R

V

S

S S

V

S

V

S

V

S

V

V R

R

δ

=

Δ ≈

+

∂

≡

=

∂

≡

=

∂

Δ ≈

+

(9)

P&L com Benchmark

1 1

(

)

( )

( )(1

)

r t B N B j j j N B j j j

V

V S

S

V S e

V

V S

R

V S

r t

V

R

Vr t

δ

Δ = =

Δ

≈

+Δ −

Δ

≈

+

−

+ Δ

Δ

≈

− Δ

∑

(10)

10

VaR Paramétrico

( )

dS t

dt

dW t

S t

=

μ

+

σ

Suposição I: Fatores de Risco seguem um movimento Browniano geométrico:

onde dW(t) é um processo de Wiener com

( )

_t _t

~

(0,1)

dW t

=

ε

dt

ε

N

Os log-retornos portanto apresentam o seguinte comportamento:

( )

dS t

dt

dW t

S t

=

μ

+

σ

onde dW(t) é um processo de Wiener com

, 2

2

t

R

_Δ

=

_⎜

⎜

⎛

⎜

μ

−

σ

⎞⎟

⎟

_⎟

Δ +

t

σε

Δ

t

⎜⎝

⎠

(11)

VaR Paramétrico

Suposição II: Para janelas de tempo suficientemente pequenas os retornos têm valor esperado nulo:

~

(0,1)

S

σε

t

ε

N

Δ ≈

Δ

O P&L futuro na janela de tempo para um ativo com um único fator de risco é, portanto uma variável aleatória da seguinte forma:

t

R

_Δ

=

σε

Δ

t

(12)

12

VaR Paramétrico

Utilizando volatilidade diária e obtemos o P&L potencial para 1 dia como:

S

Sσε

Δ ≈

1 t

Δ =

( )

P ε

0 ε =

ε

= −

ασ

(1-x) %

Empregando a definição de VaR:

VaR

=

ασ

S

Confiança 95% 1,645 97,5% 1,960 99% 2,326

α

(13)

VaR Paramétrico com Benchmark

S

ασ

S

Sr

Δ ≈ −

−

Empregando a definição de VaR:

(

)

VaR

=

ασ

+

r S

(14)

14

VaR de uma Carteira

0

j j k jk

R

=

R R

=

C

Seja uma carteira cujo valor possa ser decomposto em N fatores de Risco:

Os N fatores de risco acima são amostras de uma distribuição normal multidimensional:

1

1 ( )

exp

2

2 ( )

p

Det

π

−

⎡

⎤

⎢

⎥

=

⋅

⎢

⎥

⎣

⎦

1

R

R C R

C

Temos que:

(15)

VaR de uma Carteira

onde é a matriz de covariância.

C

_jk

(

)

2 2 2 2 Port j k j k j j jk j j k jk jk

V

R R

R

C

σ

δ δ

δ

δ δ

= Δ

− Δ

⎡

⎤

⎢

⎥

=

_{− ⎢}

_⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

=

∑

O VaR da carteira é: Port Port

VaR

=

ασ

V

(16)

16

VaR de uma Carteira

Alternativamente podemos escrever:

(

)

(

)

Port Port j k jk jk jk j j k k jk j k j jk k jk

VaR

V

C

V

VaR

ασ

α

δ δ

α σ δ

σ σ

ρ

=

⎛

_⎞⎟

⎜

_⎟

⎜

=

_⎜

_⎟

⎟⎟

⎜⎜⎝

⎠

=

⋅

∑

VaR

_{Matriz de}

(17)

Parte 2

(18)

18

Estimando Volatilidades

Média Móvel

2 1

1 ( )

(

)

T MA j

t

R t

j

T

σ

=

∑

−

EWMA(Exponentially Weighted Moving Average)

1 2 1

( )

(1

)

(

)

T j EWMA j

t

R t

j

σ

λ

− =

=

−

∑

−

(19)

MA (21 d.u.) -10% -8% -6% -4% -2% 0% 2% 4% 6% 8% 10% fe v-01 ma r-01 ab r-01 ma i-0 1 ju n-01 ju l-0 1 ag o-01 se t-01 out -0 1 no v-01 de z-01 ja n-02 fe v-02 ma r-02 ab r-02 ma i-0 2 ju n-02 ju l-0 2 ag o-02

EWMA (fator de decaimento=0,97)

