O Teorema de H. Hopf e as Inequações de Cauchy-Riemann

Texto

(1)Universidade Federal de Alagoas Programa de Pós-Graduação em Matemática. DISSERTAÇÃO DE MESTRADO. Rio São Francisco. O Teorema de H. Hopf e as Inequações de Cauchy-Riemann. MATEMÁTICA. A ciência do infinito. Maria de Andrade Costa. Maceió 4 de Dezembro o de 2006.

(2) Livros Grátis http://www.livrosgratis.com.br Milhares de livros grátis para download..

(3) Universidade Federal de Alagoas Instituto de Matemática Programa de Pós-Gradua¸cão em Matemática Disserta¸cão de Mestrado. O Teorema de H. Hopf e as Inequa¸cões de Cauchy-Riemann. Maria de Andrade Costa. Maceió, Brasil Dezembro 2006 1.

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(5) A Clarissa e Claudemir..

(6) Agradecimentos Primeiramente a Deus, por tudo. Ao professor Hilário Alencar, meu orientador, pelas conversas matemáticas, incentivos durante todo o programa de Mestrado em Matemática e, principalmente, por ter me dado a oportunidade de fazer uma disciplina de doutorado no IMPA, a qual me proporcionou um crescimento matemático qualitativo. Aos meus colegas de turma: J´ ulio de Almeida, Thales Vieira, pelas conversas, cr´ıticas construtivas e amizade, aos meus colegas de sala de estudo: André Pizzaia, Daniel Nicolau, José Arnaldo dos Santos e Sofia Melo, pelo companherismo. Aos professores Adán Corcho, Krerley Oliveira e Marcos Petr´ ucio Cavalcante que contribuiram, de forma significativa, na minha forma¸cão acadêmica com conversas matemáticas e não-matemáticas. Ao professor Manfredo do Carmo pelas conversas matemáticas, super agradáveis, que tivemos, as quais me ajudaram a concluir esse trabalho. Ao professor Fernando Codá pelas sugestões nas corre¸cões desse trabalho, pelo incentivo que me deu para estudar mais e por ser um professor esclarecedor dos meus questionamentos. Ao professor Marcos Petr´ ucio Cavalcante por ter me ajudado a fazer o apêndice desse trabalho e pelas várias conversas interessantes acadêmicas. Aos meus queridos pais, Josefa Pereira de Andrade Costa e Miguel Francisco da Costa (in memorian), aos meus irmãos e a minha querida fam´ılia pelos incentivos. Aos meus amigos e professores da Universidade Federal de Sergipe que sempre me apoiaram, especialmente: Paulo Rabelo, Valdenberg Ara´ ujo e Natanael Dantas. A todas as pessoas que me recepcionaram aqui em Alagoas. Um agradecimento muito especial a fam´ılia Codá Marques por me acolher com muito carinho em sua residência e por tudo que fizeram por mim. Aos meus amigos do IMPA, pelas conversas matemáticas e não-matemáticas, especialmente Cristina Levina e Ana Maria Luz. Aos meus amigos que deram sugestões nesse trabalho, tanto nas corre¸cões como na apresenta¸cão do mesmo, Claudemir Leandro, Clarissa Codá, Fábio Boia, Márcio Henrique Batista, Marcius Petr´ ucio e Thiago Fontes. Ao professor Adelailson Peixoto por seus valiosos conselhos e sua verdadeira amizade. ` Coordena¸cão de Aperfei¸coamento de Pessoal de N´ıvel Superior (CAPES) pelo A financiamento da bolsa de mestrado concedida durante o per´ıodo 03/2005 a 12/2006..

(7) Resumo Em 1951, H. Hopf publicou em um prestigiado artigo um famoso resultado: Seja M uma superf´ıcie compacta de gênero zero imersa no espa¸co Euclidiano de dimens˜ ao três com curvatura média constante. Ent˜ ao M é isométrica ` a esfera redonda. Neste trabalho descreveremos detalhadamente do ponto de vista matemático uma generaliza¸cão do resultado obtido por H. Hopf, a qual será publicada na revista Communication in Analysis and Geometry em 2007, cujos autores são Hilário Alencar, Manfredo Perdigão do Carmo e Renato Tribuzy. Neste artigo, os pesquisadores classificaram as superf´ıcies compactas de gênero zero imersas na variedade produto: superf´ıcies com curvatura Gaussiana constante cartesiano o espa¸co Euclidiano de dimensão um e cuja diferencial da curvatura média satisfaz uma certa desigualdade envolvendo uma forma quadrátrica. Além disso, estudaremos uma extensão da classifica¸cão anterior no caso em que as superf´ıcies estão imersas numa variedade Riemanniana simplesmente conexa, homogênea com um grupo de isometrias de dimensão quatro. Tais resultados foram obtidos recentemente por Hilário Alencar, Isabel Fernández, Manfredo Perdigão do Carmo e Renato Tribuzy. Nas demonstra¸cões destes teoremas foram usadas técnicas de Análise Complexa, fatos de Topologia e uma generaliza¸cão do Teorema de H. Hopf obtida por Abresch e Rosenberg, publicado em Acta Mathematica em 2004.. Palavras-chave: curvatura média, esfera, forma quadrática, fun¸cão holomorfa, inequa¸cões de Cauchy-Riemman, supef´ıcie de gênero zero.. 5.

(8) Sum´ ario 1 Preliminares 1.1 Preliminares e Defini¸cões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 O Tensor Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 A Segunda Forma Fundamental e as Equa¸cões de Gauss, Ricci e Codazzi 1.4 O Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 A Métrica Produto e Conexão Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 O Teorema de Green-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 A Demonstra¸cão do Teorema de H. Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10 10 14 16 21 21 22 25. 2 O Teorema de Alencar, do Carmo e Tribuzy 2.1 A Demonstra¸cão do Teorema de Alencar, do Carmo e Tribuzy . . . . . . 2.2 A Demonstra¸cão do Lema Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31 31 38. 3 Resultados e Generaliza¸c˜ oes. 45. 4 Apˆ endice. 50. Referˆ encias Bibliogr´ aficas. 52.

(9) Introdu¸c˜ ao Nesta disserta¸cão apresentaremos resultados que envolvem Geometria Diferencial, Topologia e Análise Complexa. Inicialmente, provaremos o teorema de H. Hopf, ver [6], cujo enunciado é o seguinte: Seja M uma superf´ıcie compacta de gênero zero imersa em R3 com curvatura média constante. Então M é isométrica à esfera redonda. H. Hopf forneceu duas provas para o teorema citado acima e os detalhes encontram-se na se¸cão 1.7. Foi a partir de 1951, com a publica¸cão do artigo de H. Hopf, que muitos geômetras come¸caram a trabalhar com superf´ıcies de curvatura média constante não-nula, pois, até aquele momento, os pesquisadores ligados à Geometria Diferencial davam mais ênfase às superf´ıcies m´ınimas. Em 1951, também foi observado por H. Hopf que o teorema acima é válido para superf´ıcies de Weingarten, ou seja, superf´ıcies para as quais existe uma fun¸cão W que relaciona as duas curvaturas principais k1 e k2 da seguinte maneira: W (k1 , k2 ) = 0. Se essa rela¸cão pode ser resolvida, digamos, em k2 , e dk2 /dk1 = −1 quando k1 = k2 , dizemos que a superf´ıcie de Weingarten é especial. Em 2004, Abresch e Rosenberg generalizaram o Teorema de H. Hopf com o seguinte resultado: Teorema 0.0.1. Sejam M uma superf´ıcie imersa em M 2 (c) × R e Q uma forma quadr´ atica definida por Q(X, Y ) = 2Hα(X, Y ) − c hξX, ξY i , onde M 2 (c) é uma variedade Riemanniana com curvatura c, X, Y s˜ ao vetores tangentes a M , α é a segunda forma fundamental, H é curvatura média e ξ : M 2 (c) × R → R é a proje¸c˜ ao natural sobre R, isto é, ξ(p, t) = t; p ∈ M 2 (c), t ∈ R. Se a curvatura média H é constante, então Q(2,0) é uma forma quadr´ atica holomorfa. Como conseq¨ uência, se M é uma superf´ıcie compacta de gênero zero, ent˜ ao M é uma superf´ıcie mergulhada invariante por rota¸cões no espa¸co ambiente. O resultado de Abresch e Rosenberg foi generalizado por Alencar, do Carmo e Tribuzy em 2005, ver [2], mais precisamente eles provaram o teorema a seguir:. 7.

(10) Teorema 0.0.2. Seja M uma superf´ıcie compacta de gênero zero imersa em M 2 (c) × R. Suponhamos que |dH| ≤ h(z)|Q(2,0) |, onde |dH| é a norma da diferencial da curvatura média H de M , h é uma fun¸c˜ ao real (2,0) cont´ınua, não-negativa e Q é a parte (2, 0) da forma quadr´ atica Q definida por Abresch e Rosenberg. Então Q(2,0) é identicamente nula e M é uma superf´ıcie invariante por rota¸c˜ oes em M 2 (c) × R. O Teorema 0.0.2 foi a motiva¸cão para essa disserta¸cão. Os detalhes do teorema acima podem ser encontrados na se¸cão 2.1, cuja demonstra¸cão utiliza-se do seguinte Lema 0.0.1. (Lema Principal) Seja f : U ⊂ C → C uma fun¸c˜ ao complexa definida em um aberto U do plano complexo que contém a origem z = 0. Suponhamos que

(11)

(12)

(13) ∂f

(14)

(15)

(16) ≤ h(z)|f (z)|, (1)

(17) ∂z

(18) onde h é uma fun¸cão real cont´ınua, n˜ ao-negativa. Assumamos que z = z0 é um zero de f . Ent˜ ao f ≡ 0 em uma vizinhan¸ca de V ⊂ U de z0 ou f (z) = (z − z0 )k fk (z), z ∈ V, k ≥ 1, onde fk (z) é uma fun¸cão cont´ınua com fk (z0 ) 6= 0. O Lema Principal foi inspirado em alguns resultados obtidos por Chern, ver se¸cão 2.2. Um resultado bastante interessante envolvendo as superf´ıcies de Weingarten, foi provado por R. Bryant, ver [4], a saber: Teorema 0.0.3. Seja M uma superf´ıcie compacta de gênero zero imersa em R3 e seja f qualquer fun¸cão suave definida em um intervalo aberto contendo o intervalo [0, ∞). Se M satisfaz a rela¸cão de Weingarten na forma H = f (H 2 − K) = f (|α(2,0) |2 ), onde α(2,0) é a parte (2, 0) da segunda forma fundamental de M , ent˜ ao M é isométrica a esfera. ` O teorema anterior foi também generalizado por Alencar, do Carmo e Tribuzy em [2]. Eles provaram a seguinte Proposi¸ c˜ ao 0.0.1. Sejam M uma superf´ıcie compacta de gênero zero, imersa em 2 M (c) × R e f uma fun¸cão suave como acima. Suponhamos que H = f (|Q(2,0) |2 ). Ent˜ ao Q(2,0) ≡ 0 e M é isométrica ` a esfera.. 8.

