CALCUL DES PROBABILITÉS

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(5) COURS DE PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. CALCUL DES PROBABILITÉS.

(6) 69264 PARIS.. —. LVlPRIMERIli GAUTIliEK-VlLLARS et C*. Quai des Grands-Augustins, 55.

(7) COURS DE LA FVCULÏE DES SCIENCES DE PARIS PUBLIÉS SOUS LES AUSPICES. DE l'association AMICALE DES ÉLÈVES ET ANCIENS ÉLÈVES. DE LA FACULTÉ DES SCIENCES. CALCUL DES. PROBABILITÉS PAR. POINCARÉ. H.. REDACTION DE A.. QUIQUET. ANCIEN ÉLÈVE DE l'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE. DEUXIÈME ÉDITION, REVUE ET AUGMENTÉE PAR L'AUTEUR NOUVEAU TIRAGE IQ^S. PARIS GAUTHIER -VILLARS, IMPRIMEUR -LIBRAIRE DU BUREAU DES LONGITUDES, DE l' ÉCOLE POLYTECHNIOUli 55,. Quai des Grands-Augustins, 55. 1912.

(8) Tous. droits de traduction, de reproduction et d'adaptation. réservés pour tous pays..

(9) CALCUL DES PROBABILITÉS.. INTRODUCTION. —. I.. «. Comment. (').. Le hasard.. oser parler des lois du hasard? Le hasard. n'esi-ii pas l'antithèse. de toute loi?. ». Ainsi s'exprime Ber-. trand, au début de son Calcul des probabilités. lité est. et,. opposée. à [a. par conséquent semble-t-il,. lïy. a. là. La probabi-. certitude; c'est donc ce qu'on ignore cfe. qu'on ne saurait calculer,. une contradiction au moins apparente. et sur. .. laquelle on à déjà beaucoup écrit.. Et d'abgrd qu'est-ce cjue. le. hasard,? Les anciens distin-. guaient les phénomènes qui semblaient obéir. harmonieuses, établies une attribuaient au hasard. ;. fois. pour toutes,. des lois. ceux. les lois précises. loi.. Dans chaque. ne décidaient pas dé tout, elles. traçaient seulement les limites entre lesquelles. il. était per-. mis au hasard de se mouvoir. Dans cette conception, hasard avait un seiis piécis, objectif. (') Cette Introduction est extraitt^. dans. mon Ouvrage. :. mot. le. ce qui était hasard. du Ctiapilre intitulé. Stience et Méthode (FIamnr)arion. :. Le hasard^ -. ).. '. P.. qu'ils. c'étaient ceux qu'on ne pouvait pré^. voir parce qu'ils étaient rebelles à toute. domaine,. et. à. I. -.

(10) IMliCDUCTION.. 2. pour. hasard pour l'autre et. l'un, élait aussi. dieux.. même. pour. les. :. Mais cette conception n'est plus. la. devenus des déterministes absolus,. nôtre; nous et. sommes. mêmes. ceux. qui. veulent réserver les droits du libre arbitre humain laissent. du moins. monde a. le. déterminisme régner sans partage dans. inorganique. Tout phénomène,. une cause,. un. et. bien informé des le. de. minime. le. qu'il soit,. infiniment puissant, infiniment. es|)rit. lois. commencement. si. nature, aurait pu. la. le. prévoir dès. des siècles. Si un pareil esprit existait,. on ne pourrait jouer avec. lui à. aucun jeu de hasard, on per-. drait toujours.. Pour plutôt. lui,. il. en. eiï'el, le. mot de hasard n'aurait pas de sens, ou. n'y aurait pas de hasard. C'est à cause de notre fai-. blesse et de tmtre ignorance qu'il y en aurait un pour nous. .. •Klv'mème sans. sortir. de notre faible humanité, ce qui est. hasard pour l'ignorant, n'est plus hasard pour. hasard n'est que. mènes. la. le. savant.. Le. mesure de notre ignorance. Les phéno-. fortuits sont, par définition,. ceux dont nous ignorons. les lois.. Mais cette définition est-elle bien satisfaisante? Quand. premiers bergers chaidéens suivaient des yeux. ments des. astres,. ils. ne connaissaient pas encore. l'Astronomie; auraient-ils songé à dire que. meuvent au hasard?. nomène nouveau, il. dit le lundi. plus. :. mène,. Si. les. les. mouve-. les lois. de. astres. se. un physicien moderne étudie un phé-. s'il. en découvre. que ce phénomène. la loi le. mardi, aurait-. était fortuit?. Mais. il. y a. n'invoque-t-on pas souvent, pour prédire un phénoce. que Bertrand appelle. exemple, dans lois. et. les. la. connues de Mariolte. hypothèse que. les lois. du hasard?. Et, par. théorie cinétique des gaz, on retrouve les et. les vitesses. de Gay-Lussac, grâce. à. cette. des molécules gazeuses varient.

(11) INTRODUCTION.. 3. irrégulièrement, c'est-;V(iire an hasarfi. Les. lois oiisei'vables. seraienl beaucoup moins sini[)les, diront Ions les |>hvsiciens, si. si. quelque. les vitesses étaient réglées |)ar. simple,. si. molécules étaient,. les. elles obéissaient à. à. vons conclure. le. et alors. donc traduire. si. mot hasard. comme. se.. produire.. est tout. simplement. suit?. il. les. j»hénomènes. par malheur, je comiaissais les. Si,. au. i^ràce. cela veutdir(r?Faul-. Vous me demandez de vous prédire. «. qui vont. organisées,. dil,. notre ignorance, que nous pou-. un synonyme d'ignorance, qu'est-ce que il. élémentaire. loi. on. quelque discipline. C'est. hasard, c'est-à-dire grâce ;. comme. de ces phénomènes, je ne pourrais y arriver que. lois. des. i)ar. calculs inextricables et je devrais renoncer à vous répondre;. mais, copnme. j'ai. répondre tout de naire, c'est faut. Il. la. chance de. les ignorer,. suite. Et, ce qu'il y. que ma réponse sera. donc bien que. nom que nous donnons. le. à. a. je. vous. vais. de plus exiraordi-. juste.. Iiasard. soit autre. chose que. le. notre ignorance, que parmi les. phénomènes dont nous ignorons les causes, nojjs devions distinguer les phénomènes fortuils, sur lesfjuels le calcul des probabilités nous renseignera piovisoirement, qui ne sont pas fortuits et sur lesquels nous ne rien dire, tant les régissent. il. est clair. que nous n'aurons pas déterminé. ceux. el. pouvons qui. les lois. Et pour les phénouiènès foituils eux-mêmes,. que. les. renseignements que nous fournit. le. cal-. cul des probabilités ne cesseront pas d'être vrais le jour. ces. Le directeur d'une compagnie d'assurances sur ignore quand mourra chacun de ses assurés, mais sur. où. phénomènes seront mieux coimus.. le calcul. bres. et. il. des probabilités et sur. la loi. il. la. vie. compte. des grands. nom-. ne se trompe pas, puisqu'il distribue des dividendes. à ses actionnaires.. Ces dividendes ne s'évanouiraient pas. si.

(12) rNTRODUCTION.. 4. un médecin. très perspicace et très indiscret venait,. renseigner. les polices signées,. le. une. fois. directeur sur les chances. de vie des assurés. Ce médecin dissiperait l'ignorance directeur, mais. il. n'aurait. aucune influence sur. du. les divi-. dendes qui ne sont évidemment pas un produit de cette ignorance.. II.. —. Définition DU hasard.. Pour trouver une meilleure faut. regarder. comme. fortuits, et. du hasard,. détinition. examiner quelques-uns des. auxquels. nous. le caictil. des probabi-. nous rechercherons ensuite quels. lités paraît s'appli(iuer;. communs.. sont leurs caractères. il. qu'on s'accorde à. faits. .. Le premier exemple que nous allons choisir un cône repose sur. est celui. de. nous. l'équilibre instable;. si. savons bien. tomber, mais nous ne savons pas de. quel côté; Si le. cône. il. qu'il va. nous semble que. était. la. hasard seul va en décider.. parfaitement sj'métrique,. parfaitement vertical, force que. le. n'était. s'il. pesanteur,. il. sa pointe,. si. soumis. à. son axe. aucune autre. ne tomberait pas du tout. Mais. moindre défaut de symétrie va. le faire. soit,. il. tombera tout. pourra. à fait. de ce côté.. une trépidation. le faire incliner. le. pencher légèrement. d'un côté ou de l'autre, et dès qu'il penchera,. est parfaite,. était,. Si. si. même. très légère,. un. peu que ce la. symétrie. souffle d'air. de quelques secondes d'arc; ce sera. assez pour déterminer sa chute et nième. le. sens de sa chute. qui sera celui de l'inclinaison initiale.. Une cause. très petite, qui. nous échappe, détermine un. effet. considérable que nous ne pouvons pas ne pas voir, et. alors. nous disons que cet. effet est. naissions exactement les lois de. dû au hasard.. Si. nous con-. la nature et la situation. de.

