Notas de aula - MAT5699 (2021) Produtos Tensoriais de Espaços de Banach

Notas de aula - MAT5699 (2021)

Produtos Tensoriais de Espaços de Banach

Vinícius Morelli Cortes

10 de junho de 2021

Notação

Todos os espaços vetoriais que vamos estudar estão denidos sobre o corpoK, que pode ser o corpoRdos números reais ou o corpoCdos números complexos.

O conjunto dos números naturais será denotado porN. Se X, Y, Z são espaços vetoriais, denotaremos por L(X, Z) o espaço vetorial de todas as aplicações lineares deX emZ e porB(X×Y, Z)o espaço vetorial de todas as aplicações bilineares deX×Y emZ. SeZ=K, estes espaços serão denotados porX^] (o dual algébrico deX) e B(X×Y), respectivamente.

SeX é um espaço normado, a bola unitária fechada deX será denotada por B_X. Para cadax∈X eε >0, a bola aberta e a bola fechada de centroxe raio εserão denotadas, respectivamente, porB(x;ε)eB(x;ε).

Dados espaços normadosX, Y, Z, denotaremos porL(X, Z)o espaço de to- das os operadores lineares contínuos deX emZ, munido da norma

kTk= sup

x∈BX

kT(x)k,

e porB(X×Y, Z)o espaço de todas as aplicações bilineares contínuas deX×Y emZ, com a norma

kBk= sup{kB(x, y)k:x∈B_X, y∈B_Y}.

Se Z = K, estes espaços serão denotados por X^∗ (o dual topológico de X) e B(X×Y), respectivamente. O subespaço fechado deL(X, Z)dos operadores lineares compactos será denotado porK(X, Z).

A inclusão canônica deX em seu bidual X^∗∗ será denotada porJX. Escre- veremos tambémJX(x) =bx, para cadax∈X.

A topologia fraca em X (respectivamente, a topologia fraca^∗ em X^∗) será denotada porw(respectivamente, por w^∗).

Escreveremos sign(0) = 1e sign(α) =|α|/α, seα∈K, α6= 0. Deste modo,

|sign(α)|= 1e sign(α)α=|α|, para todoα∈K.

DadosI um conjunto não vazio, 1 ≤p <+∞e X um espaço de Banach, denotaremos por `_p(I, X) o espaço de Banach de todas as famílias (x_i)_i∈I de elementos deX satisfazendo

X

i∈I

kxik^p= sup (

X

i∈F

kxik^p:∅6=F ⊂Inito )

<+∞,

munido da norma

k(xi)i∈Ikp=

"

X

i∈I

kxik^p

#_p¹ .

Analogamente,`_∞(I, X)denota o espaço de Banach de todas as famílias limi- tadas de elementos deX, munido da norma

k(x_i)_i∈Ik_∞= sup

i∈I

kx_ik.

Estes espaços serão denotados simplesmente por`p(I)quandoX =K. Escre- veremos ainda`p(N) =`p.

DadosK um espaço de Hausdor localmente compacto eX um espaço de Banach,C₀(K, X)é o espaço de Banach de todas as funções contínuas deKem X que se anulam no innito, com a norma

kfk_∞= sup

t∈K

kf(t)k.

SeX=K, escreveremos simplesmenteC0(K). SeK é compacto, escreveremos C(K, X) ou C(K). Destacamos o caso em que K é um conjunto não vazioI munido da topologia discreta; neste caso, escreveremos C0(I, X) = c0(I, X) e c0(N,K) = c0. Denotaremos por rcabv(K) o espaço de Banach de todas as medidas de Borelσ-aditivas, regulares e de variação limitada, munido da norma da variação total

kµk=|µ|(K).

Capítulo 1

Denição algébrica e primeiras propriedades

Neste capítulo, vamos construir o produto tensorial de dois espaços vetoriais e apresentar algumas de suas propriedades algébricas que usaremos no decorrer do trabalho.

Dadosx∈X ey∈Y, denotamos porx⊗y o funcional linear emB(X×Y) denido por

(x⊗y)(B) =B(x, y),∀B∈B(X×Y).

O funcionalx⊗y é chamado de tensor elementar.

Denição 1.1. SejamX, Y espaços vetoriais. O produto tensorial deX eY, denotado porX⊗Y, é o subespaço vetorial deB(X×Y)^]gerado pelo conjunto {x⊗y:x∈X, y∈Y}.

Proposição 1.2. SejamX, Y espaços vetoriais. A aplicaçãoΠ :X×Y →X⊗Y dada por

Π(x, y) =x⊗y,∀(x, y)∈X×Y, é bilinear.

Demonstração. Sejam x, x₁, x₂ ∈ X, y, y₁, y₂ ∈ Y e α ∈ K dados. Para cada B∈B(X×Y), temos

((x1+x2)⊗y)(B) =B(x1+x2, y) =B(x1, y) +B(x2, y)

= (x1⊗y)(B) + (x2⊗y)(B) e, analogamente,

(x⊗(y₁+y₂))(B) = (x⊗y₁)(B) + (x⊗y₂)(B).

Além disso,

(α(x⊗y))(B) =α(x⊗y)(B) =αB(x, y) =B(αx, y) = ((αx)⊗y)(B)

=B(x, αy) = (x⊗(αy))(B).

Isto prova queΠé bilinear.

Decorre da proposição anterior que todou∈X⊗Y pode ser escrito da forma u=

n

X

i=1

xi⊗yi,

ondex1, . . . , xn ∈Xey1, . . . , yn∈Y. Em geral, esta representação não é única.

No entanto, para cadaB ∈B(X×Y), o valor de uemB, u(B) =

n

X

i=1

(x_i⊗y_i)(B) =

n

X

i=1

B(x_i, y_i), não depende da representação deu.

Como saber se _n X

i=1

x_i⊗y_i e

m

X

j=1

x⁰_j⊗y⁰_j

são duas representações de um mesmo tensor u ∈ X⊗Y? Esta pergunta se reduz a determinar sob que condições

n

X

i=1

x_i⊗y_i

é uma representação do tensor nulo. Uma maneira eciente de fazer isso é dada pela proposição a seguir.

Denição 1.3. SejamX um espaço vetorial eS um subconjunto deX^]. Dize- mos queS separa os pontos de X se para todo x∈X temos

ϕ(x) = 0,∀ϕ∈S =⇒ x= 0.

Proposição 1.4. SejamX, Y espaços vetoriais eS⊂X^], R⊂Y^]subconjuntos que separam os pontos deX e deY, respectivamente. Dado

u=

n

X

i=1

x_i⊗y_i∈X⊗Y,

são equivalentes:

(i) u= 0; (ii) Pn

i=1ϕ(xi)ψ(yi) = 0, para todo ϕ∈S e todo ψ∈R; (iii) Pn

i=1ϕ(xi)yi= 0, para todo ϕ∈S; (iv) Pn

i=1ψ(yi)xi = 0, para todoψ∈R.

Demonstração. (i) =⇒ (ii): Dados ϕ∈S eψ∈R, sejaB ∈B(X×Y)dada por

B(x, y) =ϕ(x)ψ(y),∀(x, y)∈X×Y.

Então

n

X

i=1

ϕ(xi)ψ(yi) =

n

X

i=1

B(xi, yi) =

n

X

i=1

(xi⊗yi)(B) =u(B) = 0.

