8º CONGRESSO IBEROAMERICANO DE ENGENHARIA MECANICA
Cusco, 23 a 25 de Outubro de 2007
CÁLCULO DO ESCOAMENTO INVÍSCIDO NA RODA DE UMA TURBINA AXIAL
Luís M. C. Ferro1*, Afonso F. Tiago2, L. M. C. Gato2 e J. M. Paixão Conde3 1:Departamento de Engenharia Mecânica
Escola Superior de Tecnologia Instituto Politécnico de Setúbal Campus do IPS, Estefanilha 2910-761 Setúbal
e-mail: lferro@hidro1.ist.utl.pt
2: Departamento de Engenharia Mecânica Instituto Superior Técnico Universidade Técnica de Lisboa Av. Rovisco Pais, 1, 1049-001 Lisboa e-mail: atiago@hidro1.ist.utl.pt, lgato@mail.ist.utl.pt
3: Departamento de Engenharia Mecânica e Industrial Faculdade de Ciências e Tecnologia
Universidade Nova de Lisboa Monte de Caparica, 2829-516 Caparica
e-mail: jpc@fct.unl.pt
RESUMO
A roda de uma turbina hidráulica axial com 0,5 m de diâmetro foi projectada utilizando um método de cálculo bidimensional. Os perfis escolhidos são do tipo NACA série 6 modificada e as suas características (flecha relativa) e posicionamento (ângulo de calagem) foram escolhidas de modo a respeitar as distribuições de momento angular na secção de saída da roda e a satisfazer uma distribuição suave de pressão ao longo do contorno das pás.
O escoamento invíscido tridimensional na roda foi calculado utilizando o código FLUENT. Apresentam-se as distribuições de pressão, de velocidade e de momento angular na superfície das pás, nas secções de entrada e saída, utilizando como condição de fronteira, na secção de entrada, perfil de velocidade imposto e na secção de saída a condição de saída livre. As malhas utilizadas são não estruturadas, tetraédricas, com um máximo 2,5 milhões deelementos e foram construídas recorrendo à topologia turbo do código GAMBIT. Os resultados obtidos para o escoamento tridimensional validam as opções de projecto tomadas, mostrando que as componentes radiais são pequenas e que o momento angular à saída da roda é quase nulo. É ainda apresentado um estudo da convergência da solução com o refinamento da malha, estimando a incerteza dos resultados numéricos.
Palavras Chave: roda, turbina axial, tridimensional, invíscido, FLUENT
INTRODUÇÃO
A utilização de métodos de cálculo numérico na análise de geometrias complexas pode permitir validar os métodos de projecto utilizados, geralmente mais simples, bem como avaliar os erros cometidos pelas simplificações utilizadas. Os métodos numéricos permitem também efectuar um estudo paramétrico que, não dispensando os ensaios experimentais, reduzirão o seu custo e serão um auxiliar importante na definição da geometria dos modelos.
Neste artigo é descrita o método empregue no projecto das pás da roda de uma turbina axial tubular do tipo bolbo, a qual é posteriormente aplicado no dimensionamento das pás de um modelo de uma turbina de uma pequena central hidroeléctrica. A geometria das pás é definida recorrendo a um método quasi-tridimensional que utiliza o método da curvatura das linhas de corrente para a resolução do escoamento meridiano [1] e um método de painel para o escoamento entre pás [2,3].
O campo de velocidades e de pressões do escoamento invíscido tridimensional, em torno das pás da roda, são calculados utilizando o código numérico FLUENT (versão 6.2.16) [4] e os resultados são comparados com os de projecto.
PROJECTO DA RODA Metodologia geral
As pás da roda de uma turbina tubular ficam situadas entre duas superfícies aproximadamente cilíndricas de re-volução, coaxiais com o eixo da turbina, uma exterior, com um diâmetro D, e outra interior, com um diâmetro
DH. Nas regiões vizinhas da extremidade da pá e do cubo da roda, as superfícies referidas têm a forma de uma calote esférica de modo a permitir a rotação da pá em torno do respectivo eixo e o ajuste do seu ângulo. A forma das superfícies de corrente a montante da pá pouco se deverá afastar de superfícies cilíndricas coaxiais com o eixo de rotação. Se se admitir que a montante e a jusante das pás a velocidade axial não varia com o raio e que o momento angular rVθ é constante segundo a coordenada radial então a componente radial será nula e escoamento pode ser considerado como potencial ao longo das pás. O escoamento em torno das pás pode ser aproximado por o escoamento em torno de uma cascata cilíndrica de pás que pode ser resolvido, entre outros, pelo método dos elementos finitos ou das singularidades, método de painel incluído. Nos cálculos efectuados utilizou-se um método de painel de 1ª ordem, baseado no descrito em [3], com elementos rectilíneos sobre os quais é aplicada uma distribuição de fontes de intensidade constante. Os efeitos sustentadores são simulados por uma distribuição de vórtices sobre a linha média do perfil, cuja intensidade varia linearmente ao longo da linha média do perfil, sendo nula no bordo de fuga.
