PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO PUC-SP Alessandro Gonçalves

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO

PUC-SP

Alessandro Gonçalves

Análise das estratégias e erros dos alunos do 9º ano em questões

de álgebra baseadas no Saresp de 2008 a 2011

Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para obtenção do título de Mestre em Educação Matemática, sob a orientação da Professora Doutora Barbara Lutaif Bianchini.

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Banca examinadora

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Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.

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Dedicatória

Dedico este trabalho a minha avó Geralda, que não se cansa de rezar por aqueles que ela ama. Aos meus pais, Sildinê e Maria do Carmo, que sempre

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Agradeço a Deus, pela oportunidade de realizar o sonho de fazer o mestrado e pela força ao

longo dessa caminhada.

Agradeço à Professora Dra. Barbara Lutaif Bianchini, pela dedicação e disponibilidade em

me orientar em todos os momentos em que precisei.

À Professora Dra. Sônia Pitta Coelho e à Professora Dra. Karly Barbosa Alvarenga, por

participarem da banca examinadora e contribuírem com sugestões para a melhoria desse

trabalho.

Aos professores e professoras do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação

Matemática da PUC-SP, que foram importantes nesse processo de formação, propondo debates

e reflexões importantes sobre o ensino e a aprendizagem de Matemática.

Aos colegas de curso, dos quais vou sempre me lembrar com muito carinho. Pessoas

competentes e interessadas em conhecer mais sobre a arte de ensinar.

À minha esposa Leila, por estar do meu lado ajudando e apoiando e pela presença nos

momentos em que estive ausente.

À Secretaria da Educação do Estado de São Paulo (SEE-SP), por financiar os meus estudos e

ao Hamilton, da Diretoria de São Bernardo do Campo, pela compreensão.

À direção e aos colegas da E.E. Omar Donato Bassani, pelo apoio e colaboração.

Aos colegas do Colégio Stagio, pela ajuda nos momentos em que mais precisei.

Aos colegas do Grupo de Pesquisa - GPEA, pelas contribuições e críticas produtivas ao longo de

todo o curso.

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Esta pesquisa qualitativa teve como objetivo analisar as estratégias dos alunos com foco nos erros cometidos e dificuldades apresentadas ao resolverem um instrumento de coleta de dados composto por 13 questões de Álgebra escolhidas nos relatórios pedagógicos do Sistema de Avaliação da Aprendizagem Escolar do Estado de São Paulo (Saresp) dos anos de 2008 a 2011. Empregou-se como referencial teórico as categorias de erros propostas por Movshovitz-Hadar, Zaslavsky e Inbar (1987) que são: dados mal utilizados, interpretação incorreta de linguagem, inferências logicamente inválidas, teoremas ou definições distorcidas, falta de verificação da solução e erros técnicos. Com a aplicação do instrumento de coleta de dados e a análise feita buscou-se responder à seguinte questão de pesquisa: Quais são as estratégias utilizadas, as dificuldades e os erros cometidos pelos alunos do 9º ano do Ensino Fundamental II ao resolverem questões de Álgebra que estão presentes nos relatórios pedagógicos do Saresp dos anos de 2008, 2009, 2010 e 2011? A investigação foi realizada em uma escola pública da rede pública paulista e contou com a participação de 15 alunos. Após a etapa de coleta de dados, foram feitas as análises das estratégias utilizadas pelos alunos para resolverem as questões. Nesse percurso, procurou-se identificar diferentes estratégias utilizadas comparando-as com uma análise a priori realizada. À medida que os protocolos foram analisados, tinha-se o olhar voltado para identificar as possíveis dificuldades encontradas e erros cometidos pelos alunos. Os alunos procuraram sempre resolver os problemas utilizando estratégias variadas, muitas vezes diferentes das previstas na análise a priori. A análise realizada possibilitou a identificação de dificuldades, das quais destacam-se as relacionadas à utilização correta da linguagem e simbolismos matemáticos. Alguns símbolos matemáticos não foram corretamente utilizados por alguns alunos, o que aponta para a necessidade de um trabalho que desenvolva essa capacidade neles. Há também dificuldades em assuntos pontuais, como aplicação do Teorema de Pitágoras, transformação de linguagens e semelhança de triângulos. No que diz respeito aos erros revelados, destacamos que as duas principais categorias foram a de dados mal utilizados e erros técnicos. A diversidade de estratégias utilizadas e a criatividade com que alguns alunos resolveram as questões mostram sempre que for possível é importante o professor propor problemas nos quais os alunos possam usar diferentes estratégias de resolução.

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The aim of this qualitative research is to analyze students’ strategies, focusing on the errors

and difficulties presented to solve a data collection instrument consisted of 13 Algebra

questions chosen in the reports of the “School Evaluation System of the State of São Paulo” (“SARESP”) through the years 2008 to 2011. The research is theoretically based on Movshovitz-Hadar, Zaslavsky, and Inbar (1987) students’ mathematical errors categories, which are: misused data, misinterpreted language, logically invalid inference, distorted theorem or definition, unverified solution and technical errors. With the application of the data collection and analysis instrument we sought to answer the following research question: Which are the strategies used and the difficulties and errors made by 9th grade students during

the process of solving Algebra questions presented in the reports of the “School Evaluation System of the State of São Paulo” (“SARESP”) during the years 2008, 2009, 2010 and 2011?

The research was conducted in a public school in São Paulo and counted with 15 participants. After collecting data, I analyzed the strategies used by the students to solve Algebra questions. During the course of action I tried to identify different strategies comparing them to a pre performed analysis. As the protocols were analyzed, I was looking to identify the possible difficulties and errors made by the students. Those students tried to solve Algebra questions using a variety of strategies, often different from the ones contained in the pre performed analysis. The research allowed the identification of difficulties, specially the ones related to the proper use of language and identification of mathematical symbolism. Some mathematical symbols were not correctly used by some students, highlighting the need to develop this ability. There are also difficulties in specific subjects, such as applying the Pythagorean Theorem, mathematical language transformation and similarity in triangles. Regarding the analyzed errors, there are two main categories which appeared: misused data and technical errors. The diversity of strategies used and the creativity with which some students solved the questions always show how important it is for teachers to propose questions in which the students may use a wider variety of strategies to solve an Algebra question.