(ii) =⇒ (iii): Para cadaϕ∈S eψ∈R, temos ψ

n

X

i=1

ϕ(x_i)y_i

!

=

n

X

i=1

ϕ(x_i)ψ(y_i) = 0.

ComoRsepara os pontos deY, obtemos

n

X

i=1

ϕ(xi)yi= 0.

(iii) =⇒ (iv): De forma análoga à implicação anterior, dados ϕ ∈ S e ψ∈R, temos

ϕ

n

X

i=1

ψ(yi)xi

!

=

n

X

i=1

ϕ(xi)ψ(yi) =ψ

n

X

i=1

ϕ(xi)yi

!

| {z }

=0

= 0.

ComoS separa os pontos deX, concluímos que

n

X

i=1

ψ(yi)xi= 0.

(iv) =⇒ (i): Suponhamos que

n

X

i=1

ψ(yi)xi= 0,∀ψ∈R.

Armamos primeiramente que

n

X

i=1

ϕ(xi)yi= 0,∀ϕ∈X^]. (1.1) Com efeito, dadosϕ∈X^]eψ∈R, temos

ψ

n

X

i=1

ϕ(xi)yi

!

=

n

X

i=1

ϕ(xi)ψ(yi) =ϕ

n

X

i=1

ψ(yi)xi

!

| {z }

=0

= 0.

ComoRsepara os pontos deY, obtemos (1.1). Armação provada.

Notemos, agora, que o resultado é imediato se x1 = . . . = xn = 0 ou y1 = . . . = yn = 0. Podemos supor, portanto, que os subespaços E = span{x1, . . . , xn} ⊂ X e F = span{y1, . . . , yn} ⊂ Y são não triviais. Sejam {e1, . . . , er}e{f1, . . . , fs} bases deE e deF, respectivamente. Tomemos tam- bém subespaçosGdeX eH deY tais que

X=E⊕G e Y =F⊕H.

Fixemos B ∈B(X ×Y). Dados j ∈ {1, . . . , r} e k ∈ {1, . . . , s}, denimos os funcionais linearesϕ_j∈X^]eψ_(j,k)∈Y^] por

ϕj r

X

l=1

αlel+g

!

=αj

e

ψ_(j,k)

s

X

m=1

β_mf_m+h

!

=β_kB(e_j, f_k),

ondeα1, . . . , αr, β1, . . . , βm∈K, g∈Geh∈H. Consideremos a forma bilinear B⁰∈B(X×Y)dada por

B⁰(x, y) =

r

X

j=1 s

X

k=1

ϕ_j(x)ψ_(j,k)(y),∀(x, y)∈X×Y.

Observamos queB eB⁰ coincidem emE×F: B(x, y) =

r

X

j=1 s

X

k=1

αjβkB(ej, fk) =

r

X

j=1 s

X

k=1

ϕj(x)ψ_(j,k)(y) =B⁰(x, y), para todox=Pr

j=1α_je_j ∈E ey =Ps

k=1β_kf_k ∈F. Como cada par(x_i, y_i) pertence aE×F, concluímos que

u(B) =

n

X

i=1

B(xi, yi) =

n

X

i=1

B⁰(xi, yi) =

n

X

i=1 r

X

j=1 s

X

k=1

ϕj(xi)ψ_(j,k)(yi)

=

r

X

j=1 s

X

k=1 n

X

i=1

ϕj(xi)ψ_(j,k)(yi) =

r

X

j=1 s

X

k=1

ψ_(j,k)

n

X

i=1

ϕj(xi)yi

!

| {z }

=0

= 0,

onde a última igualdade decorre de (1.1). Isto prova que u(B) = 0,∀B∈B(X×Y), isto é,u= 0, como queríamos.

Dado x ∈ X, seja xb ∈ X^]] dado por x(ϕ) =b ϕ(x), para todo ϕ ∈ X^]. Como o conjunto{bx:x∈X} separa os pontos deX^], obtemos o seguinte caso particular importante da Proposição 1.4.

Corolário 1.5. SejamX, Y espaços vetoriais e u=

n

X

i=1

ϕ_i⊗ψ_i∈X^]⊗Y^].

São equivalentes:

(i) u= 0; (ii) Pn

i=1ϕ_i(x)ψ_i(y) = 0, para todo x∈X e todo y∈Y; (iii) Pn

i=1ϕi(x)ψi = 0, para todox∈X; (iv) Pn

i=1ψi(y)ϕi= 0, para todoy ∈Y.

Demonstração. Consequência imediata da Proposição 1.4.

Linearização de aplicações bilineares

O objetivo desta seção é relacionar as aplicações bilineares deX×Y emZ com as aplicações lineares deX⊗Y emZ. Veremos que todaB∈B(X×Y, Z)pode ser escrita como a composição de uma únicaB˜ ∈L(X⊗Y, Z)com a aplicação bilinear canônicaΠdada na Proposição 1.2.

Proposição 1.6. SejamX, Y, Zespaços vetoriais. Para cada aplicação bilinear B:X×Y →Z, existe uma única aplicação linearB˜ :X⊗Y →Z satisfazendo

B(x, y) = ˜B(x⊗y),∀(x, y)∈X×Y.

A correspondência

B(X×Y, Z)3B7→B˜∈L(X⊗Y, Z)

dene um isomorsmo de espaços vetoriais deB(X×Y, Z)sobre L(X⊗Y, Z).

X×Y Z

X⊗Y

B

Π B˜

Demonstração. DadaB ∈B(X×Y, Z), consideremosB˜ :X⊗Y →Zdada por B˜

n

X

i=1

xi⊗yi

!

=

n

X

i=1

B(xi, yi).

Notemos queB˜ está bem denida: se u=

n

X

i=1

xi⊗yi= 0,

então u(A) = 0, para toda A ∈ B(X ×Y). Em particular, para cada η ∈Z^] temos

η◦B∈B(X×Y) =⇒ 0 =u(η◦B) =η

n

X

i=1

B(x_i, y_i)

!

e, portanto,

n

X

i=1

B(x_i, y_i) = 0.

Isto prova queB˜ está bem denida. É claro queB˜ é linear e B(x˜ ⊗y) =B(x, y),∀(x, y)∈X×Y.

Agora, sejaI:B(X×Y, Z)→L(X⊗Y, Z)dada por I(B) = ˜B,∀B∈B(X×Y, Z).

DadosB1, B2∈B(X×Y, Z)eα∈K, temos I(B1+αB2)(u) =

n

X

i=1

(B1+αB2)(xi, yi)

=

n

X

i=1

B₁(x_i, y_i) +α

n

X

i=1

B₂(x_i, y_i)

=I(B1)(u) +αI(B2)(u), para todou=Pn

i=1xi⊗yi∈X⊗Y. Logo,I é linear. Além disso, como I(B) = 0 =⇒ I(B)(x⊗y) = 0,∀x∈X,∀y∈Y

=⇒ B(x, y) = 0,∀x∈X,∀y∈Y =⇒ B= 0,

I é injetora. Finalmente, dadaT ∈L(X⊗Y, Z), a aplicaçãoB₀:X×Y →Z dada por

B0(x, y) =T(x⊗y),∀(x, y)∈X×Y,

é bilinear e é claro queI(B0) =T. A demonstração está completa.

