Convergˆencia de vari´aveis aleat´orias
MAE 5871: An´ alise Espectral de S´ eries Temporais
Pedro A. Morettin
Instituto de Matem´atica e Estat´ıstica Universidade de S˜ao Paulo
pam@ime.usp.br http://www.ime.usp.br/∼ pam
Aula 5 1 de setembro de 2021
Convergˆencia de vari´aveis aleat´orias
Sum´ ario
1 Fun¸c˜oes generalizadas
2 N´ucleos e janelas
3 Convergˆencia de vari´aveis aleat´orias
Pedro A. Morettin MAE 5871: An´alise Espectral de S´eries Temporais
Convergˆencia de vari´aveis aleat´orias
Delta de Dirac
1. Para quef(t) tenha uma transformada de Fourier, ela deve satisfazer certas condi¸c˜oes, por exemplo, ser de quadrado integr´avel ou
absolutamente integr´avel. Usando a teoria das fun¸c˜oes generalizadas ´e poss´ıvel estender a teoria para fun¸c˜oes que n˜ao satisfazem essas condi¸c˜oes.
Tal teoria est´a fora do alcance deste curso, de modo que vamos nos limitar a apresentar brevemente, e de modo n˜ao rigoroso, a fun¸c˜ao delta de Dirac.
2. Afun¸c˜ao deltade Dirac (oufun¸c˜ao impulso) ´e definida pelas rela¸c˜oes δ(t) =
(+∞, set= 0
0, set6= 0, (1)
Z ∞
−∞
δ(t)dt= 1. (2)
3. A rigor,δ(t) n˜ao ´e uma fun¸c˜ao, pois assume o valor +∞parat= 0 e a integral (2) deveria ser zero.
Convergˆencia de vari´aveis aleat´orias
Delta de Dirac
1. Usualmente,δ(t) ´e introduzida pela propriedade Z ∞
−∞
δ(t)f(t)dt=f(0), (3)
sef(t) for uma fun¸c˜ao real, cont´ınua e que se anula fora de um intervalo limitado. Contudo, comoδ(t) n˜ao ´e uma fun¸c˜ao, a integral do primeiro membro de (3) n˜ao faz sentido.
2. Para contornar esse problema, vamos considerar uma sequˆencia de fun¸c˜oes cont´ınuasδn(t), tais que:
(i)δn(t)≥0,para todot;
(ii)R∞
−∞δn(t)dt= 1;
(iii) para todo >0, η >0, existen0tal que, paran≥n0, Z
|t|>η
δn(t)dt< . 3. Dessa maneira, (3) poderia ser definida por
Z ∞
−∞
δ(t)f(t)dt= lim
n→∞
Z ∞
−∞
δn(t)f(t)dt. (4)
Pedro A. Morettin MAE 5871: An´alise Espectral de S´eries Temporais
Convergˆencia de vari´aveis aleat´orias
Delta de Direc
1. Uma sequˆencia de fun¸c˜oesδn(t) como a definida acima ´e chamada sequˆencia de n´ucleos de Dirac. Pode-se demonstrar, usando (4), que a rela¸c˜ao (3) ´e realmente correta, se impusermos a condi¸c˜ao adicional que δn(t) seja par, para todon.
2. A interpreta¸c˜ao f´ısica da fun¸c˜ao delta ´e a de um impulso de energia num sistema. Suponha que esse sistema seja definido pela integral
y(t) = Z∞
−∞
h(u)x(t−u)du. (5)
3. Aqui,x(t) ´e aentradaey(t) ´e asa´ıdado sistema, o qual ´e caracterizado pela fun¸c˜aoh(t). Tal sistema diz-se umfiltro linear. Se a entrada for x(t) =δ(t), ent˜ao
y(t) = Z ∞
−∞
h(u)δ(t−u)du=h(t),
ou seja, a resposta do sistema a um impulso ´e a fun¸c˜aoh(t), donde o nomefun¸c˜ao resposta de impulso.