(19) A demonstra¸cão desta Proposi¸cão é uma conseq¨ uência do Teorema de Alencar, do Carmo e Tribuzy, ver cap´ıtulo 3. Recentemente, ver [3], Alencar, do Carmo, Fernández e Tribuzy generalizaram o resultado obtido em [2] para superf´ıcies imersas em E3 (k, τ ), τ 6= 0. Aqui E3 (k, τ ) é uma variedade Riemanniana simplesmente conexa, homogênea com um grupo de isometrias de dimensão 4. Tal variedade é um fibrado Riemanniano com curvatura τ , cuja base é uma superf´ıcie com curvatura seccional k. Eles provaram o seguinte resultado: Teorema 0.0.4. Seja M uma superf´ıcie compacta de gênero zero imersa em E3 (k, τ ) com curvatura média H. Suponhamos que |dH| ≤ g|Q(2,0) |, onde g é uma fun¸cão cont´ınua real n˜ ao-negativa, E3 é uma variedade Riemanniana simplesmente conexa homogênea e Q(X, Y ) = 2θα(X, Y )−chξ, Y ihξ, Y i, sendo θ = H+iτ e c = k−4τ 2 . Então Q(2,0) é identicamente nula e, conseq¨ uentemente, M é uma superf´ıcie invariante por rota¸cões em E3 (k, τ ). A demonstra¸cão do Teorema 0.0.4 encontra-se no cap´ıtulo 3. Finalmente, no apêndice desta disserta¸cão determinaremos a parte (2,0) da forma quadrática Q definida por Abresch e Rosenberg. Além disso, calculamos a norma de Q(2,0) .. 9.

(20) Cap´ıtulo 1 Preliminares Neste cap´ıtulo apresentaremos as defini¸cões básicas e os fatos que serão utilizados nos cap´ıtulos posteriores. Na se¸cão 1.1, definiremos a conexão de Levi-Civita, a qual será fundamental para conceituarmos o tensor curvatura. Na se¸cão 1.2, introduziremos o tensor curvatura, essencial para definirmos curvatura seccional e curvatura escalar. Na se¸cão 1.3, discorremos a respeito da segunda forma fundamental de uma imersão isométrica. Exporemos, na se¸cão 1.4, o Teorema de Gauss, que relaciona a curvatura seccional de duas variedades. Introduziremos, na se¸cão 1.5, as defini¸cões de métrica produto e conexão produto, que serão fundamentais na demonstra¸cão do Principal Teorema do nosso trabalho. Tais defini¸cões podem ser encontradas em [8]. E, por u ´ltimo, na se¸cão 1.6, exibiremos alguns fatos de Análise Complexa, os quais serão u ´teis na demonstra¸cão do Teorema de Green-Stokes.. 1.1. Preliminares e Defini¸ c˜ oes. Defini¸ c˜ ao 1.1.1. Uma variedade diferenci´ avel M de dimens˜ ao n e classe C ∞ é um conjunto M e uma fam´ılia de aplica¸c˜ oes biun´ıvocas ϕα : Uα ⊂ Rn → M de abertos Uα de n R em M , tais que 1. ∪α ϕα (Uα ) = M ; −1 2. Para todo α, β com ϕα (Uα ) ∩ ϕβ (Uβ ) = W = 6 ∅ os conjuntos ϕ−1 α (W ) e ϕβ (W ) n −1 s˜ ao abertos em R e as aplica¸c˜ oes ϕβ ◦ ϕα s˜ ao diferenci´ aveis;. 3. A fam´ılia (Uα , ϕα ) é máxima relativa ` as condi¸c˜ oes (1) e (2), ou seja qualquer outra carta está contida em (Uα , ϕα ). O par (Uα , ϕα ) (ou aplica¸cão ϕα ), p ∈ ϕα (Uα ), é chamado uma parametriza¸cão (ou sistema de coordenadas) de M em p; ϕα (Uα ) é então chamada uma vizinhan¸ca coordenada em p. Uma fam´ılia (Uα , ϕα ) satisfazendo (1) e (2) é chamada uma estrutura diferenciável em M . Observa¸ c˜ ao 1.1.1. Uma estrutura diferencial em um conjunto M induz de uma maneira natural uma topologia em M . Com efeito, basta definir que A ⊂ M é um aberto de M se 10.

(21) ´ imediato verificar que M e o vazio ϕ−1 e um aberto do Rn para todo α. E α (A ∩ ϕα (Uα )) ´ s˜ ao abertos, que a união de abertos é aberto e a interseçc˜ ao finita de abertos é aberto. Observe que a topologia é definida de tal modo que os conjuntos ϕα (Uα ) s˜ ao abertos e as aplica¸c˜ oes ϕα são cont´ınuas. n. Defini¸ c˜ ao 1.1.2. Sejam M m e M variedades diferenci´ aveis . Uma aplica¸c˜ ao ψ : M → n M é diferenciável em p ∈ M , se dada uma parametriza¸c˜ ao y : V ⊂ R → M em ψ(p) n existe uma parametriza¸cão x : U ⊂ R → M em p, tal que ψ(x(U )) ⊂ y(V ) e a aplica¸cão y −1 ◦ ψ ◦ x : U ⊂ Rn → Rm é diferenciável em x−1 (p). Dizemos que ψ é diferenci´ avel em um aberto de M , se é diferenci´ avel em todos os pontos abertos deste aberto. n. Defini¸ c˜ ao 1.1.3. Sejam M m e M variedades diferenci´ aveis. Uma aplica¸cão ao, se dψp : Tp M → Tψ(p) M é injetiva para diferenci´ avel ψ : M → M é uma imers˜ todo p ∈ M . Observa¸ c˜ ao 1.1.2. Uma imersão φ : M → N de uma variedade diferenci´ avel M de dimens˜ ao n numa variedade N de dimens˜ ao n + 1 é dita hipersuperf´ıcie. Defini¸ c˜ ao 1.1.4. Seja M uma variedade diferenci´ avel. Dizemos que M é orient´ avel, se M admite uma fam´ılia (Uα , ϕα ) satisfazendo (1) e (2) da defini¸c˜ ao 1.1.1, tal que para todo par α, β, com ϕα (Uα ) ∩ ϕβ (Uβ ) = W 6= ∅, a diferencial da mudan¸ca de coordenadas ϕα ◦ ϕ−1 β tem determinante positivo. Observa¸ c˜ ao 1.1.3. Entenderemos por variedade diferenci´ avel um espa¸co de Hausdorff com base enumerável, isto é, a variedade pode ser coberta por uma quantidade enumer´ avel de vizinhan¸cas coordenadas e orient´ avel. Defini¸ c˜ ao 1.1.5. Uma métrica Riemanniana em uma variedade diferenci´ avel M é uma correspondência que associa a cada ponto p de M um produto interno h, ip (isto é, uma forma bilinear simétrica, positiva definida) no espa¸co tangente Tp M , o qual varia diferenciavelmente no seguinte sentido: se ϕα : Uα ⊂ Rn → M é um sistema ∂ de coordenadas locais em torno de p , com ϕα (x1 , ..., xn ) = q ∈ ϕα (U ) e (q) = ∂ϕj ∂ ∂ dϕq (0, ..., 1, ..., 0), então (q), (q) = gij (x1 , ..., xn ) é diferenci´ avel em U. ∂ϕj ∂ϕi q Defini¸ c˜ ao 1.1.6. Uma variedade diferenci´ avel com uma métrica Riemanniana chama-se uma variedade Riemanniana. Defini¸ c˜ ao 1.1.7. Sejam M e M variedades Riemannianas. Um difeomorfismo f : M → M é chamado uma isometria, se hu, vip = hdfp (u), dfp (v)if (p) , para todo p ∈ M, u, v ∈ Tp M. Defini¸ c˜ ao 1.1.8. Uma variedade Riemanniana é homogênea, se dados p, q ∈ M , existe uma isometria de M que leva p em q. 11.

(22) Teorema 1.1.1. Toda variedade diferenci´ avel M possui uma métrica Riemanniana. Demonstra¸c˜ ao. Ver [8], página 47. Defini¸ c˜ ao 1.1.9. Um campo de vetores X em uma variedade diferenci´ avel M é uma correspondência que a cada ponto p ∈ M associa um vetor X(p) ∈ Tp M . Agora definiremos o conceito de conexão afim. Utilizaremos a seguinte nota¸cão: X (M ) denotará o campo de vetores de classe C ∞ em M e D(M ) o anel das fun¸cões reais de classe C ∞ definidas em M . Defini¸ c˜ ao 1.1.10. Uma conexão afim ∇ em uma variedade diferenci´ avel M é uma aplica¸c˜ ao ∇ : X (M ) × X (M ) → X (M ) que se indica por ∇. (X, Y ) −→ ∇X Y, tal que 1. ∇f X+gY Z = f ∇X Z + g∇Y Z; 2. ∇X (Y + Z) = ∇X Y + ∇X Z; 3. ∇X (f Y ) = f ∇X Y + X(f )Y. Aqui X,Y ,Z ∈ X (M ) e f ,g ∈ D(M ). Defini¸ c˜ ao 1.1.11. Sejam M uma variedade diferenci´ avel com uma conex˜ ao afim ∇ e h, i uma métrica Riemanniana . A conex˜ ao ∇ é dita compat´ıvel com a métrica h, i, quando X hY, Zi = h∇X Y, Zi + hY, ∇X Zi , ∀X, Y, Z ∈ X (M ). Lema 1.1.1. Sejam X e Y campos diferenci´ aveis de vetores em uma variedade diferenci´ avel M . Então existe um u ńico campo vetorial Z = [X, Y ], tal que, para todo f ∈ D(M ), tem-se Zf = (XY − Y X)f = [X, Y ]f. Demonstra¸c˜ ao. Primeiro provaremos que, se Z existe, ele é u ńico. Admitamos, portanto, a existência de um tal Z. Sejam p ∈ M e ϕ : U → M uma parametriza¸cão em p. Sejam X=. X i. ai. X ∂ ∂ ,Y = bj ∂xi ∂xj j. as expressões de X e Y nesta parametriza¸cão. Então, para todo f ∈ D, ! X X ∂bj ∂f X ∂ ∂2f XY f = X bj f= ai + ai b j ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj j i,j i,j ! X ∂ X ∂ai ∂f X ∂2f Y Xf = Y ai f= bj + ai b j . ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x i j i i j i i,j i,j 12.

