Prof. Rodrigo Reina Muñoz
rodrigo.munoz@ufabc.edu.br
T2 de 2018
Conteúdo
Ressonador LCR de segunda ordem
Amp-Op RC ressonador
Ressonador LCR de segunda ordem
• Circuito utilizado para implementar diversas funções de filtros
.
• Em particular, pode ser usado em conjunto com uma indutância
simulada para produzir um ressonador RC com Amp Op (filtros RC
ativos).
O primeiro passo consiste em encontrar os
modos naturais do ressonador. Para isso o
circuito pode ser alimentado com:
1) Com fonte de corrente.
2) Com fonte de tensão.
Ressonador LCR paraleloCircuito alimentado com fonte de corrente:
Os pólos (modos naturais), podem então ser encontrados a partir de
qualquer função resposta.
Dessa forma:
Igualando essa equação à forma padrão: Tem-se: LC CR s s C s R sC sL Y I Vo 1 1 / 1 1 1 1
2 +
+ = + + = = 2 2
)
/
(
o
Q
os
s
+
ω
+
ω
LC
o
1
/
2=
ω
CR
Q
o
/
=
1
/
ω
LC
o
=
1
/
ω
6
Outra forma de excitar o ressonador para encontrar os modos naturais é com uma fonte de tensão.
Observe que o nó x (do indutor L) foi
desconectado do ponto de terra, e conectado a uma fonte de tensão ideal.
Visto que a fonte de tensão ideal é equivalente a um curto circuito, a
excitação não altera a estrutura natural do circuito.
Após a determinação dos componentes necessários para o ressonador, o próximo passo consiste em utilizar o ressonador para implementar os
diferentes tipos de filtros.
A pergunta que surge é: onde injetar o sinal de entrada de forma a produzir a função do filtro desejada?.
Observe que qualquer nó pode ser desconectado do ressonador e conectado a Vi sem alterar os modos
Estrutura geral do ressonador
A função de transferência obtida de forma geral é:
2 1
2
)
(
Z
Z
Z
V
V
s
T
i o
+
=
=
Função passa baixas:
Filtro passa baixas
A função de transferência pode ser escrita pela regra do divisor de tensão:
2 1 1 2 1 2
)
(
Y
Y
Y
Z
Z
Z
V
V
s
T
i o+
=
+
=
=
)
/
1
(
)
/
1
(
/
1
/
1
)
/
1
(
/
1
)
(
2LC
CR
s
s
LC
R
sC
sL
sL
s
T
+
+
=
+
+
=
Função passa altas
De forma similar, pode ser obtida a função passa altas. Nesse caso, o nó y deve ser
A função de transferência obtida é:
Nessa equação, ωo e Q são os parâmetros do
modo natural como obtido anteriormente, e a2 é
a transmissão em altas frequências.
2 2 2 2
)
/
(
)
(
o o i ow
Q
s
s
s
a
V
V
s
T
+
+
=
=
ω
Filtro passa altas
O valor de a2 pode ser obtido observando-se que à medida que s aproxima-se de ∞,
o capacitor torna-se um curto-circuito. Nesse caso Vo = Vi e a2 = 1.
11 Circuito simulador de indutância de Antoniou
Tem sido propostos muitos circuitos com RC - Amp Op para simular um indutor.
O indutor simulado de Andreas Antoniou tem-se mostrado ser o melhor
(mais tolerante às propriedades não ideais dos Amp-Ops.
Se o circuito for alimentado no nó 1 com uma fonte de tensão V1, e
considerando a corrente de entrada como sendo I1, a impedância de entrada é
dada por:
Zin = V1/I1= sC4R1R3R5/R2, que corresponde a impedância de uma indutância L
da por:
Análise:
1. Aplicação da tensão V1 no nó 1.
2. Pelo curto-circuito virtual (+ 0 V -), ou seja características ideais, tem-se diferença de potencial de 0 V através das entradas do Amp-Op.
