A média é então tomada como estimativa da propriedade em

(1)

Con side r a çõe s I n icia is

É im possível saber, ant es de am ost rar, de que m aneira os valores das variáveis irão se com port ar: se dependent e ou independent e um a da out ra.

Devido as lim it ações da est at ística clássica e pelo fat o de que m uitas variáveis são heterogêneas ( os atributos variam no espaço e no t em po) , torna- se necessária a ut ilização de procedim ent os estatísticos adicionais, que considerem e reflitam essa variações.

Assum indo as hipót eses exigidas pela est at íst ica clássica, pode- se dizer que:

um va lor m e dido é em part e explicado por um a m é dia e

(2)

Os desvios dos valores em t orno da m édia são assum idos com o sendo in de pe n de n t e s e com dist r ibu içã o n or m a l de m é dia ze r o e va r iâ n cia σ²

ou sej a

a m é dia a r it m é t ica dos dados am ostrais é adotada com o sendo bom e st im a dor da posiçã o ce n t r a l dos va lor e s da popu la çã o.

A m é dia é ent ão t om ada com o est im at iva da propriedade em loca is n ã o a m ost r a dos, tornando necessário ident ificar o nível de

precisão dessa m édia com o est im ador, o que, na est at íst ica clássica, é realizado por m eio das m e dida s de dispe r sã o.

Quando é verificado que a com pon e n t e r e sidu a l da va r iâ n cia é r e la t iva m e n t e m u it o gr a n de, o que norm alm ent e é indicado por

um a lt o CV, o experim ent o ficar prej udicado, sendo que a ca u sa pode se r a va r ia bilida de do con j u n t o de da dos, assum ido com o

(3)

Se a dist r ibu içã o e spa cia l da s a m ost r a s é con side r a da, em

m uitos casos, se r á possíve l t ir a r va n t a ge m da va r ia bilida de e spa cia l.

Port ant o a est at íst ica clássica e a geoest at íst ica, ou est at íst ica espacial, se com plem ent am . Um a não exclui a out ra, e pergunt as não respondidas por um a, m uit as vezes podem ser respondidas pela outra.

Quando os da dos sã o a bu n da n t e s, os m é t odos de in t e r pola çã o, em geral produzem valores sem elhant es.

Os m ét odos tradicionais de int erpolação espacial com o

t r ia n gu la çã o e m é t odo do in ve r so do qu a dr a do da dist â n cia, no

caso de da dos e spa r sos, possuem lim it a çõe s na represent ação da

(4)

A sequência de passos em um est udo geoest at íst ico envolve:

1) Análise exploratória dos dados para que se possa t er a com preensão da nat ureza espacial da variável;

2) Análise estrutural do conj unto de dados para determ inação da correlação espacial ou continuidade dos dados;

3) Elaboração de est im at ivas por krigagem para est im ar valores em pont os não am ost rados.

Ant es de selecionar a t écnica de est im at iva m ais apropriada devem os responder a algum as quest ões básicas:

- Querem os um a est im at iva global ou local?

- Nosso obj et ivo é est im ar apenas a m édia ou a dist ribuição com plet a dos dados?

- Querem os est im ar valores pont uais ou blocos?

(5)

I n t e r pola çã o

- Atribuição de pesos para as am ost ras (w eight ed average int erpolat ion algorit hm s) .

- Pesos ent re 0 e 1, sendo que o som at ório dos pesos deve ser 1.

- Quant o m ais pert o um dado nó do grid, m aior seu peso.

I n t e r pola dor e s Clá ssicos

Polígonos: define zonas/ áreas de influência, sendo o peso de acordo com a área que corresponde a cada am ost ra;

I nverso da dist ância: valor est im ado a part ir de com binações lineares dos dados vizinhos, com o peso dado pela dist ância que separa as am ostras;

(6)

D e sva n t a ge m dos m é t odos clá ssicos

- Não consideram o suport e am ost ral;

- Não consideram o padrão de variabilidade espacial;

- Não fornecem m edida de erro da est im at iva.