(23) Portanto, Z é dado na parametriza¸cão ϕ por Zf = XY f − Y Xf =. X i,j. ∂bj ∂aj ai − bi ∂xi ∂xi. !. ∂f . ∂xj. Isto mostra a unicidade de Z. A existência do campo Z é demonstrada da seguinte forma: defina-se Zα pela expressão acima em cada vizinhan¸ca coordenada ϕα (Uα ) de uma estrutura diferenciável (Uα , ϕα ) de M . Por unicidade, Zα = Zβ em ϕα (Uα ) ∩ ϕβ (Uβ ) 6= ∅, o que permite definir Z em toda a variedade M . Observa¸ c˜ ao 1.1.4. O campo vetorial Z dado no lema acima é chamado o colchete [X, Y ] = XY − Y X entre X e Y . Defini¸ c˜ ao 1.1.12. Uma conexão afim ∇ em uma variedade diferenci´ avel M é dita simétrica, quando ∇X Y − ∇Y X = [X, Y ], ∀X, Y ∈ X (M ). Teorema 1.1.2. Dada uma variedade Riemanniana M , existe uma u ńica conex˜ ao afim ∇ em M satisfazendo as condi¸cões: 1. ∇ é simétrica; 2. ∇ é compat´ıvel com a métrica Riemanniana. Demonstra¸c˜ ao. Suponhamos inicialmente a existência de uma tal conexão ∇. Então X hY, Zi = h∇X Y, Zi + hY, ∇X Zi ,. (1.1). Y hZ, Xi = h∇Y Z, Xi + hZ, ∇Y Xi ,. (1.2). Z hX, Y i = h∇Z X, Y i + hX, ∇Z Y i .. (1.3). Adicionando (1.1) e (1.2) e subtraindo (1.3), temos, usando a simetria de ∇, que X hY, Zi + Y hZ, Xi − Z hX, Y i = h[X, Z], Y i + h[Y, Z], Xi + h[X, Y ], Zi + 2 hZ, ∇Y Xi . Portanto 1 {X hY, Zi + Y hZ, Xi − Z hX, Y i 2 − h[X, Z], Y i − h[Y, Z], Xi − h[X, Y ], Zi}.. hZ, ∇Y Xi =. (1.4). A expressão (1.4) mostra que ∇ está univocamente determinada pela métrica h, i. Logo, caso exista, ela será u ńica. Mostraremos que ∇ existe. De fato, defina ∇ por (1.4). ´ E fácil verificar que ∇ está bem definida e que satisfaz às propriedades desejadas. Observa¸ c˜ ao 1.1.5. A conexão dada pelo teorema acima é denominada de conex˜ ao LeviCivita de M . 13.

(24) 1.2. O Tensor Curvatura. Nesta se¸cão, apresentaremos uma defini¸cão de curvatura que, intuitivamente, mede o quanto uma variedade Riemanniana deixa de ser Euclidiana. Logo em seguida discutiremos a no¸cão de curvatura seccional. Defini¸ c˜ ao 1.2.1. A curvatura R de uma variedade Riemanniana M é uma correspondência que associa a cada par de vetores X, Y ∈ X (M ) uma aplica¸c˜ ao R(X, Y ) : X (M ) → X (M ) dada por R(X, Y )Z = ∇Y ∇X Z − ∇X ∇Y Z + ∇[X,Y ] Z, Z ∈ X (M ). Observe que, se M = Rn , então R(X, Y )Z = 0 para todo X, Y, Z ∈ X (Rn ). Com efeito, se indicarmos por Z = (z1 , ..., zn ) as componentes do campo Z nas coordenadas naturais do Rn , obteremos que ∇X Z = (Xz1 , ..., Xzn ), donde ∇Y ∇X Z = (Y Xz1 , ..., Y Xzn ), o que implica R(X, Y )Z = ∇Y ∇X Z − ∇X ∇Y Z + ∇[X,Y ] Z = 0, como hav´ıamos afirmado. A expressão de R em um sistema de coordenadas (U, X) em torno do ponto p ∈ M é dada por X m Rijk Xm . R(Xi , Xj )Xk = m. Denotaremos Rijks = hR(Xi , Xi )Xk , Xs i . Estes coeficientes satisfazem: Rijks + Rjkis + Rkijs Rijks Rijks Rijks. = = = =. 0 (Identidade de Biancchi), −Rjiks , −Rijsk , Rksij .. Proposi¸ c˜ ao 1.2.1. Seja σ ⊂ Tp M um espa¸co bi-dimensional do espa¸co tangente Tp M e sejam x, y ∈ σ dois vetores linearmente independentes. Ent˜ ao K(x, y) =. (x, y, x, y) |x ∧ y|2. n˜ ao depende da escolha dos vetores x, y ∈ σ. Aqui (x, y, x, y) = hR(x, y)x, yi . 14.

(25) Demonstra¸c˜ ao. Ver [8], página 105. Defini¸ c˜ ao 1.2.2. Sejam p ∈ M e σ ⊂ Tp M um subespa¸co bidimensional. O n´ umero hR(x, y)x, yi real K(x, y) = , onde x e y é uma base qualquer de σ e kx ∧ yk = kx ∧ yk2 q kxk2 kyk2 − hx, yi2 , é chamado curvatura seccional de σ em p.. Lema 1.2.1. Seja V um espa¸co vetorial de dimens˜ ao ≥ 2 munido de um produto interno 0 h, i. Sejam R : V × V × V → V e R : V × V × V → V aplica¸c˜ oes tri-lineares tais que as propriedades da curvatura R sejam satisfeitas para (x, y, z, t) = hR(x, y)z, ti, (x, y, z, t)0 = hR0 (x, y)z, ti. Se x, y são dois vetores linearmente independentes, escrevamos, K(x, y) =. (x, y, x, y) (x, y, x, y)0 0 , K (x, y) = , |x ∧ y|2 |x ∧ y|2. onde σ é o subespa¸co bi-dimensional gerado por x e y. Se K(σ) = K 0 (σ) para todo σ ⊂ V , então R = R0 . Demonstra¸c˜ ao. Ver [8], página 105. Lema 1.2.2. Sejam M uma variedade Riemanniana e p um ponto de M . Defina uma aplica¸c˜ ao trilinear R0 : Tp (M ) × Tp (M ) × Tp (M ) → Tp (M ) por hR0 (X, Y, W ), Zi = hX, W i hY, Zi − hY, W i hX, Zi , onde X, Y, W, Z ∈ Tp (M ). Então M tem curvatura seccional constante igual a K0 se, e s´ o se, R = K0 R0 , onde R é a curvatura de M . Demonstra¸c˜ ao. Admita que K(p, σ) = K0 para todo σ ⊂ Tp (M ) e fa¸ca hR0 (X, Y, W ), Zi = (X, Y, W, Z)0 . Observe que R0 satisfaz as propriedades da curvatura de uma variedade Riemanniana. Como (X, Y, X, Y )0 = hX, XihY, Y i − hX, Y i2 , temos que, para todo par de vetores X, Y ∈ Tp (M ), R(X, Y, X, Y ) = K0 (|X|2 |Y |2 − hX, Y i2 ) = K0 R0 (X, Y, X, Y ). Usando o Lema 1.2.1, isto implica que, para todo X, Y, W, Z, R(X, Y, W, Z) = K0 R0 (X, Y, W, Z), donde R = K0 R0 . A rec´ıproca é imediata.. 15.

(26) 1.3. A Segunda Forma Fundamental e as Equa¸ c˜ oes de Gauss, Ricci e Codazzi. Defini¸ c˜ ao 1.3.1. Uma imersão f : M n → M é dita isométrica, se. n+m=k. entre duas variedades Riemannianas. hu, vip = hdfp (u), dfp (v)if(p) , ∀ u, v ∈ Tp M, ∀ p ∈ M n .. (1.5). n+m=k. é uma imers˜ ao e M é uma variedade Observa¸ c˜ ao 1.3.1. Se f : M n → M Riemanniana, então a métrica Riemanniana M induz de maneira natural uma métrica Riemanniana em M dada por (1.5). Tal métrica é chamada de métrica Riemanniana induzida por f . A conexão Riemanniana de M será indicada por ∇. Se X, Y são campos locais de vetores em M e X, Y extensões locais a M , definimos ∇X Y = (∇X Y )T ,. (1.6). onde (∇X Y )T é a componente tangencial de (∇X Y ). A expressão (1.6) define uma conexão Riemanniana à métrica induzida de M . n+m=k Seja f : M n → M uma imersão de uma variedade Riemanniana M . Então, para cada p ∈ M , o produto interno em Tp M decompõe Tp M na soma direta Tp M = Tp M ⊕ (Tp M )⊥ , onde (Tp M )⊥ é o complemento ortogonal de Tp M em Tp M . Tal decomposi¸cão varia diferenciavelmente com p. Ou seja, localmente a parte do fibrado tangente T M que se projeta sobre M decompõe-se em um fibrado tangente T M e em um fibrado tangente normal T M ⊥ . A seguir, usaremos as letra latinas X, Y, Z, etc., para indicar os campos diferenciáveis de vetores tangentes e as letras gregas ξ, η, ς, etc., para indicar os campos diferenciáveis de vetores normais. Vamos definir a segunda forma fundamental da imersão f : M → M . Inicialmente, convém introduzir previamente a seguinte defini¸cão: se X e Y são campos locais em M , B(X, Y ) = ∇X Y − ∇X Y ´ claro que, B(X, Y ) não depende das extensões é um campo local em M normal a M . E X, Y . Com efeito, se X 1 é uma outra extensão de X, teremos (∇X Y − ∇X Y ) − (∇X 1 Y − ∇X Y ) = ∇X−X1 Y , que se anula em M , pois X − X1 = 0 em M . Além disso, se Y1 é uma outra extensão de Y , então (∇X Y − ∇X Y ) − (∇X Y1 − ∇X Y ) = ∇X (Y − Y1 ) = 0, pois Y − Y1 = 0 ao longo de uma trajetória de X. Portanto B(X, Y ) está bem definida. No que se segue, indicaremos por X (U )⊥ os campos diferenciáveis em U de vetores normais a f (U ) ≈ U . 16.

