CAPÍTULO 2 RESOLVENDO EQUAÇÕES LINEARES

CAPÍTULO 2 – RESOLVENDO EQUAÇÕES LINEARES

Objetivos do Capítulo

1. Aplicar a definição de equações lineares a problemas reais

2. Examinar a inclinação e a relação entre dois pontos de uma linha reta

3. Desenvolver um raciocínio crítico: obter equações a partir da descrição de um problema 4. Resolver sistemas de equações

Funções em Maple usadas neste capítulo

evalf (numero_exato) Calcula como um número decimal.

expand (expressão) Faz a multiplicação dos produtos das somas.

isolate (equação, variável) Como solve, este comando isola a variável dada.

lhs (equação) Extrai o lado esquerdo de uma equação.

plot (expressão, intervalo) O comando plot – usado neste capítulo para visualizar expressões.

rhs (equação) Extrai o lado direito de uma equação.

solve (equação, {variável}) Resolve uma equação ou equações algebricamente.

subs ( x=3, x+1) Comando de substituição (o resultado aqui é 4).

with (student) Carrega funções especiais do Maple, como isolate.

Equações Lineares com uma incógnita

O termo linear em um polinômio é aquele cuja a incógnita aparece na primeira potência. Uma equação linear é aquela em que tanto a variável dependente quanto a variável independentes apresentam-se exatamente como são. As seguintes equações são lineares:

1. y = mx + b; x é a variável independente , m e b são constantes. (3-1) 2. C = πD; C é o comprimento de uma circunferência e D o seu diâmetro. (3-2)

3.

( )

9 32 5

−

= F C ^o

o ; C é a temperatura em Celcius, F em Fahrenheit. (3-3)

4. 10

1

= + s

s

T , que pode ser transformada, de forma que se pareça com o exemplo (1). (3-4)

As equações a seguir não são lineares:

1. y = ax² + bx + c, a forma geral da equação quadrática. (3-5)

2. A = πr²; A é a área de um círculo de raio r. (3-6)

3. 10 1

= + s

s

T , que não pode ser transformada em equação linear. (3-7)

Encontramos equações lineares de vários níveis. Um exemplo muito comum é o aumento no preço de venda, que é adicionado pelas caixas registradoras, quando é feita uma compra em que o imposto já está incluso. A equação para o preço de venda pode ser escrita em Maple da seguinte forma:

> preco_venda := valor_produto + impostos*valor_produto;

preco_venda := valor_produto + impostos valor_produto

O imposto sobre a venda deve ser expresso como uma fração na fórmula acima.

Exercício: Escreva a fórmula para este caso, em que o imposto sobre a venda é dado em porcentagem.

Resposta: ____________________________________________________________________________

Note que as variáveis em Maple podem ser bem descritivas, ao contrários das variáveis de uma única letra, tão comuns na matemática. É sempre bom o uso de nomes descritivos para as variáveis. Usamos o caracter underscore no lugar de um espaço. Se fosse usado o espaço, o Maple interpretaria como dois nomes em vez de um só. Não é recomendado o uso de hífen para separar as palavras, pois é o mesmo sinal que usamos para representar o sinal de menos em Maple. Note ainda, na expressão acima:

multiplicamos o imposto sobre a venda pelo valor do produto. Uma vez que o Maple não usa o sinal de multiplicação como output, quando são utilizadas expressões que contém nomes longos, é preciso bastante atenção para perceber onde se encontram as multiplicações. Veja o espaço entre “impostos” e

“preco_venda” no output do Maple. É onde se encontra o sinal de multiplicação, que está implícito.

Estas equações são chamadas lineares porque seus gráficos são linhas retas. Podemos produzir um gráfico com a conversão de temperatura, de modo que se possa fazer a previsão do tempo no Canadá, que foi dada em graus Celcius. Observe como é feita (Figura 3-1).

> plot (F – 32)*5/9, F = 0..100);

O gráfico pode ser interpretado a partir de qualquer eixo. Para converter de Celsius para Fahrenheit, faz- se uma linha horizontal começando no eixo y, para um dado valor em Celsius, até interceptar a reta.

Desenhando uma linha perpendicular partindo do ponto de interseção com o eixo F(x) obtém-se o valor equivalente em Fahrenheit. O processo reverso converte de Fahrenheit para Celsius. Obviamente, é muito mais fácil trabalhar com a janela de gráficos do Maple. Basta posicionar o cursor sobre o gráfico e clicar no botão esquerdo do mouse. As coordenadas deste ponto são mostradas no canto inferior esquerdo da janela. Pelo movimento do mouse, pode-se obter maior precisão.

Usando a fórmula de conversão de um sistema de unidades para outro, deve ser utilizada a notação de funções do Maple. Por exemplo, a fórmula para converter de milhas por hora para pés por segundo é

> pps := mph*44/30;

mps pps

15 := 22

A notação de funções é mais conveniente neste caso. Para definirmos pps como função, usatilizamos

Figura 3.1 Gráfico de Conversão de Temperatura, Fahrenheit para Celsius

> pps := (x) -> evalf(x*44/30);



 



→ 

= x x

pps

15 : 22

A variável x na expressão acima representa a variável usada no processo de transformação. É muito simples calcular funções em um ponto quanto utiliza-se esta notação. Converteremos 60 mi./h, 240 mi./h e 45.3 mi./h para pés por segundo na mesma linha de comando. Neste caso, separamos cada parte do comando por vírgulas, exceto a última, onde deve aparecer o ponto-e-vírgula.

> pps(60), pps(240), pps(45.3);

44000002 .

66 ., 352 ., 88

O output para números decimais pode ser melhorado através de evalf(22/15*x, 4). Por esta forma do comando evalf , o Maple usa apenas 4 algarismos significativos para o cálculo. Essa é a precisão necessária para conversões deste tipo.

Os dois métodos analisados são adequados quando as constantes na expressão linear são conhecidas. No entanto, as vezes é preciso trabalhar com funções lineares onde as constantes são variáveis (indefinidas).

Neste caso, é conveniente o uso do comando solve. Para resolver a equação para T em

10 1 1

= + s T

(3-8)

deve-se expressar a equação através da notação do Maple, dando-lhe o nome eq1.

> eq1 := 1/T = 1/(s+10);

10 1 : 1

1 = = +

s T

eq

Quando atribuímos um nome a equação, torna-se mais fácil nos referirmos a esta nos comandos subsequentes. Para encontrar-se T, utiliza-se o comando

> solve (eq1, T);

+ 10 s

O Maple mostra a resposta como uma expressão. Para que se visualize a equação, deve–se utilizar uma forma alternativa do comando solve.

> solve (eq1, {T});

{

}

Se a variável que se quer encontrar for colocada entre chaves, o Maple mostra a equação inteira. Esta é a forma de se indicar conjuntos¹ em Maple.

Há um comando quase equivalente para mostrar quantidades no lado esquerdo do sinal de igual de uma equação. Este comando é chamado isolate². Além das variáveis simples, também pode ser usado com expressões (tecnicamente subexpressões). Nota-se que aparecem dois pontos depois do comando, em vez de ponto-e-vírgula. Os dois pontos eliminam o output do comando. Se fosse utilizado o ponto-e-vírgula no lugar dos dois pontos, veríamos uma lista de novos comandos do pacote student, que se tornam disponíveis para uso.