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Figura 1 - Olhando para versus através dos símbolos ... 44

Figura 2 - Protocolo do aluno 7 - Questão 1 ... 80

Figura 5- Protocolo do aluno 9 - Questão 1 ... 81

Figura 40 - Protocolo do aluno 7- Questão 5 ... 105

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Figura 93 - Protocolo do aluno 12 - Questão 10... 131

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Quadro 1 - Notações ... 22

Quadro 2 - Relação das questões e habilidades do relatório pedagógico de 2008 ... 58

Quadro 6 - Classificação das questões do instrumento de coleta de dados... 63

Quadro 7 - Questões do instrumento de coleta de dados organizadas por relatório ... 64

Quadro 8 - Habilidade e enunciado da Questão 1 ... 65

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INTRODUÇÃO ... 15

CAPÍTULO 1 - O SARESP ... 17

1.1. O Saresp ... 17

CAPÍTULO 2 - FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ... 21

2.1 Algumas visões e concepções sobre a Álgebra ... 21

2.2 Considerações sobre o erro ... 28

2.2.1 A importância do erro no processo de ensino e aprendizagem ... 28

2.2.2 Causas dos erros e dificuldades ... 29

2.2.3 Erros e dificuldades em Álgebra ... 31

2.2.4 Análise e categorias de erros em Álgebra ... 33

CAPÍTULO 3 - REVISÃO DE LITERATURA ... 39

CAPÍTULO 4 - PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS ... 53

4.1 Objetivo e questão de pesquisa ... 53

4.2 Abordagem metodológica ... 54

4.3 A escola e os sujeitos de pesquisa ... 54

4.3.1 A escola escolhida e a apresentação da proposta de pesquisa ... 54

4.3.2 Os sujeitos de pesquisa e o processo de coleta de dados ... 55

4.4 Construção do instrumento de coleta de dados ... 58

4.5 Análise a priori do instrumento de coleta de dados ... 65

CAPÍTULO 5 - ANÁLISE DOS DADOS ... 79

CONSIDERAÇÕES FINAIS ... 147

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Anexo A - Termo de Consentimento Livre e Esclarecido ... 161

Anexo B - Autorização para realização da pesquisa na escola ... 163

Anexo C - Resolução se nº 27, de 29 de março de 1996 ... 164

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Introdução

O estudo que apresentamos propõe-se a analisar as estratégias utilizadas pelos alunos com foco nos erros, ao resolverem um instrumento de coleta de dados composto de 13 questões de Álgebra, baseadas nos relatórios do Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo (Saresp) dos anos de 2008 a 2011.

Nosso interesse ao analisar as estratégias utilizadas com foco nos erros é pelo fato de entendemos que o erro é um elemento inerente e importante do processo de ensino e aprendizagem, que não pode ser desconsiderado pelo professor. Mas, para ser valorizado é necessário que o professor tenha como prática a análise das estratégias dos alunos buscando identificar os possíveis erros em uma etapa posterior apresentar esse erro ao aluno de modo que ele possa refletir sobre ele.

Já o interesse por questões de Álgebra está relacionado ao fato de que o desempenho dos alunos nessa área da Matemática não vem alcançando bons índices. Esse fato pode ser confirmado nos relatórios pedagógicos do Saresp que são publicados anualmente. A Álgebra tem grande relevância não só na Matemática como também em outras áreas, mas, que muitas vezes, não é bem ensinada nem bem compreendida.

No que diz respeito ao interesse pelo Saresp ele se deve ao fato de sermos bolsista da SEE-SP por meio do Programa Bolsa Mestrado e uma das exigências desse programa é que as pesquisas desenvolvidas estejam diretamente ligadas a assuntos de interesse da rede pública estadual paulista. Como há muito tempo, estamos sempre debatendo a questão do desempenho dos alunos nas provas do Saresp em reuniões realizadas na escola, escolhemos essa avaliação por preencher um requisito da SEE-SP e também fazer parte de nosso meio profissional.

Tendo em vista todos esses aspectos, elaboramos a seguinte questão de pesquisa:

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Com esta pesquisa, pretendemos colaborar com a reflexão a respeito da importância de se analisar as produções dos alunos buscando compreender as estratégias apresentadas ao resolverem questões de Álgebra. Com isso é possível identificar as principais dificuldades e os erros cometidos e propor formas de auxiliar os alunos a superarem tais dificuldades e sanar os erros.

No capítulo 1, apresentamos um breve histórico a respeito do Saresp, iniciando pela sua instituição, comentando seus objetivos e finalidades, e discorrendo sobre as habilidades que orientam a construção das questões das provas.

No capítulo 2, abordamos algumas visões e concepções sobre Álgebra com o objetivo de apresentar sua evolução desde, o seu surgimento, o modo como se entende a Álgebra atualmente e as implicações dessas concepções no ensino. Nesse capítulo, discutimos também algumas considerações sobre os erros, procurando destacar sua importância no processo de ensino e aprendizagem. Apresentamos, ainda, uma categorização de erros proposta pelos pesquisadores Movshovitz-Hadar, Zaslavsky e Inbar (1987) que utilizamos para classificar os erros cometidos pelos sujeitos de nossa pesquisa.

No capítulo 3, apresentamos algumas pesquisas relacionadas ao ensino e à aprendizagem de Álgebra, são as que nos interessaram por tratarem de aspectos ligados às dificuldades apresentadas pelos alunos no que se refere à Álgebra.

O Capítulo 4 contém os procedimentos metodológicos de nossa investigação. Nesta parte, apresentamos a abordagem metodológica adotada no estudo, a escolha da escola e dos sujeitos de pesquisa, o processo de coleta de dados, a construção do instrumento de coleta de dados e a análise a priori que elaboramos.

E por último, no capítulo 5, apresentamos a análise dos dados que coletamos, evidenciando as estratégias, as dificuldades e os erros dos alunos.

Destacamos que esta dissertação faz parte do Grupo de Pesquisa em Educação Algébrica - GPEA e está inserida na linha de pesquisa: A Matemática na Estrutura Curricular e Formação de Professores, dentro do projeto funções do ponto de vista cognitivo e didático.

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Capítulo 1

O Saresp

1.1. O Saresp

Anualmente, desde 1999, o Saresp vem sendo realizado pela Secretaria da Educação do Estado de São Paulo (SEE-SP) obrigatoriamente em todas as escolas públicas estaduais e de forma optativa nas redes municipais e particulares de ensino que aderirem à avaliação (SÃO PAULO, 2005).

Com relação às redes municipais de ensino do Estado que manifestam interesse em participar, a SEE-SP tem, desde 2009, custeado com as despesas decorrentes da preparação, distribuição e aplicação da avaliação. Já as escolas particulares, que desejarem aderir à avaliação deverão arcar com os custos de todo o processo (SÃO PAULO, 2013).

A instituição do Saresp aconteceu por meio da Resolução nº 27 de 29 de março de 1996, na qual a Secretaria considerou para a implantação dessa avaliação:

- A necessidade de estabelecer uma política de avaliação de rendimento escolar em nível estadual, de forma articulada com o Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica-SAEB/MEC;

- A imprescindibilidade de recuperar o padrão de qualidade do ensino ministrado no Estado de São Paulo;

- A importância em subsidiar o processo de tomada de decisões que objetivem melhoria da administração do sistema educacional através de resultados avaliativos cientificamente apurados;

- A necessidade de informar a sociedade e a comunidade educacional sobre o desempenho do sistema de ensino;

- A necessidade das Delegacias de Ensino e Unidades Escolares obterem resultados imediatos para tomada de decisões, em seus níveis de atuação; (SÃO PAULO, 1996).1

Com relação a essas necessidades, a SEE-SP apontou como objetivos gerais a serem alcançados a partir da implantação desse sistema de avaliação:

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I – desenvolver um sistema de avaliação de desempenho dos alunos do ensino fundamental e médio do Estado de São Paulo, que subsidie a Secretaria da Educação nas tomadas de decisão quanto à Política Educacional do Estado;

