ROUGH SETS THEORY: AN APPLICATION IN SELECTING STOCKS FOR INVESTMENT AT STOCK EXCHANGE FROM SÃO PAULO
Paulo Henrique Kaupa (Universidade Nove de Julho, São Paulo, Brazil) -paulo.kaupa@gmail.com
Renato José Sassi (Universidade Nove de Julho, São Paulo, Brazil - sassi@uninove.br Forming a stock portfolio that provides good yields with low risk is a challenging task for the investor. One tool that may indicate to investors that set of actions is more favorable becomes a great ally in a market of constant instability, as the stock market. This study applied the Rough Sets Theory or simply Rough Sets in the selection actions to assemble an investment portfolio on the Stock Exchange of São Paulo. Application of Rough Sets is favourable in solving problems like finding dependency between attributes and patterns among the data, characteristics of the stock market. Positive results point to the use of Rough Sets in the selection of actions for building a portfolio.
Keywords: Investments, Stock Exchange, Stocks, Rough Sets Theory.
ROUGH SETS THEORY: UMA APLICAÇÃO NA SELEÇÃO DE AÇÕES PARA INVESTIMENTOS NA BOLSA DE VALORES DE SÃO PAULO
Formar uma carteira de ações que proporcione bons rendimentos com baixo risco é uma tarefa desafiadora para o investidor. Uma ferramenta que possa indicar ao investidor que conjunto de ações é mais favorável se torna uma grande aliada em um mercado de constante instabilidade, como o mercado de ações. Este trabalho aplicou a Rough Sets
Theory ou simplesmente Rough Sets na seleção ações para montar uma carteira de
investimentos na Bolsa de Valores de São Paulo. A aplicação dos Rough Sets se mostra favorável na resolução de problemas como descoberta de dependência entre atributos e padrões entre dados, características do mercado de ações. Os resultados positivos apontam para o uso dos Rough Sets na seleção de ações para montar uma carteira.
Palavras chave: Investimentos, Bolsa de Valores, Ações, Rough Sets Theory.
Agradecimentos
1. Introdução
O Mercado Financeiro é voltado para a transferência de recursos entre os agentes econômicos de forma direta ou indireta, é um segmento da economia onde o dinheiro é negociado e está dividido em três grandes grupos de ativos financeiros: Renda Fixa, Derivativos e Ações (BODIE et al., 2009).
Os investimentos em Renda fixa são popularmente conhecidos pela segurança (baixo risco) que traz ao investidor, pois a rentabilidade pode ser conhecida no momento de sua contratação. Os Derivativos têm seu preço derivado do preço de outro ativo, sendo assim é uma modalidade de investimento com alto grau de risco.
Por fim encontra-se o mercado de ações representado pelas Bolsas de Valores, onde são realizadas as operações de compra e venda dos títulos das empresas de capital aberto (sociedades anônimas cujo capital social é formado por ações).
Investir na compra de ações pode trazer ao investidor lucros superiores com relação às alternativas com maior segurança como exemplo as Letras do Tesouro, onde o investidor toma conhecimento do rendimento antes de realizar a aplicação (BODIE et al., 2009).
Com a chegada do Home Broker (Serviço para investimentos prestado pelas corretoras que permite a seus clientes comprar e vender ações através da internet), o volume de negociações por parte de investidores individuais (pessoas físicas) cresceu exponencialmente, atraídos pela facilidade de operar (REVISTABOVESPA, 2012).
Destacado por sua rentabilidade, o mercado de ações, que é intermediado no Brasil pela Bolsa de Valores, Mercadorias & Futuros do estado de São Paulo (BM&FBovespa), instituição de intermediação nas negociações envolvendo ações, estabelecendo regras para as negociações e fiscalizando o mercado e as operações realizadas por seus participantes (empresas de capital aberto, corretoras de valores e investidores) no cumprimento destas regras (BM&FBovespa, 2012).
Por se tratar de um investimento de risco, já que podem ocorrer perdas no capital investido identificar as tendências dos preços das ações e gerenciar os riscos envolvidos na operação, se torna uma atividade fundamental para o investidor.
Prever qual será a tendência das oscilações dos preços das ações, ou seja, se o preço da ação irá oscilar de forma positiva ou negativa ou até mesmo estagnar, é sem dúvida o maior desafio dos investidores.
