Introdução à teoria da medida e integração

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

LUCAS HIDEO MAEKAWA

INTRODUÇÃO À TEORIA DA MEDIDA E INTEGRAÇÃO

SÃO CARLOS 2022

INTRODUÇÃO À TEORIA DA MEDIDA E INTEGRAÇÃO

Monografia apresentada ao Curso de Bachare- lado Matemática da Universidade Federal de São Carlos.

Orientador: Prof. Dr. Rodrigo da Silva Rodrigues

SÃO CARLOS 2022

file:///Users/rodrigorodrigues/Downloads/Grad__Defesa_TCC__Folha_Aprovacao_0858152.html 1/1

FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS

COORDENAÇÃO DOS CURSOS DE GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA - CCM/CCET Rod. Washington Luís km 235 - SP-310, s/n - Bairro Monjolinho, São Carlos/SP, CEP 13565-905

Telefone: (16) 33518221 - http://www.ufscar.br DP-TCC-FA nº 21/2022/CCM/CCET

Graduação: Defesa Pública de Trabalho de Conclusão de Curso Folha Aprovação (GDP-TCC-FA)

FOLHA DE APROVAÇÃO  

LUCAS HIDEO MAEKAWA  

INTRODUÇÃO À TEORIA DA MEDIDA E INTEGRAÇÃO  

Trabalho de Conclusão de Curso  

Universidade Federal de São Carlos – Campus São Carlos  

São Carlos, 27 de setembro de 2022  

ASSINATURAS E CIÊNCIAS Cargo/Função Nome Completo

Orientador Rodrigo da Silva Rodrigues Membro da Banca 1 Fabio Ferrari Ruffino

Membro da Banca 2 Rafael Augusto dos Santos Kapp

Documento assinado eletronicamente por Fabio Ferrari Ruffino, Professor(a) Adjunto(a), em 27/10/2022, às 13:22, conforme horário oficial de Brasília, com fundamento no art. 6º, § 1º, do Decreto nº 8.539, de 8 de outubro de 2015.

Documento assinado eletronicamente por Rafael Augusto dos Santos Kapp, Professor(a) Adjunto(a), em 28/10/2022, às 08:19, conforme horário oficial de Brasília, com fundamento no art. 6º, § 1º, do Decreto nº 8.539, de 8 de outubro de 2015.

Documento assinado eletronicamente por Rodrigo da Silva Rodrigues, Professor(a) do Magistério Superior, em 31/10/2022, às 10:42, conforme horário oficial de Brasília, com fundamento no art. 6º, § 1º, do Decreto nº 8.539, de 8 de outubro de 2015.

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Referência: Caso responda a este documento, indicar expressamente o Processo nº 23112.036732/2022-90 SEI nº 0858152 

Modelo de Documento:  Grad: Defesa TCC: Folha Aprovação, versão de 02/Agosto/2019   

A meus pais, meu irmão Gabriel e meus tios, por me apoiarem sempre, e a meu primo Matheus, pelas conversas e companhia que sempre me alegravam.

Aos meus orientadores, Francisco Braun e Rodrigo Rodrigues, por sempre me apoiarem e estarem presentes na minha vida acadêmica, além de sempre acreditarem em mim.

A todos os meus amigos, cujos nomes tomariam mais páginas que o próprio TCC, por me mostrarem que a vida pode ser muito mais colorida com a companhia certa.

Ao Pedro, por ter me ajudado com vários teoremas e demonstrações deste trabalho.

A teoria da medida é uma área muito importante com aplicações como na fundamentação da integral de Lebesgue, na axiomatização da probabilidade e na definição de integrais em espaços mais gerais que o euclidiano. Este trabalho apresenta um estudo introdutório sobre σ-álgebras, medidas, medidas exteriores, medida de Lebesgue e integrais.

Palavras-chave:Teoria da medida. Integral. Medida. Medida de Lebesgue.

The Lebesgue measure is an important concept with applications in the Lebesgue integral, in the axiomatization of probabilities, and in the definion of integral of spaces more general than the euclidian spaces. This essay presents an introductory study inσ-algebras, measures, exterior measures, the Lebesgue measure, and integrals.

Keywords:Measure theory. Integral. Measure. Lebesgue measure.

1 INTRODUÇÃO 6 1.1 UMA REVISÃO DE TEORIA DOS CONJUNTOS 6

2 CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE MEDIDA 9

2.1 ÁLGEBRAS E σ -ÁLGEBRAS 9

2.2 MEDIDAS 15

2.3 MEDIDA EXTERIOR 22

2.4 MEDIDA DE LEBESGUE 25

3 INTEGRAIS 29

3.1 FUNÇÕES MENSURÁVEIS 29

3.2 FUNÇÕES CARACTERÍSTICAS 31

3.3 INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES NÃO NEGATIVAS 33 3.4 INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES COMPLEXAS 38

APÊNDICE A TEOREMA 44

APÊNDICE B O CONJUNTO DE VITALI 45

APÊNDICE C INTEGRAL DE RIEMANN 46

1 INTRODUÇÃO

O conceito de medir um conjunto está presente em várias áreas, como a teoria de conjuntos (com a cardinalidade) e a geometria (com a medida de comprimentos, áreas e volumes). Esse conceito pode ser visto ainda no cálculo, quando utilizamos integrais para tentar encontrar o volume de certos sólidos.

No entanto, a integral de Riemann, que é ensinada nos cursos de cálculo, é limitada no sentido de que existe uma classe muito grande de funções que não é Riemann integrável. Tome, por exemplo, a funçãof :R→Rdefinida por

f(x) =







1, se x é irracional 0, se x é racional

.

Este fato, a princípio, não foi o que impulsionou os matemáticos na busca de um novo conceito de integral, mas sim o desenvolvimento de outra área da matemática: as séries trigono- métricas. Com o estudo deste tipo de séries (em séries de Fourier, por exemplo), os matemáticos passaram a necessitar de teorias que garantissem o bom comportamento e convergência de séries de integrais (ISNARD,2018).

Seguindo essa tendência, muitos teoremas importantes de convergência foram demons- trados, entre eles o teorema de convergência monótona (teorema 3.24), o Lema de Fatou (teorema3.28) e o teorema de convergência dominada (teorema3.37).

Uma outra vantagem da integral de Lebesgue, é que em vários espaços de funções, podemos definir métricas utilizando integrais de Lebesgue que fazem com que o espaço seja completo quando isso não seria possível utilizando apenas integrais de Riemann (FOLLAND, 1999).

A teoria da medida foi desenvolvida por Emile Borel, Henri Lebesgue, Johann Radon, Mauriche Fréchet, entre outros e tem várias aplicações como na fundamentação da integral de Lebesgue, na axiomatização da probabilidade e na definição de integral em espaços mais gerais que o euclidiano (CABRAL,2016).

Neste trabalho, vamos discutir conceitos necessários para se estudar teoria da medida, em particular, vamos discutirσ-álgebras, medidas, medidas exteriores e vamos apresentar algumas propriedades da medida de Lebesgue, bem como a integral e algumas de suas propriedades.