II – verificar o desempenho dos alunos nas séries do ensino fundamental e médio, bem como nos diferentes componentes curriculares, de modo a fornecer ao sistema de ensino, às equipes técnico-pedagógicas das Delegacias de Ensino e às Unidades Escolares informações que subsidiem:

a) a capacitação dos recursos humanos do magistério;

b) a reorientação da proposta pedagógica desses níveis de ensino, de modo a aprimorá-la;

c) a viabilização da articulação dos resultados da avaliação com o planejamento escolar, a capacitação e o estabelecimento de metas para o projeto de cada escola, em especial a correção do fluxo escolar. (SÃO PAULO, 1996). 2

Atualmente, de acordo com a SEE-SP, o Saresp tem como finalidade:

produzir informações consistentes, periódicas e comparáveis sobre a situação da escolaridade básica na rede pública de ensino paulista, visando orientar os gestores do ensino no monitoramento das políticas voltadas para a melhoria da qualidade educacional. (SÃO PAULO, 2013). 3

No decorrer dos últimos anos o Saresp passou por mudanças como a adequação na qualidade métrica4 dos itens, adequação das habilidades avaliadas no Saresp com o Sistema de Avaliação da Educação Básica (SAEB/Prova Brasil) e a colocação dos resultados do Saresp na escala5_{desse sistema (SÃO PAULO, 2009).}

No entanto, só em 2008 que todas as mudanças foram efetivamente implantadas e foi também a partir desse ano que a rede pública passou a contar com uma proposta curricular única para toda a rede. Essa proposta aponta as metas de aprendizagem a serem alcançadas em cada série e é também balizadora dos conteúdos a serem desenvolvidos em cada uma dos componentes curriculares e das habilidades e competências que os alunos devem desenvolver ao longo da escolaridade (SÃO PAULO, 2009).

Frente a esse cenário de reformulações foi elaborado um documento intitulado Matrizes de Referência do Saresp que, de acordo com SEE-SP, tem muitas finalidades. Por um lado aponta os conhecimentos básicos que devem ser desenvolvidos ao longo de toda a escolaridade dentro de cada uma das disciplinas da grade curricular e auxilia o professor no trabalho de avaliação desses conhecimentos com os alunos. Por outro, serve como base para a avaliação das competências e habilidades que os alunos devem construir (SÃO PAULO, 2009).

2_{Não há indicação de página por se tratar de informações retiradas do site.} 3_{Não há indicação de página por se tratar de informações retiradas do site.}

4_{Qualidade métrica se refere a uma melhor medição dos resultados dos alunos tendo como base a escala de proficiência do} SAEB.

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A relação de habilidades que a Matriz de Referência do Saresp apresenta norteia o trabalho dos elaboradores das questões da prova. Com base nessas habilidades, busca-se avaliar o desempenho dos estudantes.

De acordo com SEE-SP:

as habilidades possibilitam inferir, pela Escala de Proficiência adotada, o nível em que os alunos dominam as competências cognitivas, avaliadas relativamente aos conteúdos das disciplinas e em cada série ou ano escolares. Os conteúdos e as competências (formas de raciocinar e tomar decisões correspondem assim, às diferentes habilidades a serem consideradas nas respostas às diferentes questões ou tarefas das provas). (SÃO PAULO, 2009 p. 13).

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Capítulo 2

Fundamentação Teórica

2.1 Algumas visões e concepções sobre a Álgebra

Diferentes pesquisadores vêm discutindo sobre a origem da Álgebra, seu desenvolvimento, os conteúdos que podem ser compreendidos como algébricos, as concepções antigas e atuais a respeito da Álgebra. Fiorentini; Miorin; Miguel (1993), Kaput (1999), Lins e Gimenez (2001), Souza (2003), Kieran (2004), Eves (2004), Ponte (2005), estão entre esses estudiosos.

Uma explicação sobre o desenvolvimento da Álgebra leva em consideração aspectos relacionados à evolução de uma simbologia que demarca as etapas desse desenvolvimento em Álgebra retórica, Álgebra sincopada e Álgebra simbólica (NESSELMANN 1842 apud EVES, 2004).

Para Souza (2003)

A fase da retórica apresentou a primeira tentativa do homem em representar o desconhecido das quantidades. Para isso cria uma palavra. Já a fase sincopada, tenta enxugar as palavras. Sintetiza o palavrório que fez parte da matemática durante milênios. E a fase simbólica rompe, de certa forma, com a das palavras. Sua representação é extremamente sintética. (p. 104)

Na Álgebra retórica os problemas matemáticos e as resoluções eram feitas sem nenhum tipo símbolo, sendo descritos somente por meio de palavras. De acordo com o Fiorentini; Miorin; Miguel (1993, p. 80) “essa teria sido a Álgebra dos egípcios, dos babilônios e dos gregos pré-diofantinos.”

Eves (2004, p. 206) exemplifica essa fase da Álgebra com alguns problemas retirados de uma coleção conhecida, como Palatine ou Antologia Grega. “Trata-se de uma coleção de quarenta e seis problemas numéricos, em forma epigramática, reunida por volta de

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Retiramos de Eves (2004, p. 224) um desses problemas: “De quantas maçãs se

necessitam se 4 de 6 pessoas recebem 1 1 1, , e 1

3 8 4 5, respectivamente, do número total, enquanto que a quinta recebe 10 maçãs e ainda resta uma maçã para a sexta pessoa?”

Comentando sobre os problemas caracterizados pela Álgebra retórica, Eves (2004, p. 207) aponta a dificuldade em resolvê-los sem o aparato simbólico da Álgebra,

como temos hoje. De acordo com o autor “embora seja fácil resolver esses problemas com o

moderno simbolismo algébrico, deve-se admitir que uma resolução retórica requereria uma atenção mental mais elevada.”

A próxima etapa é a da introdução da simbologia na Álgebra, que é atribuída a Diofanto de Alexandria. Para Eves (2004, p. 206) “Uma das principais contribuições de Diofanto à matemática foi a sincopação da álgebra grega”.

Podemos observar o exemplo da expressão x³ + 13x² + 5x representada por meio da simbologia introduzida por Diofanto e de que maneira era feita a leitura dessa expressão.

Quadro 1 - Notações

Notação Diofantina Leitura da expressão

Y Y

K αΔ ιγτε Incógnita ao cubo 1, incógnita ao quadrado 13, incógnita 5 Para representar a incógnita ao cubo, Diofanto usava as duas primeiras letras da palavra kubos (ΚYBOΣ ), que significa cubo. Já na incógnita ao quadrado ele usava as duas

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Outro grande matemático francês que contribuiu para o aprimoramento do simbolismo algébrico foi Renè Descartes (1596-1650), que foi responsável, em 1637, por introduzir as últimas letras do alfabeto para representar as incógnitas e as primeiras, para as constantes (EVES, 2004).