Para isolarmos o termo u – v na equação

g = (u – v) (g + 1) + a (u – v) (3-9)

Emitimos os seguintes comandos

> with(student): (Necessário na Versão 3)

> eq2 := g = (u – v)*(g + 1) + a*(u – v);

(

) (

)

(

)

g

eq2:= = − + 1 + −

> isolate (eq2, u-v);

a g

v g

u − = − − − − 1

Nem sempre o comando isolate faz o que se deseja, mas o que queremos propor neste livro serve como encorajamento para que se façam experiências com vários comandos. Afinal de contas, o Maple faz todo o trabalho! Se um comando não nos leva onde queremos chegar, sempre poderemos experimentar e tentar um outro caminho.

A Linha Reta

Uma forma comum da equação linear é y = mx + b. Sabe -se que o gráfico desta equação é uma linha reta. Veremos como identificar as constantes m e b geometricamente. Chamaremos esta equação de L1.

> L1 := y = m*x + b;

1 Conjunto é uma coleção de objetos. Podemos pensar num grupo de objetos dentro de uma sacola. Pela notação matemática, as chaves representam a sacola.

2

b mx y

L1:= = +

O valor de y quando x = 0 é

> subs (x = 0, L1);

b y =

e se quisermos saber o aumento de y quando x é acrescido de 1, obtemos:

> dy = expand(rhs(x = x + 1, L1) – rhs(L1)); (Veja abaixo a interpretação deste comando.)

m dy =

Portanto, o valor de y é acrescido de m quando x é acrescido de 1.

Observando cuidadosamente os três comando acima (especialmente o último) notamos o seguinte:

1. Ao nomearmos a equação linear L1, podemos nos referir a esta novamente de forma bem simples.

2. Podemos substituir valores para encontrarmos o valor de y em determinados pontos. Quando x = 0, o valor de y é b. O gráfico de y = mx + b deve cortar o eixo y no ponto (0, b).

3. Podemos aninhar comandos em Maple. Ao calcularmos o acréscimo em y quando x é acrescido em 1, utilizamos o comando rhs para obtermos o lado direito da equação L1. Depois, usamos o comando subs para acrescermos x em 1, e o comando subs dentro do comando rhs para obtermos novamente o lado direito da equação. Subtraímos estes dois resultados para encontrarmos o acréscimo em y, que chamamos dy. Ao executarmos este comando, encontramos um resultado não simplificado. Existem pelo menos duas maneiras de procedermos: podemos usar o comando simplify ou o comando expand. Preferimos usar todos os outros comandos dentro do comando expand. Observe que não é necessário escrevermos todo o comando de uma só vez. Mostramos o comando completo por economia de espaço em vez começarmos com subs e depois com rhs (duas vezes), para em seguida executamos os comandos que tínhamos até então. Tendo analisado o resultado e confirmado que estávamos na direção certa, adicionamos novos comandos à tarefa desenvolvida.

4. O valor de y aumenta em m quando x aumenta em 1. Podemos verificar esta informação através do gráfico da equação (ver Figura 3.2).

A linha reta corta o eixo y na altura b. Se b fosse negativo, a linha cortaria o eixo y a uma distância b abaixo do eixo x. O ponto b é chamado interseção em y. O aumento em y a medida que x aumenta em 1 é mostrado pelo desenho de um triângulo de base 1 em um ponto qualquer da reta. O ponto de início não faz diferença, pois qualquer triângulo de base unitária teria a mesma altura. O número m corresponde a inclinação da reta. A inclinação também pode ser obtida através do ângulo que a reta faz com com a horizontal. Pelo gráfico, tan(θ) = m. O ângulo θ pode ser encontrado pela fórmula

Figure 3.2 O gráfico de y = mx + b

θ = arctan(m) ^(3-10)

Muita matemática pode ser feita pelo modelo da linha reta. Muitos problemas, inclusive modelos que não formam uma linha totalmente reta, podem ser “linearizados”. Em outras palavras, o modelo pode estar bem próximo de uma linha reta de forma a se obter resultados satisfatórios através da aproximação de uma linha reta, com a inclinação e interseção apropriadas. Os resultados obtidos pela reta são mais facilmente calculados. Em alguns casos, onde a função que se quer calcular é desconhecida, ainda é possível determinar a melhor aproximação da reta. Arriscar previsões a partir do modelo linearizado é um outro problema. É preciso desenvolver um certo nível de confiança para a aplicação de modelos matemáticos do mundo real.

Exemplo: Comparação de uma função com seu modelo linearizado. Determine os valores da função

2 5 3

2 + +

= x

y x ^(3-11)

para os valores de x: x = 5..5, 5.6, e 5.7. Uma aproximação linearizada é y = 2.946x + 2.462. Podemos verificar se as duas fórmulas possuem mesmo resultado ou, ao menos, descobrir a aproximação entre elas.

Primeiro é preciso definir as duas funções:

> ex1 := 5/x^2 + 3*x + 2;

> ex2 := 2.946*x + 2.462;

No próximo passo, ambas as funções devem ser calculadas nos pontos x = 5.5, 5.6 e 5.7. Apresentamos abaixo uma forma de resolver a equação:

> subs( x = 5.5, ex1), subs( x = 5.5, ex2);

Este método calcula as funções na mesma linha de input do Maple. Execute esta operação e calcule as duas funções nos pontos x = 5.6 e x = 5.7. As duas funções apresentam resultados aproximados?

Resposta: ____________________________________________________________________________

Faça o gráfico da função e de sua aproximação no intervalo dado.

> plot ( {ex1, ex2}, x = 5.5 .. 5.7);

x y

m

b θ 1

Terminaremos esta seção ressaltando a necessidade de se determinar o ponto onde a linha reta cruza o eixo x. Uma vez que y é zero no eixo x, a solução da equação é o valor de x que satisfaz

mx + b = 0

que pode ser encontrado por simples observação ou através do comando:

> solve (m*x + b = 0, {x});







 = − m x b

Pode não haver solução? A resposta é sim, podendo ser melhor compreendida se imaginarmos o gráfico de todas as possíveis retas. As retas paralelas ao eixo x nunca irão cruzá-lo e, portanto, não háverá solução em x nestes casos. Já que a reta é paralela ao eixo x, a inclinação é igual a zero (m = 0).

Equações Lineares Simultâneas

Equações lineares que contém mais de uma variável independente são chamadas de equações lineares simultâneas ou sistemas de equações lineares. Ao contrário das equações lineares simples, onde há uma única solução (a não ser que a reta seja paralela ao eixo x), 3 casos podem ser identificados.

Uma única solução y

(a) x

Não há solução y

(b) x

As duas retas coincidem,

resultando infinitas soluções y

(c)

Figure 3.3 Representação Gráfica dos Três Casos de Equações Lineares Simultâneas

Caso 1: Há uma única solução.

Caso 2: Há infinitas soluções.

Caso 3: Não há soluções.

Utilizaremos equações com duas incógnitas para ilustrarmos os três casos acima, já que estas equações podem ser representadas em duas dimensões.

As retas se interceptam em um único ponto do gráfico (a) na Figura 3.3. Há uma única solução.

O gráfico (b) da Figura 3.3 mostra duas linhas paralelas, que nunca se interceptam. Portanto, não existem soluções para este sistema de equações. As equações são inconsistentes.

Um gráfico como (c) na Figura 3.3 pode resultar de uma única equação. Também podem resultar de duas equações que parecem diferentes, quando na verdade são a mesma. As equações

2 11 3

22 2 3

−

=

=

− x y

y

x ^(3-12)

possuem formas diferentes, mas a segunda equação é resultante da primeira, quando resolvida para y.

O método de resolução destas equações em Maple é o mesmo usado para equações de uma variável.

Utiliza-se o comando solve. Como há duas ou mais equações, a notação de conjuntos deverá ser usada.

Escrevemos as equações entre chaves, separadas por vírgulas. Da mesma forma, as variáveis também devem estar entre chaves, separadas por vírgulas.