1.1 UMA REVISÃO DE TEORIA DOS CONJUNTOS

Ao longo das próximas seções, utilizaremos algumas propriedades sobre intersecção e união de conjuntos que serão aqui apresentadas. A maioria desses teoremas e propriedades estão demonstrados no livro (LIN; LIN,1981) intituladoSet theory with applications, listado nas referências.

Ao longo do texto, algumas notações e convenções serão seguidas. SeAé um subcon- junto deX, denotaremos o complementar deAcom relação aX por{^XA ou porAquando não houver ambiguidade.

Além disso, exceto quando mencionado o contrário, não iremos impor nenhuma restrição sobre a cardinalidades dos conjuntos mencionados ao longo do texto. Assim, no teorema1.6, por exemplo, a família de conjuntos{A_γ}_γ∈Γpode ser finita, enumerável ou não-enumerável.

Notação 1.1. Usaremos a notaçãoP(X)para representar o conjunto das partes deX.

Notação 1.2. Usaremos a notação{a_γ}γ∈Γ ⊂Xpara dizer que o conjunto indexado{a_γ}γ∈Γé formado por elementos deX. Em particular, seΓ =N^,{a_n}n∈Né uma sequência onde todos os elementos são elementos deX.

Teorema 1.3. SejamAeBsubconjuntos de um conjuntoX. Valem então as seguintes proprie- dades:

a) A∩B =A∪B;

b) A∪B =A∩B;

c) A−B =A∩B;

d) A=A.

Demonstração. A demonstração desse teorema pode ser encontrada nas páginas 44 e 45 do

livro (LIN; LIN,1981).

As duas primeiras propriedades do teorema1.3são chamadas de leis de De Morgan, mas para provar os teoremas que estão por vir, precisaremos de um teorema um pouco mais geral.

Teorema 1.4. Se{A_n}n∈Né uma sequência de conjuntos, valem as seguintes propriedades:

a) [

n∈N

A_n= \

n∈N

A_n;

b) \

n∈N

A_n= [

n∈N

A_n.

Demonstração. Vamos primeiro demonstrar a primeira parte do teorema.

x∈ [

n∈N

An⇔x6∈ [

n∈N

An⇔x6∈An,∀n∈N⇔x∈An,∀n ∈N⇔x∈ \

n∈N

An.

Para provar a segunda parte, basta observar que [

n∈N

A_n= [

n∈N

A_n= \

n∈N

A_n= \

n∈N

A_n.

Teorema 1.5. SeA ⊂B, entãoB ⊂A.

Demonstração. A sentençaA⊂B, por definição, é equivalente ax∈A⇒x∈B. Basta então tomar a contrapositiva dessa sentença e teremosx6∈B ⇒x6∈Aque, por fim, é equivalente à

sentençax∈B ⇒x∈A.

Teorema 1.6. SejamXeY dois conjuntos e sejaf :X→Y uma função. Se{A_γ}_γ∈Γ ⊂ P(X) e{B_π}_π∈Π⊂ P(Y), as seguintes propriedades são válidas:

a) f([

γ∈Γ

A_γ) = [

γ∈Γ

f(A_γ);

b) f(\

γ∈Γ

Aγ)⊂ \

γ∈Γ

f(Aγ);

c) f⁻¹([

π∈Π

B_π) = [

π∈Π

f⁻¹(B_π);

d) f⁻¹(\

π∈Π

B_π) = \

π∈Π

f⁻¹(B_π).

Demonstração. A demonstração desses teoremas podem ser encontradas nas páginas 81 e 82

de livro (LIN; LIN,1981).

Teorema 1.7. Sejaf :X →Y uma função e sejaE ⊂Y. Entãof⁻¹(E) = f⁻¹(E). Demonstração.

x∈f⁻¹(E)⇔x6∈f⁻¹(E)

⇔f(x)6∈E

⇔f(x)∈E

⇔x∈f⁻¹(E).

2 CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE MEDIDA

2.1 ÁLGEBRAS E σ -ÁLGEBRAS

A motivação para o estudo deσ-álgebra é o fato de que nem sempre poderemos definir uma medida (definida na próxima seção) para todos os subconjuntos de um conjunto X (veja, por exemplo, o conjunto de Vitali na definiçãoB .1).

Por isso, ao longo dessa seção, definiremos σ-álgebras, suas propriedades e como construirσ-álgebras a partir de conjuntos ou até mesmo de outrasσ-álgebras. Utilizamos como textos bases os livros (CABRAL,2016) e (FOLLAND,1999).

Definição 2.1(Álgebra). Dado um conjuntoX, dizemos que um conjuntoΣ ⊂ P(X) é uma álgebra de subconjuntos deX se:

a) ∅ ∈Σ;

b) ∀E ∈Σ,E =X−E ∈Σ;

c) se{E_i}i∈I é um conjunto finito de elementos deΣ, então[

i∈I

E_i ∈Σ. Os elementos deΣsão chamados de conjuntos mensuráveis.

Definição 2.2(σ-álgebra). Dado um conjuntoX, dizemos que um conjuntoΣ⊂ P(X)é uma σ-álgebra de subconjuntos de X se:

a) Σé uma álgebra de subconjuntos deX;

b) se{E_n}_n∈Né uma sequência de elementos deΣ, então [

n∈N

E_n ∈Σ.

Vale notar que se um conjuntoΣsatisfizer a propriedade b) deσ-álgebra, ela também satisfaz a propriedade c) de álgebra, basta queE_n=∅a partir de um certon.

Exemplo 2.3. Dados um conjuntoX, existem duasσ-álgebras que são canônicas:

– Σ ={∅, X}, a menorσ-álgebra deX. – Σ =P(X), a maiorσ-álgebra deX.

Exemplo 2.4. É fácil provar que o conjuntoΣ ={∅,Q,Q,R}é umaσ-álgebra deR^. Exemplo 2.5. Vamos provar queΣ ={A ⊂R:AouAé enumerável}é umaσ-álgebra.

Solução.

a) ∅ ∈Σ, já que∅é enumerável.

b) SeE ∈ Σ, entãoE é enumerável ouE é enumerável. Em qualquer um dos casos, E ∈Σ.

c) Seja{E_n}n∈N ∈ Σ. SeE_n é enumerável para todon ∈ N^{, então} [

n∈N

E_ntambém será enumerável e, portanto, será elemento de Σ. Se existir algum E_i que não é enumerável, então [

n∈N

E_n = \

n∈N

E_n ⊂ E_i será enumerável e, portanto, [

n∈N

E_n também será elemento deΣ.

Exemplo 2.6. Σ = {A ⊂ R :Aé um intervalo}não é umaσ-álgebra, já que não satisfaz as propriedades a) e b) da definição de álgebra.

No próximo teorema, veremos mais algumas propriedades deσ-álgebra cujas demonstra- ções seguem da definição deσ-álgebra e de algumas propriedades de conjuntos.