(13) INTRODUCTION,. l'univers à l'instant initial,. ment. la. situation de ce. Mais, lors. même. que. nous pourrions prédire exacte-. même univers. à. un instant. secret pour- nous, nous ne pourrions connaître (\\x'. approximatwemeiii.. même. prévu, qu'il est régi par des jours ainsi,. lois. ;. prévoii' la. approximation,. nous disons que. mais. c'est tout. phénomène. le il. de. situation. la. nous |)ermët de. Si cela. situation ultérieure avec la. ce qu'il nous faul,. ultérietn".. les lois naturelles n'auraient plus. été. a. n'en est pas tou-. peut arriver que de petites dilîérences dans les. il. conditions initiales en engendrent de très grandes dans les. phénomènes. finaux;. une. produirait une erreur. petite erreur sur les. énorme sur. les derniers.. tion devient impossible et nous avons. le. premières. La prédic-. phénomène. for-. tuit.. Notre second exemple sera. nous l'emprunterons. fort. analogue au premier et. météorologie. Pourquoi. à la. mé-. les. téorologistes ont-ils tant de peine à prédire le temps avec. quelque certitude ?l\ourquoi. les. chutes de pluie, les tempêtes. elles-mêmes nous semblent-elles arriver au hasard, de sorte. que bien des gens trouvent tout naturel de prier pour avoir la. pluie ou le beau temps, alors qu'ils jugeraient ridicule de. demander une. une prière? Nous voyons que. les. grandes perturbations se produisent généralement dans. les. éclipse par. régions où l'atmosphère est en. équilibre. instable.. Les. météorologistes voient bien que cet équilibre est instable,. qu'un cyclone va naître quelque part; mais où, d'état. de. le dire;. en un point quelconque, ei. il. ils. sont hors. un dixième de degré en plus ou en moins le. cyclone éclate. étend §es ravages sur de? contrées. ici et. qu'il. non pas. là,. aurait épar-. gnées. Si l'on avait connu ce dixième de degré, on aurait. pu. le. savoir d'avance, mais les observations n'étaient ni. assez serrées, ni assez précises, et c'est pour cela que tout.

(14) INTRODUCTION.. 6. semble du vons. le. rintervention. à. «lu. hasard. Ici encore.nous retrou-. mêine conirasie entre une cause minime, inappré-. ciable pour l'observateup, et des effets considérables, qui soni quelquefois d'épouvantables désastres.. Passons. un. à. atitre. exemple,. j)lanèles sur le zodiaque.. distribution des petites. la. Leurs longitudes. être quelconques; mais leurs. initiales ont. moyens mouvements étaient. différents et elles circulent depuis. si. longtemps qu'on peut. dire qu'actuellomenl, elles sont distribuées loni^. du zodiaipie. De. au hasard. le. très petites différences initiales entre. leurs distances au Soleil, ou ce qui revient au. leurs. pu. mouvements moyens, ont. fini. même. entre. par donner d'énormes. différences entre leurs longitudes actuelles; im excès d'un. millième de seconde dans donnera, en. effet,. Je. moyen mouvement diurne. une seconde en. trois ans,. une circonférence entière en. mille ans,. un degré en dix ou quatre. trois. millions d'années, et qu'est-ce que cela auprès du temps. qui s'est écoulé depuis que les petites planètes se sont déta-. chées de. !a. nébuleuse de Laplace? Voici donc. u<i8. fois. de. plus une petite cause et un grand effet; ou. mieux de. différences dans la cause et de grandes. différences dans. petites. l'effet.. Le. j(Mi. de. la. roulette nous éloigne. moins. qu'il. ne semble. de l'exemple précédent. Supposons une aiguille qu'on peut fair(^. tourner autoui' d'un pivot, sur. \\\\. cadran divisé en. loo sectem's alternativement rouges et noiis. Si elle.s'arrête. sur un secteui' ronge,. la. partie est gagnée,. sinon, elle est. perdue. Tout dépend évidemment de l'impulsion. que nous donnons. à. loou. mais. '2o fois b; tour,. l'aiguille. L'aiguille fera, Je. elle s'arrêtera plus ou. suivant que j'aurai poussé plus ou moins suffit (jue rim|)iilsion varie. initiale. suppose,. moins. vite,. fort. Seiilemetit.. il. d'un millième, ou d'un deux-mil-.

(15) INTRODUCTION.. lième, pour que. mon. 7. aiguille s'arrête à. un seclem- qui. noir ou au secteur suivant qui est rouge. Ce sont. là. est. des. différences que le sens musculaire ne peut apprécier et qui. écha[)peraient. même. à. des instruments plus délicats.. Il. m'est donc impossible de prévoir ce que va faire l'aiguille. que je viens de lancer, que. et c'est. pourquoi. mon cœur. j'attends tout. du. liasard.. imperceptible, et. la. différence dans l'effet est. de. la. La différence dans. bal et. cause est. la. pour moi. plus bauie importance, puisqu'il y va de. toute. ma. mise.. MI Voici mainlenanl d'autres exemples où nous allons voir apparaître des caractères un peu différents. Prenons d'abord la. théorie cinétique des. gaz.. Comment devons-nous nous. représenter un récipient rempli de gaz? D'innombrables. molécules, animées de grandes vitesses, sillonnent ce récipient dans tous les sens; à chaque instant, elles choquent les parois,. ou bien elles se choquent entre elles:. chocs ont lieu dans. nous frappe surtout. conditions les plus diverses. Ce qui. les ici,. ce n'est pas. ici. et. cule était déviée vers toire,. petitessedes causes,. la. c'est leur complexité. Et, cependant,. retrouve encore. le. premier élément se. joue un rôle important. la. gauche ou. la. une molétrajec-. d'une quantité très petite, comparable au rayon d'ac-. le subirait. le. 180*^, la. et. cela. elle. ferait. directiDu de sa vitesse. choc.. Et ce n'est pas tout, la. un choc, ou. dans des conditions différentes,. varier, peut-être de;90<* ou de. dévier. Si. droite de sa. tion des molécules gazeuses, elle éviterait. après. et ces. il. molécule avant. suffit, le. nous venons de. le. voii",. de. choc d'une quantité, inliniment. petite, i)our qu'elle soit déviée^ après le choc, d'une (pian-.

(16) ,. INTRODUCTION.. molécule subit deux chocs successifs,. lilé finie. Si alors la il. suffira. de. la. dévier, avant. premier choc, d'une quantité. le. infiniment petite du second ordre, pour qu'elle le. mier ordre la. et,. après. le. second choc, d'une quantité. molécule ne subira pas deux chocs seulement,. subira un très grand. nombre par seconde. De. prenîier choc a muliiplié. nombre. après. la. devenue. est grand,. Et. elle. en. que. si. Fe. par un très grand. déviation. très graude,. c'est-à-dire parce. duisent de grands. effets,. les. non seulenient parce que. que. petites causes. les. A. pro-. mais parce que l'exposant n est. grand, c'est-à-dire parce .que. que. sorte. finie.. A, après n cliocs, elle sera multipliée par A"; elle. sera donc. et. le soit,. premier choc, d'une quantité infiniment petite du pre-. les. chocs sont très nombreux. causes sont très complexes.. Passons. à. un deuxième exemple; pourquoi, dans une.. averse, les gouttes de pluie nous semblent elles distribuées-. au hasard?. C'esl. encore à cause de. complexité des'causes. la. qui déterminent leur formation. Des ions se sont répandus. dans l'atmosphère, pendant longtemps. ils. ont été soumis à. des courants d'air constamment changeants,. ils. ont été. entraînés dans des tourbillons de très petites dimensions,. de sorte que leur distr'ibution avec leur distribution. s'abaisse, la vapeur se. devient. le. finale n'a plus. initiale.. condense. centre d'une goutte. sera la distribution de ces. sur chaque pavé,. il. initiale des ions,. il. ne. Tout. et. coup,. aucun rapport la. température. chacun de ces ions. pluie.. d'e. gouUes. suffirait. à. Pour savoir quelle. combien. il;. en tombera. pas de connaître. la situation. et. faudrait supputer l'effet. de mille cou-. rants d'air minuscules et capricieux.. Et c*est encore. la. même. chose. si. l'on. met des grains de. poussière en suspension dans l'eau; le vaseêst sillonné p$r. des courants dont nous ignorons. la loi,. nous savons seule-. ,.

