Análise da Propagação de Impulsos em Fibras Ópticas

Análise da Propagação de Impulsos em Fibras Ópticas

Arleth Manuela Gonçalves

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Júri

Presidente: Prof. Dr. José Manuel Bioucas Dias

Orientador: Prof. Dr. António Luís Campos da Silva Topa Vogal: Profª. Drª. Isabel Maria Ventim Neves

Abril 2012

i

Agradecimentos

Agradeço:

Em primeiro lugar a Deus por permitir que acorde todos os dias com saúde;

À minha família e ao meu noivo Felisberto Camuege, por me apoiarem sempre e serem a minha maior motivação nos muitos momentos difíceis que passei durante o meu percurso universitário;

Ao Prof. Dr. António Topa pela orientação, conselhos, disponibilidade, apoio e muito boa disposição demonstrada durante todas as reuniões que tivemos;

Às minhas amigas Ana Zenilda, Edna Lucia e Ariana Chipalavela pela amizade e motivação oferecidas sempre que precisei ao longo dos anos;

Aos meus colegas do Instituto Superior Técnico por todo apoio e as muitas noites perdidas durante a realização de projectos e trabalhos em grupo.

A todos, muito obrigada!

ii

iii

Resumo

Neste trabalho faz-se uma análise do comportamento dos impulsos ao propagarem-se numa fibra óptica operando em regime linear e não-linear.

Inicia-se o trabalho com uma breve introdução as fibras ópticas, passando-se depois à teoria modal que explica como é possível os impulsos de luz viajarem pela fibra. Procede-se à análise da propagação de impulsos em regime linear onde se foca o tema da dispersão nas fibras. Deduz-se ainda a equação que rege a propagação de impulsos nesse regime linear, sendo que a sua resolução passa pela aplicação de um algoritmo simplificado o qual foi nomeado de Algoritmo RIMF, como é mencionado ao longo do trabalho.

Uma vez que o fenómeno da dispersão limita a largura de banda do sinal, abordam-se os métodos de compensação da dispersão: o uso de fibras compensadoras de dispersão e a propagação de solitões.

Em regime não linear estuda-se o efeito não-linear de Kerr, o qual explica o aparecimento da auto- modulação de fase (AMF), que em conjunto com a dispersão da velocidade de grupo (DVG) permite o surgimento dos solitões. Partindo-se depois para a Equação não-linear de Shrondinger que rege a propagação de impulso nesse regime, determinam-se as suas soluções analíticas, fazendo-se uma pequena abordagem sobre o solitão fundamental, após mencionar-se o método numérico que é utilizado para a simulação de impulsos em regime não-linear.

Palavras-chave: Fibras ópticas, dispersão, propagação de impulsos, solitões.

iv

v

Abstract

In this thesis, we analyze the performance of pulse propagation through a fibre optic communication system, operating in the linear and nonlinear regimes.

This work starts with a brief introduction to fibre optics communication systems. Then, the modal theory is used to study how light pulses travel along the fibre. The pulse propagation in the linear regime is then addressed to analyze the dispersion of pulses through the fibre. The equation that governs the pulse propagation along the fibre is derived. Its resolution involves the application of a simulation algorithm, termed here as RIMF algorithm, as referred along the thesis.

It is concluded that dispersion is the main limiting factor, causing pulse spreading and limiting the bandwidth of the signal. The methods of dispersion compensation are proposed: The use of dispersion compensating fibres and the propagation of solitons.

In the non-linear regime, we focus on the non-linear Kerr effect, which explains the appearance of the self-phase modulation (SPM). In conjunction with the group velocity dispersion (GVD), these two effects, whenever compensated, allow the appearance of solitons. The non-linear Shrondinger (NLS) equation, governing pulse propagation in this regime, is derived to find its analytical solutions. A numerical method is introduced to simulate the pulse propagation in the non–linear regime. Finally, the fundamental soliton is considered.

Keywords: Fibre optics, dispersion, pulse propagation, solitons.