Todas as contribuições desses matemáticos foram importantes para a construção de parte do simbolismo algébrico. Reconhecemos a grandiosidade do legado deixado por eles. Mas, atualmente, a discussão a respeito do que pode ser considerado como Álgebra vai mais além da presença ou não de símbolos e letras. Não nos restam dúvidas que eles são importantes. No entanto, o potencial que a Álgebra tem em suas maneiras de representar um objeto matemático, nas relações que podem ser estabelecidas nas diferentes áreas do conhecimento não pode se resumir à simbologia.

Estamos diante de um novo paradigma cujo foco não está mais sobre a presença de elementos simbólicos, como características da Álgebra, mas sim como uma maneira de pensar e relacionar elementos desse campo da Matemática de modo que se possa dar significados às operações realizadas. Os pesquisadores que apresentaremos propõem um olhar diferenciado sobre o que entendem ser Álgebra. Ultrapassando os limites dos conteúdos caracterizados por símbolos e adentrando o campo das relações que precisam ser estabelecidas para dar sentido e significado à Álgebra.

Kaput (1999, p. 134) traça um panorama sobre o tipo de Álgebra que vendo sendo ensinada nas escolas e suas consequências aos alunos. Para o pesquisador, a Álgebra escolar é caracterizada pela presença de certos procedimentos, como a simplificação de expressões algébricas, resolução de equações e regras para manipulação de símbolos. Desta forma, a

aplicação da Álgebra acaba sendo “notoriamente artificial” o que faz com que a tarefa dos alunos seja memorizar regras e resolver problemas artificiais sem “significado para suas vidas”.

Entendemos que, ao propor o ensino de Álgebra, o professor precisa considerar que se trata de uma área do conhecimento de grande importância no desenvolvimento, não só da Matemática, mas também de outras áreas da atividade humana. Kaput (1999, p. 134) afirma

que “sem alguma forma de álgebra simbólica, não poderia haver Matemática superior e nenhuma ciência quantitativa, portanto, nenhuma tecnologia e da vida moderna, como nós as

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Tendo em vista tal importância, o desafio que se coloca é o de ensinar Álgebra, de modo que ela tenha significado para os alunos e que eles possam compreender o potencial dessa área da Matemática. Mas, para que isso seja possível, é preciso que haja mudanças no modo de ensinar e aprender Álgebra. Essas mudanças são apontadas por Kaput (1999). De acordo com o pesquisador:

Começar cedo (em parte, pela construção do conhecimento informal dos alunos); Integrar a aprendizagem da álgebra com a aprendizagem de outro assunto (por estender e aplicar o conhecimento matemático);

Incluir as várias formas de pensamento algébrico (aplicando conhecimento matemático);

Construir naturalmente nos alunos poderes linguísticos e cognitivos (incentivando-os ao mesmo tempo para refletir sobre o que aprendem e articular os que eles sabem), e;

Incentivar a aprendizagem ativa (e na construção de relacionamento) que coloca um prêmio na percepção e compreensão. (p.134, tradução nossa)

Com base nas sugestões de mudança, o pesquisador aponta cinco aspectos de como ele concebe a Álgebra:

Álgebra como generalização e formalização de padrões e restrições

Álgebra como manipulação de formalismo sintaticamente guiada (ao manipular sobre símbolos o foco está sobre os símbolos em si do que necessariamente sobre o que eles representam)

Álgebra como um estudo das estruturas abstratas a partir de cálculos e relações. Álgebra como um estudo de funções, relações e variação conjunta.

Álgebra como um conjunto de Modelagem e Fenômenos que controlam linguagem (p. 136-149, tradução nossa).

Para o autor citado, os aspectos da Álgebra relacionados à generalização dão conta de uma forma de pensamento que ultrapassa casos particulares e possibilita compreender relações mais gerais permitindo a compreensão de regularidades e padrão. A formalização permite expressar as generalizações em termos de linguagem formal.

O segundo aspecto apontado por Kaput (1999), está relacionado ao fato de que quando lidamos com o formalismo e a manipulação dos símbolos, muitas vezes o foco desse trabalho recai sobre os símbolos em si e não sobre o que eles representam. De acordo com o pesquisador é preciso ver além da representação simbólica. É preciso ver através do símbolo, pois é lá que está todo seu sentido.

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plano, simetrias, entre outras. A questão é ir além de uma maneira simplória de interpretar as estruturas algébricas e propor situações em que essas estruturas possam ser exploradas.

Para Kaput (1999), o ensino de função e relações, quando centrado em aspectos que levam em conta os formalismos e deixam de lado seu verdadeiro conceito, desconsidera elementos importantes, que são a própria essência dessas ideias. Apresentar situações nas quais seja possível identificar variações é uma fonte interessante para dar sentido ao ensino desses conceitos.

Por fim, o último aspecto apontado pelo pesquisador refere-se ao fato de que a modelagem de fenômenos pode ser de grande utilidade para que os estudantes compreendam importantes conceitos matemáticos.

O panorama sobre o ensino da Álgebra, passando pelo destaque de sua importância e o modo como Kaput (1999) a concebe, revela a necessidade de que a discussão a respeito da compreensão sobre o que vem a ser Álgebra seja ampliada. Em outro momento, essa compreensão passava somente pela presença dos aspectos relacionados à carga de simbologia presente nos conteúdos matemáticos. No entanto, essa visão não dá conta de um ensino que tenha como objetivo a compreensão do aluno e que esse veja sentido naquilo que está aprendendo, pois simplifica demasiadamente o campo de abrangência da Álgebra.

A ampliação sobre a compreensão da Álgebra também é reforçada pela pesquisadora Carolyn Kieran em seus estudos sobre a problemática do ensino e da aprendizagem desse campo do conhecimento matemático.

A pesquisadora classifica as atividades algébricas em três tipos: geracional, transformacional e meta-nível/global. Para Kieran (2004, p. 22, tradução nossa) “a atividade geracional da álgebra envolve a formação de expressões e equações que são objetos da álgebra.” São exemplos desse tipo de atividade:

(i) as equações contendo um valor desconhecido que representa uma situação-problema quantitativa, (ii) expressões de generalização decorrentes de padrões geométricos ou sequências numéricas e (iii) expressões de regras que governam relações numéricas (KIERAN, 2004, p. 22-23, tradução nossa).

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polinomiais, a exponenciação de polinômios, resolução de equações, simplificação de expressões, trabalhar com expressões e equações equivalentes, etc.

O terceiro tipo de atividade, proposto pela pesquisadora, caracteriza-se quando a Álgebra é utilizada como ferramenta, mas não restritamente ao domínio da própria Álgebra. Nesse tipo de atividade, são incluídos: a resolução de problemas, modelagem, observação de estruturas, estudos de mudanças, generalização, análise de relações, provas e previsões e justificação.

Entendemos que, da mesma forma como Kaput (1999), Kieran (2004) propõe essa classificação, como uma maneira de se levar em consideração diferentes aspectos a respeito dos conhecimentos e relações daquilo que podemos compreender, como Álgebra.

Ponte (2005) também procura contrapor a ideia de se conceber Álgebra tradicionalmente como manipulação de expressões e resolução de equações. Para o pesquisador, “a Álgebra é usualmente vista como tratando de regras de transformação de

expressões (monômios, polinômios, frações algébricas, expressões com radicais) e processos

de resolução de sistemas de equações.” (p. 3).