(17) INTRODUCTION.. ment. qu'elle est. 9. compliquée; au bout d'un certain. très. temps, les grains seroni distribués au hasard, c'est-à-dire. uniformément, dans ce vase,. loi. simple,. par exemple,. si,. les courants circulaient. vant. des cercles,. il. dû précisément à. et cela est. complication de ces courants.. la. le. obéissaient à quelque. S'ils. vase était de révolution et. si. autour de l'axe du vase en décriseVait plus de. n'en. chaque grain conserverait. hauteur. sa. même, puisque. initiale et sa distance. initiale à l'axe.. On. arriverait au. même. résultat en envisageant lernélange. de deux liquides ou de deux poudres. prendre un exemple plus grossier, ;quand on bat. les cartes. A. d'un jeu.. la. Et pour. fiiîs.. chaque coup,. subissent une permutation (analogue. dans. grains. à. c'est aussi ce qui arrive les cartes. celles qu'on étudie. à. théorie des substitutions). Quelle est celle. réalisera? La probabilité, pour. [par exemple, celle qui. que ce. soit telle. amène au rang n. la. qui. se. permutation. carte qui occu-. pait le rang 9 (/i) avant la permutation], cette probabilité, dis-je,. dépend des habitudes du joueur. Mais. bat les cartes assez longtemps,. de permutalions successives; ne sera plus régi que par les ordres possibles seront. grand à la. le. il. si. ce joueur. y aura un grand nombre. et l'ordre final qui. en résultera. hasard; je veux dire que tous. également probables. C'est au. nombre des permutations. successives, c'est-à-dire. complexité du phénomène, que ce résultat est dû.. Un mot. enfin de. la. théorie. des erreurs. C'est. ici. causes sont complexes etqu'elles sont multiples.. de pièges n'est pas expos-é l'observateur,, meilleur instrument?. Il. doit s'atlatîher. gros et à les éviter. Ce sont ceux qui. aux erreurs systématiques. Mais quand admettant. qu'il. y parvienne,. il. que. les. A combien. même. avec. le. apercevoir les plus. à. donnent n;iissance il. les a éliminés,. en. en reste beaucoup de petits^.

(18) INTRODUCTION.. lO. lesquels, en accumulant leurs effets, peuvent devenir dan-. gereux. C'est de. nous. telles; et. que proviennent. là. les. erreurs acciden-. les. attribuons au hasard, parce que leurs. causes sont trop compliquées. et. nombreuses.. trop. Ici. encore, n'ous n'avons que de petites causes, mais chacune d'elles. ne produirait qu'un petit. par leur. et. tables.. nombre que. leurs. par leur union. effet; c'est. deviennent redou-. effets. .. IV. On a. peut se placer encore à un troisième point de vue, qui. moins d'importance que. j'insisterai. deux premiers. les. moins. Quand on cherche. et sur lequel. à prévoir. im. fait. et. qu'on en examine les antécédents, on s'efforce de s'enquérir. de. la. situation antérieure; mais on ne saurait le faire pour. toutes les parties de l'univers, on se contente de savoir ce. qui se passe dans le voisinage du point où. fait. le. doit se. produire, ou ce qui paraît avoir quelque rapport avec ce lait.. Une enquête ne peut. choisir.. Mais. il. être complète, et. il. faut savoir. peut arriver que nous ayons laissé de côté. des circonstances qui, au premier abord, semblaient com-. plètement étrangères au. fait. jamais songé. à attribuer. dant, contre. toute. prévu, auxquelles on n'aurait. aucune influence. prévision,. viennent. à. et qui,. cepen-. nMe. jouer un. important.. Un homme qu'un. (pii. passe dans. rue en allant à ses affaires; quel-. aurait été au courant de ces affaires pourrait dire. pour quelle raison passé par. la. telle rue.. il. est parti à telle lieure, poui-quoi. Sur. le toit. travaille. il. est. un couvreur; l'en-. trepreneur qui l'emploie pourra, dans une certaine mesure, prévoir ce. (ju'il. va faire. Mais. l'homme ne pense guère au.

(19) INTRODUCTION.. couvreur,. ni le. couvreur à l'homme. Il. :. ils. semblent apparte-. deux mondes complètement étrangers. nir à. pourtant,. le. l'homme,. et. couvreur. tomber une. laisse. on n'hésitera pas. à dire. que. l'un à l'autre.. qui. tuile. Et. tue. un hasard.. c'est là. Notre faiblesse ne nous permet pas d'embrasser l'univers tout entier, et nous oblige à. cherchons et,. néanmoins,. arrive, de. il. le. découper en tranches. Nous. peu artiticîellementque possible,. à lé faire aussi. temps en temps, que deux de ces. tranches réagissent l'uae sur l'autre. Les effets de cette action mutuelle nous paraissent alors dus au hasard.. Est-ce. là. une troisième manière de concevoir. Pas toujours; en la. première ou. la. ramené. plupart du temps, on est. effet, la. à. seconde. Toutes les. mondes, généralement étrangers. l'un. hasard. le. suffi. 1res. complexes,. et,. à. que deux. fois. à l'autre,. viennent. ainsi à réagir l'un sur l'autre, les lois de cette réaction. peuvent être que. ?. d'autre part,. il. ne. aurait. d'un très petit changement dans les conditions ini-. tiales. de ces deux mondes pour que. lieu.. Qii'W aurait fallu. la. réaction n'eût pas. peu de chose pour que l'homme. passât une seconde plus tard, ou que le couvreur laissât. tomber. sa tuile. une seconde plus. V.. —. tôt. I. Les lois du hasard.. Tout ce que nous venons de dire ne nous explique pas encore pourquoi. le. hasard obéit. à. des. lois. Suffit-il. que. les. causes soient petites, ou qu'elles soient complexes, pour. que nous puissions prévoir, sinon quels en sont. dans chaque. cas,. les eifets. mais au moins ce que seront ces. moyenne? Pour répondre. à celle (juestion, le. effets. mieux. en. est de. reprendre q,uelques-Uns des exemples cités plus haut. Je commencerai par celui de. la roulette.. J'ai. dit. que. le.

(20) INTRODUCTION.. point où s'arrêtera l'aiguille va dépendre de l'impulsion tiale. qui. lui est. donnée. Quelle est. impulsion. celte. mais. rien,. m'est. il. ou. telle. ît. difficile. la. ini-. que. probabilité pour. valeur? Je n'en sais. telle. de ne pas admettre que celte. probabilité est représentée par une fonction analytique continue.. La probabilité pour que l'impulsion. entre a ei a. -¥- s. lité. pour qu'elle. que. e. sera alors sensiblement égale à soit. comprise entre a. soit très petit. C'est là. les fonctions analytiques.. tion. -\- s. comprise. soit. ela. -\~. la. probabi-. pourvu. 2e,. une propriété commune à toutes. Les petites variations de. sont proportionnelles aux petites. fonc-. la. variations. de. la. variable.. Mais, nous l'avons supposé, une très petite variation de. l'impulsion suffit pour changer. couleur du secteur devant. la. De. lequel l'aiguille finira par s'arrêter.. rouge, de a -h. e. à. a H-. chaque secteur rouge noir suivant,. rouge. et,. 2 £ c'est. est. donc. même. la. par conséquent,. représente née. Mais. la. le. la. question, c'est. celle. du secteur totale. du. du noir.. fonction analytique qui. la. vrai, quelle. née, parce qu'il dépend d'une propriété. que. soit cette. commune. don-. à toutes. analytiques. IL en résulte que, finalement,. nous n'avons plus aucun besoin de. la. Ce que nous venons de dire pour. donnée. le. cas de la roulette. s'applique aussi à l'exemple des petites planètes.. peut être regardé. comme une immense. quelle le Créateur a lancé un très grand. boules, auxquelles diverses,. le. probabilité d'une impulsion initiale détermi-. théorème reste. les fonctions. que. c'est. -{- e. probabilité de. la. probabilité. la. est égale à la probabilité totale. La donnée de. a h a. noir;. le. il. a. communiqué. variant suivant une. loi. Le zodiaque. roulette sur la-. nombre de. des impulsions d'ailleurs. petites. initiales. quelconque.. Leur distribution actuelle est uniforme et indépendante de.

(21) INTHODUCTION.. pour. celte loi,. On. même. la. pourquoi. voit ainsi. l3. raison que dans les. cas précédent.. le. phénomènes obéissent aux. lois. du hasard, quand do petites différences dans les causes suffisent. pour amener de grandes différences dans. Les probabilités de ces petites différences être regardées. comme. proportionnelles. elles-mêmes, Justement petites et. que. parce. Passons. batte. la. peuvent alors ces différences. à. que ces différences sont. accroissements d'une fonction con-. les petits. tinue sont proportionnels à ceux de. surtout. les effets.. la. variable.. un exemple entièrement différent, où intervient. à. complexité des causes; je suppose qu'un joueur. un jeu de. cartes.. l'Ordre des cartes, et. A. chaque battement,. il. intervertit. peut les intervertir de plusieurs. il. manières. Supposons trois caites seulement pour simplifier l'exposition. Les cartes qui, avant le battement, occupaient. respectivement. occuper. les. rangs. i. 2 3,. pourroni, après. le. battement,. les rangs. 281,. 128,. Chacune de ces. six. 3i2,. 32Î,. hypothèses. 182,. 2r8. et elles ont. est possible. respectivement pour probabilités P\,. La. somme. />2,. Pzy. IH,. P'.,. P6*. de ces six nombres est égale. à. i. ;. mais. c'est. tout ce que nous en savons; ces six probabilités dépendent. naturellement des habitudes du joueur, que nous ne connaissons pas.. Au et. secoxid battement et aux suivants, cela. dans. les. mêmes. conditions; je veux .dire que. exemple, représente toujours trois caries qui le (/i +- i)« les. recommencera. la. /?4,. par. probabilité pour que les. occupaient après. le. /i«. battement. et avant. rangs 128, pour que ces trois cartes, dis-je,.