Convergˆencia de vari´aveis aleat´orias
Heaviside e pente de Dirac
1. Duas outras fun¸c˜oes ´uteis s˜ao afun¸c˜ao de Heavisidee opente de Dirac, que denotaremos por H(t) eη(t), respectivamente. Essas s˜ao definidas por:
2.
H(t) =
0, set<0 1/2,set= 0 1, set>0.
(6) 3. e
η(t) =
∞
X
j=−∞
δ(t−2πj). (7)
4. A fun¸c˜aoH(t) pode ser encarada como o limite de fun¸c˜oesHn(t) (para n→ ∞) que tˆem limite zero, parat<0, e um, parat>0. Por exemplo, considere
Hn(t) =
(e−nt/2, set<0 1−e−nt/2, set≥0.
5. A fun¸c˜aoη(t) tem a propriedade Z ∞
−∞
f(t)η(t)dt=
∞
X
j=−∞
f(2πj). (8)
Pedro A. Morettin MAE 5871: An´alise Espectral de S´eries Temporais
Convergˆencia de vari´aveis aleat´orias
N´ ucleos
1. Considere
fN(t) =
N
X
n=−N
cneiλnt, (9)
ondeλns˜ao as frequˆencias de Fourier. Substituindo o valor decn, obtemos fN(t) =
Z T/2
−T/2
DN[2π
T (t−u)]f(u)du, (10) onde
DN(t) = 1 T
sen[(N+ 1/2)t]
sen(t/2) (11)
´
e on´ucleo (kernel) de Dirichlet, que tem as propriedades:
2. (i) DN(t) ´e uma fun¸c˜ao par;
(ii) RT/2
−T/2DN(t)dt= 1;
(iii) DN(2πtT ) ´e uma fun¸c˜ao peri´odica de per´ıodoT;
(iv) DN(0) =2N+1T .
Convergˆencia de vari´aveis aleat´orias
Dirichlet
1. A equa¸c˜ao (10) mostra quefN(t) ´esomade valores def(t) ponderada pelo n´ucleoDN(·). Dizemos queDN(·) ´e uma janela pela qualfN(t)
“vˆe”f(t).
2. De modo geral, sef(t) eg(t) s˜ao fun¸c˜oes peri´odicas, de per´ıodoT, tal que
g(t) = Z T/2
−T/2
K(t−u)f(u)du, (12)
dizemos queK(·) ´e umajanela pela qualg(t) “vˆe”f(t).
3. Propriedades deK(·) geralmente necess´arias s˜ao:
(i)RT/2
−T/2K(t)dt= 1;
(ii)K(−t) =K(t);
(iii)|K(t)| ≤K(0), para todot.
Pedro A. Morettin MAE 5871: An´alise Espectral de S´eries Temporais
Convergˆencia de vari´aveis aleat´orias
Dirichlet
Na Figura 1, temos gr´aficos deDN(·) paraT = 2πe dois valores deN.
t
D_N(t)
−3 −2 −1 0 1 2 3
−0.20.00.20.40.60.81.0
t
D_N(t)
−3 −2 −1 0 1 2 3
0.00.51.01.5
(a) (b)
Figura 1: N´ucleo de Dirichlet. (a) N = 3 (b) N = 5.
Convergˆencia de vari´aveis aleat´orias
F´ ejer
1. A rela¸c˜ao (10) mostra que a aproxima¸c˜ao def(t) por meio defN(t) ser´a boa se o n´ucleoDN(·) for concentrado ao redor do pontot. A Figura 1, por outro lado, nos mostra que o n´ucleo de Dirichlet n˜ao ´e satisfat´orio, pois n˜ao est´a suficientemente concentrado ao redor da origem. Mesmo paraN= 10,h´a muitos picos laterais, com magnitudes razo´aveis.
2. Para quefN(t) convirja paraf(t), quandoN→ ∞, em algum sentido, f(t) deve satisfazer certas condi¸c˜oes de regularidade. No entanto, o teorema de aproxima¸c˜ao de Weierstrassafirma que sef(t) for uma fun¸c˜ao real, cont´ınua, definida no intervalo [a,b], existe uma sucess˜ao de
polinˆomios que converge uniformemente paraf(t) em [a,b].