A definição da forma dos perfis de velocidade exige a especificação dos triângulos de velocidade a montante e a jusante da roda. A solução do escoamento meridiano conduz a resultados que não são compatíveis com a aproximação de escoamento plano numa cascata cilíndrica, com variações da componente axial na direcção do eixo. Optou-se por considerar a velocidade axial como a média das velocidades nas secções de entrada e de saída da roda e o raio da superfície cilíndrica como a média dos raios das linhas de corrente do escoamento meridiano nas secções de entrada e saída da roda. A componente tangencial da velocidade na entrada da roda é dado por
Vθ = K/r, onde K é o momento angular na secção de entrada, o qual é considerado constante ao longo do raio. Na secção de saída assumiu-se que a componente tangencial da velocidade e, consequentemente, o momento angular são nulos (rVθ = 0).
O tipo de perfil e as correspondentes características geométricas foram escolhidos de modo a reduzir as possibilidades de cavitação, evitando gradientes acentuados nas distribuições de pressão sobre o contorno do perfil, e a assegurar que a carga sobre a pá é o mais uniforme possível. Para garantir a menor torção da pá e uma superfície mais regular, impôs-se que todos os perfis deveriam pertencer à mesma família. Optou-se por escolher os perfis do tipo NACA 66 modificado tal como descrito por Brockett [5], os quais tem boas características aerodinâmicas (baixos valores de CD/CL) e boas características relativamente à cavitação com distribuições de carga quase constante ao longo do perfil – na figura 1 estão representadas as características geométricas desta série de perfis. As distribuições de espessura foram modificadas, relativamente às distribuições padrão, na região do bordo de fuga, que por razões construtivas se considerou de espessura finita. A definição da geometria da pá exige a especificação de quatro grandezas: a razão corda/passo (c/p), a razão flecha máxima/corda – (fmax/c), a razão espessura máxima sobre a corda (emax/c) e o ângulo de calagem da cascata λ. Os valores da flecha máxima
fmax do perfil e do ângulo de calagem foram escolhidos de modo a garantir o valor de circulação de projecto e que o valor mínimo de pressão sobre a pá ocorria na região do extradorso bem distante do bordo de ataque.
Definição da geometria da roda
O método de projecto descrito foi aplicado no projecto da roda de um modelo de uma pequena turbina axial do tipo tubular com uma roda com um diâmetro D = 0,5 m, com uma relação entre o diâmetro do cubo DH e da roda
DH/D = 0,428, com um caudal nominal Q = 3,362 m3/s, uma altura de queda H=75,6 m e rodando a uma velocidade de rotação de 2500 r.p.m. O fluido utilizado foi ar à temperatura e pressão ambiente.
x/c e/e ma x 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x/c f/ fma x 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 (a) (b) (c)
Fig. 1: Características geométricas dos perfis do rotor. (a) e/emax (b) f/fmax (c) declive da linha média (m).
Para definição da geometria da pá considerou-se uma distribuição linear, ao longo do raio, da espessura absoluta máxima de cada perfil, tendo-se fixado em 12% a espessura relativa do perfil na secção próximo do cubo (r/R = 0,518) e 3% para uma perfil próximo da extremidade da pá (r/R = 0,962) [6]. Os valores da razão corda/passo foram determinados a partir dos valores dos coeficientes de sustentação CL máximos [6] para o per-fil próximo do cubo (CL = 1,2 em r/R=0,472) e da extremidade da pá (CL =0,4 em r/R=0,962) utilizando a equação (1) [7], ∞ θ Δ = W V c p CL 2 (1)
tendo-se obtido uma relação c/p = 1,15 e c/p = 0,84 respectivamente. O ângulo de calagem λ e a flecha máxima foram escolhidas, de modo a que o perfil produzisse a deflexão especificada, com um ângulo de ataque α, centrado no bucket de cavitação do perfil. Na figura 2 estão representados os bucket de cavitação e os gráficos de localização do ponto de pressão mínima, em função do ângulo de ataque α, para os dois perfis.
(a) (b)
Fig. 2: Características aerodinâmicas dos perfis “mãe”: (a) coeficiente de pressão mínimo em função do ângulo de ataque α (b) localização do ponto de pressão mínima em função do ângulo de ataque α.