(22) l4. INTRODUCTION.. occupent. Tes. rangs 01. que. reste vrai, quel. 1. après. le. (/n-i)« battement. Et cela. nombre. soit le. Mais,. nombre des battements. si le. qui, avant le. i«''. puisque. n,. du joueur, sa façon de battre restent. les. habitudes. mêmes.. les. est très grand, les cartes. battement, occupaient. les. rangs 128, pour-. ront, après le dernier battement, occuper les rangs. 12. 23i,. 3,. et la probabilité. même. de ces. 3i2,. 182. 321,. 2l3,. hypothèses sera sensiblement. six. que soient. et égale à ^; et cela sera vrai, quels. la. les. nombres /?i, ..., p^, que nous ne connaissons pas. Le grand nombre des battements, c'est-à-dire la complexité des causes, a produit Tuniformité.. Cela s'appliquerait sans changement, trois caries; mais,. serait. s'il. y avait plus de. même avec trois cartes, la démonstration me contenterai ici de la donner pour. compliquée; je. deux cartes seulement. (*).. Nous n'avons plus que deux. hypothèses j. avec. les probabilités. />i. 2,. 2 I,. et/â^î. —. Supposons n batte-. />!•. ments, et supposons que je gagne. i. finalement dans l'ordre. que. initial, et. sont finalement interverties. Alors,. franc. si. j'en. mon. les cartes sont. perde. si. 1. elles. espérance mathé-. matique sera. La différence/?, de sorte que,. si. — p2 est certainement plus. n est. très grand,. mon. ('). le. que. 1;. espérance sera nulle;. nous n'avons pas besoin de connaître px. que. petite. et. p^ pour savoir. jeu est équitable.. Voir un. diverses.. calcul. plus complet au. Chapitre intitulé. :. Questions.

(23) INTRODUCTION. y aurait une exception toutefois, si l'un des nombres Pi ei P2 était égal à i et l'autre nui. Cela ne marcherait plus alors parce que nos hypothèses initiales seraient trop simples. 11. j. Ce que nous venons de voir ne s'applique pas seulement au mélange des cartes, mais. tous. à. même. des poudres et des liquides, et. gazeuses dans à. mélanges, à ceux. les. ceux des molécules. à. théorie cinétique des gaz.. la. Pour en revenir. celte théorie, supposons, pour un instant, un gaz dont. les. molécules ne puissent se choquer mutuellement, mais puissent être déviées par des chocs sur les parois du vase. où. le. gaz est renfermé. Si la forme du vase est suffisamment. compliquée, la distribution des molécules. ne tarderont pas. même si. le. à. devenir uniformes.. vase est sphérique ou. s'il. et celle. n'en sera plus de. Il. a la. forme d'un parallé-. lépipède rectangle. Pourquoi? Parce que, dans. du centre. à. demeurera constante; dans. le. cas, la dislance. des vitesses. le. premier. une trajectoire quelconque second cas, ce sera. la. valeur. absolue de l'angle de chaque trajectoire avec les faces du parallélépipède.. On. voit ainsi ce. .çfm/?/e5;. que Ton doit entendre par conditions. ce sont celles qui conservent quelque. laissent subsister. un invariant. Les équations. ^ro/>. chose, qui. différentielles. du problème sont-elles trop simples pour que nous puissions appliquer les lois. du hasard?. Cette (|uestion paraît, au. premier abord, dénuée de sens précis; nous savons maintenant ce qu'elle veut dire. Elles sont trop simples, conservent quelque chose,. uniforme inaltéré,. si. ;. il. si. elles. que. la. elles. admettent une intégrale. quelque chose des conditions. est clair. si. initiales. situation finale. demeure. ne pourra. plus. être indépendante de la situation initiale.. Venons les. enfin à. la. théorie des erreurs.. A. quoi sont dues. erreurs accidentelles, nous l'ignorons^ et c'est justement.

(24) l6. INTRODUCTION.. .. parce que nous l'îgnorons que nous- savons qu'elles vont obéir à. de Gauss. Tel est. la loi. peu près de. même. la. le. paradoxe.. manière que dans. Nous n'avons besoin de savoir. s'explique. Il. les cas. cju'une chose. :. à. précédents.. que. les. erreurs. sont très nombreuses, qu'elles sont très pelites, que cha-. cune. peut être aussi bien négative que positive.. d'elles. Quelle est. courbe de probabilité de chacune d'elles? Nous. la. savons rien, nous supposons seulement que cette. n'en. On démontre. courbe est symétrique. résultante suivra. la loi. indépendante des sons pas.. résultante est. loi. que nous ne connais-. encore, la simplicité du résultat est née de. Ici,. même. complication. de Gauss, et celte. lois particulières. que l'erreur. alors. la. des données.. VI Nous avons cherché. à définir. le. hasard,. et. il. convient. maintenant de se poser une question. Le hasard, étant dans. défini. mesure où. la. peut. il. l'être,. ainsi. un caractère. a-t-il. objectif?. On ou. peut se. très. le. demander.. parlé de causes très petites. complexes. Mais ce qui est très. peut-il être grand. plexe. J'ai. à l'un. répondu en. pour. ne peut-il paraître simple partie,. petit. l'autre, et ce qui. puisque. j'ai. à. pour. semble. l'un. très. ne. com-. l'autre? J'ai déjà. dit plus haut,. d'une façon. précise, dans quel cas des équations différentiel le^s devien-. nent trop simples pour que les lois du hasard restent applicables. Mais. il. canvient d'examiner. iâ. chose d'un peu plus. près, car on peut se placer encore à d'autres points de vue.. Que. signifie. le. mot. prendre, de se reporter. Une. très petit? à. 11. suffit,. pour. le. com-. ce que nous avons dit plus haut.. différence est très petite,. un intervalle. est très petit..

(25) INTRODUCTION.. I7. lorsque, dans les limites de cet intervalle,. la. probabilité. reste sensiblement constante. Et pourquoi cette probabilité. peut-elle. comme. regardée. être. constante dans un petit. que nous admettons que. intervalle? C'est parce. de. la loi. probabilité est représentée par une courbe continue. ;. et. non seulement continue au sens analytique du mot, mais. comme. pratiquement continue,. l'expliquais plus haut.. je. Cela veut dire que, non seulement, elle ne présentera pas d'hiatus absolu, mais qu'elle n'aura pas. non plus de. sail-. lants et de rentrants trop aigus ou t-rop accentués.. Et qu'est-ce qui nous donne. le. droit de faire cette. hypo-. thèse? Nous l'avons dit plus haut, c'est parce que, depuis le. commencement des. siècles,. ne cessent d'agir dans. tamment le monde. le. il. y. même. des causes complexes qui. a. sens et qui font tendre cons-. vers l'uniformité, sans qu'il puisse jamais. revenir en arrière. Ce sont ces causes qui ont peu. à. peu. abattu les saillants et rempli les rentrants, et c'est pour cela. que nos courbes de probabilité lations lentes.. on aura. fait. n'offrent plus. Dans des milliards. que des ondu-. de^ milliards. de. tions seront dix fois plus lentes encore. le. :. rayon de cour-. bure moyen de notre courbe sera devenu dix grand. Et, alors,. semble pas. siècles,,. un pas de plus vers l'uniformité et ces ondula-. telle. fois. plus. longueur, qui, aujourd'hui, ne nous. très petite, parce. que sur notre courbe un arc. de cette longueur ne peut être regardé. comme. reciiligne,. devra, au' contraire, à cette époque, être qualifiée de très petite, et. puisque. la. courbure sera devenue dix. fois. moindre,. qu'un arc de cette longueur pourra être sensiblement. assimilé à une droite.. Ainsi ce. mot de. relatif à tel. tuel. homme. du monde. P.. très petit reste relatif;. Il. ou. à tel autre,. il. mais. il. n'est pas. est relatif à l'état ac-. changera de sens quand. le. monde 2. sera.

(26) INTRODUCTION.. l8. devenu plus uniforme, que toutes mélangées plus encore. Mais. beaucoup plus. place. faire. petits. seront. hommes. alors, sans doute, les. ne pourront plus vivre et devront êtres; dois-je dire. choses se. les. à. d'autres. ou beaucoup plus. grands? De sorte que notre critérium, restant vrai pour tous les. hommes, conserve un sens. objectif.. Et que veut dire, d'autre part,. mot. le. très. déjà donné une solution, et c'est celle que. début de ce paragraphe, mais complexes, nous l'avons. mélange nous (le. J'ai. rappelée au. j'ai. y en a d'autres. Les causes. produisent un mélange de plus. dit,. mais au bout de combien de temps ce. en plus intime,. assez. il. complexe?. Quand aura-t-on accumulé. satisfera-l-il ?. complications? Quand aura-t-on suffisamment -. battu les cartes? Si nous mélangeons deux poudres, l'une. bleue, l'autre blanche,. il. arrive-ûn. mélange nous paraît uniforme;. c'est à. nos sens; elle sera uniforme pour. de regarder de. loin,. myope. Et quand. quand. on pourra encore reculer ments.. Il. n'y a pas de. cerne jamais. la. elle. elle le sera la. moment où. ne. le. si. cause de l'infirmité de. le sera pas. encore pour le. si la. homme. théorie cinétique est. le. Ce nouveau critérium est donc. relatif. conserve un caractère objectif,. s'il. les. hommes. ont. à. mouve-. microscope ne semble-t-il pas sur. point de nous. montrer quelque chose d'analogue. (?t,. dis-. uniforme d'un gaz. Et,. adopte les idées de Gouy sur. le. les vues,. limite par l'emploi des instru-. chance pour qu'aucun. variété infinie qui,. l'on. ment brownien,. peu près. du. presbyte qui est obligé. devenue pour toutes. vraie, se dissimule sous l'apparence. cependant,. teinte. la. les. mêmes. comme. ?. le. c'est parce. sens, que. la. le. premier,. que tous puissance. de leurs instruments est limitée et qu'ils ne s'en servent d'ailleurs qu'exceptionnellement..