3. Uma maneira de construir polinˆomios harmˆonicos convergentes para a fun¸c˜ao em quest˜ao foi proposta por Fej´er em 1904. Sejaf(t) dada pela sua s´erie de Fourier e considere a m´edia
σN+1(t) = 1
N+ 1{f0(t) +f1(t) +. . .+fN(t)}. (13)
Pedro A. Morettin MAE 5871: An´alise Espectral de S´eries Temporais
Convergˆencia de vari´aveis aleat´orias
F´ ejer
1. Ent˜ao, pode-se provar que:
(i)σN+1(t) converge paraf(t) uniformemente, sef(t) for cont´ınua e peri´odica;
(ii)σN+1(t) =PN
n=−N(1−N+1|n| )cneiλnt; (iii)σN+1(t) =RT/2
−T/2FN+1[2πT(t−u)]f(u)du, onde FN+1(t) = 1
T(N+ 1)
hsen[(N+ 1/2)t]
sen(t/2) i2
, (14)
parat6= 0,±T,±2T, . . . ´e on´ucleo de Fej´er.
2. Este tem as propriedades: (a)FN+1(t) ´e uma fun¸c˜ao par;
(b)RT/2
−T/2FN+1(t)dt= 1;
(c)FN+1(2πt/T) ´e cont´ınua, peri´odica, de per´ıodoT; (d)FN+1(0) = N+1T .
Convergˆencia de vari´aveis aleat´orias
F´ ejer
A Figura 2 ilustraFN+1(·) paraT= 2πe dois valores deN. Vemos que o n´ucleo de Fej´er ´e uma janela mais concentrada ao redor da origem do que o n´ucleo de Dirichlet.
Al´em disso,FN+1(t)≥0, para todot, e os picos laterais tˆem magnitudes pequenas quando comparadas com a do pico central.
t
F_N(t)
−3 −2 −1 0 1 2 3
0246810
t
F_N(t)
−3 −2 −1 0 1 2 3
05101520
(a) (b)
Figura 2: N´ucleo de Fej´er. (a) N = 3 (b) N = 5
Pedro A. Morettin MAE 5871: An´alise Espectral de S´eries Temporais
Convergˆencia de vari´aveis aleat´orias
N´ ucleos
1. Podemos considerar, genericamente, f(N)(t) =X
n
h(n/N)cneiλnt, (15) para alguma fun¸c˜aoh(t), comh(0) = 1, h(t) = 0, |t|>1. A fun¸c˜ao h(n/N) ´e chamadafator de convergˆencia,coeficientes geradores de janelas ou, ainda,tapersedata windows
2. Se definirmos
H(N)(t) = 1 T
X
n
h(n/N)e−int, (16)
ent˜ao podemos escrever (15) como f(N)(t) =
ZT/2
−T/2
H(N)[2π
T (t−u)]f(u)du. (17) 3. A fun¸c˜aoH(N)(·) ´e o que chamaremosjanela espectral, definida no
dom´ınio da frequˆencia, enquantoh(n/N) ´e definida no dom´ınio do tempo.
A forma t´ıpica deH(N)(·) ´e aquela das figuras 1 e 2.