Teorema 2.7. Seja Σ uma σ-álgebra de subconjuntos de X e E, F ∈ Σ. Então valem as seguintes propriedades:

a) E∪F ∈Σ; b) E∩F ∈Σ; c) E−F ∈Σ;

d) se{E_n}n∈Né uma sequência emΣ, então \

n∈N

E_n ∈Σ. Demonstração.

a) Segue da definição de álgebra.

b) Pela definição deσ-álgebra, temosE, F ∈Σe, pela propriedade acima e pela lei de De Morgan (teorema1.3),E∩F = E∪F ∈ Σ. Portanto, pela propriedade b) de álgebra,E ∩F =E∩F ∈Σ.

c) ComoF ∈Σ, pela definição deσ-álgebra, entãoE−F =E∩F ∈Σ, pela lei de De Morgan (teorema1.3) e pela propriedade acima.

d) Como E_n ∈ Σ, e portanto E_n ∈ Σ, para todo n ∈ N^{, então} [

n∈N

E_n ∈ Σ, pela propriedade b) de σ-álgebra. Assim, pelo teorema 1.4 e pela propriedade b) de álgebra, temos \

n∈N

E_n= \

n∈N

E_n= [

n∈N

E_n ∈Σ.

Lema 2.8. SejaS = {Σ_i}i∈Iuma família não-vazia deσ-álgebras de subconjuntos deX. Então

\

i∈I

Σ_i ={E ⊂ P(X) :E ∈Σ_ipara todoi∈I}

é umaσ-álgebra deX. Demonstração. SejaΣ =\

i∈I

Σ_i. Vamos provar queΣsatisfaz todas as propriedades de uma σ-álgebra.

a) Como∅ ∈Σ_ipara todoi∈I, pela definição deσ-álgebra, então∅ ∈Σ. b) SeE ∈Σ, entãoE ∈Σ_i eE ∈Σ_ipara todoi∈I. Assim,E ∈Σ.

c) Se{E_n}n∈Né uma sequência de elementos deΣ, então{E_n}n∈N ⊂Σ_ie [

n∈N

E_n∈Σ_i para todoi∈I. Portanto, [

n∈N

E_n ∈\

i∈I

Σ_i = Σ.

Assim,Σsatisfaz todas as propriedades de umaσ-álgebra.

Teorema 2.9. SejaA ⊂ P(X). Existe a menorσ-álgebraΣ_Aque contémA, ou seja, seΣ˜ é umaσ-álgebra que contémA, entãoΣA ⊂Σ˜.

Demonstração. SejaS = {Σ ⊂ P(X) : Σé umaσ-álgebra eA ⊂ Σ}. Sabemos pelo lema 2.8queΣA= \

Σ⁰∈S

Σ⁰ é umaσ-álgebra, então só nos resta provar que ela é a menor delas.

Suponha queΣ˜ é umaσ-álgebra que contémA. EntãoΣ˜ ∈ S eΣ_A = \

Σ⁰∈S

Σ⁰ ⊂Σ˜ e,

portanto,ΣA é a menorσ-álgebra que contémA.

Motivados pelo teorema anterior (2.9), introduziremos a definição deσ-álgebra gerada por uma família de elementos deP(X).

Definição 2.10(σ-álgebra gerada por um conjuntoA). Um conjuntoΣA ⊂ P(X)é dito uma σ-álgebra de subconjuntos deX gerada porA ⊂ P(X)se:

a) ΣAé umaσ-álgebra;

b) A ⊂ΣA;

c) SeΣ˜ é umaσ-álgebra que contémA, entãoΣA ⊂Σ˜. Notação 2.11. Denotamos porσ(A)aσ-álgebra gerada porA.

Definição 2.12(σ-álgebra de Borel). SeX é um espaço munido de uma topologiaτ, veja por exemplo (MUNKRES,1975), dizemos queΣ =σ(τ)é umaσ-álgebra de Borel e chamamos os elementos deΣde conjuntos de Borel ou borelianos.

Observação: Um cuidado a ser tomado no próximo exemplo é a notação E que na topologia é utilizada para definir o fecho de um conjunto, mas que no nosso exemplo continua sendo utilizada para representar o conjunto complementar.

Exemplo 2.13. SejaB_Raσ-álgebra de Borel gerada pelos conjuntos abertosR^{. Então}B_R é gerada porE₁ ={(a, b)⊂R:a < b}eB_Rtambém é gerada porE₂ ={[a, b]⊂R:a < b}. Solução. Vamos provar que σ(E₁) ⊂ σ(E₂) ⊂ B_R. Tome (a, b) ∈ E₁ e tome a sequência {[a+ 1/n, b−1/n]}n∈N. Para cadan∈N^,[a+ 1/n, b−1/n]∈ E₂ ⊂σ(E₂)e, pela propriedade (b) deσ-álgebra,(a, b) = [

n∈N

[a+ 1/n, b−1/n] ∈ σ(E₂). Comoσ(E₁)é a menorσ-álgebra contendoE₁,σ(E₁)⊂σ(E₂).

SejaA∈ E₂. ComoAé um conjunto fechado, seu complementarAé aberto e, portanto, está emB_R. Como B_R é uma σ-álgebra, A = A ∈ B_R. Como σ(E₂)é a menor σ-álgebra contendoE₂,σ(E₂)⊂ B_R.

Para finalizar agora a demonstração, vamos provar queB_R ⊂σ(E₁).Para isso, utiliza- remos o fato de que todo conjunto aberto emRé a união enumerável de intervalos abertos (a demonstração desse fato se encontra no teoremaA .1no apêndice). Assim, comoB_Ré a menor

σ-álgebra contendo os conjuntos abertos,B_R⊂σ(E1).

Exemplo 2.14. Sejam E₃ = {(a, b] ⊂ R : a < b} e E₄ = {[a, b) ⊂ R : a < b}. Então σ(E₃) =σ(E₄) =B_R.

Solução. Vamos mostrar primeiro que σ(E₃) ⊂ B_R. Seja(a, b] ∈ E₃. Como(a, b] = [

n∈N

[a+ 1/n, b]e[a+ 1/n, b] ∈ E₂, então(a, b] ∈σ(E₂)e, pela definição de σ-álgebra gerada porE₃, temosσ(E₃)⊂σ(E₂) =B_R.

Agora, para mostrar queB_R ⊂σ(E₃), tome(a, b)∈ E₁. Assim, como(a, b) = [

n∈N

(a, b− 1/n], com(a, b−1/n]∈ E₃para todon ∈N^,E₁ ⊂σ(E₃)e, pela definição deσ-álgebra gerada porE1,B_R=σ(E1)⊂σ(E3). Assim finalizamos a demonstração de queσ(E3) =B_R.

A demonstração de queσ(E4) = B_Ré análoga.

Vimos que podemos gerarσ-álgebras através de uma famíliaAde subconjuntos deX. A ideia das seguintes definições e teoremas é mostrar como construir novasσ-álgebras a partir de σ-álgebras dadas.

O exemplo a seguir nos mostra que o produto cartesiano deσ-álgebras não necessaria- mente produz outraσ-álgebra.

Exemplo 2.15. TomeΣ ={∅,[0,1],[0,1],R}. É fácil ver queΣé umaσ-álgebra, masΣ×Σ não é umaσ-álgebra, já que[0,1]×[0,1]∈Σ×Σ, mas[0,1]×[0,1]6∈Σ×Σ.

