O JOGO COMBINANDO NA CIDADE E O TRABALHO COM A COMBINATÓRIA NO 8o ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL1
THE GAME COMBINANDO NA CIDADE AND THE WORK WITH COMBINATORICS IN THE 8TH GRADE OF MIDDLE SCHOOL
Kevin Santos Silva2 Thiarla Xavier Dal-Cin Zanon3
RESUMO: Ao investigar como o jogo Combinando na Cidade pode auxiliar no processo de ensino e aprendizagem de combinatória para estudantes do 8° ano do ensino fundamental, esta pesquisa traz um estudo de caso qualitativo, do qual participaram alunos de uma escola pública estadual de Cachoeiro de Itapemirim/ES. Para a coleta de dados, foi utilizado o jogo Combinando na Cidade (SILVA, 2014), adaptando sua estrutura e regras. Além de se estudar sobre como o jogo pode ser utilizado em sala de aula de matemática, foi possível aprender a: selecionar questões, planejar aulas que requeriam a abordagem do princípio aditivo e/ou multiplicativo — conforme previsto na BNCC (BRASIL, 2017) — e desenvolver aulas a partir da utilização de jogos pedagógicos (GRANDO, 1995, 2000). Os resultados indicaram que o jogo contribuiu para a motivação dos alunos, os levando a olhar para a análise combinatória com curiosidade e com prazer ao participarem de todo o processo.
Palavras-chave: Jogo Combinando na Cidade. Combinatória. Ensino fundamental. Estudantes do 8°
ano.
ABSTRACT: When investigating how the game Combinando na Cidade (Combining in the City) can help in the process of teaching and learning combinatorics for students in the 8th grade of middle school, a qualitative case study was developed, in which the participants were students from a state public school in Cachoeiro de Itapemirim/ES. For data collection, the game Combinando na Cidade (SILVA, 2014) was used, adapting its structure and rules. In addition to studying how the game can be used in the mathematics classroom, it was learned how to select questions, plan classes that required the additive and/or multiplicative principle — according to BNCC (BRASIL, 2017) — and to develop classes based on the use of pedagogical games (GRANDO, 1995, 2000). As a result, it was found that the game contributed to the students' motivation, making them look at combinatorics with curiosity and with pleasure in participating in the whole process.
Keywords: Game Combinando na Cidade. Combinatorics. Middle School. 8th grade students.
1 Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Graduação em Licenciatura em Matemática do Instituto Federal do Espírito Santo (Ifes) – campus Cachoeiro de Itapemirim. Aprovado em 19 de dezembro de 2022. Membros da banca examinadora: Geovane Carlos Barbosa, Instituto Federal do Espírito Santo (Ifes) - campus Cachoeiro de Itapemirim, http://lattes.cnpq.br/0434333425438480; José Carlos Thompson da Silva, Instituto Federal do Espírito Santo (Ifes) - campus Vitória, http://lattes.cnpq.br/3933241054276489.
2 Licenciando em Matemática pelo Instituto Federal do Espírito Santo (Ifes) – campus Cachoeiro de Itapemirim.
E-mail: kvinsantosilva4@gmail.com.
3 Professora orientadora. Doutora em Educação pela Universidade Federal do Espírito Santo. Professora e Coordenadora do Curso de Licenciatura em Matemática do Instituto Federal do Espírito Santo (Ifes) – campus Cachoeiro de Itapemirim. E-mail: thiarlax@ifes.edu.br, http://lattes.cnpq.br/4458768372376772.
1 INTRODUÇÃO
No decorrer de minhas experiências4 como estudante da educação básica, foi possível perceber que o processo de ensino e aprendizagem de matemática ocorria a partir de procedimentos rotineiros e mecânicos. Hoje, ao retornar à escola para desenvolver as atividades de Estágio Supervisionado e/ou as do Programa de Residência Pedagógica, ainda vejo práticas semelhantes. Com isso, acredito que os alunos começam a pensar que para aprender matemática, basta aplicar fórmulas e repeti-las durante a maior parte dos exercícios. Dessa forma, o conhecimento adquirido torna-se algo temporário e dura apenas até a próxima prova ou trabalho proposto pelo professor.
Nessas mesmas situações de ensino e aprendizagem, foi possível perceber, também, que há professores que possuem a consciência de que não estão alcançando resultados satisfatórios com seus alunos. Todavia, esses docentes encontram dificuldades para repensarem seu fazer pedagógico. Algumas dessas dificuldades podem estar associadas, por exemplo, à quantidade excessiva de aulas do professor, fazendo com que ele fique sobrecarregado e tenha pouco tempo para elaborar sua ação pedagógica. Como consequência disso, o livro didático tende a não ser utilizado de forma apropriada, pois em vez de suporte, torna-se o único guia do fazer pedagógico docente (GRANDO, 1995). Assim, os professores costumam parar, muitas vezes, em apenas repetições de receitas de como ensinar determinado conteúdo (FIORENTINI;
MIORIM, 1990). Desse modo, pode haver uma limitação na prática pedagógica desses docentes, levando a possíveis interferências negativas no processo de ensino e aprendizagem.
Como uma alternativa para ampliar e diversificar o trabalho docente em sala de aula de matemática, Fiorentini e Miorim (1990), Grando (1995, 2000) e Lorenzato (2006) apontam que é necessário promover uma aprendizagem significativa dos conceitos matemáticos. Para isso, Grando (1995) afirma que se deve transcender “[...] a compreensão situacional e determinística de uma única situação-problema [...]” (GRANDO, 1995, p. 13). Nesse cenário, o jogo pode ser pensado como uma importante ferramenta para esse processo.
De acordo com Fiorentini e Miorim (1990), não deve ser apresentado ao aluno um aprender mecânico e repetitivo, “mas um aprender significativo do qual o aluno participe raciocinando,
4 Fala-se exclusivamente da experiência do primeiro autor.
compreendendo, reelaborando o saber historicamente produzido e superando, assim, sua visão ingênua, fragmentada e parcial da realidade” (p. 4). Dessa forma, como alternativa para superar esse aprendizado repetitivo e mecânico, o jogo apresenta possíveis vantagens, tais como: a sistematização de conceitos já aprendidos, o desenvolvimento de estratégias de resolução de problemas, o despertar da criatividade, o senso crítico e a participação do aluno (GRANDO, 1995). Contudo, apesar de materiais manipuláveis, como os jogos, serem importantes para o processo de ensino, é preciso, segundo a Base Nacional Comum Curricular (BNCC), tomar cuidado, pois "[...] esses recursos e materiais precisam estar integrados a situações que propiciem a reflexão [...]" (BRASIL, 2018, p. 298).
Com isso, a motivação para a utilização de um material manipulável em sala de aula se dá pela possibilidade de levar ao aluno uma aprendizagem significativa, superando um aprender mecânico e repetitivo. Assim, esta pesquisa tem o objetivo de investigar como o jogo Combinando na Cidade5 pode auxiliar no processo de ensino e aprendizagem de combinatória para estudantes do 8° ano do ensino fundamental. Assim, tal objetivo pode ser traduzido na seguinte questão: como o jogo Combinando na Cidade pode auxiliar no processo de ensino e aprendizagem de combinatória no 8o ano do ensino fundamental? Para chegar a uma possível resposta, realizamos6 um estudo de caso qualitativo com 21 alunos de uma turma do 8° ano do ensino fundamental, de uma escola pública estadual de Cachoeiro de Itapemirim/ES, no período de outubro a novembro de 2022.
A partir da questão de investigação, apresentamos, a seguir, o referencial teórico, no qual definimos o que é um jogo, quais são os tipos de jogos existentes e em qual categoria está situado o jogo utilizado nesta pesquisa. Para isso, utilizamos as ideias de Fiorentini e Miorim (1990), Grando (1995, 2000) e Silva (2014). Em seguida, trazemos as contribuições do jogo para o ensino de matemática. Ainda no referencial teórico, evidenciamos a matemática subjacente ao jogo, no nosso caso, a análise combinatória (MORGADO et al., 2016; ZANON, 2019). Ademais, focalizamos nos tipos de problemas e agrupamentos que aparecem no jogo Combinando na Cidade.