vi

vii

Índice

Agradecimentos ... i

Resumo ... iii

Abstract ... v

Lista de Figuras ... ix

Lista de Símbolos ... xi

Lista de Acrónimos ... xv

Capítulo 1- Introdução ... 1

1.1. - Introdução as fibras ópticas ... 1

1.2. - Comunicações ópticas ... 3

1.2.1. - Luz ... 3

1.2.2. - Espectro electromagnético ... 4

1.2.3. - LED vs LASER ... 6

1.2.4. - Esquemas de modulação e multiplexagem em fibras ópticas ... 6

1.2.5. - Elementos de uma ligação por fibra óptica ... 7

1.3. - Motivações e objectivos da tese ... 8

1.4. - Estrutura da tese ... 8

1.5. - Contribuições ... 10

Capítulo 2- Teoria Modal ... 11

2.1. - Lei de Snell ... 11

2.2. - Fibras ópticas operadas em regime linear ... 13

2.2.1. - Parâmetros normalizados ... 14

2.3. - Modos de propagação na fibra óptica ... 16

Capítulo 3- Propagação de impulsos em regime Linear ... 23

3.1. - Dispersão em fibras ópticas ... 23

3.2. - Equação de propagação de impulsos em regime linear ... 28

3.2.1. - Coeficientes 

_m

... 33

3.2.2. - Simulação Numérica da Propagação de Impulsos em Regime linear ... 34

3.3. - Desvio dinâmico de frequência (Chirp) ... 39

3.3.1. - Propagação de impulsos Gaussianos com Chirp em regime linear ... 39

3.3.2. - Impulsos Super-Gaussianos ... 48

3.4. - Compensação da dispersão ... 53

3.4.1. - Exemplo de Aplicação das DCF’s ... 54

Capítulo 4 - Propagação de impulsos em regime não-linear ... 57

4.1. - Efeito não-linear de Kerr numa fibra óptica ... 57

4.2. - Equação não-linear de Shrodinger ... 62

viii

4.3. - Soluções analíticas da equação NLS ... 67

4.3.1. - Soluções analíticas da equação NLS para ondas solitárias ... 70

4.3.2. - Soluções Analíticas da Equação NLS para ondas periódicas ... 73

4.4. - Simulação numérica da equação NLS: Split-Step Fourier Method ... 74

4.5. - Características do solitão fundamental ... 77

Capítulo 5 - Conclusões ... 81

5.1. - Conclusões principais ... 81

5.2. - Perspectivas de trabalho futuro ... 83

Bibliografia... 85

Anexo A – Equações de Maxwell ... 87

Anexo B – Equação modal e corte dos modos híbridos ... 91

B.I – Equação modal ... 91

B.II – Modos híbridos (EH e HE) e transversais (TM e TE) ... 97

Anexo C – Interpretação geométrica da propagação guiada na fibra ... 103

ix

Lista de Figuras

Figura 1. 1 - Constituição da fibra [10]. ... 2

Figura 1. 2 - Comparação de dimensões da fibra óptica e cabo usual [8]. ... 3

Figura 1. 3 - Espectro Electromagnético e frequências ópticas [5]. ... 4

Figura 1. 4 - Janelas de transmissão ao longo dos anos [5]... 5

Figura 1. 5 - Elementos de uma ligação por fibra óptica [5]. ... 8

Figura 2. 1 - Confinamento na fibra [6]. ... 11

Figura 2. 2 - Fibras com vários perfis [10]. ... 12

Figura 2. 3 - Fibra óptica de perfil em degrau [3]. ... 13

Figura 2. 4 - Solução da equação modal (2.28) para o modo fundamental. ... 20

Figura 2. 5 - Primeiros seis modos LP da fibra óptica: diagramas b(v). ... 21

Figura 2. 6 - Influência do contraste dieléctrico sobre a curva de dispersão b(v) para o modo fundamental. ... 21

Figura 2. 7 - Variação do contraste dieléctrico com o raio do núcleo, para dois valores diferentes do comprimento de onda de corte do modo LP11 (o primeiro a propagar-se imediatamente a seguir ao modo fundamental LP01). Considera-se n1=1.5. ... 22

Figura 3. 1 - Dispersão nula [5]. ... 27

Figura 3. 2 - Dispersão anómala [5]. ... 27

Figura 3. 3 - Dispersão normal [5]. ... 28

Figura 3. 4 - Comparação do impulso a entrada e a saída em regime linear. ... 38

Figura 3. 5 - Evolução do impulso. ... 38

Figura 3. 6 - Impulso inicial Gaussiano com C=0. ... 39

Figura 3. 7 - Comparação do impulso Gaussiano a entrada e a saída com C=0. ... 42

Figura 3. 8 - Evolução do impulso Gaussiano com C=0. ... 42

Figura 3. 9 - Comparação do impulso Gaussiano a entrada e a saída com C=2. ... 42

Figura 3. 10 - Evolução do impulso Gaussiano com C=2. ... 43

Figura 3. 11 - Comparação do impulso Gaussiano a entrada e a saída com C=-2. ... 43

Figura 3. 12 - Evolução do impulso Gaussiano com C=-2. ... 43

Figura 3. 13 - Evolução espacial da largura espectral dos impulsos na zona de dispersão anómala para diferentes valores do parâmetro C ... 47

Figura 3. 14 - Impulso inicial Super-Gaussiano com C=0. ... 49

Figura 3. 15 - Comparação do impulso Super-Gaussiano a entrada e a saída para C=0... 50

Figura 3. 16 - Evolução do impulso Super-Gaussiano para C=0. ... 50

Figura 3. 17 - Comparação do impulso Super-Gaussiano a entrada e a saída para C=2... 50

Figura 3. 18 - Evolução do impulso Super-Gaussiano para C=2. ... 51

Figura 3. 19 - Comparação do impulso Super-Gaussiano a entrada e a saída para C=-2. ... 51

Figura 3. 20 - Evolução do impulso Super-Gaussiano para C=-2. ... 51

x

Figura 3. 21 - Comparação do impulso a entrada e a saída, na primeira fibra. ... 55

Figura 3. 22 - Comparação do impulso a entrada e a saída, na segunda fibra. ... 55

Figura 4. 1 - Potência de um impulso Gaussiano [9]. ... 61

Figura 4. 2 - Evolução do solitão fundamental. ... 72

Figura 4. 3 - Evolução do solitão de terceira ordem. ... 73

xi

Lista de Símbolos

:

NA

Abertura numérica

ent

:

P

Potência óptica a entrada da fibra

sai

:

P

Potência óptica a saída da fibra

:

f Frequência óptica

 : Comprimento de onda

:

c Velocidade da luz no vazio

 :

Contraste dieléctrico

1

:

n

Índice de refracção do núcleo

2

:

n

Índice de refracção da bainha

i

:



Ângulo de incidência

t

:



Ângulo de transmissão

c

:



Ângulo crítico

max

:



0 Ângulo de aceitação máximo

z

:

E

Componente longitudinal do campo eléctrico

0

:

E

Amplitude do campo eléctrico

: ) (r

F

Função modal

 :

Constante de propagação longitudinal

 :

Frequência angular

:

a

Raio do núcleo da fibra

:

k

Constante genérica de propagação

0

:

k

Constante de propagação no vácuo

:

q

Constante de propagação na bainha

:

h

Constante de propagação no núcleo

:

u

Constante de propagação transversal normalizada

:

w

Constante de propagação na bainha normalizada

 :

Constante de atenuação

:

b

Índice de refracção modal normalizado

:

v

Frequência normalizada da fibra

:

n

Índice de refracção modal

c

:

v

Frequência de corte normalizada

xii

c

:



Comprimento de onda de corte

max

:

a

Raio máximo do núcleo para que o regime seja monomodal

: ) (u

J

_m Função de Bessel da 1ª espécie

: ) (u

K

_m Função de Bessel da 2ª espécie

: )

'

( u

J

_m Derivada da função de Bessel da 1ª espécie

: )

'

( u

K

_m Derivada da função de Bessel da 2ª espécie

:

E

Campo eléctrico

:

H

Campo magnético

:

n

Índice de variação radial

:

m

Índice de variação azimutal



:

D

Dispersão no guia

:

L

Comprimento na fibra

g

:



Atraso de grupo

g

:

v

Velocidade de grupo

g

:

n

Índice de grupo

2

:



Coeficiente da DVG

: ) , 0 ( t

A

Envolvente do impulso a entrada da fibra

: ) , ( z t

A

Envolvente do impulso que se propaga na fibra

: ) , ( x y

F

Função modal que representa a variação transversal do modo fundamental

:

r

Coordenada transversal (num sistema de coordenadas cilíndricas)

 :

Desvio de frequência em relação a portadora

0

:



Frequência angular da portadora

0

:



Tempo característico de duração do impulso

D

:

L

Comprimento de dispersão

 :

Comprimento normalizado

 :

Tempo normalizado

 :

Frequência normalizada

:

C

Parâmetro Chirp

c

:



Factor de Henry

0

:

A

Amplitude do impulso

: ) , ( z t



Desvio de frequência provocado pela existência do Chirp

xiii :

) ( z



Factor de alargamento dos impulsos

min

:

z

Distância mínima para o qual o impulso atinge a sua largura mínima

min

:



Tempo que o impulso leva a atingir a sua largura mínima

r

:

t

Tempo de duração para o qual a intensidade do impulso aumenta de 10% a 90% do seu valor de pico

: )

 (z

Largura efectiva do impulso

q

:

t

Momentos

0

:



Largura inicial do impulso



:



Largura efectiva da fonte

:

V

Largura espectral da fonte normalizada

1

:

L

Comprimento da fibra a funcionar na zona anómala

2

:

L

Comprimento da fibra de compensação a funcionar na zona normal

21

:



Coeficiente da DVG na secção 1

22

:



Coeficiente da DVG na secção 2

: ) , ( x y

n

Índice de refracção da fibra

 :

Constante dieléctrica relativa

'

:



Constante dieléctrica relativa perturbada

'

:



Constante de propagação perturbada

*

:

E

Campo eléctrico fictício

:

I

Intensidade óptica

*

:

y

Admitância apropriada

: ) , ( z t

P

Potência transportada

 :

Área efectiva

ef

:

r

Raio efectivo

in

:

P

Potência de entrada do impulso

NL

:



Fase não-linear

 :

Comprimento efectivo

: )

 (t

Desvio de frequência instantânea local (em relação a portadora) provocada pela AMF

0

:

P

Potência de pico

NL

:

L

Comprimento não-linear

:

N

Ordem do solitão

xiv

0

:

q

Centro do impulso em relação a

    0

0

:



Fase para

    0

0

:



Período da evolução do solitão

s

:

E

Energia do solitão

s

:



Largura total a metade do valor máximo

:

A

Área do solitão fundamental

: ( )

S

Densidade espectral de potência

 :

N

Parâmetro da não-linearidade



:

D

Parâmetro da dispersão

 :

Factor de perdas

 :

Termo de dispersão da 3ª ordem

: )

0

( t

u

Impulso incidente

:

h

Passo longitudinal

L

:



Comprimento da fibra normalizado

in

:

E

Energia inicial

fin

:

E

Energia final

c

:



Erro cometido

:

J

Vector de densidade de corrente

 :

Vector de densidade de carga

:

D

Densidade de fluxo eléctrico

:

B

Densidade de fluxo magnético

0

:



Permessividade électrica no vácuo

0

:



Permeabilidade magnética do vácuo

:

P

Polarização induzida électrica

:

M

Polarização induzida magnética

: ) , ( r t

P

_L Polarização induzida da parte linear

: ) , ( r t

P

_NL Polarização induzida da parte não-linear

)

:

1



( Susceptibilidade linear

)

:

3



( Susceptibilidade não-linear

xv

Lista de Acrónimos

LAN: Local Área Network

WAN: Wide Area Network

WDM: Wavelength Division Multiplexing

EDFA: Erbium Doped Fiber Amplifier

AM: Amplitude Modulation

FM: Frequency Modulation

DM: Digital Modulation

LED: Ligth Emition Diode

ILD: Injection Laser Diode

TE: Transversais Eléctricos

TM: Transversais Magnético

TEM: Transversais Electro-Magnéticos

LP: Linearmente Polarizado

IIS: Interferência Inter Simbólica

DVG: Dispersão da Velocidade de Grupo

DCF: Dispersion Compensation Fiber

FFT: Fast Fourier Transform

IFFT: Inverse Fast Fourier Transform

AMF: Auto-Modulação de Fase

RLND: Regime Linear Não-Dispersivo

RLD: Regime Linear Dispersivo

RNLD: Regime Não-Linear Dispersivo

RNLND: Regime Não-Linear Não-Dispersivo

NLS: Não-Linear de Sch o   dinger

IST: Inverse Scattering Transform

FWHM: Full Wicth at Half Maximum

SSFM: Slip-Step Fourier Method

FWM: Four Wave Mixing

XPM: Cross Phase Modulation

xvi

1

Capítulo 1- Introdução

Neste capítulo fala-se introdutoriamente do aparecimento das fibras ópticas, da sua invenção, por que razão mudaram drasticamente o paradigma de transmissão de dados, as principais vantagens que tornam a fibra óptica especial quando comparada com os cabos metálicos, ou seja, uma breve introdução as fibras ópticas. Descrevem-se também os elementos básicos de uma ligação por fibra óptica, referindo-se de uma forma breve o espectro electromagnético e as comunicações ópticas, fazendo-se uma comparação básica entre os emissores ópticos usados pela fibra, sem esquecer de apresentar os objectivos e motivações da dissertação, uma estrutura resumida do trabalho realizado e as suas principais contribuições.

1.1. - Introdução as fibras ópticas

Com base nos estudos efectuados pelo físico inglês Jonh Tyndall em 1870, de que a luz poderia descrever uma trajectória curva dentro de um material, apenas em 1952 o físico indiano Narinder Singh Kapany concluiu as suas experiencias levando-o a invenção da fibra óptica, pois só com a invenção e desenvolvimento dos dispositivos (LASER´s e LED´s) capazes de converter impulsos electrónicos em impulsos de luz é que era possível transmitir a informação que até ao momento era eléctrica, mudando desde então o paradigma de transmissão de dados (sinal) [12]. A fibra óptica é principalmente utilizada em sistemas que exigem alta largura de banda, tais como sistemas telefónicos, sistemas de vídeo-conferência, redes de computadores locais (LAN’s) e de longas distancias (WAN’s) em campos universitários, hospitais e empresas, TV’s a cabo (futuramente em sistemas bidireccionais), controle e automação industrial, aplicações militares, na medicina (endoscopias por exemplo), entre outros.