A aplicaçãoB˜é chamada de linearização deB. Esta propriedade caracteriza o produto tensorial.

Proposição 1.7. Sejam X, Y espaços vetoriais. Suponhamos que existam um espaço vetorial W e uma aplicação bilinear B : X ×Y → W com a seguinte propriedade: dados Z um espaço vetorial e A : X ×Y → Z uma aplicação bilinear, existe uma única aplicação linearL:W →Z satisfazendo A=L◦B. Então existe um isomorsmoJ :X⊗Y →W tal queJ(x⊗y) =B(x, y), para todo(x, y)∈X×Y.

X×Y W

Z

B

A L

Demonstração. Armamos primeiramente que a imagem deB gera W. Com efeito, por hipótese, paraZ =span(Im(B))eA=Bexiste uma única aplicação linearL:W →span(Im(B))tal queB =L◦B. Analogamente, paraZ =W eA=B, existe uma única aplicação linear L⁰ : W →W tal que B =L⁰◦B. Como as aplicaçõesL, L⁰,IdW ∈L(W, W)satisfazem

B=L◦B=L⁰◦B=IdW ◦B, por unicidade concluímos que

L=L⁰=IdW. Isto implica que

W =Im(IdW) =Im(L)⊂span(Im(B))⊂W.

Armação provada.

Agora, tomandoZ =X⊗Y eA= Π∈B(X×Y, X⊗Y)a aplicação bilinear denida na Proposição 1.2, obtemos uma aplicação linear LΠ : W → X⊗Y satsifazendo

x⊗y= Π(x, y) = (L_Π◦B)(x, y),∀(x, y)∈X×Y.

Por outro lado, de acordo com a Proposição 1.6, existe uma aplicação linear B˜ :X⊗Y →W tal que

B(x˜ ⊗y) =B(x, y),∀(x, y)∈X×Y. (1.2) Mostremos queB˜ é o isomorsmo procurado. Para cada u =Pn

i=1xi⊗yi ∈ X⊗Y, temos

(LΠ◦B)(u) =˜

n

X

i=1

(LΠ◦B)(x˜ i⊗yi) =

n

X

i=1

(LΠ◦B)(xi, yi) =

n

X

i=1

xi⊗yi=u e, portanto, L_Π◦B˜ =IdX⊗Y. Em particular, L_Π◦B˜ é injetora. Além disso, decorre de (1.2) que

Im(B)⊂Im( ˜B) =⇒ W =span(Im(B))⊂Im( ˜B)⊂W.

Logo,B˜ é sobrejetora. Isto prova queB˜ é um isomorsmo deX⊗Y sobreW, como desejado.

Produto tensorial de aplicações lineares

Duas aplicações linearesT :X→Z eS:Y →W induzem uma aplicação linear deX⊗Y emZ⊗W da seguinte maneira.

Proposição 1.8. SejamX, Y, Z, W espaços vetoriais eT :X →Z, S:Y →W aplicações lineares. Então existe uma única aplicação linear

T⊗S :X⊗Y →Z⊗W satisfazendo

(T⊗S)(x⊗y) = (T(x))⊗(S(y)),∀x∈X,∀y∈Y.

Demonstração. Basta considerar a aplicação bilinearB:X×Y →Z⊗W dada por

B(x, y) = (T(x))⊗(S(y)),∀(x, y)∈X×Y, e aplicar a Proposição 1.6.

A aplicação T ⊗S pode herdar algumas propriedades de T e S (veja o Exercício 1.9). Veremos alguns exemplos dessa situação nos Capítulos 2 e 3.

Tensores como aplicações lineares

Nesta última seção, veremos como um tensoru∈X⊗Y pode ser identicado com uma aplicação linear de X^] em Y (ou de Y^] em X). Esta ideia será explorada no Capítulo 3 para introduzir a norma injetiva emX⊗Y.

Cada u = Pn

i=1xi⊗yi ∈ X ⊗Y induz duas aplicações lineares de posto nito, que denotaremos porLu:X^]→Y eRu:Y^]→X. Estas aplicações são dadas por

Lu(ϕ) =

n

X

i=1

ϕ(xi)yi,∀ϕ∈X^], e, analogamente,

Ru(ψ) =

n

X

i=1

ψ(yi)xi,∀ψ∈Y^].

De acordo com a Proposição 1.4, as aplicaçõesLu e Ru não dependem da re- presentação escolhida deue, além disso, as funções

X⊗Y 3u7→L_u∈L(X^], Y) e

X⊗Y 3u7→Ru∈L(Y^], X) são aplicações lineares injetoras.

Quando algum dos espaços envolvidos é um dual, temos as seguintes iden- ticações mais simples: cada u = Pn

i=1ϕi⊗yi ∈ X^]⊗Y induz a aplicação L⁰_u:X →Y denida por

L⁰_u(x) =

n

X

i=1

ϕi(x)yi,∀x∈X.

De maneira análoga, cadav=Pn

i=1xi⊗ψi∈X⊗Y^]induzR_v⁰ :Y →X dada por

R⁰_v(y) =

n

X

i=1

ψi(y)xi,∀y∈Y.

Exercícios

Exercício 1.1. Mostre quex⊗y= 0se, e somente se,x= 0ouy= 0. Exercício 1.2. Mostre que x⊗0 = 0⊗y = 0, para todo x ∈ X e y ∈ Y. Conclua que cada u ∈ X ⊗Y admite representação única se, e somente se, X=Y ={0}.

Exercício 1.3. Mostre que seE, Fsão subconjuntos linearmente independentes de X e de Y, respectivamente, então {x⊗y : x ∈ E, y ∈ F} é linearmente independente em X ⊗Y. Conclua que se BX,BY são bases de X e de Y, respectivamente, então{x⊗y:x∈ BX, y∈ BY}é base deX⊗Y.

Exercício 1.4. Mostre que, para cada n ≥ 1, Kⁿ⊗X e Xⁿ são isomorfos.

(Sugestão: use o Exercício 1.3 para provar que{ei⊗x: 1≤i≤n, x∈ B}é uma base deK⊗X, onde {e1, . . . , en} é a base canônica de Kⁿ eB é uma base de X. Conclua queKⁿ⊗X eXⁿ têm a mesma dimensão. Outra opção é mostrar que a linearização da aplicação bilinear

Kⁿ×X 3(α₁, . . . , α_n, x)7→(α₁x, . . . , α_nx)∈Xⁿ é um isomorsmo.)

Exercício 1.5. Mostre que a transposição T :X⊗Y →Y ⊗X dada por

T

n

X

i=1

xi⊗yi

!

=

n

X

i=1

yi⊗xi,∀u=

n

X

i=1

xi⊗yi∈X⊗Y,

é um isomorsmo deX⊗Y sobreY ⊗X.

Exercício 1.6. Mostre que(X⊗Y)⊗Z é isomorfo a X⊗(Y ⊗Z).

Exercício 1.7. SejamX, Y, Zespaços vetoriais,B:X×Y →Z uma aplicação linear eB˜ :X⊗Y →Z sua linearização. Mostre que span(Im(B)) =Im( ˜B). Exercício 1.8. Usando a notação da demonstração da Proposição 1.7, mostre queLΠ= ( ˜B)⁻¹.

