Medida do tempo de
execução de um
programa
Algoritmos e Estruturas de Dados I
Natália Batista
https://sites.google.com/site/nataliacefetmg/ nataliabatista@decom.cefetmg.br
2º semestre/ 2017
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1. Custo de algoritmos
(1/5) Custo de utilização de um algoritmo:
tempo de execução
quantidade de operações executadas
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1. Custo de algoritmos
Tempo de execução
vantagens
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1. Custo de algoritmos
Objeções:
resultados são dependentes do compilador que pode
favorecer algumas construções em detrimento de outras;
diferenças de hardware;
quando grande quantidade de memória é utilizada, as
medidas de tempo podem depender deste aspecto.
E quando existem vários algoritmos para resolver o
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2. Modelo computacional
Uma forma mais adequada de medir o custo
e utilização de um algoritmo é usando um
modelo matemático baseado em um
computador idealizado.
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2. Modelo computacional
Modelo:
Esquema que possibilita a representação de uma
entidade (Houaiss).
No modelo, só se deve incluir o que for relevante
para a modelagem do objeto em questão.
Computacional:
Relativo ao processamento (Houaiss).
Definição (nosso contexto):
Esquema que descreve como é o modelo
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2. Modelo computacional
Importância:
Um algoritmo não existe, ou seja, não é possível
escrevê-lo, se antes não for definido o modelo computacional associado (como será executado).
Conceito básico no projeto de qualquer
algoritmo.
O mais popular (usado) de todos:
RAM – Random Access Machine.
Modela o computador tradicional e outros
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2. Modelo computacional
Elementos do modelo: um único processador;
memória.
Observações:
Podemos ignorar os dispositivos de entrada e saída
(teclado, monitor, etc) assumindo que a codificação do algoritmo e os dados já estão armazenados na memória.
Computação nesse modelo:
Processador busca instrução/dado da memória.
Uma única instrução é executada de cada vez.
Cada instrução é executada seqüencialmente.
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3. Função de complexidade
Para medir o custo de execução de um
algoritmo define-se uma função de custo ou
função de complexidade f.
f(n) é a medida do tempo necessário para
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3. Função de complexidade
Se f é a medida da quantidade de tempo,
então f é função de complexidade de tempo.
Se f é a medida da quantidade de memória,
então f é função de complexidade de espaço.
No livro e na disciplina: complexidade de
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3. Função de complexidade
A complexidade de tempo não representa
tempo diretamente, mas o número de vezes que determinada operação considerada
relevante é executada.
A complexidade de espaço representa a
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4. Exemplo
Exemplo: algoritmo para encontrar o maior
elemento de um vetor de inteiros A[1..n], n1.
int Max (int A[], int n){
int i, Temp;
Temp = A[0];
for (i = 1; i < n; i = i + 1)
if (Temp < A[i]) Temp = A[i];
return Temp;
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4. Exemplo
Seja f uma função de complexidade tal que
f(n) é o número de comparações entre os elementos de A, se A contiver n elementos. Logo,
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4. Exemplo
O algoritmo anterior é ótimo?
Quando o custo de um algoritmo é igual ao menor custo possível, então o algoritmo é ótimo para a
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4. Exemplo
Teorema: qualquer algoritmo para encontrar
o maior elemento de um conjunto com n elementos, n1, faz pelo menos n-1
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5. Melhor caso, pior caso e caso médio
Medida do custo de execução de um
algoritmo depende:
do tamanho da entrada dos dados
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5. Melhor caso, pior caso e caso médio
Três cenários:
melhor caso
pior caso
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5. Melhor caso, pior caso e caso médio
Melhor caso
Menor tempo de execução sobre todas as
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5. Melhor caso, pior caso e caso médio
Pior caso
Maior tempo de execução sobre todas as
entradas de tamanho n.
Se f é uma função de complexidade baseada na
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5. Melhor caso, pior caso e caso médio
Caso médio (ou caso esperado)
Média dos tempos de execução de todas as
entradas de tamanho n.
