RESOLVENDO O PROBLEMA PSAT COM O AUXÍLIO DA FERRAMENTA DE SOFTWARE LIVRE MINISAT. Aluno: Mikail Campos Freitas Orientador: Prof.

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Aluno: Mikail Campos Freitas Orientador: Prof. Marcelo Finger

RESOLVENDO O PROBLEMA

PSAT COM O AUXÍLIO DA

FERRAMENTA DE

SOFTWARE LIVRE MINISAT

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INTRODUÇÃO

PSAT

SOLUÇÕES

MODIFICAÇÕES

RESULTADOS

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INTRODUÇÃO

PSAT

SOLUÇÕES

MODIFICAÇÕES

RESULTADOS

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 Problema da Satisfatibilidade Booleana  Importância teórica e prática:

 Primeiro problema NP-completo (Cook, 1971)

 Planejamento em inteligência artificial

 Projeto de circuitos integrados

 Verificação de software

 Entre outras...

 Evolução das soluções

 Estabelecidas competições de SAT (SAT Competition,

SAT-Race, SAT Challenge)

 Soluções atuais são mais de 30 vezes mais rápidas do que em 2001!

(5)

 Decisão sobre a satisfatibilidade de uma fórmula booleana proposicional

 Muitas vezes apresentado na forma normal conjuntiva (conjunção de disjunções)

 Ex:

Dada a fórmula 𝐹 = 𝑝 ∨ ¬𝑞 ∧ 𝑞 ∨ ¬𝑟 ∧ ¬𝑝 ∨ ¬𝑞 ∨ ¬𝑟 ∧ 𝑟.

É possível satisfazer 𝐹?

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 Problema da Satisfatibilidade Probabilística

 Extensão do SAT, combina lógica e probabilidade

 Mostrado NP-completo (Georgakopoulos, Kavvadias, Papadimitriou, 1988)

 Conjunto de cláusulas proposicionais com probabilidade associada

 Decidir sobre a consistência da atribuição de probabilidades ao conjunto de cláusulas  Aplicações:  Aprendizado automático  Linguística computacional  Modelagem lógico-probabilística  Entre outras...

INTRODUÇÃO - PSAT

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 Ex: (Problema dos Bêbados)

Três amigos costumam ir a um bar, de modo que em todas as noites pelo menos dois deles estão em sua mesa de costume. Entretanto, cada um afirma ir ao bar “apenas” 60% das noites.

Eles estão falando a verdade?

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 Ex: (Problema dos Bêbados)

Três amigos costumam ir a um bar, de modo que em todas as noites pelo menos dois deles estão em sua mesa de costume. Entretanto, cada um afirma ir ao bar “apenas” 60% das noites.

Eles estão falando a verdade? Formulação:

 𝑥₁ ∧ 𝑥₂ ∨ 𝑥₂ ∧ 𝑥₃ ∨ 𝑥₁ ∧ 𝑥₃  𝑃 𝑥₁ = 𝑃 𝑥₂ = 𝑃 𝑥₃ = 0.6

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INTRODUÇÃO

PSAT

SOLUÇÕES

MODIFICAÇÕES

RESULTADOS

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 Instância PSAT Σ = 𝑃 𝛼_𝑖 ⨝_𝑖 𝑝_𝑖 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘}

 𝛼_𝑖 é fórmula sobre {𝑥₁, … , 𝑥_𝑛}, ⨝_𝑖 ∈ {=, ≤, ≥}

 Uma instância Σ está na forma normal atômica quando pode

ser particionada em (Γ, Ψ) onde:

 Γ = 𝑃 𝛼_𝑖 = 1 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚}

 Ψ = 𝑃 𝑦_𝑖 = 𝑝_𝑖 𝑦_𝑖 é átomo, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘}

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 Γ = 𝑃 𝛼_𝑖 = 1 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚}

 Ex: (bêbados)

 𝑥₁ ∧ 𝑥₂ ∨ 𝑥₂ ∧ 𝑥₃ ∨ 𝑥₁ ∧ 𝑥₃

 𝑃 𝑥₁ = 𝑃 𝑥₂ = 𝑃 𝑥₃ = 0.6

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 Γ = 𝑃 𝛼_𝑖 = 1 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚}

 Ex: (bêbados)

 𝑥₁ ∧ 𝑥₂ ∨ 𝑥₂ ∧ 𝑥₃ ∨ 𝑥₁ ∧ 𝑥₃ = 𝑥₁ ∨ 𝑥₂ ∧ 𝑥₂ ∨ 𝑥₃ ∧ 𝑥₁ ∨ 𝑥₃

 𝑃 𝑥₁ = 𝑃 𝑥₂ = 𝑃 𝑥₃ = 0.6

(13)