A geometria final da pá foi obtida posicionado os perfis mãe de modo que os respectivos centros de gravidade se situassem numa mesma recta com a direcção radial. Posteriormente foram definidos os perfis em mais dez secções. Os centros de gravidade destes perfis estão localizada na recta que une os centros de gravidade dos perfis “mãe”. A respectiva corda foi determinada de modo a obter bordos de ataque e de fuga quase rectilíneos. A flecha máxima é calculada, de modo semelhante aos perfis “mãe” utilizando os respectivos bucket de
Cp (mínimo) α 0 1 2 3 4 5 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 Projecto r/R=0,518 Projecto r/R=0,962 r/R = 0,962 r/R = 0,518 α x/c (% ) -20 -10 0 10 20 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 r/R=0,518 r/R=0,962
cavitação. Na tabela 1 resumem-se as características de todos os perfis utilizados na definição da geometria da pá da roda e na figura 3 mostram-se as três vistas da pá e um rebatimento circular num plano meridiano (as medidas dimensionais estão em milimetros).
Tabela 1: características das cascatas de pás da roda
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
Fig. 3 Geometria pá: (a) perspectiva; (b) vista rebatida no plano meridiano (c) cascata cilíndrica (d) vista ZY (e) vista XY (f) vista ZX
CARACTERIZAÇÃO DAS SIMULAÇÕES NUMÉRICAS
As simulações realizadas no âmbito do estudo apresentado neste artigo foram efectuadas recorrendo ao código FLUENT, tendo a malha de discretização sido feita no código GAMBIT (versão 2.2.) [8, 9].
R r/R c p c/p λ(º) α(º) ccircun. e e/c fmax fmax/c
107,0 0,428 223,0 168,1 1,327 34,7 -3,75 126,8 31,8 14,3 23,0 10,3 118,0 0,472 228,0 185,4 1,230 41,4 -3,59 150,8 30,0 13,1 19,4 8,5 129,5 0,518 233,9 203,4 1,150 47,4 -2,87 172,1 28,1 12,0 15,9 6,8 148,5 0,594 245,1 233,3 1,051 54,2 -2,23 198,1 24,9 10,2 12,8 5,2 165,0 0,660 256,1 259,2 0,988 58,6 -1,62 218,6 22,1 8,6 10,8 4,2 180,5 0,722 267,4 283,5 0,942 61,8 -1,13 235,7 19,6 7,3 9,4 3,5 194,5 0,778 278,2 305,5 0,910 64,1 -0,85 250,2 17,2 6,2 8,6 3,1 206,5 0,826 287,9 324,4 0,887 65,7 -0,63 262,4 15,2 5,3 8,1 2,8 219,0 0,876 298,4 344,0 0,867 67,1 -0,44 274,8 13,1 4,4 7,6 2,55 230,0 0,920 308,0 361,3 0,852 68,1 -0,29 285,8 11,3 3,7 7,2 2,35 240,5 0,962 317,3 377,8 0,840 69,0 -0,19 296,3 9,5 3,0 7,0 2,2 250,0 1,000 326,0 392,8 0,830 69,7 -0,07 305,8 7,9 2,4 6,7 2,05 z y y y x z
O código FLUENT
O código FLUENT aplica uma técnica de volumes finitos para resolver as equações que descrevem o escoamento. No escoamento em análise estas são: a equação da continuidade e as equações de Euler. As variáveis são definidas no centro de cada volume de controlo. Este código tem disponíveis dois tipos de algoritmos de cálculo: um deles resolve o sistema de equações de uma forma acoplada – algoritmo acoplado (coupled solver); enquanto que o outro resolve as equações de uma forma sequencial – algoritmo segregado (segregated solver). Para este último estão disponíveis alguns algoritmos para resolver o acoplamento entre a velocidade e a pressão, de entre estes seleccionou-se o PISO [10], por ser aquele que para a geometria em causa apresentou melhor convergência.
Os sistemas de equações algébricas obtidos da discretização e linearização das equações do movimento são resolvidos pelo método de Gauss-Siedel ponto-a-ponto, em conjunto com um método algébrico de malha múltipla. Os termos difusivos das equações são discretizados pelo esquema de diferenças centrais de segunda ordem. Os termos convectivos nas faces dos volumes de controlo são interpolados pelo esquema Upwind 1ª ordem ou QUICK de terceira ordem. De entre os diferentes esquemas para obter a pressão nas faces dos volumes de controlo, optou-se por escolher o esquema de interpolação de linear ou de segunda ordem [4].