Nesse sentido, sua visão ultrapassa essa maneira tradicional ao salientar que

O pensamento algébrico inclui a capacidade de lidar com o cálculo algébrico e as funções. No entanto, inclui igualmente a capacidade de lidar com outras estruturas matemáticas (como as relações de ordem e de equivalência) e usá-las na interpretação e resolução de problemas matemáticos ou de outros domínios (PONTE, 2005, p. 4).

Os pesquisadores Lins e Gimenez (2001, p. 89) salientam que “não há consenso a

respeito do que seja pensar algebricamente” e um aparente consenso diz respeito aos conteúdos que são denominados, como sendo algébricos. Alertam sobre o fato de se compreender a Álgebra desta forma poder acarretar problemas, pois o difícil, nesse caso, é não conseguir caracterizar os conteúdos que não fazem parte da Álgebra.

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modelo já tradicionalmente conhecido “técnica (algoritmo)/prática (exercícios)” (LINS e GIMENEZ, 2001, p. 105).

Ainda com relação aos aspectos de uma concepção letrista, Lins e Gimenez (2001) tratam de abordagem decorrente dessa forma de conceber Álgebra. É

o caso do “uso de áreas para o ensino de produtos notáveis ou o uso de balança de dois pratos

para ensinar resolução de equações”. (p. 107).

Os autores supracitados chamam essas abordagens como “facilitadoras, mas não num

sentido otimista”. Isso porque de acordo com os pesquisadores, há investigações que

apontaram o fato das crianças não verem relação entre essas abordagens concretas e o desenvolvimento formal das ideias. Tais abordagens “baseiam-se, então, na ideia de que uma

certa estrutura que é posta em jogo na manipulação de ‘concretos’ é, depois, por um processo de abstração, transformada em ‘formal.’” (p. 108).

Outra abordagem que têm como base situações concretas, de acordo como Lins e Gimenez (2001, p. 108), é a modelagem Matemática. Nesse caso, o enfoque dado sobre as

“situações reais ou realistas”. Na visão dos pesquisadores, essa abordagem apresenta-se mais interessante pelo fato dos alunos aprenderem em ação.

Diante desse cenário, os pesquisadores citados conceituam a atividade algébrica. Para eles, “A atividade algébrica consiste no processo de produção de significado para a

álgebra.”Nesse sentido apontam a definição de Álgebra: “A álgebra consiste em um conjunto de afirmações para as quais é possível produzir significado em termos de números e

operações aritméticas, possivelmente envolvendo igualdade ou desigualdade”

(LINS e GIMENEZ, 2001, p. 137).

Analisando as ideias de Lins e Gimenez (2001) é possível perceber uma classificação de Álgebra que não está presa a determinados conteúdos e à presença de traços literais, mas, sim, a um modo de conceber a Álgebra que a torne significativa por meio de relações e conceitos matemáticos. Entendemos que essa visão dependa inclusive de conteúdos, mas, fundamentalmente, de relações que possam ser estabelecidas entre os diversos conhecimentos matemáticos.

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debate a respeito da Álgebra que deve ser ensinada atualmente em nossas escolas. A busca por uma definição única não é possível, pois as ideias muitos mais se complementam do que se contrapõem. Dessa riqueza de ideias, pode-se perceber o potencial desse campo do conhecimento matemático.

2.2 Considerações sobre o erro

A seguir, analisaremos os aspectos relativos ao erro no processo de ensino e aprendizagem, a importância do professor conhecer as causas dos erros e as dificuldades dos alunos em Álgebra e algumas categorias de erros propostas por pesquisadores.

2.2.1 A importância do erro no processo de ensino e aprendizagem

Ter um olhar diferenciado sobre os erros que os alunos cometem, significa ter um olhar sobre o modo como eles aprendem. A busca pela interpretação do erro do estudante no processo de ensino e aprendizagem é uma maneira de lhe possibilitar a oportunidade de reelaborar seus conhecimentos sobre o objeto de estudo. No entanto, para que isso seja possível é importante que o professor tenha a concepção de que o erro faz parte do processo de construção do conhecimento e não que o erro seja uma simples manifestação da falta de conhecimento ou mesmo de problemas de aprendizagem.

Nesse sentido, é necessário ampliar a visão que se tem do erro escolar. É preciso transpor o senso comum de modo que o erro possa ser compreendido como um fenômeno natural no processo de ensino e aprendizagem. A história da construção do conhecimento científico é um exemplo da presença do erro como um elemento natural que faz avançar tal conhecimento.

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O erro é uma possibilidade permanente na aquisição e consolidação do conhecimento e pode chegar a formar parte do conhecimento científico que as pessoas e os grupos utilizam. Esta possibilidade não é uma mera hipótese. Basta observar o que tem ocorrido ao longo da história de diversas disciplinas em que elas tem aceitado como conhecimento válido múltiplos conceitos que, hoje em dia, sabemos que são errôneos. (p. 70)

Nesse sentido, vemos que a ocorrência de erro pode ser uma etapa anterior ao sucesso e, até mesmo, ao avanço do conhecimento. Assim, não se trata de algo ruim, mas, de um fenômeno que, naturalmente, faz parte de todo processo de construção do conhecimento, seja ele científico ou escolar.

Cury et al. (2008, p. 1) destacam a importância do estudo do erro ao comentar que

“A análise de erros cometidos por estudantes de Matemática é uma das maneiras de compreender suas dificuldades de aprendizagem e auxiliá-los a superá-las.”

Esses aspectos apontados pelos pesquisadores mostram como é importante estar atento ao erro, como parte integrante do processo educativo que também são destacados pelos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) ao considerar que:

Na aprendizagem escolar, o erro é inevitável e, muitas vezes, pode ser interpretado como um caminho para buscar o acerto. Quando o aluno ainda não sabe como acertar, faz tentativa, à sua maneira, construindo uma lógica própria para encontrar a solução. (BRASIL, 1997, p. 41).

Almouloud (2010) salienta que para Brousseau (1983):

o erro é a expressão, ou a manifestação explícita, de um conjunto de concepções espontâneas, ou reconstruídas, que integradas em uma rede coerente de representações cognitivas, tornam-se obstáculo à aquisição e ao domínio de novos conceitos. (p. 131)

As ideias apresentadas até aqui têm em comum o fato de considerarem o erro como um elemento inerente ao processo de ensino e aprendizagem. Não é possível desenvolver algum conceito, de modo que todos os alunos aprendam da mesma maneira sem que em algum momento os erros se manifestem.

2.2.2 Causas dos erros e dificuldades

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alunos e, dessa forma, torna-se capaz para propor estratégias adequadas para o ensino, tanto no sentido de refletir sobre essas causas como também nas devolutivas que pode dar ao aluno. Alguns erros podem se manifestar por causa de um descuido por parte do aluno e nesse caso basta chamar sua atenção para o ocorrido que logo ele já corrige. Mas, há erros que são produzidos com certa frequência e requerem do professor conhecimentos sobre suas causas.

