TÓPICOS EM PESQUISA OPERACIONAL LISTA 4 – Resolução dos exercícios 1 até 9

(1)

1

© UNESP 6 Agosto 2008

Autor: Anibal Tavares de Azevedo

Limeira, 20 de Março 2013

TÓPICOS EM PESQUISA OPERACIONAL

LISTA 4 – Resolução dos exercícios 1 até 9

2

Max

z=4x

₁

+ 3x

₂

S.a.: x

₁

+ 3x

₂

≤ 7

2x

₁

+ 2x

₂

≤ 8

x

₁

+ x

₂

≤ 3

x

₂

≤ 2

x

₁

, x

₂

≥ 0

Exercício 1:Encontrar a solução ótima.

(2)

© UNESP 6 Agosto 2008x1 8

x₂

0 2 10

6

4

7/3

4 6 8

-2

x₁ + 3x₂≤ 7

x₂ ≤ 2

3

3 7

2

2x₁ + 2x₂ ≤ 8 x₁ + x₂ ≤ 3

4

RESOLUÇÃO GRÁFICA

8

x₂

6

4

7/3 x1 + 3x2 ≤ 7

x₂ ≤ 2

3

2

2x₁ + 2x₂ ≤ 8

Região factível

(3)

5

RESOLUÇÃO GRÁFICA

x1 8

x₂

0 2 10

6

4

7/3

4 6 8

-2 3 3 7 2       =           = ∇ 3 4 2 1 dx dz dx dz f 6

RESOLUÇÃO GRÁFICA

x₁

8

x₂

0 2 10

6

4

7/3

4 6 8

-2

3

3 7

2

Solução ótima

O ponto ótimo pode ser determinado

numericamente, pois é a intersecção

de: x₁ + x₂ = 3 e: x₂ = 0 A solução do sistema

fornece:

(x1, x2)=(3, 0)

(4)

Min

z=x

₁

+ 2x

₂

S.a.: x

₁

+ x

₂

≥ 1

-5x

₁

+ 2x

₂

≥ -10

3x

₁

+ 5x

₂

≥ 15

x

₁

, x

₂

≥ 0

8

RESOLUÇÃO GRÁFICA

x₁

2

x₂

2 10

0

-2

-4

4 6 8

-2

x₁ + x₂≥ 1

4

5

3 _-5x

1 + 2x2 ≥ -10

3x₁ + 5x₂ ≥ 15

(5)

9

RESOLUÇÃO GRÁFICA

x₁ 2 x₂ 2 10 0 -2 -4

4 6 8

-2 4 -6 5 3 Região factível 10

RESOLUÇÃO GRÁFICA

x₁ 2 x₂ 2 10 0 -2 -4

4 6 8

(6)

x₁

2

x₂

2 10

0

-2

-4

4 6 8

-2 4

-6

5

3 _-5x₁_{+ 2x}₂ _{= -10}

(x1, x2) = (45/31, 80/31):

z = 1x1 + 2x2

= 1*80/31 + 2*45/31 =135/31 = 4,35

(x₁, x₂) = (0, 3): z= 1x₁ + 2x₂

= 1*0 + 2*3 = 0 + 6 = 6

3x₁ + 5x₂ = 15

A intersecção ocorre em: (x₁, x₂) = (80/31, 45/31)

12

RESOLUÇÃO GRÁFICA

x₁

2

x₂

2 10

0

-2

-4

4 6 8

-2 4

5

3 _{Solução ótima}

numericamente, pois é a intersecção de: 3x₁ + 5x₂ = 15

(7)

13

Max

z=4x

₁

+ 8x

₂

S.a.: 3x

₁

+ 2x

₂

≤ 18

x

₁

+ x

₂

≤ 5

x

₁

≤ 4

x

₁

, x

₂

≥ 0

FORMULAÇÃO MATEMÁTICA

14

RESOLUÇÃO GRÁFICA

x₁

8

x₂

0 2 10

6

4 5

4 6 8

-2 5

2 10

9

3x₁ + 2x₂≤ 18 x₁+ x₂ ≤ 5

(8)

x₂

0 2 10

6

4 5

4 6 8

-2 5

2 10

9

3x₁ + 2x₂≤ 18 x₁+ x₂ ≤ 5

x₁ ≤ 4

16

RESOLUÇÃO GRÁFICA

8

x₂

6

4 5

2 10

9

     

=

  

 

  

 

= ∇

8 4

2 1

dx dz dx dz

(9)

