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Disciplina: Probabilidade e Estatística (MA70H) - Turma: Profª Silvana Heidemann Rocha Estudante: Código:

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Academic year: 2021

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Ministério da Educação

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

Campus Curitiba

Diretoria de Graduação e Educação Profissional

Departamento Acadêmico de Estatística

Disciplina: Probabilidade e Estatística (MA70H) - Turma:______________ Profª Silvana Heidemann Rocha

Estudante: _______________________________________ Código: ______________ PRINCIPAIS MODELOS PROBABILÍSTICOS PARA

VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA

(Modelo probabilístico = modelo de distribuição de probabilidade)

• Distribuição Uniforme Contínua • Distribuição Exponencial • Distribuição Normal • Distribuição T-Student • Distribuição Qui-Quadrado • Distribuição F de Fisher • Distribuição Weibull • Distribuição Gama • Distribuição Beta

(2)

1) Distribuição Uniforme Contínua ou Distribuição Retangular

Definição: Uma variável aleatória X segue o modelo Uniforme Contínuo, denotado por

X ~ Uc(a,b), se ela tem função densidade de probabilidade (f.d.p.) dada por

𝑓

𝑋

(𝑥) = {

1

𝑏 − 𝑎

,

𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏

0,

𝑥 < 𝑎 ou 𝑥 > 𝑏

Esperança matemática e variância:

E(X) = 𝑎+𝑏

2 V(X) =

(𝑏−𝑎)2 12

Exemplo

Devido à presença de quantidades variáveis de impureza, o ponto de fusão de certa substância, medido em graus Celsius, pode ser considerado uma variável aleatória contínua distribuída uniformemente no intervalo [100; 125]. Qual a probabilidade da substância fundir-se entre 110ºC e 115ºC?

a) Identifique a variável aleatória X de interesse, nesse experimento;

b) Indique o modelo de distribuição de probabilidades mais adequado para descrever o comportamento probabilístico de X, com os respectivos parâmetros;

c) Determine a função densidade de probabilidade de X, seu domínio, imagem e representação geométrica;

d) Determine a função de distribuição de X, seu domínio, imagem e representação geométrica;

e) Responda a questão do enunciado.

f) Determine a esperança matemática e a variância de X. Interprete essas medidas. g) Qual a probabilidade de observarmos um valor entre a média e dois desvios-padrões? Compare esse resultado com o obtido através da desigualdade de Chebyshev.

(3)

2) Distribuição Exponencial

Definição: Uma variável aleatória X segue o modelo Exponencial, denotado por

X ~ Exp(

𝜆

), se ela tem função densidade de probabilidade (f.d.p.) dada por

𝑓

𝑋

(𝑥) = {

𝜆𝑒

−𝜆𝑥

,

𝑥 ≥ 0

0,

𝑥 < 0

Esperança matemática e variância:

E(X) = 1

𝜆 V(X) =

1 𝜆2

Observação

𝜆

é a média de uma distribuição de Poisson Exemplo

A vida de certa marca de lâmpada tem distribuição aproximadamente Exponencial, com média de 1000 horas. Determine a percentagem de lâmpadas que queimarão antes de 1000 horas.

a) Identifique a variável aleatória X de interesse, nesse experimento;

b) Indique o modelo de distribuição de probabilidades mais adequado para descrever o comportamento probabilístico de X, com os respectivos parâmetros;

c) Determine a função densidade de probabilidade de X, seu domínio, imagem e representação geométrica;

d) Determine a função de distribuição de X, seu domínio, imagem e representação geométrica;

e) Responda a questão do enunciado.

f) Determine a esperança matemática e a variância de X. Interprete essas medidas. g) Qual a probabilidade de observarmos um valor entre a média e dois desvios-padrões? Compare esse resultado com o obtido através da desigualdade de Chebyshev.

h) Após quantas horas ter-se-ão queimado 50% das lâmpadas? Interprete esse valor. i) Calcule o primeiro quartil e o terceiro quartil.

(4)

3) Distribuição Normal ou Distribuição de Gauss

Definição: Uma variável aleatória X segue o modelo Normal, denotado por X ~ N(

𝜇, 𝜎

2), se ela tem função densidade de probabilidade (f.d.p.) dada por

𝑓

𝑋

(𝑥) =

1

𝜎

2𝜋

𝑒

−12(𝑥−𝜎𝜇)

2

, 𝑥 ∈ 𝑅, 𝜇 ∈ 𝑅 e 𝜎 ∈ 𝑅

+∗

Esperança matemática e variância:

E(X) =

𝜇

V(X) =

𝜎

2

3.1) Distribuição Normal Padronizada ou Distribuição Normal Padrão Na f.d.p. da distribuição Normal, se fizermos 𝑥−𝜇

𝜎

= 𝑧,

obtém-se a fórmula da

distribuição normal padronizada

𝑓

𝑍

(𝑧) =

1

2𝜋

𝑒

−12𝑧2

, 𝑧 ∈ 𝑅

Esperança matemática e variância:

E(X) =

0

V(X) =

1

Exemplos

01) A vida útil de certo aparelho de televisão segue uma distribuição Normal com média de oito anos e desvio-padrão de 1,8 ano. O fabricante substitui os aparelhos que acusam defeito de fabricação dentro do prazo de garantia. Se ele deseja substituir no máximo 5% dos aparelhos vendidos por apresentarem defeitos de fabricação, qual deve ser o prazo de garantia?

a) Identifique a variável aleatória X de interesse, nesse experimento;

b) Indique o modelo de distribuição de probabilidades mais adequado para descrever o comportamento probabilístico de X, com os respectivos parâmetros;

c) Determine a função densidade de probabilidade de X, seu domínio, imagem e representação geométrica;

d) Determine a função de distribuição de X, seu domínio, imagem e representação geométrica;

(5)

e) Responda a questão do enunciado.

f) Determine a esperança matemática e a variância de X. Interprete essas medidas. g) Qual a probabilidade de observarmos um valor entre a média e dois desvios-padrões? Compare esse resultado com o obtido através da desigualdade de Chebyshev.

02) Se um conjunto de valores tem distribuição Normal, qual a porcentagem de valores que distam da média:

a) um desvio-padrão? b) dois desvios-padrões? c) três desvios-padrões?

03) Um fabricante alega que as baterias para automóveis produzidas por ele têm duração média de 950 dias, com um desvio-padrão de 65 dias, e segue distribuição Normal. Retirando-se, ao acaso, uma bateria de seu estoque, qual a probabilidade de que ela dure:

a) menos de 850 dias? b) Entre 850 e 1000 dias? c) Mais de 900 dias?

04) As moedas de 25 centavos de dólar têm pesos distribuídos normalmente com média de 5,67 gramas (g) e desvio-padrão de 0,070 g.

a) Se uma máquina automática de refrescos é ajustada de modo a rejeitar moedas de 25 centavos com peso inferior a 5,53 g ou superior a 5,81 g, qual a percentagem de moedas legais rejeitadas?

b) Determine os pesos de moedas legais aceitas se a máquina é reajustada de forma a rejeitar 1,5% das mais leves e 1,5% das mais pesadas.

Solução:

X: Massa, em gramas, de uma moeda de 25 centavos de dólar

X ~N (

𝜇 = 5,67; 𝜎

2

= 0,07

2

) → 𝑓

𝑋

(𝑥) =

1 0,07√2𝜋

𝑒

−1 2( 𝑥−5,67 0,07 ) 2

, 𝑥 ∈ 𝑅

Fazendo

𝑧 =

𝑥−5,67 0,07

,

tem-se

𝑓

𝑍

(𝑧) =

1 √2𝜋

𝑒

−12𝑧2

, 𝑧 ∈ 𝑅

(6)

Gráfico 1 – Função densidade de probabilidade para a massa de uma moeda de 25 centavos de dólar, sendo que a massa segue distribuição Normal com média 5,67 gramas e desvio-padrão de 0,07 gramas

Fonte: Autoria própria.

Nota: Comandos do software estatístico R: curve(dnorm(x,mean=5.67,sd=0.07), from=5.32, to=6.02)

Gráfico 2 – Função densidade de probabilidade de uma variável aleatória com distribuição Normal Padrão

Fonte: Autoria própria.

(7)

a) 𝑧1 = 5,53−5,670,07 = −2 e 𝑧2 =5,81−5,670,07 = 2

𝑃(𝑋 < 5,53 ∪ 𝑋 > 5,81) = 𝑃(𝑍 < −2 ∪ 𝑍 > 2) = 𝑃(𝑍 < −2) + 𝑃(𝑍 > 2) ≅ ≅ 0,02275 + 0,02275 = 0,0455 ≅ 4,6%

Comandos do R

curve(dnorm(x,mean=0,sd=1), from=-5, to=5)

polygon(x=c(-5,seq(-5,-2,l=20),-2), y=c(0, dnorm(seq(-5,-2, l=20)),0), col="gray") polygon(x=c(2,seq(2,5,l=20),5), y=c(0, dnorm(seq(2,5, l=20)),0), col="gray")

(8)

b) 𝑃(𝑍 ≤ 𝑧1∪ 𝑍 ≥ 𝑧2) = 0,015 + 0,015 = 0,03 ⇒ 𝑃(𝑧1< 𝑍 < 𝑧2) = 0,97

Pela tabela da integral da normal padronizada, tem-se 𝑃(𝑍 < 𝑧2) = 1 − 0,015 = 0,985 ⇒ 𝑧2 = 2,17

Como 𝑧1 e 𝑧2 são equidistantes de zero, então 𝑧1 = −2,17.

Daí, vem:

𝑧

1

=

𝑥10,07−5,67

= −2,17

e

𝑧

2

=

𝑥20,07−5,67

= 2,17

. Resolvendo ambas as equações, encontra-se:

𝑥

1

= 5,5181 𝑔

e

𝑥

2

= 5,8219 𝑔

Portanto,

𝑃(𝑧1 < 𝑍 < 𝑧2) = 𝑃(5,5181 < 𝑋 < 5,8219) = 0,97

Conclusão do item b

Caso a máquina seja reajustada para rejeitar 1,5% das moedas mais leves e 1,5% das mais pesadas, então as massas das moedas legais aceitas pela máquina estão entre 5,5181 gramas e 5,8219 gramas.

Referências

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