Exercício 1.9. SejamX, Y, Z, W espaços vetoriais e T :X →Z, S : Y →W aplicações lineares. Mostre que seT eS são ambas injetoras (respectivamente, sobrejetoras), então T ⊗S também é injetora (respectivamente, sobrejetora).

Conclua que seX é isomorfo a Z eY é isomorfo aW, entãoX⊗Y é isomorfo aZ⊗W.

Exercício 1.10. Usando a notação da seção anterior, mostre que a função X⊗Y 3u7→Lu∈L(X^], Y)

está bem denida e é uma aplicação linear injetora.

Exercício 1.11. Dadou∈X⊗Y não nulo, o ranque deué o menor número natural n ≥ 1 tal que existe uma representação de u da forma Pn

i=1x_i⊗y_i. Mostre que o ranque deucoincide com o posto deL_u (e deR_u).

Exercício 1.12. O objetivo deste exercício é identicar o produto tensorial com espaços de aplicações bilineares.

(a) Mostre que a aplicaçãoB1:X×Y →B(X^]×Y^])dada por

B1(x, y)(ϕ, ψ) =ϕ(x)ψ(y),∀(x, y)∈X×Y,∀(ϕ, ψ)∈X^]×Y^], é bilinear. Mostre também que sua linearizaçãoB˜1∈L(X⊗Y, B(X^]×Y^])) é injetora.

(b) Faça o mesmo para a aplicaçãoB2:X^]×Y^]→B(X×Y)dada por B2(ϕ, ψ)(x, y) =ϕ(x)ψ(y),∀(x, y)∈X×Y,∀(ϕ, ψ)∈X^]×Y^], e sua linearização.

Exercício 1.13. O produto tensorial simétricoX⊗_sX é o subespaço deX⊗X gerado pelos tensores da forma x⊗sy = (x⊗y+y⊗x)/2. Analogamente, o produto tensorial alternado X ⊗aX é o subespaço de X ⊗X gerado pelos tensores da formax⊗ay= (x⊗y−y⊗x)/2.

(a) Dizemos que uma aplicação bilinearB:X×X→Y é simétrica seB(x, y) = B(y, x), para todox, y∈X. Mostre queB ∈B(X×X, Y)é simétrica se, e somente se, existe uma única aplicação linearB˜:X⊗sX →Y satisfazendo

T(x⊗sy) =B(x, y),∀x, y∈X.

(b) Mostre queX⊗X = (X⊗sX)⊕(X⊗aX).

Capítulo 2

A norma projetiva

Como podemos introduzir uma norma emX ⊗Y a partir das normas deX e deY? Nosso objetivo, neste capítulo, é estudar a norma natural mais simples denida no produto tensorial, chamada de norma projetiva.

SejamX, Y espaços de Banach. É razoável exigir que uma norma emX⊗Y satisfaça

kx⊗yk ≤ kxkkyk,∀x∈X,∀y∈Y.

Por outro lado, dado

u=

n

X

i=1

xi⊗yi∈X⊗Y,

pela desigualdade triangular devemos ter kuk ≤

n

X

i=1

kxi⊗yik.

Combinando estas duas exigências, obtemos kuk ≤

n

X

i=1

kxikkyik.

Esta desigualdade deve permanecer válida para todas as representações de u. Deste modo,

kuk ≤inf ( _n

X

i=1

kxikkyik:n≥1,(xi)ⁿ_i=1⊂X,(yi)ⁿ_i=1⊂X, u=

n

X

i=1

xi⊗yi

) .

O ínmo acima é o maior candidato possível a uma norma natural emX⊗Y. Denição 2.1. SejamX, Y espaços de Banach. A função

k · kπ:X⊗Y →[0,+∞)

dada por kuk_π= inf

( _n X

i=1

kx_ikky_ik:n≥1,(x_i)ⁿ_i=1⊂X,(y_i)ⁿ_i=1⊂X, u=

n

X

i=1

x_i⊗y_i )

,

para todou∈X⊗Y, é chamada de norma projetiva em X⊗Y. Quando for necessário explicitar os espaçosX eY, escreveremos

kuk_π=π_X,Y(u).

Proposição 2.2. DadosX, Y espaços de Banach,k·k_πé uma norma emX⊗Y. Além disso,

kx⊗ykπ =kxkkyk,∀x∈X,∀y∈Y.

Demonstração. Usando a representação 0⊗0 do tensor nulo, concluímos que k0kπ= 0. Reciprocamente, suponhamos queu∈X⊗Y seja tal quekukπ = 0. Fixemos(ϕ, ψ)∈X^∗×Y^∗ e sejaB∈ B(X×Y)dada por

B(x, y) =ϕ(x)ψ(y),∀(x, y)∈X×Y.

Dadoε >0, pela denição de ínmo,uadmite uma representação u=

n

X

i=1

xi⊗yi

satisfazendo _n

X

i=1

kxikkyik<kukπ+ε=ε.

Então temos

|u(B)|=

n

X

i=1

ϕ(xi)ψ(yi)

≤

n

X

i=1

kϕ(xi)kkψ(yi)k ≤εkϕkkψk.

A arbitrariedade deεimplica queu(B) = 0. Agora, seu=Pm

j=1x⁰_j⊗y_j⁰ é uma representação qualquer deu, temos

m

X

j=1

ϕ(x⁰_j)ψ(y_j⁰) =u(B) = 0.

Pelo Teorema de Hahn-Banach ([7], Teorema 2.2, pg. 55), os duais X^∗ eY^∗ separam os pontos deX e deY, respectivamente. Aplicando a Proposição 1.4, concluímos queu= 0.

Para mostrar quek · k_π é homogênea, sejamu∈X⊗Y,α∈Knão nulo e u=

n

X

i=1

xi⊗yi

uma representação deu. Então αu=

n

X

i=1

(αxi)⊗yi

é uma representação deαue, portanto, kαukπ≤

n

X

i=1

kαxikkyik=|α|

n

X

i=1

kxikkyik.

Como a desigualdade acima é satisfeita para qualquer representação deu, con- cluímos que

kαukπ≤ |α|kukπ. (2.1) Agora, comou= ¹_α(αu), decorre de (2.1) que

kukπ= 1 α(αu)

_π

≤ 1

|α|kαukπ =⇒ kαukπ ≥ |α|kukπ. Isto prova que

kαukπ=|α|kukπ.

Mostremos, agora, a desigualdade triangular. Dados u, v∈X⊗Y eε >0, podemos tomar representações

u=

n

X

i=1

x_i⊗y_i e v=

m

X

j=1

x⁰_j⊗y_j⁰

deue devtais que

n

X

i=1

kxikkyik<kukπ+ε 2

e _m

X

j=1

kx⁰_jkky⁰_jk<kvkπ+ε 2. Assim,

u+v=

n

X

i=1

xi⊗yi+

m

X

j=1

x⁰_j⊗y_j⁰

é uma representação deu+v que satisfaz ku+vkπ≤

n

X

i=1

kxikkyik+

m

X

j=1

kx⁰_jkky⁰_jk<kukπ+kvkπ+ε.

Isto implica que

ku+vkπ≤ kukπ+kvkπ

e, portanto,k · kπ é uma norma.

Finalmente, sex∈X ey∈Y, então

kx⊗ykπ≤ kxkkyk,

por denição. Por outro lado, pelo Teorema de Hahn-Banach, existemϕ∈BX^∗

eψ∈BY^∗ tais que

ϕ(x) =kxk e ψ(y) =kyk.

