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Universidade Federal da Bahia
Instituto de Matemática - Departamento de Matemática
Cálculo II-A (MAT 042) – 1a Lista de Exercícios Última atualização: 26/05/04
I) Resolva as integrais usando substituição de variável:
1)
∫
sen(2x)dx C2 ) x 2 cos( : . sp
Re − +
2)
∫
−1) x 3 ( sen
dx
2 3 C
) 1 x 3 ( g cot : . sp
Re − − +
3)
∫
−7 x 3
dx
ln3x 7 C
3 1 : . sp
Re − +
4)
∫
tg(2x)dx lncos2x C2 1 : . sp
Re − +
5)
∫
(cotg(ex)exdx Resp.:lnsen(ex) +C6)
∫
x2+1.xdx (x 1) C3 1 : . sp
Re 2 + 3 +
7)
∫
−1 ) x ( tg ) x ( cos
dx
2 Resp.:2 tg(x)−1+C
8)
∫
+1 ) x sen( 2
dx ) x cos(
C 1 ) x sen( 2 : . sp
Re + +
9)
∫
+sen (x) 1
dx ) x 2 sen(
2
C ) x ( sen 1 2 : . sp
Re + 2 +
10)
∫
−x2 1
dx ) x arcsen(
C
2 ) x ( arcsen :
. sp Re
2
+
11)
∫
+ 2 2
x 1
dx ) x ( arctg
C
3 ) x ( arctg : . sp Re
3
2/13 12)
∫
x ln x
dx
C x ln ln : . sp
Re +
13)
∫
3x2+4x+3(x+2)dxC ) 3 ln( . 2 3 . sp Re
3 x 4 x2
+
+ +
14)
∫
− 2
x 9 16
dx
C
4 x 3 arcsen 3 1 . sp
Re +
15)
∫
− 2
x 9 4
dx
C
x 3 2
x 3 2 ln 12
1 . sp
Re +
− +
16) dx
x 1
x ) x arccos(
2
∫
− −
arccos (x) 1 x C
2 1 : . sp
Re − 2 + − 2 +
II) Use integração por partes para resolver as integrais:
1)
∫
(x2+2x)exdx Resp.: x2 ex + C2)
∫
(16x3+4x+1)ln(x)dx Resp.: ln(x).(4x4+2x2+x) - (x4+x2 + x) + C3)
∫
(x2+1)sen(x)dx Resp.: - (x 2–1) cos(x) +2xsen(x) + C
4) dx
∫
arctg(3x) ln(9x 1) C 61 ) x 3 ( arctg . x : . sp
Re − 2 + +
dx 2) arcsen(x
5)
∫
− Resp.:(x−2)arcsen(x−2)+ −x2 +4x−3+Cdx (x) 2 sen
x
6)
∫
Resp.:−xcotg(x)+ln|sen(x)|+C∫
3x8.cos(x3)dx7) Resp.:x6sen(x3)+2x3cos(x3)−2sen(x3)+C
∫
x5(1+4ex3)dx8) C
6 x 3
4 x 4 e : . sp Re
6 3
x3 + +
3/13
∫e 2x+1.dx
9) Resp.:( 2x+1−1)e 2x+1 +C
∫
dx2 x + 1 x.arctg(x)
10) Resp.: 1+x2arctg(x)−lnx+ 1+x2 +C
III) Resolva as integrais contendo um trinômio ax2 + bx + c:
∫
x +dx2x+5 )1
2
C 2
1 x arctg 2 1 : . sp
Re + +
∫
x −dx6x+5 )2
2 x 1 C
5 x ln 4 1 : . sp
Re +
− −
∫
++ +3 4x 2 2x
5)dx (x
3)
C )] 1 x ( 2 [ arctg . 2 2 | 3 x 4 x 2 | ln 4 1 : . sp
Re 2 + + + + +
4) dx
x 4 x 4 3
3 x
2
∫
+ +− C2 1 x 2 arcsen 4 7 x 4 x 4 3 4 1 : . sp
Re − + − 2 + − +
5) ∫
+ + +
3 4x 2 2x
5)dx (x
2x 4x 3 2 2ln| 2x 4x 3 2(x 1)| C 2
1 : . sp
Re 2+ + + 2+ + + + +