As fibras ópticas, não são nada mais que matérias isolantes, cilíndricos (filamentos) constituídos por uma região central denominada núcleo, por onde passa a luz, e uma região periférica denominada bainha que envolve o núcleo, como mostra a Figura 1.1. Tal filamento pode apresentar diâmetros variáveis, dependendo da aplicação, indo desde diâmetros infinitos da ordem dos micrómetros (mais finos que um fio de cabelo) até vários milímetros [10].

2

Figura 1. 1 - Constituição da fibra [10].

Existem duas vantagens principais que tornam a fibra óptica especial em comparação aos cabos metálicos:

 A fibra óptica é totalmente imune a interferências electromagnéticas, por esta ser constituída de material dieléctrico (pedaço de vidro ou material polimérico) com capacidade de transmitir luz, o que significa que os dados não serão corrompidos durante a transmissão.

 E o facto das fibras ópticas não conduzirem corrente eléctrica, logo não haverá problemas com electricidade, como problemas de diferença de potencial eléctrico ou problemas com descargas electricas.

O principio fundamental que rege o funcionamento das fibras ópticas é o fenómeno físico denominado reflexão Interna total da luz. Para que haja a reflexão Interna total, a luz deve sair de um meio com índice de refracção maior para um meio com índice de refracção menor e o ângulo de incidência deve ser superior ao ângulo crítico, comummente designado por ângulo limite.

Existem duas categorias de fibras ópticas: Multimodais e Monomodais, definindo assim a forma como a luz se propaga no interior do núcleo.

As fibras multimodais possuem diâmetro do núcleo superior ao das monomodais, de modo a que a luz tenha vários modos de propagação, ou seja, a luz percorre o interior da fibra óptica por diversos caminhos. Tais fibras são mais usuais para curtas distâncias, pois são bastante sensíveis ao fenómeno da dispersão, que mais adiante se explicará.

Enquanto nas monomodais a luz possui apenas um modo de propagação, ou seja, a luz percorre o interior do núcleo por apenas um caminho, mas em compensação, são as mais adequadas para aplicações que envolvam grandes distâncias, embora requeiram conectores de maior precisão e dispositivos de alto custo [7].

3

1.2. - Comunicações ópticas

As comunicações ópticas constituem hoje o suporte da transmissão da rede fixa. Comunicações em frequências bastante elevada ( ), recorrendo a conversores electro-ópticos (LAZERs) e Opto - eléctricos (PIN).

Pelo facto da fibra óptica apresentar atenuações bastantes reduzidas ( ), permite ligações entre várias dezenas de quilómetros. Em ligações longas, é necessário usar repetidores (amplificadores ou regeneradores) [5].

1.2.1. - Luz

As principais questões que se colocaram foram: como é que a luz, passando por meio da fibra óptica, consegue transmitir informação? Como isto pode ser tão mais eficiente que as transmissões tradicionais, por condutores metálicos? A Figura 1.2 mostra uma comparação entre as dimensões (em termos de capacidade) de um cabo usual e uma fibra óptica.

Figura 1. 2 - Comparação de dimensões da fibra óptica e cabo usual [8].

Para tentar perceber estudaremos como as ondas funcionam, pois a luz é uma gama de comprimentos de onda a que o olho humano é sensível ou qualquer radiação electromagnética que se situe entre a radiação infravermelha e radiação ultravioleta. As três grandezas físicas básicas da luz são: brilho (amplitude), cor (frequência) e polarização (ângulo de vibração), devido a dualidade onda-particula, a luz exibe simultaneamente propriedades de onda e partícula [8].

A transmissão de luz pela fibra, independentemente do material usado ou da aplicação, é feita lançando um feixe de luz (o qual transporta a informação) à entrada da fibra sob um cone de aceitação, em que este determina o ângulo por que o feixe de luz deverá ser injectado, para que este possa propagar-se ao longo da fibra, pelas suas características. O feixe percorre-a por meio de reflexões sucessivas, sem esquecer que para iniciar a transmissão faz-se o uso de um conversor que

THz

 193

km dB 2 . 0

~

4

transforma impulsos de tensão na linha de entrada, num feixe lazer, o qual é direccionado para o núcleo da fibra. Da entrada segue-se o princípio de funcionamento da fibra, e no final da fibra também é colocado um outro conversor que reconverte os impulsos de luz em tensão eléctrica [15].

1.2.2. - Espectro electromagnético

O espectro electromagnético é o intervalo que contém todas as radiações electromagnéticas, que vão desde as ondas de rádio até aos raios gama [5]. O conhecimento sobre as ondas electromagnéticas tem evoluído desde a época de Maxwell. As ondas electromagnéticas são ondas formadas pela combinação dos campos eléctrico e magnético que se propagam perpendicularmente um em relação ao outro.

Figura 1. 3 - Espectro Electromagnético e frequências ópticas [5].

A relação entre frequência óptica, e o comprimento de onda, λ é:

 f  c

(1)

Onde c é a velocidade da luz no vazio, à qual é uma constante de valor aproximado à 3.10⁸ m/s.

Na Figura 1.4 são ilustradas as regiões de comprimento de onda ao longo das décadas usadas pela fibra, onde as terceira janela (valores vizinhos ao comprimento de onda central ou nominal) e segunda janela são as mais atractivas pois oferecem menores valores de atenuação por kilómetro percorrido.

5

Figura 1. 4 - Janelas de transmissão ao longo dos anos [5].

Apesar de a atenuação ser bastante reduzida em fibras ópticas, não deixa de ser uma característica importante de transmissão, reflectindo-se esta no facto de que a medida que a luz se propaga pela fibra perde parte da sua potência pelas imperfeições do material ao ser fabricado (sílica) e absorção da luz pela casca, reduzindo assim a potência óptica disponível [16], [17].

