Exemplo 1: Encontrar os valores de a e b da reta y=ax+b para dois pontos P(x

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© UNESP 6 Agosto 2008

Autor: Anibal Tavares de Azevedo

Limeira, 15 de Março 2012

MATEMÁTICA I

AULA 2 – Parte 1

2

LIMITES E DERIVADAS

Inclinação de uma reta:

Seja a equação da reta dado por y = ax + b. Deseja-se encontrar para um par de pontos P(x₀,y₀) e Q(x₁, y₁) o valor do coeficiente angular a e o valor coeficiente linear b tal como ilustrado no gráfico.

b

P(x₀,y₀)

0 _x

y _f

P(x₁,y₁)

x₀ x₁

y₀ y₁

(2)

Exemplo 1: Encontrar os valores de a e b da reta y=ax+b para dois pontos P(x₀,y₀) e Q(x₁,y₁) Quaisquer.

y_o = ax_o + b ⇒ b = y

o - axo (i)

y₁ = ax₁ + b (ii) Aplicando (i) em (ii):

y₁ = ax₁ + (y_o - ax_o)

⇒(y

1-yo )= a (x1-xo)

⇒ a = (y₁-y_o)/(x₁-x_o) e b = y_o - ax_o

4

Problema 1:

Encontrar a reta que toca uma curva em apenas 1 ponto, ou seja, encontrar a reta tangente a uma curva.

0 f(x) = x2

y

x 1

4

Q(x,x2₎

P(1,1)

Encontrar a reta tangente à

parábola y = x2

no ponto P(1,1). Para encontrar uma reta são necessários 2 pontos, mas só se conhece o ponto P(1,1).

(3)

Para resolver este problema obtém-se uma aproximação, a reta que passa por um ponto Q(x, x2_{) e pelo ponto P(1,1). A inclinação da reta}

secante PQ será dada por:

a_pq = (y₁-y_o)/(x₁-x_o) = (x2 - 1)/(x - 1) Para o ponto Q(1,5; 2,25):

a_pq = (2,25-1 )/(1,5-1) = (1,25)/(0,5)=2,5 x

2

a_pq 3

1,5 2,5

1,1 2,1

1,01 2,01

1,001 2,001

x 0,999

a_pq 1,999

0,99 1,99

0,9 1,9

0,5 1,5

0 1

6

Pelas tabelas anteriores o quanto mais próximo x está próximo de 1, mais o valor de a_pq estará próximo de 2. Matematicamente:

lim _x_→₁ (x2 _{- 1)/(x - 1) = 2}

lim _Q_→_P a_pq = a

Assumindo que apq é 2, então, a equação da reta será:

(4)

0

Exemplo 2: Seja f(x) = x2 _{– x + 2. Calcular o}

valor de f para valores próximos de 2.

y

x 2

f(x) = x2 _{– x + 2}

.5 2

4

x

1,0

f(x)

2,0

1,5 2,75

1,8 3,44

1,9 3,71

1,99 3,97

x 3,0

f(x) 8,0

2,5 5,75

2,2 4,64

2,1 4,31

2,001 4,00

lim _x_→₂ f(x) = 4

8

Definição:

Se o limite de f(x), quando x tende a um valor a, é igual a L, então:

lim _x_→_a f(x) = L

O limite significa tornar os valores de f(x) tão próximos de L ao se empregar x suficientemente próximo de a. Outra notação é:

f(x) → L quando x → a

Observação: Ao se empregar o limite de f(x) quando x

tende a a não se considera o valor de f(x) em a, pois

f(x) não precisa estar definida em a para se encontrar seu limite.

(5)

0

Exemplo 3: Calcule lim _x_→₁ (x - 1)/(x2 _{– 1).}

y

x 2

f(x) = (x - 1)/(x2 _{– 1)}

.5 2

4

x > 1 f(x)

1,001 0,499

1,01 0,497

1,1 0,476

1,5 0,400

x < 1

0,5

f(x)

0,6667

0,9 0,5263

0,99 0,5025 0,999 0,5002

lim _x_→₁ f(x) = 0,5

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IMPORTANTE:

Existem armadilhas na conjectura sobre o valor de um limite através do cálculo de valores (elaboração de tabelas e o gráfico correspondente). Portanto, é necessário empregar técnicas mais apropriadas.

Exemplo 4: Calcular lim _t_→₁ H(t), onde: H(t) = 0, se t < 0 e H(t) = 1, se t ≥ 0.

0 y

t 1

Quando t tende a 0 pela esquerda, H(t) tende a 0. Quando t tende a direita H(t) tende 1. Como H(t) não tende a um único valor quando t tende a 0, então, o lim não existe (não está definido).

(6)

Definição:

Seja:

lim _x_→_{a -} f(x) = L

Então, isto significa que o limite à esquerda de f(x)

quando x tende a a é igual a L. A definição do limite à direita é análoga:

lim _x_→_{a +} f(x) = L

Assim, pode-se definir que:

lim _x_→_a f(x) = L se e somente se lim _x_→_{a -} f(x) = L lim _x_→_{a +} f(x) = L

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Exercício 1: Dado o gráfico de g achar os limites:

(a)lim _x_→_2- g(x) (b)lim _x_→₂₊ g(x) (c)lim _x_→₂ g(x) (d)lim _x_→_5- g(x) (e)lim _x_→₅₊ g(x) (f)lim _x_→₅ g(x)

0 y

x 1

1 2

3

3 4 5

y = g(x)

(7)

(a)lim _x_→_2- g(x) = 3 (b)lim _x_→₂₊ g(x) = 1

(c)lim _x_→₂ g(x), uma vez que os limites à esquerda e à direita são diferentes, então, o limite não existe. 0

y

x 1

1 2

3

3 4 5

y = g(x)

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(f)lim _x_→₅ g(x), uma vez que os limites à esquerda e à direita são iguais, então, o limite existe e é igual 2. Apesar de que g(5) = 1.