6) dx
) 1 x 2 ( x
5 x 3
∫
+− ln4x 1 8(2x x) C2 4
23 x x 2 2 3 : . sp
Re 2− + − + 2− +
IV) Classifique as funções em racional (r) ou não racional (n); racional própria (p) ou racional imprópria (i)
) 3 ( tg x
1 x . 2 ) x ( f ) 1
2−
+ =
) 3 ( tg x
1 x 2 )
x ( f ) 2
2 +
+ =
1 x 2 x
1 x ) 7 sen( ) x ( f ) 3
3 4
+ +
+ =
2 4
2 x x
) 9 x ln( ) x ( f ) 4
− + =
) 6 x 5 x )( 1 x (
x 3 1 )
x ( f ) 5
2 2
+ − −
+ =
) 1 x )( 1 x (
) 1 x ).( 2 ln( )
x ( f ) 6
2
3− −
4/13 )
9 x 6 x ( ) 3 x x (
1 ) x . e ( )
x ( f ) 7
2 2 2
2
+ − +
+
+ =
8 x 6 x
1 x 3 x ) x ( f ) 8
2 2
+ −
+ + =
2 2 2
2
) 1 x ( ) 1 x (
) x 8 x 4 ( ) x ( f ) 9
+ −
− =
Resp.1) (r); (p). 2) (n). 3) (r); (i). 4) (n). 5) (r); (p). 6) (r); (p). 7) (r); (p). 8) (r); (i). 9) (r); (p).
V) No exercício anterior, apresente uma forma de decomposição em frações parciais para cada uma das funções racionais próprias.
Resp.
(
) (
x tg(3))
B )
3 ( tg x
A )
x ( f ) 1
+ + −
=
3 x
C 2 x
B 1 x
A ) x ( f ) 5
− + − + − =
1 x x
E Dx )
1 x (
C )
1 x (
B ) 1 x (
A )
x ( f ) 6
2
2 + +
+ +
− + − + + =
2 2
2 2
) 3 x x (
F Ex 3
x x
D Cx )
3 x (
B 3
x A ) x ( f ) 7
+ +
+ +
+ +
+ + − + − =
2 2 2
2
) 1 x (
F Ex 1
x D Cx )
1 x (
B 1
x A ) x ( f ) 9
+ + + + + + − + − =
VI) Resolva as integrais das funções racionais:
dx 1 x 2
1 x ) 1
∫
+ +
ln2x 1 C 4
1 x 2 1 . sp
Re + + +
∫
(x+1)(xxdx+3)(x+5) )2 C
) 1 x ( ) 5 x (
) 3 x ( ln 8 1 . sp Re
5 6
+ + +
+
∫
− −1) (x 2) x
(
dx )
3
2 x 1 C
2 x ln 1 x
1 . sp
Re +
5/13 dx x 4 x 4 x 8 x ) 4 2 3
∫
− − + Cx 2 x ln 2 x 3 . sp Re 2 + − + − dx x 3 4x 1 3 x 5)
∫
− +16[9ln|2x 1| 7ln|2x 1|] C 1 | x | ln 4 x : . sp
Re − + − + + +
dx ) 5 x 2 x )( 1 x ( 3 x 3 x 2 ) 6 2 2
∫
− − − − + C 2 1 x arctg 2 1 1 x ) 5 x 2 x ( ln : . sp Re 2 3 2 + − + − + − dx 8 x 6 x 6 x ) 7 2 4 3∫
+ − + C2 x arctg 2 3 2 x artg 2 3 2 x 4 x ln : . sp Re 2 2 + − + + + dx 4 x 4 x x 7 x 3 ) 8 2 3
∫
+ +− + arctg(x/2) C2 1 ) 1 x ( 4 x ln : . sp Re 2 2 + + + + dx x 16 16 8x 9) 4
∫
−− C2 x arctg | x 2 | ln x 4 ln : . sp
Re 2 +
− + − +
∫
2−+ +− 2 2 1) 1)(x (x 3)dx 2x (x 10) C x 1 1 | 1 x | ln 1 x ln arctgx : spRe 2 +
− + − − + +
∫
x(5x−5x+12)dx+4x 11) 2 3 3 C | 4 |x ln 3 83 | 1 |x ln 3 17 x ln 3 x 5 sp.:Re + − − + − +