Motivados por esse exemplo, veremos agora a definição de umaσ-álgebra gerada por um produto cartesiano.

Definição 2.16(σ-álgebra produto). Seja{X_α}α∈A uma coleção indexada de conjuntos não vazios,X = Y

α∈A

X_α, eπ_α :X →X_αas aplicações projeção. SeΣ_αé umaσ-álgebra deX_α para cadaα∈A, aσ-álgebra produto emXé aσ-álgebra gerada pelo conjunto

{π_α⁻¹(E_α) :E_α ∈Σ_α, α∈A}.

Denotamos essaσ-álgebra porO

α∈A

Σ_α.

Vamos mostrar que se restringirmos umaσ-álgebra por um conjunto também obteremos umaσ-álgebra.

Teorema 2.17. SejaΣX umaσ-álgebra emXeA⊂X. O conjuntoΣ ={E∩A:E ∈ΣX}é umaσ-álgebra de subconjuntos deA.

Demonstração. Vamos provar as propriedades deσ-álgebra paraΣ. a) ∅ ∈ΣX, por definição, e∅=∅ ∩A∈Σ.

b) SeE ∈Σ, então existeF ∈Σ_X tal queF ∩A=E. Logo,F ∈Σ_X e{^AE =A−E = A−(F ∩A) =A−F =F ∩A∈Σ.

c) Seja{E_n}n∈N ⊂Σ. Para cadaE_n, existeF_ntal queE_n =F_n∩A. Assim, [

n∈N

E_n= [

n∈N

(F_n∩A) = ([

n∈N

F_n)∩A. Como [

n∈N

F_n∈Σ_X, por definição deσ-álgebra, então [

n∈N

E_n∈Σ.

A próxima definição trata a respeito de como conseguimos umaσ-álgebra sobre um certo conjuntoA, a partir da restrição vista no teorema acima.

Definição 2.18(σ-álgebra por restrição). SejaΣumaσ-álgebra de subconjuntos deXeA⊂X. Dizemos queΣ∩A:={E∩A:E ∈Σ}é umaσ-álgebra por restrição.

Exemplo 2.19. SejaA ⊂ X e ΣA uma σ-álgebra de A. Então os seguintes conjuntos são σ-álgebras emX :

a) Σ₁ ={F ⊂X :F ∩A ∈Σ_A};

b) Σ₂ = Σ_A∪ P(A) ={E∪Z :E ∈Σ_AeZ ⊂A}.

Solução. Vamos provar primeiro queΣ₁ é umaσ-álgebra:

a) ∅ ∈Σ₁, pois∅ ∩A =∅ ∈Σ_A;

b) SeE ∈ Σ₁, então existeE⁰ ∈ Σ_Atal queE ∩A= E⁰.Assim,E∩A = {^AE⁰ ∈Σ_A, pela definição deσ-álgebra e, portanto,E ∈Σ₁;

c) Seja{E_n}n∈N⊂Σ₁. Então, para cadan ∈N^{, existe}F_n∈Σ_Atal queE_n∩A=F_n. Assim,([

n∈N

E_n)∩A= [

n∈N

(E_n∩A) = [

n∈N

F_n∈Σ_A. Portanto, [

n∈N

E_n∈Σ₁. Vamos mostrar agora queΣ₂é umaσ-álgebra:

a) Como∅ ∈Σ_Ae∅ ∈ P(A), então∅=∅ ∪ ∅ ∈Σ₂; b) SeE =F ∪Z ∈Σ2, entãoE ={^AF ∪{^AZ ∈Σ2;

c) Seja{E_n}_n∈N ⊂ Σ₂. Então, para cadan ∈N^{, existem}F_n ∈Σ_AeZ_n ∈ P(A)tais queE_n = F_n∪Z_n. Assim, [

n∈N

E_n = [

n∈N

(F_n∪Z_n) = ([

n∈N

F_n)∪([

n∈N

Z_n). Como [

n∈N

F_n∈Σ_A, por definição deσ-álgebra, e [

n∈N

Z_n⊂ P(A), então [

n∈N

E_n ∈Σ₂.

Exemplo 2.20. SeA,Σ_A,Σ₁ eΣ₂ são como no exemplo2.19, entãoΣ₁ = Σ₂.

Solução. Vamos provar primeiro queΣ₂ ⊂Σ₁. TomeE ∈Σ₂. Existem F ∈Σ_AeZ ⊂ P(A) tais queE = F ∪Z. Assim,E∩A= (F ∪Z)∩A= (F ∩A)∪(Z∩A) =F ∈Σ_A. Portanto, E ∈Σ₁.

Agora, para provar que Σ₁ ⊂ Σ₂, precisamos apenas notar que, para todoE ∈ Σ₁, E =F ∪Z ondeF =E∩A∈Σ_AeZ =E∩A ⊂ P(A), ou seja,E ∈Σ₂.

No próximo teorema, veremos que podemos definirσ-álgebras de um espaço em outro através de funções.

Teorema 2.21. Sejaf :X →Y uma função dada.

a) Se ΣY é uma σ-álgebra em Y, então Σf,X = {f⁻¹(A) ⊂ X : A ∈ ΣY} é uma σ-álgebra emX.

b) Se Σ_X é uma σ-álgebra em X, então Σ_f,Y = {A ⊂ Y : f⁻¹(A) ∈ Σ_X} é uma σ-álgebra emY.

Demonstração. Vamos provar primeiro queΣ_f,X é umaσ-álgebra:

a) ∅ ∈Σ_f,X, pois∅ ∈Σ_Y ef⁻¹(∅) =∅.

b) Se E ∈ Σ_f,X, então existe F ∈ Σ_Y tal que f⁻¹(F) = E e, pelo teorema 1.7, E =f⁻¹(F) =f⁻¹(F)∈Σ_f,X.

c) Seja{E_n}n∈N ⊂Σ_f,X. Pela definição deΣ_f,X, para cadan∈N^{, existe}F_n ∈Σ_Y tal queE_n =f⁻¹(F_n). Pelo teorema1.6, [

n∈N

E_n= [

n∈N

f⁻¹(F_n) =f⁻¹([

n∈N

F_n). Como [

n∈N

F_n∈Σ_Y, pela definição deσ-álgebra, [

n∈N

E_n∈Σ_f,X. Vamos agora provar queΣ_f,Y é umaσ-álgebra:

a) ∅ ∈Σ_f,Y, poisf⁻¹(∅) =∅ ∈Σ_X.

b) SeE ∈Σ_f,Y, existeF ∈Σ_X tal quef⁻¹(E) =F.Assim,f⁻¹(E) =f⁻¹(E) =F ∈ Σ_X, pela definição deσ-álgebra, e, portantoE ∈Σ_f,Y.

c) Seja{En}n∈N ⊂ Σf,Y. Para cadan ∈ N^{, existe}Fn ∈ ΣX tal quef⁻¹(En) = Fn. Assim,f⁻¹([

n∈N

En) = [

n∈N

f⁻¹(En) = [

n∈N

Fn∈ΣX e, portanto, [

n∈N

En∈Σf,Y.