0 y

x 1

1 2

3

3 4 5

y = g(x)

(8)

Exemplo 4: Achar o limite de lim _x_→₀ 1/x2_:

Limites Infinitos

-2 y

x

-1 0 1 2 3

y = 1/x2 x

±0,001

y

1000000

±0,01 10000

±0,5 4

±1 1

lim _x_→₀ 1/x2 ₌∞

Na verdade o limite não existe !

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Exercício 2: Dado o gráfico f(x) encontre:

lim _x_→_a f(x) y

x 0

x=a y = f(x)

lim _x_→₃₊ 2x/(x-3) y

x 0

x=3 y = f(x)

(9)

lim _x_→_a f(x) = -∞ y

x 0

x=a y = f(x)

lim _x_→₃₊ 2x/(x-3)=+∞ y

x 0

x=3 y = f(x)

lim _x_→_3- 2x/(x-3)=-∞

3+←x

x→

3-x→a- x→a+

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Definição:

Seja C uma constante e suponha que existam os limites lim x→a f(x) e lim x→a g(x), então:

(1)lim _x_→_a[f(x) + g(x)] = lim _x_→_af(x) + lim _x_→_ag(x) (2)lim _x_→_a[f(x) - g(x)] = lim _x_→_af(x) - lim _x_→_ag(x) (3)lim _x_→_a[c*f(x)] = c*lim _x_→_af(x)

(4)lim _x_→_a[f(x)*g(x)] = lim _x_→_af(x)*lim _x_→_ag(x) (5)lim _x_→_a[f(x)/g(x)] = lim _x_→_af(x)/lim _x_→_ag(x) Se lim _x_→_ag(x) ≠ 0.

(10)

Exemplo 5: Caso existam, encontrar, usando o gráfico, os limites:

-2

y

x

-1 0 1 2 3

f

-1

-2

(A)lim _x_→_2- [f(x) + 5*g(x)]

g 1

lim _x_→_2- f(x)=1 lim _x_→_2- g(x)=-1 =lim _x_→_2- f(x) + lim _x_→_2-[5*g(x)] =lim _x_→_2- f(x) +

lim _x_→_2-5*[g(x)] 1 + 5(-1) = -4

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Exemplo 5: Caso existam, encontrar, usando o gráfico, os limites:

-2

y

x

-1 0 1 2 3

f

-1

-2

(B)lim _x_→₂[f(x)/g(x)]

g 1

lim _x_→₂f(x)=1 (pela direita e pela

esquerda).

(11)

Definição:

Seja f(x) uma função polinomial ou racional e a estiver no domínio de f, então:

lim _x_→_af(x) = f(a)

Exemplo 6: Encontre lim _x_→₅(2x2_-3x+4).

lim _x_→₅(2x2_-3x+4)

= lim _x_→₅(2x2_{) - lim}

x→5 (3x) + lim x→5 (4)

= 2lim _x_→₅(x2_{) -3lim}

x→5 (x) + lim x→5 (4)

= 2(52_{) - 3(5) + 4 = 50 – 15 + 4 = 39}

22

Exemplo 7: Encontre lim _x_→₁(x2_-1)/(x-1).

O limite não pode ser encontrado pois a função f(x) não está definida no ponto x = 1. Ou seja, ao invés de se usar lim _x_→_af(x)/g(x)=lim _x_→_af(x)/lim _x_→_ag(x), deve-se empregar:

CUIDADO: Nem todos os limites podem ser calculados pela substituição direta.

(x2_{-1)/(x-1) = (x-1)(x+1)/(x-1)}

lim _x_→_a(x2_{-1)/(x-1) = lim}

x→a (x-1)(x+1)/(x-1) =

Quando x tende a 1, x ≠ 1 e, assim, x – 1 ≠ 0 e o fator comum pode ser cancelado tal como :

(12)

Assim, se f(x) = g(x) quando x ≠ a, então, lim _x_→_af(x) = lim _x_→_ag(x), desde que o limite exista.

lim _x_→₁(x2_{-1)/(x-1) = lim}

x→1 (x+1) = 1 + 1 = 2

Observe que este limite foi encontrado no Problema 1.

24

Exemplo 8: Encontre lim _x_→₁(x-1)/(x2_-1).

Se (x-1)/(x2_{-1) = (x-1)/((x-1)(x+1))}

lim _x_→₁(x-1)/(x2_{-1) =}

lim _x_→₁(x-1)/((x-1)(x+1))=

Quando x tende a 1, x ≠ 1 e, assim, x – 1 ≠ 0 e o fator comum pode ser cancelado tal como :

(13)

Exemplo 9: Encontre lim _t_→₀((t2₊₉₎1/2_-3)/(t2_).

((t2₊₉₎1/2_-3)/(t2₎₌

((t2₊₉₎1/2_-3)/(t2_)*((t+9)1/2_+3)/(t+9)1/2₊₃₎₎₌

((t2_{+9) -9)/((t}2_)*((t+9)1/2₊₃₎₎₌

(t2_)/((t2_)*((t+9)1/2₊₃₎₎₌

1/((t+9)1/2₊₃₎

Assim: lim _t_→₀((t2₊₉₎1/2_-3)/(t2_{) =}

lim _t_→₀1/((t+9)1/2₊₃₎₌

1/(3 + 3)= 1/6

Como não é possível aplicar diretamente a regra do quociente usa-se:

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Exemplo 1: Encontrar os valores de a e b da reta y=ax+b para dois pontos P(x

MATEMÁTICA I

AULA 2 – Parte 1

LIMITES E DERIVADAS

OBRIGADO !!!