VII) Resolva as integrais das funções irracionais:
∫ + − + 3) x 2 x(x 3)dx (x 1) C 2 1 x arctg 2 2 x ln 2 : . sp
Re +
− ⋅ + dx x 6 x x ) 2 4 3 3
∫
− C x 13 2 x 27 2 : . spRe 4 9 − 12 13+
∫
− −−2) (x 2) 1 x ( dx ) 3 3 2
6 5 3arctg x 2 C
6/13
∫
x.(1+x) dx)
4 3
2
C ) x 1 ( 5 3 ) x 1 ( 8 3 : . sp
Re + 83 − + 53 +
∫
2 xdx+ x )5 3
C ) x 2 ln( 48 x 24 x 6 x 2 : . sp
Re − 3 + 6 − +6 +
2 x dx x 1
x 1 ) 6
∫
+ −
C
x x
x x
x x
sp − − +
+ − −
+ +
− 2
1 1
1
1 1
ln : . Re
∫
11+−xx dxx )7 C
x 1 x 1
x 1 x 1 ln x 1
x 1 arctg 2 : . sp
Re +
+ − −
+ + − +
+ −
VIII) Resolva as integrais das funções trigonométricas:
∫
sen (x)dx )1 3 cos (x) cos(x) C
3 1 : sp
Re 3 − +
∫
sen (x)cos (x)dx )2 2 3 sen (x) C
5 1 ) x ( sen 3 1 : sp
Re 3 − 5 +
∫
dx) x ( sen
) x ( cos ) 3
4 3
C ) x ( csc 3 1 ) x ( csc : sp
Re − 3 +
∫
sec(2x)dx )4
C ) x 2 sen( 1
) x 2 sen( 1 ln 4 1 : sp
Re +
− +
∫
3 3 4 ) x ( cosdx ) x ( sen )
5
C ) x cos(
3 )
x ( cos 5 3 : . sp Re
3
3 5 + +
∫
sen (3x)dx )6 2 C
12 ) x 6 ( sen 2 x : . sp
Re − +
∫
sen (x).cos (x)(dx )7 2 2 C
32 ) x 4 ( sen 8 x : . sp
Re − +
∫
tg (x)dx )8 3
C ) x cos( ln 2
) x ( tg : . sp Re
2
+ +
∫
tg(dxx)−1 )9 C
2 x 4
) 1 ) x ( tg ln( 2
| 1 ) x ( tg | ln : . sp Re
2
+ − + −
7/13
n(3x).dx sen(5x).se
) 10
∫
C 4
) x 8 sen( ) x 2 sen( 4 1 : . sp
Re +
−
∫
sen(x).cos(5x).dx )11 C
8 ) x 4 cos( 12
) x 6 cos( :
. sp
Re − + +
IX) Resolva as integrais das funções trigonométricas usando a Substituição Universal t = tg(x/2) e as as fórmulas
1 ) 2 / x ( tg
) 2 / x ( tg 2 ) x sen(
2 +
= e
1 ) 2 / x ( tg
) 2 / x ( tg 1 ) x cos(
2 2
+ −
=
∫
sen(1+senx)dxx )1
C x
2 x tg 1
2 : . sp
Re + +
+
∫
1−sen(xdx)+cos(x) )2 Resp.:−ln 1−tg(x/2) +C
∫ −
cos(x) sen(x)
dx 3)
Resp.: C
2 1 2 x tg
2 1 2 x tg ln 2
2
+ + +
− +
cos(x) sen(x)
1
cos(x).dx 4)
∫
+
− Resp.: 2 C
x 2 x sec
ln + +
X) Resolva as integrais usando substituição trigonométrica:
dx x
x a ) 1
2 2 2
∫
− Ca x arcsen x
x a : . sp Re
2 2
+ −
− −
dx x 4 x )
2
∫
2 − 2 x 4 x C4 1 x 4 x 2 1 2 x arcsen 2 : . sp
Re − − 2 + 3 − 2 +
∫
+ 2 2
x 1 x
dx )
3
C x
x 1 : . sp Re
2
+ + −
dx x
a x ) 4
2 2
∫
−C x a arccos . a a x : . sp
Re 2 2 +
−
8/13
∫
+ 2 5 ) x (4 dx 5) C x 4 ) x 4 ( 3 x x 4 x 16 1 : . sp Re 2 2 3