-12% -10% -8% -6% -4% -2% 0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% fe v-0 1 a r-0 1 ab r-01 i-0 1 jun-01 ju l-0 1 go-01 se t-0 1 out-0 1 v-01 z-01 jan-02 fe v-0 2 a r-0 2 ab r-02 i-0 2 jun-02 ju l-0 2 go-02

Estimando Volatilidades

11 falhas 10 falhas Intervalo c/ 98%

(20)

20

Estimando Volatilidades

EWMA (fator de decaimento=0,97)

-12% -10% -8% -6% -4% -2% 0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% fe v-0 1 m a r-0 1 ab r-01 ma i-0 1 jun-01 ju l-0 1 a go-01 se t-0 1 out-0 1 no v-01 de z-01 jan-02 fe v-0 2 m a r-0 2 ab r-02 ma i-0 2 jun-02 ju l-0 2 a go-02 11 falhas 22 falhas

EWMA (fator de decaimento = 0,70)

-12% -10% -8% -6% -4% -2% 0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% fe v -0 1 m a r-01 abr -01 ma i-0 1 jun-0 1 ju l-0 1 ago-0 1 se t-0 1 ou t-01 no v -01 dez -0 1 jan-0 2 fe v -0 2 m a r-02 abr -02 ma i-0 2 jun-0 2 ju l-0 2 ago-0 2

(21)

EWMA: Exponentially

Weighted Moving Average

1 2 1 1 1

(

)

ˆ

,

0

1

T t t T

R

τ τ τ τ τ

λ

σ

λ

− − = − =

−

=

∑

< <

∑

O estimador EWMA para volatilidades é definido como:

Observando que o fator de normalização é por uma progressão geométrica: 1 1

1

T T τ

λ

+ −

₌

−

∑

(22)

22

EWMA: Exponentially

Weighted Moving Average

1 2 1 1

(1

)

(

)

ˆ

,

0

1

T t t _T

R

τ τ τ

λ

σ

λ

− − = +

−

=

< <

−

∑

Assim:

Utilizando janelas infinitas teremos:

1 2 1

ˆ

_t

(1

)

τ

(

R

_t _τ

R

)

τ

σ

λ

∞

λ

− − =

=

−

∑

−

(23)

EWMA:Forma Recorrente

O estimador pode ser obtido como uma equação de recorrência:

2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 3 2 2 2 2 2 1 2 3 4 2 1 2 1 ( 1) 1 2 2

ˆ

(1

)

(1

)(

)

(1

)

(1

)(

)

(1

)

(1

)

ˆ

t t t t t t t t t t t

R

τ τ τ τ τ τ

σ

λ

λσ

∞ − − = − − − − − − − ∞ − − − − =

= −

+

= −

+

−

+

= −

+

−

= −

+

∑

(24)

24

EWMA: Janela Efetiva

O estimador EWMA atribui pesos maiores a retornos mais recentes. A massa total de retornos ocorridos a mais de K dias passados é:

2 1

(1

)

(1

)(1

)

K K K K τ τ

λ

λ λ

λ

∞ ∞ = =

Ω = −

=

−

+ + +

=

∑

Se fixarmos esta massa em um valor de confiança (e.g. 99%, 99,5%) podemos calcular a janela efetiva utilizada:

%

ln(1

)

ln

K

λ

−ϒ

=

%

ϒ

(25)

EWMA: Janela Efetiva

Lambda 95,0% 98,0% 99,0% 99,5% 0,99 298 389 458 527 0,98 148 194 228 262 0,97 98 128 151 174 0,96 73 96 113 130 0,95 58 76 90 103 0,94 48 63 74 86 0,93 41 54 63 73 0,92 36 47 55 64 0,91 32 41 49 56 0,90 28 37 44 50 0,89 26 34 40 45 0,88 23 31 36 41 0,87 22 28 33 38 Nível de Confiança

(26)

26

EWMA: Otimização de

Definimos o erro na predição da variância como:

2 2 1 1 t

ˆ

1 t t

R

t t

ε

₊

=

₊

−

σ

₊

λ

O parâmetro ótimo é aquele que minimiza a raiz do erro quadrado total em uma janela de T dias:

2 1 1

( )

T t t t

E λ

ε

₊

λ

=

∑

(27)

EWMA: Correlações

O EWMA pode ser generalizado para covariâncias:

1 , , , 1

ˆ

₍₁

₎

jk t j _t k t

C

τ

R

_τ

R

_τ τ

λ

∞

λ

− − − =

=

−

∑

A versão recorrente é: , , 1 , ₁ , 1

ˆ

₍₁

₎

jk t jk t j _t k t

C

=

λ

C

₋

+ −

λ

R

₋

R

₋

(28)

28

EWMA: Matrizes Positivas

Semi-definidas

O método EWMA produz matrizes que são positivas semi-definidas.

