• Nenhum resultado encontrado

MAE 5871: An´alise Espectral de S´eries Temporais

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "MAE 5871: An´alise Espectral de S´eries Temporais"

Copied!
24
0
0

Texto

(1)

Convergˆencia de vari´aveis aleat´orias

MAE 5871: An´ alise Espectral de S´ eries Temporais

Pedro A. Morettin

Instituto de Matem´atica e Estat´ıstica Universidade de S˜ao Paulo

pam@ime.usp.br http://www.ime.usp.br/∼ pam

Aula 5 1 de setembro de 2021

(2)

Convergˆencia de vari´aveis aleat´orias

Sum´ ario

1 Fun¸c˜oes generalizadas

2 N´ucleos e janelas

3 Convergˆencia de vari´aveis aleat´orias

Pedro A. Morettin MAE 5871: An´alise Espectral de S´eries Temporais

(3)

Convergˆencia de vari´aveis aleat´orias

Delta de Dirac

1. Para quef(t) tenha uma transformada de Fourier, ela deve satisfazer certas condi¸c˜oes, por exemplo, ser de quadrado integr´avel ou

absolutamente integr´avel. Usando a teoria das fun¸c˜oes generalizadas ´e poss´ıvel estender a teoria para fun¸c˜oes que n˜ao satisfazem essas condi¸c˜oes.

Tal teoria est´a fora do alcance deste curso, de modo que vamos nos limitar a apresentar brevemente, e de modo n˜ao rigoroso, a fun¸c˜ao delta de Dirac.

2. Afun¸c˜ao deltade Dirac (oufun¸c˜ao impulso) ´e definida pelas rela¸c˜oes δ(t) =

(+∞, set= 0

0, set6= 0, (1)

Z

−∞

δ(t)dt= 1. (2)

3. A rigor,δ(t) n˜ao ´e uma fun¸c˜ao, pois assume o valor +∞parat= 0 e a integral (2) deveria ser zero.

(4)

Convergˆencia de vari´aveis aleat´orias

Delta de Dirac

1. Usualmente,δ(t) ´e introduzida pela propriedade Z

−∞

δ(t)f(t)dt=f(0), (3)

sef(t) for uma fun¸c˜ao real, cont´ınua e que se anula fora de um intervalo limitado. Contudo, comoδ(t) n˜ao ´e uma fun¸c˜ao, a integral do primeiro membro de (3) n˜ao faz sentido.

2. Para contornar esse problema, vamos considerar uma sequˆencia de fun¸c˜oes cont´ınuasδn(t), tais que:

(i)δn(t)≥0,para todot;

(ii)R

−∞δn(t)dt= 1;

(iii) para todo >0, η >0, existen0tal que, paran≥n0, Z

|t|>η

δn(t)dt< . 3. Dessa maneira, (3) poderia ser definida por

Z

−∞

δ(t)f(t)dt= lim

n→∞

Z

−∞

δn(t)f(t)dt. (4)

Pedro A. Morettin MAE 5871: An´alise Espectral de S´eries Temporais

(5)

Convergˆencia de vari´aveis aleat´orias

Delta de Direc

1. Uma sequˆencia de fun¸c˜oesδn(t) como a definida acima ´e chamada sequˆencia de n´ucleos de Dirac. Pode-se demonstrar, usando (4), que a rela¸c˜ao (3) ´e realmente correta, se impusermos a condi¸c˜ao adicional que δn(t) seja par, para todon.

2. A interpreta¸c˜ao f´ısica da fun¸c˜ao delta ´e a de um impulso de energia num sistema. Suponha que esse sistema seja definido pela integral

y(t) = Z

−∞

h(u)x(t−u)du. (5)

3. Aqui,x(t) ´e aentradaey(t) ´e asa´ıdado sistema, o qual ´e caracterizado pela fun¸c˜aoh(t). Tal sistema diz-se umfiltro linear. Se a entrada for x(t) =δ(t), ent˜ao

y(t) = Z

−∞

h(u)δ(t−u)du=h(t),

ou seja, a resposta do sistema a um impulso ´e a fun¸c˜aoh(t), donde o nomefun¸c˜ao resposta de impulso.