Uma ferramenta que possa auxiliar o investidor a identificar tais tendências se torna de extrema importância na hora de traçar uma estratégia de investimento e selecionar ações que tragam bons lucros com baixo risco.
As aplicações das técnicas da Inteligência Artificial (IA) ao mercado financeiro para a identificação de tendências dos preços das ações gerou importantes resultados (ALMEIDA e DUMONTIER, 1996; ALMEIDA e ZANETI, 1998; FREITAS e SILVA, 1999; ARRAES, 2001; CHENG-YUAN e YEN-TING, 2002; FERNÁNDEZ e GÓMEZ, 2007; AZCARRAGA et al., 2008; KHAN et al., 2008; KUANG-YOW e CHIEN-CHI, 2010; INDIRA e RAMESH, 2011).
Uma técnica da Inteligência Artificial que têm se mostrado muito eficaz quando aplicada em investimento em ações é o Rough Sets Theory (RS) ou simplesmente Rough
desta técnica no investimento em ações (GOLAN e ZIARKO, 1995; CHANG et al., 2006; HUANG et al., 2008).
Obter uma composição de ações (carteira de ações) que possa proporcionar bons retornos considerando o risco envolvido do investimento é o objetivo de investidores (JINCHUAN e XINZHE, 2008; LI e NI, 2009; HANIF et al., 2011). Uma análise das oscilações nos preços das ações a fim de identificar suas tendências, deve ser realizada, já que implicam diretamente no retorno financeiro.
Este trabalho está dividido em 5 seções, além da Introdução seção 1, discute-se o mercado financeiro de forma introdutória na seção 2, as seções 3 e 3.1 são dedicadas à explicação do RS, os materiais e métodos aplicados são apresentados na seção 4. Discute-se também a realização dos experimentos e os resultados na Discute-seção 5 e conclusão apresentada na seção 6.
2. O Mercado Financeiro e de Ações
O Mercado Financeiro abrange todas as transações envolvendo moedas e títulos, se encarrega de promover a transferência destes recursos entre os agentes econômicos (podem ser pessoas físicas, jurídicas ou governamentais), é composto por instituições que realização a captação financeira, distribuição de valores e regulamentação destas transações. Seu principal órgão normativo é o Conselho Monetário Nacional (CMN), abaixo da CMN de maneira hierárquica estão às entidades supervisoras seguidas dos órgãos operadores (BACEN, 2012).
O Mercado de Ações é o mercado destinado à negociação de títulos representativos da menor fração capital social de uma empresa (Conhecidos como ações) e de valores mobiliários, sua regulamentação e fiscalização é feita pela Comissão de Valores Mobiliários (CVM). As negociações destas ações são feitas nas Bolsas de Valores, no Brasil a BM&FBovespa (SANDRONI, 1999). As ações negociadas na bolsa brasileira podem ser do tipo Ordinária Nominativa (ON) ou Preferencial Nominativa (PN), descritas na Tabela 1.
Tipos de Ações Ações
ON
Concedem direito ao seu acionista a votar nas assembleias da empresa. Cada ação concede um voto.
Ações PN
Asseguram prioridade no pagamento de dividendos ou reembolso em casos de liquidação da empresa, mas sem conceder direito a voto nas assembleias.
Tabela 1 – Tipos de ações negociadas na BM&FBovespa
As ações do tipo ON estão em sua maioria de posse dos grupos controladores da empresa, geralmente negociadas no mercado primário, onde o acionista compra as ações diretamente da empresa, sem o intermédio de um órgão como uma Bolsa ou Corretora de valores.
compra e venda são realizadas por intermédio de um órgão regulamentado. Estas são as ações mais negociadas durante os pregões, portanto são ações com maior liquidez de mercado quando comparadas as ações ON.
Operações no mercado de ações são consideradas de risco, pois a volatilidade dos preços é constante, diferente dos investimentos em renda fixa, não há garantias de um retorno pré-determinado definido no momento de investimento.
De forma resumida pode-se concluir que o mercado financeiro funciona de forma organizada por órgãos direcionados a cada setor econômico, proporcionando um ambiente seguro para a troca de recursos entres seus agentes e tem como órgão principal a CMN. 3. Rough Sets Theory
Rough Sets (RS) podem ser considerados conjuntos com fronteiras nebulosas, ou
seja, conjuntos que não podem ser caracterizados precisamente, utilizando-se dos atributos disponíveis (PAWLAK, 1982).
