Ministério da Educação
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
Campus Curitiba
Diretoria de Graduação e Educação Profissional
Departamento Acadêmico de Estatística
Disciplina: Probabilidade e Estatística (MA70H) - Turma:______________ Profª Silvana Heidemann Rocha
Estudante: _______________________________________ Código: ______________ PRINCIPAIS MODELOS PROBABILÍSTICOS PARA
VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
(Modelo probabilístico = modelo de distribuição de probabilidade)
• Distribuição Uniforme Contínua • Distribuição Exponencial • Distribuição Normal • Distribuição T-Student • Distribuição Qui-Quadrado • Distribuição F de Fisher • Distribuição Weibull • Distribuição Gama • Distribuição Beta
1) Distribuição Uniforme Contínua ou Distribuição Retangular
Definição: Uma variável aleatória X segue o modelo Uniforme Contínuo, denotado por
X ~ Uc(a,b), se ela tem função densidade de probabilidade (f.d.p.) dada por
𝑓
𝑋(𝑥) = {
1
𝑏 − 𝑎
,
𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
0,
𝑥 < 𝑎 ou 𝑥 > 𝑏
Esperança matemática e variância:
E(X) = 𝑎+𝑏
2 V(X) =
(𝑏−𝑎)2 12
Exemplo
Devido à presença de quantidades variáveis de impureza, o ponto de fusão de certa substância, medido em graus Celsius, pode ser considerado uma variável aleatória contínua distribuída uniformemente no intervalo [100; 125]. Qual a probabilidade da substância fundir-se entre 110ºC e 115ºC?
a) Identifique a variável aleatória X de interesse, nesse experimento;
b) Indique o modelo de distribuição de probabilidades mais adequado para descrever o comportamento probabilístico de X, com os respectivos parâmetros;
c) Determine a função densidade de probabilidade de X, seu domínio, imagem e representação geométrica;
d) Determine a função de distribuição de X, seu domínio, imagem e representação geométrica;
e) Responda a questão do enunciado.
f) Determine a esperança matemática e a variância de X. Interprete essas medidas. g) Qual a probabilidade de observarmos um valor entre a média e dois desvios-padrões? Compare esse resultado com o obtido através da desigualdade de Chebyshev.
2) Distribuição Exponencial
Definição: Uma variável aleatória X segue o modelo Exponencial, denotado por
X ~ Exp(
𝜆
), se ela tem função densidade de probabilidade (f.d.p.) dada por𝑓
𝑋(𝑥) = {
𝜆𝑒
−𝜆𝑥
,
𝑥 ≥ 0
0,
𝑥 < 0
Esperança matemática e variância:
E(X) = 1
𝜆 V(X) =
1 𝜆2
Observação
•
𝜆
é a média de uma distribuição de Poisson ExemploA vida de certa marca de lâmpada tem distribuição aproximadamente Exponencial, com média de 1000 horas. Determine a percentagem de lâmpadas que queimarão antes de 1000 horas.
a) Identifique a variável aleatória X de interesse, nesse experimento;
b) Indique o modelo de distribuição de probabilidades mais adequado para descrever o comportamento probabilístico de X, com os respectivos parâmetros;
c) Determine a função densidade de probabilidade de X, seu domínio, imagem e representação geométrica;
d) Determine a função de distribuição de X, seu domínio, imagem e representação geométrica;
e) Responda a questão do enunciado.
f) Determine a esperança matemática e a variância de X. Interprete essas medidas. g) Qual a probabilidade de observarmos um valor entre a média e dois desvios-padrões? Compare esse resultado com o obtido através da desigualdade de Chebyshev.
h) Após quantas horas ter-se-ão queimado 50% das lâmpadas? Interprete esse valor. i) Calcule o primeiro quartil e o terceiro quartil.
3) Distribuição Normal ou Distribuição de Gauss
Definição: Uma variável aleatória X segue o modelo Normal, denotado por X ~ N(
𝜇, 𝜎
2), se ela tem função densidade de probabilidade (f.d.p.) dada por𝑓
𝑋(𝑥) =
1
𝜎
√
2𝜋
𝑒
−12(𝑥−𝜎𝜇)
2
, 𝑥 ∈ 𝑅, 𝜇 ∈ 𝑅 e 𝜎 ∈ 𝑅
+∗Esperança matemática e variância:
E(X) =
𝜇
V(X) =𝜎
23.1) Distribuição Normal Padronizada ou Distribuição Normal Padrão Na f.d.p. da distribuição Normal, se fizermos 𝑥−𝜇
𝜎
= 𝑧,
obtém-se a fórmula dadistribuição normal padronizada
𝑓
𝑍(𝑧) =
1
√
2𝜋
𝑒
−12𝑧2
, 𝑧 ∈ 𝑅
Esperança matemática e variância:E(X) =
0
V(X) =1
Exemplos
01) A vida útil de certo aparelho de televisão segue uma distribuição Normal com média de oito anos e desvio-padrão de 1,8 ano. O fabricante substitui os aparelhos que acusam defeito de fabricação dentro do prazo de garantia. Se ele deseja substituir no máximo 5% dos aparelhos vendidos por apresentarem defeitos de fabricação, qual deve ser o prazo de garantia?