4. V´arios fatores de convergˆencia tˆem sido sugeridos na literatura. A Tabela 1 ilustra alguns deles.
Convergˆencia de vari´aveis aleat´orias
N´ ucleos e janelas
Tabela 1.1 N´ucleos e Janelas
h(n/N),0≤ |n| ≤N H(N)(t),−π <t< π Autores
1 DN(t) Dirichlet
Fej´er,
1−N+1|n| FN+1(t) Bartlett
1
2(1 + cos(πnN)) 12DN(t) +14DN(t−πN) Hamming, +14DN(t+πN) Tukey
1−6n2
N2(1−|n|N),|n| ≤N2 de la Vall´e- 2+cos(t)
4πN3
hsen(Nt/4) sen(t/4)
i4
Poussin, 2(1−|n|N)3, |n| ≥N2 Parzen
exp{−n2/2N2} ≈√N
2πexp{−N2t2/2} Gauss, Weierstrass Riesz, 1−n2
N2 DN(t) + 1
N2 d2DN(t)
dt2 Bochner, Parzen
Pedro A. Morettin MAE 5871: An´alise Espectral de S´eries Temporais
Convergˆencia de vari´aveis aleat´orias
Vari´ avel aleat´ oria
1. Seja (Ω,A,P) um espa¸co de probabilidades, no qual Ω ´e o espa¸co amostral,A´e umaσ-´algebra de subconjuntos de Ω(os eventos aleat´orios) eP´e uma medida de probabilidade sobreA. Umavari´avel aleat´oria(v.a.) ´e uma fun¸c˜ao mensur´avel definida sobre Ω com valores reais, isto ´e, uma fun¸c˜aoX : Ω→ Rtal que, para todo conjunto de BorelBdeR, teremos queX−1(B) ´e um evento de A. Aqui,R denota o conjunto dos n´umeros reais. Pode-se provar queX´e uma v.a. se e somente seX−1(J)∈ A, sendoJum intervalo da forma (−∞,a].
2. SeF for a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao (f.d.) deX, isto ´e,
F(x) =P(X≤x) =P(ω:X(ω)≤x), ent˜ao ovalor esperado, ou am´ediadeX
´
e definida como
E(X) = Z ∞
−∞
xdF(x),
que se reduz a
E(X) = Z ∞
−∞
xf(x)dx,
seF(x) for absolutamente cont´ınua, isto ´e,dF(x) =f(x)dx, comf(x) sendo a fun¸c˜ao densidade de probabilidade (f.d.p.) deX. SeX for discreta, tomando valores em um conjunto enumer´avel{x1,x2, . . .}com probabilidades p(xj) =P(X =xj)≥0, para todoj, ent˜ao
E(X) =
∞
X
j=1
xjp(xj).
Em todos os casos, sup˜oe-se que a integral ou soma exista.
Pedro A. Morettin MAE 5871: An´alise Espectral de S´eries Temporais
Convergˆencia de vari´aveis aleat´orias
Vari´ avel aleat´ oria
1. Em todos os casos, sup˜oe-se que a integral ou soma exista.
AvariˆanciadeX ´e definida por
Var(X) =E{[X−E(X)]2}, e ´e f´acil ver que Var(X) =E(X2)−[E(X)]2.
2. SeX eY s˜ao duas v.a.’s definidas sobre (Ω,A,P), ent˜ao adistribui¸c˜ao conjunta deX eY ´e especificada por uma f.d. bivariadaF(x,y), tal que
F(x,y) =P(ω:X(ω)≤x,Y(ω)≤y).
SeF(x,y) for absolutamente cont´ınua, existef(x,y) tal que
∂2F(x,y)/∂x∂y=f(x,y) eF(x,y) =Rx
−∞
Ry
−∞f(u,v)dudv. No caso discreto, quando (X,Y) toma valores em um conjunto enumer´avel
{(xi,yj),i,j= 1,2, . . .}, existep(xi,yj) tal queF(x,y) =P
i
P
jp(xi,yj), onde a soma estende-se sobre todos os pares (xi,yj) tais quexi ≤x,yj≤y.
3. Acovariˆancia entreX eY ´e definida por
Cov(X,Y) =E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}, que ´e aR∞
−∞
R∞
−∞[x−E(X)][y−E(Y)]dF(x,y). Segue-se facilmente que Cov(X,Y) =E(XY)−E(X)E(Y).
Pedro A. Morettin MAE 5871: An´alise Espectral de S´eries Temporais
Convergˆencia de vari´aveis aleat´orias
Vari´ avel aleat´ oria
1. As v.a.’sX eY s˜aoindependentesseF(x,y) =FX(x)FY(y), para todos os pares (x,y), ondeFX eFY s˜ao as f.d.’ s (marginais) deX eY, respectivamente. Nesse casoE(XY) =E(X)E(Y) e Cov(X,Y) = 0.
