Introdução à Teoria dos Autômatos – Autômato de Pilha

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Introdução à Teoria

dos Autômatos

–

Autômato de Pilha

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Introdução

• Um Autômato de Pilha (AP) é um modelo de máquina de estados, assim como os AFs, que permite representar um determinado conjunto de linguagens.

• Em contraste com os AFs (que armazenam apenas o estado atual e a sequência de símbolos restantes), os APs possuem um mecanismo primitivo de memória capaz de registrar alguma informação sobre os passos anteriores da execução da máquina.

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Alfabeto da Pilha

• Os símbolos que podem ser empilhados e desempilhados fazem parte de um alfabeto próprio, chamado de alfabeto da pilha e é designado pela letra Γ (gama)

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Empilhamento e

Desempilhamento

• Exemplo de sequência de empilhamento e

desempilhamento de símbolos, com Γ = {X,Y,Z}

X Y X X Z X X X

Pilha vazia Empilhamento de X Empilhamento de Y

Desempilhamento de Y Empilhamento de Z Desempilhamento de Z

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Empilhamento e

Desempilhamento

• Pode-se também empilhar qualquer palavra, e a palavra λ também pode ser desempilhada

• Neste caso, o empilhamento ocorre na ordem inversa

X

Z Y

X

Y X

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Empilhamento e

Desempilhamento

• Pode-se também empilhar qualquer palavra, e a palavra λ também pode ser desempilhada

• Neste caso, o empilhamento ocorre na ordem inversa

X X Z Y X X Y X X X X

Estado atual da pilha Empilhamento

da palavra ZY

Desempilhamento e empilhamento de YX A pilha pode empilhar uma sequência de símbolos, porém só

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Iniciação e Reconhecimento

• O AP sempre inicia a sua execução com a pilha vazia

• O modelo padrão de AP reconhece uma palavra quando as três condições seguintes são obedecidas

simultaneamente

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Representação da Pilha

• O conteúdo da pilha em um determinado instante é

representado por uma palavra s, onde s ∈ Γ*, cujo

conteúdo é a sequência de símbolos da pilha do topo para a base

Pilha vazia e representada pela palavra s ₌λ

Z Y X X

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Transições

• Nos APs, as transições representam

 O símbolo da palavra consumida (assim como nos AFs)

 Um símbolo a ser desempilhado (ou λ, caso nada deva ser empilhado)

 Uma palavra a ser empilhada

B A

a_{, X/Y}

δ(A,a_{,X) = (}_B_,Y)

A função de transição opera sobre um argumento adicional (o símbolo, ou λ, que será desempilhado) e retorna uma tupla (que inclui a palavra que será empilhada)

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Exemplo

• Transição

 Palavra de entrada: abcba

 Estado atual: A

 Pilha atual: s = XYYX

• A transição ocorre

• Após a transição

 Palavra de entrada: bcba (consumiu a)

 Estado atual: B

 Pilha atual: s = YYYX

(desempilhou X e empilhou Y)

B A

a_{, X/Y}

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Exemplo

• Transição

 Estado atual: A

 Palavra de entrada: abcba (consumiu λ)

 Estado atual: B

 Pilha atual: s = YXYYX

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Exemplo

• Transição

 Estado atual: A

 Palavra de entrada: bcba (consumiu λ)

 Estado atual: B

 Pilha atual: s = ZZXYYX (desempilhou λ e empilhou ZZ)

B

A a

, λ /ZZ

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Exemplo

• Transição

 Estado atual: A

• A transição não ocorre

• Não é possível consumir b

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Exemplo

• Transição

 Estado atual: A

• A transição não ocorre

• É possível consumir a

• Mas não é possível

desempilhar Y pois não está no topo da pilha

B

A a

, Y /λ

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Casos de Uso e Exemplos

• O caso de uso mais comum de APs é utilizar a pilha

como um contador de símbolos

 Em uma primeira etapa, a pilha é populada para registrar o número de ocorrências de um determinado símbolo de

entrada

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Casos de Uso e Exemplos

• Exemplo 1: {an_bn _{| n}≥ _0}

an _bn

a_,λ/_X

b_{, X/}λ

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Casos de Uso e Exemplos

• Exemplo 1: {an_bn _{| n}≥ _0} _• _{A primeira transição}

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Casos de Uso e Exemplos

• Exemplo 1: {an_bn _{| n}≥ _0} _• _{A primeira transição}

empilha um símbolo X para cada símbolo a da palavra de entrada

• As demais transições

desempilham um símbolo X para cada símbolo b da

palavra de entrada

an _bn

a_,λ/_X

b_{, X/}λ

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Casos de Uso e Exemplos

• Exemplo 1: {an_bn _{| n}≥ _0} _• _{Palavra de entrada:}_a_aaabbbb

• Estado atual: an

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Casos de Uso e Exemplos

• Exemplo 1: {an_bn _{| n}≥ _0} _• _{Palavra de entrada:}_a_aabbbb

• Pilha atual: s = X

an _bn

a_,λ/_X

b_{, X/}λ

(21)