Davis e Espósito (1990) consideram que, quando o aluno acerta uma situação-problema, o professor deverá propor outras de maneira que o aluno possa avançar no que está sendo aprendido. Por outro lado, o que acontece quando ocorre o erro?

Os autores comentam que nesse caso há três possibilidades:

1. A criança possui a estrutura de pensamento6_{necessária à solução da tarefa, mas} selecionou procedimentos inadequados [...]

2. A criança errou porque a estrutura de pensamento que possui não é suficiente para solucionar a tarefa [...]

3. A criança errou porque não possui a estrutura de pensamento de pensamento necessária à solução da tarefa [...] (DAVIS e ESPÓSITO, 1990, p. 74).

Diante das considerações dessas autoras, é possível ter noção que estamos diante de algo mais complexo do que normalmente parece. Por trás de um erro, há muito a ser descoberto. Quando o professor corrige o erro do aluno, apontando somente onde está a falha, mas não procurando compreender o motivo daquele erro estar ocorrendo, ele não dá a possibilidade do aluno reorganizar suas ideias sobre o objeto que está sendo aprendido. Nesse caso, o erro perde todo seu significado e potencial pedagógico.

Outra causa do aparecimento de erros baseia-se na ideia dos obstáculos que foi introduzida na Educação Matemática por Guy Brousseau.

Para Brousseau (1983 apud ALMOULOUD, 2010, p. 132)

O erro não é somente o efeito da ignorância, da incerteza, do acaso [...], mas o efeito de um conhecimento anterior que, por um tempo, era interessante e conduzia ao sucesso, mas agora se mostra falso, ou simplesmente inadaptável. Os erros deste tipo não são erráticos e imprevisíveis, mas se constituem em obstáculos. Tanto na ação do mestre como na do aluno, o erro é constitutivo do sentido do conhecimento adquirido.

Nesse sentido, o professor deve buscar conhecer as causas pelas quais os erros ocorrem e trabalhar em uma perspectiva que permita ao aluno perceber seu erro e tenha a possibilidade de refletir sobre ele.

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Em Socas et al. (1996) encontramos uma recomendação importante que vai na direção do que expomos. De acordo com os autores:

O estudante deve participar ativamente no processo de superação seus próprios erros, para isso, o professor deve provocar conflito em sua mente a partir da inconsistência de seus próprios erros, forçando-o a participar ativamente na resolução do conflito substituindo os conceitos falsos pela compreensão conceitual adequada. (p. 109)

O conhecimento das causas dos erros possibilita ao professor ter a noção sobre como o aluno está pensando, e o modo como está interpretando o que está sendo ensinado. Avançar no desenvolvimento do conteúdo passando por cima das manifestações dos erros não contribuirá com o processo de aquisição do conhecimento pelo aluno. Ao contrário, somente lhe trará prejuízos que acumularão dificuldades ao longo da vida escolar.

2.2.3 Erros e dificuldades em Álgebra

A Álgebra com sua linguagem própria faz com que a torne um importante instrumento de representação de formas de pensamento, operações e relações. Verificamos essa importância também quando em outras áreas do conhecimento se faz uso da linguagem algébrica como ferramenta para resolução de problemas.

No entanto, apropriar-se da linguagem algébrica não é tarefa tão simples, como aponta Palarea (1998):

sua aprendizagem gera muitas dificuldade aos alunos e estas dificuldades são de naturezas diferentes e tem a ver com a complexidade dos objetos da Álgebra, com os processos de pensamento algébrico, com o desenvolvimento cognitivos dos alunos, com os métodos de ensino e com atitudes afetivas e emocionais e em relação à Álgebra. (p. 74)

Muitas vezes, essas dificuldades são manifestadas por meio dos erros que os alunos cometem ao resolverem questões que envolvem Álgebra e vem sendo objeto de investigação de muitos educadores matemáticos.

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a) o foco da atividade algébrica e a natureza das respostas b) o uso da notação e da convenção em álgebra

c) o significado das letras e das variáveis

d) os tipos de relações e métodos usados em aritmética (BOOTH, 1995, p. 24).

Com relação ao primeiro aspecto, Booth (1995, p. 24) salienta a diferença na natureza das respostas em aritmética e em Álgebra. Enquanto em aritmética, o foco é

“encontrar respostas numéricas particulares” em Álgebra, “é estabelecer procedimentos e

relações e expressá-los numa forma simplificada mais geral”.

No caso do segundo aspecto que se refere às notações e convenções em Álgebra, a pesquisadora aponta as dificuldades dos alunos em relação aos sinais de + e =. Na aritmética, o sinal de + tem um sentido de realizar uma operação, e o sinal de = prevê que se dê o resultado de alguma operação. No entanto, em Álgebra nem sempre é assim. Por exemplo, ao adicionar 2a + 5b = 7ab, o aluno apresenta a ideia de que é preciso fazer uma operação e não compreende o sinal + no sentido da apresentação uma adição.

O terceiro aspecto destacado por Booth (1995) refere-se às letras e às variáveis. A pesquisadora aponta para o fato que a letra é usada em aritmética de modo diferente da Álgebra.

Por fim, o fato, de muitas vezes, a Álgebra ser a própria aritmética generalizada, é uma fonte de dificuldade. Para que tais dificuldades não existam é necessário primeiro que os conhecimentos aritméticos estejam consolidados. Booth (1995) afirma que

se os alunos tiverem concepções erradas a respeito deles, seu desempenho em álgebra poderá ser afetado. Nesse caso, as dificuldades que o aluno tem em álgebra não são tanto de álgebra propriamente dita, mas de problemas em aritmética que não foram corrigidos. (p. 33)

Palarea (1998) também aponta a ligação entre o fato das dificuldades em aritmética implicarem dificuldades em Álgebra. Após analisar as ideias de outros pesquisadores com sua experiência em diferentes níveis de ensino, a pesquisadora organizou os erros em duas categorias: erros de Álgebra que estão na Aritmética e erros de Álgebra em razão das características próprias da linguagem algébrica.

Entre os erros de Álgebra, que estão na Aritmética, a pesquisadora engloba: 1) Erros relativos ao mal uso da propriedade distributiva;

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3) Erros de cancelamento.

De acordo com Palarea (1998, p. 82), os erros relacionados à linguagem algébrica

“são de natureza estritamente algébrica e não têm referência explícita na aritmética.” Como exemplo, cita o sentido do sinal de igual na aritmética e na Álgebra.

Os estudos apresentados são relevantes no sentido de mostrarem os principais erros e as principais dificuldades dos alunos em Álgebra. De posse desse conhecimento, o professor instrumentaliza-se para o trabalho em sala e poderá propor atividades que possibilitem aos alunos minimizarem, e se possível, superarem tais dificuldades. Uma tarefa interessante da qual o professor pode facilmente se propor a fazer é analisar os erros que os alunos cometem, procurando encontrar regularidades, reincidências e padrões nesses erros. Dessa forma, é possível construir categorias dos erros mais recorrentes nas produções dos alunos.

