Bruno de Paula Jacóia IME - USP brunopj@ime.usp.br
Título: Estabilidade Estrutural dos Campos Vetoriais Seccionalmente Lineares no Plano.
Resumo: Estudos pioneiros iniciados por Alexander Andronov e Lev Pontryagin em 1937 deram origem ao conceito hoje conhecido como estabilidade estrutural.
Eles estavam interessados em entender como pequenas perturbações nas equações que denem um sistema dinâmico afetam qualitativamente o comportamento de suas solu- ções e qual tipo de sistema é robusto o suciente para que seus aspectos qualitativos permaneçam inalterados após tais perturbações.
No início da década de 1960, os matemáticos brasileiros Maurício Peixoto e Marília Peixoto, estendendo os resultados dos trabalhos de Andronov e Pontryagin, demonstraram em [PP59] um teorema de necessidade e suciência para a estabilidade estrutural de sistemas dinâmicos em regiões compactas com bordo suave do plano.
No trabalho de Peixoto e Peixoto a compreensão do conjunto dos sistemas estrutural- mente estáveis é obtida através da caracterização das condições que elementos essenciais do sistema (singularidades, órbitas periódicas e separatrizes) devem satisfazer. Além disso é provado em [Pei62] que os sistemas estruturalmente estáveis formam um conjunto aberto e denso no espaço dos sistemas considerados.
A caracterização dos sistemas estruturalmente estáveis e sua densidade é uma questão de grande relevância para várias aplicações. Por exemplo, em sistemas oriundos da física ou da biologia, podemos analisar o comportamento do retrato de fases de tais sistemas fazendo aproximações e medições, e nesse caso podemos considerar que o sistema sofre pequenas perturbações devido a pequenos erros das medições ou limitações de precisão dos equipamentos utilizados. Portanto contar com a estabilidade estrutural do sistema nos garante que tais perturbações não afetam qualitativamente o comportamento assintótico das soluções.
Em [CL91], L. Chua e R. Lum apresentam uma classe de campos vetoriais contínuos seccionalmente lineares no plano e discutem o interesse computacional e a aplicabilidade de tais sistemas.
Tais campos aparecem persistentemente em problemas envolvendo teoria do controle e em modelagens matemáticas de problemas de engenharia que possuem comportamento não suave.
Denotando essa classe de campos de vetores seccionalmente lineares no plano porXΓ,∆, e impondo condições sobre singularidades, órbitas periódicas e separatrizes, deniremos um conjunto ΣΓ,∆ de campos de vetores que são estruturalmente estáveis em XΓ,∆. Se- guindo [SG03], veremos que esse conjunto é aberto, denso e tem medida de Lebesgue total em XΓ,∆, o qual é um espaço vetorial de dimensão nita.
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Referências
[ALGM73] A. Andronov, E. Leontovich, I. Gordon, e G. Maier, Theory of bifurcations of dynamical systems on a plane, Israel Program for Scientic Translations, John Wiley, 1973.
[CL91] L. Chua e R. Lum, Generic properties of continuous piecewise-linear vector eld in R2, IEEE Trans. Circuits Systems 38 (1991), no. 9, 10431066.
[Jac13] B. P. Jacóia, Estabilidade estrutural dos campos vetoriais seccionalmente line- ares no plano, Dissertação de mestrado, Universidade de São Paulo, 2013.
[Pei62] M. M. Peixoto, Structural stability on two-dimensional manifolds, Topology 1 (1962), 101120.
[PP59] M. M. Peixoto e M. C. Peixoto, Structural stability in the plane with enlarged boundary conditions, Anais da Academia Brasileira de Ciências 31 (1959), no. 9, 135160.
[SG03] J. Sotomayor e R. Garcia, Structural stability of piecewise-linear vector elds, Journal of Dierential Equations 192 (2003), 553565.
[Sot81] J. Sotomayor, Curvas denidas por equações diferenciais no plano, Colóquio Brasileiro de Matemática, Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 1981.
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