2 +
+ + − + 10 2x x . 1) + (x dx 6) 2 4
∫
+ + C) 1 x ( 3 ] ) 1 x ( 9 [ ) 1 x ( 3 ) 1 x ( 9 : . sp Re 3 5 3 2 4 2 + + + + − + + + dx x 4 )
7
∫
+ 2 4 x C2 x x x 4 ln 2 : . sp
Re 2 + + 2 +
+ + 8) 2 2x 2 x 2 1) (x dx
∫
+ ++ Resp.: x x 21x 2 C
2 + + + + −
∫
(x2+9)2 dx9) C
3 x arctg 54 1 ) 9 x ( 18 x . sp Re
2 +
+ +
∫
(x2++9)2 1)dx (x 10) C 3 x arctg 54 1 ) 9 x ( 18 9 x . sp Re2 +
+ + −
∫
(x2+2+x+10)2 3)dx (2x 11) C 3 1 x arctg 54 1 ) 10 x 2 x ( 18 17 x . sp Re2 +
+ + + + −
XI) Resolver as seguintes integrais usando métodos adequados:
∫
+ ).dxx 1 x.ln(1
1) Resp.: ln x 1 C
2 x x 1 x ln 2 x2 + + − + +
∫cos4(2x).dx
2) Resp.: C
8 ) x 8 sen( ) x 4 sen( x 3 8 1 + + +
∫(3x2 +6x+5)arctg(x).dx
3) Resp.: 3x 2ln|1 x | 3arctg(x) C
2 x ) x ( arctg ) x 5 x 3 x ( 2 2 2
3+ + − − − + + +
dx 2 x 5 6x 9 2x 4)
∫
− − −Resp.: C
1 x 5 x ln 4 3 | 5 x x 6 |
ln 2 +
− − + − − − dx 2 x 5 6x 9 2x 5)
∫
− − −Resp.: C
2 3 x arcsen 3 x 5 x 6
2 2 +
− − − − −
∫
+ ++ ++ + 5) ](x 2 x 2 [x 3).dx 2 x ( )6 Resp.: 12ln| x+2+1|−ln x+5+ 3arctg x3+2+C (x).dx 4 (x).sec 3 tg )
7 ∫ Resp.: sec (x) C
4 1 ) x ( sec 6
1 6 4
9/13 ∫ − − + − .dx 2 1) (x 9 8 2 x 2x 2 1) -(x
8) Resp.:29 arcsen x31 (x 1) 2x9 x 8 C
2 + − − + − − x cosec(x).d
9)
∫
Resp.: Cln|cossec(x)−cotg(x)|+1) x 2e 2x 2)(e 2x (e .dx 3x 4.e 10)
∫
+ − +Resp.: C
) 1 x e ( 3 4 ) 1 x e ln( 2 ) 2 x 2 e ln( 2 x e 2 arctg 2 9 4 + − − − + + −
∫
tg3x.cosx.dx11) Resp.: Ccos(x)+sec(x)+
∫
− −lnx ln2x 1
x
lnx.dx
12) Resp.: C
5 1 ) x (ln 2 arcsen 2 1 ) x (ln x ln
1 2 +
+ − − − − ∫ + + +
+2)[ x 2 3x 2] (x
xdx
13) Resp.:
(
)
C 2 x 6 2 x 12 2 x 6 2 x 3 2 x 2 2 x ln 12 1 2 x ln 6 3 6 6 3 6 6 + + + + − + + + − + + + − + +
∫sen2(x).cos5(x).dx )
14
Resp.: C
7 x sen 5 x sen 2 3 x
sen3 5 7
+ +
−
∫ 16−x2
15) Resp.: 16 x C
2 x 4 x arcsen
8 − 2 +
+ dx x e 2x e 16
16)∫ − Resp.: C
4 e arcsen e e 16 x x x 2 + − − − dx 4 x 2 ln x. x 3 ln 17)∫ −
Resp.: ln x 4 C
3 1 4 x ln 4 3 2 2 + − + − 3 5) 2x 2 (x dx ) 18 ∫ + +
Resp.: C
5 x 2 x 4 1 x
2+ + +
+
∫
+ +
+1 (x 1)3 x
dx
19) Resp.: 2arctg( x+1)+C
∫ x2ln( 1−x).dx )
20 Resp.: C
6 x 12 x 18 x | 1 x | ln 6 1 x 1 ln . 3
x3 − − − − 3 − 2 − +
∫ − 2 x 1 dx 5 x
22) Resp.: C
