1
© UNESP 6 Agosto 2008
Autor: Anibal Tavares de Azevedo
Limeira, 20 de Março 2013
TÓPICOS EM PESQUISA OPERACIONAL
LISTA 4 – Resolução dos exercícios 1 até 9
2
© UNESP 6 Agosto 2008
Max
z=4x
1+ 3x
2S.a.: x
1+ 3x
2≤ 7
2x
1+ 2x
2≤ 8
x
1+ x
2≤ 3
x
2≤ 2
x
1, x
2≥ 0
Exercício 1:Encontrar a solução ótima.
© UNESP 6 Agosto 2008x1 8
x2
0 2 10
6
4
7/3
4 6 8
-2
x1 + 3x2 ≤ 7
x2 ≤ 2
3
3 7
2
2x1 + 2x2 ≤ 8 x1 + x2 ≤ 3
4
RESOLUÇÃO GRÁFICA
8
x2
6
4
7/3 x1 + 3x2 ≤ 7
x2 ≤ 2
3
2
2x1 + 2x2 ≤ 8
Região factível
5
© UNESP 6 Agosto 2008
RESOLUÇÃO GRÁFICA
x1 8
x2
0 2 10
6
4
7/3
4 6 8
-2 3 3 7 2 = = ∇ 3 4 2 1 dx dz dx dz f 6
© UNESP 6 Agosto 2008
RESOLUÇÃO GRÁFICA
x1
8
x2
0 2 10
6
4
7/3
4 6 8
-2
3
3 7
2
Solução ótima
O ponto ótimo pode ser determinado
numericamente, pois é a intersecção
de: x1 + x2 = 3 e: x2 = 0 A solução do sistema
fornece:
(x1, x2)=(3, 0)
© UNESP 6 Agosto 2008
Min
z=x
1+ 2x
2S.a.: x
1+ x
2≥ 1
-5x
1+ 2x
2≥ -10
3x
1+ 5x
2≥ 15
x
1, x
2≥ 0
Exercício 2:Encontrar a solução ótima.
8
RESOLUÇÃO GRÁFICA
x1
2
x2
2 10
0
-2
-4
4 6 8
-2
x1 + x2 ≥ 1
4
5
3 -5x
1 + 2x2 ≥ -10
3x1 + 5x2 ≥ 15
9
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RESOLUÇÃO GRÁFICA
x1 2 x2 2 10 0 -2 -44 6 8
-2 4 -6 5 3 Região factível 10
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RESOLUÇÃO GRÁFICA
x1 2 x2 2 10 0 -2 -44 6 8
© UNESP 6 Agosto 2008
x1
2
x2
2 10
0
-2
-4
4 6 8
-2 4
-6
5
3 -5x1 + 2x2 = -10
(x1, x2) = (45/31, 80/31):
z = 1x1 + 2x2
= 1*80/31 + 2*45/31 =135/31 = 4,35
(x1, x2) = (0, 3): z= 1x1 + 2x2
= 1*0 + 2*3 = 0 + 6 = 6
3x1 + 5x2 = 15
A intersecção ocorre em: (x1, x2) = (80/31, 45/31)
12
RESOLUÇÃO GRÁFICA
x1
2
x2
2 10
0
-2
-4
4 6 8
-2 4
5
3 Solução ótima
O ponto ótimo pode ser determinado
numericamente, pois é a intersecção de: 3x1 + 5x2 = 15
13
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Max
z=4x
1+ 8x
2S.a.: 3x
1+ 2x
2≤ 18
x
1+ x
2≤ 5
x
1≤ 4
x
1, x
2≥ 0
Exercício 3:Encontrar a solução ótima.
FORMULAÇÃO MATEMÁTICA
14
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RESOLUÇÃO GRÁFICA
x1
8
x2
0 2 10
6
4 5
4 6 8
-2 5
2 10
9
3x1 + 2x2 ≤ 18 x1 + x2 ≤ 5
© UNESP 6 Agosto 2008x1 8
x2
0 2 10
6
4 5
4 6 8
-2 5
2 10
9
3x1 + 2x2 ≤ 18 x1 + x2 ≤ 5
x1 ≤ 4
Região factível
16
RESOLUÇÃO GRÁFICA
8
x2
6
4 5
2 10
9
=
= ∇
8 4
2 1
dx dz dx dz
17
© UNESP 6 Agosto 2008
RESOLUÇÃO GRÁFICA
x1 8
x2
0 2 10
6
4 5
4 6 8
-2 5
2 10
9
Solução ótima
O ponto ótimo pode ser determinado
numericamente, pois é a intersecção
de: x1 + x2 = 5
e: x1 = 0 A solução do sistema
fornece:
(x1, x2)=(0, 5)
x1 + x2 ≤ 5
18
© UNESP 6 Agosto 2008
Max
z=8x
1+ 10x
2S.a.: -x
1+ x
2≤ 2
4x
1+5x
2≥ 20
x
1≤ 6
x
2≥ 4
x
1, x
2≥ 0
Exercício 4:Encontrar a solução ótima.