(27) IXTRODL'CTIONV. —. Vil.. C'est. dans. ticulier. La probabilité dans les sciences morales.. même. la. I9. chose dans les sciences morales el en parest obligé. l'histoire. L'historien. choix dans les événements de l'époque qu'il étudie;. raconte que ceux qui s'est. lui. semblent. donc contenté de relater. les. sidérables du xvi« siècle par exemple, de. remarquables du. les plus. fisent «. pour expliquer. conformes aux. ment du. mol. hasard; ce. physiques;. on. a. donc. signifie. il. le. dit. Mais. si. un grand événe-. que cet événement. même. que de. du. fait. est. le. dû au. sens que dans les sciences. de. petites causes ont produit. effets.. Le plus grand hasard Ce. ».. premiers suf-. que ceux-ci sont. reconnaît pour cause un petit. a négligé, alors. grands. l'histoire. dit. les fails. qu'aucune histoire ne rapporte, que tout. xYi" siècle,. monde. de. lois. XYii^ siècle. on. que. Il. con-. les plus. même. xvii« siècle. Si les. les seconds,. ne. il. plus importants.. événements. les. un. de faire. est la naissance d'un. grand homme.. que par hasard que se sont rencontrées deux. n'est. cel-. lules génitales, de sexe différent, qui contenaient précisé-. ment, chacune de son côté,. les. éléments mystérieux dont. réaction mutuelle devait produire. le. génie.. la. On tombera. d'accord que ces éléments doivent être rares et que leur. rencontre est encore plus rare. Qu'il aurait. chose pour dévier de sa route portait;. mètre. il. et. aurait suffi. le. et les destinées. tinent étaient changées. Nul exemple ne peut les véritables caractères. Un mot encore l'application. peu de les. de le dévier d'un dixième de milli-. Napoléon ne naissait pas. comprendre. fallu. spermatozoïde qui. d'un con-. mieux. faire. du hasard.. sur les paradoxes auxquels a donné. lieu. du calcul des probabilités aux sciences morales..

(28) INTRODUCTION.. On. (lémonlré qu'aucune Chambre ne contiendrait jamais. a. aucun député de. l'opposition, ou. serait tellement. parier. le. du moins un. tel. événement. improbable qu'on pourrait, sans crainte,. contraire, et parier. un million contre un. dorcet s'est efforcé de calculer combien. sou. Con-. de jurés. fallait. il. pour qu'une erreur judiciaire devînt pratiquement imposdé ce calcul, on se. sible. Si l'on avait utilisé les résultats. serait certainement exposé. pariant sur. la foi. aux. mêmes. déceptions qu'en. du calcul que l'opposition n'aurait jamais. aucun représentant. Les la. lois. du hasard ne s'appliquentpas à ces questions. Si. justice ne se décide pas toujours par. elle. c'est. use moins qu'on ne croit de. peut-être fâcheux. Condorcet nous mettrait. les faits. puisque, alors,. tentés. de cette nature, parce que. obscures; mais ce n'est pas. nous sont inconnues,. il. plexes; mais elles ne. le. le. «. là. le. vrai. est vrai, et. trop simples. ils. pendamment. uns des autres;. les autres.. il. Les causes. hâsard.. même. elles sont. ».. c'est. là. hommes,. com-. ils. ce. qui. Quand des hommes. ne se décident plus au hasard. et. indé-. réagissent les uns sur. Des causes multiples entrent en. troublent les. mais. causes en sont. sont pas assez puisqu'elles conser-. sont rapprochés, les. de. d'attribuer au. les. vent quelque chose; nous avons vu que distingue les causes. système. à l'abri des erreurs judiciaires.. Nous sommes. Qu'est-ce à dire?. hasard. de bonnes raisons,. méthode de Bridoye;. la. action,. les entraînent à droite et à. elles. gauche,. y a une chose qu'ellesne peuvent détruire, ce sont. leurs habitudes de. conserve.. moutons de Panurge. Et. c'est cela qui se.

(29) INTRODUCTION.. —. VIII.. Il. 21. Réflexions diverses.. y aurait beaucoup d'aulres questions à soulever,. voulais les aborder avant d'avoir résolu celle. que. je. si. je m'étais. Quand nous constatons un quand nous trouvons un nombre rond, par. plus spécialement proposée. résultat simple,. exemple, nous disons qu'un pareil résultat ne peut pas être. dû au hasard,. et. nous cherchons pour l'expliquer une cause,. non. fortuite. Et,. lité. pour qu'entre loooo nombres,. nombre rond,. le. en. effet,. loooo. Mais. chance sur loooo pour. nombre;. et. n'y a qu'une très faible probabi-. hasard amène.. le. nombre loooo par exemple;. ment une chance sur. il. il. il. n'y a. il. 4in. seule-. non plus qu'une. amène n'importe. qu'il. y a. quel. autre. cependant ce résultat ne nous étonnera pas,. et. ne nous répugnera pas de l'attribuer au hasard; et cela. simplement parce. Y t-il. a-t-il là,. des cas. qu'il sera. moins frappant.. de notre part, une simple. oii. cette façon. dé. ou bien y a-. illusion,. voir est légitime?. Il. faut l'es-. pérer, car, sans cela, toute science serait impossible.. Quand. nous voulons contrôler une hypothèse, que faisons-nous?. Nous. ne.. pouvons en. qu'elles seraient en. vérifier toutes les. nombre. d'en vérifier quelques-unes. infini; et,. si. conséquences, puis-. nous nous contentons. nous réussissons, nous. déclarons l'hypothèse confirtnée, car tant de succès ne sauraient être dus au hasard. Et c'est toujours au fond le. même. raisonnement. Je ne puis. ici le justifier. complètement, cela. me. trop de temps; mais je puis dire au moins ceci. :. prendrait. nous nous. trouvons en présence de deux hypothèses, ou bien. un^. cause simple, ou bien cet ensemble de causes complexes. que nous appelons. le. hasard. Nous trouvons naturel. d'ad-.

(30) 22. INTRODUCTION.. rnellre alors,. que. première doit produire un résultai simple,. la. nous constatons ce résultat simple,. si. par exemple,. il. Il. l'attribuer. donner presque cer-. le. tainement; qu'au hasard qui ne pouvait nous qu,'une fois sur loooo.. le. si.. la. cause simple n'a. il. sur. fois. plus de chance. i)as. nous. hasard,. ne l'amènera pas non plus plus d'une. loooo; mais. donner. le. même,. n'en sera plus de. constatons un résultat qui n'est pas simple; est vrai,. et,. nombre rond,. nous paraît plus vraisemblable de. cause simple qui devait nous. à la. le. de. le. produire.. Nous verrons plus. dans une table de loga-. loin pourquoi,. rithmes, les décimales paraissent distribuées conformément. aux. du hasard.. lois. ce qui concerne le. On peut nombre. même. se poser la. Ici, elle est. tt.. plus délicate.. Nous savons, par exemple, que ce nombre entre 3 et. 4, et. considérons. la. nous envisageons. les. partie entière de jo". prise entre o et lo";. parmi. les. /^. compris. est. premières décimales;. (tt. —. 3), elle est. entiers,. lo'*. question en. com-. compris entre. ces limites, considérons-en un au hasard-, envisageons com-. bien. il. y figure de chiffres. 7 et. combien de. envisageons l'excès du premier nombre sur e cet excès. ait. N. La. où. le. loi. tend vers. le. chiffres 5, et. second. Soit. Supposons que parmi nos 10" nombres,. rapport. —. soit plus petit. que. il. y en. £.. des grands nombres nous apprend que N. io~" i,. quand n. croît indéfiniment. Si donc,. nous choi-. nombre au hasard^. sissons entre ces limites un. la. proba-. bilité pour que l'excès e et lés excès analogues soient rela-. tivement très petits, c'est-à-dire. décimales. soient. la. Mais pourcjuoi avons-nous. probabilité pour que les. conformément. réparties. hasard, sera très voisine de. la. aux. lois. du. certitude.. le droit. de raisonner. comme.

(31) INTRODUCTION. si. le. nombre. tt. avait été choisi. au hasard.. V.3. Si. au lieu de. 7:,. nous avions envisagé une fraction rationnelle simple, dont la. réduction. fraction. en fraction décimale aurait engendré une. périodique, le résultat n'aurait plus été vrai du. tout. 11. semble que. le. nombre. tt. nous paraît choisi au hasard,. parce*que sa genèse est compliquée et que nous raison-. nons inconsciemment sur de. le faire. lui,. comme nous. avons coutume. sur les effets produits par un ensemble de causes. compliquées..