A incerteza pode se manifestar de diversas formas, como: imprecisão, incompletude, inconsistência, etc. RS trata de um tipo fundamental de incerteza, a indiscernibilidade. A indiscernibilidade surge quando não é possível distinguir elementos de um mesmo conjunto, e representa a situação em que esses elementos parecem um único elemento (UCHÔA, 1998).
Os principais conceitos em RS são: Espaços Aproximados, Aproximação Inferior (AI), Aproximação Superior (AS), Sistema de Informação (S), Sistema de Decisão (SD) e Indiscernibilidade (IND). Neste trabalho serão apresentados resumidamente o Sistema de Informação (S), o Sistema de Decisão (SD) e a Indiscernibilidade.
A forma mais comum para representação dos dados em RS é por meio de um sistema de informação (S) que contém um conjunto de elementos, sendo que cada elemento tem uma quantidade de atributos condicionais. Esses atributos são os mesmos para cada um dos elementos, mas os seus valores nominais podem diferir.
Dessa forma, um sistema de informação é um par ordenado S = (U, C), onde U é um conjunto finito e não-vazio de elementos chamado de universo, e C é um conjunto finito e não-vazio formado pelos atributos. Cada atributo a ∈C é uma função a: U →Va, onde Va é o conjunto dos valores permitidos para o atributo a (sua faixa de valores).
Em muitos casos é importante a classificação dos elementos considerando um atributo de decisão que informa a decisão a ser tomada. Assim, um SI que apresenta um atributo de decisão é denominado Sistema de Decisão (SD).
Os valores dos atributos são chamados de valores nominais, ao utilizar todos os atributos condicionais do sistema de informação S obtêm-se conjuntos elementares.
Existindo a Relação de Indiscernibilidade entre os elementos, significa que todos os valores nominais de seus atributos são idênticos com relação ao subconjunto de atributos B (B ⊆S) considerado, ou seja, não podem ser diferenciados entre si.
3.1 Redução de Atributos no RS
A redução de atributos no RS é feita através dos chamados Redutos (RED), que são subconjuntos de atributos capazes de representar o conhecimento da base de dados com
todos os seus atributos iniciais (PAWLAK, 1982).
Um Reduto de B sobre um sistema de informação S é um conjunto de atributos B’ ⊆ B tal que todos os atributos a ∈ (B – B’) são dispensáveis. Com isso, U/INDs (B’) = U/INDs(B). O termo RED(B) é utilizado para denotar a família de redutos de B. O cálculo de reduções para gerar os redutos é um problema n-p completo, e seu processamento em grandes bases de dados exige grande esforço computacional.
Essa redução é feita pela função de discernibilidade, a partir da Matriz de Discernibilidade. Considerando um conjunto de atributos B para o sistema de informação S, o conjunto de todas as classes de equivalência determinadas por B sobre S é dado por U/INDs(B) = {{e1}; {e2, e3}; {e4}; {e5}; {e...}}, onde e representa um elemento.
A Matriz de Discernibilidade do sistema de informação S, denotada por MD(B), é uma matriz simétrica n x n com: mD(i, j) = {a ∈B a (Ei) ≠ a (Ej)} para i,j = 1, 2, ...,n.., sendo 1≤i, j≤n e n=U /INDs(B). Logo, os elementos da matriz de discernibilidade mD(i, j) é o conjunto de atributos condicionais de B que diferenciam os elementos das classes com relação aos seus valores nominais.
A função de discernibilidade Fs(B) é uma função booleana com m variáveis, que determina o conjunto mínimo de atributos necessários para diferenciar qualquer classe de equivalência das demais, definida como:
{
(, )| , 1,2, , , (, ) 0}
) , , , ( * * * 2 * 1 =∧∨m i j i j= n m i j ≠ FS a a K am D K D . Sendo: m* (i,j){
*| m (i,j)}
D D = a a∈Utilizando o método de simplificação de expressões booleanas na função Fs(B), obtém-se o conjunto de todos os implicantes primos dessa função, o qual determina os redutos de S. À simplificação é um processo de manipulação algébrica das funções lógicas com a finalidade de reduzir o número de variáveis e de operações necessárias para a sua realização.