2.2 MEDIDAS

A definição de medida como uma função, como veremos nessa seção, é uma tentativa de generalizar a medida de áreas e volumes. Uma medida em um conjuntoX será uma função µ:P(X)→[0,+∞]que terá algumas propriedades de áreas, volumes e cardinalidades. Da mesma forma que a soma das cardinalidades de conjuntos disjuntos é a cardinalidade da união, por exemplo, exigiremos que a soma da medida de dois conjuntos disjuntos seja a medida da união.

No entanto, assim como no cálculo não conseguimos calcular o valor de certos volumes utilizando integrais, existirão certos conjuntos que não serão mensuráveis, por isso a necessidade de definirmosσ-álgebra. Um exemplo de tal conjunto é o conjunto de Vitali (B .1), que mostra se tentarmos definir uma medida com as propriedades de comprimento presentes na geometria euclidiana chegaremos em uma contradição.

Como ao longo dessa seção serão discutidas funções que assumem valores em[0,∞], vamos definir algumas operação que serão necessárias ao longo do texto:

a) Sea, b∈R, usaremos a definição usual paraa+bea·b;

b) a+∞=∞+∞=∞para todoa∈R^{, mas}a− ∞não é definido;

c) a· ∞=∞ · ∞=∞, para todoa >0;

d) 0· ∞= 0(em contrapartida com o que é ensinado em cálculo).

Além dessas operações, convencionamos também quea <∞, para todoa∈R^einf∅= ∞. A razão dessa última convenção vem do fato de que se A, B ⊂ Rsão conjuntos não-vazios

tais queA ⊂ B, entãoinfA ≥ infB. Assim, para estender essa propriedade, teríamos que inf∅ ≥infApara todoA⊂R^.

Convencionadas essas operações, podemos definir somatórios para um conjunto arbitrário de elementos:

Definição 2.22(Somatórios não-enumeráveis). Seja{x_i}i∈I uma coleção indexada de elemen- tos de[0,∞]. SeI 6=∅, definimos

X

i∈I

x_i = supn X

i∈J

x_i :J ⊂Ié finito o

. DefinimosX

i∈I

xi = 0, casoI =∅. Observações:

– Vale notar que seI é enumerável, então a definição acima concorda com o resultado da definição usual de somatório, já que se a série converge na definição usual, essa série converge absolutamente e podemos modificar a ordem dos elementos da série, sem afetar o resultado.

– Vale notar também que sex_i =∞para algumi∈I, entãoX

i∈I

x_i =∞.

Para falar sobre espaços de medida, vamos introduzir o conceito de família de conjuntos disjunta.

Definição 2.23. Uma família de conjuntos indexada {E_i}i∈I é disjunta se, para todo i 6= j, E_i∩E_j =∅. Em particular, paraI =N, ou seja, se{E_i}i∈Né uma sequência,E_i ∩E_j =∅se i6=j para todoi, j ∈N^.

Definição 2.24(Espaço de medida). Um espaço de medida é uma tripla(X,Σ, µ)onde:

a) Xé um conjunto;

b) Σ⊂ P(X)é umaσ-álgebra de subconjuntos deX;

c) µ: Σ→[0,∞]é uma função tal que:

i) µ(∅) = 0;

ii) Se{E_n}n∈N ⊂Σé uma sequência disjunta de elementos, entãoµ([

n∈N

E_n) =

∞

X

n=0

µ(E_n).

A funçãoµé chamada de medida emX.

Lema 2.25(Propriedades elementares de medida). Seja(X,Σ, µ)um espaço de medida.

a) SeE, F ∈ΣeE∩F =∅, entãoµ(E∪F) =µ(E) +µ(F).

b) SeE, F ∈ΣeE ⊂F, entãoµ(E)≤µ(F).

c) µ(E∪F)≤µ(E) +µ(F), para todoE, F ∈Σ.

d) Se{E_n}_n∈Né uma sequência crescente emΣ(ou seja,E_n ⊂E_n+1para todon ∈N^), entãoµ([

n∈N

E_n) = lim

n→∞µ(E_n) = sup

n∈N

µ(E_n).

e) Se{En}n∈Né uma sequência decrescente emΣ(ou seja,En+1 ⊂En) e seµ(En)<

∞para algumn ∈N^{, então}µ(\

n∈N

E_n) = lim

n→∞µ(E_n) = inf

n∈N

µ(E_n).

Demonstração. SejamE, F ∈Σ. Vamos provar que valem as propriedades:

a) Tome a sequência{En}n∈NondeE1 =E,E2 =F eEn =∅para todon >2. Pela definição de medida, temosµ(E∪F) =µ([

n∈N

En) =X

n∈N

µ(En) =µ(E) +µ(F) + X

n∈N

µ(∅) = µ(E) +µ(F).

b) SejaF −E = G. Entãoµ(F) = µ(E) +µ(G) ≥µ(E), pela propriedade acima e pelo fato deµ(G)≥0.

c) µ(E∪F) =µ((E−F)∪F) =µ(E−F) +µ(F)≤µ(E) +µ(F), pelas propriedades acima.

d) SejaF₁ =E₁ eF_n = E_n−E_n−1, paran > 1. Sen ≤m, por hipótese,E_n ⊂ E_m, então

F_n∩F_m = (E_n−E_n−1)∩(E_m−E_m−1)

= (E_n∩En−1)∩(E_m∩Em−1)

=E_n∩E_m∩En−1 ∩Em−1

=En∩Em−1 ⊂Em−1∩Em−1 =∅.

Portanto,{F_n} ⊂Xé uma sequência disjunta tal que [

n∈N

F_n = [

n∈N

E_neµ([

n∈N

F_n) = X

n∈N

µ(F_n), pela propriedade (cii) da definição2.24.

Comoµ(E_n) =

n

X

i=1

µ(F_n), temosX

n∈N

µ(F_n) = lim

n→∞

n

X

i=1

µ(F_n) = lim

n→∞µ(E_n).Além disso, como{µ(E_n)}é uma sequência crescente, lim

n→∞µ(E_n) = sup

n∈N

µ(E_n).

e) Suponha que µ(E_k) < ∞. Definindo F_n = E_k −E_k+n e F = [

n∈N

F_n, temos uma sequência crescente {F_n}n∈N de forma que µ(F) = lim

n→∞µ(F_n), pelo item

anterior. Comoµ(F_n) +µ(E_k+n) = µ(E_k)eµ(E_k)<∞, podemos escreverµ(F_n) = µ(E_k)−µ(E_k+n). Portanto,

µ(F) = lim

n→∞µ(F_n) = lim

n→∞(µ(E_k)−µ(E_k+n)) =µ(E_k)− lim

n→∞µ(E_k+n).

A sequência {µ(E_n)}n∈N converge, pois é uma sequência decrescente limitada in- feriormente, e, como {µ(Ek+n)}n∈N é uma subsequência de {µ(En)}n∈N, temos limn∈N

µ(E_k+n) = lim

n∈N

µ(E_n)e, portanto, µ(F) = µ(E_k)− lim

n→N

µ(E_n)⇒ lim

n→∞µ(E_n) = µ(E_k)−µ(F).