© UNESP 6 Agosto 2008x1 8
x2
0 2 10
6
4 5
4 6 8
-2 5
2 10
-x1 + x2≤ 2
4x1 +5x2≥ 20 x2 ≤ 4
x1 ≤ 6
20
RESOLUÇÃO GRÁFICA
8
x2
6
4 5
2 10
-x1 + x2≤ 2
4x1 +5x2≥ 20 x2 ≤ 4
x1 ≤ 6
21
© UNESP 6 Agosto 2008
RESOLUÇÃO GRÁFICA
x1 8
x2
0 2 10
6
4 5
4 6 8
-2 5 2 10 = = ∇ 10 8 2 1 dx dz dx dz f Solução ótima
O ponto ótimo pode ser determinado
numericamente, pois é a intersecção
-x1 + x2 = 2
e: x1 = 6
A solução do sistema fornece:
(x1, x2)=(6, 8)
22
© UNESP 6 Agosto 2008
Min
z= x
1+ 3x
2S.a.: 4x
1+ x
2≥ 30
10x
1+2x
2≤ 10
x
1, x
2≥ 0
Exercício 5:Encontrar a solução ótima.
© UNESP 6 Agosto 2008x1
x2
0 10
30
20 30
-2 10
4x1 + x2≥ 30
10x1 +2x2≤ 10
20
24
RESOLUÇÃO GRÁFICA
x2
30
10
4x1 + x2≥ 30
10x1 +2x2≤ 10
20
25
© UNESP 6 Agosto 2008
Min
z=6x
1+ 10x
2S.a.: -x
1+ x
2≤ 2
x
1≤ 5
x
2≤ 6
3x
1+ 5x
2≥ 15
5x
1+ 4x
2≥ 20
x
1, x
2≥ 0
Exercício 6:Encontrar a solução ótima.
FORMULAÇÃO MATEMÁTICA
26
© UNESP 6 Agosto 2008
RESOLUÇÃO GRÁFICA
x1
8
x2
0 2 10
6
4
2
4 6 8
-2
-x1 + x2 ≤ 2
x1 ≤ 5
© UNESP 6 Agosto 2008x1 8
x2
0 2 10
6
4
2
4 6 8
-2
-x1 + x2 ≤ 2
3x1 + 5x2 ≥ 15
x1 ≤ 5
x2 ≤ 6
28
RESOLUÇÃO GRÁFICA
8
x2
6
4
2
-x1 + x2 ≤ 2
3x1 + 5x2 ≥ 15
5x1 + 4x2 ≥ 20
x1 ≤ 5
29
© UNESP 6 Agosto 2008
RESOLUÇÃO GRÁFICA
x1 8
x2
0 2 10
6
4
2
4 6 8
-2
Região factível
30
© UNESP 6 Agosto 2008
RESOLUÇÃO GRÁFICA
x1
8
x2
0 2 10
6
4
2
4 6 8
-2
Região factível
=
= ∇
10 6
2 1
dx dz dx dz
© UNESP 6 Agosto 2008x1 8
x2
0 2 10
6
4
2
4 6 8
-2 Múltiplas soluções − − = − − = ∇ − 10 6 2 1 dx dz dx dz f = = ∇ 10 6 2 1 dx dz dx dz f 32
RESOLUÇÃO GRÁFICA
8 x2 6 4 2 Múltiplas soluções(x1, x2) = (5, 0)
z = 6x1 + 10x2
= 6*5 + 10*0 =30
(x1, x2) = (3, 6/5)
z= 6x1 + 10x2
33
© UNESP 6 Agosto 2008
RESOLUÇÃO GRÁFICA
x1 8
x2
0 2 10
6
4
2
4 6 8
-2
3x1 + 5x2 = 15
5x2 = 15- 3x1
x2 = 3-3/5 x1
6x1 + 10x2=0 10x2=- 6x1 x2= -3/5 x1
Coeficiente angular da restrição e da
função objetivo são iguais ! Múltiplas soluções
34
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Max
z=6x
1+ 10x
2S.a.: -x
1+ x
2≤ 2
x
1≥ 5
x
2≤ 6
3x
1+ 5x
2≥ 15
5x
1+ 4x
2≥ 20
x
1, x
2≥ 0
FORMULAÇÃO MATEMÁTICA
© UNESP 6 Agosto 2008x1 8
x2
0 2 10
6
4
2
4 6 8
-2
Região factível
x1 ≥ 5
36
37
© UNESP 6 Agosto 2008
RESOLUÇÃO GRÁFICA
Eixo x
1
E
ix
o
x
2
Curvas de nível
0 5 10 15 20
0 1 2 3 4 5 6 7 8
z=110
z=90 z=130 z=150z=170 z=190
z=190
38
© UNESP 6 Agosto 2008
Eixo x
1
E
ix
o
x2
Curvas de nível
0 5 10 15 20 25 30
0 1 2 3 4 5 6 7 8
RESOLUÇÃO GRÁFICA
z=120
z=100 z=140 z=160z=180 z=200
© UNESP 6 Agosto 2008x1 8
x2
0 2 10
6
4
2
4 6 8
-2
Região factível
=
= ∇
10 6
2 1
dx dz dx dz
f x1 ≥ 5
40
RESOLUÇÃO GRÁFICA
8
x2
6
4
2
Solução ilimitada
41
© UNESP 6 Agosto 2008
Max
z=6x
1+ 10x
2S.a.: -x
1+ x
2≤ 2
x
1≤ 5
x
2≤ 6
3x
1+ 5x
2≥ 15
5x
1+ 4x
2≤ 20
x
1, x
2≥ 0
FORMULAÇÃO MATEMÁTICA
Exercício 8:Encontrar a solução ótima.