(27) Proposi¸ c˜ ao 1.3.1. Se X, Y ∈ X (M ), ent˜ ao a aplica¸c˜ ao B : X (U ) × X (U ) → X (U )⊥ dada por B(X, Y ) = ∇X Y − ∇X Y é bilinear e simétrica. Demonstra¸c˜ ao. Usando as propriedades de linearidade de uma conexão, conclui-se imediatamente que B é aditiva em X, Y e, além disso, B(f X, Y ) = f B(X, Y ), f ∈ D(U ). Indicando por f uma extensão de f a U , temos B(f X, Y ) = ∇X f Y − ∇X (f Y ) = f ∇X Y − f ∇X Y + X(f )Y − X(f )Y. ´ltimas parcelas se anulam, Como em M , f = f e X(f ) = X(f ), conclu´ımos que as duas u donde B(f X, Y ) = f B(X, Y ), isto é, B é bilinear. A aplica¸cão B é simétrica. De fato, usando a simetria da conexão Riemanniana, obtemos (1.7) B(X, Y ) = ∇X Y − ∇X Y = ∇Y X + [Y , X] − ∇Y X − [X, Y ]. Como [X, Y ] = [X, Y ] em M , conclu´ımos que B(X, Y ) = B(Y, X). Defini¸ c˜ ao 1.3.2. Sejam p ∈ M e η ∈ (Tp M )⊥ . Definimos a aplica¸c˜ ao Hη : Tp (M ) × Tp (M ) → R por Hη (x, y) = hB(x, y), ηi, x, y ∈ Tp M. Usando a proposi¸cão anterior temos que Hη é uma forma bilinear e simétrica. A forma quadrática IIη em Tp M , definida por IIη (x) = Hη (x, x), é chamada a segunda forma fundamental de f em p, segundo o vetor normal η. Observa¸ c˜ ao 1.3.2. Como a aplica¸c˜ ao Hη é uma forma bilinear e simétrica, podemos sempre associá-la uma aplica¸cão auto-adjunta, a saber: Sη : Tp M → Tp M, definida por hSη x, yi = Hη (x, y) = hB(x, y), ηi. Proposi¸ c˜ ao 1.3.2. Sejam p ∈ M , x ∈ Tp M e η ∈ (Tp M )⊥ . Seja N uma extens˜ ao local de η normal a M . Então Sη (x) = −(∇x N )T . Demonstra¸c˜ ao. Sejam x, y ∈ Tp M e X, Y extensões locais, respectivamente, de x, y. Então, hN, Y i = 0 e, portanto, hSη (x), yi = hB(X, Y )(p), N i = h∇X Y − ∇X Y, N i(p) = h∇X Y, N i(p) = −hY, ∇X N i(p) = h−∇x N, yi, ∀ y ∈ Tp M .. 17.

(28) n+1=k. Exemplo 1.3.1. Sejam f : M n → M uma hipersuperf´ıcie, p ∈ M , Sη , η ∈ (Tp M )⊥ e kηk = 1. Como Sη : Tp M → Tp M é linear e simétrica, ent˜ ao pode ser diagonalizada por uma base ortonormal de autovetores {e1 , ..., en } com valores pr´ oprios reais {λ1 , ..., λn }, ao orientadas, denominamos os ei isto é, Sη (ei ) = λi ei , i = 1, ..., n. Visto que M e M s˜ de dire¸c˜ oes principais e os λi = ki curvaturas principais de f . Dados X e η, já vimos que a componente tangente de ∇X N é dada por (∇X N )> = −Sη (X). Vamos estudar, agora, a componente normal de ∇X N , que será chamada de conexão normal ∇⊥ da imersão. Explicitamente, N T ∇⊥ X η = (∇X N ) = ∇X N − (∇X N ) = ∇X N + Sη (X).. A conexão normal ∇⊥ possui as propriedades usuais de uma conexão, isto é, ∇⊥ é linear e aditiva em η. De maneira análoga ao caso do fibrado tangente introduz-se, a partir de ∇⊥ , uma no¸cão de curvatura no fibrado normal, a qual é chamada curvatura normal R⊥ da imersão. Esta curvatura normal é definida por ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ R⊥ (X, Y )η = ∇⊥ Y ∇X η − ∇X ∇Y η + ∇[X,Y ] η.. Tudo se passa como se a geometria da imersão se decompusesse em duas geometrias: uma geometria do fibrado tangente e uma geometria do fibrado normal. Estas geometrias se relacionam com a segunda forma fundamental da imersão por meio de expressões que generalizam as equa¸cões clássicas de Gauss e Codazzi da teoria das superf´ıcies. A seguir, estabelecemos tais rela¸cões. Proposi¸ c˜ ao 1.3.3. As equa¸cões seguintes se verificam: 1. Equa¸cão de Gauss:. R(X, Y )Z, T = hR(X, Y )Z, T i − hB(Y, T ), B(X, Z)i + hB(X, T ), B(Y, Z)i . 2. Equa¸cão de Ricci:. . R(X, Y )η, ζ − R⊥ (X, Y )η, ζ = h[Sη , Sζ ]X, Y i , onde [Sη , Sζ ] = Sη ◦ Sζ − Sζ ◦ Sη . Demonstra¸c˜ ao. Observe que ∇X Y = ∇X Y + B(X, Y ). Como R(X, Y )Z = ∇Y ∇X Z − ∇X ∇Y Z + ∇[X,Y ] Z = ∇Y (∇X Z + B(X, Z)) − ∇X (∇Y Z + B(Y, Z)) + ∇[X,Y ] Z + B([X, Y ], Z), temos R(X, Y )Z = = − = −. ∇Y ∇X Z + ∇Y B(X, Y ) − ∇X ∇Y Z − ∇X B(Y, Z) + ∇[X,Y ] Z + B([X, Y ], Z) ∇Y ∇X Z + B(∇X Z, Y ) + ∇⊥ Y B(X, Z) − SB(X,Z) (Y ) − ∇X ∇Y Z − B(∇Y Z, X) ⊥ ∇X B(Y, Z) + SB(Y,Z) (X) + ∇[X,Y ] Z + B([X, Y ], Z) R(X, Y )Z + B(Y, ∇X Z) + ∇⊥ Y B(X, Z) − SB(X,Z) (Y ) − B(∇Y Z, X) ⊥ ∇X B(Y, Z) + SB(Y,Z) (X) + ∇[X,Y ] Z + B([X, Y ], Z). (1.8) 18.

(29) Tomando o produto interno de (1.8) com T , vemos que os termos normais se anulam e, portanto,. . R(X, Y )Z, T = hR(X, Y )Z, T i − SB(X,Z) (Y ), T − SB(Y,Z) (X), T = hR(X, Y )Z, T i − hB(Y, T ), B(X, Z)i + hB(X, T ), B(Y, Z)i , onde a u ´ltima igualdade foi obtida a partir da observa¸cão (1.3.2). Assim, encontramos a equa¸cão de Gauss. Agora, obteremos a equa¸cão de Ricci. Com efeito, R(X, Y )η = ∇Y ∇X η − ∇X ∇Y η + ∇[X,Y ] η ⊥ ⊥ = ∇Y (∇⊥ X η − Sη (X)) − ∇X (∇Y η − Sη (Y )) + ∇[X,Y ] η − Sη [X, Y ] ⊥ ⊥ = ∇Y ∇⊥ X η − ∇Y Sη (X) − ∇X ∇Y η + ∇X Sη (Y ) + ∇[X,Y ] η − Sη [X, Y ] ⊥ ⊥ = ∇⊥ (Y ) − ∇Y Sη (X) − ∇⊥ (X) + ∇X Sη (Y ) Y ∇ X η − S∇ ⊥ X ∇ Y η − S∇ ⊥ Xη Yη. + ∇⊥ [X,Y ] η − Sη [X, Y ] ⊥. = R (X, Y )η − S∇⊥X η (Y ) − ∇Y Sη (X) − B(Sη (X), Y ) + S∇⊥Y η (X) + ∇X Sη (Y ) + B(X, Sη Y ) − Sη [X, Y ]. Fazendo o produto interno da u ´ltima equa¸cão com ζ e observando que hB(X, Y ), ηi = hSη (X), Y i, obtemos. R(X, Y )η, ζ = R⊥ (X, Y )η, ζ − hB(Sη (X), Y ), ζi + hB(X, Sη Y ), ζi .. = R⊥ (X, Y )η, ζ + h(Sη Sζ − Sζ Sη )X, Y i .. Logo. . R(X, Y )η, ζ = R⊥ (X, Y )η, ζ + h[Sη , Sζ ]X, Y i .. Esta u ´ltima expressão é denominada de Equa¸cão de Ricci. Observa¸ c˜ ao 1.3.3. Dizemos que o fibrado normal de uma imers˜ ao é plano, se R⊥ = 0. Admitamos que o espa¸co ambiente M tem curvatura seccional constante. Ent˜ ao a equa¸c˜ ao de Ricci se escreve. ⊥. R (X, Y )η, ζ = − h[Sη , Sζ ]X, Y i . Decorre da´ı que R⊥ = 0 se, e só se, [Sη , Sζ ] = 0, quaisquer que sejam η, ζ ∈ T ⊥ M . As equa¸cões de Gauss e de Ricci são expressões algébricas que relacionam, respectivamente, as curvaturas dos fibrados tangente e normal com a segunda forma fundamental da imersão. Uma rela¸cão não-algébrica é dada pela equa¸cão de Codazzi. Neste caso, precisamos “derivar”a segunda forma fundamental considerada como um tensor.. 19.