 Γ = 𝑃 𝛼_𝑖 = 1 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚}  Ψ = 𝑃 𝑦_𝑖 = 𝑝_𝑖 𝑦_𝑖 é átomo, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘}  Ex: (bêbados)  𝑥₁ ∧ 𝑥₂ ∨ 𝑥₂ ∧ 𝑥₃ ∨ 𝑥₁ ∧ 𝑥₃ = 𝑥₁ ∨ 𝑥₂ ∧ 𝑥₂ ∨ 𝑥₃ ∧ 𝑥₁ ∨ 𝑥₃  𝑃 𝑥₁ = 𝑃 𝑥₂ = 𝑃 𝑥₃ = 0.6 Γ = 𝑥₁ ∨ 𝑥₂ , 𝑥₂ ∨ 𝑥₃ , 𝑥₁ ∨ 𝑥₃ Ψ = {𝑃 𝑥₁ = 𝑃 𝑥₂ = 𝑃 𝑥₃ = 0.6}

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 Toda instância PSAT tem uma instância em Forma Normal

Atômica equivalente

 Valoração 𝑣 sobre 𝑦₁ … 𝑦_𝑘 é Γ-consistente se podemos

estender 𝑣 para y₁ … y_k, 𝑥₁ … 𝑥_𝑛 de modo que Γ 𝑣 = 1; assim, o vetor 1 𝑣 𝑦₁ … 𝑣 𝑦_𝑘 T também é Γ-consistente

 Lema:

Uma instância Γ, Ψ na forma normal atômica é satisfazível sse existe

uma matriz 𝐴_Ψ de dimensão 𝑘 + 1 × 𝑘 + 1 onde todas as suas colunas

são Γ-consistentes e 𝐴_Ψ𝜋 = 𝑝, ∑𝜋 = 1 tem solução 𝜋 ≥ 0.

1 ⋯ 1 𝑎_1,1 … 𝑎_1,𝑘+1 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎_𝑘,1 … 𝑎_𝑘,𝑘+1 ⋅ 𝜋₁ 𝜋₂ ⋮ 𝜋_𝑘+1 = 1 𝑝₁ ⋮ 𝑝_𝑘 , 𝑎_𝑖,𝑗 ∈ {0, 1}

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INTRODUÇÃO

PSAT

SOLUÇÕES

MODIFICAÇÕES

RESULTADOS

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 Usando resolvedor SAT, Marcelo Finger e Glauber de Bona propuseram e implementaram três soluções:

 Redução Canônica de PSAT para SAT

 Geração de Colunas através de Redução de Turing para SAT

 Geração de Colunas através de Redução de Turing para MAXSAT

Ponderado

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 Tradução através da codificação de operações binárias  1 ⋯ 1 𝑎_1,1 … 𝑎_1,𝑘+1 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎_𝑘,1 … 𝑎_𝑘,𝑘+1 ⋅ 𝜋₁ 𝜋₂ ⋮ 𝜋_𝑘+1 = 1 𝑝₁ ⋮ 𝑝_𝑘

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 Tradução através da codificação de operações binárias  1 ⋯ 1 𝑎_1,1 … 𝑎_1,𝑘+1 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎_𝑘,1 … 𝑎_𝑘,𝑘+1 ⋅ 𝜋₁ 𝜋₂ ⋮ 𝜋_𝑘+1 = 1 𝑝₁ ⋮ 𝑝_𝑘 𝑏 bits 𝜋_𝑖 = 0. 𝜋_𝑖𝑏 … 𝜋_𝑖1 𝑝_𝑖 = 0. 𝑝_𝑖𝑏 … 𝑝_𝑖1

(19)

 Multiplicação 𝑎_{𝑖 ,𝑗} ⋅ 𝜋_𝑗 : conjunção dos bits de 𝜋_𝑗 com 𝑎_{𝑖 ,𝑗}

 Soma: soma binária

 Igualdade: equivalência binária

(20)

 Número de variáveis na tradução é 𝑂(𝑘3log𝑘)

(21)

 Resolvedor SAT é chamado

(22)

 Resolvedor SAT é chamado

 Implementação: PSATtoSAT

(23)

 Problema da forma 𝐴𝜋 = 𝑝

 Começar com um problema relaxado:

 1 ⋯ 1⋮ ⋱ ⋮

0 ⋯ 1

𝜋′ = 𝑝 ⇒ 𝐴₍₀₎𝜋₍₀₎ = 𝑝

 Sempre tem solução

(24)

 1 ⋯ 1⋮ ⋱ ⋮

0 ⋯ 1

𝜋′ = 𝑝 ⇒ 𝐴₍₀₎𝜋₍₀₎ = 𝑝

 Sempre tem solução Mas pode ser Γ-inconsistente!