(32) CHAPITRE L DÉFINITION DES PROBABILITÉS. 1.. de. la. On ne peut guère donner une définition salisfaisanLe Probabilité. On dit ordinairement la probabilité d'un :. événement cet. est le rapport. du nombre des cas favorables. événement au nombre. Ainsi,. si le. premier nombre est n. et le. second N,. babilité est r^; cette définition, dans certains cas,. aucune tirer. difficulté.. Dans un jeu de 32. un roi est ^j puisque. c'est-à-dire des cartes, est 32, et. quatre rois; on a donc. un dé,. la. ici. N. je. pro-. ne soulève. total des cas possibles,. que parmi- ces cartes. =: 32,. probabilité d'amener. la. cartes, la probabilité de. nombre. le. à. des cas possibles.. total. fi. =:=:. 4.. Quand on. point 4 est ^^ car. il. y a. jette. N=:6. et. /i=:i, le dé ayant 6 faces dont une seule porte le point 4-. Dans une urne qui contient n boules on. tire. 2.. une boule;. la. blariches et/? noires,. probabilité qu'elle soit blancbe est. Prenons un- exemple un peu plus compliqué. Deux. urnes, qui ne diffèrent pas extérieurement, renferment. première n boules blanches ches eip' noires.. et. />. la. noires, la seconde n' blan-.

(33) DÉFINITION DES PROUABILITÉS.. On. fait tirer. quelle est. I. nombre. ..... total. /i. seconde urne;. On peut. main dans. la. seconde. présenter, soit. sie. -> car. première urne,. que, prenant dans. -\-. il. y. a. que. ,.. que. dire aussi la. première, soit. la. che; en vertu du théorème de. la. la. première. autant de cbances de l'autre. Si j'ai. mis. ait. une boule blan-. probabilité composée,. que. je ne tarderai pas à établir, la probabilité de mettre à fois, la. main dans. blanche est 2. — -\-. la. première urne et d'en tirer une boule la. ;. probabilité analogue pour. la. seconde. p. n'. I. urne est 2. n. la. la. pour. probabilité est. première urne, on. la. pourrait p' et. -h/>'. main dans l'une que dans. la. On. blanciie.. + n' ^p. probabilité de prendre dans. la. la. p. on demande. et. ,. 7.. -h. deux cas peuvent d'abord. est-î et dans. n'. ;. -h. /i. mettre. amener. des cas est n. n -h. ^. la probabilité est. la. une personne,. à. probabilité pour. la. dire que le I. une boule. ;î5. /i. La somme n'. 2 n -h p. est l'évaluation correcte de n'y aura égalité entre les. 2. la. n. -i-. p. probabilité. demandée,. et. il. deux évaluations que dans un cas. particulier. n -h p. A cas. n'. -+-. c est-â-dire. p'. — p. quoi tient cette divergence? A ce que les n. =:. — p'. -+-. n' -h. p -hp. ne sont pas également probables.. Ainsi,. supposons. qu'il. y. ait. deux. fois. plus de boules dans.

(34) chapitre. '-a6. I.. première urne. la. n' -^ p'=z^. -(n-h p). '. •2. ~. La probabilité pour que je prenne une boule donnée dans celte urne est. seconde. —. la. pour que je. la. prenne dans. faut. donc ajouter. la. elte est. {n. A. et. -;. définition. -f-. de. p). la. probabilité,. il. :. à. condition que tous les cas soient également vraisemblables. Citons deux autres exemples dus à Bertrand.. 3.. Problème des. trois. —. coffrets.. chacun deux. tiques, A,B,C, .ont. Trois coffrets iden-. tiroirs, a,. (3. ;. ceux de. A. contiennent chacun (jne pièce d'or, ceux de B une pièce d'argent, et ceux de G ont l'un. pièce d'aigent. Quelle est. la. A. B. a. or. argent. or. |3. 'or. argent. argent.. une. C. probabilité pour (|ue, en ouvrant au hasard. six tiroirs, l'on ait. lement probables trois sont. d'or, l'autre. :. '. un des. une pièce. :. Aa,. favorables. une pièce d'or? Six cas sont éga-. A|3,. Ba,. à l'arrivée. Ca, Cp; de ces. B|3,. de. pièce d'or. la. :. six cas,. Aa,A|3,Ca.. probabilité est donc -•. \,<\. 2. Si l'on lité. prend un des. trois coffrets,. au hasard,. la. probabi-. pour prendre C est--. J'ouvre au hasard un des tiroirs, d'or; quelle est daille soit. la. j'y. trouve une médaille,. probabilité pour que la deuxièuje. en argent?. mé-.

(35) HEKINITION DES PROBABILITES.. Ou. bien, je suis. coffret. A. dans. :. tombé sur. le. eu argent, dans. premier. donc-- Cette conclusion. ou bien sur. coffret C,. le. le. seconde médaille sera. cas, la. second en. le. 1"]. La probabilité semble. or.. est fausse.. 2. Avant d'ouvrir. que. le tiroir, je savais. j'y trouverais. une. pièce d'or ou une pièce d'argent avec une probabilité égale, c'est-à-dire-; or, je puis trouver cas,. Aa,. AjS,. Dans. Ca, et de ces. de. à l'arrivée. la. trois cas. pièce d'or dans trois. un seul, Ca, est favorable. pièce d'argent dans. première évaluation de. la. la. la. le. second. probabilité à -. cas envisagés étaient inégalement probables. respond. à. Aa. et à. Ap,. et est. deux. tiroir.. fois plus. :. ?. les. deux. A. cor-. le cas. probable que. le. cas C, qui ne correspond qu'à Ca.. 4.. Problème du jeu de boules.. lement babiles, Pierre. et Paul,. —. deux boules à lancer, Paul une boule, celui des. deux dont. Deux joueurs éga-. jouent aux boules; Pierre a et la victoire est à. l'une des boules approcbera le plus du. but.. Quelle est Soient. A. la. et. B. probabilité pour que Paul gagne? les. boules de Pierre, C celle de Paul; six. cas peuvent se présenter, en rangeant les boules suivant. leur proximité du but.. ABC, Ces la. BCA,. six cas sont. CAB,. ACB,. CBA,. BAC.. également probables; ceux qui donnent. nombre de (juatre, ceux qui Paul au nombre de deux la proba-. victoire à Pierre sont au. donnent bilité. la victoire à. de gagner est donc - pour Paul.. :.

(36) CHAPITRE. 28. On. I.. pourrait raisonner autrement. est plus éloignée. du but que. A>C De même pour. Donc quatre. la. boule B. B. >C. C. la. boule. ou bien c'est. ou. A<C.. ou. B. cas sont possibles. A>. :. C,. < C.. le. A. de Pierre. contraire..

(37) DEFINITION DES PROBABILITES.. 29. Ainsi tout problème de probabilité offre deux périodes. d'étude. ;. la. première, métaphysique pour ainsi dire, qui. légitime telle ou telle convention;. la. seconde, mathéma-. du. tique, qui applique à ces conventions les règles. 6.. Nous. allons grouper. les. calcul.. questions dont nous nous. occuperons, d'après divers poinis de vue. d'abord, au. et,. point de vue des cas possibles.. Dans une première catégorie, nous rangerons toutes celles où le nombre de cas possibles est fini, ne dépasse pas certaines limites; en général, nous aurons affaire. à. des. jeux de hasard, à de simples problèmes d'analyse combinatoire.. Dans une deuxième catégorie, sibles reste fini,. le. nombre des. cas pos-. mais devient très grand; on n'a plus alors. qu'une expression approchée de la probabilité par grands nombres,. le. théorème de Bernouili,. la loi. des. C'est ce. etc.. qui se présente en statistique.. Dans une troisième catégorie,. le. nombre des. cas possi-. bles est indéfini. Ainsi,. on lance une. sont tracées des lignes parallèles l'aiguille infini. une. aiguille sur :. feuille de papier. la probabilité. où. pour que. rencontre une de ces lignes dépend d'un nombre. de cas possibles.. C'est dans ce cas surtout qu'il faut définir, avec le plus. grand soin,. On. sait,. les. conventions préalables.. par exemple, qu'un nomibre Xy fractionnaire ou. incommensurable, la. est. compris entre o et. i,. et. on demande. probabilité pour qu'il soit compris entre o et -. des cas possibles est. infini.. On. :. le. nombre. serait tenté de dire. probabilité est -; cependant on. que. la. pourrait dire aussi que.