O Maple pode resolver equações lineares simultaneamente, sem o uso de técnicas especializadas, necessárias nos métodos manuais de resolução como forma de organizar e simplificar o grande número de cálculos exigidos. Para os métodos manuais, é preciso

1. Transformar a equação na forma padrão.

2. Utilizar o método de eliminação de variáveis ou determinantes para o cálculo das variáveis.

3. Substituir a solução obtida na equação original para confirmar a exatidão das duas operações anteriores.

Agora que temos o Maple, podemos concentrar-nos nos passos mais importantes para a resolução de equações. As equações simultâneas nem sempre aparecem explicitamente. É preciso desenvolver algum raciocínio para se extrair o conteúdo matemático do problema. Se encontramos um conjunto de equações lineares resultantes da análise, então o sistema poderá ser resolvido através das ferramentas adequadas. É preciso analisar o problema para que se encontre as equações, mas não é preciso transformá-las na forma padrão. Isto elimina uma grande fonte de erros. Com o Maple fazendo toda a aritmética necessária para a resolução do sistema, também eliminamos outra fonte de erros. A solução pode ser verificada pela substituição do resultado nas equações originais. No entanto, todo o processo é feito com muito mais precisão. Nosso único trabalho é assegurar-nos de que as equações encontradas formam o modelo correto para a resolução do problema – o Maple faz todo o resto.

Observe a descrição do problema seguinte e verifique como as equações podem ser obtidas a partir das informações fornecidas.

Exemplo: Cavando um Túnel

Dois países, separados por um canal de água, decidem construir um túnel para tornar as viagens mais simples. Os dois começam a escavar o túnel no mesmo momento. O país F avança a uma taxa de 23 pés por dia, e o país E, possuindo uma perfuradora melhor, tem um avanço de 34 pés por dia. A distância entre os pontos de partida é de 21 milhas. Alguém decide apostar sobre quando e onde as duas equipes que estão perfurando o túnel se encontrarão. Se tivesse a chance de escolher, como apostaria?

Solução: As equações lineares não surgem instantaneamente da descrição! É preciso fazer uma análise passo-a-passo do problema para que se possa derivar as equações. Quais são as variáveis significativas?

No bilhete da aposta constará a data de quando as duas equipes se encontram. Portanto o tempo é uma das variáveis. Chamaremos de t a variável que indica o tempo, em dias, desde o início da perfuração do túnel. Como o lugar onde as equipes devem se encontrar é um outro item da aposta, chamaremos de x a distancia do ponto de partida no país E até o lugar onde as duas equipes finalmente se encontram.

Figura 3.4 Cavando um Túnel

Faça um esboço da análise feita até agora.

Quando se encontrarem, as duas equipes juntas terão escavado 21 milhas, ou 110,880 pés (Figura 3.4).

Pode-se usar o fato de que o país E avança 34 pés/dia e o país F avança 23 pés/dia para se deduzir as equações.

> eq1 := t = x/34; eq2 := t = (110880 – x)/23;

x t

eq

x t

eq

23 1 23

110880 :

2

34 : 1

1

−

=

=

=

=

Nos utilizamos do fato de que o tempo levado para se chegar a um lugar qualquer é a razão entre a distância percorrida e a velocidade. O Maple reagrupou as equações de maneira diferente de como foram escritas, mas isso não é relevante. Temos agora duas equações e duas variáveis, que podem ser resolvidas pelo Maple.

> solve ( {eq1, eq2}, {t, x} );







 = =

19 1256640 ,

19 36960

x t

(110,880 ft.)

E x F

meeting place

21 mi

Como foram usados números exatos nas equações originais, o Maple resolve as equações com respostas exatas. Agora é preciso verificar a solução. Primeiro, verifica-se que a solução satisfaz as equações originais. Para isto, é preciso atribuir valores a t e x. Observe a resposta acima. O Maple apresentou os valores em forma de equações, mas não atribuiu valores as variáveis t e x. Em outras palavras, o Maple

“esqueceu” as respostas! Podemos fazer o Maple lembrar–se dos valores através do comando solve dentro de um comando assign, como segue:

> assign (solve ( {eq1, eq2}, {t, x} ));

O Maple não produz nenhum output para este comando. No entanto, se escrevermos

> x, t;

19 36960 ,

19 1256640

podemos verificar que o Maple atribuiu valores a estas variáveis. Não são mais variáveis indefinidas.

Agora, só é preciso listar as equações originais para conferirmos o resultado.

> eq1, e q2;

19 36960 19

36960 ,

19 36960 19

36960

=

=

O Maple substitui os valores para t e x nas equações eq1 e eq2 e faz a simplificação em números exatos.

São geradas duas identidades, provando que a solução obtida está correta.

Podemos dizer que obtivemos a solução correta até agora ! Mas o problema ainda não terminou. É preciso converter a distância e o tempo para valor decimal.

> evalf(t,4)*dias, evalf(x/5280,4)*milhas;

milhas dias, 12.53

. 1945

Convertemos de pés para milhas, arredondamos para quatro casas decimais, e acrescentamos as unidades de medida. Só falta adicionarmos 1,945 dias à data em que o túnel começou a ser escavado para determinarmos a data em que a equipe de filmagem deve chegar para registrar o acontecimento – e recolhermos os ganhos!

Por este exercício, verificamos que o Maple não é capaz de obter as equações a partir da descrição do problema. Isso ainda é tarefa nossa! No entanto, uma vez obtidas as equações, o Maple pode resolvê-las facilmente. Podemos concentrar–nos na verificação da resposta. (É possível que as equações obtidas precisem de alguns ajustes.) O Maple oferece uma garantia: se as equações estiverem corretas, o sistema poderá ser resolvido e a resposta conferida.

Nota: Uma vez atribuídos valores a t e x, estas não são mais variáveis indeterminadas. Para tórná-las novamente variáveis livres, deve-se executar o comando: “> t:=’t’; x:=’x’;”.

O que aconteceria se tivéssemos um conjunto de equações como abaixo?

> eqa := 3*x + 4*y = 13; eqb := 6*x + 8*y = 27;

27 8

6 :

13 4

3 :

= +

=

= +

=

y x eqb

y x eqa

> solve( {eqa, eqb}, {x, y} );

(O Maple não produz output. Nada é impresso.)

Esta é a forma de o Maple dizer que não é possível encontrar solução. Ao checarmos as equações, verificamos que são inconsistentes. A eqa diz que 3x + 4y = 13 e a eqb diz que 3x + 4y = 13.5. Estas equações não podem ser ambas verdadeiras ao mesmo tempo.

Podemos tornar as equações consistentes mudando eqb para

> eqb := 6*x + 8*y = 26;

26 8

6

:= x + y = eqb

e pedindo que o Maple tente uma nova solução.

> solve ( {eqa, eqb}, {x, y} );







x = − y + ,y =y 3

13 3

4

Esta é a forma de o Maple dizer que há infinitas soluções. Quando encontramos y = y, significa que y pode assumir qualquer valor. Uma vez fixado o valor de y, o valor de x pode ser calculado a partir de x = – 4y/3.

Estudamos três possibilidades para sistemas de equações lineares. Não há diferença significativa quando o número de variáveis cresce. A próxima seção apresenta mais exemplos, incluindo um com quatro equações e quatro variáveis.

Exemplo: Imposto sobre vendas

Assumindo que o imposto sobre vendas é 7% e o valor de um produto é R$ 149,95. Qual o preço total do produto?

> preço_venda := valor_produto + imposto_venda*valor_produto;

> subs(imposto_venda = 0,07, valor_produto = 149,95, preço_venda);

4465 . 160

Arredondando, o preço de venda é R$ 160,45.