Va n t a ge m dos m é t odos clá ssicos

- Sim ples;

- I ntuitivos;

(7)

Est im a t iva por com bin a çã o lin e a r pon de r a da

A ideia básica é est im arm os um at ribut o qualquer em um a posição usando:

Em que: u refere- se a um a localização qualquer

Z* ( u) é o valor estim ado nessa localização u

exist em n dados Z( u_i), i = 1,...,n na circunvizinhança de u

λ_i refere- se aos pesos calculados.

Quais os fat ores que devem ser considerados para calcular os pesos?

- Proxim idade das am ost ras;

- Redundância ent re dados am ost rais; - Anisotropia;

(8)

A krigagem é um est im ador linear a part ir da inform ação disponível, em que t em or z( u) posições desconhecidas e dados nas posições z( u_α) com o realizações da variável regionalizada em est udo.

Em que: = é o valor estim ado;

= m édia do at ribut o z( u);

= pesos a serem det erm inados.

(9)

Essa variância deve ser m inim izada sob a condição de não-t endenciosidade.

Assim a geoest at íst ica é um conj unt o de técnicas est at íst icas ut ilizadas para analisar a variabilidade e est im ar valores de um a variável de int eresse.

A m et odologia propost a pela geoest at íst ica difere da propost a pela est at íst ica clássica, basicam ent e, na form a de avaliar a variação dos dados.

(10)

A regionalização da variável é a m aneira de ident ificar e avaliar a est rut ura espacial dos atribut os est udados.

Um a prem issa básica é que em t odas as áreas exist em regiões m ais ricas do que outras, para um a det erm inada variável.

Ou sej a, o valor da variável regionalizada f( x ) depende da posição

espacial x.

Na teoria das variáveis regionalizadas, Z( x ) pode ser definida

com o um a variável aleatória que assum e diferentes valores Z em

função de x.

O que diferencia a k r iga ge m de out ros m ét odos de int erpolação é

a e st im a çã o de u m a m a t r iz de cova r iâ n cia e spa cia l que

det erm ina os pe sos at ribuídos às diferent es am ost ras, o t r a t a m e n t o da r e du n dâ n cia dos da dos, a vizin h a n ça a se r con side r a da no

(11)

O conj unt o de am ost ras deve ser represent at ivo do fenôm eno que se pret ende est udar.

Se x represent a um a posição em um a, duas ou t rês dim ensões,

então o valor da variável Z, em x, é, dada por ( Burrough, 1987) :

onde: m ( x ) é um a função det erm iníst ica que descreve a

com ponent e est rut ural de Z em x;

ε’( x ) é um term o est ocást ico, que varia localm ent e e

depende espacialm ent e de m ( x ) ;

ε” é um ruído aleat ório não correlacionado, com

(12)

A hipót ese m ais com um é cham ada e st a cion a r ida de de 2 ª or de m:

⇒ A com ponent e det erm iníst ica, m ( x ) , é constante ( não há

t endências na região) .

⇒ A variância das diferenças ent re duas am ost ras depende som ente da distância h ent re elas, ist o é:

γ( h ) é cham ado de sem ivariância.

Para m ost rar a cont ribuição da sem ivariância, podem os reescrever a equação com o:

Em outras palavras, com o supom os m ( x ) ser constante, a variação

(13)

VARI OGRAM A ( SEM I VARI OGRAM A)

Quando a am ost ragem envolve duas direções ( x,y) o inst rum ent o m ais indicado na est im at iva da dependência ent re am ost ras é o variogram a ( Silva, 1988) .

O variogram a é um a ferram ent a básica de suport e às t écnicas de krigagem, que perm it e represent ar, quant it at ivam ent e, a variação de um fenôm eno regionalizado no espaço ( Huij bregt s, 1975) .

Considere duas variáveis regionalizadas, X e Y, onde X= Z( x) e Y= Z( x+ h) .