Em sistemas ópticos é comum apresentar-se o valor de atenuação por unidade de comprimento da fibra L, por via da comparação da potencia óptica a entrada e a saída da fibra, com α a representar o coeficiente de atenuação e expresso em .

 

 



 



sai ent

P L 10 log

₁₀

P



(1.a)

Como se observa na Figura 1.4, de modo a reduzir a atenuação, a transmissão na fibra não utiliza luz visível, mas sim luz infravermelha com comprimentos de onda a rondarem entre os 850 à 1550 nanómetros, por isso nunca devemos olhar directamente para uma fibra óptica quando esta estiver transmitindo, pois corremos sérios riscos de perder a visão [13].

Actualmente em fibras ópticas a atenuação já é bastante reduzida, pelo que, em todas as demonstrações aqui apresentadas, considera-se a atenuação nula face ao efeito da dispersão na fibra.

6

1.2.3. - LED vs LASER

A fibra óptica converte o sinal em impulsos de luz através de um emissor óptico, a chamada conversão electro-óptica. Para sistemas ópticos, encontramos dois tipos de fontes ópticas (fontes de luz) que são frequentemente utilizadas: LED (Light Emition Diode) e ILD (Injection Laser Diode), ambos semicondutores modulados directamente pela variação de corrente a entrada. Cada um destes dois tipos de fontes oferece certas vantagens e desvantagens, e diferenciam-se entre si sob diversos aspectos:

- Potência luminosa: os lasers oferecem maior potência óptica quando comparados com os LEDs.

- Largura espectral: os lasers têm largura espectral menor que os LEDs, o que proporciona menor dispersão material.

- Tipos e velocidades de modulação: os lasers têm velocidade maior que os LEDs, mas necessitam de circuitos complexos para manter uma boa linearidade.

- Acoplamento com a fibra óptica: o feixe de luz emitido pelo laser é mais concentrado que o emitido pelo LED, permitindo uma eficiência de acoplamento maior.

- Variações com temperatura: os lasers são mais sensíveis à temperatura que os LEDs.

- Vida útil e degradação: os LEDs têm vida útil maior que os lasers (aproximadamente 10 vezes mais), além de ter degradação bem definida.

- Custos: os lasers são mais caros que os LEDs, face dificuldade de fabricação.

- Ruídos: os lasers apresentam menos ruídos que os LEDs. Ambos podem ser fabricados do mesmo material, de acordo com o comprimento de onda desejado:

* AlGaAs (arseneto de alumínio e gálio) para 850 nm.

* InGaAsP (fosfato de arseneto de índio e gálio) para 1300 e 1550 nm.

Dadas as características de ambos, os lasers são comummente usados nas fibras monomodo, enquanto os LED´s são mais usados nas fibras multimodo.

1.2.4. - Esquemas de modulação e multiplexagem em fibras ópticas

A modulação é o processo pelo qual o sinal em vez de ser transmitido em sua forma original é transmitido com mudança de amplitude, frequência ou dígitos, através de uma portadora ou canal. A transmissão de informação basicamente realiza-se modulando a intensidade do campo (potência óptica) que se propaga na fibra óptica [10], [11].

A fibra óptica pode usar 3 esquemas de modulação, os quais aqui se referem:

7

 Amplitude Modulation (AM): a modulação é feita na amplitude, como o próprio nome indica, o que requer sistemas bastante lineares, para compensar a distorção do sinal ao atravessar a fibra.

 Frequency Modulation (FM): a informação é transmitida a partir de uma variação de frequência da portadora, facto que torna menos vulnerável às variações de amplitude.

 Digital Modulation (DM): apesar de requerer a entrada um conversor de sinal A/D, é a modulação menos afectada pela distância, ruído do emissor de luz ou mesmo distorção, e consequentemente a modulação com custos mais elevados.

A multiplexagem é a técnica que permite enviar pelo mesmo canal em simultâneo, varias mensagens distintas [10].

A multiplexagem mais usada em fibras é a chamada multiplexagem por divisão no comprimento de onda, ou como é comummente conhecida WDM (Wavelength Division Multiplexing). Essa tecnologia baseia-se no facto das fibras ópticas poderem transportar vários comprimentos de onda em simultâneo (canais) sem que haja iteração entre eles, permitindo o aumento da largura de banda. Já o Multiplexer, em conjunto com filtros apropriados, permite combinar os diferentes comprimentos de onda numa única fibra, no final da transmissão usa-se um Demultiplexer para separar os diferentes comprimentos de onda.

1.2.5. - Elementos de uma ligação por fibra óptica

A quantidade de informação que pode ser transmitida está directamente relacionada com a frequência da portadora na qual a informação é impressa, então um aumento da sua frequência implica, em teoria, um aumento da largura de banda de transmissão e, em consequência, uma maior capacidade de transmitir informação. Assim, a tendência em sistemas de comunicação é o uso de frequências cada vez mais elevadas (ou, equivalentemente, de comprimentos de onda mais curtos) [5].

A Figura 1.5 abaixo apresenta os elementos básicos de uma ligação por fibra óptica. É de realçar que quanto maior for a ligação por fibra óptica, ao longo desta requer-se o uso de amplificadores de sinal apropriado, como por exemplo EDFA (Erbium Doped Fiber Amplifier) ou o uso de regeneradores de sinal (por exemplo a cada 100Km de distância), de modo a minimizarem-se as perdas de transmissão (atenuação e dispersão) [10].

8

Figura 1. 5 - Elementos de uma ligação por fibra óptica [5].

1.3. - Motivações e objectivos da tese

As principais motivações a escrita desta tese foram tentar perceber que tecnologias envolvidas estão por detrás da transmissão de dados por fibra óptica, como um condutor com diâmetro inferior a um fio de cabelo é capaz de transmitir quantidades enormes de informação com perdas bastante insignificantes, o que acontece a informação ao passar por tal meio e como isto pode ser muito mais vantajoso que os sistemas de transmissão de dados convencionais.