Casos de Uso e Exemplos

• Exemplo 1: {an_bn _{| n}≥ _0} _• _{Palavra de entrada:}_a_abbbb

(22)

Casos de Uso e Exemplos

• Exemplo 1: {an_bn _{| n}≥ _0} _• _{Palavra de entrada:}_a_bbbb

• Pilha atual: s = XXX

an _bn

a_,λ/_X

b_{, X/}λ

(23)

Casos de Uso e Exemplos

• Exemplo 1: {an_bn _{| n}≥ _0} _• _{Palavra de entrada:}_b_bbb

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Casos de Uso e Exemplos

• Exemplo 1: {an_bn _{| n}≥ _0} _• _{Palavra de entrada:}_b_bb

• Estado atual: bn

an _bn

a_,λ/_X

b_{, X/}λ

(25)

Casos de Uso e Exemplos

• Exemplo 1: {an_bn _{| n}≥ _0} _• _{Palavra de entrada:}_b_b

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Casos de Uso e Exemplos

• Exemplo 1: {an_bn _{| n}≥ _0} _• _{Palavra de entrada:}_b

an _bn

a_,λ/_X

b_{, X/}λ

(27)

Casos de Uso e Exemplos

• Exemplo 1: {an_bn _{| n}≥ _0} _• _{Palavra de entrada:}λ

(28)

Casos de Uso e Exemplos

• Exemplo 1: {an_bn _{| n}≥ _0} _• _{Palavra de entrada:}λ

• Pilha atual: s = λ

an _bn

a_,λ/_X

b_{, X/}λ

√ Palavra consumida √ Estado final

√ Pilha vazia

(29)

Casos de Uso e Exemplos

• Exemplo 1: {an_bn | n ≥ 0} _• _{Palavra de entrada:}_a_aaabb

(30)

Casos de Uso e Exemplos

• Exemplo 1: {an_bn | n ≥ 0} _• _{Palavra de entrada:}_a_aabb

an _bn

a_,λ/_X

b_{, X/}λ

(31)

Casos de Uso e Exemplos

• Exemplo 1: {an_bn | n ≥ 0} _• _{Palavra de entrada:}_a_abb

(32)

Casos de Uso e Exemplos

• Exemplo 1: {an_bn | n ≥ 0} _• _{Palavra de entrada:}_a_bb

an _bn

a_,λ/_X

b_{, X/}λ

(33)

Casos de Uso e Exemplos

• Exemplo 1: {an_bn | n ≥ 0} _• _{Palavra de entrada:}_b_b

(34)

Casos de Uso e Exemplos

• Exemplo 1: {an_bn | n ≥ 0} _• _{Palavra de entrada:}_b

an _bn

a_,λ/_X

b_{, X/}λ

(35)

Casos de Uso e Exemplos

• Exemplo 1: {an_bn | n ≥ 0} _• _{Palavra de entrada:}λ

(36)

Casos de Uso e Exemplos

• Exemplo 1: {an_bn | n ≥ 0} _• _{Palavra de entrada:}λ

• Pilha atual: s = XX

an _bn

a_,λ/_X

b_{, X/}λ

⨉ Palavra consumida ⨉ Estado final

⨉ Pilha vazia

(37)

Casos de Uso e Exemplos

• Exemplo 1: {an_bn | n ≥ 0} _• _{Palavra de entrada:}_a_abbbb

(38)

Casos de Uso e Exemplos

• Exemplo 1: {an_bn | n ≥ 0} _• _{Palavra de entrada:}_a_bbbb

an _bn

a_,λ/_X

b_{, X/}λ

(39)

Casos de Uso e Exemplos

• Exemplo 1: {an_bn | n ≥ 0} _• _{Palavra de entrada:}_b_bbb

(40)

Casos de Uso e Exemplos

• Exemplo 1: {an_bn | n ≥ 0} _• _{Palavra de entrada:}_b_bb

an _bn

a_,λ/_X

b_{, X/}λ

(41)

Casos de Uso e Exemplos

(42)

Casos de Uso e Exemplos

• Pilha atual: s = λ

an _bn

a_,λ/_X

b_{, X/}λ

⨉ Palavra consumida ⨉ Estado final

⨉ Pilha vazia

(43)

Casos de Uso e Exemplos

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Casos de Uso e Exemplos

• Exemplo 2: {an_b2n _{| n}≥ _0}

• O número de b’s é o dobro do número de a’s

• Solução

 Empilhar dois símbolos para cada a consumido

Desempilhar um símbolo para cada b consumido

an _bn

a_,λ/_XX

b_{, X/}λ

(45)