Nest e caso, referem - se ao m esm o at ribut o ( por exem plo, t eor de zinco no solo) m edido em duas posições diferent es, onde x

denota um a posição de duas dim ensões, com com ponent es ( x,y) , e h um vet or dist ância

(14)

O n íve l de de pe n dê n cia ent re essas duas variáveis

regionalizadas, X e Y, é r e pr e se n t a do pe lo va r iogr a m a, 2γ( h ), o

qual é definido com o a e spe r a n ça m a t e m á t ica do qu a dr a do da dife r e n ça e n t r e os va lor e s de pon t os n o e spa ço, se pa r a dos pe lo ve t or de dist â n cia h, isto é,

At ravés de um a am ost ra z( x_i) , i = 1,2,...,n, o variogram a pode ser est im ado por:

onde: é o variogram a est im ado;

N( h) e o núm ero de pares de valores m edidos, z( x_i) e z( x_i+ h) , separados por um vet or dist ância h;

(15)

O variogram a é função do vet or h ( m ódulo e direção) .

Essa equação é t am bém definida com o sem ivariogram a, porque é dividida por 2.

Para efeito prático, tratar- se- á variogram a e sem ivariogram a com o m esm o significado.

O variogram a norm alm ente atinge o patam ar, cham ado de sill, o

qual é aproxim adam ent e igual a variância tot al dos valores am ost rais ( a variância a priori dos dados) .

(16)

Em bora o variogram a deva passar pela origem

γ( 0) = 0,

frequent em ent e ele aparece cort ando o eixo vert ical em um valor posit ivo, cham ado efeit o pepit a (n u gge t e ffe ct) .

(17)

VARI OGRAM A ( SEM I VARI OGRAM A) Pa r â m e t r os do va r iogr a m a

O seu padrão represent e o que, int uit ivam ent e, se espera de dados de cam po, ist o é, que as diferenças { Z( x_i) -Z( x_i+ h) } decresçam , a m edida que h, a dist ância que os separa, decresce.

É esperado que observações m ais próxim as

geograficam ent e t enha um

com port am ent o m ais sem elhant e ent re si do que aquelas

separadas por

m aiores distâncias.

(18)

Alca n ce ( a ) : dist ância, dent ro da qual, as am ost ras apresent am

-se correlacionadas espacialm ent e.

Pa t a m a r ( C) : é o valor do variogram a correspondente a seu

alcance ( a).

Desse pont o em diant e, considera- se que não exist e m ais dependência espacial ent re as am ost ras, porque a variância da diferença entre pares de am ostras torna- s invariante com a distância.

Efe it o Pe pit a ( C₀) : idealm ent e igual a zero.

Ent ret ant o, na prát ica, à m edida que h tende a 0 ( zero) ,

γ(

h) se

aproxim a de um valor posit ivo, (C₀) , que revela a descont inuidade do

sem ivariogram a para dist âncias m enores do que a m enor dist ância entre as am ostras.

(19)

Con t r ibu içã o ( C₁) : é a diferença ent re o pat am ar (C) e o efeito

pepit a (C₀) .

Cá lcu lo do se m iva r iogr a m a pa r a a m ost r a s r e gu la r m e n t e e spa ça da s

Para determ inar o sem ivariogram a experim ent al, por exem plo, na direção de 90º , o cálculo de é repet ido para t odos os int ervalos de h.

Suponha a dist ância ent re dois pont os consecut ivos igual a 100m .

Ent ão, qualquer par de observações, na direção de 90º , cuj a dist ância é igual a 100m , será incluído no cálculo de ( 90º ,100m ) .

I st o feit o, os cálculos são repet idos para a próxim a dist ância, por exem plo, 200m .

(20)

(21)

(22)

Cá lcu lo do se m iva r iogr a m a a pa r t ir de u m a m a lh a de a m ost r a ge m ir r e gu la r m e n t e e spa ça da .

Nest e caso é necessário

int roduzir lim it es de t olerância para direção e

distância.

(23)

Cá lcu lo do se m iva r iogr a m a a pa r t ir de u m a m a lh a de a m ost r a ge m ir r e gu la r m e n t e e spa ça da

Lag refere- se a um a dist ância pré- definida, a qual é ut ilizada no cálculo do sem ivariogram a.

Suponha um increm ent o de Lag igual a 100m com tolerância de 50m .

Considere ainda a direção de m edida de 45º com t olerância angular de 22,5º .

Ent ão, qualquer par de observações cuj a dist ância est á com preendida ent re 150m e 250m e 22,5º e 67,5º será incluído no cálculo do sem ivariogram a de Lag2.