O objectivo principal passa por tentar esclarecer de modo conciso e abrangente as motivações que levaram a escrita deste trabalho, incidindo principalmente sobre o que acontece com os impulsos de luz ao viajarem pela fibra.

1.4. - Estrutura da tese

O trabalho esta estruturado por cinco capítulos, onde o primeiro capítulo descreve introdutoriamente as fibras ópticas, comunicações ópticas, fala-se um pouco do espectro electromagnético, faz-se uma breve comparação entre os lasers e LED´s e mostram-se os elementos de uma ligação por fibra

9

óptica. É também no primeiro capitulo onde se descreve as motivações e objectivos da tese, como está estruturada e quais as principais contribuições.

No segundo capítulo fala-se brevemente da teoria modal, pois é esta teoria que explica por que razão é possível a transmissão de luz dentro da fibra, as equações que regem a propagação de ondas em regime linear e quais os modos de propagação na fibra.

No terceiro capítulo apresenta-se uma descrição sobre o que acontece aos impulsos ao propagarem- se na fibra em regime linear, pois os sistemas ópticos sob o efeito de pequenas perturbações têm um comportamento muito próximo aos sistemas lineares e por essa razão faz-se o estudo dos impulsos ao propagarem-se em regime linear. Como não se pode falar de propagação de impulsos sem se tocar no tema dispersão em fibras, faz-se uma breve descrição sobre por que razão os impulsos sofrem o efeito da dispersão ao propagarem-se, quais as equações que regem o principio da dispersão. Demonstra-se a equação que rege a propagação de impulsos em regime linear e no fim arranja-se um algoritmo simples para a resolução de tal equação o qual foi nomeado de Algoritmo RIMF. Mais adiante fazem-se algumas simulações numéricas para ilustrar o efeito DVG sobre o impulso secante-hiperbólica. Ao introduzir-se o parâmetro Chirp o qual quantifica o desvio de frequência instantânea, fazem-se umas simulações numéricas dos impulsos Gaussianos e Super- Gaussianos, mostrando-se como o parâmetro Chirp pode influenciar na evolução da largura espectral de tais impulsos ao propagarem-se na fibra. Por fim arranja-se uma solução admissível ao problema da dispersão, com o uso da técnica de fibras compensadoras de dispersão a cada duas secções da fibra, o que revela ser uma técnica bastante eficaz para colmatar o efeito da dispersão na fibra em regime linear.

No quarto capítulo descreve-se a propagação de impulsos em regime não-linear, pois sabe-se que os elementos na natureza comportam-se de forma não linear a perturbações exteriores. Mostra-se que a propagação de impulsos em regime não-linear dispersivo é governada pela auto-modulação de fase que em conjunto com dispersão de velocidade de grupo permite o aparecimento de solitões, que são impulsos que não mudam a sua forma ao longo da propagação na fibra, sendo esta a forma de compensar a dispersão neste regime. Fala-se da equação não-linear de Schrondinger que é a equação que rege a propagação de impulsos em regime não linear, acham-se as suas soluções analíticas, que para ondas não periódicas trata-se de uma onda que se propaga sem deformação, que como já se havia referido, é o solitão. Por isto, mostra-se a evolução do solitão de primeira ordem e as suas características principais. Para o caso de ondas periódicas, que ao contrário do solitão fundamental não matêm a sua forma ao longo da propagação, ilustra-se a evolução de um solitão de terceira ordem. Por fim fala-se da simulação numérica da equação não-linear de Schrondinger, que baseia-se na aplicação, em termos computacionais do algoritmo RIMF iterativamente para o caso da resolução das equações não-lineares, onde quanto maior o número de iterações mais eficiente se mostra o método.

10

É de realçar que consideraram-se as perdas de potência (atenuações) nulas, pois estas são insignificantes comparadas ao fluxo de informação transmitida pela fibra. O que não quer dizer que não foram referidas.

O quinto capítulo é reservado as conclusões do trabalho e as perspectivas de trabalhos futuros.

1.5. - Contribuições

A principal contribuição desta dissertação é uma visão integrada da propagação de impulsos em sistemas de fibras ópticas. Em particular, a caracterização da propagação de impulsos em fibras ópticas em regime linear, analizando o fenómeno de dispersão temporal, e em regime não-linear, analizando o efeito conjunto da auto-modulação de fase e da dispersão temporal. A simulação numérica da propagação de vários tipos de impulsos numa óptica, quer em regime linear e quer em regime não-linear, bem como a análise de técnicas de compensação da dispersão para regime linear (fibras compensadoras de dispersão) e em regime não-linear (propagação de solitões), são também aspectos importantes deste trabalho.

11

Capítulo 2- Teoria Modal

A transmissão de luz dentro da fibra só é possível graças a diferença de índice de refracção entre o núcleo e a bainha, sendo que o núcleo possui sempre maior índice de refracção, tal característica associada a um certo ângulo de incidência do feixe de luz, possibilita o fenómeno de reflexão interna total. A teoria modal explica a transmissão da luz dentro da fibra [3], [9].

2.1. - Lei de Snell

A Lei de Snell explica que não pode haver refracção quando o ângulo de incidência é muito grande, ou seja, existe um valor crítico que permite que a luz caminhe pelo vidro. O fenómeno de reflexão interna total é o fenómeno que mantém e sustenta a luz confinada dentro da fibra, ou seja, a reflexão interna deve ser proporcionada com toda energia de modo a que os raios de luz saltem para o interior da fibra obedecendo a lei de Snell [16].

n

₁

sin 

ⁱ

 n

₂

sin 

^t

(2.1a)

Figura 2. 1 - Confinamento na fibra [6].

12

Através da trigonometria é possível definir um valor máximo para o ângulo de incidência em relação ao eixo da fibra e não à normal referida na Figura 2.1, chamado ângulo de aceitação máximo . Somente os raios que entram na fibra com um ângulo inferior ao ângulo de aceitação máximo se propagam pela fibra [14].