(6)

Convergˆencia de vari´aveis aleat´orias

Heaviside e pente de Dirac

1. Duas outras fun¸c˜oes ´uteis s˜ao afun¸c˜ao de Heavisidee opente de Dirac, que denotaremos por H(t) eη(t), respectivamente. Essas s˜ao definidas por:

2.

H(t) =





0, set<0 1/2,set= 0 1, set>0.

(6) 3. e

η(t) =

X

j=−∞

δ(t−2πj). (7)

4. A fun¸c˜aoH(t) pode ser encarada como o limite de fun¸c˜oesHn(t) (para n→ ∞) que tˆem limite zero, parat<0, e um, parat>0. Por exemplo, considere

Hn(t) =

(e−nt/2, set<0 1−e−nt/2, set≥0.

5. A fun¸c˜aoη(t) tem a propriedade Z

−∞

f(t)η(t)dt=

X

j=−∞

f(2πj). (8)

Pedro A. Morettin MAE 5871: An´alise Espectral de S´eries Temporais

(7)

Convergˆencia de vari´aveis aleat´orias

N´ ucleos

1. Considere

fN(t) =

N

X

n=−N

cnent, (9)

ondeλns˜ao as frequˆencias de Fourier. Substituindo o valor decn, obtemos fN(t) =

Z T/2

−T/2

DN[2π

T (t−u)]f(u)du, (10) onde

DN(t) = 1 T

sen[(N+ 1/2)t]

sen(t/2) (11)

´

e on´ucleo (kernel) de Dirichlet, que tem as propriedades:

2. (i) DN(t) ´e uma fun¸ao par;

(ii) RT/2

−T/2DN(t)dt= 1;

(iii) DN(2πtT ) ´e uma fun¸ao peri´odica de per´ıodoT;

(iv) DN(0) =2N+1T .

(8)

Convergˆencia de vari´aveis aleat´orias

Dirichlet

1. A equa¸c˜ao (10) mostra quefN(t) ´esomade valores def(t) ponderada pelo n´ucleoDN(·). Dizemos queDN(·) ´e uma janela pela qualfN(t)

“vˆe”f(t).

2. De modo geral, sef(t) eg(t) s˜ao fun¸c˜oes peri´odicas, de per´ıodoT, tal que

g(t) = Z T/2

−T/2

K(t−u)f(u)du, (12)

dizemos queK(·) ´e umajanela pela qualg(t) “vˆe”f(t).

3. Propriedades deK(·) geralmente necess´arias s˜ao:

(i)RT/2

−T/2K(t)dt= 1;

(ii)K(−t) =K(t);

(iii)|K(t)| ≤K(0), para todot.

Pedro A. Morettin MAE 5871: An´alise Espectral de S´eries Temporais

(9)

Convergˆencia de vari´aveis aleat´orias

Dirichlet

Na Figura 1, temos gr´aficos deDN(·) paraT = 2πe dois valores deN.

t

D_N(t)

−3 −2 −1 0 1 2 3

−0.20.00.20.40.60.81.0

t

D_N(t)

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.00.51.01.5

(a) (b)

Figura 1: N´ucleo de Dirichlet. (a) N = 3 (b) N = 5.

(10)

Convergˆencia de vari´aveis aleat´orias

F´ ejer

1. A rela¸c˜ao (10) mostra que a aproxima¸c˜ao def(t) por meio defN(t) ser´a boa se o n´ucleoDN(·) for concentrado ao redor do pontot. A Figura 1, por outro lado, nos mostra que o n´ucleo de Dirichlet n˜ao ´e satisfat´orio, pois n˜ao est´a suficientemente concentrado ao redor da origem. Mesmo paraN= 10,h´a muitos picos laterais, com magnitudes razo´aveis.

2. Para quefN(t) convirja paraf(t), quandoN→ ∞, em algum sentido, f(t) deve satisfazer certas condi¸c˜oes de regularidade. No entanto, o teorema de aproxima¸c˜ao de Weierstrassafirma que sef(t) for uma fun¸c˜ao real, cont´ınua, definida no intervalo [a,b], existe uma sucess˜ao de

polinˆomios que converge uniformemente paraf(t) em [a,b].