Exemplo: Composição de Valores

Uma arqueóloga descobriu uma pequena estátua que pesava 454 gramas (g) nas ruínas da Pompéia. Ela está certa de que o material é electrum, uma mistura de ouro e prata. O ouro pesa 19.3 gramas por centímetro cúbico (cm³) e a prata pesa 10.5 gramas por centímetro cúbico. Ela enche um jarro com água e então, mergulha cuidadosamente a estátua no jarro. A água deslocada é recolhida, e desta forma descobre-se que o volume da estátua é 28.0 centímetros cúbicos. Quantos gramas de ouro contém a estátua?

Solução: Encontre a densidade da estátua. Seu peso é 454 g e seu volume é 28.0 cm³ . A fórmula da densidade é d = m/v; densidade é a massa por unidade de volume.

> d := 454/28.0;

21428571 .

16 := d

A densidade da estátua é 16.2 g/cm³. Introduzimos duas variáveis, g e s, que representam o número de centímetros cúbicos de ouro e prata, respectivamente, na estátua. Juntos, devem somar o volume da estátua.

> g + s = 28.0;

0 .

=28 +s g

> 19.3*g + 10.5*s = 454;

454 5

. 10 3

.

19 g + s =

A seguir, mostramos como foram resolvidas estas duas equações.

> solve( { g + s = 28.0, 19.3*g + 10.5*s = 454 }, { g, s } );

{

}

Há 9.8 centímetros cúbicos de prata e 18.2 centímetros cúbicos de ouro na estátua. A soma destes números é 28.0 cm³ e

> 19.3*g + 10.5*s;

0000002 .

454

A equação para o peso também confere. Para isso, sempre substituímos a solução encontrada nas equações originais. No cálculo manual, há grandes chances de erro, o que torna a verificação praticamente inútil. Com o Maple, o processo de verificação é fácil e confiável.

Exemplo: Taxa de Trabalho Realizado

Cientistas da Computação estão projetando uma máquina em que dois processadores trabalham juntos.

Um processador é 65% mais rápido que o outro. Quando ambos trabalham juntos, um cálculo longo leva 85 minutos para ser realizado. Quanto tempo levaria cada processador, trabalhando sozinho, para fazer o mesmo cálculo?

Solução: Este problema contém uma hipótese. Para tornar o problema linear, é preciso assumir que o efeito dos dois processadores trabalhando juntos aumenta a capacidade individual de cada um. Se, em algum momento, um impedir o outro, as equações que vamos encontrar não mais se aplicam. Chamamos de x o número de horas que leva o processador mais lento para efetuar os cálculos, trabalhando sozinho.

O tempo que levaria o processador mais rápido é de 0.65 x. Construímos uma tabela mostrando a taxa em que cada processador trabalha (Tabela 3.1)

Tabela 3.1

Taxa de Trabalho Realizado

Taxa Tempo (min.) Parcela da Tarefa Realizada Processador mais

rápido

1 85

x 65 . 0

85

Processador mais

lento

1 85

x 85

As parcelas somadas formam a tarefa completa. Desta maneira, a equação é

> 85/(0.65x) + 85/x = 1;

1 1 7692308 .

215 =

x

Observe que o Maple simplifica a equação automaticamente, mostrando que esta é, de fato, uma equação linear. O valor de x pode ser encontrado por análise ou através do comando solve.

> solve(85/ (0.65x) + 85 /x = 1, {x});

{

}

Como o outro processador é 65% mais veloz, a tarefa poderia ser realizada em 0.65(216) = 140 horas.

Note que se ambos os processadores possuíssem esta velocidade, finalizariam o cálculo na metade do tempo, ou seja, 70 horas. Se fossem usados dois processadores mais lentos, a tarefa seria realizada em 108 horas. O tempo atual, de 85 horas, é a média destes tempos, o que nos leva a crer que os cálculos efetuados estão corretos.

Exemplo: Quatro equações e quatro variáveis

Este exemplo é modelo de um problema famoso. Um fazendeiro da ilha de Cheos possuía um rebanho de cavalos e um rebanho de ovelhas. Ele sempre descrevia seu rebanho de forma a confundir o coletor de impostos. Assim ele dizia:

Um terço de minhas éguas com um quinto de minhas vacas é igual a metade de meus cavalos mais sete vezes a quantidade de touros acrescida de oito. Um sétimo de meus touros mais um nono de minhas vacas completam o número de cavalos menos um décimo das vacas somado a oito. Um terço de minhas éguas mais um sexto de meus cavalos é o mesmo que um nono de minhas vacas mais os touros menos doze.

Possuo três vezes mais vacas do que éguas, senhor coletor. Acredito que esta é a informação mais precisa que tenho.

Tendo treinado bastante, o coletor de impostos se tornou um especialista em Matemática. Depois de alguns cálculos, ele chegou a um resultado. Confirmaremos este resultado através do Maple.

Solução: Chamamos de s o número de cavalos; m o número de éguas; b, de touros; e c, de vacas.

Podemos verificar que as equações abaixo foram extraídas a partir da descrição do fazendeiro.

> e1 := m/3 + c/5 = s/2 + 7*b + 8;

8 7 2 1 5 1 3

: 1

1 = m + c = s + b + e

> e2 := b/7 + c/9 = x - m/10 + 8;

8 10

1 9

1 7

: 1

2 = b + c =s − m + e

>e3 := m/3 + s/6 = c/9 + b - 12;

12 9

1 6 1 3

: 1

3 = m + s = c + b + e

> e4 := 3*m = c;

c m e4:= 3 =

> solve ( { e1, e2, e3, e4 }, { s, m, c, b } );

{

}

O considerável rebanho do fazendeiro consistia em 180 cavalos, 420 éguas, 42 touros, e 1.260 vacas. A taxa calculada pelo coletor de impostos foi igualmente considerável.

Exercícios Paper and Pencil

PP3-1: Resolvendo equações

Determine quais equações são lineares de acordo com as variáveis indicadas abaixo. Responda Verdadeiro ou Falso.

Exemplo: ax² + bx + c, variável: a Resposta: T

(a) y = 3x + 4, variável: x Resposta: _______________________________

(b) A = (1 + i)P, variável: i Resposta: _______________________________

(c) x = vt + x0, variável: t Resposta: _______________________________

(d) ² _{0 0}

2

1at v t s

s= + + , variável: t Resposta: _______________________________

(e)

10 1

= + q p

i , variável: q Resposta: _______________________________

(f) pq = 1, variável: q Resposta: _______________________________

(g) p = 2x + 2(30 – x), variável: x Resposta: _______________________________

(h)

x x x

y= + +

1 , variável: x Resposta: _______________________________

(i) s = rθ, variável: θ Resposta: _______________________________

(j) T = (1 – a)u + (1 – a)²u + (1 – a)³u, variável: u Resposta: _______________________________

PP3-2: Conversão de Funções Lineares

Uma aplicação importante das funções lineares envolve a conversão de uma unidade em outra.

Exemplo: Converter 20 galões para litros. Há 3,7854 litros (l) em um galão (gal) portanto, 20 × 3,7854

= 75,7 l/gal.

(a) Converter 55 litros em galões. Resposta: _______________________________

(b) Converter 16 pintas em galões (8 pts/gal). Resposta: _______________________________

(c) Converter 22 graus Celsius em Fahrenheit. Resposta: _______________________________

(d) Converter 88 ^o F para Celsius. Resposta: _______________________________

(e) Converter 33 m² em pés² ( 1 cm = 2,54 polegadas ). Resposta: _______________________________

(f) Converter 100 km² em mi² (1 mi = 5,280 pés). Resposta: _______________________________

(g) Converter 66 pés por segundo em mi/h. Resposta: _______________________________

(h) Converter 66 pés por segundo em km/h. Resposta: _______________________________

(i) Converter 12 nós em km/h (1 nó = 1,15 mph). Resposta: _______________________________

(j) Converter 0,012 mph em mm/s. Resposta: _______________________________

PP3-3: Estimando Valores a partir de Gráficos

Muitos processos industriais podem ser medidos e mapeados. Neste exemplo, a quantidade de um elemento X a ser adicionada em um tubo depende da análise do conteúdo de cálcio em partes por milhão (ppm) (Ver figura 3.5).