Condições de fronteira e iniciais
As condições de fronteira especificam o valor das variáveis nas fronteiras do domínio físico em estudo. No âmbito das simulações efectuadas existem quatro tipos de condições de fronteira: entrada, saída, superfícies periódicas e superfícies sólidas. Dos diferentes tipos disponíveis no código FLUENT, na fronteira de entrada optou-se por atribuir o valor das componentes da velocidade. Esta condição de fronteira é identificada no código FLUENT como Velocity Inlet. Na fronteira de saída do domínio utilizou-se a condição de saída livre, designada no código como Outflow, que corresponde a efectuar uma extrapolação do valor das variáveis de grau zero, a partir do interior do domínio, sem ser necessário impor qualquer valor a qualquer variável. De forma a garantir conservação global da massa no domínio de cálculo é feita uma correcção do caudal na saída de forma a igualar o caudal na entrada. Nas superfícies do domínio que correspondem a superfícies sólidas é imposta a condição de impermeabilidade para todas as simulações efectuadas. Nas superfícies periódicas as faces dos elementos são tratadas como faces interiores do domínio. Nestas simulações o fluido é ar, com massa volúmica ρ = 1,225 kg/m3.
Descrição das malhas utilizadas
Para realizar o cálculo do escoamento em torno das pás do rotor, utilizaram-se malhas tetraédricas não estruturadas. As malhas foram construídas utilizando o código GAMBIT 2.2 com a topologia turbo. Na construção das malhas especificou-se uma maior concentração dos elementos junto das superfícies das pás. As malhas foram construídas fixando o tamanho dos elementos junto da pá e impondo uma taxa de crescimento dos elementos, tc, para o exterior e o tamanho máximo dos elementos. A tabela 2 mostra as principais características das malhas utilizadas, si e smax, são, respectivamente, o menor (inicial) e maior comprimento dos elementos na respectiva zona. Na construção da malha de 2,5 milhões de elementos utilizou-se uma metodologia um pouco diferente; definiu-se a malha sobre a superfície da pá, construindo a malha final a partir desta. A malha sobre a pá é estruturada quadrangular na superfície do bordo de fuga com função tamanho s = 0,4 , triangular nas restantes superfícies com s = 0,6 na região vizinha do bordo de ataque, com uma taxa de crescimento de 1,1 e com um smax = 1,6 na restante superfície da pá. A malha no domínio foi construída a partir da malha na superfície da pá utilizando as funções tamanho da tabela 2.
Tabela 2: características das malhas tetraédricas utilizadas
Zona de entrada Zona da pá Zona de Saída Número de
Elementos si tc smax si tc smax si tc smax 247 × 103 2,2 1,35 30 2,6 1,35 30 0,6 1,35 30 692 × 103 1,0 1,25 20 1,6 1,25 20 0,6 1,25 20 716 × 103 1,0 1,25 15 1,6 1,25 15 0,6 1,25 15 882 × 103 1,0 1,35 7 1,6 1,35 7 0,6 1,35 7 1540 × 103 1,0 1,20 30 1,0 1,20 30 0,6 1,20 30 1611 × 103 1,0 1,25 20 1,0 1,25 20 0,6 1,20 30 2500 × 103 0,6 1,12 7 1,1 a 1,6 1,12 7 0,4 1,1 7
Na figura 4(a) representa-se a malha tetraédrica com 2495 mil elementos utilizada e na figura 4(b) uma perspectiva geral da roda.
Nas tabelas 3 e 4 mostram-se os valores da razão de aspecto (aspect ratio) e ângulo de distorção (equiangle
skew) para as diferentes malhas utilizadas, obtidos pelo programa GAMBIT [6]. A qualidade das malhas
utilizadas, no referente à razão de aspecto, é excelente com 99% dos elementos entre com um valor 0-0,25 do elemento pior, relativamente ao ângulo de distorção cerca de 90% dos seus elementos tem um valor inferior a 0,5 pelo que as malhas são boas ou mesmos muito boas (na malha mais refinada 70% dos elementos tem um valor inferior a 0,4 pelo que podemos afirmar que a malha é muito boa[9]).
(a) (b)
Fig. 4: (a) Malha não estruturada tetraédrica com 2 495 mil elementos - topologia turbo; (b) Perspectiva das pás e invólucro interior
Relativamente ao ângulo de distorção cerca de 90% dos seus elementos tem um valor inferior a 0,5 pelo que as malhas são boas ou mesmos muito boas (na malha mais refinada 70% dos elementos tem um valor inferior a 0,4 pelo que podemos afirmar que a malha é excelente [9]).
Tabela 3: Distribuição da razão de aspecto dos elementos nas diferentes malhas.