Agora,µ(F) +µ(E_k−F) =µ(E_k), poisF ⊂E_ke, portanto,µ(E_k−F) =µ(E_k)− µ(F). Utilizando as leis de De Morgan é possível mostrar queE_k−F = \

n∈N

E_n. De fato,

E_k−F =E_k∩F

=Ek∩([

n∈N

Fn)

=E_k∩(\

n∈N

F_n)

= \

n∈N

(E_k∩F_n)

= \

n∈N

(E_k∩E_k−E_k+n)

= \

n∈N

(E_k∩E_k∩E_k+n)

= \

n∈N

(E_k∩(E_k∪E_k+n))

= \

n∈N

[(E_k∩E_k)∪(E_k∩E_k+n)]

= \

n∈N

[∅ ∪E_k+n]

= \

n∈N

E_k+n.

Como E_n+1 ⊂ E_n para todo n ∈ N^{, vale que}

\

n∈N

E_k+n = \

n∈N

E_k e, portanto, E_k−F = \

n∈N

E_k. Logo, temos

µ(\

n∈N

E_n) = µ(E_k)−µ(F) = lim

n→N

µ(E_n).

Ainda, lim

n→N

µ(E_n) = inf

n∈N

µ(E_n), pois{µ(E_n)}é uma sequência decrescente limitada inferiormente.

Corolário 2.26. Se(X,Σ, µ)é um espaço de medida e{En}n∈N⊂Σ, temos µ([

n∈N

E_n)≤X

n∈N

µ(E_n).

Demonstração. TomeFk=

k

[

n=1

En. Pelo item (c) do lema anterior e pelo princípio de indução finita,µ(F_k)≤

k

X

n=1

µ(E_n). Como{F_n}n∈Né uma sequência crescente e [

n∈N

E_n = [

n∈N

F_n, pelo item (d) temos

µ([

n∈N

E_n) =µ([

n∈N

F_n) = lim

n→∞µ(F_n)≤ lim

n→∞

n

X

k=1

µ(E_k) =X

n∈N

µ(E_k).

Observação: No item (e) do lema2.25, é necessário que exista um elementoE_ktal que µ(Ek)∈R, caso contrário é possível construir um exemplo para o qual essa propriedade não vale. Tomando a medida contagem no conjunto dos naturais, é fácil ver que para a sequência {E_n}_n∈N⊂ P(N), ondeE_k ={n∈N:n≥k}, \

n∈N

E_n=∅, mas lim

n→∞µ(E_n) =∞.

Teorema 2.27. Seh:X →[0,∞]é uma função qualquer, então a funçãoµh :P(X)→[0,∞]

definida por

µ_h(E) =X

x∈E

h(x) = supn X

x∈I

h(x) :I ⊂E é finito o

é uma medida emP(X). Essa medida é chamada de medida pontual.

Demonstração. É fácil ver que a tripla(X,P(X), µ)satisfaz as duas primeiras propriedades da definição2.24. Vamos provar então os dois itens da última propriedade:

i) Pela definição2.22de somatórios, temosµ_h(∅) =X

x∈∅

h(x) = 0.

ii) Seja{E_n}n∈N ∈Σuma sequência disjunta. Vamos provar primeiro queµ_h([

n∈N

E_n)≤ X

n∈N

µ_h(E_n). Tome um conjunto finitoE ⊂ [

n∈N

E_n. Existe uma partição{X_n}n∈Nde E tal queX_n ⊂ E_n para todon ∈ N^{. Como} µ_h(X_n) ≤ µ_h(E_n), para todon ∈ N^, temos µ_h(E) ≤ X

n∈N

µ_h(X_n) ≤ X

n∈N

µ_h(E_n). Como E é arbitrário, µ_h([

n∈N

E_n) = sup{µ_h(E) :E ⊂ [

n∈N

E_ntal queE é finito} ≤X

n∈N

µ_h(E_n).

Para provar o outro lado da desigualdade, vamos ter que dividir no caso em que a sériaX

n∈N

µ_h(E_n)converge para infinito e no caso em que a série converge para um número real.

SeX

n∈N

µ_h(E_n)convergir para o infinito, então ou existeE_ntal queµ_h(E_n) = ∞ou

para todoM ∈R^{, existe}N ∈N^{tal que}

N

X

n=1

µ_h(E_n)> M. No primeiro caso, é fácil ver que{µh(E) :E ⊂Ental queEé finito} ⊂ {µh(E) :E ⊂ [

n∈N

Ental queEé finito} e, portanto, µh([

n∈N

En) ≥ µh(En) = ∞. A demonstração do outro caso é pare- cida com o caso em que a série é finita, trocando-se apenas a igualdade por uma desigualdade e usando o fato de queM é arbitrário, demonstrada abaixo.

Suponha então queX

n∈N

µ_h(E_n) = L∈ R. Pela definição de convergência de série, para todo >0, existeN ∈N^{tal que}

N

X

n=1

µ_h(E_n)> L−/2. Agora, para cadaE_n, n = 1,· · · , N, tomeX_n ⊂E_n finito tal queµ_h(X_n)> µ_h(E_n)−/2ⁿ⁺¹. ComoX_n é finito, então

N

[

n=1

Xn é finito e

N

[

n=1

Xn ⊂

N

[

n=1

En ⊂ [

n∈N

En. Assim,

N

X

n=1

µh(Xn) >

N

X

n=1

µ_h(E_n)−/2ⁿ⁺¹ > L−. Portanto, comoé arbitrário, temos queµ_h([

n∈N

E_n)≥ L=X

n∈N

µ_h(E_n).

Exemplo 2.28. Se a ∈ X eh : X → Ré definida porh(x) =







1, sex=a, 0caso contrário

, então a funçãoµ_h :P(X)→Ré uma medida definida no conjunto das partes deXe é chamada de medida delta de Dirac.

Exemplo 2.29. A medida contagem deX é a medidaµ_h :P(X)→R^ondeh:X→R^{é defi-} nida porh(x) = 1, para todox∈X. Ainda,µ_h(E) =







∞, se E é infinito

número de elementos de E, se E é finito .

Definição 2.30(Conjunto de medida nula). Seja(X,Σ, µ)um espaço de medida. Dizemos que um conjuntoA ⊂ X possui medida nula quando existe um conjuntoE ∈ Σtal queA ⊂ E e µ(E) = 0.

Lema 2.31. Sejam(X,Σ, µ)um espaço de medida e N ⊂ P(X)a família de conjuntos de medida nula deX. Então:

a) ∅ ∈ N;

b) seA ⊂B eB ∈ N, entãoA∈ N;

c) se{A_n}_n∈Né uma sequência emN, então [

n∈N

A_n ∈ N. Demonstração.

a) Pela definição de medidaµ(∅) = 0e∅ ⊂ ∅, logo∅ ∈ N.

b) SeB ∈ N, existeE ∈Σtal queB ⊂Eeµ(E) = 0, masA⊂B ⊂E, logoA∈ N. c) Seja{A_n}_n∈N ⊂ N. Pela definição de medida nula (2.30), para cadaA_n, existeE_n

tal que A_n ⊂ E_n eµ(E_n) = 0. Mas [

n∈N

A_n ⊂ [

n∈N

E_n ∈ Σ e, pelo corolário 2.26, µ([

n∈N

E_n)≤X

n∈N

µ(E_n) = 0. Portanto [

n∈N

A_n∈ N.