(a) Quantos gramas do elemento X deve ser adicionado ao tubo quando

(i) A quantidade de cálcio é 0 ppm Resposta: _______________________________

(ii) A quantidade de cálcio é 20 ppm Resposta: _______________________________

(iii) A quantidade de cálcio é 60 ppm Resposta: _______________________________

(iv) A quantidade de cálcio é 95 ppm Resposta: _______________________________

(v) Se 20 g do elemento X fossem adicionados ao tubo, qual seria a quantidade de cálcio?

Resposta: ____________________________________________________________________________

Figura 3.5 Estimando valores a partir do gráfico

(b) Converter o gráfico em uma equação. Chamar o conteúdo de cálcio (em ppm) de c e o elemento químico (em g) de X. Sabendo que a equação é linear, esta deve possuir a forma y = mx + b.

(i) Utilize a figura3.5 para encontrar o valor de b, ou seja, a interseção em y.

Resposta: ____________________________________________________________________________

(ii) Novamente pelo gráfico, encontre X quando c varia de 0 a 100, e divida por 100. O valor encontrado corresponde ao parâmetro m, que representa a inclinação da reta.

Resposta: ____________________________________________________________________________

(iii) Escreva a equação

Resposta: ____________________________________________________________________________

PP3-3: Calculando Valores a partir de uma Equação

(i) Encontre f(0) Resposta: _______________________________

(ii) Encontre f(1) Resposta: _______________________________

(iii) Encontre f(0,125) Resposta: _______________________________

(b) Se y = f(x) = 0,4 + 7,3x,

(i) Encontre f(2,7) Resposta: _______________________________

(ii) Encontre f(π) Resposta: _______________________________

(iii) Encontre f(π - 3) Resposta: _______________________________

(c) Determine y = f(x) quando y – 13 = 7(x – 2) e encontre f(3).

Resposta: ____________________________________________________________________________

Laboratório de Maple

LM3-1: Obtendo Valores pelo Gráfico

Nem sempre a função é conhecida, porém, algumas medidas podem já ser conhecidas.. Neste problema, um hidrólogo comparou o nível de água em um lago no verão com a nevada do inverno anterior nas montanhas mais próximas. Foram obtidos os seguintes dados:

Nevada (polegadas)

Nível de Água (pés)

40 76.0

60 76.5

80 76.9

90 77.2

100 77.6

110 77.8

120 78.0

Utilizar o Maple para traçar o gráfico do nível de água e da nevada.

Através do Maple, podemos representar o gráfico do nível de água e da nevada. O Maple pode traçar os pontos pelo comando plot. Primeiramente, é definida uma lista, que chamaremos A, como segue:

> A := [[40, 76.0], [60, 76.5], [80, 76.9], [90, 77.2], [100, 77.6], [110, 77.8], [120, 78.0]];

e então, é emitido o comando plot

> plot (A);

(a) Qual seria o nível de água do lago se a nevada do último inverno fosse 70 polegadas?

Resposta: ____________________________________________________________________________

(b) O gráfico não é totalmente reto. Os dados reais não se apresentam bem definidos aqui, portanto, ao ligarmos os pontos não encontraríamos uma relação totalmente linear entre as variáveis. Assumimos então que o primeiro e o último pontos são os mais confiáveis e, assim, desenhamos uma outra linha no mesmo gráfico usando estes dois pontos. O comando em Maple será

> plot ( { A, [[40, 76], [120, 78]] } );

Qual a maior diferença entre os dois gráficos? Desenhe uma linha vertical no ponto onde as duas curvas estão mais afastadas e calcule a distância vertical entre as curvas no eixo y.

Resposta: ____________________________________________________________________________

(c) Altere o gráfico anterior para uma pluviosidade de 0 polegadas. Deixe um espaço para prolongar o gráfico verticalmente. O comando plot fica como segue:

> plot ( { A, [[40, 76], [120, 78]] }, 0..120, 74..80);

Qual a interseção em y quando a pluviosidade = 0? Este resultado mostra o nível de água no lago depois de um inverno sem neve.

Resposta: ____________________________________________________________________________

(d) Qual a inclinação da reta? Resposta: ____________________________________________

(e) Escreva a equação da reta. Resposta: ___________________________________________

(f) Fazer o nível de água como sendo uma função da nevada f. Definir em Maple, escrevendo abaixo o comando a ser utilizado.

Resposta: ____________________________________________________________________________

Usar a função para calcular

(i) f(20), o nível de água depois de 20 pol. de neve do inverno.

Resposta: ____________________________________________________________________________

(ii) f(30), o nível de água depois de 30 pol. de neve do inverno.

Resposta: ____________________________________________________________________________

(iii) f(80), o nível de água depois de 80 pol. de neve do inverno.

Resposta: ____________________________________________________________________________

(iv) f(150), o nível de água depois de 150 pol. de neve do inverno.

Resposta: ____________________________________________________________________________

(g) Quanto é f(90)? Compare o valor desta função com o valor analisado no gráfico em (a).

Resposta: ____________________________________________________________________________

(h) Use o comando plot

> plot ( { f, A, [[40, 76], [120, 78]] );

f passa exatamente no topo da reta gerada por [[40, 76], [120, 78]] ?

Resposta: ____________________________________________________________________________

ML3 - 2: Valores de uma Função

O Maple torna simples o cálculo através da notação de funções. Por exemplo, os padeiros precisam fazer seus pães crescerem. Eles sabem que o aumento da temperatura do forno em 1^o Fahrenheit diminui o tempo de cozimento em 1.5 minutos. O pão leva 2 1/2 horas para crescer quando a temperatura é 70^o F.

Chamaremos R o tempo de cozimento e T a temperatura do forno.

(a) Qual a equação? Resposta: ___________________________________________

(c) Quanto é R(120), que representa a maior temperatura possível para o forno?

Resposta: ____________________________________________________________________________

ML3 - 3: Encontrando a Inclinação e a Interseção da reta

Uma reta pode ser determinada através de dois pontos. Sabendo que a reta passa por dois pontos, (x1, y1) e (x2, y2), cujas coordenadas são (33.2, 0.0031) e (57.4, 0.0040), encontre a equação da reta. Dica: temos as equações

y1 = mx1 + b (1)

y2 = mx2 + b (2)

Subtraindo (2) de (1), obtemos y2 - y1 = (x2 - x1)m, ou

( ) (

)

1 2

x x

y m y

−

= − ^.

Agora basta subtrairmos de (1) este valor de m e resolvermos a equação para b, obtendo, depois de algum cálculo,

(

)

1 2

1

2 x x y

x x

y

y y − +

−

= −

(a) Utilize álgebra para completar os passos que faltam, e substitua na equação acima os valores encontrados para y2, x2, y1 e x1. A equação da reta deve ser usada nos passos (b), (c) e (d).

Resposta: ____________________________________________________________________________

(b) Escreva a equação com os valores numéricos encontrados.

Resposta: ____________________________________________________________________________

(c) Escreva a expressão usando a notação de funções. Chame a função de g.

Resposta: ____________________________________________________________________________

(d) Encontre g(40).