(30) Dada uma imersão isométrica, convém indicar por X (M )⊥ o espa¸co dos campos diferenciáveis de vetores normais a M . A segunda forma fundamental da imersão pode ser considerada como o tensor B : X (M ) × X (M ) × X (M )⊥ → D(M ) definido por B(X, Y, η) = hB(X, Y ), ηi . A defini¸cão de derivada covariante se estende a este tipo de tensor de maneira natural, a saber: (∇X B)(Y, Z, η) = X(B(Y, Z, η)) − B(∇X Y, Z, η) − B(Y, ∇X Z, η) − B(Y, Z, ∇⊥ X η). Proposi¸ c˜ ao 1.3.4. (Equa¸cão de Codazzi). Com a nota¸c˜ ao acima,. R(X, Y )η, ζ = (∇Y B)(X, Z, η) − (∇X B)(Y, Z, η). Demonstra¸c˜ ao. Observe, inicialmente, que (∇X B)(Y, Z, η) = X hB(Y, Z), ηi − hB(∇X Y, Z), ηi − hB(Y, ∇X Z), ηi. − B(Y, Z), ∇⊥ X η). . ⊥ = ∇⊥ X B(Y, Z), η + B(Y, Z), ∇X η) − hB(∇X Y, Z), ηi. − hB(Y, ∇X Z), ηi − B(Y, Z), ∇⊥ η) X. ⊥. = ∇X B(Y, Z), η − hB(∇X Y, Z), ηi − hB(Y, ∇X Z), ηi . Considere agora a expressão (1.8) na demonstra¸cão da Proposi¸cão 1.3.3 e tome o produto interno de (1.8) por η .Logo, levando em considera¸cão a observa¸cão acima, vemos que hR(X, Y )η, ζi = hB(Y, ∇X Z), ηi + h∇⊥ Y B(X, Z), ηi − hB(X, ∇Y Z), ηi − h∇⊥ X B(Y, Z), ηi + hB(∇X Y, Z), ηi − hB(∇Y X, Z), ηi = −(∇Y B)(X, Z, η) + (∇X B)(Y, Z, η), portanto, obtivemos a Equa¸cão de Codazzi. Observa¸ c˜ ao 1.3.4. Se o espa¸co ambiente M tem curvatura seccional constante, ent˜ ao a Equa¸c˜ ao de Codazzi se reduz à express˜ ao (∇Y B)(X, Z, η) = (∇X B)(Y, Z, η). Se, além disso, a codimensão da imers˜ ao é um, ∇⊥ X η = 0, ou seja, ∇X B(Y, Z, η) = X h Sη (Y ), Zi − hSη (∇X Y ), Zi − h Sη (Y ), ∇X Zi = h∇X (Sη (Y )), Zi − hSη (∇X Y ), Zi . Nesse caso, a equa¸cão de Codazzi se escreve da seguinte forma: ∇X (Sη (Y ) − ∇Y (Sη (X)) = Sη ([X, Y ]). A importância das equa¸cões de Gauss, Codazzi e Ricci é que, no caso em que o espa¸co ambiente tem curvatura seccional constante, elas desempenham um papel ao análogo das equa¸cões de compatibilidade na teoria das superf´ıcies. 20.

(31) 1.4. O Teorema de Gauss m. Seja f : M n → M uma imersão isométrica entre variedades Riemannianas. Relacionaremos agora a curvatura de M com a curvatura de M e as segundas formas fundamentais de duas variedades Riemannianas. Sejam x, y ∈ Tp M ⊂ Tp M linearmente independentes, indicaremos por K(x, y) e K(x, y) as curvaturas seccionais de M e M , respectivamente, no plano gerado por x e y. Teorema 1.4.1. (Gauss). Se p ∈ M e x, y s˜ ao vetores ortonormais de Tp M , ent˜ ao K(x, y) − K(x, y) = hB(x, x), B(y, y)i − |B(x, y)|2 .. (1.9). Demonstra¸c˜ ao. Decorre da Proposi¸cão 1.3.3 item 1. n+1. Observa¸ c˜ ao 1.4.1. No caso em que f : M n → M é uma hipersuperf´ıcie, a f´ ormula de Gauss (1.9) admite uma expressão mais simples. De fato, sejam p ∈ M e η ∈ (Tp M )⊥ . Seja e1 , ..., en uma base ortonormal de autovetores de Tp M para a qual Sη é diagonal, isto é, Sη (ei ) = λi ei , i = 1, ..., n, onde λ1 , ..., λn s˜ ao os autovalores pr´ oprios de Sη . Portanto, a express˜ ao (1.9) se escreve K(ei , ej ) − K(ei , ej ) = λi λj .. (1.10). Exemplo 1.4.1. A curvatura seccional da esfera unit´ aria S n ⊂ Rn+1 é igual a constante n 1. Com efeito, orientando S pelo campo normal unit´ ario N (x) = −x ∈ S n , temos −x = dNp (x) =. d N ◦ c(t)|t=0 = ∇x N = (∇x N )T = −Sη x, ∀ p ∈ M, ∀ x ∈ Tp M, dt. onde c(0) = p e c0 (0) = x. Os valores pr´ oprios de Sη s˜ ao todos iguais a 1. Além disso, a curvatura seccional de Rn é zero, portanto usando a equa¸c˜ ao (1.10), temos K(ei , ej ) = 1, ∀ i, j = 1, ..., n. 1.5. A M´ etrica Produto e Conex˜ ao Produto. Sejam M e M variedades Riemannianas e consideremos o produto cartesiano M × M com a estrutura diferencial produto. Sejam π : M × M → M e π : M × M → M as proje¸cões naturais. Definiremos uma métrica Riemanniana em M × M da seguinte maneira: hu, vi(p,q) = hdπu, dπvip + hdπu, dπviq , para todo (p, q) ∈ M × M , u, v ∈ T(p,q) (M × M ). Denominamos a métrica definida acima de métrica produto. Por exemplo, o toro S 1 × ... × S 1 = T n tem uma estrutura Riemanniana produto. De fato, basta escolhermos no c´ırculo S 1 ⊂ R2 a métrica Riemanniana induzida por R2 e tomarmos a métrica produto. O toro T n com esta métrica Riemanniana chama-se toro plano. 21.

(32) Sejam M e M variedades Riemannianas e consideremos o produto M × M com a métrica produto. Sejam ∇1 e ∇2 as conexões, respectivamente, de M e M . Denotaremos por ∇ a conexão Riemanniana de M × M definida por ∇Y1 +Y2 (X1 + X2 ) = ∇1 Y1 X1 + ∇2 Y2 X2 , ∀ X1 , Y1 ∈ X (M ) e X2 , Y2 ∈ X (M ). Tal conexão chama-se conexão produto.. 1.6. O Teorema de Green-Stokes. Nesta se¸cão, apresentaremos alguns fatos sobre Análise Complexa, os quais serão u ´teis na demonstra¸cão do Teorema Principal, além de auxiliar para o entendimento do próximo cap´ıtulo. Defini¸ c˜ ao 1.6.1. Seja f : U ⊂ C → C definida por f (z) = u(x, y) + iv(x, y). Dizemos que f é C k , se as fun¸cões u(x, y) e v(x, y) s˜ ao C k . Se u e v s˜ ao C ∞ , dizemos que f é ∞ C . Aqui estamos identificando z = x + iy = (x, y). Lema 1.6.1. Sejam P : U ⊂ C → C e Q : U ⊂ C → C fun¸c˜ oes C ∞ definidas num aberto U ⊂ C, então existem fun¸cões g e h ∈ C ∞ , tais que P dx + Qdy = gdz + hdz. Demonstra¸c˜ ao. Sabemos que, para z = x + iy, dz = dx + idy dz = dx − idy. Logo . dz + dz dz − dz P dx + Qdy = P +Q 2 2i P P Q Q = dz + dz + dz − dz 2 2i 2i 2 iP + Q iP − Q = dz + dz. 2i 2i Tomando g =. iP + Q iP − Q eh= vemos que g e h são fun¸cões C ∞ e, além disso, 2i 2i P dx + Qdy = gdz + hdz.. Usando as expressões acima, obtemos Lema 1.6.2. dz ∧ dz = −2idxdy. 22. (1.11).

(33) Demonstra¸c˜ ao. (dz ∧ dz) = (dx + idy) ∧ (dx − idy) = (dx ∧ dx) − i(dx ∧ dy)) + i(dy ∧ dx) − i2 (dy ∧ dy). Como (dx ∧ dx) = 0 = (dy ∧ dy) e (dy ∧ dx) = −(dx ∧ dy) temos dz ∧ dz = −2i(dx ∧ dy) = −2idxdy.. Defini¸ c˜ ao 1.6.2. Seja U ⊂ C um subconjunto n˜ ao-vazio e aberto. Dizemos que U é um dom´ınio, se U for conexo. Defini¸ c˜ ao 1.6.3. Suponhamos que U ⊂ C seja um dom´ınio e B ⊂ U um conjunto compacto, cuja fronteira ∂B consiste de um n´ umero finito de curvas de Jordan suaves por partes e tal que B − ∂B é um dom´ınio. Para cada uma dessas curvas, adotaremos o sentido de percurso tal que o interior de B est´ a sempre a esquerda quando a percorremos. Nesssas condi¸cões, dizemos que B e ∂B têm orienta¸c˜ oes compat´ıveis. Teorema 1.6.1. (Teorema de Green-Stokes Complexo). Sejam f e g fun¸c˜ oes C ∞ definidas num dom´ınio U ⊂ C. Seja B um conjunto compacto cuja fronteira, ∂B, consiste de um n´ umero finito de curvas de Jordan suaves por partes. Além disso, suponhamos que B − ∂B seja um dom´ınio, com B e a ∂B tendo orienta¸c˜ oes compat´ıveis. Ent˜ ao Z ZZ ∂h ∂g − dz ∧ dz. gdz + hdz = ∂z ∂z ∂B B ∂f 1 ∂f ∂f ∂f 1 ∂f ∂f Demonstra¸c˜ ao. Como = +i e = −i , usando o Lema ∂z 2 ∂x ∂y ∂z 2 ∂x ∂y 1.6.2, obtemos ZZ B. ∂h ∂g − ∂z ∂z. . 1 ∂h ∂h ∂g ∂g dz ∧ dz = −i − +i (−2idxdy) ∂x ∂y ∂x ∂y B 2 ZZ ∂h ∂h ∂g ∂g = −i − +i − dxdy ∂x ∂y ∂x ∂y B ZZ ∂g ∂h ∂g ∂h = i −i − + dxdy. ∂x ∂x ∂y ∂y B ZZ. Definindo P = g + h e Q = ig − ih,. (1.12). vemos ZZ B. ∂h ∂g − ∂z ∂z. . ZZ dz ∧ dz = B. 23. ∂Q ∂P − ∂x ∂y. dxdy..