(38) CHAPITRE. 3o. o. SI. < <.r. ,. le. I.. carre de x^ soit y, est compris entre o et j. Puisque x^-=zy,. et. que x. est. compris entre o et. i,. on. •. a. o<y < Les cas favorables sont tous ceux pour lesquels G </ < 7; en l'on divise l'intervalle compris entre o et I.. si. i. quatre parties égales, entre o et. IIy. la probabilité. pour. que/. soit. compris. •. A4. 7-. est. Ce serait pourtant une erreur grossière d'évaluer égale-. ment à •; la En. effet,. probabilité pour. dans. •^0. l'intervalle. < < -^. e. x soit. compris entre o et. -. •. première évalualion, nous considérons. la. comme également. que. probables. et. -^0 -i- £. étant le. les. même;. deux hypothèses. < < î. ^1. .r. -f- £,. tandis que, dans. comme également. évaluation, nous considérons. seconde. la. probables. deux hypothèses. les. x\<.x''-<.xl-^z. et. ^?<^-<^?-h£;. ces deux conventions sont contradictoires. Ici,. X. est. problème de les. une constante l'aiguille,. il. arbitraire; plus haut, dans le. y avait. coordonnées du milieu de. trois constante.s arbitraires,. l'aiguille et sa direction.. d'autres problèmes de probabililés,. constantes arbitraires, Ainsi. y :=/(:r). est. il. y. a. il. même. y. Dans. encore plus de. a. des. lois. arbitraires.. une fonction qui peut paraître plus pro-. bable que telle autre, ce qui arrive entre autres quand on interpole. C'est là. 7.. Plaçons-nous. Une question de. une quatrième catégorie de problèmes.. à. un autre point de vue.. probabilités ne se pose. que par. suite de.

(39) DÉFINITION DES l'RORABtLlTÉS.. notre ignorance. que pour. n'y aurait place. il. :. nous connaissions toutes part, notre ignorance. les. 3l la. certitude. si. données du problème. D'autre. ne doit pas être complète, sans quoi. nous ne pourrions rien évaluer. Une classification s'opérerait. donc suivant. le plus. ou moins de profondeur de notre. ignorance. Ainsi. la. probabilité pour que. priori de. —. sixiènle décimale d'un. la. table de logarithmes soit égale à 6 est a. nombre dans une. en réalité, toutes les données du problème sont. ;. bien déterminées,. nous voulions nous en donner. et, si. peine, nous connaîtrions exactement celte probabilité.. même, dans. les interpolations,. définies par la. dans. méthode de Cotes ou. la. De. des intégrales. le calcul. celle de Gauss, etc.. Notre ignorance est plus grande dans les problèmes de Physique";. il. s'agit. de prévoir un événement, c'est-à-dire un. phénomène conséquent qui dépend d'une part d'un phénomène antécédent, et d'autre part de la loi qui unit Tantécédent au conséquent. la loi,. probabilité. quent. Il. peut se faire que nous connaissions. phénomène antécédent quelle est la pour que se produise le phénomène consé-. mais non. le. :. ?. Nous connaissons, par exemple, molécules; initiale,. si. du mouvement des. nous serions capables de dire où. moment donné; pent. la loi. nous connaissions exactement leur position. la. telle position finale. dépendra donc de. que nous attribuerons par convention tion initiale. J)ans. elles seront à. un. probabilité pour que ces molécules occu-. Chaque. cas,. à telle. la. ou. probabilité telle posi-. une hypothèse particulière. est nécessaire. Ainsi,. quand on cherche. comètes aient des orbites. la. probabilité. elliptiques,. pour que. on est obligé de. les. faire.

(40) 32. CHAPITRE. une convention, on suppose qu'à une grande distance du Soleil ces astres sont uniformément distribués dans l'espace ainsi. que. les directions. de leurs vitesses.. Autre question analogue petites planètes sont-elles. les. :. lacunes qu'offre. dues au hasard. ? Ici. la série. des. encore, leurs. positions initiales sont inconnues, mais l'astronome connaît la loi. de leur mouvement.. conventions. à faire. est difficile. Il. de. Gomment. choisir dans ce cas les. sur les positions initiales. ?. sans tomber dans l'arbitraire.. le faire. Cependant, certaines hypothèses semblent tout bables. :. on n'admettra pas que. comètes soient. impro-. à fait. les vitesses initiales des. telles qu'elles aient toutes la. même. excen-. tricité.. D'un autre côté. il. peut arriver que certains résultats. soient, dans. une certaine mesure, indépendants de. admise pour. relier les antécédents et les conséquents.. sidérons un très grand les. moyens mouvements. nombre de. la loi. Con-. petites planètes, dont. soient tous différents. rayons. les. :. vecteurs, les longueurs, les vitesses initiales sont distri-. bués d'une façon quelconque. Au bout. d'un. temps. très. long, ces petites planètes seront également réparties dans. tous les azimuts.. Il. y en aura un. même nombre. dans des. ê.. 8.. i)ans d'autres problèmes, enfin,. peut arriver que. il. notre ignorance soit plus grande encore, que. même. alors presque impossible. Si, par exemple, tion. la loi. elle-. nous échappe. La définition des probabilités devient. inconnue de ^ nous^ ne savons pas. probabilité. il. faut attribuer, au début, à. a:. est. une fonc-. très bien quelle. a-^,. pour connaître. ,t^. L. X. dt,. * '.

(41) DÉFINITIOiN DES PROBABILITES.. On. se laissera souvent guider par. 33. un sentiment vague. qui s'impose avec puissance, qu'on ne saurait pourtant jus-. mais sans lequel, en tout cas, aucune science ne serait. tifier,. mieux. possible. Les lois les. établies ne. expériences isolées dont on. Quand Kepler. résultats.. a été obligé. regardé. pas, toujours. l'observait pas,. la. loi. lui. le. objecter. ciel,. et,. sont que par dés. de généraliser les. déduisait ses lois. de Tycho-Brahé, on aurait pu n'a. le. <les. observations. «. Tycho-Brahé. :. pendant. que vous cherchez. qu'il. n'a-t-elie. ne pas. changé?» certainement trouvé. aurait,. II. aurait. répondu. blable.. ». de. C'eût été. l'objection. ridicule. et. Celte. hypothèse est bien invraisem-. là faire. appel à ce sentiment mal défini. «. :. probabilité.. la. Un problème. 9,. plus délicat que celui de. la. [)rol)abililé. des effets est celui de la probabilitédes causes.. Dans notre urne de tout n boules blanches. avait. cherchions. la. connue. était. :. probabilité c'était. nous savions (ju'il y boules noires; quand nous. à l'heure,. et. p. de tirer une blanche,. une urne avec n blanches. la. cause. et/? noires.. Mais, problème inverse, je puis savoir qu'il y a en tout. n. -\-. p boules, sans connaître comment. Je tire une noire. :. qnelle est. la. elles sont réparties.. probabilité pour qu'il y ait. plus de noires que de blanches? C'est une probabilité de. cause.. On en recherche constamment de les lois. pareilles en Physique;. ne nous sont connues que par leurs. effets. qu'on. observe. Cherchera en déduire les lois qui sont des causes c'est. 10.. résoudre un problème de probabilité des causes.. Sans insister davantage sur P.. le. côté métaphysique des 3.

(42) CIIAPITKE. 34. I.. —. DÉFINITION DES PROBABILITÉS.. questions de probabilités, et dans. le. des réflexions sur ce. ferai. je. sujet,. seul but de provoquer. encore remarquer. qu'une probabilité peut être subjective. L'on personnelles de croire. a des raisons. bypothèse plus probable que. telle. telle autre.. La probabilité peut aussi s'objectiver, en statistique par. exemple. le. :. nombre probable des personnes qui mourront. dans une année est tant; cependant. Dans quelles. il. s'en écartera. un peu.. limites nos prévisions seront-elles vérifiées?. Pourquoi seront-elles vérifiées? 11. y a. là. quelque chose de mystérieux, d'inaccessible au. mathématicien.. Quoi. qu'il. en. soit,. l'ordre. que je suivrai dans l'exposé. mathématique des probabilités sera. celui. que. j'ai. indiqué. plus haut.. Je commencerai par des problèmes sont en. nombre. nombre. très grand, le. quences,. la. oii. les cas possibles. limité; puis j'étudierai, au sujet des cas. théorème de Bernoulli. en. et ses consé-. probabilité des causes, les problèmes où entrent. des constantes arbitraires infini, j'exposerai. la. ;. le. théorie. nombre des des. erreurs,. cas. devenant. branche. importante, et j'apprendrai, enfin, à déterminer des. des fonctions arbitraires.. fort. lois. ou.

(43) CHAPITRE. IL. PROBABILITÉS TOTALES ET COMPOSÉES.. Le calcul des probabilités repose sur deux théo-. 11.. rèmes. :. le. théorème des. prol)abilités totales; le. théorème. des probabilités composées.. Au. sujet de. deux événements. A. et^, on peut se poser. divers problèmes de probabilité, suivant que l'un de ces. événements. Ou. bien. A. bien. et. B. ou aucun.. se produiront tous deux, hypothèse. que. AB;. j'appellerai. Ou. doit se produire, ou tous les deux,. A. se produira,. B ne. se produira pas, hypothèse. que j'appellerai AB';. Ou bien A ne. se produira pas,. B. se produira, hypothèse. que j'appellerai A'B;. Ou. bien ni A, ni B ne se produira, hypothèse que j'ap-. pellerai A'B'.. Supposons que A B. AB'. ». ». A'B. ». y. A'B'. ». d. Le nombre l'on. se réalise dans a cas différents. ». total. ». (3. des cas possibles est a -h. » )). (3. -h y H-. suppose par convention également probables.. Examinons diverses. probabilités.. 5,. que.