Uma distribuição de probabilidades sobre o
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6. Exemplo
Considere o problema de acessar os
registros de um arquivo.
Cada registro contém uma chave única que
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6. Exemplo
O problema: dada uma chave qualquer,
localize o registro que contenha esta chave.
O algoritmo de pesquisa mais simples é o
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6. Exemplo
Seja f uma função de complexidade tal que
f(n) é o número de registros consultados no arquivo (número de vezes que a chave de consulta é comparada com a chave de cada registro).
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6. Exemplo
Melhor caso:
f(n) = 1
Pior caso:
f(n) = n
Caso médio:
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6. Exemplo
No estudo do caso médio, vamos considerar que
toda pesquisa recupera um registro.
Se pi for a probabilidade de que o i-ésimo registro
seja procurado e, considerando que para recuperar o i-ésimo registro são necessárias i comparações, então:
f(n) = 1 x p1 +2 x p2 +3 x p3 + ... +n x pn.
Para calcular f(n) basta conhecer a distribuição de
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6. Exemplo
Se cada registro tiver a mesma probabilidade de ser
acessado que todos os outros, então pi = 1/n,1i n.
Neste caso:
A análise do caso esperado revela que uma
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7. Exemplo
Algoritmo para encontrar o maior e o menor
elementos de um vetor de inteiros A[1..n], n1.
int MaxMin1 (int A[], int *Max, int *Min, int n){
int i;
*Max = A[0]; *Min = A[0];
for (i = 1; i < n; i = i + 1){
if (A[i] > *Max) *Max = A[i];
if (A[i] < *Min) *Min = A[i];
}
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7. Exemplo
Seja f(n) o número de comparações entre os
elementos de A, se A tiver n elementos.
Logo
f(n) = 2(n - 1), para n > 0,
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7. Exemplo
Pode-se melhorar MaxMin1?
Observe que a comparação A[i] < Min
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7. Exemplo
int MaxMin2 (int A[], int *Max, int *Min, int n){
int i;
*Max = A[0]; *Min = A[0];
for (i = 1; i < n; i = i + 1){
if (A[i] > *Max) *Max = A[i];
else if (A[i] < *Min) *Min = A[i];
}
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7. Exemplo
Melhor caso: f(n) = n-1
o vetor A está em ordem crescente
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7. Exemplo
Pior caso: f(n) = 2(n-1)
o vetor A está ordem decrescente
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7. Exemplo
Caso médio: A[i] é maior do que Max a
metade das vezes.
Sempre faz a comparação do primeiro if: n-1
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7. Exemplo
Considerando o número de comparações
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7. Exemplo
Sim! Particionando o vetor em dois
subconjuntos.
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8. Exemplo
1. Compare os elementos de A aos pares,
separando-os em dois subconjuntos (maiores em um e menores em outro), a um custo de ⌈n/2⌉
comparações.
2. O máximo é obtido do subconjunto que contém os
maiores elementos, a um custo de ⌈n/2⌉ - 1
comparações.
3. O mínimo é obtido do subconjunto que contém os
menores elementos, a um custo de ⌈n/2⌉ - 1
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8. Exemplo
Implementação: quando n é ímpar, o
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int MaxMin3 (int A[], int *Max, int *Min, int n){ int i, FimDoAnel;
if ((n % 2) > 0){ //se n é ímpar, duplica último elemento
A[n] = A[n-1]; FimDoAnel = n; }
else FimDoAnel = n - 1;
if (A[0] > A[1]){
*Max = A[0]; *Min = A[1]; }
else {
*Max = A[1]; *Min = A[0]; }
i = 3;
while (i <= FimDoAnel){ if (A[i-1] > A[i]){
if (A[i-1] > *Max) *Max = A[i-1]; if (A[i] < *Min) *Min = A[i];
}
else {
if (A[i-1] < *Min) *Min = A[i-1]; if (A[i] > *Max) *Max = A[i];
}
i = i + 2; }
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8. Exemplo
Comparação dos elementos aos pares: n/2
Obtenção do máximo do subconjunto dos maiores
elementos: n/2-1
Obtenção do mínimo do subconjunto dos menores
elementos: n/2-1
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8. Exemplo
Comparação dos algoritmos para obter o máximo e o mínimo:
Os algoritmos MaxMin2 e MaxMin3 são superiores ao
algoritmo MaxMin1 de forma geral.