Nas fibras ópticas, seja o índice de refracção do núcleo e o índice de refracção da bainha, existe um parâmetro útil para descrever a capacidade de se colectar luz numa fibra óptica, que se relaciona com o ângulo de aceitação máximo, o qual é denominado por abertura numérica (NA) e é dado pela seguinte fórmula:

NA  n

₀

sin 

_0max

 n

₁²

 n

₂²

 n

₁

2 

(2.1)

Onde n0 é o índice de refracção do meio em que a fibra esta inserida (normalmente o ar e por isso n0=1).

Mas adiante explica-se o significado do parâmetro

.

A fibra óptica pode ser de perfil gradual ou em degrau [15]. A fibra óptica de perfil em degrau corresponde a fibras cujo índice de refracção entre o núcleo e a bainha varia abruptamente, como mostra a Figura 2.2. Os diâmetros do núcleo e da bainha dependem do perfil da fibra.

Figura 2. 2 - Fibras com vários perfis [10].

n

1

n

₂



13

2.2. - Fibras ópticas operadas em regime linear

As fibras ópticas operadas em regime linear, comummente chamadas como fibras ópticas em regime monomodal, são as fibras que permitem o uso de apenas um sinal de luz pela fibra, possuem dimensões menores e maior banda passante, por possuírem menos dispersão.

Sendo a diferença de índices relativa dada pelo contraste dieléctrico, o qual é definido através do parâmetro  tal que:

(2.2)

Para melhor se estudar a propagação de ondas na fibra óptica, consideremos a sua representação de perfil em degrau.

Figura 2. 3 - Fibra óptica de perfil em degrau [3].

Ao admitir-se um referencial em que a direcção de propagação de onda é a direcção do eixo z, como mostra a Figura 2.3, podemos considerar a componente longitudinal do campo eléctrico tem em coordenadas cilíndricas, a forma

(2.3)

Onde representa a amplitude do campo, a respectiva função modal, o índice de variação azimutal e a constante de propagação longitudinal.

No Anexo A apresentam-se as equações de Maxwell que ajudam a interpretar melhor as componentes longitudinais de campos [1], [15], [14].

2 1

2 2 2 1

2n n n 





E

o

F (r ) m



14

Existem fibras ópticas especiais de secção em corte transversal no núcleo de outras formas (exemplo, elípticas) mas as mais usuais são as de núcleo circular. Consideremos uma fibra com o raio e bainha (considerada) infinita, com o perfil em degrau como mostra a Figura 2.3, significa então que:

(2.4)

Sendo a constante genérica de propagação e a constante de propagação no vácuo, tem-se

(2.5)

Se na bainha e no núcleo, teremos:

(2.6a)

(2.6b)

Por existir uma onda superficial guiada, existe no entanto reflexão total na interface núcleo-bainha, nestas condições , teremos então:

(2.7)

2.2.1. - Parâmetros normalizados

Há necessidade de se introduzirem parâmetros normalizados, ou seja, parâmetros adimensionais, tais como , a constante de propagação transversal no núcleo e , a constante de atenuação transversal na bainha.

(2.8a)

(2.8b)

Das Eqs. (2.7 e 2.6b) tem-se

(2.9a)

(2.9b)

a

 









 

a r n

a r r n

n ,

) , (

2 1

k 



  2

 c k

_o

2 2 2

2

( r )  n ( r ) k

_o

  k

q

k  k  h

2 2 2 2 2

 n k

_o

  q

2 2 2 1 2

 n k

_o

  h

 i q 

2 2 2 2 2

k

o

 n

 



u w

ha u 

a w  

) ( ² ₁^{2 2}

2

2 a k n 



u _o

) (

^{2 2} ₂²

2

2

a k n

w   

_o

15

Introduzindo-se a chamada frequência normalizada da fibra , que é dada por

(2.10)

ou seja

(2.11)

Sabendo que ,

,

com auxilio da Eq. (2.11), se define

então a constante de propagação longitudinal em função dos parâmetros , e :

(2.12)

Define-se ainda, o índice de refracção modal normalizado da forma:

(2.13)

O índice de refracção modal dependerá da constante de propagação longitudinal da seguinte forma:

(2.14)

Teremos então a variar ou , implicando .

Existe uma frequência mínima de funcionamento chamada frequência normalizada de corte , para a qual começam a propagar-se modos na fibra óptica, ou seja, quando se inicia a reflexão total na interface núcleo-bainha, em que . Por outro lado, no limite das altas frequências, temos

(2.15)

Pela Eq. (2.11) e podemos dizer que é dada por

(2.16)

v

2 2

2

u w

v  

) 2 ( )

( ₁^{2 2}₂ ^{2 2} ₁²

2 2

2k a n n k a n 

v _{o o}

) (

^{2 2} ₂²

2 2

2

u a k n

v    

_o

ⁿ

²²

^{ n}

¹²

^{( 1  2  )}

 v u 

 

 



 



₂



^{2 2}

2

2

1 v u

 a

b

2 2 2 1

2 2 2 2

2 2

2

( )

1 n n

n k v

w v

b u

^o



 





 

n

k

o

n  

n n

₂

 n  n

₁

n

₂

k

o

   n

₁

k

o

0  b  1

v

c

k

o

n

₂

 





 2

k

o

v

_c



 2

₁

2

c c

n a

v  

16

em que é o comprimento de onda de corte (medido no vácuo), se isolarmos o contraste dieléctrico teremos:

(2.16a)

é a frequência normalizada de corte, sendo o parâmetro da fibra que indica se a fibra é mono- modo ou multi-modo, ou seja, indica se na fibra propagam-se um ou mais modos.

Para que as fibras sejam mono-modo deverá ter-se , com , onde se pode calcular um raio máximo do núcleo, para que o regime seja mono-modal.

(2.17)

Ou seja, para a fibra é multi-modo guiando assim outros modos além do modo fundamental de propagação.

2.3. - Modos de propagação na fibra óptica

A propagação da luz na fibra trata-se de um fenómeno electromagnético, e como todo o fenómeno electromagnenico, campos ópticos a ele estão associados. Os campos ópticos de propagação na fibra são governados pelas leis de Maxwell.