A função de discernibilidade Fs(B) é obtida da seguinte forma: para os atributos contidos dentro de cada célula da Matriz de Discernibilidade MD(B), aplica-se o operador “soma”, “or” ou “∨” e, entre as células dessa matriz, utiliza-se o operador “produto”, “and” ou “∧”, resultando em uma expressão booleana de “Produto da Soma”. A Fs(B) é representada por:
Fs(B) = (EV) ∧(EV) ∧(EV ∨QP) ∧(EV ∨QP) ∧(EV ∨QP) ∧(EV ∨QP ∨BL) ∧(QP ∨ BL) ∧(QP ∨BL) ∧(EV ∨BL) ∧(QP ∨BL) ∧(EV ∨QP ∨BL) ∧(EV ∨QP ∨BL) ∧(EV ∨BL) ∧(EV).
Simplificando esta expressão, utilizando teoremas, propriedades e postulados da Álgebra Booleana, obtém-se a seguinte expressão minimizada:
Fs(B) = (EV ∧(QP ∨BL) ∧(EV ∨QP ∨BL))
Que ainda pode ser escrita na forma de “Soma do Produto”: Fss.(B) = (EV ∧(QP ∨BL)).
4. Materiais e Métodos
referente a um período e dados referentes a um período posterior para análise dos retornos. A seleção da base de dados já conhecida se dá da seguinte forma: os dados extraídos da BM&FBovespa forma separados em duas partes, possibilitando que uma parte fosse processada pela técnica e a outra referente ao período subsequente fosse usada para calcular os retornos financeiros obtidos com a carteira resultado do processamento da primeira parte dos dados.
Optou-se pelo uso de uma planilha do Microsoft Excel, para realizar a análise das informações, calculando os retornos das carteiras formadas para o período seguinte. A seleção dos dados, sua separação e períodos são descritos a seguir.
Nesta etapa dos experimentos, foram selecionadas da base de dados da BM&FBovespa todas as ações que pertenceram ao índice Ibovespa no dia 30/03/2012.
Os dados para a realização dos experimentos foram extraídos da base da BM&FBovespa, esta extração foi feita em três etapas:
• Primeira etapa. Dados referentes às ações no período de 04/01/2011 à 30/03/2012. A extração foi realizada no dia 02/04/2012. Estes dados foram usados como base para o processamento do RS.
• Segunda etapa. Dados referentes às ações no período de 02/04/2012 a 30/04/2012. A extração foi realizada no dia 02/05/2012. Com estes dados apuraram-se os resultados da rentabilidade das ações selecionadas pelo RS.
• Terceira etapa. Nesta etapa foram extraídas informações sobre a variação do Índice Ibovespa com o objetivo de comparar o desempenho deste índice com a rentabilidade obtida das ações selecionadas pelo RS. O período de extração destes dados foi de 02/04/2012 a 30/04/2012.
A Figura 1 ilustra as etapas de realização dos experimentos:
Após a extração na primeira etapa, processaram-se os dados com RS, em seguida analisou-se a frequência com que as ações aparecem nos redutos a fim de identificar quais se repetem por mais vezes nos redutos, ou seja, aquelas que segundo RS possuem maior relevância.
Dos dados extraídos na primeira e segunda etapa, apenas as informações referentes ao valor de fechamento de cada ação que compôs a carteira teórica do índice Ibovespa em abril de 2012 (mês de realização dos testes) foram utilizadas para calcular a variação diária (dia atual subtraído do dia anterior).
A diferença entre os períodos em que foram feitas as extrações dos dados das ações e realização dos experimentos, pode ser justificada pelo objetivo inicial de realizar os testes como se estes estivessem sendo realizados para um investimento real. Assim cada parte dos experimentos recebe os dados referentes ao período em que foram executadas.
O objetivo inicial foi simular investimentos realizados que fossem embasados nos resultados das técnicas, então na primeira e na segunda etapa foi adotado o uso de um simulador de investimentos em tempo real. Assim, a performance das carteiras formadas pelos modelos puderam ser testadas como se estivem em um ambiente real de investimento.