Razão de Aspecto (Aspect Ratio) Limites Número de
Elementos 0 - 0,25 0,25 - 0,5 0,5 - 0,75 0,75 - 0,9 0,9 - 1 Pior Elemento 246932 234858 (95.11%) 10958 (4.44%) 977 (0.39%) 121 (0.05%) 18 (0.01%) 3.4 (1 - 3.4) 692240 689492 (99.6%) 2728 (0.4%) 16 (0%) 3 (0%) 1 (0%) 5.9 (1 - 5.9) 716359 698647 (97.53%) 16317 (2.28%) 1341 (0.18%) 50 (0.01%) 4 (0%) 3.9 (1 - 3.9) 882201 878951 (99.63%) 3232 (0.37%) 16 (0%) 1 (0%) 1 (0%) 5.9 (1 - 5.9) 1540391 1538556 (99.88%) 1825 (0.12%)\ 7 (0%) 2 (0%) 1 (0%) 7.3 (1 - 7.3) 1610554 1610520 (100%) 33 (0%) 0 (0%) 0 (0%) 1 (0%) 10.2 (1 - 10.2) 2494898 2471681 (99.07%) 22689 (0.91%) 522 (0.02%) 5 (0%) 1 (0%) 5.1 (1 - 5.1) Tabela 4: Distribuição do ângulo de distorção (equiangle skew) dos elementos nas diferentes malhas.
Ângulo de distorção (Equiangle) Limites Número de
Elementos 0 - 0,25 0,25 - 0,5 0,5 - 0,75 0,75 - 0,9 0,9 - 1 Pior Elemento 246932 41361 (16.75%) 185543 (75.14%) 19713 (7.98%) 315 (0.13%) 0 (0%) 0.87 (0 - 1) 692240 120789 (17.45%) 522410 (75.47%) 48507 (7%) 533 (0.08%) 1 (0%) 0.91 (0 - 1) 716359 125696 (17.55%) 540693 (75.47%) 175143 (6.91%) 523 (0.07%) 0 (0%) 0.89 (0 - 1) 882201 160360 (18.18%) 665988 (75.49%) 55431 (6.28%) 422 (0.05%) 0 (0%) 0.89 (0 - 1) 1540391 274058 (17.79%) 1166536 (75.73%) 98996 (6.43%) 797 (0.05%) 4 (0%) 0.93 (0 - 1) 1610554 285186 (17.71%) 1214580 (75.41%) 109913 (6.83%) 874 (0.05%) 1 (0%) 0.94 (0 - 1) 2494898 402892 (16.15%) 1891551 (75.82%) 198009 (7.93%) 2446 (0.1%) 0 (0%) 0.89 (0 - 1) Nas figura 5 e 6 e representam-se as evoluções do número de rotação Γ do escoamento relativo (cociente entre o momento angular relativo e o produto do momento axial pelo raio hidráulico) e do coeficiente de perda
2 ρω
ξ= poentrada−posaída nas secções de entrada e de saída e ainda do rendimento η [4] em função de h/h
1. onde
3
elem / N
Vol
volume do domínio e Nelem o número total de volumes de controlo. Nas mesmas figuras é indicado o valor de
projecto correspondente ao escoamento axissimétrico.
Estimação do erro numérico e convergência da solução
O erro numérico é consequência de três contribuições: do erro de arredondamento; do erro iterativo; e do erro de discretização [11, 12]. h/h1 Γen tr ad a 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 -1.90 -1.88 -1.86 -1.84 -1.82 -1.80 -1.78 -1.76 -1.74 -1.72 -1.70 Linear-s/rotação Linear-c/rotação 2ª Ordem-s/rotação 2ª Ordem-c/rotação Projecto Relativo h/h1 Γsa ida 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 -2.5 -2.4 -2.3 -2.2 -2.1 -2.0 -1.9 -1.8 -1.7 Linear-s/rotação Linear-c/rotação 2ª Ordem-s/rotação 2ª Ordem-c/rotação Projecto Relativo (a) (b)
Fig. 5: Variação do número de rotação Γ com o número de elementos da malha: (a) entrada; (b) saída.
h/h1 ξr 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 -0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02 Linear 2ª Ordem Projecto h/h1 ξa 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 -0.048 -0.044 -0.040 -0.036 -0.032 Linear 2ª Ordem Projecto h/h1 η 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 50 60 70 80 90 100 Linear 2ª Ordem Projecto (a) (b) (c)
Fig. 6: Variação do coeficiente de perda com o número de elementos da malha: (a) referencial relativo (s/ rotação); (b) referencial absoluto (c/ rotação); (c)eficiência.
O erro de arredondamento é devido à precisão finita dos computadores e tende a aumentar com o refinamento da malha. Nas simulações efectuadas foram sempre utilizadas variáveis com precisão simples.