SejaB∈ B(X×Y)dada por

B(z, w) =ϕ(z)ψ(w),∀(z, w)∈X×Y,

e sejaB˜ :X⊗Y →Ka linearização deB (Proposição 1.6). Notemos queB˜ é k · kπ-contínuo, pois

|B(u)| ≤˜

n

X

i=1

|B(x˜ _i⊗y_i)|=

n

X

i=1

|Bϕ,ψ(x_i, y_i)| ≤

n

X

i=1

kxikkyik,

para todou=Pn

i=1x_i⊗y_i∈X⊗Y. Isto implica que

|B(u)| ≤ kuk˜ π,∀u∈X⊗Y e, em particular,

kx⊗yk_π≥ |B(x˜ ⊗y)|=|ϕ(x)||ψ(y)|=kxkkyk, como queríamos.

O espaçoX⊗Y munido da normak · kπ será denotado porX⊗πY. SeX eY são espaços de Banach de dimensão innita, entãoX⊗_πY não é completo (veja o Exercício 2.24). Denimos, então:

Denição 2.3. SejamX, Y espaços de Banach. O completamento deX⊗πY é chamado de produto tensorial projetivo deX eY e é denotado porX⊗bπY.

Duas aplicações lineares T : X → Z, S : Y → W induzem uma única aplicação linearT⊗S:X⊗Y →Z⊗W satisfazendo

(T⊗S)(x⊗y) = (T(x))⊗(S(y)),∀x∈X,∀y∈Y.

Veremos a seguir queT⊗S é um operador linear contínuo em relação à norma projetiva.

Proposição 2.4. Dados espaços de Banach X, Y, Z, W e operadores lineares contínuosT :X →Z, S:Y →W, existe um único operador linear contínuo

T⊗πS:X⊗bπY →Z⊗bπW satisfazendo

(T⊗πS)(x⊗y) = (T(x))⊗(S(y)),∀x∈X,∀y∈Y.

Além disso,

kT ⊗πSk=kTkkSk.

Demonstração. De acordo com a Proposição 1.8, existe uma única aplicação linearT⊗S:X⊗Y →Z⊗W tal que

(T⊗S)(x⊗y) = (T(x))⊗(S(y)),∀x∈X,∀y∈Y.

Vamos mostrar que T ⊗S é πX,Y-πZ,W-contínua. Dado u = Pn

i=1xi⊗yi ∈ X⊗Y, temos

k(T ⊗S)(u)kπ=

n

X

i=1

(T(xi))⊗(S(yi)) π

≤ kTkkSk

n

X

i=1

kxikkyik.

Como a representação deué arbitrária, obtemos

k(T⊗S)(u)kπ≤ kTkkSkkukπ,∀u∈X⊗Y.

Isto prova queT⊗S é contínua e

kT ⊗Sk ≤ kTkkSk.

Por outro lado, para cada0< δ <1existemx∈BX ey∈BY tais que kT(x)k ≥(1−δ)kTk e kS(y)k ≥(1−δ)kSk.

Comokx⊗ykπ =kxkkyk ≤1, concluímos que

kT⊗Sk ≥ k(T⊗S)(x⊗y)kπ =kT(x)⊗S(y)kπ

=kT(x)kkS(y)k ≥(1−δ)²kTkkSk.

Decorre da arbitrariedade deδque

kT ⊗Sk ≥ kTkkSk.

Para encerrar a demonstração, basta tomarT⊗πScomo sendo a única extensão linear e contínua (de mesma norma) deT⊗SaX⊗bπY (veja o Exercício 2.2).

Sejam X, Y espaços de Banach e Z um subespaço fechado de Y. Embora X⊗Z seja um subespaço vetorial de X⊗Y, a norma πX,Z não é, em geral, equivalente à restrição deπX,Y aX⊗Z. Dadou∈X⊗Z, para calcularπX,Z(u) tomamos o ínmo sobre o conjunto de todas as representações deucomo somas de tensores elementaresx⊗z, comx∈X ez∈Z. Já a normaπX,Y(u)envolve todas as representações deuemX⊗Y, de modo que

πX,Y(u)≤πX,Z(u). (2.2)

Isto motiva a seguinte denição:

Denição 2.5. SejaX um espaço de Banach. Dizemos que o produto tensorial projetivo comX respeita subespaços isomorcamente se dadosY um espaço de Banach eZ um subespaço fechado deX,πX,Z é equivalente à restrição deπX,Y

a X ⊗Z. Analogamente, dizemos que o produto tensorial projetivo com X respeita subespaços isometricamente se dadosY um espaço de Banach e Z um subespaço fechado deX,πX,Z coincide com a restrição deπX,Y aX⊗Z.

Em outras palavras, o produto tensorial projetivo comXrespeita subespaços isomorcamente (respectivamente, isometricamente) se a identidade

Id:X⊗Z→X⊗Z

é um isomorsmo (uma isometria) de(X⊗Z, π_X,Z) sobre(X ⊗Z, π_X,Y). In- vestigaremos esta propriedade mais adiante, usando uma descrição conveniente do dual deX⊗b_πY. Por ora, observamos um resultado positivo para subespaços complementados.

Proposição 2.6. SejamX, Y espaços de Banach,Z, W subespaços fechados de X e de Y, respectivamente, e P :X →X, Q:Y →Y projeções sobre Z eW. Então:

(i) A normaπ_Z,W é equivalente à restrição deπ_X,Y aZ⊗W. Em particular, Z⊗bπW é isomorfo ao subespaço

F= (Z⊗W)^πX,Y deX⊗bπY;

(ii) O operadorP⊗πQé uma projeção deX⊗bπY sobreF.

Demonstração. (i) Em virtude de (2.2), é suciente mostrar que existe uma constanteC >0 tal que

πZ,Y(u)≤CπX,Y(u),∀u∈Z⊗W.

Dadou∈Z⊗W, xemos representações u=

n

X

i=1

xi⊗yi=

m

X

j=1

zj⊗wj

deuemX⊗Y e emZ⊗W, respectivamente. ComoP eQsão projeções sobre Z eW, temos

(P⊗Q)(u) =

m

X

j=1

P(zj)⊗Q(wj) =

m

X

j=1

zj⊗wj =u.

Isto implica que

(P⊗Q)(u) =

n

X

i=1

P(x_i)⊗Q(y_i) é, também, representação deuemZ⊗W. Logo,

πZ,W(u)≤

n

X

i=1

kP(xi)kkQ(yi)k ≤ kPkkQk

n

X

i=1

kxikkyik.

Concluímos que

πZ,W(u)≤ kPkkQkπX,Y(u),

como queríamos. Deste modo, a identidade Id:Z⊗W →Z⊗W é um isomor- smo de(Z⊗W, πZ,W)sobre(Z⊗W, πX,Y)e, pelo Exercício 2.2, sua extensão é um isomorsmo deZ⊗bπW sobre F.

(ii) Já vimos que

(P⊗Q)(u) =u,∀u∈Z⊗W.

Como a imagem deP ⊗Q é o subespaçoZ ⊗W, a imagem de sua extensão P⊗πQestá contida emF. Por outro lado, dadosv∈Fe(vn)_n≥1uma sequência emZ⊗W que converge (na normaπX,Y) parav, temos

(P⊗πQ)(v) = lim

n→+∞(P⊗πQ)(v_n) = lim

n→+∞(P⊗Q)(v_n) = lim

n→+∞v_n=v.