5 O jogo Combinando na Cidade foi criado e apresentado por Silva (2014). Disponível em: MPECM_ Produto Final_ Guia Didático de Matemática nº 15_ Jose Carlos Thompson _ Versão Final.pdf (capes.gov.br). Acesso em:
26 abr. 2022.
6 A partir de agora, é utilizada a primeira pessoa do plural, pois, em conjunto, são incorporas ao texto as ideias do autor principal e de sua orientadora.
Ainda no que diz respeito à organização deste trabalho, descrevemos, na metodologia, os procedimentos que sustentaram o desenvolvimento desta pesquisa, dentre eles: a base epistemológica, a abordagem utilizada e o tipo de estudo realizado. Além disso, descrevemos com quem e onde a pesquisa foi feita, como o jogo foi elaborado, quais foram os instrumentos utilizados para a coleta de dados, a sequência didática empregada e todo o processo, desde a inserção dos pesquisadores em sala de aula até a aplicação do jogo. Posteriormente, analisamos os dados com base na literatura estudada. Por fim, nas considerações finais, retomamos a questão de investigação e apresentamos algumas possíveis respostas à pergunta de pesquisa.
2 REFERENCIAL TEÓRICO
Nesta seção, apresentamos o aporte teórico da pesquisa realizada. Este foi organizado em duas partes. A primeira trata do jogo no ensino da matemática e tem como base os estudos de Fiorentini e Miorim (1990), Grando (1995, 2000), Lorenzato (2010) e Silva (2014). Nosso objetivo é definir o que é um jogo, os tipos de jogos e, dentre esses tipos, caracterizar o jogo Combinando na Cidade. Na segunda parte, versamos sobre a matemática subjacente ao jogo.
Nosso enfoque será no conceito de análise combinatória, nos tipos de problemas que ela estuda e na apresentação e discussão dos agrupamentos que aparecem no jogo Combinando na Cidade.
Para isso, usamos como base os autores Morgado et al. (2016) e Zanon (2019).
2.1 SOBRE O JOGO NO ENSINO DE MATEMÁTICA
Os jogos estão presentes no dia a dia de praticamente todos nós. Quem não se recorda de brincar com jogos de cartas? Ou de “Pegar varetas”? Ou de uma boa partida de futebol? Geralmente, lembrar-se de algum jogo nos faz voltar no tempo e recordar experiências divertidas, muitas vezes, de nossas brincadeiras entre amigos durante a infância. Além de jogos desse tipo, existem também aqueles com viés pedagógico, ou seja, para fins de ensino e aprendizagem. Eles também trazem a possibilidade de fazer parte de uma experiência divertida e educativa para os alunos em sala de aula. Assim como o jogo do dia a dia acompanha, muitas vezes, uma lista de regras a serem seguidas, o jogo pedagógico não escapa desse padrão, trazendo, além das regras, objetivos que visam ao desenvolvimento de aprendizagens e à sistematização de conhecimentos. No caso do jogo no ensino da matemática, esses conhecimentos estão ligados
a algum conteúdo específico, como, por exemplo, geometria, análise combinatória, equações etc. Mas qual a definição de jogo? Pensando na palavra em si, Antunes (2003) explica que jogo provém de jocu, substantivo masculino de origem latina, que significa gracejo. Em seu sentido etimológico, portanto, expressa um divertimento, brincadeira, passatempo sujeito a regras que devem ser observadas quando se joga. Significa também balanço, oscilação, astúcia, ardil, manobra (ANTUNES, 2003, p.11).
De maneira similar à citação anterior, para Grando (1995), jogo é definido como “[...] uma atividade desinteressada e regrada” (p. 35). No entanto, de forma mais aprofundada, essa autora busca características que um jogo possui, com o objetivo de definir de modo mais claro quais atividades podem ser consideradas um jogo. Assim, Grando (1995), a partir dos estudos de Huizinga (1990), destaca que o jogo é uma atividade livre, na qual o jogador só joga se estiver com vontade, podendo parar ou começar a qualquer hora; é algo que se apresenta como um intervalo, uma pausa, um momento de lazer em nosso cotidiano. Por isso, é uma atividade temporária.
Além disso, dentro do jogo, existe uma ordem específica e absoluta, sendo que “[...] qualquer desobediência a isto ‘estraga o jogo’” (GRANDO, 1995, p. 34). Desse modo, não existe jogo se não existir regras. Em vista disso, essas regras devem ser respeitadas pelos jogadores a fim de que o jogo flua com harmonia; enquanto se joga, o jogo flui, muda, se move. Mas quando acaba, o jogo para, pois ele é delimitado pelo tempo ou por apresentar um vencedor (GRANDO, 1995). A autora sinaliza que, mesmo que o jogador seja derrotado, é na ação do jogo que o indivíduo “[...] pode conhecer-se, estabelecer o limite de sua competência enquanto jogador e reavaliar o que precisa ser trabalhado, desenvolvendo suas potencialidades, para evitar uma próxima derrota” (GRANDO, 1995, p. 42-43). Nesse contexto, com base no que já foi pontuado até aqui, uma atividade representa um jogo se ela for considerada como
[...] livre, conscientemente tomada como não-séria e exterior à vida habitual, mas ao mesmo tempo capaz de absorver o jogador de maneira intensa e total. É uma atividade desligada de todo e qualquer interesse material, com a qual não se pode obter qualquer lucro, praticada dentro dos limites espaciais e temporais próprios, segundo uma certa ordem e certas regras (HUIZINGA, 1990, p. 16, apud GRANDO, 1995, p. 34, grifo da autora).
A partir dessa explicação, é importante questionar o seguinte: se a atividade é desinteressada, com um fim em si mesma, como é possível usá-la como um recurso pedagógico na sala de aula?
Como ela pode facilitar a compreensão do aluno? Como possível resposta, podemos pensar que, quando inserido em um contexto de ensino e aprendizagem, o jogo assume um papel diferente.
Ele vai além de uma simples ação lúdica para se tornar um jogo pedagógico. A atividade pode
ser algo livre e desinteressada para o aluno, mas, para o professor, é uma atividade que visa a um interesse didático e pedagógico, em que se pode utilizar o jogo como motivação à ação, à exploração e à construção de conceitos matemáticos. Nesse sentido, Grando (1995) afirma que
[...] para o aluno, a atividade é livre e desinteressada no momento de sua ação sobre o jogo, mas, para o professor, é uma atividade provida de um interesse didático- pedagógico, visando um “ganho” em termos de motivação do aluno à ação, à exploração e construção de conceitos matemáticos. Portanto, quando o professor
“interfere” no jogo do aluno, questionando sobre suas jogadas e estratégias desenvolvidas, a atividade deixa de ser “desinteressada” para o aluno, porque o objetivo do jogo passa a ser também o conceito matemático que está sendo trabalhado no jogo (p. 35).
Olhando para esta afirmativa e para o lado da análise dos atributos ou características que podem justificar a inserção de um jogo em um contexto educacional, Grando (2000) evidencia que
“[...] este representa uma atividade lúdica, que envolve o desejo e o interesse do jogador pela própria ação do jogo [...]” (p. 26). Mas, como o jogo pode ser desinteressante e interessante para o aluno ao mesmo tempo? Ele é desinteressante quanto ao fato de não apresentar um lucro, sem o objetivo de conquistar um interesse material. No entanto, pode ser interessante quanto à ação, pois a partir do momento que o jogo evolui, a tendência é que o aluno aumente seu nível de interesse por aquela atividade. Porém, há um outro fator: os alunos podem sentir um maior estímulo em participar dessas atividades se ganharem uma recompensa (uma atividade que vale nota, por exemplo).