O erro iterativo é devido ao carácter não linear do sistema de equações que se estão a resolver [12]. Este erro pode ser estimado pela diferença entre a solução obtida para uma determinada tolerância (ou critério de paragem do processo iterativo) igual a 10-3, 10-5, 10-7, …, e a solução convergida até a precisão da máquina. No código FLUENT para avaliar a convergência do processo iterativo avalia-se em que medida as equações discretizadas são satisfeitas para os valores correntes das variáveis dependentes. O resíduo total, que é a soma dos resíduos para todos os elementos do domínio, é adimensionalizado por uma grandeza representativa do caudal da variável no domínio. Para que o erro iterativo seja desprezável face ao erro de discretização é necessário que o resíduo determinado pelo código FLUENT seja inferior a 10-5 [13, 14]. Foi este o critério de paragem do processo iterativo adoptado neste trabalho.
O erro de discretização,
( )
p i o id h
e φ =φ −φ =α , pode ser obtido pelo procedimento de extrapolação de Richardson, onde: φi é a solução para uma dada malha i; φo é uma estimativa da solução exacta para malha de dimensão infinitesimal; α é uma constante; p é a ordem de convergência observada; e hi é o h da malha em análise
O procedimento adoptado neste trabalho é o proposto por Eça [12, 15] e corresponde a determinar φo, α e p por uma aproximação por mínimos quadrados, sem restrições de número de malhas utilizadas, nem de relação hi+1/hi entre elas. A estimativa da incerteza devida ao erro de discretização foi determinada pelo método do índice de
convergência da malha (GCI – “Grid Convergence Index”): U=Fsed, onde Fs é um factor de segurança [11]. O factor de segurança é determinado com base no tipo de convergência/divergência verificado.
Na tabela 5 apresenta-se o valor da incerteza associada ao erro de discretização das variáveis Γentrada, Γsaída e η para a malha mais refinada considerando dois modos de resolução. Verifica-se que esta incerteza não é igual para todas as variáveis, sendo menor para o método de segunda ordem, como seria espectável. O valor de projecto encontra-se dentro da banda de incerteza das soluções obtidas φ 1±U1.
Tabela 5: Incerteza numérica devida ao erro de discretização para a malha mais refinada (2495 mil elementos).
Linear com rotação 2ª Ordem com rotação
Variável Projecto φ 1 U1 |U1/φ 1| φ 1 U1 |U1/φ 1| Γentrada −1,82429 -1,8229 0,02777 0,015 -1,8236 0,01694 0,009 Γsaída −2,45627 -2,37838 0,64385 0,270 -2,4550 0,52198 0,212 η 100 99,3388 5,85524 0,059 99,1359 2,26405 0,023 RESULTADOS
Nesta secção são apresentados os resultados obtidos com o código FLUENT para o escoamento invíscido em torno das pás da roda. Os resultados apresentados foram calculados com a malha tetraédrica de 2495898 elementos no domínio, 102427 elementos na superfície da pá, 1904 e 1852 elementos nas secções de entrada e na saída, respectivamente. Para se conseguir maior precisão dos resultados no bordo de fuga, que tem uma espessura finita (0,53 mm e 2,24 mm, para os perfis do cubo e da caixa, respectivamente), construiu-se uma malha quadrangular estruturada sobre a superfície do bordo de fuga, com cinco nós na direcção circunferencial e com um total de 1500 elementos que serviu de base à construção da malha tridimensional, na região próxima do bordo de fuga do perfil. Os resultados apresentados de seguida foram obtidos com o algoritmo de cálculo segregado, utilizando a formulação com a velocidade absoluta, com um esquema de discretização de 2ª ordem para a pressão e do tipo QUICK para o momento. O esquema de acoplamento entre a velocidade e a pressão foi o PISO.
Na figura 7 representam-se os perfis das médias axissimétricas das três componentes da velocidade absoluta V*
(velocidade adimensionalizada com a velocidade axial média na secção da roda) e da componente tangencial da velocidade relativa Wθ* nas secções de entrada e de saída. Os resultados expressos com (rVθ)*≅ 0 e V
r*≅ 0 na secção de saída e Vx* ≅ constante concordam com os valores especificados no projecto e mostram que as pás da turbina retiram ao fluido a energia requerida; o ângulo médio,
∫
∫
=
A z AdA
V
dA
V
θϕ
(2)entre as componentes tangencial e axial da velocidade na secção de saída é igual ϕ = -0.76º.
D* V * (rV θ ) * 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 Vx * Vr * Vθ * Wθ* (rVθ)* D* V * (r Vθ ) * 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 Vx * Vr * Vθ* Wθ* (rVθ)* (a) (b)
Fig. 7: Variação de Vx, Vr, Vθ, Wθ e rVθ com a variação da distancia entre o cubo e o invólucro exterior: (a) secção de entrada (b) secção de saída.