(25)

 1 ⋯ 1⋮ ⋱ ⋮

0 ⋯ 1

𝜋′ = 𝑝 ⇒ 𝐴₍₀₎𝜋₍₀₎ = 𝑝

 𝑘 + 1 chamadas iniciais ao resolvedor SAT para verificar

Γ-consistência das colunas e inicializar vetor de custo

(26)

 1 ⋯ 1⋮ ⋱ ⋮

0 ⋯ 1

𝜋′ = 𝑝 ⇒ 𝐴₍₀₎𝜋₍₀₎ = 𝑝

 Função objetivo: combina número de colunas Γ-inconsistentes com a soma das suas probabilidades associadas

(27)

 1 ⋯ 1⋮ ⋱ ⋮

0 ⋯ 1

𝜋′ = 𝑝 ⇒ 𝐴₍₀₎𝜋₍₀₎ = 𝑝

 A cada passo é usado o resolvedor SAT para gerar uma coluna Γ-consistente com custo associado negativo

(28)

 1 ⋯ 1⋮ ⋱ ⋮

0 ⋯ 1

𝜋′ = 𝑝 ⇒ 𝐴₍₀₎𝜋₍₀₎ = 𝑝

 A cada passo é usado o resolvedor SAT para gerar uma coluna Γ-consistente com custo associado negativo

 Implementação: PsatColGen

(29)

 Semelhante ao método anterior

 Inicialização igual a antes (problema relaxado, resolvedor SAT para verificar Γ-consistência)

(30)

 Diferença:

 Antes: gerar uma coluna com custo associado negativo

(31)

 Diferença:

 Agora: gerar a coluna com o menor custo associado

(32)

 Diferença:

 A cada passo usar resolvedor MAXSAT Ponderado para gerar

a coluna Γ-consistente com menor custo

(33)

 Diferença:

 A cada passo usar resolvedor MAXSAT Ponderado para gerar

a coluna Γ-consistente com menor custo

 Implementação: PSATtoMaxSat

(34)

 Baseados no uso de softwares externos:

 zChaff

 wmaxsatz2009

 LA

(35)

 zChaff (licença própria)

 wmaxsatz2009 (GPLv3)

 LA (GPLv3)

(36)

 Uso restrito a pesquisa, não comercial

 LA (GPLv3)

(37)

 Distribuição apenas com o consenso da Universidade de Princeton

 LA (GPLv3)

(38)

 Distribuição apenas com o consenso da Universidade de Princeton

 LA (GPLv3)

 Interface e troca de dados feita por arquivos  Overhead na criação de processos

(39)

INTRODUÇÃO

PSAT

SOLUÇÕES

MODIFICAÇÕES

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

Melhorar o desempenho do resolvedores PSAT



Facilitar a distribuição, uso e modificação do projeto

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(43)

 Resolvedor SAT desenvolvido com o intuito de fácil integração a outros projetos

 Foi premiado em duas de quatro SAT Competition que

participou e em todas as SAT-Race

 Licença MIT

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 Resolvedor SAT desenvolvido com o intuito de fácil integração a outros projetos

 Foi premiado em duas de quatro SAT Competition que

participou e em todas as SAT-Race

 Licença MIT Compatível com GPLv3!

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(46)



Trocar a utilização do zChaff pelo MiniSat



Incluir o código de todos os softwares externos ao

dos resolvedores

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INTRODUÇÃO

PSAT

SOLUÇÕES

MODIFICAÇÕES

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 Instâncias satisfazíveis

 Variar 𝑘 (junto com 𝑛 e 𝑚)

 50 instâncias para cada 𝑘

 Instâncias aleatórias

 Fixar 𝑘 e 𝑛, variar 𝑚 (3-SAT)

 50 instâncias para cada valor de 𝑚

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Instâncias satisfazíveis

(𝑛 = 2 𝑘 + 1 )

Instâncias aleatórias

(𝑛 = 4 0 , 𝑘 = 4 )

(50)

Instâncias satisfazíveis

(𝑛 = 2 𝑘 + 1 )

Instâncias aleatórias

(𝑛 = 7 0 , 𝑘 = 1 2 )

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Instâncias satisfazíveis

(𝑛 = 2 𝑘 + 1 )

Instâncias aleatórias

(𝑛 = 1 0 0 , 𝑘 = 2 0)

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