Porém a análise em tempo real, demanda de disponibilidade de tempo para ser realizada, além da necessidade de uma execução precisa com pouca tolerância a falhas no que se diz respeito a execução dos teste no período subsequente a extração dos dados, ou seja, exige que os testes e o investimento no simulador sejam feitos nos dias subsequentes a extração dos dados, o que poderia impactar o processo de testes com bases maiores, então na terceira fase optou-se pela simulação dos resultados com base em dados históricos das cotações, o que traz maior tempo para análise dos resultados obtidos.
Assim a análise dos resultados foi dividida em duas partes:
-a primeira análise foi feita com as cinco ações selecionadas por RS, pois as cinco ações com maior frequência nos redutos são de diferentes setores, o que segunda a teoria de diversificação de ativos minimiza o risco do investimento;
-a segunda análise considera as ações com maior frequência nos redutos após a redução, são dez ações que se destacam por sua grande frequência.
Considerando uma matriz composta por Datas, Ações e suas variações, onde as datas formam as linhas, as ações formam as colunas e o cruzamento entre linhas e colunas recebem a variação (variação diária), a Tabela 2 mostra um exemplo meramente ilustrativo, com valores hipotéticos para demonstrar o que foi descrito neste parágrafo.
Data Ação A Ação B Ação C Ação D Ação E
01/01/1900 1,2 2,1 3 1,2 2
02/01/1900 1,2 3 2,1 1 3
03/01/1900 3 2,1 1,2 3 3
04/01/1900 1,2 3 3 2 1,2
Pode-se considerar que as ações são os atributos da carteira, assim aplica-se a redução de atributos do RS para selecionar quais devem compor a carteira, ou seja, as ações presentes com maior frequência nos redutos gerados por RS após a redução são as ações que farão parte da carteira.
Para avaliar o desempenho das ações selecionadas, comparasse a rentabilidade (média dos retornos) com os dados reais de seu desempenho extraídos na segunda etapa dos experimentos e finalizando os experimentos com um comparativo de desempenho com os dados do Índice Ibovespa extraído na terceira etapa citada acima.
Dos dados extraídos na primeira e segunda etapa, apenas as informações referentes ao valor de fechamento de cada ação que fez parte da carteira teórica do índice Ibovespa em abril de 2012 (mês de realização dos testes) foram utilizadas para calcular a variação diária (dia atual subtraído do dia anterior).
A primeira análise foi feita com as cinco ações selecionadas por RS apresentadas na Tabela 3, estas ações pertencem a diferentes setores de atuação, assim podem formar uma carteira tomando como base a teoria proposta por Markowitz de diversificação de ativos para minimizar o risco do investimento (MARKOWITZ, 1952).
Setor de Atuação Ação Descrição Frequência nos redutos
doRS
Util. Públicos / Energia Elétrica. CESP6 CESP 35
Telecomunicação / Telefonia Fixa.
*OIBR
4 OI 18
Mat. Básicos / Madeira e Papel. FIBR3 FIBRIA 17
Utilidade Pública / Água Saneamento. SBSP3 SABESP 13
Consumo Cíclico / Tecidos, Vestuário e
Calçados. HGTX3
CIA
HERING 12
Tabela 3 –As cinco ações selecionadas pelo RS
*Importante observar que as ações: TNLP3, TNLP4, BRTO4, TMAR5 presentes carteira teórica do índice Ibovespa no momento da extração e processamento (30/03/2012), sofreram alteração devido a uma incorporação de empresas que resultou na consolidação destas ações em uma só (OIBR4), esta nova ação passa a valer a partir do pregão do dia 09/04/2012.
A Segunda análise é feita com as dez ações selecionadas por RS relacionadas na Tabela 4.
Setor de Atuação
Código de
Negociação Descrição
Frequência no RS
Utilidade Públ. / Energ Elétrica CESP6 CESP 35
Telecomunicação / Telefonia Fixa OIBR4 Telemar 18
Mats Básicos / Madeira e Papel FIBR3 FIBRIA 17
Utilidade Públ / Água Saneamento SBSP3 SABESP 13
Consumo Cíclico / Tecid. Vest. Calç. HGTX3 CIA HERING 12
Mats Básicos / Sid Metalurgia GOAU4 GERDAU MET 11
Telecomunicação / Telefonia Fixa VIVT4 TELEF BRASIL 11
Const e Transp / Transporte LLXL3 LLX LOG 11
Cons N Cíclico/Diversos HYPE3 HYPERMARCAS 9
Financ e Outros / Interms Finanças SANB11 SANTANDER BR 9
Tabela 4 –As dez ações selecionadas pelo RS
Em ambas as análises, verifica-se o desempenho das ações selecionadas por RS com uma avaliação da rentabilidade com base nos dados destas ações no período de 02/04/2012 à 30/04/2012, também extraídos da base de dados da BM&FBovespa.