Suponha que seja positiva semi-definida, então:

, , 1 , ₁ , 1

ˆ

₍₁

₎

jk t jk t j _t k t

C

=

λ

C

₋

+ −

λ

R

₋

R

₋ 1

ˆ

t−

C

1

ˆ

₀

t−

⋅

≥

∀

u C u

⋅

ˆ

_t−₁

≥

0 ∀

u

u C u

u

Analisando o segundo termo teremos:

(

)

2 , 1 , 1 , 1 ,

0

j j t k t k j j t j k j

u

R

₋

R

₋

u

u R

₋

⎛

_⎞⎟

⎜

_⎟

=

⎜

_⎜

_⎟

≥

⎟⎟

⎜⎝

⎠

∑

(29)

EWMA: Matrizes Positivas

Semi-definidas

Combinações lineares de matrizes positivas definidas são positivas semi-definidas:

(

)

, , 1 , 1 , 1

ˆ

₍₁

₎

₀

j jk t k j jk t k j j t k t k jk jk jk

u C

u

=

λ

u C

₋

u

+ −

λ

u

R

₋

R

₋

u

≥

∑

Assim:

(

u C u

⋅

ˆ

t−1

≥

0 ∀ ⇒ ⋅

u

) (

u C u

ˆ

t

≥

0 ∀

u

)

Basta então garantirmos que seja positiva semi-definida escolhendo : 1

ˆ

C

ˆ

(30)

30

EWMA: Matrizes de Correlação

As correlações são obtidas a partir das covariâncias:

jk jk jj kk

C

C C

ρ =

(31)

EWMA: Otimização de

para Covariância

Para garantirmos a produção de matrizes positivas semi-definidas é necessário que seja único. Definimos o erro na predição da covariância como: , 1 , 1 , 1 j t k t

ˆ

, 1 jk t t

R

C

jk t t

ε

₊

=

₊ ₊

−

₊

λ

O parâmetro ótimo para o par jk é aquele que minimiza a raiz do erro quadrado total em uma janela de T dias:

2 , 1 1

( )

T jk jk t t t

E λ

ε

₊

λ

=

∑

λ

(32)

32

EWMA: Otimização de

para Covariância

A prescrição RiskMetrics para o parâmetro único é ponderar com o inverso do erro mínimo:

* * jk jk j k

λ

θ λ

≤

=

∑

Onde: * *

1 (

)

1 (

)

jk jk jk jk jk jk

E

λ

θ

λ

=

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

∑

jk

λ

(33)

GARCH

Um modelo GARCH(p,q) é definido como:

2 2 2 0 1 1 p q t j t j j t j j j

R

σ

α

₋

β σ

₋ = =

=

+

∑

+

∑

A versão mais simples é o GARCH(1,1):

2 2 2

0 1 1 1 1

t

R

t t

(34)

34

GARCH

A versão mais simples é o GARCH(1,1):

2 2 2 2 0 0 1 1 1 1

1 α

σ

α

α σ

β σ

σ

α β

=

+

=

− −

A variância não-condicional é um ponto fixo da equação acima assumindo que 2 2 : 1 t R₋ =σ 2 2 2 0 1 1 1 1 t

R

t t

σ

=

α

+

α

₋

+

β σ

₋

(35)

GARCH

A curtose não-condicional é dada por:

2 1 2 2 1 1 1 1

6 1 3

2 α

κ

α

α β β

=

−

(36)

36

GARCH : Determinando Parâmetros

2 2 2

1 (

)

exp

2

t t t t t

R

p R σ

σ

πσ

⎡

⎤

⎢

⎥

=

_⎢

−

_⎥

⎣

⎦

O processo GARCH gera retornos independentes com distribuição condicional normal: 2 2 2 0 1 1 1 1 t

R

t t

σ

=

α

+

α

₋

+

β σ

₋

~

(0,1)

t t t t

R

=

ε σ

ε

N

Dada a trajetória empírica defini-se uma função erro: Assumindo a dinâmica:

{ }

T ₁ t _t

R

=

(

)

2 2 0 1 ₂ 1 1

1 (

,

, )

ln

(

)

ln 2

2

T T t t t t t t t

R

E

α α β

p R

σ

πσ

σ

= =

⎡

⎤

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

= −

=

_⎢

+

_⎥

⎢

⎥

⎣

∏

⎦

∑

_⎣

_⎦

A função erro pode ser minimizada utilizando um algoritmo standard de otimização (e.g. Gradiente Escalonado).