3. Uma maneira de construir polinˆomios harmˆonicos convergentes para a fun¸c˜ao em quest˜ao foi proposta por Fej´er em 1904. Sejaf(t) dada pela sua s´erie de Fourier e considere a m´edia

σN+1(t) = 1

N+ 1{f0(t) +f1(t) +. . .+fN(t)}. (13)

Pedro A. Morettin MAE 5871: An´alise Espectral de S´eries Temporais

(11)

Convergˆencia de vari´aveis aleat´orias

F´ ejer

1. Ent˜ao, pode-se provar que:

(i)σN+1(t) converge paraf(t) uniformemente, sef(t) for cont´ınua e peri´odica;

(ii)σN+1(t) =PN

n=−N(1N+1|n| )cneiλnt; (iii)σN+1(t) =RT/2

−T/2FN+1[T(tu)]f(u)du, onde FN+1(t) = 1

T(N+ 1)

hsen[(N+ 1/2)t]

sen(t/2) i2

, (14)

parat6= 0,±T,±2T, . . . ´e oucleo de Fej´er.

2. Este tem as propriedades: (a)FN+1(t) ´e uma fun¸c˜ao par;

(b)RT/2

−T/2FN+1(t)dt= 1;

(c)FN+1(2πt/T) ´e cont´ınua, peri´odica, de per´ıodoT; (d)FN+1(0) = N+1T .

(12)

Convergˆencia de vari´aveis aleat´orias

F´ ejer

A Figura 2 ilustraFN+1(·) paraT= 2πe dois valores deN. Vemos que o n´ucleo de Fej´er ´e uma janela mais concentrada ao redor da origem do que o n´ucleo de Dirichlet.

Al´em disso,FN+1(t)0, para todot, e os picos laterais tˆem magnitudes pequenas quando comparadas com a do pico central.

t

F_N(t)

−3 −2 −1 0 1 2 3

0246810

t

F_N(t)

−3 −2 −1 0 1 2 3

05101520

(a) (b)

Figura 2: N´ucleo de Fej´er. (a) N = 3 (b) N = 5

Pedro A. Morettin MAE 5871: An´alise Espectral de S´eries Temporais

(13)

Convergˆencia de vari´aveis aleat´orias

N´ ucleos

1. Podemos considerar, genericamente, f(N)(t) =X

n

h(n/N)cneiλnt, (15) para alguma fun¸c˜aoh(t), comh(0) = 1, h(t) = 0, |t|>1. A fun¸c˜ao h(n/N) ´e chamadafator de convergˆencia,coeficientes geradores de janelas ou, ainda,tapersedata windows

2. Se definirmos

H(N)(t) = 1 T

X

n

h(n/N)e−int, (16)

ent˜ao podemos escrever (15) como f(N)(t) =

ZT/2

−T/2

H(N)[2π

T (t−u)]f(u)du. (17) 3. A fun¸c˜aoH(N)(·) ´e o que chamaremosjanela espectral, definida no

dom´ınio da frequˆencia, enquantoh(n/N) ´e definida no dom´ınio do tempo.

A forma t´ıpica deH(N)(·) ´e aquela das figuras 1 e 2.

4. V´arios fatores de convergˆencia tˆem sido sugeridos na literatura. A Tabela 1 ilustra alguns deles.

(14)

Convergˆencia de vari´aveis aleat´orias

N´ ucleos e janelas

Tabela 1.1 N´ucleos e Janelas

h(n/N),0≤ |n| ≤N H(N)(t),−π <t< π Autores

1 DN(t) Dirichlet

Fej´er,

1N+1|n| FN+1(t) Bartlett

1

2(1 + cos(πnN)) 12DN(t) +14DN(tπN) Hamming, +14DN(t+πN) Tukey

16n2

N2(1|n|N),|n| ≤N2 de la Vall´e- 2+cos(t)

4πN3

hsen(Nt/4) sen(t/4)

i4

Poussin, 2(1|n|N)3, |n| ≥N2 Parzen

exp{−n2/2N2} N

exp{−N2t2/2} Gauss, Weierstrass Riesz, 1n2

N2 DN(t) + 1

N2 d2DN(t)

dt2 Bochner, Parzen

Pedro A. Morettin MAE 5871: An´alise Espectral de S´eries Temporais

(15)

Convergˆencia de vari´aveis aleat´orias

Vari´ avel aleat´ oria

1. Seja (Ω,A,P) um espa¸co de probabilidades, no qual Ω ´e o espa¸co amostral,A´e umaσ-´algebra de subconjuntos de Ω(os eventos aleat´orios) eP´e uma medida de probabilidade sobreA. Umavari´avel aleat´oria(v.a.) ´e uma fun¸ao mensur´avel definida sobre Ω com valores reais, isto ´e, uma fun¸aoX : Ω Rtal que, para todo conjunto de BorelBdeR, teremos queX−1(B) ´e um evento de A. Aqui,R denota o conjunto dos n´umeros reais. Pode-se provar queX´e uma v.a. se e somente seX−1(J)∈ A, sendoJum intervalo da forma (−∞,a].