Isto prova queP⊗_πQé projeção sobreF.

O próximo resultado apresenta outra propriedade herdada pelo operador T⊗πS.

Denição 2.7. SejamX, Y espaços normados eT :X→Y um operador linear contínuo. Dizemos queT é um operador quociente se Im(T) =Y e

kyk= inf{kxk:x∈X, T(x) =y}.

Proposição 2.8. Dados espaços de BanachX, Y, Z, W e operadores quociente T : X → Z, S : Y → W, o operador T ⊗πS : X⊗bπY → Z⊗bπW também é quociente.

Demonstração. De acordo com o Exercício 2.2, basta provar que T⊗S:X⊗πY →Z⊗πW

é um operador quociente. Dadosv∈Z⊗W eε >0, existe uma representação v=

n

X

i=1

z_i⊗w_i

devsatisfazendo _n X

i=1

kzikkwik<kvkπ+ε.

ComoT eS são operadores quociente, existemx₁, . . . , x_n ∈X ey₁, . . . , y_n∈Y tais queT(x_i) =z_i, S(y_i) =w_i,

kxik ≤(1 +ε)kzik e kyik ≤(1 +ε)kwik, para todoi∈ {1, . . . , n}. Escrevendo

uε=

n

X

i=1

xi⊗yi,

temos(T⊗S)(uε) =v e kuεkπ≤

n

X

i=1

kxikkyik ≤

n

X

i=1

(1 +ε)²kzikkwik<(1 +ε)²(kvkπ+ε).

Isto implica queT⊗S é sobrejetor e, além disso, inf{kukπ:u∈X⊗Y,(T⊗S)(u) =v} ≤ inf

ε>0(1 +ε)²(kvkπ+ε) =kvkπ. Por outro lado, para todou∈X⊗Y tal que(T⊗S)(u) =v temos

kvkπ=k(T⊗S)(u)kπ≤ kTkkSkkukπ=kukπ, (2.3) poisT eS têm norma igual a 1.

O espaço `

(I ) ⊗ b

X

Nosso próximo objetivo é mostrar que o produto tensorial projetivo`₁⊗bπX é li- nearmente isométrico a um espaço de Banach clássico de famílias absolutamente somáveis. Como aplicação, vamos obter uma representação geral dos elementos de um produto tensorial projetivo arbitrário.

Na demonstração a seguir, por conveniência, vamos convencionar a soma sobre um conjunto vazio de índices como valendo zero.

Proposição 2.9. DadosX um espaço de Banach e I um conjunto não vazio,

`1(I)⊗bπX e`1(I, X) são linearmente isométricos.

Demonstração. Para cadax∈X ea= (ai)_i∈I ∈`1(I), temos X

i∈I

kaixk=kak1kxk<+∞ =⇒ (aix)i∈I ∈`1(I, X).

Assim, ca bem denida a aplicação bilinearB :`<sub>1</sub>(I)×X→`₁(I, X)dada por B(a, x) = (a_ix)_i∈I,∀a= (a_i)_i∈I ∈`₁(I),∀x∈X.

Seja B˜ : `<sub>1</sub>(I)⊗X →`₁(I, X) a linearização de B. Vamos mostrar que B˜ é uma isometria de`<sub>1</sub>⊗<sub>π</sub>X sobre um subespaço denso de`₁(I, X).

Dadou=Pm

j=1aj⊗xj∈`1(I)⊗X, ondeaj = (a^j_i)_i∈I, temos kB(u)k˜ 1=X

i∈I

m

X

j=1

a^j_ixj

≤X

i∈I m

X

j=1

|a^j_i|kxjk=

m

X

j=1

X

i∈I

|a^j_i|kxjk=

m

X

j=1

kajk1kxjk.

Como a desigualdade acima é válida para qualquer representação deu, obtemos kB(u)k˜ 1≤ kukπ.

Por outro lado, armamos que X

i∈I

ei⊗





m

X

j=1

a^j_ixj





converge parauem`1⊗πX, onde(ei)<sub>i∈I</sub> é a base canônica de `1(I). De fato, dadoε >0, para cadaj ∈ {1, . . . , m}existe um subconjunto nito e não vazio Fj ⊂I tal que

X

i∈G

|a^j_i|< ε m(kxjk+ 1),

para todo subconjunto nitoGdeI\F_j. SejaF₀=F₁∪. . .∪F_m. SeF é um subconjunto nito deI que contémF0, então

a_j−X

i∈F

a^j_ie_i 1

= sup (

X

i∈G

|a^j_i|:∅6=G⊂(I\F)nito )

≤ ε

m(kxjk+ 1), para todoj∈ {1, . . . , m}e, portanto,

u−X

i∈F

e_i⊗





m

X

j=1

a^j_ix_j



 _π

=

m

X

j=1

a_j⊗x_j−

m

X

j=1

X

i∈F

a^j_ie_i

!

⊗x_{j π}

=

m

X

j=1

aj−X

i∈F

a^j_iei

!

⊗xj

_π

≤

m

X

j=1

aj−X

i∈F

a^j_iei

1

kxjk

≤

m

X

j=1

ε m

kxjk kxjk+ 1 < ε.

Armação provada. Em particular, kukπ ≤X

i∈I

keik1

m

X

j=1

a^j_ixj

=kB(u)k˜ 1.

Isto prova queB˜ é uma isometria de`<sub>1</sub>(I)⊗<sub>π</sub>X sobre sua imagem. Finalmente, notemos que o subespaçoZdas famílias quase nulas em`₁(I, X)é denso. Como

B˜





m

X

j=1

ei_j ⊗xj



= (yi)_i∈I,

onde y_ij = x_j para cada j ∈ {1, . . . , m} e y_i = 0 se i ∈ I \ {i1, . . . , i_m}, concluímos que a imagem de B˜ contém Z. Para completar a demonstração, basta aplicar o Exercício 2.2.

Corolário 2.10. SejamX, Y espaços de Banach. Se X tem dimensão nita, entãoX⊗πY eYⁿ são isomorfos, onden=dim(X). Em particular,X⊗πY é completo.

Demonstração. ComoX tem dimensão nita, todas as normas emX são equi- valentes. Em particular,X é isomorfo a `<sub>1</sub>(I), onde I={1, . . . , n}. Usando a notação da demonstração da Proposição 2.9, o operador linearB˜ :`₁(I)⊗πY →

`<sub>1</sub>(I, Y)é uma isometria sobre sua imagem e, além disso, sua imagem contém o subespaçoZ de `₁(I, Y) das famílias quase nulas. Como I é nito, Z coin- cide com`<sub>1</sub>(I, Y)e, portanto,B˜ é uma isometria de`₁(I)⊗_πY sobre`<sub>1</sub>(I, Y). Agora, basta observar que `1(I, Y) é o espaço Yⁿ munido da norma k · k1 e aplicar o Exercício 2.6.

Observação 2.11. Em geral,`p⊗bπX não é isomorfo a`p(N, X)se1< p <∞, mas existe uma descrição de`p⊗bπX como um espaço de sequências deX. Veja, por exemplo, [1].

O próximo importante resultado será usado mais adiante.