(24)

Cá lcu lo do se m iva r iogr a m a a pa r t ir de u m a m a lh a de a m ost r a ge m ir r e gu la r m e n t e e spa ça da

A largura da banda ( BW) se refere a um valor de aj ust e a partir do qual se rest ringe o núm ero de pares de observações para o cálculo do sem ivariogram a.

(25)

M ode los de Se m iva r iogr a m a s ( Va r iogr a m a s)

O aj ust e de um m odelo teórico ao sem ivariogram a experim ent al não é direto e autom ático, pois, nesse processo, o int érprete faz um prim eiro aj uste e verifica a adequação do m odelo t eórico.

Dependendo do aj ust e obt ido, pode ou não redefinir o m odelo, at é obter um que sej a considerado sat isfat ório.

Os m odelos podem ser de dois t ipos: m ode los com pa t a m a r e m ode los se m pa t a m a r.

Os m ode los com pa t a m a r são conhecidos com o m ode los t r a n sit ivos.

(26)

Os m ode los se m pa t a m a r cont inuam aum ent ando enquant o a

dist ância aum ent a.

Tais m odelos são ut ilizados para m odelar fenôm enos que possuam capacidade infinit a de dispersão (m ode lo pot ê n cia) .

Os m ode los t r a n sit ivos m ais utilizados são:

- Modelo esférico ( Sph) ;

- Modelo Exponencial ( Exp) ; e

(27)

M ode lo e sfé r ico ( Sph )

O m odelo esférico e um dos m odelos m ais ut ilizados e a equação norm alizada é:

(28)

M ode lo e x pon e n cia l ( Ex p)

A equação norm alizada é:

(29)

M ode lo ga u ssia n o ( Ga u )

É um m odelo t ransit ivo, m uit as vezes, usada para m odelar fenôm enos ext rem am ent e cont ínuos. Sua form ulação é dada por:

Esse m odelo t am bém at inge o pat am ar assint ot icam ent e, com alcance prát ico definido com o a dist ância na qual o valor do m odelo é 95% do pat am ar ( I saaks; Srivast ava, 1989) .

(30)

Lin e a r

Sua form ulação é dada por:

Nest e m odelo o pat am ar é det erm inado por inspeção.

O coeficient e angular C/ a é det erm inado pela inclinação da ret a que passa pelos prim eiros pont os de

γ(

h) dando- se m aior peso

(31)

M ode lo cú bico

(32)

M ode lo e fe it o fu r o (h ole e ffe ct)

M ode lo pot ê n cia

O m odelo pot ência não é um m odelo t ransit ivo, port ant o não at inge o patam ar.

(33)

(34)

M ode los a n in h a dos

Os m odelos aninhados são com binações de m odelos sim ples ut ilizados para m odelar fenôm enos m ais com plexos.

(35)

Gr a u de D e pe n dê n cia Espa cia l

Os variogram as expressam o com port am ent o espacial da variável regionalizada ou de seus resíduos e m ost ram o t am anho da zona de influência em t orno de um a am ost ra, a variação nas diferent es direções do t erreno, indicando t am bém cont inuidade da caract eríst ica est udada no t erreno ( Landim , 1998) .

Trangm ar et al ( 1985) sugeriram o uso da % da variância do efeit o pepit a para m ensurar a dependência espacial ( I DE) , sendo que Cam bardella et al ( 1994) propuseram os seguint es int ervalos para avaliar a % da variância do efeito pepita:

I DE ≤ 25% = fort e dependência espacial;

25% ≤ I DE ≤ 75% = m oderada dependência espacial;

(36)

Gr a u de D e pe n dê n cia Espa cia l

Zim back ( 2001) propôs a inversão dos fat ores, com o:

e a classificação quant o ao grau de dependência espacial da variável em est udo é:

i) variável independent e espacialm ent e – se a relação ent re a com ponent e est rut ural e o pat am ar for igual a 0% , nest e caso o variogram a será com efeito pepita puro;

ii) variável com fraca dependência espacial – se a com ponent e est rut ural for m enor ou igual a 25% do pat am ar;

iii) Variável com m oderada dependência espacial – se a com ponent e est rut ural est iver ent re 25% e 75% do pat am ar;