3. A tensão V1 aplicada aparece não terminal negativo do Amp Op.
4. Pelo curto-circuito virtual (+ 0 V -), ou seja características ideais, tem-se diferença de potencial de 0 V através das entradas do Amp-Op.
5. A tensão V1 que aparece na entrada negativa do Amp Op A1 aparece também no
seu terminal positivo.
6. A tensão V1 do ponto anterior da origem á corrente V1/R5.
7. A corrente de entrada de A1 é zero (por condições ideias do Amp Op - impedância
de entrada infinita).
9. A corrente através de C4 pode ser calculada como:
Resolvendo para Vx:
10. Corrente através de R3:
4 1 4 1 5 1 / 1 sC V V Z V V R V x c x − = − = Vx 5 1 4
1)( )
(
R V sC
V
Vx − =
5 4 1 1 R sC V V
Corrente através de R3:
11. Corrente através de A2 é zero. 12. Corrente através de A1 é zero.
13. Visto que as correntes de entrada dos Amp Ops é zero (pontos 11 e 12 anteriores), então a corrente que circula por R3 deve ir através de R2.
14. Cálculo da tensão no ponto Vy.
3 5 3 3 4 1 1 5 4 1 1 1
3 ( / )
R R sC V R V R sC V V R V V
IR = x − = + − =
3 5 4 1 2 R R sC V IR =
Vx Vy
3
2 4 5
1 1 2 R R sC V R V V
IR = − y =
3 2 5 4 1 1 R R sC R V V
Portanto,
15. IR1 = ?
16. Corrente de entrada através de A2 é zero.
17. Cálculo da impedância de entrada Zin. Verifica-se então que a impedância de
entrada corresponde à indutância L = (sC4R5R3R1)/R2 3 2 5 4 1 1 R R sC R V V
Vy = −
1 3 5 4 2 1 1 1 1 1 1 R R R sC R V V V R V V
IR y
O projeto do circuito usualmente utiliza R1 = R2 = R3 = R5, e C4 = C. Portanto,
O ressonador com RC-Amp Op
Substitui-se a indutância do ressonador pelo indutor simulado:
2
CR
L
=
19
frequência do pólo dada por:
E o fator Q dado por:
Geralmente escolhe-se R1 = R2 = R3 = R5 = R e C4 = C6 = C, o que resulta em:
Assim, escolhendo o valor de C, pode-se encontrar o valor de R da equação para ωo. Com o valor de R, calcula-se ωo. Similarmente, escolhe-se um valor de R6 para finalmente calcular o valor de Q.
2 5 3 1 6 4
6 1/ /
/
1 LC C C R R R R
o = =
ω
5 3 1 4 6 6 6 6 2 R R R R C C R R CQ =
ω
o =CR
o=
1
/
20
Os diversos tipos de filtros de segunda ordem podem ser realizados a partir do ressonador com Amp-Op.
• O filtro passa banda pode ser obtido desconectando o nó z de terra e
conectando-o a Vi.
• O filtro passa altas é obtido conectando a fonte de sinal Vi ao nó y.
• Para o filtro passa baixas o nó x é desconectado e conectado a Vi. Neste
caso, o nó correspondente no ressonador ativo é o nodo que conecta R5 a
terra.
• Em todos os casos, a saída pode ser tomada em Vr. Contudo, esse nó não
é conveniente para a saída do circuito pois conectando uma carga mudaria as características do filtro. Utiliza-se assim, um amplificador buffer.
Filtro passa baixas Filtro passa altas
Filtro Sallen-Key passa baixas
É um filtro de segunda ordem. Portanto tem duas constantes de tempo RC, e roll-off de
-40 dB/dec.
Vsaída
Observe que CA fornece realimentação.
A frequência crítica do filtro é:
Com RA = RB = R, e CA = CB = C: B
A B A c
C
C
R
R
f
π
2
1
=
RC
f
cπ
2
1
Filtro Sallen-Key passa altas
Filtro de segunda ordem.
Vsaída