5 ) x 1 ( 3 ) x 1 ( 2 1 x 1 2 2 2 2 + − + − − − −
∫sen5(x).3 cos(x)
23) Resp.: cos x C
16 3 x cos 5 3 x cos 4
33 4 + 3 10 − 3 16 +
− x )].d 3 x ( 4 tg ) 3 x ( 3 [tg
24)∫ + Resp.: x C
3 x cos ln 3 3 x tg 3 3 x tg 3 x tg 2
3 2 3 + +
+ − + dx . x 1 x 4x
25)∫ +
Resp.: C
10/13 XII ) Encontrar a primitiva F(x), para a função f(x), tal que:
1 = F(0) e ) 2 sen(x . x f(x)
1) = Resp.:
2 3 ) x cos( 2 1 ) x (
F =− 2+
4 = ) 3 F( e x + 9
2 x = f(x)
2) 3
6
π
Resp.:
9 2 ) 3 x ( arctg 9 1 ) x ( F
3 π
+ =
2 3 ) 0 F( e ) 2 .cos(x 3 x = f(x) )
3 = Resp.: 1
2 x cos 2
x sen . x ) x ( F
2 2
2
+ +
=
XIII) Determinar a função f(x):
1)
∫
(x3−4x).f′(x).dx=x2 +C e f(0) = −2 Resp.: 2 2 x2 x ln ) x (
f −
+ − =
2)
∫
x4 −9.f′(x).dx=7x2 +C e f( 3 ) = 8ln3. Resp.:f(x) =7ln|x2+ x4−9|+ln3XIV) A equação da reta tangente a uma curva no ponto (0, 2) é y = 3x + 2. Sabendo que em um ponto qualquer (x,y) da curva, f (x) = 3x2 + k (k uma constante), encontrar a equação ′ dessa curva.
Resp.:f x( ) =x3 +3x+2
XV) Em cada ponto da curva y = f(x), tem-se d 2 y dx2
tg2x
= . Sabendo que a reta tangente a
essa curva no ponto (0,1) é paralela ao eixo OX, determinar a equação da mesma.
Resp.: f x( ) = −ln|cos( )|x −x +
2
2 1
XVI) Determine o valor médio de cada função f, abaixo, nos intervalos indicados e o valor de x em que este ocorre.
1) f ( x) 1 1 x2
em [0,1 2
=
− ]. Resp.: π3; ππ−9
2
2) f ( x) = sen2 ( x) em [0, ].π Resp.:
4 3 , 4 ; 2
1 π π
3) f(x) = x2 – 2x + 1 em [-1, 5] Resp.: 4; -1; 3
11/13 a.
ponto O 2)
. f(x).dx 1)∫a8
Resp.: 1) 25; 2) 19/4
XVIII) Sejam as funções dt
2 t sen )
x ( F
x 0
2
∫
π
= e G(x)= x
1) Determine F´(x). Resp.:
π =
2 x sen ) x ´( F
2
2) Determine os pontos x em que F(x) possui máximos locais
Resp.: x =± 2k , k ∈ N tal que k é ímpar
3) Determine FoG (x) Resp.: dt
2 t sen )
x )( G F (
x 0
2
∫
π =
o
4) Determine (FoG)´ (x) Resp.: x
1 2
x sen 2 1 ) x )´( G F
(
π =
o
XIX) Determine as derivadas das funções dadas a seguir:
dt t 1
t e F(x)
1) ∫tg(x)3
+
= Resp.:
) x ( tg 1
) x ( sec . e ) x ( F
2 ) x ( tg
+ − = ′
dt 5 t 1 F(x)
2) = ∫xx3 + Resp.: F′(x)= 1+x15.3x2 − 1+x5
XX) Sendo G definida por du dt
u ) u ( sen )
x ( G
x 3
t
2 2
3 4
∫ ∫
= , determine G´´(x).