Teorema 2.12. Todo espaço de BanachX é linearmente isométrico a um quo- ciente de `1(I), para algum conjunto innito I. Equivalentemente, existe um conjunto innitoI tal queX é a imagem, por um operador quociente, de`₁(I). Demonstração. Seja (x_i)_i∈I um subconjunto denso de B_X, onde x_i 6= x_j se i6=j. Para cadaa= (a_i)_i∈I ∈`₁(I), temos

X

i∈I

kaixik ≤ kak1<+∞, (2.4) isto é,(aixi)_i∈I é absolutamente somável em X. Como X é completo, concluí- mos que

X

i∈I

aixi

converge emX. Assim, ca bem denido o operador linearT :`1(I)→X dado por

T(a) =X

i∈I

aixi,∀a= (ai)_i∈I ∈`1(I).

Decorre de (2.4) queT é contínuo e

kT(a)k ≤ kak1,∀a∈`<sub>1</sub>(I). (2.5) Vamos mostrar queT é um operador quociente. Fixadosx∈X unitário eε >0, é suciente, por linearidade, mostrar que existe a ∈`₁(I) tal que T(a) = x e kak₁= 1 +ε. Isso será feito indutivamente a seguir.

Consideremos o número real

∆ = ε

1 +ε ∈(0,1).

Como(xi)_i∈I é denso emBX, existei1∈I tal que kx−xi₁k<∆.

Suponhamos construídos, para algum n ≥ 1, índices distintos i₁, . . . , i_n ∈ I satisfazendo

x−x_i1−∆x_i2− · · · −∆ⁿ⁻¹x_in <∆ⁿ. Escrevendo

yn= x

∆ⁿ − xi₁

∆ⁿ − xi₂

∆ⁿ⁻¹− · · · − xi_n

∆ , temoskynk<1 e, por hipótese e pelo Exercício 2.3, o conjunto

I_n={i∈I:kyn−x_ik<∆}

é innito. Assim, podemos escolheri_n+1∈I\ {i₁, . . . , i_n}satisfazendo kyn−xi_n+1k<∆,

isto é,

x−xi₁− · · · −∆ⁿxi_n+1

<∆ⁿ⁺¹.

Procedendo indutivamente, construímos uma sequência de índices (in)n≥1

emIsatisfazendoi_n6=i_m sen6=me

x−

m

X

n=1

∆ⁿ⁻¹xi_n

<∆^m,∀m≥1.

Logo, a série (absolutamente convergente)

∞

X

n=1

∆ⁿ⁻¹x_in

converge incondicionalmente parax. Consideremos, agora, a famíliaa= (ai)_i∈I, onde

a_i =

(∆ⁿ⁻¹, sei=i_n para algumn≥1, 0, caso contrário.

É claro quea∈`₁(I),T(a) =xe, pela escolha de∆, kak1=

∞

X

n=1

∆ⁿ⁻¹= 1

1−∆ = 1 +ε.

Isto completa a demonstração.

Proposição 2.13. SejamX, Y espaços de Banach. Dadosu∈X⊗bπY eε >0, existem sequências limitadas(xn)_n≥1 em X e (yn)_n≥1 em Y tais que

u=

∞

X

n=1

x_n⊗y_n e

∞

X

n=1

kx_nkky_nk<kuk_π+ε.

Demonstração. Sejam I um conjunto innito e T : `1(I) → X um operador quociente. Pela Proposição 2.8, o operador

T⊗πIdY :`1(I)⊗bπY →X⊗bπY

também é quociente. Logo, dados u ∈ X⊗bπY e ε > 0, existe v ∈ `1(I)b⊗πY satisfazendo

(T⊗πIdY)(v) =u e kvkπ <kukπ+ε.

Sejam J : `1(I)⊗bπY → `1(I, Y) a isometria construída na Proposição 2.9 e a= (ai)_i∈I ∈`1(I, Y)tal que J(v) =a. Comoa∈`1(I, Y), o conjunto

{i∈I:ai6= 0}

é enumerável; portanto, existe uma sequência de índices (in)_n≥1 em I tal que in6=imsen6=me

{i∈I:ai 6= 0} ⊂ {in:n≥1}.

Em particular,

kvkπ=kJ(v)k1=kak1=

∞

X

n=1

kaink.

Agora, tomandobn= (bⁿ_i)_i∈I ∈`1(I, Y), onde bⁿ_i =

(a_in, sei=i_n, 0, caso contrário, concluímos que

∞

X

n=1

bn=a em`₁(I, Y), de modo que

v=J⁻¹(a) =J⁻¹

∞

X

n=1

bn

!

=

∞

X

n=1

J⁻¹(bn) =

∞

X

n=1

ei_n⊗ai_n

em `<sub>1</sub>(I)⊗b<sub>π</sub>Y, onde (e<sub>i</sub>)<sub>i∈I</sub> é a base canônica de `₁(I). Denimos, para cada n≥1,

xn =T(ei_n)∈X e yn=ai_n∈Y.

Notemos que(xn)n≥1 e(yn)n≥1são limitadas, pois

kxnk=kT(ei_n)k ≤ kei_nk1= 1 e kynk=kai_nk ≤ kak1. Além disso,

u= (T⊗_πIdY)(v) = (T⊗_πIdY)

∞

X

n=1

e_in⊗a_in

!

=

∞

X

n=1

(T ⊗πIdY)(ei_n⊗ai_n) =

∞

X

n=1

T(ei_n)⊗ai_n=

∞

X

n=1

xn⊗yn

e _∞ X

n=1

kxnkkynk ≤

∞

X

n=1

kai_nk=kak1=kvkπ=kukπ+ε, como queríamos.

Destacamos o seguinte renamento da proposição anterior.

Corolário 2.14. Sejam X, Y espaços de Banach. Dadosu∈X⊗b_πY e ε >0, existem sequências(x_n)_n≥1∈c₀(N, X) emX e(y_n)_n≥1∈`₁(N, Y)tais que

u=

∞

X

n=1

x_n⊗y_n e

∞

X

n=1

kxnkkynk<kukπ+ε.

Demonstração. Tomemos sequências limitadas(zn)_n≥1 emX e(wn)_n≥1 emY tais que

u=

∞

X

n=1

zn⊗wn e

∞

X

n=1

kznkkwnk<kukπ+ε.

Pelo Lema A.13, existe(µn)n≥1 sequência de números reais estritamente posi- tivos tal queµn→+∞e(µnkznkkwnk)n≥1∈`1. Denindo, para cadan≥1,

x_n= ( _z

n

µnkznk, sezn6= 0, 0, caso contrário,

eyn=µnkznkwn, é claro que as sequências (xn)n≥1 e(yn)n≥1 têm as proprie- dades desejadas.

Da acordo com a Proposição 1.4, sabemos identicar quais somas nitas de tensores elementares representam o tensor nulo. Determinar quando uma série

∞

X

n=1

x_n⊗y_n ∈X⊗bπY

como no enunciado da Proposição 2.13 representa o tensor nulo é uma questão mais delicada, que abordaremos no Capítulo 4.