17

RESOLUÇÃO GRÁFICA

x1 8

x₂

0 2 10

6

4 5

4 6 8

-2 5

2 10

9

de: x1 + x2 = 5

e: x₁ = 0 A solução do sistema

fornece:

(x1, x2)=(0, 5)

x₁+ x₂ ≤ 5

18

Max

z=8x

₁

+ 10x

₂

S.a.: -x

₁

+ x

₂

≤ 2

4x

₁

+5x

₂

≥ 20

x

₁

≤ 6

x

₂

≥ 4

x

₁

, x

₂

≥ 0

(10)

x₂

0 2 10

6

4 5

4 6 8

-2 5

2 10

-x₁ + x₂≤ 2

4x₁+5x₂≥ 20 x₂ ≤ 4

x₁ ≤ 6

20

RESOLUÇÃO GRÁFICA

8

x₂

6

4 5

2 10

-x₁ + x₂≤ 2

4x₁+5x₂≥ 20 x₂ ≤ 4

x₁ ≤ 6

(11)

21

RESOLUÇÃO GRÁFICA

x1 8

x₂

0 2 10

6

4 5

4 6 8

-2 5 2 10       =           = ∇ 10 8 2 1 dx dz dx dz f Solução ótima

-x1 + x2 = 2

e: x1 = 6

A solução do sistema fornece:

(x1, x2)=(6, 8)

22

Min

z= x

₁

+ 3x

₂

S.a.: 4x

₁

+ x

₂

≥ 30

10x

₁

+2x

₂

≤ 10

x

₁

, x

₂

≥ 0

(12)

© UNESP 6 Agosto 2008x1

x₂

0 10

30

20 30

-2 10

4x₁ + x₂≥ 30

10x₁+2x₂≤ 10

20

24

RESOLUÇÃO GRÁFICA

x₂

30

10

4x1 + x2≥ 30

10x₁+2x₂≤ 10

20

(13)

25

Min

z=6x

₁

+ 10x

₂

S.a.: -x

₁

+ x

₂

≤ 2

x

₁

≤ 5

x

₂

≤ 6

3x

₁

+ 5x

₂

≥ 15

5x

₁

+ 4x

₂

≥ 20

x

₁

, x

₂

≥ 0

FORMULAÇÃO MATEMÁTICA

26

RESOLUÇÃO GRÁFICA

x₁

8

x₂

0 2 10

6

4

2

4 6 8

-2

-x1 + x2 ≤ 2

x₁ ≤ 5

(14)

x₂

0 2 10

6

4

2

4 6 8

-2

-x₁ + x₂≤ 2

3x1 + 5x2 ≥ 15

x1 ≤ 5

x₂ ≤ 6

28

RESOLUÇÃO GRÁFICA

8

x₂

6

4

2

-x1 + x2 ≤ 2

3x₁ + 5x₂ ≥ 15

5x₁ + 4x₂ ≥ 20

x₁ ≤ 5

(15)

29

RESOLUÇÃO GRÁFICA

x1 8

x₂

0 2 10

6

4

2

4 6 8

-2

30

RESOLUÇÃO GRÁFICA

x₁

8

x₂

0 2 10

6

4

2

4 6 8

-2

     

=

  

 

  

 

= ∇

10 6

2 1

dx dz dx dz

(16)

x₂

0 2 10

6

4

2

4 6 8

-2 Múltiplas soluções       − − =           − − = ∇ − 10 6 2 1 dx dz dx dz f       =           = ∇ 10 6 2 1 dx dz dx dz f 32

RESOLUÇÃO GRÁFICA

8 x₂ 6 4 2 Múltiplas soluções

(x1, x2) = (5, 0)

z = 6x1 + 10x2

= 6*5 + 10*0 =30

(x1, x2) = (3, 6/5)

z= 6x1 + 10x2

(17)

33

RESOLUÇÃO GRÁFICA

x1 8

x₂

0 2 10

6

4

2

4 6 8

-2

3x₁ + 5x₂ = 15

5x₂ = 15- 3x₁

x₂ = 3-3/5 x₁

6x₁ + 10x₂=0 10x₂=- 6x₁ x₂= -3/5 x₁

Coeficiente angular da restrição e da

função objetivo são iguais ! Múltiplas soluções

34

Max

z=6x

₁

+ 10x

₂

S.a.: -x

₁

+ x

₂

≤ 2

x

₁

≥ 5

x

₂

≤ 6

3x

₁

+ 5x

₂

≥ 15

5x

₁

+ 4x

₂

≥ 20

x

₁

, x

₂

≥ 0

FORMULAÇÃO MATEMÁTICA

(18)

x₂

0 2 10

6

4

2

4 6 8

-2

x₁ ≥ 5

36

(19)