Grando (2000) continua seu raciocínio ao afirmar que o jogo, quando não é cooperativo, é uma atividade que estimula a competição e leva o aluno a superar seus desafios, motivando-o a conhecer seus limites e a superá-los enquanto busca a vitória e adquire coragem e confiança para se arriscar. Dessa forma, essa atividade, quando colocada em um contexto educacional, tem um importante papel no resgate do prazer de aprender matemática de uma forma significativa (GRANDO, 2000). Contudo, a autora traz um importante alerta quanto ao uso de jogos em aulas de matemática. Ela aponta que alguns educadores acreditam que o estímulo causado por uma atividade diferente seja suficiente para que a aprendizagem ocorra. Por isso, ela ressalta que é necessária, também, uma intervenção pedagógica, a fim de que o jogo seja realmente útil para esse processo. Nesse mesmo sentido, Fiorentini e Miorim (1990) destacam que
o professor não pode subjugar sua metodologia de ensino a algum tipo de material porque ele é atraente ou lúdico. Nenhum material é válido por si só. Os materiais e seu emprego sempre devem estar em segundo plano. A simples introdução de jogos ou atividades no ensino da matemática não garante uma melhor aprendizagem desta disciplina (p. 3).
Os autores ressaltam ainda que “[...] por trás de cada material, se esconde uma visão de educação, de matemática, do homem e do mundo; ou seja, existe, subjacente ao material, uma proposta pedagógica que o justifica” (FIORENTINI; MIORIM, 1990, p. 2). Diante disso, é importante que professores de matemática conheçam os diferentes formatos, tipos e/ou classificações de jogos.
Segundo Grando (1995), existem seis classificações de jogos, são elas:
Jogos de azar - melhor seria se fossem chamados de “jogos de sorte”. São aqueles que dependem apenas da “sorte” para vencer o jogo. O jogador não tem como interferir ou alterar na solução. Ele depende das probabilidades para vencer. Exemplos deste tipo de jogos são: lançamento de dados, par ou ímpar, cassinos, loterias…
Jogos quebra-cabeça - são aqueles em que o jogador, na maioria das vezes, joga sozinho e sua solução ainda é desconhecida para ele. Exemplos deste tipo de jogos são: quebra-cabeças, enigmas, charadas, paradoxos, falácias, probleminhas e Torre de Hanói.
Jogos de estratégia (e/ou jogos de construção de conceitos) – [...] São aqueles que dependem única e exclusivamente do jogador para vencer. O fator “sorte” ou
“aleatoriedade” não está presente. O jogador deve elaborar uma estratégia, que não dependa de sorte, para tentar vencer o jogo. Exemplos deste tipo de jogo são: xadrez, damas e kalah.
Jogos de fixação de conceitos - são aqueles cujo objetivo está expresso em seu próprio nome: “fixar conceitos”. São os mais comuns, muito utilizados nas escolas que propõem o uso de jogos no ensino ou “aplicar conceitos”. Apresentam o seu valor pedagógico na medida em que substituem, muitas vezes, as listas e mais listas de exercícios aplicadas pelos professores para que os alunos assimilem os conceitos trabalhados. É um jogo utilizado após o conceito.
Jogos pedagógicos - [...] São aqueles que possuem seu valor pedagógico, ou seja, que podem ser utilizados durante o processo ensino-aprendizagem. Na verdade, eles englobam todos os outros tipos.
Jogos computacionais - são os mais modernos e de maior interesse das crianças e jovens na atualidade. São aqueles que são projetados e executados no ambiente computacional (p. 52-53).
Observando essa classificação, é possível notar que os jogos pedagógicos podem conter características de todos os outros tipos de jogos. Entretanto, há o diferencial de poderem ser usados no processo de ensino e aprendizagem, pois
[...] o jogo dito pedagógico apresenta-se produtivo ao professor que busca nele um aspecto instrumentador e, portanto, facilitador à aprendizagem do aluno e, também, produtivo ao aluno, que desenvolve sua capacidade de pensar, refletir, analisar, levantar hipóteses, testá-las e avaliá-las, além do desenvolvimento da autonomia e da socialização propiciadas pelo movimento do jogo (GRANDO, 1995, p. 44).
Para que o jogo pedagógico tenha esse caráter de produtividade, é importante saber como trabalhar com ele em sala de aula. Por isso, Grando (2000) apresenta diferentes momentos a se considerar na hora de explorar um jogo, são eles:
1o) Familiarização com o material do jogo: neste primeiro momento, os alunos entram em contato com o material do jogo, identificando materiais conhecidos, como:
dados, peões, tabuleiros e outros, e experimentam o material através de simulações de possíveis jogadas. É comum o estabelecimento de analogias com os jogos já conhecidos pelos alunos. 2o) Reconhecimento das regras: o reconhecimento das regras do jogo, pelos alunos, pode ser realizado de várias formas: explicadas pelo orientador da ação ou lidas ou, ainda, identificadas através da realização de várias partidas-modelo, onde o orientador da ação pode jogar várias partidas seguidas com um dos alunos, que aprendeu previamente o jogo, e os alunos restantes tentam perceber as regularidades nas jogadas e identificam as regras do jogo. 3o) O “Jogo pelo jogo”: jogar para garantir regras: este é o momento do jogo pelo jogo, do jogo espontâneo simplesmente, em que se possibilita ao aluno jogar para garantir a compreensão das regras. Neste momento, são exploradas as noções matemáticas contidas no jogo. O importante é a internalização das regras, pelos alunos. Joga-se para garantir que as regras tenham sido compreendidas e que vão sendo cumpridas.
4o) Intervenção pedagógica verbal: depois dos três momentos anteriores, os alunos passam a jogar agora contando com a intervenção propriamente dita. Trata-se das intervenções que são realizadas verbalmente, pelo orientador da ação, durante o movimento do jogo. Este momento caracteriza-se pelos questionamentos e observações realizadas pelo orientador da ação a fim de provocar os alunos para a realização das análises de suas jogadas (previsão de jogo, análise de possíveis jogadas a serem realizadas, constatação de jogadas erradas realizadas anteriormente, etc.).
Neste momento, a atenção está voltada para os procedimentos criados pelos sujeitos na resolução dos problemas de jogo, buscando relacionar este processo à conceitualização matemática. 5o) Registro do jogo: é um momento que pode acontecer, dependendo da natureza do jogo que é trabalhado e dos objetivos que se tem com o registro. O registro dos pontos, ou mesmo dos procedimentos e cálculos utilizados, pode ser considerado uma forma de sistematização e formalização, através de uma linguagem própria que, no nosso caso, seria a linguagem matemática. É importante que o orientador da ação procure estabelecer estratégias de intervenção que gerem a necessidade do registro escrito do jogo, a fim de que não seja apenas uma exigência, sem sentido para a situação de jogo. 6°) Intervenção escrita: trata-se da problematização de situações de jogo. Os alunos resolvem situações-problema de jogo, elaboradas pelo orientador da ação ou mesmo propostas por outros sujeitos. A resolução dos problemas de jogo propicia uma análise mais específica sobre o jogo, onde os problemas abordam diferentes aspectos do jogo que podem não ter ocorrido durante as partidas. Além disso, trata-se de um momento onde os limites e as possibilidades do jogo são resgatados pelo orientador da ação, direcionando para os conceitos matemáticos a serem trabalhados (aprendizagem matemática). O registro do jogo também está presente, neste momento. 7°) Jogar com “competência”: um último momento representa o retorno à situação real de jogo, considerando todos os aspectos anteriormente analisados (intervenções). É importante que o aluno retorne à ação do jogo para que execute muitas das estratégias definidas e analisadas durante a resolução dos problemas (GRANDO, 2000, p. 43-45, grifo nosso).
Nesse último momento, chamado jogar com “competência”, busca-se estabelecer um tempo em que os processos de análise do jogo e da intervenção realizada pelo professor possam fazer sentido no momento do próprio jogo. A análise é feita para melhorar, buscar estratégias vencedoras e colocá-las em prática. Já com a intervenção, procura-se interferir da menor forma possível, deixando o jogo fluir e seguir seu movimento (GRANDO, 2000, p. 46). Dessa maneira, a autora conclui que “[...] considerando esses momentos de jogo, infere-se que no jogo e pelo jogo o aluno possa construir conceitos matemáticos, dependendo do tipo de intervenção a que será submetido” (GRANDO, 2000, p. 47).