Aqui se pode salientar que valores referentes a impostos, taxas e emolumentos não são considerados, apenas a variação da ação (diferença do valor no pregão de um dia menos o valor da ação no pregão anterior) em seu preço bruto, divulgado pela BM&FBovespa.
5. Realização de Experimentos e Discussão dos resultados
Comparou-se o desempenho das cinco ações de maior relevância no índice Ibovespa (Top 5) com as dez ações selecionadas por RS . Considerando um investimento de um mês (de 02/04/2012 a 30/04/2012), têm-se os valores da Tabela 5, onde se pode observar um desempenho melhor para as ações selecionadas pelo RS.
Desempenho
RS -0,46%
Índice Ibovespa -0,50%
Tabela 5 - Comparativo entre RS e o índice Ibovespa (Cinco Ações)
O desempenho das dez ações de maior relevância no índice Ibovespa foi comparado com as dez ações selecionadas por RS. Considerando um investimento de um mês (de 2/04/2012 à 30/04/2012), têm-se os valores da Tabela 6, onde se pode observar um desempenho melhor para as ações selecionadas pelo RS.
Desempenho
RS -0,30%
Índice
Ibovespa -0,49%
Tabela 6 - Comparativo entre RS e o índice Ibovespa (Dez Ações)
Pode-se observar na Tabela 7 que das dez ações selecionadas por RS, quatro fecharam em alta no primeiro dia da análise (03/04/2012), já as dez ações com maior participação do índice Ibovespa não houve um desempenho positivo para esta data.
Ação Desempenho (Variação) no dia 03/04/2012
OIBR4 2,91%
HGTX3 1,18%
BTOW3 1,85%
CRO3 1,18%
Tabela 7 - Desempenho das Ações no primeiro dia de investimento.
Ao final do período de testes (dia 30/04/2012), três das dez ações fecharam em alta (relacionadas na Tabela 8) e nenhuma das ações dez ações com maior participação no índice Ibovespa teve variação positiva ao final deste período.
Ação Desempenho (Variação)
SBSP3 0,10%
GOAU4 0,02%
BTOW3 0,04%
Tabela 8 – Ações com desempenho positivo na seleção proposta por RS
A Figura 2 exibe um comparativo do desempenho diário entre a carteira de dez ações formada pelo RS e as a carteira teórica do índice Ibovespa até o final do período de testes (30/04/2012).
Figura2 – Comparativo entre o desempenho dos RS e do índice Ibovespa.
Em ambos comparativos o desempenho das ações selecionadas por RS foi melhor, o que tornam interessantes a continuidade das pesquisas com o uso dos RS.
6. Conclusão
O desenvolvimento deste trabalho possibilitou verificar que a seleção de ações feita por RS pode trazer resultados satisfatórios no apoio à tomada de decisão, pois pode indicar as tendências dos preços das ações, desta forma auxiliando o investidor a escolher ações com tendência de alta para efetuar sua aplicação.
Pode-se observar que parte das ações selecionadas pelo RS teve uma rentabilidade positiva no primeiro dia de investimentos e também algumas delas mostraram rentabilidade positiva ao final do período, o que pode indicar que a técnica tem capacidade para identificar ações que estão em tendência de alta.
Embora não houve retornos positivos para o investimento, seguindo o momento econômico negativo, pode-se observar que ocorreu uma perda menor no investimento feito com as ações selecionadas por RS quando comparada ao índice Ibovespa, o que se pode considerar bom do ponto de vista de risco.
Acredita-se que o use de outra técnica como o Modelo de Markowitz, possa melhorar os resultados uma vez que RS conseguiu identificar ações em tendência de alta.
O uso dos RS trouxe resultados positivos, podendo ser usado como apoio à tomada de decisão de investidores no momento de escolher ações para compor sua carteira, tornando assim a continuidade das pesquisas interessante.
Como continuidade deste trabalho pode se analisar os resultados utilizando diferentes períodos e também uma análise de risco das ações selecionadas com o uso do Modelo de Markowitz.
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