2.2.4 Análise e categorias de erros em Álgebra

A análise dos erros que os alunos cometem ao resolverem exercícios e ou problemas de Matemática têm sido objeto de muitas pesquisas, tanto nos âmbito nacional como internacional. As pesquisas são organizadas, de acordo com objetivo que se pretende alcançar e inserem-se em diferentes linhas de pesquisas.

Rico (1995) considera como principais, quatro polos de linhas de pesquisa sobre análise de erros:

Primeiro: estudos relativos à análise de erros, causas que os produzem ou elementos que os explicam e taxonomias e classificações de erros detectados.

Segundo: estudos dedicados ao tratamento curricular dos erros de aprendizagem em matemática.

Terceiro: são considerados os estudos dedicados a determinar o que é importante aos professores em formação aprenderem em relação aos erros que os alunos cometem. Quarto: incluímos neste polo aqueles trabalhos de caráter técnico que implementam e mantém uma determinada classe de análise sobre erros. (p. 85)

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Essa diversidade de modos pelos quais é possível analisar os erros dos alunos é de fundamental importância, pois o erro revela as concepções que os alunos possuem ou não a respeito de determinados objetos do conhecimento.

Nesse sentido, a análise de erro pode se tornar um importante instrumento para o professor, por possibilitar a identificação do que o aluno tem conseguido aprender, de que maneira que essa aprendizagem vem se dando e quais estratégias pedagógicas são possíveis de serem utilizadas com o intuito de ajudar o aluno a avançar.

Para Cury (2007)

Qualquer produção, seja aquela que apenas repete uma resolução-modelo, seja a que indica a criatividade do estudante, tem características que permitem detectar as maneiras como o aluno pensa e, mesmo, que influências ele traz de sua aprendizagem anterior, formal ou informal. Assim, analisar as produções é uma atividade que traz para o professor e para os alunos, a possibilidade de entender, mais de perto, como se dá a apropriação do saber pelos estudantes. (p.13)

Com base nessa análise da produção dos alunos, conforme recomenda Cury (2007) é possível perceber as regularidades de certos erros, as concepções equivocadas dos alunos, os possíveis obstáculos que são partes do próprio conhecimento que está impedindo o aluno de aprender. É possível ainda fazer uma reflexão sobre os resultados de determinadas metodologias adotadas e a pertinência do currículo.

Tendo em vista que o objetivo de nossa pesquisa é analisar as estratégias utilizadas com foco na identificação dos erros dos alunos em questões de Álgebra do Saresp, passaremos a apresentar as classificações de erros propostas por Radatz (1979) e Movshovitz-Hadar, Zaslavsky e Inbar (1987), destacando o fato de que, para nossa pesquisa, utilizamos essa última proposta de classificação por conta das categorias presentes nesse estudo.

Iniciamos por Radatz (1979) que realizou uma classificação de erros em cinco categorias:

1. Erros em razão das dificuldades de linguagem

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2. Erros em razão das dificuldades para obter informação espacial

Alguns alunos têm dificuldade para obter informação visual ou espacial na execução de uma tarefa matemática;

3. Erros em razão de uma aprendizagem deficiente de dados, habilidades e conceitos prévios Os erros incluídos nesta categoria são aqueles que aparecem, quando os alunos necessitam de conhecimentos anteriores para a realização da tarefa;

4. Erros em razão das associações incorretas ou da rigidez de pensamento

As experiências com problemas anteriores podem ser uma causa dos erros à medida que o aluno consegue perceber que se trata de nova situação. Dentro desta categoria, encontram-se os seguintes erros: erros por perseverança, erros de associação, erros de interferência, erros de assimilação e erros de transferência; e

5. Erros em razão da aplicação de regras ou estratégias irrelevantes

Erros deste tipo ocorrem, quando se aplicam regras ou estratégias similares em áreas de conteúdos diferentes.

Os pesquisadores Movshovitz-Hadar, Zaslavsky e Inbar (1987) com base na constatação a respeito do baixo desempenho dos alunos da escola secundária de Israel em um exame daquele país, determinaram seis categorias para os erros mais comuns apresentados. As categorias propostas são as seguintes:

1. Dados mal utilizados

Esta categoria inclui os erros que podem ser identificados, quando ocorre discrepância entre os dados fornecidos na questão e como o aluno os interpreta. Esse tipo de erro pode ocorrer, tanto no início da resolução de uma situação como durante o processo. Dentro desta categoria encontram-se os casos em que: o aluno acrescenta dados estranhos, despreza dados fornecidos que são necessários à resolução e compensa a falta de informação com dados irrelevantes; admite certas exigências que não são explícitas no problema, atribui a um elemento um significado inconsistente com o texto, utiliza um valor numérico de uma variável para outra variável e faz uma leitura errada do enunciado;

2. Interpretação incorreta de linguagem

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linguagem natural em um termo matemático ou equação não representa a situação quando, esta é descrita verbalmente; quando se utilizam símbolos para realizar uma operação, mas opera-se como se a situação fosse outra e a interpretação é incorreta dos símbolos gráficos. Como exemplo do último aspecto, os pesquisadores mostram a combinação incorreta de um par ordenado com um ponto de interseção de duas retas representadas graficamente;

3. Inferências logicamente inválidas

Nesta categoria de erros, estão aqueles que se relacionam muito mais a um raciocínio falacioso sobre as informações do que necessariamente a conteúdos específicos.

Para Movshovitz-Hadar, Zaslavsky e Inbar (1987)

A: Concluir a partir de uma instrução condicional (se p, então q) a conservar tanto em sua forma positiva (se q, então p) ou em sua forma contrapositiva (se não p, então não q).

B: Considerações a partir de uma instrução condicional (se p, então q) e da sua consequente q que o antecedente p é válido, ou concluir a partir de uma instrução condicional e a negação de seu antecedente (não p) que a negação de seu consequente (não q) é válida.

C: Concluir que p implica q quando q não segue necessariamente a partir de p. D: Utilizar quantificadores lógicos como "todos", "não existe", ou "pelo menos" no lugar errado.

E: Fazer um salto injustificado em uma inferência lógica, ou seja, afirmando que q segue de p sem fornecer a sequência necessária de argumentos principais de p para q, ou fornecer argumentos errôneos. (p. 10-11, tradução nossa).

4. Teoremas ou definições distorcidos

Nesta categoria estão os erros relacionados à distorção de um princípio identificável, uma regra, um teorema ou definição.

São elementos dessa categoria:

A: Aplicar um teorema fora de suas condições (por exemplo, a aplicação da lei dos

senos, a  b

sen α sen β, onde a e αnão pertencem ao mesmo triângulo como b e β).