Além de utilizarmos os jogos na perspectiva pedagógica, como destaca Grando (1995, 2000), também o compreendemos como sendo um recurso didático. De acordo com a autora, recursos desse tipo “[...] são entendidos como modelos concretos ou não, que possam contribuir e facilitar a aprendizagem matemática dos alunos na escola” (GRANDO, 2015, p. 394). Nesse sentido, Lorenzato (2010), ao se referir a material didático (MD), ressalta que este é “[...]
qualquer instrumento útil ao processo de ensino-aprendizagem. Portanto, MD pode ser um giz, uma calculadora, um livro, um quebra-cabeça, um jogo [...]” (p. 18). O autor ainda acrescenta que
os MD podem desempenhar várias funções, conforme o objetivo a que se prestam, e, por isso, o professor deve perguntar-se para que ele deseja utilizar o MD: para apresentar um assunto, para motivar os alunos, para auxiliar a memorização de resultados, para facilitar a redescoberta pelos alunos? São respostas a essas perguntas que facilitarão a escolha do MD mais conveniente à aula (LORENZATO, 2010, p.
18).
Por isso, é importante lembrar que o MD pode ser um auxílio no ensino e na aprendizagem;
uma alternativa metodológica que está à disposição tanto do professor quanto do aluno.
Entretanto, o seu uso não é uma garantia de ensino e nem de aprendizagem (LORENZATO, 2010). Assim, ao se referir ao professor e ao uso do MD, o autor pontua a importância de se aproveitar corretamente esse tipo de material. Além de saber se será conveniente a utilização de um MD para auxiliar no processo de aprendizagem, o professor deve se questionar sobre como empregará esse material (LORENZATO, 2010).
Ao usar os jogos na perspectiva do MD, concebemos que eles se diferem da simples manipulação de materiais, pois possuem características próprias que os dão um status diferenciado, uma vez que apresentam regras que precisam ser seguidas. Além disso, segundo Grando (2015), o jogo é uma atividade voluntária, na qual é importante que fique claro, ao seu final, quem foi o vencedor (ou se houve um empate) e qual é o seu movimento, ou seja, início, meio e fim.
Diante das reflexões de Lorenzato (2010) e dos apontamentos de Grando (1995, 2000), devemos nos atentar sobre como podemos usar os jogos como um material didático com o intuito de auxiliar no processo de ensino e aprendizagem de matemática. Desse modo, retomamos a ideia de jogos pedagógicos. Segundo Grando (2015), existem duas formas de se trabalhar com jogos pedagógicos em sala de aula: a primeira seria quando o professor planeja uma aula ou uma sequência didática envolvendo determinado conteúdo e cria um jogo, ou busca
algum outro jogo existente desenvolvido com o objetivo de ensinar aquela matemática que ele deseja; a segunda seria quando o professor
[...] busca na atividade lúdica de seus alunos, jogos de entretenimento, que foram criados com esse fim ou ainda jogos criados para passatempo em uma determinada cultura e planeja uma ação intencional a fim de explorar, também, a matemática a partir desse jogo, uma matemática que possibilita dar sentido à estratégia do jogo (GRANDO, 2015, p. 398, grifo da autora).
Nesse último caso, por ser um jogo de entretenimento que faz parte de uma cultura, pode ser mais interessante trabalhar dessa forma na sala de aula, uma vez que essa ação pode ser proveitosa do ponto de vista do aluno que, a partir do conhecimento matemático adquirido no jogo, tende a melhorar sua atuação ao jogar (GRANDO, 2015). Por isso, é importante considerar que à medida que o jogo evolui, o aluno é desafiado a superar situações e a elaborar estratégias e procedimentos para vencer. Dessa forma, ao utilizar o jogo, é possível observar uma oportunidade de se trabalhar em conjunto com a resolução de problemas, pois na perspectiva de Grando (2015) “o cerne da resolução de problemas está no processo de elaboração de estratégias, levantamento de hipóteses, problematização, registro e análise/validação de resoluções” (p. 399).
Contudo, para garantir a efetividade do uso desse tipo de material em sala de aula, é importante que as problematizações partam do jogo e não sobre o jogo (GRANDO, 2015, p. 404). Assim, para que isso ocorra, é importante a participação e a intervenção do professor durante esse processo, provocando o raciocínio do aluno e o desenvolvimento de suas habilidades matemáticas. Afinal, apenas o ato de jogar o jogo tem pouca contribuição para uma aprendizagem matemática, pois o que possibilita um trabalho efetivo a partir do jogo é todo o processo de mediação realizado pelo professor (GRANDO, 2015, p. 403).
Grando (2015) chega, então, à conclusão de que “[...] o jogo, enquanto recurso didático, necessita ser problematizado e essa ação não é realizada pelo próprio jogo, mas pelo professor que tem uma intenção ao levar o jogo para a sala de aula” (GRANDO, 2015, p. 404). Além disso, a autora ainda pontua que “o conceito matemático vai sendo explorado na ação do jogo e [pela] mediação do professor e dos colegas, uma vez que não basta jogar simplesmente para construir as estratégias e determinar o conceito” (GRANDO, 2015, p. 401). A matemática presente no jogo precisa ser explorada durante o processo, no ato de jogar, com o professor mediando a ação para que os alunos possam refletir acerca do conhecimento que está sendo
trabalhado e sistematizar alguma aprendizagem. Por essa razão, é evidenciada, na próxima seção, a matemática subjacente ao jogo Combinando na Cidade.
2.2 SOBRE A MATEMÁTICA SUBJACENTE AO JOGO
O jogo Combinando na Cidade, segundo Silva (2014, p. 30) “[...] trata da Análise Combinatória utilizando jogo de trilha e fazendo um estudo teórico de situações que podem ser exploradas por professores de matemática”. Essas situações podem aparecer no dia a dia, como, por exemplo, saber de quantas formas diferentes é possível trocar os pneus de um carro; quantas combinações de sabores são possíveis de serem escolhidas em uma sorveteria; de quantas formas é possível sair e entrar de uma cidade passando por lugares diferentes etc. Mas afinal, o que é análise combinatória7? Segundo Morgado et al. (2016, p. 1), muitos alunos do ensino médio dizem que ela é o estudo das combinações, dos arranjos e das permutações.
Essa resposta não está errada, mas está incompleta, pois os autores ressaltam que, embora as combinações, os arranjos e as permutações façam parte da análise combinatória, estes são apenas conceitos que permitem resolver alguns problemas: “os de contagem de certos tipos de subconjuntos de um conjunto finito, sem que seja necessário enumerar seus elementos”
(MORGADO et al., 2016, p. 1). Silva (2014) destaca que isso acontece pelo fato de esses tipos de problemas serem mais simples e possuírem um uso mais amplo. Assim, o estudo das combinações, arranjos e permutações, são, geralmente, privilegiados em análise combinatória.
Porém, essa matemática não está resumida apenas a esses três agrupamentos.
Segundo Morgado et al. (2016), a análise combinatória trata de vários tipos de problemas e dispõe de diferentes técnicas para resolvê-los. Assim, dizer que ela é apenas o estudo das combinações, dos arranjos e das permutações é algo bastante limitado. Por isso, os autores afirmam que “[...] a Análise Combinatória é a parte da Matemática que analisa estruturas e relações discretas” (p. 1), ou seja, algo mais amplo do que somente combinações, arranjos e permutações. Então, além de tratar dos diferentes tipos de agrupamentos e de quantas formas é possível reordenar determinados objetos distintos, Morgado et al. (2016) destacam que a combinatória nos permite “demonstrar a existência de subconjuntos de elementos de um
7 Neste texto, análise(s) combinatória(s) e combinatória(s) são usadas como palavras sinônimas.
conjunto finito dado e que satisfazem certas condições” (p. 1) ou “contar ou classificar os subconjuntos de um conjunto finito e que satisfazem certas condições dadas” (p. 2).