O algoritmo MaxMin3 é superior ao algoritmo MaxMin2 com
relação ao pior caso e bastante próximo quanto ao caso médio.
*
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9. Limite inferior
É possível obter um algoritmo MaxMin mais
eficiente?
Para responder temos de conhecer o limite
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9. Limite inferior
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10. Exemplo: Oráculo
De acordo com o dicionário Aurélio, um
oráculo é:
1. Resposta de um deus a quem o consultava.
2. Divindade que responde consultas e orienta o
crente: o oráculo de Delfos.
3. Palavra, sentença ou decisão inspirada, infalível
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10. Exemplo: Oráculo
Dado um modelo de computação que
expresse o comportamento do algoritmo, o oráculo informa o resultado de cada passo possível (no caso, o resultado de cada
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10. Exemplo: Oráculo
O teorema a seguir utiliza um oráculo para
derivar o limite inferior no número de
comparações necessárias para o problema do máximo e do mínimo.
Teorema: Qualquer algoritmo para encontrar
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10. Exemplo: Oráculo
Prova: A técnica utilizada define um oráculo
que descreve o comportamento do algoritmo por meio de
um conjunto de n–tuplas, e
um conjunto de regras associadas que mostram
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10. Exemplo: Oráculo
Uma 4–tupla, representada por (a, b, c, d),
onde os elementos de:
a nunca foram comparados;
b foram vencedores e nunca perderam em
comparações realizadas;
c foram perdedores e nunca venceram em
comparações realizadas;
d foram vencedores e perdedores em
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10. Exemplo: Oráculo
O algoritmo inicia no estado (n, 0, 0, 0) e termina
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10. Exemplo: Oráculo
Após cada comparação a tupla (a, b, c, d)
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10. Exemplo: Oráculo
Dadas as transições de estado, é possível derivar o
limite inferior determinando-se que o estado final
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10. Exemplo: Oráculo
O primeiro passo requer necessariamente a
manipulação do componente a.
O caminho mais rápido para levar a até zero
requer ⌈n/2⌉ mudanças de estado e termina com
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10. Exemplo: Oráculo
A seguir, para reduzir o componente b até um
são necessárias ⌈n/2⌉ - 1 mudanças de estado
(mínimo de comparações para obter o maior elemento de b).
Idem para c, com ⌈n/2⌉ - 1 mudanças de
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10. Exemplo: Oráculo
Logo, para obter o estado (0, 1, 1, n - 2) a partir do
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10. Exemplo: Oráculo
O teorema nos diz que se o número de
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Exercício
Calcule o número de
trocas/comparações que o algoritmo de
ordenação por seleção realiza no pior caso.
void ordena (int v[],int n){ int i, j;
for (i=0; i<n-1; i++){ int min = i;
for (j = i+1; j < n; j++){ if (v[j] < v[min]){
min = j;
//troca v[min] e v[i] int x = v[min];
v[min] = v[i]; v[i] = x;
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Exercício
Considerando somente as comparações
entre elementos do vetor:
O for mais externo é executado de 0 a n-2, ou
seja, n-1 vezes.
O for mais interno é executado de i+1 a n-1, ou
seja, n-1 - (i+1) + 1 = n - i - 1 vezes.
Como se trata do pior caso, iremos assumir que a
comparação do if será sempre executada.
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Exercício
n f(n)
0 0
1 0
2 1
3 3
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11. Referências
Nivio Ziviani. Projeto de algoritmos: com
implementações em Pascal e C. 3 ed. Editora Cengage Learning, 2011.
Antonio Alfredo Ferreira Loureiro. Projeto e