Na figura 8 estão representados os perfis de velocidade para secções localizadas entre as coordenadas circun-ferências θ = 79º e θ = 159º, distanciadas entre si de 10º. Estes perfis mostram que todas as componentes pouco variam com a coordenada circunferencial (-0,015<(rVθ)*<0,035; -0,02<V
r*<0,02 e -0,97<Vx*<1,05), o que D* (rV θ ) * 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 θ=159 θ=149° θ=139° θ=129° θ=119° θ=109° θ=99° θ=89° θ=79° Projecto D* Vr * 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06 θ=149°θ=139° θ=129° θ=119° θ=109° θ=99° θ=89° θ=79° Projecto D* Vx * 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.96 0.98 1.00 1.02 1.04 1.06 1.08 θ=159° θ=149° θ=139° θ=129° θ=119° θ=109° θ=99° θ=89° θ=79° Projecto (a) (b) (c)
Fig. 8: Perfis na secção de saída da roda para diferentes coordenadas circunferenciais θ: (a) Momento angular (rVθ)* (b) Velocidade radial V
r* (c) Velocidade axial Vx*
confirma que as linhas de corrente na região próxima da secção de saída se desenvolvem em superfícies cilíndricas, o que valida a opção de projecto de escolha dos métodos de cálculo de escoamento em torno de cascatas rectilíneas de pás.
As distribuições de pressão total -
2 ref 0 0 0 2 1 V p p C entrada ρ −
=
-
representadas na figura 9 mostram, para a secção de entrada (Fig. 9a), uma variação de C0 entre ±0,15, não esperada, em função das condições fronteira de velocidade imposta, a qual deverá ter a sua origem na proximidade desta secção do bordo de ataque da pá. As distribuições de momento angular nas mesmas secções (fig. 10) mostram que a condição fronteira de rVθ na secção de entrada é satisfeita com boa aproximação e que na secção de saída próximo do cubo o seu valor é nulo ou ligeiramente negativo (-0,02), apresentando numa zona próximo da extremidade da pá valores positivos (valor máximo 0,12) significando que, nessa região, não foi extraída toda a energia ao fluido.(a) (b)
Fig. 9: Isolinhas na secção de entrada do rotor: (a) momento angular; (b) coeficiente de pressão total.
(a) (b)
Fig. 10: Isolinhas na secção de saída do rotor: (a) momento angular; (b) coeficiente de pressão total
Na figura 11 comparam-se as distribuições de pressão na superfície da pá calculadas numericamente com o FLUENT (linhas vermelhas a cheio), com as calculadas com o método de painel (linhas azuis a tracejado) para o escoamento em cascata para perfis próximo do cubo (figura 11a), numa secção intermédia (figura 11b) e numa secção próxima da extremidade da pá (figura 11c). O coeficiente de pressão relativo
2 rel p 2 1 ∞ ∞ ρ − = W p p C , onde
(
)
2 saída entrada W W W∞ = + e 2 saída entrada p pp∞= + e cada uma das variáveis referidas representa a média circunferencial para a coordenada radial respectiva. A distribuição do perfil próximo do cubo é a que mais se afasta dos resultados de projecto; as maiores diferenças ocorrem na região vizinha do bordo de fuga e devem-se provavelmente aos efeitos tridimensionais da roda que não obriga a uma desacelaração tão acentuada na região do bordo de fuga. Nas figura 12 e 13 representam-se as distribuições de momento angular e de pressão ( 2 ref 0 p 2 1 V p p C entrada ρ −
=
)
no intradorso e no extradorso da pá, respectivamente.D* Cp re f 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 r/R=0.518 Projecto r/R=0.518 D* Cp re f 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 r/R=0.778 Projecto r/R=0.778 D* Cp re f 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 r/R=0.962 Projecto r/R=0.962 (a) (b) (c)
Fig. 11: Distribuições de pressão sobre a superfície da pá: (a) cubo (r/R=0,518) (b) secção intermédia (r/R=0,778) (c) extremidade (r/R=0,962)
(a) (b)
Fig. 12: Isolinhas no intradorso da pá: (a) momento angular (b) coeficiente de pressão.
(a) (b)
Fig. 13: Isolinhas no extradorso da pá: (a) momento angular (b) coeficiente de pressão.
CONCLUSÕES
O escoamento invíscido tridimensional através das pás da roda de uma turbina hidráulica, com uma velocidade de rotação de 2500 r.p.m., foi calculado recorrendo ao código FLUENT.
O domínio de cálculo foi discretizado utilizando malhas tetraédricas, cuja qualidade foi analisada através dos parâmetros razão de aspecto e ângulo de distorção.
As condições fronteiras utilizadas foram velocity inlet e outflow, na secção de entrada e de saída, respectivamente.
Foi analisada a influência da malha e da respectiva discretização nos valores do número de rotação Γ, do coeficiente de perda ξ e do rendimento η.