Nesse contexto e considerando que o jogo Combinando na Cidade (SILVA, 2014) trabalha com a combinatória de uma forma mais ampla, trazendo não só os conceitos de combinação, arranjo e permutação, mas também as permutações caóticas8, o princípio das gavetas de Dirichlet9, o princípio da inclusão-exclusão10, entre outros — com os quais é possível trabalhar com a análise combinatória e se aprofundar nessa temática —, consideramos viável realizar um estudo dos conceitos citados, usando o jogo de Silva (2014) como suporte ao ensino.
Porém, devido ao trabalho realizado ser com alunos do ensino fundamental, não focalizaremos em conceitos que julgamos mais complexos, como o princípio das gavetas de Dirichlet, por exemplo. Mas então, por que trabalhar com um jogo que tem como base a análise combinatória, com alunos do ensino fundamental, sendo que esse conteúdo geralmente é apresentado aos estudantes somente na 2ª série do ensino médio? Nossa opção se fundamenta nos argumentos de Zanon (2019), ao destacar que a contagem é uma das primeiras atividades que a criança aprende (ZANON, 2019). Além disso, a autora afirma, com base em Morgado et al. (1991), que “[...] à medida que vão crescendo, as crianças aprendem as operações aritméticas por meio da aplicação delas na resolução de problemas de contagem” (MORGADO et al., 1991, apud ZANON, 2019, p. 57). Assim, observando esse comportamento, é possível compreender que o ensino de combinatória tem início na educação infantil com as ideias de seriação (ZANON, 2019).
Segundo Zanon (2019), “no ensino fundamental, assim como na educação infantil, a combinatória aparece diluída nos conteúdos estudados nessa etapa da educação básica” (p. 58).
Conteúdos como o princípio multiplicativo e o princípio aditivo, que são alguns conteúdos chave da análise combinatória, se fazem presente na vida do aluno desde o ensino fundamental.
Além disso, Borba (2013), citada por Silva (2014), defende o ensino de análise combinatória desde os anos iniciais, sendo esse ensino apresentado de forma aprofundada e contínua ao longo
8 “Uma permutação dos números (1, 2, ..., n) é dita caótica [...] quando nenhum número está no seu lugar primitivo.
Assim, as permutações 2143 e 3142 são caóticas, mas 1342 não é (1 está no seu lugar primitivo)” (MORGADO et al., 2016, p. 64).
9 Esse princípio diz que “se n objetos forem colocados em, no máximo, n - 1 gavetas, então pelo menos uma delas conterá pelo menos dois objetos” (MORGADO et al., 2016, p. 76).
10 “O Princípio de Inclusão-Exclusão é uma fórmula para contar o número de elementos que pertencem à união de vários conjuntos não necessariamente disjuntos” (MORGADO et al., 2016, p. 53).
da escolarização. Assim, acredita-se que no ensino médio, o aluno tenha uma melhor compreensão de como as fórmulas podem ser usadas para resolver problemas de análise combinatória.
Quando pensamos no ensino fundamental, especialmente em turmas de 8º ano, é possível trabalhar conceitos da análise combinatória (combinações simples, arranjo simples e permutação simples) utilizando o princípio multiplicativo e o princípio aditivo. De acordo com a BNCC (BRASIL, 2017), no 8° ano, dentro da unidade temática “Números”, um dos objetos de conhecimento é o princípio multiplicativo da contagem. Nela, vê-se que é possível desenvolver a habilidade de “resolver e elaborar problemas de contagem cuja resolução envolva a aplicação do princípio multiplicativo” (BRASIL, 2017 p. 313). Dessa maneira, ao chegar ao ensino médio, os alunos podem ter uma experiência mais enriquecedora com os estudos dessa temática, uma vez que já terão alguma base de conhecimento prévio.
Em se tratando do jogo Combinando na Cidade (SILVA, 2014), a matemática subjacente a ele evidenciada nesta pesquisa diz respeito aos princípios aditivo e multiplicativo, arranjo, permutação e combinação simples. Os princípios da adição e da multiplicação “[...] constituem a ferramenta básica para resolver os problemas de contagem [...]” (MORGADO et al., 2016, p.
16). Já os arranjos e as combinações simples nos permitem reorganizar conjuntos em diferentes agrupamentos sem repetições de elementos. Todavia, há uma diferença: no arranjo, a ordem em que esses agrupamentos são ordenados importa; já na combinação simples, a ordem e o reordenamento não possuem impacto. Isso acontece já que na combinação não se tem um interesse na ordem em que os elementos são ordenados, e sim na natureza desses elementos, diferentemente do arranjo, em que, além da natureza dos elementos, ele está preocupado com a ordem em que eles irão se agrupar. Por fim, o estudo das permutações simples nos permite saber de quantos modos é possível reordenar n objetos distintos que fazem parte de um mesmo conjunto (MORGADO et al., 2016). Esses objetos podem ser as letras de uma palavra ou os números de um código, por exemplo, desde que não haja repetição de um mesmo elemento.
Alguns exemplos desses agrupamentos são mostrados no Quadro 1:
Quadro 1 - Exemplos envolvendo os agrupamentos simples
Agrupamento Exemplos Resolução
Princípio aditivo Em um provador há 3 camisas Nesse problema, o que queremos saber é o total de
e 3 bermudas. Um cliente irá provar todas as peças. Qual o total de peças a serem provadas? (SILVA, 2014, p.
40).
peças que o cliente irá provar. No provador, há um total de 3 camisas e 3 bermudas, e o cliente irá provar todas elas. Então, basta realizar a seguinte soma: 3 camisas + 3 bermudas, que é igual a um total de 6 peças a serem provadas. Como queremos saber a soma de todas as possibilidades, então é um problema que envolve o princípio aditivo.
Princípio
multiplicativo Deseja-se confeccionar uma cédula de R$ 20,00 contendo uma figura e uma marca d'água. Há 4 figuras e 3 marcas d'água disponíveis. Quantos modelos de cédula de R$ 20,00 são possíveis de confeccionar a partir dos elementos disponíveis? (SILVA, 2014, p.
55)
Esse é um problema fictício, apenas com fins didáticos, pois sabemos que uma cédula não pode conter mais de uma figura e uma marca d'água. Nesse caso, temos disponíveis 4 figuras e 3 marcas d'água para confeccionar uma cédula de 20 reais, porém só usaremos uma figura e uma marca d'água. Dessa forma, temos o seguinte pensamento: 1) para cada figura, posso escolher 3 marcas d'água diferentes ou 2) para cada marca d'água, posso escolher 4 figuras. Usando o pensamento 1, nomeando as 4 figuras de A, B, C e D, temos o seguinte:
● para a figura A, temos 3 marcas d'água, ou seja, 3 possibilidades diferentes de cédulas;
● para a figura B, temos 3 marcas d'água, ou seja, 3 possibilidades diferentes de cédulas.
Esse mesmo raciocínio é utilizado com a figura C e D.
Somando todas as possibilidades, temos que 3 + 3 + 3 + 3 = 12 ou 4 figuras x 3 marcas d'água é igual a um total de 12 cédulas. Esse problema envolve o princípio multiplicativo, pois queremos saber o número de possibilidades para construir uma determinada sequência.
Princípio aditivo
e multiplicativo Na sala de espera há 30 cadeiras, das quais 20 estão ocupadas. De quantas formas
um paciente e um
acompanhante podem se acomodar nas cadeiras?
(SILVA, 2014, p. 49)
Para resolver esse problema, precisamos pensar em dois casos distintos: 1o) o paciente escolhe a cadeira primeiro, e depois o acompanhante escolhe; 2o) o acompanhante escolhe a cadeira primeiro, e depois o paciente escolhe. Então: 1º caso: o paciente tem 10 possibilidades e o acompanhante 9. 2º caso: o acompanhante tem 10 possibilidades e o paciente 9.