2. Quando Cov(X,Y) = 0, dizemos queX eY s˜aon˜ao correlacionadas.
Segue-se que seX eY s˜ao independentes, ent˜ao elas s˜ao n˜ao correlacionadas, mas a rec´ıproca n˜ao ´e verdadeira.
3. Ocoeficiente de correla¸c˜ao, que ´e uma medida de associa¸c˜ao linear entre X eY, ´e obtido padronizando-se a express˜ao para a covariˆancia:
ρ(X,Y) = Cov(X,Y) σXσY
,
ondeσX eσY s˜ao os desvios padr˜oes deX eY, respectivamente. N˜ao ´e dif´ıcil provar que−1≤ρ(X,Y)≤1.
Convergˆencia de vari´aveis aleat´orias
Vari´ avel aleat´ oria
1. Suponha, agora, queX seja uma v.a. complexa, ou seja,X : Ω→ C, sendo que C´e o conjunto dos n´umeros complexos. Ent˜ao,X=Y+iZ, comY eZv.a.’s reais. Dizemos queY ´e a parte real deX e escrevemosY =R(X), enquantoZ
´
e a parte imagin´aria deX, e escrevemosZ=I(X).
2. Nesse caso, a m´edia deX´e definida por
E(X) =E(Y) +iE(Z), e a variˆancia deX ´e definida por
Var(X) =E{|X−E(X)|2}.
3. E f´´ acil ver que Var(X) = Var(Y) + Var(Z) e que, paraZ= 0, obtemos as defini¸c˜oes usuais para v.a.’s reais.
4. Sejam, agora,X1eX2duas v.a.’s complexas. A covariˆancia entre ambas agora ´e definida como
Cov(X1,X2) =E{[X1−E(X1)][X2−E(X2)]},
pois se assim n˜ao fosse, colocandoX1=X2, a variˆancia n˜ao seria real. Vale a rela¸c˜ao
Cov(X1,X2) = Cov(Y1,Y2) + Cov(Z1,Z2) +i[Cov(Z1,Y2)−Cov(Y1,Z2)], seXj=Yj+iZj, j= 1,2.
Pedro A. Morettin MAE 5871: An´alise Espectral de S´eries Temporais
Convergˆencia de vari´aveis aleat´orias
Desigualdades
1. Desigualdade de Chebyshev. Seφfor uma fun¸c˜ao positiva e estritamente crescente sobre (0,∞), comφ(u) =φ(−u), eX for uma v.a. com m´edia finita, ent˜ao para cadau>0,
P{|X| ≥u} ≤E{φ(X)}
φ(u) .
O caso familiar surge quandoφ(u) =u2eX =Y −E(Y), resultando P{|Y −E(Y)| ≥u} ≤ Var(Y)
u2 .
2. Desigualdade de Jensen. Seφfor uma fun¸c˜ao convexa sobreReX eφ(X) forem v.a.’s integr´aveis,
φ{E(X)} ≤E{φ(X)}.
Por exemplo, seφ(x) =x2, ent˜ao [E(X)]2≤E(X2).
3. Desigualdade de Schwarz. SeX eY forem v.a.’s, ent˜ao
|E(XY)| ≤E(|XY|)≤[E|X|2E|Y|2]1/2.
Convergˆencia de vari´aveis aleat´orias
Convergˆ encia de v.a.
1. Seja{Xn,n≥1}uma sequˆencia de v.a.’s definidas no mesmo espa¸co de probabilidades, digamos (Ω,A,P).
2. A sequˆencia{Xn}converge em probabilidadepara a v.a. X se e somente se para todo >0 tivermos
n→∞lim P{|Xn−X|> }= 0, e indicamosXn
→P X.
3. A sequˆencia{Xn}converge quase certamentepara a v.a. X se e somente se existe um conjuntoD comP(D) = 0 e tal que
n→∞lim Xn(ω) =X(ω)<∞, para todo ω∈(Ω−N) e indicamos porXn
q.c.→ X.