As médias circunferenciais dos perfis de velocidade na secção de saída, confirmam as condições de projecto especificadas nesta secção: momento angular nulo e velocidade axial uniforme segundo a direcção radial. Os perfis de velocidade e de momento angular, na secção de saída, mostram que as variações radiais e circunferências são pequenas o que confirma a possibilidade de utilizar métodos bidimensionais de cálculo em projecto neste tipo de geometrias.
A concordância entre as distribuições de pressão sobre os perfis das pás, em superfícies cilíndricas coaxiais com o eixo da turbina, obtidas pelo FLUENT e pelo método de projecto (método de painel) é boa, e mostram uma carga quase constante até 80% do comprimento da corda.
REFERÊNCIAS
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4. Fluent Incorporated, FLUENT 6.2 User’s Guide, 2005.
5. T. Brockett, Minimum Pressure Envelopes for Modified NACA-66 Sections with NACA a=0.8 Camber and Buships Type I and II Sections, David Taylor Model Basin Washington DC Hydromechanics Lab. Rept. 1780, Washington, Feb. 1966.
6. J. Raabe, HydroPower, VDI-Verlag, Düsseldorf, 1985.
7. B. Lakshminarayana, Fluid Dynamics and Heat Transfer of Turbomachinery, John Wiley & Sons, Inc, 1996
8. Fluent Incorporated, GAMBIT 2.2 Modelling Guide, 2004. 9. Fluent Incorporated, GAMBIT 2.2 User’s Guide, 2004.
10. R.I. Issa, Solution of Implicitly Discretized Fluid Flow Equations by Operator Splitting, Journal of Computation and Physics, vol. 62, pp. 40-65, 1986.
11. P.J. Roache, Verification and Validation in Computational Science and Engineering, Hermosa Publishers, (1998).
12. L. Eça, Verificação de Códigos e de Cálculos em Mecânica dos Fluidos Computacional. C. Pina, J. Dias, L. Gil, P. Mota, J.M. Paixão Conde e E. Didier eds. Proc. Conferência Nacional em Mecânica dos Fluidos e Termodinâmica, FCT-UNL, Portugal , 2006.
13. L. Eça, J.M. Paixão Conde e E. Didier, Verificação de Três Códigos Numéricos no Cálculo do Escoamento Permanente e Incompressível numa Cavidade, Proc. CMNE/CILANCE 2007, Porto
14. J.M. Paixão Conde, Verificação e Validação de um Código Numérico na Simulação de Escoamentos Turbulentos, Proc. CMNE/CILANCE Porto, 2007.
15. L. Eça and M. Hoekstra, Discretization Uncertainty Estimation based on a Least Squares version of the Grid Convergence Index. L. Eça and M. Hoekstra eds., Proceedings of the 2nd Workshop on CFD Uncertainty Analysis, Instituto Superior Técnico, Lisboa, 2006
UNIDADES E NOMENCLATURA
c corda da pá (m)
CP coeficiente de pressão (adimensional)
Co coeficiente de pressão total (adimensional)
CD coeficiente de resistência (adimensional)
CL coeficiente de sustentação (adimensional)
D diâmetro exterior da roda (m)
DH diâmetro do cubo da roda (m)
e espessura do perfil (m)
ed(ø) erro de discretização (adimensional)
f flecha do perfil (m)
Fs factor de segurança (adimensional)
GCI índice de convergência da malha (“Grid Convergence Index”)
H altura de queda da turbina(m)
hi média representativa da dimensão da malha (adimensional)
Nelem número total de volumes de controlo
po pressão total (Pa)
Q Caudal volúmico (m3/s)
R raio exterior da roda (m)
r direcção radial, raio (m)
si comprimento mínimo dos elementos (adimensional)
smáx comprimento máximo dos elementos (adimensional)
t passo circunferencial da cascata (m)
tc taxa de crescimento do elemento da malha (adimensional)
u velocidade de fluxo livre (m/s) V vector velocidade absoluta(m/s)
V módulo do vector velocidade absoluta (m/s)
V* velocidade absoluta adimensional
Vol volume do domínio (adimensional)
W vector velocidade relativa (m/s)
W módulo do vector velocidade relativa (m/s)
W* velocidade relativa adimensional
z direcção axial
α ângulo de ataque do escoamento de aproximação (°) λ ângulo de calagem da cascata de pás (°)
θ direcção circunferencial ρ massa específica (kg/m3) øi solução para uma dada malha
øo estimativa da solução exacta para uma malha de dimensão infinitesimal
Γ número de rotação (“swirl number”)
ζ coeficiente de perda de carga
η eficiência (adimensional)
ω velocidade de angular (rad/s)
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