Como nesse caso, o paciente e o acompanhante irão escolher os lugares, precisamos multiplicar as possibilidades de escolha. Além disso, como pode acontecer o primeiro caso ou o segundo caso, nós somamos o total de possibilidades dos dois casos.
Assim: 10x9 + 10x9 = 180, ou, ainda, 2x (10 x 9) = 180.
Como irá acontecer um caso ou outro, então é preciso dividir 180 por 2, chegando ao resultado final de 90 formas diferentes. Nessa questão, além de descobrir o número de possibilidades para saber como o paciente e o acompanhante podem se acomodar, também precisamos saber a soma dessas possibilidades, pois, como vimos, podem ocorrer dois casos diferentes: em um, o paciente escolhe o lugar antes do acompanhante;
no outro, o acompanhante escolhe primeiro. Por isso, é um problema que envolve o princípio aditivo e multiplicativo.
Arranjo simples Para ocupar os cargos de presidente e de vice-presidente do grêmio de uma escola,
Nesse problema, inicialmente devemos nos lembrar de que serão duas pessoas diferentes a exercerem esses cargos. Depois, podemos pensar da seguinte forma: 1°:
candidataram-se 5 alunos. De quantos modos distintos a escolha para esses cargos pode ser feita?
ao escolher o presidente, temos 5 opções de escolhas entre os 5 alunos; 2°: escolhido o presidente, temos agora 4 opções de escolha para o cargo de vice- presidente. Assim, realizando o seguinte cálculo:
presidente x vice-presidente, ou seja, 5 possibilidades x 4 possibilidades, concluímos que a escolha desse cargo pode ser feita de 20 modos distintos, pois ao multiplicar as possibilidades de escolha de presidente e vice- presidente (5x4), chegamos a 20 modos distintos de ocupação para os cargos do grêmio. Isso ocorre porque temos pessoas distintas para ocupar diferentes cargos.
Por exemplo: escolher João para presidente e Maria para vice-presidente é uma possibilidade diferente de escolher Maria para presidente e João para vice- presidente. Nesse caso, a ordem de escolha dos representantes impacta no número de possibilidades, afinal, ela interfere na posição ocupada. Por isso, esse é um problema envolvendo arranjo simples.
Combinação
simples Para ocupar os cargos de representantes do grêmio de uma escola, candidataram-se 5 alunos. Apenas dois alunos seriam escolhidos para os cargos. De quantos modos distintos a escolha para esses cargos pode ser feita?
Podemos observar que esse exemplo é semelhante ao anterior, com um detalhe de diferença: aqui, serão votados representantes, não especificando a função de cada um. Assim, nas escolhas para esses cargos, a ordem da votação não importa. Por exemplo: se o aluno A for o mais votado, seguido do aluno B, eles terão a mesma função. O mesmo acontece se o aluno B for o mais votado e depois o aluno A. Dessa forma, {A, B} = {B, A}. Então, essa escolha conta como uma mesma possibilidade, pois envolve duas pessoas distintas para ocupar dois cargos de uma mesma natureza. Assim, devemos primeiro considerar todas as possibilidades (mesmo as que contam como uma possibilidade, como foi citado no exemplo do aluno A e aluno B), e, depois, para desconsiderar essas possibilidades repetidas, dividimos o valor obtido pelo número de cargos que está sendo proposto. Nesse caso, para todas as possibilidades, multiplicamos 5 x 4 (assim como foi no exemplo anterior) e dividimos o resultado por dois (dois cargos), chegando no número de 10 possibilidades.
Permutação
simples Uma vendedora deseja separar as roupas por tamanho: P, M, G e EXG em quatro prateleiras.
Sabendo que cada tamanho ficará em uma prateleira diferente, de quantas formas são possíveis fazer a separação? (SILVA, 2014, p.
50)
Essa vendedora deseja separar as roupas por tamanho, colocando cada tamanho em uma prateleira. As roupas têm 4 tamanhos diferentes, sendo P, M, G e EXG. Na primeira prateleira, ela pode colocar as roupas P, M, G ou EXG. Na segunda prateleira, sobrará apenas 3 tamanhos. Na terceira prateleira, 2 tamanhos e na última, 1 tamanho. Assim, temos: 4 possibilidades de tamanho para ela escolher para organizar na primeira prateleira; 3 possibilidades na segunda prateleira; 2 possibilidades na terceira prateleira e 1 possibilidade na última prateleira. Portanto, nesse caso, precisamos multiplicar todas as possibilidades, realizando o cálculo 4x3x2x1, chegando a um total de 24 possibilidades.
Como temos elementos distintos e queremos saber todas as sequências possíveis formadas por esses elementos, é um problema envolvendo permutação simples.
Fonte: Elaborado pelos autores, 2022.
Com base no que foi discutido, acreditamos que o trabalho com o jogo Combinando na Cidade auxilia no desenvolvimento dos conceitos dos agrupamentos mencionados, a partir da utilização de conhecimentos do princípio aditivo e multiplicativo. Ademais, apresenta aos alunos do ensino fundamental algumas técnicas que podem ser usadas ao longo de seu processo educativo formal.
3 METODOLOGIA
Nesta seção, caracterizamos a pesquisa desenvolvida. Além disso, apresentamos os sujeitos e o motivo de tê-los escolhido. Também evidenciamos as adaptações realizadas no jogo Combinando na Cidade (SILVA, 2014), nosso principal instrumento de coleta de dados.
Mostramos ainda como ele — o jogo — funciona, suas regras, as condições de vitória e como a matemática subjacente a ele pode ser trabalhada em sala de aula. Por fim, trazemos a organização dos movimentos de pesquisa que precederam a aplicação do jogo na turma do 8o ano do ensino fundamental.
3.1 PESQUISA, SUJEITOS E INSTRUMENTOS
A pesquisa realizada caracteriza-se como naturalista (ou de campo), do tipo estudo de caso, pois “[...] a coleta de dados é realizada diretamente no local em que o problema ou fenômeno acontece e pode dar-se por amostragem, entrevista, observação participante, pesquisa-ação, aplicação de questionário, teste etc.” (FIORENTINI; LORENZATO, 2007, p. 106). Assim sendo, concentra-se em um “[...] caso particular, considerado representativo de um conjunto de casos análogos” (SEVERINO, 2017, p. 92). Por isso, o estudo de caso é recomendado quando se tem o objetivo de construir hipóteses, confirmar ou reformular problemas e estudar algo singular (FIORENTINI, LORENZATO, 2007). Segundo estes últimos autores,
o estudo de caso busca retratar a realidade de forma profunda e mais completa possível, enfatizando a interpretação ou a análise do objeto, no contexto em que ele se encontra, mas não permite a manipulação das variáveis e não favorece a generalização. Por isso, o estudo de caso tende a seguir uma abordagem qualitativa (FIORENTINI, LORENZATO, 2007, p. 110).
Desse modo, entende-se que na modalidade escolhida, o pesquisador pode preferir observar um pequeno grupo de alunos dentro da sala de aula e fazer a análise desses estudantes em uma situação real, sem retirá-los do ambiente em que se encontram (FIORENTINI; LORENZATO,
2007).Mas o que vem a ser uma abordagem qualitativa? Segundo os autores Bogdan e Biklen (1982)
a pesquisa qualitativa ou naturalística [...] envolve a obtenção de dados descritivos, obtidos no contato direto do pesquisador com a situação estudada, enfatiza mais o processo do que o produto e se preocupa em retratar a perspectiva dos participantes (BOGDAN; BIKLEN, 1982, apud LÜDKE; ANDRÉ, 1986, p. 13).
Assim, podemos compreender que é possível, em uma abordagem qualitativa, representar as opiniões e pontos de vista dos participantes do estudo, envolver as condições contextuais das pessoas e estudar os significados, em condições reais, das vidas dos indivíduos (YIN, 2016).