(34) Usando o Teorema de Green-Stokes , tem-se ZZ Z ∂h ∂g P dx + Qdy. − dz ∧ dz = ∂z ∂z B ∂B iP + Q iP − Q Agora, por (1.12), temos que g = eh= . Logo, utilizando o Lema 1.6.2, 2i 2i obtemos Z ZZ ∂h ∂g gdz + hdz. − dz ∧ dz = ∂z ∂z ∂B B. Defini¸ c˜ ao 1.6.4. Sejam ϕ : U ⊂ C → C uma fun¸c˜ ao definida num dom´ınio U em torno da origem e D um disco centrado em 0 e raio r. Sejam z0 ∈ D e B(a) = D − B(z0 , a). Definimos ZZ ZZ ϕ ϕ dz ∧ dz = lim dz ∧ dz, a→0 D z − z0 B(a) z − z0 se o limite existir. Proposi¸ c˜ ao 1.6.1. Existe o limite dado pela defini¸c˜ ao 1.6.4.. Figura 1.1: Defini¸cão da região B(a) Demonstra¸c˜ ao. Fa¸camos a seguinte mudan¸ca de coordenadas: z = z0 + reiθ . Assim z = x + iy = (x0 + rcosθ) + i(y0 + rsenθ), onde z0 = x0 + iy0 . Dessa forma, x = x0 + rcosθ 24.

(35) y = y0 + rsenθ e, conseq¨ uentemente, dx = (cosθ)dr − (rsenθ)dθ dy = (senθ)dr + (rcosθ)dθ. Usando o Lema 1.6.2, temos dz ∧ dz = = = = = =. −2i(dx ∧ dy) −2i((cosθ)dr − (rsenθ)dθ) ∧ (senθ)dr + (rcosθ)dθ) −2i(rcos2 θ)dr ∧ dθ − (rsen2 θ)dθ ∧ dr −2i(rcos2 θ)dr ∧ dθ + (rsen2 θ)dr ∧ dθ −2irdr ∧ dθ −2irdrdθ.. Fazendo a mudan¸ca de variável, obtemos ZZ ZZ ϕ(z) ϕ(z) dz ∧ dz = lim dz ∧ dz a→0 D z − z0 B(a) z − z0 ZZ ϕ(z0 + reiθ ) (−2irdrdθ) = lim a→0 reiθ B1 (a) ZZ ϕ(z0 + reiθ ) = lim (−2idrdθ), a→0 eiθ B1 (a) onde B1 (a) é a região obtida através da mudan¸ca de coordenadas de B(a).. 1.7. A Demonstra¸c˜ ao do Teorema de H. Hopf. Provaremos o Teorema de H. Hopf, que é um dos objetivos do trabalho, o qual tem o seguinte enunciado: Teorema 1.7.1. Seja M uma superf´ıcie compacta de gênero zero imersa em R3 com curvatura média H constante. Então M é isométrica ` a esfera redonda. Antes de definirmos a forma quadrática de Hopf, necessitaremos estabelecer alguns fatos. Sejam (u, v) parâmetros isotérmicos em um conjunto aberto U ⊂ R2 e X : U ⊂ R2 → M uma parametriza¸cão compat´ıvel com a orienta¸cão do campo de vetores normais N de M e consideremos a segunda forma fundamental para superf´ıcies II = edu2 + 2f dudv + gdv 2 , onde e = hN, Xuu i, f = hN, Xuv i e g = hN, Xvv i.. 25. (1.13).

(36) A curvatura Gaussiana e a curvatura média em tal sistema de parâmetros são dadas, respectivamente, por eg − f 2 K = k1 k2 = E2 1 e+g H = (k1 + k2 ) = , 2 2E onde E = hXu , Xu i. As linhas de curvatura são dadas por −f du2 + (e − g)dudv + f dv 2 = 0. As equa¸cões de Codazzi são ev − fu = fv − gu = − Como EH =. Ev (e + g) = Ev H 2E Eu (e + g) = −Eu H. 2E. e+g , vemos que 2 Ev H = −EHv +. ev + gv 2. eu + gu . 2 Portanto, as equa¸cões de Codazzi podem ser escritas como Eu H = −EHu +. (. e−g )u + fv = EHu 2. e−g )v − fu = −EHv 2 Vamos reescrever (1.13) em parâmetros complexos. Inicialmente, observamos que (. e 1 g (dz + dz)2 − if (dz + dz)(dz − dz) − (dz − dz)2 4 2 4 e 1 g 2 2 2 2 = (dz + 2dzdz + dz ) − if (dz − dz ) − (dz 2 − 2dzdz + dz 2 ) 4 2 4 e−g 1 1 e−g 1 2 = − if dz + (e + g)dzdz + + if dz 2 . 4 2 2 4 2. II =. Agora, fazendo ψ(z, z) =. e−g e+g − if e φ(z, z) = , vemos que 2 2 1 II = (ψdz 2 + 2φdzdz + ψdz 2 ). 2. A expressão H = ψdz 2 é chamada a forma quadrática de Hopf. 26.

(37) Nosso objetivo é mostrar que, se H é constante, então a diferencial de Hopf H é holomorfa sobre M . Além disso, os zeros de H são isolados e coincidem com os pontos umb´ılicos da superf´ıcie, a menos que a superf´ıcie seja umb´ılica. Analisaremos a fun¸cão ψ(z, z) definida acima. Inicialmente, notemos que 2 e−g e2 − 2eg + g 2 + 4f 2 (e2 + 2eg + g 2 ) − 4(eg − f 2 ) 2 |ψ| = + f2 = = 2 4 4 2 e+g − (eg − f 2 ) = E 2 H 2 − E 2 K = E 2 (H 2 − K). = 2 Utilizamos na pen´ ultima igualdade o fato de (u, v) serem parâmetros isotérmicos. Da´ı, decorre que 2 |ψ|2 1 2 1 2 k1 − k2 2 2 = (k1 + 2k1 k2 + k2 − 4k1 k2 ) = (k1 − 2k1 k2 + k2 ) = , E2 4 4 2 donde

(38)

(39) |ψ|

(40)

(41) k1 − k2

(42)

(43) = . |E|

(44) 2

(45). (1.14). Portanto, os pontos umb´ılicos (k1 = k2 ) de uma superf´ıcie M são os zeros de ψ. Por outro lado, observe que e−g 2 2 2 Im{ψ(dz) } = Im − if (du + 2idudv − dv ) = (e − g)dudv − f du2 + f dv 2 . 2 Logo as linhas de curvatura são determinadas por Im{ψ(dz)2 } = 0.. (1.15). Utilizando as equa¸cões de Codazzi, obtemos e−g + fv = EHu , 2 u e−g − fu = −EHv . 2 v Da´ı i. e−g 2. . − fu + v. . e−g 2. . + fv = E[Hu − iHv ], u. o que implica, ψz = EHz . O fato de H ser holomorfa é equivalente a curvatura média ser constante. Além disso, φ não depende da mudan¸ca de parâmetros. Com efeito, e−g 1 − if = − (Xu Nu − Xv Nv ) − i(Xu Nu + Xv Nv ) 2 2 1 = − (Xu − iXv )(Nu − iNv ) = −2Xz Nz . 2. ψ(z, z) =. 27.

(46) Se w é outro parâmetro complexo e φ(w, w) denota outra fun¸cão definida como a fun¸cão dw dw ψ(z, z), então φ = −2Xw Nw . Como Xz = Xw e Nz = Nw , segue que dz dz 2 2 dw dw dw dw = −2Xw Nw =φ . ψ = −2Xz Nz = −2Xw Nw dz dz dz dz Logo ψdz 2 = φdw2 , o que demonstra o afirma¸cão. Falta mostrar que ψ é identicamente nula para concluirmos que a superf´ıcie é uma esfera redonda. De fato, precisaremos do seguinte Teorema 1.7.2. Dada uma superf´ıcie compacta M de gênero 0, não existe diferencial quadr´ atica holomorfa ψdz 2 não-nula. Demonstra¸c˜ ao. Ver [6], página 140. Assim ψ é identicamente nula, donde segue por (1.14) que a superf´ıcie é umb´ılica. Como a superf´ıcie é compacta temos que M é uma esfera, o que conclui nossa afirma¸cão. Agora daremos uma segunda prova para o Teorema de H. Hopf, a qual é considerada mais interessante, pois a idéia dessa demonstra¸cão será utilizada na prova do Teorema Principal do nossa disserta¸cão. Antes precisaremos de alguns fatos. Inicialmente, notemos que (1.15) é equivalente a argψ + 2arg dz = mπ. m ∈ Z ou arg dz =. mπ 1 − arg ψ, 2 2. (1.16). onde dz é o elemento tangente das linhas de curvatura. Defini¸ c˜ ao 1.7.1. Dizemos que um campo de linhas tem singularidade em um ponto p, se é imposs´ıvel estender o campo para p continuamente. Defini¸ c˜ ao 1.7.2. Seja α : [0, l] → R2 uma curva plana fechada. Definiremos por ´ındice de rota¸c˜ ao da curva α, o n´ umero inteiro m tal que Z l k(s)ds = 2πm, 0. onde k é a curvatura da curva. Defini¸ c˜ ao 1.7.3. O ´ındice j de uma singularidade isolada é definido como segue. Sejam p uma singularidade isolada de um campo de elementos de linha e C uma curva simples fechada tais que 1. p é a u ńica singularidade no interior de C; 2. N˜ ao existem singularidades em C.. 28.