Casos de Uso e Exemplos

• Exemplo 3: {a2n_bn _|n ≥ _0}

• O número de a’s é o dobro do número de b’s

A B

a_,λ/_X

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Casos de Uso e Exemplos

• O “contador” implementado

pela pilha não precisa ser utilizado imediatamente

• A contagem pode ser necessária em um ponto mais adiante

• Exemplo 4:

• {an_bm_an_|n ≥ 0 e m > 0}

A B

a_,λ/_X

b_,λ_/λ

C

B C

b_,λ_/λ

a_{, X/}λ

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Casos de Uso e Exemplos

• O “contador” implementado

pela pilha não precisa ser utilizado imediatamente

• A contagem pode ser necessária em um ponto mais adiante

• Exemplo 4:

• Algumas transições não alteram a pilha, pois

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Exercícios (FAÇA APD)

• 1. L = {xy | x

∈

{a,b}*, y

∈

{c,d}* e

|x| = |y| }

• 2. L = {a

m

_b

n

_c

m+n

| m, n ≥ 0}

• 3. L = {a

i

_b

j

_c

k

_d

m

_{| i+j = k+m , i, j, k,}

m ≥ 0}

• 4. L = {a

m

_b

n

_c

n

_d

m

_{,| m,n}

≥ 0}

(49)

(50)

Introdução

• No caso dos AFs, é simples determinar se ele é determinístico ou não

• Se houver transições λ, então o AF é não determinístico

• Se existir transição de saída a partir de todos os estados para cada símbolo do alfabeto de entrada e não houver mais de uma transição de saída para o mesmo símbolo a partir de algum estado, então o AF é determinístico

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Introdução

• Nos APs, a questão é um mais complexa

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Não Determinismo

• Há os casos óbvios de não

determinismo

• Duas transições idênticas levando a estados dis6ntos

• Mas esse não é o único caso!

B

A

0, Y/ λ

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Não Determinismo

• Se o autômato entrar no estado A com o símbolo Y no topo da pilha, há dois

caminhos possíveis

• 1. Empilhar X e transitar para B

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Não Determinismo

• A ambiguidade também

pode ocorrer com transições que seguem para o mesmo estado

• O autômato pode transitar de A para B com dois efeitos distintos

• 1. Consumir 0 e empilhar X

• 2. Consumir 0 e empilhar Y

B A

0, λ/X

(55)

Não Determinismo

• A ambiguidade pode ocorrer

até mesmo quando a

palavra a ser consumida é diferente

• O autômato pode transitar de A para B com dois efeitos distintos, caso o próximo símbolo seja 0 e a pilha con6ver X no topo

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Não Determinismo

• Em resumo, a ambiguidade pode ocorrer dependendo dos seguintes fatores (para transições saindo do mesmo

estado)

• Símbolo a ser consumido da palavra de entrada

• Símbolo a ser re6rado da pilha

• Um AP é não determinístico se houver pelo menos duas transições compatíveis

• Transições compatíveis são aquelas que partem do mesmo estado e que podem ser executadas

(57)

Transições Compatíveis

(58)

Transições Compatíveis

B

A

a, λ / λ

C b, λ/ λ

As transições não são compatíveis!

O símbolo a ser

(59)

Transições Compatíveis

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Transições Compatíveis

B

A

a, λ / λ

C a, λ/ λ

As transições são compatíveis!

O símbolo a ser

consumido (“a”) define a transição a ser

(61)

Transições Compatíveis

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Transições Compatíveis

B

A

a, Y / λ

C a, X/ λ

As transições não são compatíveis!

Embora ambas consumam o mesmo símbolo (“a”), o símbolo no topo da pilha (“X” ou “Y”) decide qual é a transição a ser executada.

(63)

Transições Compatíveis

(64)

Transições Compatíveis

B

A

a, λ / λ

C a, X/ λ

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Transições Compatíveis

B

(66)

Transições Compatíveis

B

A

a, λ / λ

C

λ, X/ λ

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Transições Compatíveis

• Formalmente, duas

transições

B

A p1, d1/ e1

Note que transições compatíveis sempre partem do mesmo

estado!

Lembrando o conceito

O APN possui pelo menos duas transições compatíveis

O APD não possui transições compatíveis

B A

(68)

Exemplo

• L1 = { w ∈ {0,1}* | w = wR_}

• Três casos A B

1_{, U/}λ

?

0_{, Z/}λ 1_,λ/_U

0_,λ/_z

Primeira metade: e o símbolo for • 1, empilha U • 0, empilha Z

(69)

Exemplo

• L1 = { w _∈ {0,1}* | w = wR_}

• Três casos

• 1. |w| é par

 Ex: 0110

• 2. |w| é ímpar com 0 no meio

A B

1_{, U/}λ

?

0_{, Z/}λ 1_,λ/_U

0_,λ/_z

Primeira metade: e o símbolo for

(70)