B. Aplicar a propriedade distributiva para uma função ou operação não distributiva

(por exemplo, s en (α β ) sen α sen β   ; logalog a

b log b,   

n n n

( a b ) a b )

C: Uma citação imprecisa de uma definição reconhecível, teorema, ou fórmula (em

uma parábola, o valor mínimo é de min  

b x

a em vez de min  b x

2a;

   

( a b )² a² 2ab b²) (MOVSHOVITZ-HADAR, ZASLAVSKY e INBAR ,

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5. Falta de verificação da solução

Nesta categoria, estão os erros que se caracterizam quando o aluno segue todos os passos para resolver o problema corretamente, mas o resultado final não está de acordo com a pergunta inicialmente proposta. No entanto, se ele verificasse sua resposta levando em conta o enunciado do problema, o erro cometido poderia ser evitado;

6. Erros técnicos

Nesta categoria incluem-se os erros de cálculo, erros na extração de dados de tabelas, erros na manipulação de símbolos algébricos e outros erros de algoritmos que são estudados na matemática.

A classificação construída por Movshovitz-Hada, Zaslavsky e Inbar (1987) mostrou-se interessante a nossos objetivos, sobretudo, por conter as categorias: dados mal utilizados, interpretação incorreta da linguagem, falta de verificação da solução e erros técnicos. Em razão do fato de que o instrumento de coleta de dados que elaboramos ser composto por situações-problema, expressões a serem manipuladas algebricamente e também representações gráficas e algébricas, é que entendemos que esse referencial serve a nossos propósitos.

As categorias de erros apresentadas mostram os caminhos percorridos por diferentes pesquisadores que buscaram compreender, interpretar e classificar, com base na produção dos alunos, os erros mais recorrentes. Nesse sentido, a análise dos erros cometidos pelos alunos, especialmente, nas questões relacionadas à Álgebra, pode revelar a maneira como os alunos pensam e agem em relação aos conhecimentos algébricos.

Deter-se nas causas dos erros, buscando interpretá-los no sentido de se encontrar sua causa ou origem pode contribuir com o professor na organização do ensino e no modo como interpreta os erros dos alunos.

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A percepção da importância de se utilizar a análise dos erros é confirmada por Rico (1995) que enfatiza o uso dos erros pelo professor como modo de levar o aluno a compreender mais profundamente a Matemática. Conforme esse pesquisador:

Utilizar os erros como motivação e meio para interrogar sobre a natureza das matemáticas pode melhorar a compreensão das matemáticas como disciplina por parte dos estudantes. Compreender uma matéria implica muito mais simplesmente “aprender como compreensão” seu conteúdo básico. Também inclui compreender sua filosofia, a metodologia empregada, o alcance e as limitações da disciplina; deve incluir o desenvolvimento de atitudes positivas para a disciplina. (p.95).

Cabe citar ainda a contribuição de Bisognin, Cury e Fioreze (2005, p. 32) ao afirmarem que “Conhecer as concepções dos alunos sobre algum conceito, analisar como ele

pensa ao resolver um problema são elementos que podem fazer da análise de erros uma forma de pesquisar a própria prática pedagógica”.

Desse modo, a nossa pesquisa fundamenta-se nesses pressupostos ao propor a análise de estratégias com foco nos erros que os alunos cometem ao resolverem questões de Álgebra baseadas no Saresp. Para isso, analisaremos as resoluções dos alunos em um instrumento de coleta de dados que elaboramos a partir das questões que estão nos relatórios do Saresp de 2008 a 2011, buscando destacar as estratégias utilizadas pelos alunos e identificando os erros cometidos e classificando-os, de acordo com as categorias propostas por Movshovitz-Hadar, Zaslavsky e Inbar (1987) que são as seguintes: dados mal utilizados, interpretação incorreta de linguagem, inferências logicamente inválidas, teoremas ou definições distorcidos, falta de verificação da solução e erros técnicos.

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Capítulo 3

Revisão de Literatura

Muitos estudos têm como objetivo identificar as dificuldades dos alunos com relação à aprendizagem da Álgebra. Os enfoques desses estudos vêm sendo os mais diversos, como a compreensão da simbologia algébrica, a resolução de equações e a classificação de erros entre outros. A busca pela compreensão de quais aspectos interferem na aprendizagem da Álgebra, tanto no sentido de uma aprendizagem efetiva como no sentido de apontar os possíveis motivos de não se aprender vem sendo o objetivo constante de muitos pesquisadores em Educação Matemática.

Nosso percurso profissional vem mostrando que a aprendizagem da Álgebra não tem alcançado bons resultados. Em nossas reuniões de professores, temos debatido sobre o desempenho dos alunos nas aulas, nas avaliações internas e também nas externas, especialmente, em relação ao Saresp.

Tendo em vista esse cenário, procuramos pesquisas de mestrado e doutorado no banco de teses da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal do Nível Superior (CAPES) e nas bibliotecas de diferentes universidades, como a Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP), Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais (PUC-MG), Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul (PUC-RS), Universidade Federal de Pernambuco (UFPE), Universidade de São Paulo (USP), Universidade Estadual Paulista (Unesp Rio Claro), Universidade Estadual de Campinas (Unicamp), Universidade Federal de Mato Grosso (UFMT) e Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS) que, de alguma forma, estivessem relacionadas aos erros e dificuldades em Álgebra e pudessem nos auxiliar no aprofundamento da compreensão sobre como vem se dando a aprendizagem de Álgebra e que também servissem para a fundamentação da nossa pesquisa.

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A cada busca, procurávamos ler os resumos das pesquisas encontradas e selecionar aquelas que tinham como enfoque os erros e as dificuldades em Álgebra. Eram muitos os trabalhos relacionados ao assunto que nos interessavam. De todos os resumos lidos, escolhemos oito pesquisas, sendo uma tese e sete dissertações.

Na etapa seguinte, passamos, então, a analisar cada um desses estudos procurando identificar o problema e os objetivos da pesquisa, os procedimentos metodológicos empregados, a abordagem metodológica utilizada e a fundamentação teórica com vistas a entrar em contato com os principais autores da área, uma revisão de literatura para conhecer os estudos importantes relacionados ao tema da pesquisa e os resultados alcançados. Essa etapa foi importante por se caracterizar como um momento de imersão na problemática de nossa pesquisa.

A dissertação de mestrado de Ribeiro (2001) nos interessou pelo fato de que o pesquisador investigou o desempenho dos alunos em questões de Álgebra do Saresp, procurando analisar e classificar os erros revelados. Como já tínhamos a intenção de propor uma pesquisa sobre a análise de erros em Álgebra e a prova do Saresp era uma das opções para se fazer isso. Decidimos, após a leitura da pesquisa desenvolvida por Ribeiro (2001), também propor um estudo que investigasse as resoluções apresentadas pelos alunos em um instrumento composto por questões de Álgebra do Saresp. A próxima etapa, então, era escolher as provas do Saresp para a seleção das questões que iriam compor esse instrumento.

Atualmente, as provas do Saresp não ficam disponíveis na escola, após a aplicação tal como acontecia anteriormente. Só é possível ter acesso a algumas questões por meio dos relatórios pedagógicos publicados pela SEE-SP, sempre no ano seguinte ao da aplicação da prova. Procurando utilizar as questões mais atuais, escolhemos selecioná-las a partir de 2008, que foi o ano do primeiro relatório publicado pela SEE-SP. Todo o processo de seleção das questões para compor nosso instrumento de coleta de dados explicaremos no capítulo sobre os procedimentos metodológicos.