Nos modos (Transversais Eléctricos) não existe nenhuma componente do campo eléctrico na direcção de propagação (Ez=0), já nos modos (Transversais Magnéticos) não existe nenhuma componente do campo magnético na direcção de propagação (Hz=0), e nos (Transversais ElectroMagnéticos) não existe nenhuma componente do campo eléctrico e magnético na direcção de propagação (Hz=Ez=0) [3], [14].

Os modos híbridos são aqueles onde há componentes do campo eléctrico e magnético na direcção de propagação, ou seja (Ez≠0 e Hz≠0) [14]. Estes modos classificam-se em e onde e representam os campos eléctricos e magnéticos respectivamente. Em geral as ondas superficiais guiadas na fibra ópticas são modos híbridos que satisfazem a seguinte equação modal

(2.18)



c

2

2

1

2

1  

 



 

 n a

v

_{c c}





v

c

v

c

v  v

_c

 2 . 4048

 



2 2

₁

max

n

a v

a

^c





v

c

v 

TE

TM

TEM

HE

mn

EH

m n

E H

4 2

2

2

1 2

) ( )

( 



 



 



 



  

 u w

v v m u

u

S

u

R

_{m m}

17

Em que

(2.19a)

(2.19b)

onde

J '

_m

( u )

^e

K '

_m

( u )

são as derivadas das funções de Bessel de 1ª e 2ª espécie respectivamente, e são dadas por:

 ( ) ( ) 

2 ) 1 (

' u J

₁

u J

₁

u

J

_m



_m



_m

(2.20a)

 ( ) ( ) 

2 ) 1

(

_{1 1}

'

w K w K w

K

m

 

_m



_m

(2.20b)

Os índices e referem-se as variações radial e azimutal respectivamente.

No Anexo B apresenta-se a dedução da Eq. (2.18), ao substituir-se a Eq. (BI.32) na Eq. (BI.30). A resolução da Eq. (2.18) é bastante complexa, sendo mesmo necessário se recorrerem até a métodos numéricos para se determinarem os modos de propagação.

Apenas na condição do índice azimutal ser nulo, é possível propagarem-se os modos transversais eléctrico

TE

_0n e magnético

TM

_0n, onde obtemos para a Eq. (2.18)

TE

_0n

 R

₀

( u )  0 (2.21a) 0

)

0

(

0

 S u 

TM

_n

(2.21b)

De acordo com a aproximação de Gloge (aproximação de pequeno contraste) em que as fibras ópticas são fracamente guiadas, ou seja

  1

, que fará com que a Eq. (2.2) degenere em

1 2 1

n n n 



 (2.22)

) (

) ( ' ) (

) ( ) '

( wK w

w K u u J

u u J

R

m m m

m

m

 

) (

) ( ) ' 2 1 ) ( (

) ( ) '

( wK w

w K u

uJ u u J

S

m m m

m

m

   

n m

18

tendo-se R_m(u)S_m(u), que fará com que a equação modal seja reduzida a

_{2 2}

2

)

( u w

u mv

R

_m

  (2.23)

onde o sinal (+) corresponde aos modos

EH

_{m n} e o sinal (-) aos modos

HE

_mn. Obtém-se então para a equação modal relativa aos modos

EH

_{m n}

) 0 (

) ( )

( )

( ₁

1  ^ 



w wK

w K u u J

u J

m m m

m

(2.24)

Levando em consideração a seguinte relação entre as derivadas e as funções de Bessel:

) ( )

1

(

'

J u

u u m J

J

_m

 

_m



_m

(2.24a)

) ( )

1

(

'

K w

u w m K

K

_m

 

_m



_m

(2.24b)

Analogamente, a equação modal relativa aos modos

HE

_mn é dada por

) 0 (

) ( )

( )

( ₁

1  ^ 



w wK

w K u u J

u J

m m m

m

(2.25)

Onde se atendeu

) ( )

1

(

'

J u

u u m J

J

_m



_m



_m

(2.25a)

) ( )

1

(

'

K w

u w m K

K

_m

 

_m



_m

(2.25b)

Levando em consideração que,

) ( ) 1 ( )

( u J u

J

_m

 

^m _m

(2.26a)

K

_m

( w )  K

_m

( w ) (2.26b)

19

quando o índice azimutal é nulo, as Eqs. (2.24) e (2.25) reduzem-se à mesma equação modal

) 0 (

) ( )

( ) (

0 1 0

1

 

w w K

w K u uJ

u

J (2.27)

Que como se mostra no Anexo B, os modos

EH

_0n são, na realidade, modos

TM

_0n pela Eq. (BII.19) – sem se esquecer Δ<<1. Analogamente os modos

HE

_0n são, os modos

TE

_0n pela Eq. (BII.15).

É de realçar que o único modo de propagação na fibra em regime unimodal (o único modo cujo corte corresponde a

v

_c

 0

) é designado por modo fundamental

HE

₁₁^.

Na aproximação de Gloge ou de pequeno contraste, os modos são quase linearmente polarizados e designados por LP_{p n}.

Sabendo que os modos degenerados são os modos que têm a mesma frequência de corte, mais com diferentes configurações de campos

 Os modos

HE

_1n dão origem aos modos

LP

_0n.

 Os modos

TE

_0n

TM

_0ne

HE

_2n são degenerados e dão origem aos modos

LP

_1n.

 Os modos HE_m1,n e

EH

_m1,n ^{, com}

m  2

, também são degeneras dando origem aos modos

LP

_mn.

Temos então:

EH

_mn

 LP

_pn (com

p  m  1

);

HE

_mn

 LP

_pn (com

p  m  1

).

Nas condições acima, para os modos

LP

_pn teremos então a seguinte equação modal

) 0 (

) ( )

( )

(

₁

1



^





w K

w w K

u J

u u J

p p p

p

(2.28)

a qual é equivalente à

) 0 (

) ( )

( )

(

₁

1



^





w K

w w K

u J

u u J

p p p

p

(2.29)

Para o modo fundamental (

LP

₀₁), as duas equações equivalentes que acima referimos reduzem-se à Eq. (2.30) tendo em conta as Eqs. (2.26).

uJ₁(u)K₀(w)wJ₀(u)K₁(w)

(2.30)