2. SeF for a fun¸ao de distribui¸ao (f.d.) deX, isto ´e,

F(x) =P(Xx) =P(ω:X(ω)x), ent˜ao ovalor esperado, ou aediadeX

´

e definida como

E(X) = Z

−∞

xdF(x),

que se reduz a

E(X) = Z

−∞

xf(x)dx,

seF(x) for absolutamente cont´ınua, isto ´e,dF(x) =f(x)dx, comf(x) sendo a fun¸ao densidade de probabilidade (f.d.p.) deX. SeX for discreta, tomando valores em um conjunto enumer´avel{x1,x2, . . .}com probabilidades p(xj) =P(X =xj)0, para todoj, ent˜ao

E(X) =

X

j=1

xjp(xj).

Em todos os casos, sup˜oe-se que a integral ou soma exista.

Pedro A. Morettin MAE 5871: An´alise Espectral de S´eries Temporais

(16)

Convergˆencia de vari´aveis aleat´orias

Vari´ avel aleat´ oria

1. Em todos os casos, sup˜oe-se que a integral ou soma exista.

AvariˆanciadeX ´e definida por

Var(X) =E{[XE(X)]2}, e ´e f´acil ver que Var(X) =E(X2)[E(X)]2.

2. SeX eY ao duas v.a.’s definidas sobre (Ω,A,P), ent˜ao adistribui¸ao conjunta deX eY ´e especificada por uma f.d. bivariadaF(x,y), tal que

F(x,y) =P(ω:X(ω)x,Y(ω)y).

SeF(x,y) for absolutamente cont´ınua, existef(x,y) tal que

2F(x,y)/∂x∂y=f(x,y) eF(x,y) =Rx

−∞

Ry

−∞f(u,v)dudv. No caso discreto, quando (X,Y) toma valores em um conjunto enumer´avel

{(xi,yj),i,j= 1,2, . . .}, existep(xi,yj) tal queF(x,y) =P

i

P

jp(xi,yj), onde a soma estende-se sobre todos os pares (xi,yj) tais quexi x,yjy.

3. Acovariˆancia entreX eY ´e definida por

Cov(X,Y) =E{[XE(X)][YE(Y)]}, que ´e aR

−∞

R

−∞[xE(X)][yE(Y)]dF(x,y). Segue-se facilmente que Cov(X,Y) =E(XY)E(X)E(Y).

Pedro A. Morettin MAE 5871: An´alise Espectral de S´eries Temporais

(17)

Convergˆencia de vari´aveis aleat´orias

Vari´ avel aleat´ oria

1. As v.a.’sX eY s˜aoindependentesseF(x,y) =FX(x)FY(y), para todos os pares (x,y), ondeFX eFY s˜ao as f.d.’ s (marginais) deX eY, respectivamente. Nesse casoE(XY) =E(X)E(Y) e Cov(X,Y) = 0.

2. Quando Cov(X,Y) = 0, dizemos queX eY s˜aon˜ao correlacionadas.

Segue-se que seX eY s˜ao independentes, ent˜ao elas s˜ao n˜ao correlacionadas, mas a rec´ıproca n˜ao ´e verdadeira.

3. Ocoeficiente de correla¸c˜ao, que ´e uma medida de associa¸c˜ao linear entre X eY, ´e obtido padronizando-se a express˜ao para a covariˆancia:

ρ(X,Y) = Cov(X,Y) σXσY

,

ondeσXY s˜ao os desvios padr˜oes deX eY, respectivamente. N˜ao ´e dif´ıcil provar que−1≤ρ(X,Y)≤1.