42
© UNESP 6 Agosto 2008
RESOLUÇÃO GRÁFICA
x1
8
x2
0 2 10
6
4
2
4 6 8
-2
-x1 + x2 ≤ 2
x1 ≤ 5
© UNESP 6 Agosto 2008x1 8
x2
0 2 10
6
4
2
4 6 8
-2
-x1 + x2 ≤ 2
3x1 + 5x2 ≥ 15
x1 ≤ 5
x2 ≤ 6
44
RESOLUÇÃO GRÁFICA
8
x2
6
4
2
-x1 + x2 ≤ 2
3x1 + 5x2 ≥ 15
5x1 + 4x2 ≤ 20
x1 ≤ 5
45
© UNESP 6 Agosto 2008
RESOLUÇÃO GRÁFICA
x1 8
x2
0 2 10
6
4
2
4 6 8
-2
Região factível
46
© UNESP 6 Agosto 2008
RESOLUÇÃO GRÁFICA
x1
8
x2
0 2 10
6
4
2
4 6 8
-2
=
= ∇
10 6
2 1
dx dz dx dz
f
© UNESP 6 Agosto 2008x1 8
x2
0 2 10
6
4
2
4 6 8
-2
Solução ótima
O ponto ótimo pode ser determinado
numericamente, pois é a intersecção
de: -x1 + x2 = 2 e: 5x1 + 4x2 = 20 A solução do sistema
fornece:
(x1,x2)=(12/9,30/9)
-x1 + x2 ≤ 2
5x1 + 4x2 ≤ 20
48
Max
z=6x
1+ 10x
2S.a.: -x
1+ x
2≤ 2
x
1≤ 5
x
2≤ 6
3x
1+ 5x
2≤ 15
5x
+ 4x
≥ 20
FORMULAÇÃO MATEMÁTICA
49
© UNESP 6 Agosto 2008
RESOLUÇÃO GRÁFICA
x1 8
x2
0 2 10
6
4
2
4 6 8
-2
-x1 + x2 ≤ 2 x1 ≤ 5
x2 ≤ 6
50
© UNESP 6 Agosto 2008
RESOLUÇÃO GRÁFICA
x1
8
x2
0 2 10
6
4
2
4 6 8
-2
-x1 + x2 ≤ 2
3x1 + 5x2 ≤ 15
x1 ≤ 5
© UNESP 6 Agosto 2008x1 8
x2
0 2 10
6
4
2
4 6 8
-2
-x1 + x2 ≤ 2
3x1 + 5x2 ≤ 15
5x1 + 4x2 ≥ 20
x1 ≤ 5
x2 ≤ 6
52
RESOLUÇÃO GRÁFICA
8
x2
6
4
2 Região
53
© UNESP 6 Agosto 2008
RESOLUÇÃO GRÁFICA
x1 8
x2
0 2 10
6
4
2
4 6 8
-2 Região factível = = ∇ 10 6 2 1 dx dz dx dz f 54
© UNESP 6 Agosto 2008
RESOLUÇÃO GRÁFICA
x1
8
x2
0 2 10
6
4
2
4 6 8
© UNESP 6 Agosto 2008x1 8
x2
0 2 10
6
4
2
4 6 8
-2
Múltiplas soluções
(x1, x2) = (5, 0)
z = 6x1 + 10x2
= 6*5 + 10*0 =30
(x1, x2) = (3, 6/5)
z= 6x1 + 10x2
= 6*3 + 10*6/5 =18 + 12 = 30
56