Resp.: G′′( )x =4x−5.sen (3 x4)
XXI) Calcule
∫
2 0dx ) x (
f , sendo:
≤ ≤
≤ ≤ =
2 x 1 se , x
1 x 0 se , 2 x f(x) )
12/13 Resp.: 1)4 2 1
3
−
2) 1
XXII) Determine a área da região do plano limitada simultaneamente pelas curvas:
1) y = ln(x), x = 2 e o eixo OX. .
Resp.: 2.ln(2) -1
2) x = 8 + 2y - y2, y = 1, y = 3 e x = 0. Resp.: 46 3 3) xy = 4 e x + y = 5.
Resp.: 15
2 −8ln( ) 2 4) y = 2x, y = 2x - x2, x = 0 e x = 2 Resp.: 3
2 4 3 ln( ) − 5) y = 2x, y = 1 e y = 2/x
Resp.: 2ln(2) 4
3+
−
6) y = x3 – 3x, y = 2x2 Resp.: 71/6
7) y = x3, y = x2 + 2x Resp.: 37/12
08) y = 9/x, y = 9x, y = x Resp.: 9ln(3)
XXIII) Determine a expressão da integral que permite calcular a área da região do plano:
1) Exterior à parábola y2 = 2x e interior ao círculo x2 + y2 = 8.
Resp.:
(
)
+ − −
− +
−
−
∫
∫
∫
∫
− dy y dy dx x xdxy y
0
2 2
-2
0
2 2
2 2
2
2 2
2
2 2
2 8
x -8 2
ou 8
4 2
8
2) Limitada pela hipérbole x a
y
b 1
2 2
2 2
− = e a reta x = 2a.
Resp.: b y dy
b a a
b
∫
− +
3
0
2 2 2
2
3) Comum aos círculos x2 + y2 = 4 e x2 + y2 = 4x.
Resp.:
− + −
∫
∫
21
2 1
0
2
4 4
2 x x dx x dx
XXIV) Calcule a área da região do plano limitada,
1) pela curva x+y2+ =1 0, pela reta tangente à essa curva no ponto A = (−5, −2 ) e pelo eixo OX.
13/13 2) pelas curvas x= y2 −3, x = y -1 e acima do eixo OX.
Resp.: 13 3 3) pelas curvas x= y2 e x = 2 - y.
Resp.: 7 3
4) pela curva x y
2 2
9 + 4 =1 e pela reta que passa pelos pontos A=(0,2) e B = (−3,0) e situada no 2o quadrante.
Resp.: 3
2 3
π
−
XXV) Uma partícula se desloca sobre o eixo 0x com velocidade v(t) = sen2(t) m/s. Calcule o deslocamento entre os instantes t = 0 s e t = π s.
Resp.: 2
π
m
XXVI) Sobre uma partícula que se desloca sobre o eixo Ox, entre os pontos x = 1m e x = e m, atua a força Fr(x)=ln(x).ri, dada em Newton. Determine o trabalho, em joule, realizado por Fr.
Resp.:
∫
e 1dx ) x
ln( = 1
XXVII) Sobre uma partícula que se desloca sobre o eixo Ox, entre os pontos x = -1 m e x = 0 m, atua a força Fr, que aponta na direção do ponto (0, 1) e cujo módulo, dado em Newton, é igual a |Fr(x)|=x2. Determine:
1) A componente de Fr na direção de Ox.
Resp.: i
x 1
x 2 3 r
+ −
2) O trabalho realizado por Fr, dado em joule
Resp.:
∫
− +
−
0
1 2
3 x 1
dx x
= 3