Resposta: ____________________________________________________________________________

ML3 - 4: "Linearizando" uma Relação Não-Linear

É possível "linearizar" uma relação não-linear através da mudança de variáveis. Estudaremos esta técnica no problema abaixo.

Forneça a seguinte equação ao Maple:

> eq33 := subs( T = 1/x, eq33);

(a) Apresente a equação resultante. Resposta: _____________________________________

(b) Trace o gráfico desta expressão no intervalo x = 0.00333 até x = 0.00366. Qual o intervalo correspondente a temperatura? ( Dica: o comando é "> plot (rhs(e33), x = 0.00333..0.00366);").

Resposta: ____________________________________________________________________________

(c) O gráfico agora pode ser interpretado. A desvantagem deste método é que o eixo x precisa ser convertido para temperatura.

(i) Qual o valor da função no ponto x = 0.0035? Resposta: _______________________________

(ii) Qual a temperatura correspondente? Resposta: _______________________________

(d) É realmente necessária a linearização no item (c)? A linearização geralmente é utilizada para

"endireitar" uma curva, de forma a tornar sua leitura mais fácil. Faça o gráfico da equação original no lado direito de eq33. Parece a equação de uma linha "quase reta"?

>; (Ponha o comando plot aqui.) Resposta: _______________________________

(e) Encontre valores para Q em T = 273 e T = 300. Resposta: _______________________________

(f) Trace uma reta unindo os pontos em (e) e a curva em (d) no mesmo gráfico. Utilize os valores encontrados para Q em (e), formando uma reta com estes dois pontos. Atribua valores a x1, x2, Q1 e Q2

em

> plot ( { rhs(e33), [[x1, Q1], [x2, Q2]] }, x = x1 - x2); (Substitua valores para x1, x2 e Q1, Q2 !) Que conclusão pode ser tirada da análise dos dois gráficos?

Resposta: ____________________________________________________________________________

(g) Qual a maior variação entre as duas linhas em (f)?

Resposta: ____________________________________________________________________________

(h) Qual a diferença entre as linhas e qual a porcentagem desta variação? Observe que a porcentagem da variação é definida como

_ 100

_ var _

% = − ×

real valor

real valor aproximado valor

iação Resposta: ________________________

ML3 - 5: Gerando uma Lista de Valores a partir de uma Função Linear

> f := x -> 13.2e - 3*x + 11.6;

6 . 11 0132

.

:= x → x + f

determine o valor desta função, usando intervalos de 10, para valores de x de 100 até 220. Pode ser escrito um comando como “>f(100), f(110), f(120), ... f(220)”, ou pode ser usado o comando de repetição do Maple, for:

Observe que a variável i será definida como 230 depois de executado o comando.

Quais os valores para f(100) e f(220)? Resposta: ________________________

ML3 - 6: Retas Perpendiculares

Qual a inclinação de uma reta perpendicular a reta y = mx + b? Por exemplo, uma reta de 120^o é perpendicular a uma reta de 30^o. Suas inclinações (a tangente destes ângulos) são − 3 e 1/ 3, respectivamente. Um destes valores é o recíproco negativo do outro. É um resultado geral?

Teste esta hipótese (jargão matemático para uma suposição) traçando y = 2x + 3 e y = - x/2 – 2 no mesmo gráfico (Figura 3.6).

> plot ( { 2*x + 3, -x/2 – 2 }, x = -5..5);

(a) Estas retas parecem perpendiculares? Atenção: Esteja certo de ter escolhido a opção scaling = constrained na janela do gráfico ou adicione no comando plot. De outra forma, os ângulos ficariam distorcidos no gráfico.

Resposta: ____________________________________________________________________________

(b) Teste a hipótese para, no mínimo, mais três retas a sua escolha. Escreva abaixo a equação das retas escolhidas.

(i) Resposta: _________________________________________________________________________

(ii) Resposta: _________________________________________________________________________

(iii) Resposta: ________________________________________________________________________

Os casos acima parecem perpendiculares? Resposta: _______________________________

Figura 3.6 Retas perpendiculares

(c) Depois de testada a hipótese, mostre que também é válida para o caso geral. Faça referência a Figura 3.6.

θ

θ x

y x

y

y = -1/m x + b

Verifique as seguintes afirmativas:

1. A inclinação da reta y = mx + b é tan(θ) = y/x.

2. A inclinação da reta y = - 1/mx + b1 é tan(90 - θ) = - x/y.

3. Pelo gráfico, tan(90 - θ) = - 1/ tan(θ), uma vez que as duas retas são perpendiculares.

4. Desta maneira, geralmente, a inclinação das retas perpendicula res é o recíproco negativo uma da outra.

Se uma determinada reta é descrita pela equação y = - 33/44x – 72, qual a inclinação de uma reta perpendicular a esta?

Resposta: ____________________________________________________________________________

ML3 - 7: Movimento

Dois motoristas colocam um controlador de velocidade em seus carros. Um deles (chamaremos de A), acreditando ser 55 mph o limite de velocidade, fixou assim sua velocidade. O outro, Sr. B, tendo visto um sinal indicando ser 65 o limite, ajusta assim seu controlador de velocidade. O motorista A passa pela marca de 132 no momento em que o motorista B passa pela marca 12 (ver Figura 3.7).

Os carros se aproximam um do outro. Em que ponto os dois carros se encontram?

Utilize o símbolo xA para indicar a distância do motorista A ao longo da estrada e xB para o motorista B.

Desta forma, podemos escrever as equações xA = 12, xB = 132. Em qualquer outro momento deve ser usada a expressão x = vt para determinar a distância percorrida por cada carro. A expressão deverá ser modificada de acordo com a posição de cada carro.

(a) Qual a expressão apropriada para o motorista B? Resposta: _______________________________

Figura 3.7 Movimento

(b) Qual a expressão para A? Observe que a velocidade do carro A é negativa, pois com o passar do tempo, os números dos marcos vão diminuindo.

Resposta: ____________________________________________________________________________

(c) Inicialmente, quão distantes estão os carros? Resposta: _______________________________

Marco 12

Marco 132

Carro A Carro B

65 mph 55 mph

(d) Em algum momento, os carros irão passar um pelo outro. Neste ponto, xB é igual a xA, já que o marco para os dois carros será o mesmo. Estas incógnitas (variáveis) são funções do tempo. Equacione-as.

Qual a equação linear resultante em t ?

Resposta: ____________________________________________________________________________

(e) Chame a equação encontrada de m136 e passe-a para o Maple. Utilize o comando solve para resolvê-la.

Escreva a equação aqui. Resposta: _______________________________

> solve( m136, { t } ); Resposta: _______________________________

(f) Verifique a solução. Encontre as posições de A e B neste momento.

Utilize o comando substitute para substituir a solução encontrada para t nas equações (a) e (b).

Resposta: ____________________________________________________________________________

ML3 - 8: Mistura

John tem um trabalho de verão no Camp Gnat. Ele é o chef de uma cozinha, que possui normas muito rígidas. Alguns campistas ins istem em leite de 1%, enquanto outros querem de 2%, e um terceiro grupo exige leite puro (4%). Ele precisa de 25 quartos de leite de 2% para o fim de semana. Como era de se esperar, a única mercearia da cidade está sem leite de 2%, porém tem muito das outras variedades. Tendo estudado matemática no período passado, John decide misturar leite de 4% com leite de 1%. Quantos quartos de cada leite John terá que usar para obter 20 quartos de 2% ?

Ele coloca o problema da seguinte forma:

(a) Em cada quarto do leite de 4% há 0,04 qt de gordura. Portanto, quanta gordura haverá em x quartos?