Considerando essa abordagem, os sujeitos escolhidos para a realização da pesquisa foram 21 alunos de uma turma de 8° ano do ensino fundamental, de uma escola estadual localizada na cidade de Cachoeiro de Itapemirim, no sul do Espírito Santo. O motivo da escolha desses estudantes se deu pela tentativa de trabalhar a análise combinatória nessa etapa de ensino, com base no argumento de Zanon (2019), que enfatiza que a combinatória aparece de forma diluída em alguns conteúdos da educação básica. Pelo fato de os sujeitos serem menores de idade, foi elaborado um Termo de Consentimento Livre e Esclarecido (TCLE) (Apêndice A) para que os pais ou responsáveis o assinassem, para, com isso, termos o consentimento da participação dos estudantes nesta pesquisa. Além disso, para respeitar a identidade de cada um dos alunos, utilizamos nomes fictícios para identificá-los. Também foi elaborado um documento para ser apresentado ao diretor da escola, no qual informamos a nossa intenção em realizar a pesquisa e solicitamos a sua autorização (Apêndice B).
Quanto aos instrumentos de produção e de coleta de dados, o jogo Combinando na Cidade (SILVA, 2014) foi a principal ferramenta utilizada com esse intuito. Adaptamos questões11 (ver Anexo 3) que abordavam o conteúdo de análise combinatória. Elas foram apresentadas como desafios que os alunos precisavam resolver para conseguirem avançar, seguirem no jogo, e tentarem vencê-lo. Além disso, as informações (fotos, vídeos, resoluções realizadas pelos estudantes) reunidas no momento do desenvolvimento do jogo foram registradas no diário de campo do pesquisador principal.
A partir do estudo do texto de Grando (2015), é possível observar que existem duas formas de se trabalhar com jogos pedagógicos em sala de aula: a primeira seria quando o professor planeja
11 As questões originais podem ser acessadas em MPECM_ Produto Final_ Guia Didático de Matemática nº 15_ Jose Carlos Thompson _ Versão Final.pdf (capes.gov.br).
uma aula ou uma sequência didática envolvendo determinado conteúdo e cria um jogo ou busca algum outro jogo existente, já desenvolvido com o objetivo de ensinar aquela matemática que ele deseja. A segunda forma seria buscar esse trabalho em atividades lúdicas de seus alunos, como, por exemplo, jogos de entretenimento ou passatempo, a fim de explorar a matemática a partir de tais atividades (GRANDO, 2015). Tendo isso em mente, nesta pesquisa, optamos por trabalhar da primeira forma, pois o jogo Combinando na Cidade (SILVA, 2014) foi criado com o intuito de explorar conceitos de análise combinatória. Porém, vale ressaltar que realizamos algumas modificações na estrutura do jogo para, assim, melhor adequá-lo ao nosso contexto de pesquisa.
3.2 COMO FUNCIONA O JOGO COMBINANDO NA CIDADE?
O jogo Combinando na Cidade, principal instrumento de coleta de dados desta pesquisa, foi desenvolvido por Silva (2014) em sua pesquisa de mestrado. Esse material trata da análise combinatória a partir de um jogo de trilha, “[...] fazendo um estudo teórico de situações que podem ser exploradas por professores de matemática” (SILVA, 2014, p. 30). Tem o objetivo de “desenvolver conceitos e estratégias para a resolução de problemas de Combinatória”
(SILVA, 2014, p. 30). As ferramentas utilizadas para a realização do jogo são: dois dados, um tabuleiro de trilha (ver Figura 1), cartas com perguntas, regras do jogo, cinco carrinhos, fichas de registros, algarismos e placas. No que diz respeito ao seu tempo de execução, foi pensado para ser desenvolvido em uma aula de 50 minutos. A seguir, trazemos uma imagem do jogo original.
Figura 1 – Jogo de Trilha idealizado por Silva (2014)
Fonte: Retirado de Silva, 2014, p. 104.
O número de jogadores recomendado para que cada rodada aconteça é de 5 pessoas por tabuleiro. Dependendo das necessidades do professor e da sala de aula em que o jogo está sendo desenvolvido, a quantidade de participantes pode ser alterada, exceto para a posição de diretor do Departamento Estadual de Trânsito do Espírito Santo (Detran-ES), que sempre deve ser desempenhada por apenas uma pessoa. Recomenda-se que sejam dois motoristas, dois policiais e apenas um diretor do Detran. Para definir quem ocupará as funções, cada jogador lança dois dados, e a soma dos pontos resulta no papel que cada um vai desempenhar. Se a soma dos valores obtidos com a jogada de dados estiver compreendida de 2 até 4, a pessoa exerce o papel de diretor do Detran; se o resultado for de 5 até 8, o jogador será o motorista; e se obtiver resultados de 9 até 12, ocupa a papel de policial. Caso haja empate, “os jogadores repetem o lançamento [...] e permanece quem obtiver a maior soma. O outro torna a fazer o lançamento para definir uma nova função que esteja disponível” (SILVA, 2014, p. 31-32).
Como o jogo funciona? O tabuleiro é dividido em cidades. No caso do jogo proposto por Silva (2014), as cidades referenciadas compunham a região da Grande Vitória. No jogo adaptado por nós, algumas alterações foram feitas na estrutura do material. Como a escola em que ele foi desenvolvido se localiza na cidade de Cachoeiro de Itapemirim/ES, no bairro Aquidaban, e o
tabuleiro do jogo representa a região da Grande Vitória, decidimos realizar essa mudança de localização também no tabuleiro do jogo, para que, assim, o contexto se adequasse melhor à realidade dos alunos. Tendo isso em vista, modificamos o tabuleiro de modo que ele representasse o bairro e as regiões próximas à escola onde os alunos estudam. Dessa forma, foi preciso fazer uma pequena mudança na regra do jogo. Uma das formas dos jogadores ganharem placas de identificação seria quando eles mudassem de cidade. Essa estrutura se manteve com uma pequena diferença: em vez de mudarem de cidade, eles mudariam de bairro. A seguir, trazemos a imagem do tabuleiro adaptado por nós.
Figura 2 – Tabuleiro do jogo adaptado
Fonte: Arquivo dos pesquisadores, 2022.
Além dessas modificações, alteramos e removemos alguns ícones do jogo. O ícone da “Casa da moeda” foi alterado pelo ícone “Banco”, pelo fato de os alunos terem uma maior familiarização com esse local. Já o ícone “Propina” foi removido do jogo, pela razão de ser um termo que poderia se tornar polêmico entre os alunos, devido ao período eleitoral que vivemos em 2022.
Além disso, cada participante do jogo deveria trafegar pelo tabuleiro utilizando seu carro, que também poderia ser representado por outro objeto que servisse para identificar o jogador. A ordem em que cada jogador fosse jogar seria decidida através de lançamento de dados. Os jogadores deveriam lançar os dados e quem conseguisse a maior soma jogaria primeiro. O objetivo de cada participante é conseguir acumular o maior número de placas de identificação
de veículos12, que são conseguidas quando as questões são respondidas corretamente. A vitória está vinculada à quantidade de placas que cada jogador possuir ao final do jogo. Em outras palavras, vence aquele que tiver mais placas. A seguir, é detalhado o objetivo do jogo, suas regras e condições de vitória.
3.2.1 Objetivo do jogo
No jogo idealizado por Silva (2014), o autor tem como objetivo trabalhar a análise combinatória, utilizando de conceitos e estratégias da resolução de problemas. A matemática específica do jogo é explorada através de perguntas, em formato de problemas, que os participantes devem responder no decorrer da jogatina. No nosso caso, o objetivo do material se manteve o mesmo. O diferencial está no fato de que foi trabalhado com estudantes do ensino fundamental, mais especificamente em turmas do 8° ano.
3.2.2 Regras do jogo
Quanto às funções de cada jogador:
Como dito anteriormente, começando pelas funções de cada jogador, elas são definidas a partir da soma dos valores obtidos com a jogada de dados. Cada jogador lança dois dados e sua função depende do resultado dessa soma, sendo ele:
● De 2 a 4: função de Diretor do Detran;
● De 5 a 8: função de Motorista;
● De 9 a 12: função de Policial.