O dual de X ⊗ b

Y

Já vimos, no Capítulo 1, que toda aplicação linear denida em X ⊗Y é a linearização de uma única aplicação bilinear denida em X×Y, e vice-versa (Proposição 1.6). Ocorre um fenômeno análogo com os operadores lineares contínuos denidos emX⊗bπY e as aplicações bilineares contínuas emX×Y. Na realidade, já exploramos um pouco dessa ideia na demonstração da Proposição 2.2, quando usamos a forma bilinear contínuaB(x, y) =ϕ(x)ψ(y)para estimar a norma dex⊗y.

Teorema 2.15. Sejam X, Y, Z espaços de Banach. Para cada aplicação li- near contínua B : X ×Y → Z, existe um único operador linear contínuo B˜ :X⊗bπY →Z satisfazendo

B(x, y) = ˜B(x, y),∀(x, y)∈X×Y.

A correspondência

B(X×Y, Z)3B7→B˜ ∈ L(X⊗b_πY, Z)

dene uma isometria linear deB(X×Y, Z)sobreL(X⊗b_πY, Z). Em particular, (X⊗bπY)^∗=L(X⊗bπY,K)eB(X×Y)são linearmente isométricos.

Demonstração. SejaB ∈ B(X×Y, Z)e sejaB˜ :X⊗Y →Z sua linearização.

Armamos que B˜ é k · kπ-contínua e sua norma coincide com a de B. Com efeito, dadou=Pn

i=1xi⊗yi∈X⊗Y, temos kB(u)k˜ =

n

X

i=1

B(xi, yi)

≤

n

X

i=1

kB(xi, yi)k ≤ kBk

n

X

i=1

kxikkyik.

Decorre da arbitrariedade da representação deuqueB˜ é contínua e kBk ≤ kBk.˜

Por outro lado, para cadax∈X ey∈Y,

kB(x, y)k=kB(x˜ ⊗y)k ≤ kBkkxkkyk.˜ Isto implica que

kBk ≤ kBk.˜

De acordo com o Exercício 2.2, podemos tomar a única extensão linear e contínua (de mesma norma) deB˜ aX⊗bπY, que ainda denotaremos porB˜. É claro que o operadorI:B(X×Y, Z)→ L(X⊗bπY, Z)dado por

I(B) = ˜B,∀B∈ B(X×Y, Z),

é uma isometria linear sobre sua imagem. Finalmente, dadoT ∈ L(X⊗b_πY, Z), consideremos a aplicação bilinearA:X×Y →Z denida por

A(x, y) =T(x⊗y),∀(x, y)∈X×Y.

Como

kA(x, y)k=kT(x⊗y)k ≤ kTkkxkkyk,∀(x, y)∈X×Y,

concluímos queA∈ B(X×Y, Z)e, por construção,I(A) =T. Isto prova que T é sobrejetora e completa a demonstração.

Pelo teorema anterior, o dual deX⊗bπY pode ser identicado com o espaço B(X×Y) de todas as formas bilineares contínuas. Cada forma bilinear B ∈ B(X ×Y) determina o funcional linear contínuo ϕB ∈ (X⊗bπY)^∗, de mesma norma, satisfazendo

ϕB n

X

i=1

xi⊗yi

!

=

n

X

i=1

B(xi, yi), para todo u = Pn

i=1xi⊗yi ∈ X ⊗Y. Esta identicação fornece uma nova fórmula para a norma projetiva:

kukπ = sup{|ϕB(u)|:B ∈ B(X×Y),kBk ≤1}. (2.6) Vejamos um exemplo da aplicação desta fórmula.

Exemplo 2.16. A diagonal em`2⊗bπ`2.

Seja(en)_n≥1 a base canônica de`2. Vamos mostrar que o subespaço D2=span{en⊗en:n≥1}

de `2⊗bπ`2 é linearmente isométrico a `1. Dado u = Pk

n=1αnen ⊗en ∈ D2, temos

kukπ ≤

k

X

n=1

|αn|kenk2kenk2=

k

X

n=1

|αn|.

Por outro lado, consideremos a forma bilinearB:`<sub>2</sub>×`₂→Kdada por B(x, y) =

k

X

n=1

sign(αn)xnyn,

para todox= (xn)n≥1, y= (yn)n≥1∈`2. Pela Desigualdade Hölder,

|B(x, y)| ≤

k

X

n=1

|xn||yn| ≤

∞

X

n=1

|xn||yn| ≤ kxk2kyk2,

o que implica quekBk ≤1. Em virtude de (2.6), obtemos kukπ≥

k

X

n=1

αnB(en, en)

=

k

X

n=1

sign(αn)αn

=

k

X

n=1

|αn|.

Concluímos, portanto, que a funçãoI2:span{en⊗en} →`1dada por I₂

k

X

n=1

α_ne_n⊗e_n

!

= (α₁, . . . , α_k,0, . . . ,0, . . .)

é uma isometria linear sobre sua imagem. Como Im(I2)é densa (pois contém todas as sequências quase nulas), sua extensão aD2 é uma isometria sobre`1.

Decorre do exemplo anterior, em particular, que o produto tensorial projetivo de espaços reexivos não é, em geral, reexivo.

De acordo com o Exercício 2.4, podemos identicar os espaços B(X ×Y) eL(X, Y^∗). Esta identicação fornece outra descrição do dual deX⊗bπY via operadores lineares contínuos: cadaT ∈ L(X, Y^∗)determina o funcional linear contínuoψ_T ∈(X⊗bπY)^∗, de mesma norma, tal que

ψT n

X

i=1

xi⊗yi

!

=

n

X

i=1

T(xi)(yi), para todou = Pn

i=1xi⊗yi ∈ X ⊗Y. Reciprocamente, cada ψ ∈ (X⊗bπY)^∗ induzTψ∈ L(X, Y^∗)dado por

Tψ(x)(y) =ψ(x⊗y),∀x∈X,∀y∈Y.

De modo análogo, cada S ∈ S(Y, X^∗) determina ηS ∈ (X⊗bπY)^∗, de mesma norma, vericando

ηS n

X

i=1

xi⊗yi

!

=

n

X

i=1

S(yi)(xi).

Concluímos que

kukπ= sup{|ψT(u)|:T ∈ L(X, Y^∗),kTk ≤1}

= sup{|ηS(u)|:S∈ L(Y, X^∗),kSk ≤1}.

Agora, estamos em condições de determinar quando o produto tensorial projetivo comX respeita subespaços isomorcamente.

Proposição 2.17. SejaX um espaço de Banach. São equivalentes:

(i) O produto tensorial projetivo comX respeita subespaços isomorcamente;

(ii) DadosY um espaço de Banach,Z um subespaço fechado deY e T :Z→ X^∗ um operador linear contínuo, existe T˜ : Y → X^∗ extensão linear e contínua deT;

(iii) Existe λ ≥ 1 tal que, dados Y um espaço de Banach, Z um subespaço fechado de Y e T :Z →X^∗ um operador linear contínuo, existeT˜:Y → X^∗ extensão linear e contínua deT com kT˜k ≤λkTk;

(iv) Existe λ ≥ 1 tal que, dados Y um espaço de Banach e Z um subespaço fechado de Y, temosπX,Z(u)≤λπX,Y(u)para todo u∈X⊗Z.

Demonstração. (i) =⇒ (ii): SejamT :Z →X^∗ um operador linear contínuo eϕ∈(X⊗Z, πX,Z)^∗ o funcional linear contínuo dado por

ϕ

n

X

i=1

xi⊗zi

!

=

n

X

i=1

T(zi)(xi),