a) Identifique a variável aleatória X de interesse, nesse experimento;
b) Indique o modelo de distribuição de probabilidades mais adequado para descrever o comportamento probabilístico de X, com os respectivos parâmetros;
c) Determine a função densidade de probabilidade de X, seu domínio, imagem e representação geométrica;
d) Determine a função de distribuição de X, seu domínio, imagem e representação geométrica;
e) Responda a questão do enunciado.
f) Determine a esperança matemática e a variância de X. Interprete essas medidas. g) Qual a probabilidade de observarmos um valor entre a média e dois desvios-padrões? Compare esse resultado com o obtido através da desigualdade de Chebyshev.
02) Se um conjunto de valores tem distribuição Normal, qual a porcentagem de valores que distam da média:
a) um desvio-padrão? b) dois desvios-padrões? c) três desvios-padrões?
03) Um fabricante alega que as baterias para automóveis produzidas por ele têm duração média de 950 dias, com um desvio-padrão de 65 dias, e segue distribuição Normal. Retirando-se, ao acaso, uma bateria de seu estoque, qual a probabilidade de que ela dure:
a) menos de 850 dias? b) Entre 850 e 1000 dias? c) Mais de 900 dias?
04) As moedas de 25 centavos de dólar têm pesos distribuídos normalmente com média de 5,67 gramas (g) e desvio-padrão de 0,070 g.
a) Se uma máquina automática de refrescos é ajustada de modo a rejeitar moedas de 25 centavos com peso inferior a 5,53 g ou superior a 5,81 g, qual a percentagem de moedas legais rejeitadas?
b) Determine os pesos de moedas legais aceitas se a máquina é reajustada de forma a rejeitar 1,5% das mais leves e 1,5% das mais pesadas.
Solução:
X: Massa, em gramas, de uma moeda de 25 centavos de dólar
X ~N (
𝜇 = 5,67; 𝜎
2= 0,07
2) → 𝑓
𝑋(𝑥) =
1 0,07√2𝜋𝑒
−1 2( 𝑥−5,67 0,07 ) 2, 𝑥 ∈ 𝑅
Fazendo𝑧 =
𝑥−5,67 0,07,
tem-se𝑓
𝑍(𝑧) =
1 √2𝜋𝑒
−12𝑧2, 𝑧 ∈ 𝑅
Gráfico 1 – Função densidade de probabilidade para a massa de uma moeda de 25 centavos de dólar, sendo que a massa segue distribuição Normal com média 5,67 gramas e desvio-padrão de 0,07 gramas
Fonte: Autoria própria.
Nota: Comandos do software estatístico R: curve(dnorm(x,mean=5.67,sd=0.07), from=5.32, to=6.02)
Gráfico 2 – Função densidade de probabilidade de uma variável aleatória com distribuição Normal Padrão
Fonte: Autoria própria.
a) 𝑧1 = 5,53−5,670,07 = −2 e 𝑧2 =5,81−5,670,07 = 2
𝑃(𝑋 < 5,53 ∪ 𝑋 > 5,81) = 𝑃(𝑍 < −2 ∪ 𝑍 > 2) = 𝑃(𝑍 < −2) + 𝑃(𝑍 > 2) ≅ ≅ 0,02275 + 0,02275 = 0,0455 ≅ 4,6%
Comandos do R
curve(dnorm(x,mean=0,sd=1), from=-5, to=5)
polygon(x=c(-5,seq(-5,-2,l=20),-2), y=c(0, dnorm(seq(-5,-2, l=20)),0), col="gray") polygon(x=c(2,seq(2,5,l=20),5), y=c(0, dnorm(seq(2,5, l=20)),0), col="gray")
b) 𝑃(𝑍 ≤ 𝑧1∪ 𝑍 ≥ 𝑧2) = 0,015 + 0,015 = 0,03 ⇒ 𝑃(𝑧1< 𝑍 < 𝑧2) = 0,97
Pela tabela da integral da normal padronizada, tem-se 𝑃(𝑍 < 𝑧2) = 1 − 0,015 = 0,985 ⇒ 𝑧2 = 2,17
Como 𝑧1 e 𝑧2 são equidistantes de zero, então 𝑧1 = −2,17.
Daí, vem:
𝑧
1=
𝑥10,07−5,67= −2,17
e𝑧
2=
𝑥20,07−5,67= 2,17
. Resolvendo ambas as equações, encontra-se:𝑥
1= 5,5181 𝑔
e𝑥
2= 5,8219 𝑔
Portanto,
𝑃(𝑧1 < 𝑍 < 𝑧2) = 𝑃(5,5181 < 𝑋 < 5,8219) = 0,97
Conclusão do item b
Caso a máquina seja reajustada para rejeitar 1,5% das moedas mais leves e 1,5% das mais pesadas, então as massas das moedas legais aceitas pela máquina estão entre 5,5181 gramas e 5,8219 gramas.