Em um jogo com 5 participantes, o número de jogadores a desempenhar cada função é dividido da seguinte forma: 1 jogador será o diretor do Detran, 2 jogadores serão os policiais e 2 jogadores serão os motoristas. No caso de uma partida com mais de 5 participantes, o professor poderá realizar alterações na divisão das funções, com a única restrição de que apenas um jogador pode desempenhar o papel de diretor do Detran.
12 Silva (2014) confeccionou as placas dessa maneira para reduzir o número de possibilidades nos questionários e garantir o tempo de jogo em uma aula de 50 minutos.
Cada jogador desempenha um diferente papel dependendo de sua função. O diretor do Detran tem a responsabilidade de fazer as placas de identificação de veículos que cada jogador irá ganhar, sendo que ele não pode construir placas idênticas. O policial tem uma função que pode atrapalhar os demais participantes, incluindo o diretor do Detran: se ele cair em uma casa com outro jogador que não seja policial, ele deve retirar uma pergunta. Se ele acertar, ele pode aplicar alguma advertência ao outro jogador, fazendo com que ele volte algumas casas; se ele errar, nada acontece. O mesmo vale para algum jogador, que não seja policial, ao cair em uma casa em que esteja um policial. Assim, esse jogador deve retirar uma pergunta: se acertar, nada acontece; porém se errar, deverá voltar duas casas13. Os motoristas não possuem um papel específico, eles não podem fazer com que outros jogadores voltem casas (como o policial) ou confeccionar placas de identificação. Apesar dessas diferenças de funções, é importante ressaltar que todos os jogadores ganham ou perdem placas de identificação da mesma forma, tendo, assim, a mesma condição de vitória.
Quanto à obtenção de placas de identificação:
Definidas as funções de cada jogador, estabelecemos, agora, como cada participante consegue somar pontos dentro do jogo. Obter esses pontos é muito importante, pois é assim que um jogador consegue vencer. Para ganhar, os jogadores devem acumular “placas de identificação de veículo”. Mas, afinal, o que são essas placas? Elas são a identificação de cada veículo e podem ser encontradas nos para-choques de um carro, por exemplo. Como já dito, nas funções de cada jogador, o participante responsável por confeccionar essas placas é o diretor do Detran.
E como obtê-las? Existem duas formas de consegui-las: mudando de bairro ou chegando a alguns pontos específicos do tabuleiro. Ao trocar de bairro, o jogador deverá tirar uma pergunta e respondê-la: se responder de forma correta, ele consegue uma placa de identificação; se não, deve voltar duas casas (essa punição é sempre aplicada caso o jogador erre uma questão). A mesma coisa deverá ser feita se o jogador chegar a alguns pontos específicos: ele deve retirar uma carta referente àquele ponto e responder: se acertar a pergunta, consegue a placa; se não, deve voltar duas casas. Mas que pontos do tabuleiro são esses? São algumas casas que possuem estabelecimentos marcados: banco, sorveteria, posto de gasolina, loja, restaurante e, também, o radar. Ao chegar a alguma dessas casas específicas, o jogador tem a chance de conseguir ganhar
13 Essa foi mais uma adaptação feita do jogo original. No nosso caso, sempre que um jogador errar alguma questão, seguindo as regras previamente definidas, ele deve voltar duas casas.
uma placa de identificação. Sendo assim, ao final do jogo, quem conseguir obter o maior número de placas é o vencedor.
Quanto ao tabuleiro:
Apesar das alterações feitas no tabuleiro do jogo, a forma de se jogar continuou sendo a mesma.
Presente no jogo, existem algumas placas de sinalização que direcionam o jogador quanto ao trajeto que deve percorrer. Além disso, e dos pontos mencionados no tópico anterior, ainda existem os semáforos. Em algumas casas do trajeto, existem semáforos que estão verdes, amarelos ou vermelhos. Essa cor de cada semáforo indica alguma ação diferente para o jogador:
● Semáforo verde: o jogador não sofre nenhuma penalidade e pode continuar livremente;
● Semáforo amarelo: o jogador deve retirar uma pergunta. Se acertar, pode continuar livremente; mas se errar, deverá voltar duas casas;
● Semáforo vermelho: o jogador deverá voltar duas casas.
É importante ressaltar que as cartas referentes a algum ponto específico estarão marcadas em uma determinada área do tabuleiro correspondente àquele ponto. Por exemplo: as cartas referentes ao banco estarão em uma área demarcada como “CARTAS BANCO”, seguindo, assim, para a organização das demais cartas.
3.3 MOVIMENTOS DA PESQUISA
Antes da realização da aplicação do jogo Combinando na Cidade em sala de aula, alguns movimentos de pesquisa precisaram ser realizados para que a atividade acontecesse de forma significativa. O primeiro movimento relacionou-se ao conhecimento do pesquisador do campo de pesquisa, no nosso caso, da sala de aula. Nosso objetivo foi reconhecer a rotina desse contexto de ensino e aprendizagem, tomar conhecimento de como os jogos com viés pedagógico eram trabalhados nesse ambiente e de como a análise combinatória era abordada na turma em questão. Consideramos esse movimento de suma importância para a aplicação do jogo, pois é nele que o pesquisador irá conhecer melhor os estudantes com quem trabalhará.
Além disso, esse movimento também possibilita um enfoque no professor da turma — em como ele planeja as aulas e as desenvolve —, com o objetivo de adaptar o jogo para torná-lo significativo para o aluno e para o docente.
A partir desse primeiro movimento, o segundo consistiu no planejamento de uma sequência didática para o desenvolvimento do conteúdo matemático (combinatória) explorado junto ao jogo. Na sequência didática, procuramos considerar os aspectos observados no primeiro movimento de pesquisa (rotina da turma, como a matemática é trabalhada, como as aulas são planejadas) para que não causasse estranhamento no dia a dia dos alunos na sala de aula. A sequência didática utilizada durante todo o processo de pesquisa (desde a observação até a prática) foi a seguinte:
Quadro 2 – Sequência didática
Etapas Descrição de ações Tempo destinado
1 - Observação da turma
Inserção do pesquisador no campo de pesquisa, com o intuito de reconhecer a rotina do contexto, os sujeitos, o planejamento; tomar conhecimento de como os jogos com viés pedagógico são trabalhados em sala de aula, de como a combinatória é abordada nessa turma e do espaço de pesquisa em si.
400 minutos14
2 - Preparação para aplicação
do jogo Abordagem em sala de aula pelo pesquisador junto aos estudantes de conceitos do princípio aditivo e multiplicativo.
100 minutos
3 - Apresentação do jogo
Apresentação do jogo para a turma: apresentar os materiais, as regras e esclarecer sobre como o jogo funciona.
15 minutos
4 - Reconhecimento do jogo
Inicialmente, para que os alunos se sintam mais à vontade, será feito um momento de reconhecimento do material, em que os alunos irão manusear o jogo livremente e “jogar por jogar”, sem necessariamente haver uma intervenção pedagógica por parte do pesquisador principal.
35 minutos
5 - Jogo com intervenção, seguindo as proposições de Silva (2014)
Após o reconhecimento do material, os alunos passarão
a jogar com a devida intervenção pedagógica. 80 minutos
6 - Reflexão Reflexão sobre a utilização do jogo em aulas de matemática e sobre sua influência na aprendizagem dos estudantes.
20 minutos
Carga horária total 650 minutos
Fonte: Elaborado pelos pesquisadores, 2022.
Elaborada a sequência didática, o terceiro movimento de pesquisa consistiu na sua aplicação em sala de aula. Reservamos (ver Quadro 2) cerca de duas aulas para as etapas 5 e 6, que, para nós, seriam aquelas que nos ajudariam a verificar se de fato o jogo Combinando na Cidade
14 Nessa turma, as aulas tinham duração de 50 minutos.