Resposta: ____________________________________________________________________________

(b) Em cada quarto do leite de 1%, há 0.01 qt de gordura. Portanto, quanta gordura haverá em y quartos?

Resposta: ____________________________________________________________________________

(c) Sabendo que John precisa de 25 quartos ao todo, estabeleça a relação entre x e y.

Resposta: ____________________________________________________________________________

(d) Quantos quartos de gordura deve haver em 20 quartos do leite de 2%?

Resposta: ____________________________________________________________________________

(e) Escreva a equação para o conteúdo de gordura em termos de x e y.

Resposta: ____________________________________________________________________________

(f) Elimine y de (e) usando a equação encontrada em (c). Resposta: ________________________

(g) Passe a equação para o Maple e calcule x, a quantidade de leite de 4%.

Escreva a equação, usando o comando solve. Resposta: ________________________

(h) Qual a quantidade de leite de 1% necessária? Resposta: ________________________

(i) Verificação: Calcule a contribuição de gordura de x e y. Some-as e compare o resultado com (c).

Resposta: ____________________________________________________________________________

ML3 - 9: Pagamento de Horas Extras

Mary recebe $17,50 por hora, sendo que trabalha 40 horas em uma semana. Também faz alguma hora extra de vez em quando. Semana passada ela recebeu $ 1.120. Quantas horas extras ela trabalhou?

Chamar de T a quantidade de horas extras que Mary trabalhou. Encontre a equação para T e resolva usando o Maple.

Escreva os comandos em Maple aqui: _____________________________________________________

Resposta: ____________________________________________________________________________

ML3 - 10: Investimento

Um investidor deseja diminuir seus riscos investindo com dois administradores de finança independentes.

A Companhia A relata ganhos de 11,5% e a outra, mais cautelosa, porém menos rentável, firma B, apresenta ganhos de 9,75%. O investidor possui $250.000 para investir, sendo que pretende ganhar

$27.000 anualmente. Calcule a quantidade que deve ser investida em casa fundo, para tornar o investimento o mais seguro possível.

(a) Chamaremos de x a quantia investida na companhia A. Qual deve ser o lucro obtido depois de um ano?

Resposta: ____________________________________________________________________________

(b) Novamente em termos de x, quanto deve ser investido na companhia B, e qual deve ser o lucro depois de um ano?

Resposta: ____________________________________________________________________________

(c) Escreva as equações para o total de ganhos.

Resposta: ____________________________________________________________________________

(d) Escreva a equação em Maple e calcule -a.

Escreva aqui os comandos em Maple: _____________________________________________________

Resposta: ___________________________________________________________________________

ML3 - 11: Velocidade

A expressão da distância pela velocidade, x = vt, pode ter uma interpretação mais ampla do que simplesmente problemas envolvendo movimento. Existem equações similares em outras áreas, onde o parâmetro v ainda é chamado de "velocidade".

Um exemplo: Um programador leva 20 horas para codificar um programa. Pode-se dizer que este programador trabalha a uma velocidade v. Chamaremos de x a parcela de trabalho realizado. Quando o trabalho estiver completamente terminado, x = 1. Podemos escrever a equação 1 = 20v, ou v = 1/20.

Interpretamos como se o programador estivesse trabalhando a uma velocidade de 1/20 de uma tarefa completa, por hora. Portanto, em 20 horas, a tarefa estaria terminada.

Para o problema: Uma programadora, que chamaremos de A, leva 35 horas para terminar um programa.

Sua estagiária, Ms. B, levaria 100 h para terminar a tarefa, trabalhando sozinha. Assumindo que elas são tão eficientes trabalhando juntas quanto individualmente, quanto tempo seria poupado, se trabalhassem juntas em um projeto em que a programadora A estima que levaria 240 h trabalhando sozinha?

(a) Qual a velocidade da programadora A ?

Resposta: ____________________________________________________________________________

(b) Qual a velocidade correspondente a programadora B ?

Resposta: ____________________________________________________________________________

(c) Chamaremos de x a parcela de trabalho realizado. Qual a parcela realizada por B? (O trabalho completo é representado por 1.)

Resposta: ____________________________________________________________________________

(d) Chamar de t o tempo trabalhado.

(i) A parcela do trabalho realizado por A será "(parcela_do_trabalho_realizado = velocidade x tempo):"

Resposta: ____________________________________________________________________________

(ii) A parcela do trabalho realizado por B será:

Resposta: ____________________________________________________________________________

(e) Escreva a equação resultante em Maple e calcule -a:

> ; (Escreva aqui os comandos em Maple.) _________________________________________________

Resposta: ____________________________________________________________________________

(f) Qual foi a parcela do trabalho realizado, expresso em porcentagem, pela programadora experiente, A?

Resposta: ____________________________________________________________________________

(g) Qual foi a parcela de trabalho realizada por B? Verifique se as duas parcelas de trabalho juntas completam 100%.

Resposta: ____________________________________________________________________________

Explorando Mais

A variação linear abrange todas as áreas relativas a tecnologia. Abaixo apresentamos algumas:

1. Mecânica: a distância percorrida é s = vt + s0, onde s é a distância percorrida, v é a velocidade do objeto, e s0 é a posição inicial.

2. Eletricidade: um capacitor obedece a equação Q = CV, onde Q é a carga do capacitor em coulombs, C é a capacitância em farads, e V é a voltagem em volts.

3. Relatividade: A famosa equação da energia de Einstein estabelece que a energia varia linearmente com a massa, E = mc², onde E é a energia, m é a massa, e c é a velocidade da luz. Observe que a velocidade da luz, o termo constante, está ao quadrado. Isto não afeta a relação linear entre E e m.

4. Conversão entre conjuntos de unidades: por exemplo, polegadas = 2.54 x centímetros.

Para pesquisar: Reuna alguns exemplos de variações lineares. Faça a conversão das fórmulas em Maple.

Construa uma tabela de conversão de fatores. Um exemplo de uma das linhas de comando seria

> polegada := 2.54*cm;

Agora tente comandos como

> 5*polegada;

12.70 cm

Capítulo 3 - Razão, proporção e variação

Objetivos do Capítulo

1. Aplicar o conceito de razão aos problemas indicados 2. Desenvolver o método de raciocínio proporcional 3. Resolver problemas de variação linear ou direta

4. Resolver problemas de variação direta com potências de variáveis 5. Resolver problemas de variação inversa

6. Resolver problemas de variação mista

Funções em Maple usadas neste capítulo

convert(RootOf(), radical) Converte uma expressão RootOf para forma de raiz quadrada.

Evalf Converte para a forma decimal.

For Comando de repetição em Maple.

Plot Traça curvas ou pontos.

rhs lhs Isola o lado direito (ou esquerdo) de uma equação.

Subs Substitui uma expressão por uma variável.

with(student) Carrega rotinas extras, inclusive isolate.

Introdução

Este capítulo ilustra um tipo de raciocínio que é muito útil nas ciências físicas. Muitas leis físicas expressam a dependência de variáveis. O enunciado de uma lei pode ser bastante complexo quando a expressão possui um grande número de constantes físicas. Uma pergunta pode ser muito fácil de se formular e, por isso, espera-se que a resposta também seja facilmente obtida. Existem vários truques que podem ajudar-nos a raciocinar sobre o comportamento das funções. Estes truques são mera conseqüência da aplicação de técnicas algébricas sobre certas funções. O tipo de funções estudadas neste capítulo são aquelas cujas variáveis independentes aparecem como único termo. Além disso, a variável independente também pode estar elevada a qualquer expoente. Em outras palavras, nos concentraremos na função

y = f(x) = kxⁿ (4-1)

onde n pode ser um número positivo, negativo ou fracionário.