(47) Seja p um ponto umb´ılico isolado. Então p é uma singularidade isolada de cada uma das duas fam´ılias de linhas de curvatura (uma fam´ılia correspondente a k1 e a outra a k2 , onde mantemos a conven¸cão k1 ≥ k2 ). Portanto p tem ´ındice com respeito a cada uma dessas fam´ılias, como cada linha da fam´ılia são ortogonais, segue imediatamente da defini¸cão do ´ındice que os dois ´ındices são iguais. Logo, o ´ındice de pontos isolados umb´ılicos está definido e satisfaz j=. 1 δ(argdz), 2π. onde δ significa a varia¸cão em volta de p em uma pequena curva no sentido positivo e dz tem a expressão dada em (1.16). Como o n´ umero inteiro m não varia, segue que j=−. 1 1 δ(argψ). 2π 2. Teorema 1.7.3. Sejam R uma regi˜ ao contida em uma superf´ıcie com curvatura média constante, U o conjunto dos pontos umb´ılicos e p ∈ U . Ent˜ ao 1. p é um ponto interior de U ; 2. p é um ponto isolado de U e o ´ındice de p é negativo. Demonstra¸c˜ ao. Podemos supor, sem perda de generalidade, que R está contida na imagem da parametriza¸cão. Por (1.14), U é o conjunto dos zeros da fun¸cão ψ definida em sistema de coordenadas, a qual é holomorfa , pois a curvatura média é constante . Portanto, ou ψ ≡ 0 e todos os pontos pertencem a U ou ψ 6= 0 e p é um ponto isolado de U . Neste caso, podemos aplicar a defini¸cão 1.7. Como ψ é anal´ıtica, temos ψ(z) = cz n + ..., onde c 6= 0, n ≥ 1. Portanto, δ(argψ) = 2πn. Conseq¨ uentemente, j=−. 1 1 n δ(argψ) = − < 0, 2π 2 2. como quer´ıamos demonstrar. Teorema 1.7.4. (Poincaré) Se F é um campo de elementos de linha em M com um n´ umero finito de singularidades , ent˜ ao X j = 2 − 2g, onde g é o gênero de M . Demonstra¸c˜ ao. Ver [6], página 113. Observa¸ c˜ ao 1.7.1. Segue do Teorema 1.7.4 que qualquer campo na superf´ıcie tem pelo menos uma singularidade. Caso tenha no m´ aximo um n´ umero finito de singularidades, ent˜ ao tem pelo menos uma singularidade de ´ındice positivo. 29.

(48) Além disso, podemos provar o Teorema de H.Hopf da seguinte maneira: A equa¸cão quadrática Im(ψdz 2 ) = 0 determina dois campos de dire¸cões, cujas singularidades são os zeros de ψ. Sejam U o conjunto de pontos umb´ılicos de M e U ∗ o conjunto de todos os pontos interiores de U . Então U ∗ é aberto e fechado, o que implica U ∗ = ∅ ou U ∗ = M . Como ψ é holomorfa, se z0 é um zero de ψ, então ψ ≡ 0 em uma vizinhan¸ca V de z0 ou ψ = (z − z0 )k fk (z), z ∈ V , k ≥ 1, onde fk é uma fun¸cão de z com fk (z0 ) 6= 0. Neste u ´ltimo caso, z0 é uma singularidade isolada do campo de dire¸cões e o ´ındice é (−k/2), pelo Teorema 1.7.3. Logo ψ ≡ 0 em M e temos que M é uma esfera redonda ou todas as singularidades são isoladas e temos ´ındice negativo. Como g = 0, pelo Teorema 1.7.4, a soma dos ´ındices de todas as singularidades para qualquer campo de dire¸cões é 2 (portanto positivo). Isto é uma contradi¸cão. Assim ψ ≡ 0 em M . O que demonstra nossa afirma¸cão.. 30.

(49) Cap´ıtulo 2 O Teorema de Alencar, do Carmo e Tribuzy Neste cap´ıtulo demonstraremos o resultado principal do nosso trabalho. Analisaremos o mesmo problema estudado por Abresch e Rosenberg em 2004 com uma significativa mudan¸ca, a saber: a curvatura média não é assumida constante, mas satisfaz |dH| ≤ g|Q(2,0) |, onde |dH| é a norma da diferencial da curvatura média H de M e g é uma fun¸cão real, cont´ınua e não-negativa. Na se¸cão 2.1, usaremos cartas isotérmicas para calcularmos a diferencial ZQ(Z, Z), cuja expressão nos garante a generaliza¸cão do Teorema de Abresch-Rosenberg. Na se¸cão 2.2, provaremos o Lema Principal, o qual nos dará condi¸cões para conclu´ırmos a demonstra¸cão do resultado principal da nossa disserta¸cão. Demonstraremos, na se¸cão 2.3, o Teorema de Alencar, do Carmo e Tribuzy.. 2.1. A Demonstra¸c˜ ao do Teorema de Alencar, do Carmo e Tribuzy. Nesta se¸cão, demontraremos o principal resultado do nosso trabalho, mas antes exibiremos o Teorema de Abresch e Rosenberg, cujo enunciado é o seguinte: Teorema 2.1.1. (Abresch-Rosenberg-2004) Sejam M uma superf´ıcie imersa em M 2 (c)× R e Q uma forma quadrática definida por Q(X, Y ) = 2Hα(X, Y ) − c hξX, ξY i , onde M 2 (c) é uma variedade Riemanniana com curvatura c, X e Y s˜ ao vetores tangentes a M , α é a segunda forma fundamental, H é a curvatura média e ξ : M 2 (c) × R → R é a proje¸c˜ ao natural sobre R, isto é, ξ(p, t) = t; p ∈ M 2 (c), t ∈ R. Se a curvatura média H é constante, então Q(2,0) é uma forma quadr´ atica holomorfa. Como conseq¨ uência, se M é uma superf´ıcie compacta de gênero zero, ent˜ ao M é uma superf´ıcie mergulhada invariante por rota¸cões no espa¸co ambiente. Demonstra¸c˜ ao. Ver [1]. Agora provaremos o resultado principal da nossa disserta¸cão, a saber: 31.

(50) Teorema 2.1.2. (Teorema de Alencar, do Carmo e Tribuzy) Seja M uma superf´ıcie compacta de gênero zero imersa em M 2 (c) × R. Suponhamos que |dH| ≤ h(z)|Q(2,0) |, onde |dH| é a norma da diferencial da curvatura média H de M , h é uma fun¸c˜ ao real (2,0) cont´ınua, não-negativa e Q é a parte (2, 0) da forma quadr´ atica definida por Abresch (2,0) e Rosenberg. Então Q é identicamente nula e M é uma superf´ıcie invariante por rota¸c˜ oes em M 2 (c) × R. O resultado acima generaliza o Teorema 2.1.1, pois não temos a hipótese da curvatura média ser constante. Sejam (u, v) parâmetros isotérmicos em um conjunto aberto U ⊂ M , z = u + iv, z = 1 u − iv, dz = du + idv e dz = du − idv. Visto que Q(2,0) = ψ(z)(dz)2 , assumiremos que 2 exista um ponto z0 ∈ U tal que ψ(z0 ) = 0. Definamos 1 ∂ ∂ 1 ∂ ∂ Z=√ −i eZ= √ +i . ∂v ∂v 2 ∂u 2 ∂u Como (u, v) são parâmetros isotérmicos, temos h. ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ , i = h , i = λ2 , h , i = 0 e hZ, Zi = λ2 . ∂u ∂u ∂v ∂v ∂u ∂v. Note que Q(Z, Z) = ψ(z) e |Q(Z, Z)| = |ψ(z)|. Para futuros propósitos vamos considerar o espa¸co ambiente M n (c)×R, onde M n (c) é uma variedade Riemanniana com curvatura seccional constante c. Seja M uma variedade imersa em M n (c) × R. Consideremos → − Q(X, Y ) = 2hα(X, Y ), H i − chξ(X), ξ(Y )i,. (2.1). → − onde H = HN é o vetor curvatura média da imersão, α é a segunda forma fundamental e ξ : M n (c) × R → R é a proje¸cão ξ(p, t) = t. Inicialmente, observenos que → − ∂ψ = ZQ(Z, Z) = 2Zhα(Z, Z), H i − cZhξ(Z), ξ(Z)i. ∂z O primeiro termo nos dá → − → − → − 2Zhα(Z, Z), H i = 2h∇⊥ α(Z, Z), H i + 2hα(Z, Z), ∇⊥ H i. Z Z Por defini¸cão (∇Z⊥ α)(Z, Z) = ∇⊥ α(Z, Z) − 2α(∇Z Z, Z) = ∇⊥ Z α(Z, Z), Z pois ∇Z Z = ∇Z Z = 0. 32.

(51) Com efeito, utilizando o fato da conexão ser simétrica, temos ∇Z Z − ∇Z Z = [Z, Z]. Por outro lado, [Z, Z] = 0. Com efeito, [Z, Z](f ) = ZZ(f ) − ZZ(f ) ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = −i +i (f ) − +i −i (f ) ∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v ∂2f ∂2f ∂2f ∂2f ∂2f ∂2f ∂2f ∂2f = + i + − i − + i − i − ∂u2 ∂u∂v ∂v 2 ∂u∂v ∂u2 ∂u∂v ∂u∂v ∂v 2 = 0. Isto implica ∇Z Z = ∇Z Z. Agora, podemos escrever ∇Z Z = aZ + bZ Visto que hZ, Zi = 0, temos 1 0 = ZhZ, Zi = h∇Z Z, Zi = bλ2 . 2 Da´ı, segue que b = 0 e ∇Z Z = aZ. Analogamente, como hZ, Zi = 0, 1 0 = ZhZ, Zi = h∇Z Z, Zi = aλ2 . 2 Temos que a = 0 e, portanto, ∇Z Z = ∇Z Z = 0, como hav´ıamos afirmado. Logo → − → − → − 2Zhα(Z, Z), H i = 2h(∇⊥ α)(Z, Z), H i + 2hα(Z, Z), ∇⊥ H i. Z Z e a curvatura do espa¸co ambiente, Usando a equa¸cão de Codazzi e denotando por R obtemos → − → − → − → ⊥− e 2Zhα(Z, Z), H i = 2h(∇⊥ Z α)(Z, Z), H i + 2hR(Z, Z)Z, H i + 2hα(Z, Z), ∇Z H i. Vamos calcular cada termo da u ´ltima igualdade. Lema 2.1.1. Com respeito à nota¸cão acima , temos → − → − e hR(Z, Z)Z, H i = cλ2 hξZ, ξ H i.. 33.