(18)

Convergˆencia de vari´aveis aleat´orias

Vari´ avel aleat´ oria

1. Suponha, agora, queX seja uma v.a. complexa, ou seja,X : Ω→ C, sendo que C´e o conjunto dos n´umeros complexos. Ent˜ao,X=Y+iZ, comY eZv.a.’s reais. Dizemos queY ´e a parte real deX e escrevemosY =R(X), enquantoZ

´

e a parte imagin´aria deX, e escrevemosZ=I(X).

2. Nesse caso, a m´edia deX´e definida por

E(X) =E(Y) +iE(Z), e a variˆancia deX ´e definida por

Var(X) =E{|XE(X)|2}.

3. E f´´ acil ver que Var(X) = Var(Y) + Var(Z) e que, paraZ= 0, obtemos as defini¸oes usuais para v.a.’s reais.

4. Sejam, agora,X1eX2duas v.a.’s complexas. A covariˆancia entre ambas agora ´e definida como

Cov(X1,X2) =E{[X1E(X1)][X2E(X2)]},

pois se assim n˜ao fosse, colocandoX1=X2, a variˆancia n˜ao seria real. Vale a rela¸ao

Cov(X1,X2) = Cov(Y1,Y2) + Cov(Z1,Z2) +i[Cov(Z1,Y2)Cov(Y1,Z2)], seXj=Yj+iZj, j= 1,2.

Pedro A. Morettin MAE 5871: An´alise Espectral de S´eries Temporais

(19)

Convergˆencia de vari´aveis aleat´orias

Desigualdades

1. Desigualdade de Chebyshev. Seφfor uma fun¸ao positiva e estritamente crescente sobre (0,∞), comφ(u) =φ(−u), eX for uma v.a. com m´edia finita, ent˜ao para cadau>0,

P{|X| ≥u} ≤E{φ(X)}

φ(u) .

O caso familiar surge quandoφ(u) =u2eX =Y E(Y), resultando P{|Y E(Y)| ≥u} ≤ Var(Y)

u2 .

2. Desigualdade de Jensen. Seφfor uma fun¸ao convexa sobreReX eφ(X) forem v.a.’s integr´aveis,

φ{E(X)} ≤E{φ(X)}.

Por exemplo, seφ(x) =x2, ent˜ao [E(X)]2E(X2).

3. Desigualdade de Schwarz. SeX eY forem v.a.’s, ent˜ao

|E(XY)| ≤E(|XY|)[E|X|2E|Y|2]1/2.

(20)

Convergˆencia de vari´aveis aleat´orias

Convergˆ encia de v.a.

1. Seja{Xn,n≥1}uma sequˆencia de v.a.’s definidas no mesmo espa¸co de probabilidades, digamos (Ω,A,P).

2. A sequˆencia{Xn}converge em probabilidadepara a v.a. X se e somente se para todo >0 tivermos

n→∞lim P{|Xn−X|> }= 0, e indicamosXn

P X.

3. A sequˆencia{Xn}converge quase certamentepara a v.a. X se e somente se existe um conjuntoD comP(D) = 0 e tal que

n→∞lim Xn(ω) =X(ω)<∞, para todo ω∈(Ω−N) e indicamos porXn

q.c.→ X.

Pedro A. Morettin MAE 5871: An´alise Espectral de S´eries Temporais

(21)

Convergˆencia de vari´aveis aleat´orias

Convergˆ encia de v.a.

1. O conceito de convergˆencia quase certamente (ou quase em toda a parte)

´

e mais forte do que o conceito de convegˆencia em probabilidade, e o seguinte resultado vale.

Proposi¸c˜ao. SeXn

q.c.→X valer, ent˜aoXn

P X tamb´em vale.

2. A sequˆencia{Xn}converge para a v.a. X emm´edia quadr´atica(m.q.) ou emL2, se e somente se

n→∞lim E{|Xn−X|2}= 0.

A nota¸c˜ao ´eXn

m.q.→ X ouXn L2

→X.

3. Da desigualdade de Chebyshev segue imediatamente que Proposi¸c˜ao. SeXn

m.q.→ X, ent˜aoXn

P X.

(22)

Convergˆencia de vari´aveis aleat´orias

Convergˆ encia de v.a.