Definição 2.32(Espaços de medida completos). Seja(X,Σ, µ)é um espaço de medida e seja N a coleção de todos os conjuntos de medida nula. SeN ⊂Σ, então dizemos que(X,Σ, µ)é um espaço de medida completo.

Teorema 2.33. Dado um espaço de medida(X,Σ, µ), existe um espaço de medida completo (X,Σ,˜ µ)˜ tal queΣ⊂Σ˜ eµ(E) =˜ µ(E)para todoE ∈Σ.

Demonstração. Seja N a família de conjuntos de medida nula de (X,Σ, µ) e defina Σ =˜ {E∪Z : E ∈ Σ, Z ∈ N }e, para todo Y ∈ Σ˜ com Y = E ∪Z ∈ Σ∪ N, também defina

˜

µ(Y) =µ(E).Vamos provar primeiro queΣ˜ possui todas as propriedades deσ-álgebra.

a) ∅ ∈Σ˜, pois∅ ∈Σ, por definição deσ-álgebra, e∅ ∈ N, pelo lema2.31.

b) Suponha queY ∈Σ˜, entãoY =E ∪Z comE ∈ΣeZ ∈ N. Queremos provar que Y ∈Σ˜. Para isso provaremos queZ ∈Σ˜, pois, se isso for verdade,

Y =E∪Z =E∩Z =E∩(E1∪Z1) = (E∩E1)∪(E∩Z1)

e, comoE ∩E₁ ∈ΣeE∩Z₁ ⊂Z₁ ∈ N, teríamos demonstrado o que queríamos.

Vamos provar então queZ ∈Σ˜. ComoZ ∈ N, então existeF ∈Σtal queZ ⊂F eµ(F) = 0. É fácil ver então, queZ = F ∪{^FZ e comoF ∈ Σ, pela definição de σ-álgebra, e{^FZ ∈ N, pois{^FZ é um subconjunto deF, temosZ ∈Σ.˜

c) Seja{Y_n}n∈N ⊂Σ˜, ondeY_n=E_n∪Z_npara cadaN ∈N^{. Assim,} [

n∈N

Y_n= [

n∈N

(E_n∪Z_n) = [

n∈N

E_n∪ [

n∈N

Z_n.

Como [

n∈N

E_n∈Σ, pela definição deσ-álgebra, e [

n∈N

Z_n∈ N, pelo lema2.31, então [

n∈N

Y_n∈Σ.˜

Vamos provar queµ˜está bem definida. SejaF = E₁∪Z₁ = E₂∪Z₂ um elemento deΣ˜, comE₁, E₂ ∈ΣeZ₁, Z₂ ∈ N. ComoE₁ = (E₁∩E₂)∪(E₁∩E₂)eE₂ = (E₂∩E₁)∪(E₂∩E₁), temos

(E₁∩E₂)∪(E₁∩E₂)∪Z₁ =E₁∪Z₁ =F =E₂∪Z₂

= (E₂∩E₁)∪(E₂∩E₁)∪Z₂, de forma que(E1∩E2)∪Z1 = (E2∩E1)∪Z2.

Como(E₁∩E₂)∩(E₂∩E₁) =∅,E₁∩E₂ ⊂Z₂eE₂∩E₁ ⊂Z₁ e, pela definição de conjunto de medida nula (2.30), existemA₁, A₂ ∈Σtais queE₁∩E₂ ⊂A₁ eE₂ ∩E₁ ⊂ A₂ eµ(A₁) = µ(A₂) = 0. Logo, µ(E₁ ∩E₂) ≤ µ(A₁) = 0eµ(E₂ ∩E₁) ≤ µ(A₂) = 0, pelas propriedades de medida (2.25), e, portanto,

µ(E₁) =µ(E₁∩E₂) +µ(E₁∩E₂) =µ(E₂ ∩E₁) +µ(E₂ ∩E₁) =µ(E₂).

Aqui também fica claro que, seF ∈Σ,µ(F˜ ) = µ(F)pela forma como definimosµ˜.

Resta provar agora que µ˜ é uma medida. Seja {F_n}n∈N ⊂ Σ˜ uma sequência de elementos disjuntos. Então, para cadan∈N^{, existe}E_n ∈ΣeZ_n∈ N tal queF_n =E_n∪Z_n. Assim,µ(˜ [

n∈N

F_n) =µ([

n∈N

E_n) =X

n∈N

µ(E_n) = X

n∈N

˜

µ(F_n).

2.3 MEDIDA EXTERIOR

Nesta seção, será apresentado o conceito de medida exterior. Enquanto uma medida é uma função definida em umaσ-álgebra de um conjuntoX em que vale a σ-aditividade, uma medida exterior é uma função definida emP(X)em que exigimos que ela seja subaditiva, como veremos a seguir.

Definição 2.34 (Medida exterior). Uma medida exterior em um conjunto X é uma função µ^∗ :P(X)→[0,∞]tal que:

a) µ^∗(∅) = 0;

b) µ^∗(A)≤µ^∗(B)seA⊂B; c) Se{A_n}_n∈N⊂X, entãoµ^∗([

n∈N

A_n)≤X

n∈N

µ^∗(A_n).

Podemos observar que uma medida exterior não é, em geral, uma medida. No entanto, como veremos no próximo teorema, podemos restringir o domínio de uma medida exterior a fim de definir uma medida.

Teorema 2.35(Teorema de extensão de Carathéodory). Sejaµ^∗ :P(X)→[0,∞]uma medida exterior emX. A família de conjuntosΣ_µ^∗ = {A ⊂X :µ^∗(E) =µ^∗(E∩A) +µ^∗(E∩A),∀E ⊂ X}, chamada de família de conjuntosµ^∗-mensuráveis, é umaσ-álgebra e µ: Σ_µ^∗ → [0,∞]

definida porµ(E) = µ^∗(E)é uma medida. Além disso,(X,Σ_µ^∗, µ)é um espaço de medida completo.

Demonstração. Vamos provar primeiro queΣ_µ^∗é uma álgebra.

a) ∅ ∈ Σ_µ^∗, pois para todoE ∈ P(X),µ^∗(E∩ ∅) +µ^∗(E ∩X) = µ^∗(∅) +µ^∗(E) = 0 +µ^∗(E) =µ^∗(E);

b) SeA ∈ Σ_µ^∗, entãoµ^∗(E) = µ^∗(E ∩A) +µ^∗(E ∩A) = µ^∗(E∩A) +µ^∗(E∩A), para todoE ⊂X e, portanto,A∈Σ_µ^∗.

c) Para mostrar que Σ_µ^∗ é uma álgebra basta mostrar que se A, B ∈ Σ_µ^∗, então A∪B ∈ Σµ^∗, e o resultado segue por indução. Suponha então que A, B ∈ Σµ^∗, então, para todoE ⊂X

µ^∗(E) = µ^∗(E∩A) +µ^∗(E∩A)

=µ^∗(E∩A∩B) +µ^∗(E∩A∩B) +µ^∗(E∩A∩B) +µ^∗(E∩A∩B), poisE∩AeE∩A, em particular, são subconjuntos deX.