(44) 36. CHAPITRE. La probabilité pour que /a. se produise est. A.. _. \. ^^/. II.. a -H. (3. ^'-a + p + y-i-ô'. les cas favorablesétant. AB. AB'.. et. La probabilité pour que B se produise. La probabilité pour que. l'un. est. des deux au moins se pro-. duise est. «4- pH-y H-ô. .. les trois. premières hypothèses AB, AB' et A'B étant favo-. rables.. La. probabilité pour que les. (AeiB)-. une seule hypothèse. Nous avons encore se produise,. —. p,. si. B. AB. -. deux se produisent. -^. étant favorable.. à envisager la probabilité pour que. A. s'est produit,. P^-^y'. (AsiB). nous savons d'avance que B. nombre des. est-. s'est. produit, par suite le. cas possibles se réduit, ainsi que celui des cas. favorables.. La probahililé pour que A. se produise,. si. produit, est. CAsiB') les cas possibles étant. ^,=._1^, au nombre de. (3. -+-. d.. B ne. s'est. pas.

(45) PROBABILITÉS TOTALES ET COMPOSÉES.. La probabilité pour que B. se produise,. 87. si. A. si. l'on sait. s'est produit,. est. (BsiA). =a. />7. La probabilité pour que B se produise,. ne. s'est. 12.. que A. pas produit, est. Les théorèmes annoncés se réduisent. à. de simples. identités.. Examinons. /?i,/72,j»3,/?4.. p.. a. P'de. a. -4- (3. On. a. + p^ — p^-i-p^, a. a. 4-. y,+. ô. ~ ^TIT^. même Pk. a H-. (3. +y +y. __ -+-. ô. -P^P^'^. — P\Pi^. somme des probabilités pour que A se produise pour que B se produise est égale à la somme des proba-. Ainsi la et. bilités. pour que. l'un des. deux au moins se produise. et. pour. que tous les deux se produisent (. A). + (B) = (A. ou B) H- (A et B).. La probabilité pour que A et B se produisent tous deux est égale. par. B. à.. la. probabilité pour que. la probabilité. s'est,. pour que. B. se produise, multipliée. se produise,. quand on. sait. que. produit.. Ou, inversement,. A. A. elle est égale à la probabilité. se produise, multipliée par la probabilité. produise, quand on suppose que. A. pour que. pour que B se. doit se produire.. (Aet B)r=(B)(A siB)=:(A)(B siA)..

(46) CHAPITRE. 38. Supposons, en particulier, a=:. 13.. Pi-hp2. Lorsque. deux. II.. les. à la fois,. somme. la. d'où p^z=:. o,. alors. o*,. — Pi,. deux événements ne peuvent arriver tous la. A. probabilité de. et celle. de. B. ont pour. probabilité pour que l'un quelconque se pro*. duise.. quand un événement peut. Ainsi,. deux. se produire de. manières différentes, maïs que ces deux manières ne peuvent arriver simultanément, cet. événement. qu'il se lité. pour. qu'il se. la. de. oroduise de. la. peut arriver que. de. la. probabi-. deuxième manière.. a. totales.. Alors. p^^pi.. a. et. dé. pour. la probabilité. première manière. théorème des prohabilités. C'est le. 14. Il. somme. est égale à la. produise de. probabilité de l'arrivée. la. -+-. (3. 7. +V. y. -4-. d'où <x. 4-y. __^. oc -f- (3. ~. a. XH_ I. a. -H.. 3. a-4-(3. — i-h 1. -,. a-h. a4-(3. (3. _y-^à .. r-. ,. a. y. «. y. î=i Quand. cette dernière condition est remplie,. on a aussi. />!. =p6f en permutant a avec. (3,. on. a. y avec. /?i. =/?6î. <5;. on. a.

(47) PROBABILITÉS TOTALES ET COMPOSÉES.. encore. />2. =/?7, car Pi se permute avec. et. />2. Sg. avec/?,; de. /?5. même p^ =/?8. Ainsi. Pi-Pn—PiEn. d'autres termes,. reste la. même. que B ne. s'est. si. probabilité pour. la. que B. l'on sait. s'est. que A. se produise. produit ou. pas produit; ou, enfin,. si. l'on sait. probabilité de. la. A. est indépendante de B.. On dit que les deux événements De p^z=zp^y on déduit. sont indépendants.. •. P'.-=^PxPi. pour que. la probabilité s'ils. les. deux événements se produisent,. sont indépendants, est le produit de. la. probabilité de. chacun des deux événements. C'est le. 15.. théorème des probabilités composées.. Dans un jeu de 82. cartes, ou tire 2 cartes à. La probabilité pour que. la. probabilité pour que. la. probabilité. sément deux. la. pour que. la. première. seconde. les. soit. soit. un. deux cartes. rois est. _ 4x3 ^'~32x3i*. un. la fois.. roi est. roi est. tirées soit préci-.

(48) 4o. CHAPITRE M.. On cherche parmi à. deux;. soit 82. il. y en. a. 4. x. x 3,. 3i,. car. tous les arrangements des cartes deux. ceux qui sont favorables il. dans. y a 4 fois. 232,. former avec eux,. à. Tévénement. le jeu,. :. on peut. et. autant d'ârrangemenls qu'avec. 4 lettres 2 h 2.. La probabilité pour que, dans. les. 2. 8. X. Si. faudrait se garder de dire que. la. moins un. Il. au moins un. l'on ait. que. l'on ait. un. cherche. boules. la. roi est le. ait. au. — 12. probabilité pour que. double de. probabilité pour. la. boules numérotées de. A. probabilité d'amener. à la fois, le. soit sur la. y. il. roi.. Une urne renfermel'on. cartes,. roi est. i. n°. le. peut figurer soit sur. i,. la. i. à. A'.. Si. en tirant deux. première boule,. seconde; lesdeux événements sont incom[)atibles. et la probabilité totale est. Revenons aux sorii-ils. rois. du jeu de cartes. Les événements. indépendants?. On. n'a pas/>4=:/>,/?2,. En. se reportant à-la signification dep,, on voit que,. premier événement À rois et 3i cartes, et. la. mais/?;— /j,/>7. s'est produit,. il. ne reste que. probabilité pour que. /'. =. 3. '. 37-. Ainsi. _ 4x3. '^*~'. 32x31*. B. si. le. trois. arrive est.

(49) PROBABILITÉS TOTALES ET COMPOSÉES.. 4'. exemple d'événements indépendants. Autre. deux dés; quelle est. ta. La probabilité que. —. amené. l'un. je jette. 6. ?. 6 est -;. —. l'autre. :. amène. probabilité que chacun. -x.. La probabilité que tous deux amènent 6. est 1rx^ car. les. deux événements sont indépendants. 16. Cette condition n'est pas toujours aussi évidente, et. on pourrait s'est. faire. de ce Ihéorème un usage illégitime qui. rencontré plusieurs. Au. tir. au. cherche. pistolet, je. je ne. me. C'est. une question dans. suis rien. fois.. donné, le. la' loi. probable des écarts. sur le tireur, ni sur. ni. goût de. l'âge. «. :. le pistolet.. du capitaine. ».. Prenons cependant deux axes de coordonnées, ayant pour origine le centre de. la. cible. :. soient. rectangulaires d'un point M, p et. x co. et. ses. y. les. coordonnées. coordonnées po-. laires.. Le problème reste indéterminé, la. probabilité des écarts. est la. si. même. nous admettons que dans toutes les diiec-. tions.. La probabilité que. M. se trouve dans un petit. élément de. surface da peut se figurer par. f{x,y)d(j.. Ilfauldéterminer/(^,y); cette fonction ne doit dépendre. que de. p. pour que. les directions. :. la. probabilité reste la. cette probabilité s'écrira. même donc. dans toutes. I.

(50) CHAPITRE. 42. Cherchons chute. soit. II.. probabilité pour que Tabscisse du point de. la. comprise entre. a:. et. ce -\-. dx\. elle se. représentera. par (p(^) dx.. De même, de chute. probabilité pour que l'ordonnée du point. la. soit. comprise entre. y eiy-hdy. se représentera. par. Mais on doit supposer que probabilité reste le. la. même. cp. et. ^.. sont égaux pour que. dans toutes. les directions;. dans. cherchons. pro-. second cas, on aura donc. Le raisonnement va devenir incorrect babilité. pour que. dimensions dx à la fois 2°. la. :. r°. M. un. se trouve dans. et dy.. :. Deux événements doivent. l'abscisse est. x. comprise entre. l'ordonnée est comprise entre. En vertu du théorème des. /. et. y. la. petit rectangle. -+-. de. se produire et. x-+-dx]. dy.. probabilités. composées,. la. probabilité actuelle sera. D'autre part, cette probabilité s'exprime par/(p) da; on a. donc (p(jc)cp(7). Prenons par rapport. les. = /(p).. dérivés logarithmiques des deux. à Xy. en tenant compte de p^=zx^. 9(^). /(P). P*. Ainsi. ^9i^). pAp)'. +/%. membres.

CALCUL DES PROBABILIT&Eacute;S

CALCUL DES PROBABILITÉS