(52) Demonstra¸c˜ ao. Seja π : M n (c) × R → R definida por π(p, t) = p. Indentificaremos, por conveniência de nota¸cão, π e ξ com suas respectivas derivadas. Portanto X = πX + ξX. Como o espa¸co ambiente é um produto de espa¸cos, sendo cada espa¸co com curvatura e é dada por seccional constante, temos que a curvatura R → − → − → − e hR(Z, Z)Z, H i = c{hπZ, πZihπZ, π H i − hπZ, πZihπZ, π H i}. e isto é, Vamos calcular os termos de R, hπZ, πZi = hZ − ξZ, Z − ξZi = hZ, Zi − hZ, ξZi − hξZ, Zi + hξZ, ξZi = λ2 − hπZ + ξZ, ξZi − hξZ, πZ + ξZi + hξZ, ξZi. Assim, hπZ, πZi = λ2 − hξZ, ξZi. Por outro lado, como hZ, N i = 0, temos → − → − → − hπZ, π H i = hZ − ξZ, H − ξ H i → − → − → − → − = hZ, H i − hZ, ξ H i − hξZ, H i + hξZ, ξ H i → − → − → − = −hZ, ξ H i − hξZ, H i + hξZ, ξ H i → − = −hξZ, ξ H i. Portanto, o primeiro termo do lado direito de (2.2) torna-se → − → − hπZ, πZihπZ, π H i = −(λ2 − hξZ, ξZi)(hξZ, ξ H i) → − → − = −λ2 hξZ, ξ H i + hξZ, ξZihξZ, ξ H i. No caso do segundo termo, usando o fato hZ, Zi = 0, obtemos, hπZ, πZi = h Z − ξZ, Z − ξZi = −h Z, ξZi − hξZ, Zi + hξZ, ξZi. Fazendo cálculos análogos aos anteriores, conclu´ıremos que hπZ, πZi = −hξZ, ξZi. Analogamente, Portanto. → − → − → − → − hπZ, π H i = hZ − ξZ, H − ξ H i = −hξZ, ξ H i. → − → − hπZ, πZihπZ, π H i = hξZ, ξZihξZ, ξ H i.. Disto segue que → − → − → − → − e hR(Z, Z)Z, H i = c{−λ2 hξZ, ξ H i + hξZ, ξZihξZ, ξ H i − hξZ, ξZihξZ, ξ H i} → − = −cλ2 hξZ, ξ H i. 34. (2.2).

(53) Finalmente, usando a simetria do tensor curvatura, conclu´ımos que → − − → e hR(Z, Z)Z, H i = cλ2 hξZ, ξ H i, o que conclui a prova do Lema 2.1.1. Voltando ao cálculo de ZQ(Z, Z), temos → − → − → 2 ⊥− ZQ(Z, Z) = 2h(∇⊥ Z α)(Z, Z), H i + 2cλ hξZ, ξ H i + 2hα(Z, Z), ∇Z H i − cZhξZ, ξZi. Precisamos de mais um resultado auxiliar, a saber: → − Lema 2.1.2. cZhξZ, ξZi = 2cλ2 hξZ, ξ H i. Demonstra¸c˜ ao. Com efeito, inicialmente observemos que α(Z, Z) = ∇Z Z − (∇Z Z)T = ∇Z Z, pois ∇Z Z = 0. Como o espa¸co ambiente é o produto M n (c)×R com as proje¸cões naturais π e ξ, podemos escrever ∇Z Z = ∇Z (ξZ + πZ) = ∇1Z (ξZ) + ∇2Z (πZ), onde ∇1 e ∇2 são as conexões de R e M n (c), respectivamente . Portanto, ξα(Z, Z) = ξ∇Z Z = ξ∇1Z (ξZ) + ξ∇2Z (πZ) = ∇1Z (ξZ). Da´ı, hξα(Z, Z), ξZi = h∇1Z (ξZ), ξZi = h∇Z (ξZ), ξZi. Agora, observemos que ZhξZ, ξZi = 2h∇Z (ξZ), ξZi = 2hξα(Z, Z), ξZi. ∂ 1 ∂ Seja E = √ (e1 −ie2 ), onde e1 e e2 são os vetores unitários de e , respectivamente. ∂u ∂v 2 Assim, Z = λE e e1 − ie2 e1 + ie2 2 2 √ α(Z, Z) = λ α(E, E) = λ α , √ 2 2 2 → − λ = {α(e1 , e1 ) + α(e2 , e2 )} = λ2 H . 2 Logo. → − ZhξZ, ξZi = 2h∇Z (ξZ), ξZi = 2hξα(Z, Z), ξZi = λ2 hξ H , ξZi,. o que conclui a prova do Lema 2.1.2. Segue dos cálculos acima que → − → − → 2 ⊥− ZQ(Z, Z) = 2h(∇⊥ Z α)(Z, Z), H i + 2cλ hξZ, ξ H i + 2h(α(Z, Z), ∇Z H i − cZhξZ, ξZi. 35.

(54) Assim, utilizando novamente o Lema 2.1.2, obtemos que → − → ⊥− ZQ(Z, Z) = 2h(∇⊥ Z α)(Z, Z), H i + 2h(α(Z, Z), ∇Z H i. Calcularemos o primeiro termo do lado direito da u ´ltima iguadade acima. Por defini¸cão, ⊥ (∇⊥ Z α)(Z, Z) = ∇Z (α(Z, Z)) − α(∇Z Z, Z) − α(Z, ∇Z Z) → − = Z(hZ, Zi H ) − α(Z, ∇Z Z),. → − onde estamos usando os seguintes fatos: α(Z, Z) = λ2 H e ∇Z Z = 0. Portanto, → − → − → ⊥− (∇⊥ Z α)(Z, Z) = h∇Z Z, Zi H + hZ, ∇Z Zi H + hZ, Zi∇Z H − α(Z, ∇Z Z). Agora, seja E definido como na demonstra¸cão do Lema 2.1.2. Então qualquer vetor complexo em M é dado por X = ξE, onde ξ é um n´ umero complexo. Portanto, se Y = ηE, então → − α(X, Y ) = ξηα(E, E) = hX, Y i H . Tomando X = ∇Z Z e Y = Z acima, temos → − → → − → ⊥− ⊥− (∇⊥ Z α)(Z, Z) = hZ, ∇Z Zi H + hZ, Zi∇Z H − h∇Z Z, Zi H = hZ, Zi∇Z H . Voltando ao cálculo de ZQ(Z, Z), obtemos finalmente → − − → → ⊥− ZQ(Z, Z) = 2hhZ, Zi∇⊥ Z H , H i + 2hα(Z, Z), ∇Z H i.. (2.3). Notemos que o lado direito da equa¸cão é expresso em termos da derivada covariante do vetor curvatura média. Observa¸ c˜ ao 2.1.1. Obtemos a seguinte generaliza¸c˜ ao do Teorema 1 de Abresch eRosenberg, ver [1]. Seja M uma superf´ıcie imersa em M n (c) × R tal que o vetor → − curvatura média H é paralelo no fibrado normal. Introduzindo uma estrutura complexa em M compat´ıvel com a métrica induzida. Ent˜ ao a parte (2, 0) da forma quadr´ atica em M → − Q(X, Y ) = 2hα(X, Y ), H i − chξX, ξY i é holomorfa. Aqui α é a segunda forma fundamental da imers˜ ao e ξ é a proje¸c˜ ao do espa¸co ambiente sobre R. Uma questão natural: quais superf´ıcies em M n (c) × R satisfazem a condi¸cão que a forma quadrática acima é holomorfa? Antes da prova do Teorema de Alencar, do Carmo e Tribuzy vamos particularizar para n = 2 a expressão (2.3). Como a codimensão é um, segue que ∇⊥ XN = 0 ∀ X ∈ T M, onde N é o vetor unitário normal da superf´ıcie M . Portanto → − (HN ) = (ZH)N. ∇Z⊥ H = ∇⊥ Z 36.

(55) Assim ZQ(Z, Z) = 2λ2 Z(H)H + 2α(Z, Z)(ZH). Como |Z(H)| = |dH(Z)| ≤ |dH||Z| = |dH|λ, temos, analogamente, que |Z(H)| = |dH(Z)| ≤ |dH||Z| = |dH|λ, temos |ZQ(Z, Z)| ≤ {2λ3 |H| + 2λ|α(Z, Z)|}|dH|. Por hipótese do teorema, |dH| ≤ g|Q(2,0) |. Portanto, obtemos |ZQ(Z, Z)| ≤ h(Z)|Q(Z, Z)|, onde h(Z) = g{2λ3 |H| + 2λ|α(Z, Z)|} é uma fun¸cão cont´ınua não-negativa. Então podemos aplicar o Lema Principal, cujo enunciado é o seguinte: Lema 2.1.3. (Lema Principal) Seja f : U ⊂ C → C uma fun¸c˜ ao complexa definida em um aberto U do plano complexo que contém a origem z = 0. Suponhamos que

(56)

(57)

(58) ∂f

(59)

(60)

(61) ≤ h(z)|f (z)|, (2.4)

(62) ∂z

(63) onde h é uma fun¸cão real cont´ınua, n˜ ao-negativa. Assumamos que z = z0 é um zero de f . Ent˜ ao f = 0 em uma vizinhan¸ca de V ⊂ U de z0 ou f (z) = (z − z0 )k fk (z), z ∈ V, k ≥ 1. Aqui fk (z) é uma fun¸cão cont´ınua com fk (z0 ) 6= 0. A demonstra¸cão do Lema Principal encontra-se na se¸cão posterior. Seja U ⊂ M um conjunto aberto coberto por coordenadas isotérmicas. Assumamos que o conjunto dos zeros de Q(Z, Z) em U é não-vazio e seja z0 ∈ U um zero de Q(Z, Z). Pelo Lema Principal, Q(Z, Z) é identicamente nula em uma vizinhan¸ca V de z0 ou os zeros são isolados e o ind´ıce de campos de dire¸cões determinado por Im[Q(Z, Z)dz 2 ] = 0 é (−k/2) (portanto negativo). Se para alguma vizinhan¸ca coordenada V de zero, Q(Z, Z) = 0, isto será para qualquer M . Caso contrário, os zeros na vizinhan¸ca de V iram contradizer o Lema Principal. Então, se Q(Z, Z) não é identicamente nula, todos os zeros são isolados e segue-se que o ´ındice é negativo. Como M tem gênero zero a soma dos ´ındices de singularidades de qualquer campo de dire¸cões é 2 (portanto positivo). Isto é uma contradi¸cão. Logo Q(Z, Z) é identicamente nula. Usando a classifica¸cão de AbreschRosenberg, segue o Teorema Principal. Observa¸ c˜ ao 2.1.2. Na verdade o resultado de Alencar, do Carmo e Tribuzy é o seguinte: ou o conjunto de zeros de Q(2,0) é vazio ou em uma vizinhan¸ca V do zero de Q(2,0) , onde a condi¸c˜ ao |dH| ≤ g|Q(2,0) | vale, temos duas possibilidades: 1. Q(2,0) ≡ 0 em V ou 2. Tal zero é isolado em algum campo de dire¸c˜ ao em V tem uma singularidade isolada neste ponto com ´ındice negativo. Dessa forma, a condi¸c˜ ao pode ser aplicada para a imersão de gênero um em uma superf´ıcie M satisfazendo |dH| ≤ g|(2,0) | para concluir que o conjunto de zeros de Q(2,0) é identicamente zero ou vazio em M .. 37.