37

RESOLUÇÃO GRÁFICA

Eixo x

1

E

ix

o

x

2

Curvas de nível

0 5 10 15 20

0 1 2 3 4 5 6 7 8

z=110

z=90 z=130 z=150z=170 z=190

z=190

38

Eixo x

1

E

ix

o

x2

Curvas de nível

0 5 10 15 20 25 30

0 1 2 3 4 5 6 7 8

RESOLUÇÃO GRÁFICA

z=120

z=100 z=140 z=160z=180 z=200

(20)

x₂

0 2 10

6

4

2

4 6 8

-2

Região factível 

    

=

  

 

  

 

= ∇

10 6

2 1

dx dz dx dz

f x1 ≥ 5

40

RESOLUÇÃO GRÁFICA

8

x₂

6

4

2

Solução ilimitada

(21)

41

Max

z=6x

₁

+ 10x

₂

S.a.: -x

₁

+ x

₂

≤ 2

x

₁

≤ 5

x

₂

≤ 6

3x

₁

+ 5x

₂

≥ 15

5x

₁

+ 4x

₂

≤ 20

x

₁

, x

₂

≥ 0

FORMULAÇÃO MATEMÁTICA

42

RESOLUÇÃO GRÁFICA

x₁

8

x₂

0 2 10

6

4

2

4 6 8

-2

-x1 + x2 ≤ 2

x₁ ≤ 5

(22)

x₂

0 2 10

6

4

2

4 6 8

-2

-x₁ + x₂≤ 2

3x1 + 5x2 ≥ 15

x1 ≤ 5

x₂ ≤ 6

44

RESOLUÇÃO GRÁFICA

8

x₂

6

4

2

-x1 + x2 ≤ 2

3x₁ + 5x₂ ≥ 15

5x₁ + 4x₂ ≤ 20

x₁ ≤ 5

(23)

45

RESOLUÇÃO GRÁFICA

x1 8

x₂

0 2 10

6

4

2

4 6 8

-2

46

RESOLUÇÃO GRÁFICA

x₁

8

x₂

0 2 10

6

4

2

4 6 8

-2

     

=

  

 

  

 

= ∇

10 6

2 1

dx dz dx dz

f

(24)

x₂

0 2 10

6

4

2

4 6 8

-2

de: -x₁ + x₂= 2 e: 5x₁ + 4x₂ = 20 A solução do sistema

fornece:

(x1,x2)=(12/9,30/9)

-x₁ + x₂≤ 2

5x₁ + 4x₂ ≤ 20

48

Max

z=6x

₁

+ 10x

₂

S.a.: -x

₁

+ x

₂

≤ 2

x

₁

≤ 5

x

₂

≤ 6

3x

₁

+ 5x

₂

≤ 15

5x

+ 4x

≥ 20

FORMULAÇÃO MATEMÁTICA

(25)

49

RESOLUÇÃO GRÁFICA

x1 8

x₂

0 2 10

6

4

2

4 6 8

-2

-x₁ + x₂≤ 2 x1 ≤ 5

x₂ ≤ 6

50

RESOLUÇÃO GRÁFICA

x₁

8

x₂

0 2 10

6

4

2

4 6 8

-2

-x1 + x2 ≤ 2

3x₁ + 5x₂ ≤ 15

x₁ ≤ 5

(26)

x₂

0 2 10

6

4

2

4 6 8

-2

-x₁ + x₂≤ 2

3x1 + 5x2 ≤ 15

5x₁ + 4x₂ ≥ 20

x1 ≤ 5

x₂ ≤ 6

52

RESOLUÇÃO GRÁFICA

8

x₂

6

4

2 Região

(27)

53

RESOLUÇÃO GRÁFICA

x1 8

x₂

0 2 10

6

4

2

4 6 8

-2 Região factível       =           = ∇ 10 6 2 1 dx dz dx dz f 54

RESOLUÇÃO GRÁFICA

x₁

8

x₂

0 2 10

6

4

2

4 6 8

(28)

x₂

0 2 10

6

4

2

4 6 8

-2

Múltiplas soluções

(x1, x2) = (5, 0)

z = 6x1 + 10x2

= 6*5 + 10*0 =30

(x1, x2) = (3, 6/5)

z= 6x1 + 10x2

= 6*3 + 10*6/5 =18 + 12 = 30

56