Variação Direta

Quando o expoente n na Equação 4.1 é igual a 1, temos o caso de variação direta. Quase todos os casos de mudança de uma unidade física para outra envolve variação direta. A única exceção é a temperatura, mencionada no Capítulo 3.

Suponha que se deseja converter de galões para litros. Sabe-se que há um fator de proporcionalidade entre galões e litros, dado pela relação

um galão = 3,7854 litros (4-2)

Portanto, obtêm-se a equação

L = 3,7854 g, (4-3) onde g representa a quantidade em galões e L, a quantidade em litros. A razão entre L e g é 3,7854.

Além de ser muito usada para converter diferentes unidades físicas, a variação linear também pode ocorrer em várias leis físicas. Em eletrônica, a lei de Ohm estabelece que um certa corrente, I, passando por um resistor, R e é dada por

V = RI, (4-4)

onde V é a voltagem que passa pelo resitor.

Em termodinâmica, a lei do gás ideal diz que a pressão, P, de um gás ideal em um recipiente fechado é proporcional a temperatura absoluta, T.

P = kT. (4-5)

A constante de proporcionalidade, k, depende da quantidade de moléculas de gás no recipiente.

Em dinâmica, a distância percorrida, s, por um objeto em movimento é proporcional ao tempo transcorrido, t.

s = vt (4-6)

A velocidade, v, deve ser constante para que a expressão acima seja verdadeira.

A lei de Hook estabelece que a intensidade da força elástica é proporcional a uma deformação x,

F = kx (4-7)

onde F é a força aplicada a mola, x é a deformação da mola, e k é uma constante de proporcionalidade chamada constante elástica.

Estas expressões podem ser recordadas das aulas de Física. É importante perceber que cada uma delas era algo diferente e totalmente inovador quando propostas pela primeira vez. As pessoas ridicularizaram Ohm e sua notação de resistência elétrica. Quando proposta, a idéia de temperatura absoluta foi baseada na observação de que a reta resultante do gráfico de P contra T pode continuar (o termo técnico é extrapolar) até um ponto onde a pressão é zero. Esta temperatura está em torno de –273^o Celcius. (Esta é a origem da escala Kelvin.) Nem precisamos mencionar os problemas que Gallileo teve que enfrentar por causa de algumas de suas noções de movimento. Hoje, no entanto, estas expressões são facilmente aceitas. Apresentamos algumas conclusões sobre as expressões precedentes. Estes resultados, baseados na variação linear, nos levam a raciocinar um pouco.

1. Ao duplicarmos a temperatura, a pressão também duplica. A mesma afirmativa continua verdadeira para qualquer caso de variação linear direta. Ao duplicarmos a voltagem, a corrente também duplica, e assim por diante.

2. O gráfico de qualquer das expressões acima é uma reta passando pela origem. A inclinação da reta é o valor da constante de proporcionalidade.

3. Todas as expressões podem ser reescritas como uma igualdade entre razões. Por exemplo, a expressão P = kT pode ser escrita como

2 2 1 1

T P T

P = , já que ambas as razões são iguais a k.

Variação na enésima Potência

Muito casos são estudados como variação linear. No entanto, a maioria do universo é não-linear, e a computação algébrica torna mais simples o estudo destes sistemas. Nesta seção apresentaremos alguns exemplos a lei da variação por potência.

Compressão Adiabática e Compressão

Já deve ser conhecida a relação entre a pressão de um gás e a temperatura quando o volume é mantido constante. Quando mudam as condições, permitindo também a mudança de volume, mas sem que o calor possa entrar ou sair da câmara, temos a expressão

PVγ = k (4-8)

O expoente, γ, é maior que um e depende do tipo de molécula de que o gás é constituído.

Fórmula da Energia Cinética

A energia associada ao movimento de um corpo massivo é aproximada pela expressão

2

2 1mv

E = ^(4-9)

Onde m é a massa do objeto em movimento e v é a velocidade. A expressão é correta, contanto que a velocidade não se aproxime da velocidade da luz. Portanto, esta expressão é perfeita em aplicações com carros, trens e aviões.

Distância Percorrida em Aceleração Constante

Esta expressão tem a mesma forma da anterior, no entanto, descreve a distância, s, percorrida quando um corpo sai do repouso com uma aceleração constante, a, durante um certo tempo, t. A expressão é

2

2 1at

s = ^(4-10)

Como nos exemplos de variação linear, também há muitas leis de variação quadrática.

Terceira Lei de Kepler – Movimento dos Planetas

O quadrado do período de revolução, T, de um planeta ao redor do sol é proporcional ao cubo do raio médio, r, de sua órbita.

T ² = κ r ³ ou (4-11)

T = k r ^3/2

As constantes κ (letra grega kappa) e k são números diferentes, pois k = κ .

Variação Inversa

A variação inversa é um caso especial da variação na enésima potência. Aqui, a potência é –1. Podemos escrever esta relação nas formas equivalentes a seguir:

y = kx ^–1

x y= k

x x k f: →

xy = k

(4-12)

A última equação mostra um fato interessante sobre as variáveis com uma relação inversa: seu produto é sempre o mesmo.

Exemplo: Variação Mista

Um tipo de variação chamado variação mista ocorre sempre que uma quantidade depende de mais um outro parâmetro. A lei dos gases perfeitos estabelece que a pressão de uma certa quantidade de gás, P, é diretamente proporcional a temperatura absoluta, T, e inversamente proporcional ao volume, V.

A expressão é PV = nRT, onde n e R são, para o nosso propósito, uma única constante. Definimos a equação em Maple como

> idgl := P *V = k*T; (Define a equação dos gases perfeitos.)

kT PV

idgl := =

Qual a pressão quando a temperatura é 300 ^o K, o volume é 2,31 e a constante, k, é 0,075 ? Solução 1:

> eq1 := subs (T = 300, V = 2.3, k = 0.075, idgl); (Substitui os valores) 500 . 22 3

. 2 :

1 = P = eq

> lhs (eq1)/2.3 = rhs (eq1) / 2.3; (Divide o lado direito e o lado esquerdo por 2,3.) 782608696

. 9 000000000

.

1 P =

O resultado acima mostra que P = 9,78 , é uma solução do problema obtida de forma direta: divide-se cada lado da equação para eliminar o número multiplicando P.

Solução 2:

> solve ( eq1, {P} ); (Usa o comando solve para encontrar P.)

{

}

O segundo método produz a resposta num formato bem mais desejável.

Exercícios Paper and Pencil

PP4-1: Mais Conversões

No último capítulo foram convertidas unidades de medidas. Apresentaremos aqui mais problemas de conversões.

(a) Quantas varas há em uma milha? (5280 pés/mi, 16.5 pés/vara)

Resposta: ____________________________________________________________________________

(b) Quantas varas há em um oitavo de milha?

Resposta: ____________________________________________________________________________

(c) Algumas destas formas antigas de medida ainda são muito usadas. O sistema métrico é menos carregado de unidades fortuitas de medida. Qual o multiplicador básico no sistema métrico?

Resposta: ____________________________________________________________________________

PP4-2: Conversão Métrica

(a) Um hectare quadrado é 100 metros (m) em um lado. Quantos metros quadrados há em um hectare?

Resposta: ____________________________________________________________________________

(b) Há 640 acres em uma milha quadrada. Quantos pés quadrados há em um acre? Quantos metros quadrados?

Resposta: ____________________________________________________________________________

(c) Quantos acres há em um hectare?

Resposta: ____________________________________________________________________________

PP4-3: Variação Direta

(a) O preço de venda das batatas varia de acordo com seu peso. Se 10 libras (lbs) de batatas custa $4,20, quanto custa 15 lbs?

Resposta: ____________________________________________________________________________