Pedro A. Morettin MAE 5871: An´alise Espectral de S´eries Temporais
Convergˆencia de vari´aveis aleat´orias
Convergˆ encia de v.a.
1. O conceito de convergˆencia quase certamente (ou quase em toda a parte)
´
e mais forte do que o conceito de convegˆencia em probabilidade, e o seguinte resultado vale.
Proposi¸c˜ao. SeXn
q.c.→X valer, ent˜aoXn
→P X tamb´em vale.
2. A sequˆencia{Xn}converge para a v.a. X emm´edia quadr´atica(m.q.) ou emL2, se e somente se
n→∞lim E{|Xn−X|2}= 0.
A nota¸c˜ao ´eXn
m.q.→ X ouXn L2
→X.
3. Da desigualdade de Chebyshev segue imediatamente que Proposi¸c˜ao. SeXn
m.q.→ X, ent˜aoXn
→P X.
Convergˆencia de vari´aveis aleat´orias
Convergˆ encia de v.a.
1. Convergˆencia em m.q. e em probabilidade n˜ao implicam convergˆencia quase certamente, mas o seguinte resultado vale.
Proposi¸c˜ao. Se a sequˆencia{Xn}convergir em m.q. paraX (e logo em probabilidade), ent˜ao existe uma subsequˆenciank tal queXnk converge quase certamente paraX.
2. Convergˆencia quase certamente n˜ao implica convergˆencia em m´edia quadr´atica.
3. Dizemos queXn´edominadaporY se e somente se|Xn| ≤Y q.c. Ent˜ao,
´
e verdade que, seXn
→P X, ent˜aoXn
m.q.→ X, desde que{Xn}seja dominada por uma v.a. Y que seja de quadrado integr´avel.
4. Seja{Xn}uma sequˆencia de v.a.’s e{Fn}a sequˆencia correspondente de f.d.’s. Dizemos que{Xn}converge para a v.a. X em distribui¸c˜aose e somente se a sequˆenciaFn converge para a f.d. F deX nos pontos de continuidade deF.
Usaremos a nota¸c˜aoXn
→D X.
5. Esse ´e o conceito de convergˆencia “mais fraco”, pois convergˆencia em probabilidade implica em convergˆencia em distribui¸c˜ao.
Pedro A. Morettin MAE 5871: An´alise Espectral de S´eries Temporais
Convergˆencia de vari´aveis aleat´orias
Teorema de Slutsky e TLC
1. SeXnconverge em probabilidade paraX eYnconverge em probabilidade paraY, ent˜aoXn+Yn converge em probabilidade paraX+Y , e o mesmo vale para produtos.
2. Essas afirma¸c˜oes n˜ao valem para convergˆencia em distribui¸c˜ao.
3. Uma exce¸c˜ao ´e o Teorema de Slutsky: SeYn converge em probabilidade para uma constantec, eXnconverge em distribui¸c˜ao paraX, ent˜ao Xn+Yn converge em distribui¸c˜ao paraX+ceXnYn converge em distribui¸c˜ao paracX.
4. (TLC) Suponha que{X1, . . . ,Xn}seja uma sequˆencia i.i.d. de v.a. com E[Xi] =µe Var[Xi] =σ2<∞. Quandon→ ∞, as v.a. √
n(Xn−µ) converge em distribui¸c˜ao para uma v.a. normalN(0, σ2).
5. TLC mais gerais valem para v.a. independentes e suposi¸c˜oes sobre momentos: Lyapunov e Lindeberg-Feller.
Convergˆencia de vari´aveis aleat´orias
Referˆ encias
Morettin, P. A. (2014). Ondas e Ondaletas. Segunda edi¸c˜ao. S˜ao Paulo:
EDUSP.
Morettin, P. A. and Toloi, C. M. C. (2018). An´alise de S´eries Temporais.
Terceira Edi¸c˜ao. Blucher.
Percival, D. and Walden, A. (1993). Spectral Analysis for Physical Applications. Cambridge.
Pedro A. Morettin MAE 5871: An´alise Espectral de S´eries Temporais