1. Convergˆencia em m.q. e em probabilidade n˜ao implicam convergˆencia quase certamente, mas o seguinte resultado vale.

Proposi¸c˜ao. Se a sequˆencia{Xn}convergir em m.q. paraX (e logo em probabilidade), ent˜ao existe uma subsequˆenciank tal queXnk converge quase certamente paraX.

2. Convergˆencia quase certamente n˜ao implica convergˆencia em m´edia quadr´atica.

3. Dizemos queXn´edominadaporY se e somente se|Xn| ≤Y q.c. Ent˜ao,

´

e verdade que, seXn

P X, ent˜aoXn

m.q.→ X, desde que{Xn}seja dominada por uma v.a. Y que seja de quadrado integr´avel.

4. Seja{Xn}uma sequˆencia de v.a.’s e{Fn}a sequˆencia correspondente de f.d.’s. Dizemos que{Xn}converge para a v.a. X em distribui¸c˜aose e somente se a sequˆenciaFn converge para a f.d. F deX nos pontos de continuidade deF.

Usaremos a nota¸c˜aoXn

D X.

5. Esse ´e o conceito de convergˆencia “mais fraco”, pois convergˆencia em probabilidade implica em convergˆencia em distribui¸c˜ao.

Pedro A. Morettin MAE 5871: An´alise Espectral de S´eries Temporais

(23)

Convergˆencia de vari´aveis aleat´orias

Teorema de Slutsky e TLC

1. SeXnconverge em probabilidade paraX eYnconverge em probabilidade paraY, ent˜aoXn+Yn converge em probabilidade paraX+Y , e o mesmo vale para produtos.

2. Essas afirma¸c˜oes n˜ao valem para convergˆencia em distribui¸c˜ao.

3. Uma exce¸c˜ao ´e o Teorema de Slutsky: SeYn converge em probabilidade para uma constantec, eXnconverge em distribui¸c˜ao paraX, ent˜ao Xn+Yn converge em distribui¸c˜ao paraX+ceXnYn converge em distribui¸c˜ao paracX.

4. (TLC) Suponha que{X1, . . . ,Xn}seja uma sequˆencia i.i.d. de v.a. com E[Xi] =µe Var[Xi] =σ2<∞. Quandon→ ∞, as v.a. √

n(Xn−µ) converge em distribui¸c˜ao para uma v.a. normalN(0, σ2).

5. TLC mais gerais valem para v.a. independentes e suposi¸c˜oes sobre momentos: Lyapunov e Lindeberg-Feller.

(24)

Convergˆencia de vari´aveis aleat´orias

Referˆ encias

Morettin, P. A. (2014). Ondas e Ondaletas. Segunda edi¸c˜ao. S˜ao Paulo:

EDUSP.

Morettin, P. A. and Toloi, C. M. C. (2018). An´alise de S´eries Temporais.

Terceira Edi¸c˜ao. Blucher.

Percival, D. and Walden, A. (1993). Spectral Analysis for Physical Applications. Cambridge.

Pedro A. Morettin MAE 5871: An´alise Espectral de S´eries Temporais

Referências

Documentos relacionados

O aluno deverá realizar as atividades propostas pela professora que estarão disponibilizadas no portal E-CLASS..

Para a atribuição de cada um dos níveis/classificações/menções na avaliação sumativa do aluno são tidas em consideração não só os Conhecimentos e Capacidades

e exequibilidade das garantias” Item 9 deste relatório.. 1º do Anexo 15 da Instrução 583/16: “existência de outras emissões de valores mobiliários, públicas ou

O objetivo do presente estudo foi verificar a presença de alodínia e hiperalgesia cefálica e extracefálica em indivíduos com DTM dolorosa e livres de condições

Como s˜ ao verificadas todas as condi¸ c˜ oes de convergˆ encia, podemos aplicar, com garantia de convergˆ encia, o m´ etodo

Realizar debate (rodas de conversa ou seminário) com a categoria, em todas as subsedes sobre o Modelo Social da Deficiência.1. Ampliação da inserção social da

Uma vez sabendo a natureza (ou causas) da filosofia, o professor no ensino médio, segundo Aristóteles, necessariamente deve direcionar o ensino para o exercício da

O Projeto de Transposição do São Francisco é apontado como um elemento fundamental para garantir segurança hídrica ao semiárido nordestino. Apresentado como instrumento capaz