Como(A∪B) = (A∩B)∪(A∩B)∪(A∩B), pela subaditividade temos

µ^∗(E∩A∩B) +µ^∗(E∩A∩B) +µ^∗(E∩A∩B)≥µ^∗(E∩(A∪B)) e, portanto,

µ^∗(E)≥µ^∗(E∩(A∪B)) +µ^∗(E∩(A∪B)).

Comoµ^∗(E)≤µ^∗(E∩(A∪B))+µ^∗(E∩(A∪B)), segue a igualdade eA∪B ∈Σ_µ^∗. Agora para mostrar queΣ_µ^∗ éσ-álgebra, basta mostrar que Σ_µ^∗ é fechado por uniões enumeráveis de conjuntos disjuntos. Seja então{An}n∈N ⊂Σµ^∗uma sequência disjunta. Defina B_n=

n

[

i=1

A_i eB = [

n∈N

A_n. Comoµ^∗(E∩B₁) =µ^∗(E∩A₁), pela definição deB₁, e para todo n∈N^{e todo}E ⊂X,

µ^∗(E∩B_n) =µ^∗(E∩B_n∩A_n) +µ^∗(E∩B_n∩A_n)

=µ^∗(E∩A_n) +µ^∗(E∩B_n−1),

então, por indução, vale µ^∗(E ∩B_n) =

n

X

i=1

µ^∗(E ∩A_i). Assim, como Σ_µ^∗ é uma álgebra, B_n∈Σ_µ^∗e, logo,

µ^∗(E) = µ^∗(E∩B_n) +µ^∗(E∩B_n)

=

n

X

i=1

µ^∗(E∩A_i) +µ^∗(E∩B_n)

≥

n

X

i=1

µ^∗(E∩A_i) +µ^∗(E∩B).

Tomandon → ∞, temos µ^∗(E)≥X

n∈N

µ^∗(E∩A_n) +µ^∗(E∩B)

≥µ^∗([

n∈N

(E∩An)) +µ^∗(E∩B)

=µ^∗(E∩B) +µ^∗(E∩B)≥µ^∗(E).

Assim, todas as desigualdades devem ser igualdades e segue queB ∈Σ_µ^∗. Tomando E = B, também temos µ^∗(B) = X

n∈N

µ^∗(B ∩A_n) +µ^∗(B ∩B) = X

n∈N

µ^∗(A_n) +µ^∗(∅) = X

n∈N

µ^∗(A_n)e disso segue queµ^∗|Σ_µ^∗ é uma medida.

Resta agora provar que (X,Σµ^∗, µ) é um espaço de medida completo. De fato, se A ∈ Σ_µ^∗ é tal que µ^∗(A) = 0 e B ⊂ A, então µ^∗(E) ≤ µ^∗(E ∩ B) + µ^∗(E ∩ B) ≤ µ^∗(E∩A) +µ^∗(E∩B) = µ^∗(E∩B)≤µ^∗(E)e, portanto,B ∈Σ_µ^∗. Observação: No último item do teorema anterior, provamos que seA∈Σ_µ^∗,µ(A) = 0 eB ⊂A, entãoB ∈Σµ^∗, mas o mesmo argumento pode ser utilizado para mostrar que todo B ⊂Xcomµ^∗(B) = 0é elemento deΣ_µ^∗.

No próximo teorema, veremos que, dado uma funçãoρ:A⊂ P(X)→[0,∞], podemos construir uma medida exterior. A ideia dessa construção é parecida com o método de exaustão para o cálculo de áreas. Enquanto no método de exaustão utilizamos figuras cujas áreas são conhecidas, como polígonos, para aproximar a área de outras figuras cobrindo-as, no teorema a seguir, vamos utilizar a "medida" de conjuntos já conhecidos, como intervalos, para determinar uma "medida" para outros conjuntos.

Teorema 2.36. Seja E ⊂ P(X)e ρ : E → [0,∞] tal que ∅, X ∈ E e ρ(∅) = 0. Para cada A⊂X, defina

µ^∗(A) = infn X

n∈N

ρ(E_n) :E_n∈ E eA⊂ [

n∈N

E_no . Nessas condições,µ^∗é uma medida exterior.

Demonstração. Para todoA ⊂ X, sempre existe uma sequência{E_n}n∈N ⊂ E tal queA ∈ [

n⊂N

E_n(tomandoE_n = X para todon ∈ N, por exemplo), de forma que a função está bem definida. Vamos provar então as propriedades de medida exterior:

a) µ^∗(∅) = 0, pois a sequênciaE_n = ∅para todon ∈ Né uma sequência cuja união contém∅;

b) SejamA, B ⊂Xtais queA⊂B. Se{E_n}_n∈Né uma sequência cuja união contém B, então essa união também contémA. Dessa forma,

n X

n∈N

ρ(E_n) :E_n ∈ E eB ⊂ [

n∈N

E_no

⊂n X

n∈N

ρ(E_n) :E_n∈ E eA⊂ [

n∈N

E_no .

Logo, infn X

n∈N

ρ(E_n) :E_n∈ E eB ⊂ [

n∈N

E_no

≥infn X

n∈N

ρ(E_n) :E_n∈ E eA⊂ [

n∈N

E_no

e, portanto,µ^∗(B)≥µ^∗(A).

c) Seja {A_n}n∈N ⊂ P(X) uma sequência e seja > 0 dado. Para cada n ∈ N^, existe uma sequência{E_kⁿ}k∈Ntal queA_n⊂ [

k∈N

E_kⁿeµ^∗(A_n)≥X

k∈N

ρ(E_kⁿ)−/2ⁿ. DefinindoA= [

n∈N

A_n, temosA⊂ [

n∈N

[

k∈N

E_kⁿe, portanto,µ^∗(A)≤X

n∈N

X

k∈N

ρ(E_kⁿ)≤ X

n∈N

µ^∗(A_n) +.Portanto, comoé arbitrário,µ^∗([

n∈N

A_n) = µ^∗(A)≤X

n∈N

µ^∗(A_n).

2.4 MEDIDA DE LEBESGUE

Nesta seção, apresentaremos a medida de Lebesgue na reta que, segundo Castro (2016), é a mais importante para aplicações e foi o guia de desenvolvimento para a Teoria Geral de Medida. Os teoremas dessa seção foram tirados de (FOLLAND,1999), (COELHO,2012) e (MATHONLINE,2021).

Teorema 2.37. Seja I o conjunto formado por todos os intervalos abertos na reta e seja ρ:I →[0,∞]uma função dada porρ((a, b)) =b−a. A medida exteriorµ^∗ :P(R)→[0,∞]

definida por

µ^∗(A) = infn X

n∈N

ρ(En) :En∈ I eA ⊂ [

n∈N

En

o

possui as seguintes propriedades:

a) µ^∗({x}) = 0, para todox∈R^;