(37)

GARCH

Volatilidade 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 1 56 111 166 221 276 331 386 441 496 551 606 661 716 771 826 881 936 991

(38)

38

Parte 3

(39)

“Gregas”

( , ,

_I

, )

V S

τ σ

r

Δ

O P&L de uma opção é função de variações do ativo objeto, do prazo, da volatilidade implícita e da taxa de juros:

Uma expansão em série de Taylor nos fornece:

( )

2 2 2 2 2 2

1 ( , ,

, )

2

1

2

I I

S

r

t

V

V S

r

S

r

V

r

σ

τ σ

σ

τ

Δ +

Δ

+

Δ

+

Δ

+

Δ

∂

Δ

∂

−

∂

(40)

40

“Gregas”

DELTA

V

S

∂

Δ =

∂

2 2

V

S

∂

Γ =

∂

[ ]

$

I

V

σ

∂

Λ =

∂

2 2 2 2

[ ]

$

V

T

r

ρ

′

=

∂

ρ

′

=

∂

[ ]

$

V

T

r

ρ

=

∂

ρ

=

∂

1

[ ]

$

V

T

t

−

∂

Θ =

∂

TETA GAMA RÔ Convexidade RÔ “VEGA”

(41)

P&L em função de Retornos

2 2

1 ( , ,

, )

2

1

I S S P

V S

τ σ

r

R S

ρ

R

τ

ρ

+

Δ

Γ−

′

[

]

( ) ( ) ( ) ( )

ln

( )

(

)

t t t t t r t P _r _r _t _t t t P

e

R

r

t

r

e

R

r

τ τ τ τ

τ

+Δ − −Δ −Δ − Δ Δ

⎛

_⎞⎟

⎜

_⎟

=

_⎜

_⎟

=

− Δ Δ − Δ

⎟⎟

⎜⎝

⎠

Δ

−

(42)

42

Aproximação Delta

( , ,

_I

, )

_S

V S

τ σ

r

R S

Δ

~

(0;1)

S S

R

t

N

εσ

ε

=

Δ

Delta S

VaR

=

ασ

S

Δ

(43)

(44)

44

Aproximação Linear

S S S P P P I I

R

t

R

t

R

_σ

t

ε σ

=

Δ

=

Δ

=

Δ

( , ,

_I

, )

_S _P _I

t

V S

τ σ

r

R S

ρ

R

σ

R

_σ

τ

+ Λ

Δ

Δ −

+Θ

~

(0, )

S P I

N

C

ε

⎛ ⎞⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟⎟

⎜⎜ ⎟

⎝ ⎠

Variância-covariância

(45)

Aproximação Linear

T Linear

VaR

=

α

W

C

W

−ΘΔ

t

I

S

ρ

τ

σ

⎛

_Δ⎟

⎞

⎜

_⎟

⎜

_⎟

⎜

_⎟

⎜

_⎟

⎜

= − ⎟

_⎜

_⎟

⎜

_⎟⎟

⎜

_⎟

⎜

_⎟⎟

⎜⎜ Λ

⎝

⎠⎟

W

(46)

46

Aproximação Delta-Gama

2 2

1

2

S S

V

S R

S

R

Δ = Δ +

Γ

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5x 10 4

(47)

(48)

48

(49)

Aproximação Delta-Gama

Truncada

(

)

2 2

( )

1

4 2

( )

2 2 3

(

2

)

var

cov

,

4

S S S S S

V

S

R

S

R

R S

R R

Δ = Δ

+

Γ

+ΔΓ

(

)

2 2 2 2 3 2

cov

,

0

2

S R S S S

dR

R R

R e

σ

πσ

−

=

∫

=

(

)

2 2 2

1

4 2 4

var

2

S S

VaR

≅

α

Δ

V

=

α

S

Δ

σ

+

S

Γ

σ

( )

2 2

( )

var

R

_S

=

2 var

R

_S

(50)

50

Aproximação Delta-Gama

2 1 1 1 1 1 1

(

)

( )

1

2

1

2

n n n j j k j _j j k _j _k n n n j j jk j k j j k

V

x

x x

r

r r

δ

= = = = = =

Δ =

+Δ −

∂

≈

Δ +

Δ Δ

∂

∂ ∂

=

+

Γ

∑

∑∑

∑

∑∑

x

2 j j jk j k j j k

V

x

x x

x

x x

δ

=

∂

Γ =

∂

∂ ∂

(51)

Aproximação Delta-Gama

1 1 1

1

2

n n n j j jk j k j j k

V

δ

r

r r

= = =

Δ =

∑

+

∑∑

Γ

~

N

(0, )

C

⇒ Δ

V

ϕ

r

∼

2

3

4 ˆ

ln

,

, ,

c c

,...,

c

_n

ϕ

⇔

ϕ

⇔

μ σ

(52)

52

Cumulantes

ˆ ( )

w

dx e

ixw

( )

x

ϕ

=

∫

ϕ

0 ˆ

ln ( )

(

)

n

_n

w

c

i

w

ϕ

=

∂

= −

∂

(53)

Cumulantes

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

2 2 2 3 ₃ 3 4 ₂ ₄ ₄ 4 2

1 (

)

2

1 (

)

2

3 (

)

12 (

)

3 (

)

3

1

1 (

1)!

!

(

)

2

T T T n n _T _n n

V

Tr

C

V

C

Tr

C

c

V

C C

Tr

C

c

V

C

Tr

C

c

V

n

Tr

C

n

C

μ

σ

μ

δ δ

μ

δ

μ

δ

σ

μ

δ

−

δ

= Δ

=

Γ

= Δ −

=

+

Γ

= Δ −

=

Γ

+

Γ

= Δ −

=

Γ

+

Γ

+

⎡

⎤

= Δ −

=

−

_⎢

Γ

_⎥

+

Γ

⎣

⎦

~

N

(0, )

C

r

(54)

54

Aproximação de Cornish-Fisher

Densidade arbitrária .

ϕ

( )

x

du

ϕ

u

−∞

Φ

=

∫

O VaR é definido como:

1

( )

VaR

du

u

p

VaR

p

ϕ

− −∞ −

=

= Φ

∫

ou

(55)

Aproximação de Cornish-Fisher

Seja uma distribuição com forma

analítica e quantis conhecidos (por ex: distribuição gaussiana).

( )

z

F z

du f u

−∞

=

∫

1

( )

F

−

p

Cornish-Fisher

1

( )

p

−

Φ

como função de

F

−1

( )

p

(56)

56

Aproximação de Cornish-Fisher

Os quatro primeiros termos da expansão de Cornish-Fisher para de é :

V

μ

σ

Δ −

p

−

percentil

(

)

(

)

(

)

2 2 2 3 3 4 3 3 3 4 3

1

3

2

5

6

24

36

p p p p p p p

c

α

σ

⎛ ⎞

⎛

⎞

_⎟

_⎜

_⎟

⎜

≈

+

−

+

−

_⎜

− −

_⎟

_⎟⎟

−

_⎜

_⎟

⎝

⎠

⎝ ⎠

O VaR pode então ser calculado como:

p

(57)

Transformação de Johnson

(

_p

)

VaR

≈

f α

e tem distribuição similar a

f X

( )

~

(0,1)

X

N

Δ

_V

(58)

58

Transformação de Johnson

Transformação com limite inferior:

( )

exp

X

( )

f X

γ

ξ

f X

ξ

δ

⎡

₋

⎤

⎢

⎥

=

+

≥

⎢

⎥

⎣

⎦

Transformação com limite superior:

exp

(

)

( )

1 exp

X

f X

X

γ

ξ λ

ξ

δ

_ξ

_{ξ λ}

γ

δ

⎡

₋

⎤

⎢

⎥ +

+

⎢

⎥

⎣

⎦

=

≤

≤ +

⎡

₋

⎤

+

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

(59)

Transformação de Johnson

Transformação sem limites:

( )

sinh

X

f X

γ

λ ξ

δ

⎡

₋

⎤

⎢

⎥

=

+

⎢

⎥

⎣

⎦

Os parâmetros das distribuições de Johnson podem ser obtido a partir dos quatro primeiros cumulantes.

(60)

60

Bibliografia

• Jorion P., Value at Risk, Irwin, 1997.

• RiskMetrics Technical Document (www.riskmetrics.com); •Duffie e Pan, An Overview of Value at Risk

•Bouchaud e Potters, Theory of Financial Risk;

•Mantegna R.N. e Stanley E., An Introduction to Econophysics;

Leituras Complementares

Jashke, S.R., The Cornish-Fisher-Expansion in the Context of Delta-Gamma-Normal Approximations