Controle de Processos Industriais
¾Variáveis de processo : temperatura, pressão, vazão, composição e outras semelhantes.
¾Segurança, qualidade dos produtos e as vazões de produção
OBJETIVO DE CONTROLE
Manter a temperatura de saída T em um valor de referência constante TR
Valor de referência = “set-point”, valor de ajuste ou valor desejado.
Qual a taxa de calor que deve ser fornecida ao líquido no vaso para aquecê-lo da temperatura de entrada Ti até a temperatura de saída TR?
(
i)
p
T
T
c
w
q
=
−
(
R i)
p T T cw
q = −
Nas condições de projeto: T = TR
Como poderemos garantir que a temperatura de saída T permanecerá ou ficará próxima do valor desejado TR se a temperatura de entrada Ti variar com o tempo?
•Método 1
: Medir
T
e ajustar
q
um operador poderia observar a temperatura medida
T,
comparar com o valor desejado
T
Re alterar o valor de
q
Método 2
: Medir
T
ie ajustar
q
Controle Manual
Ou então usar um controle automático
Método 3
: Medir
T
e ajustar
w
Método 4
: Medir
T
ie ajustar
w
Método 5
: Medir ambos
T
ie
T
ajustar
q
Método 6
: Medir ambos
T
ie
T
ajustar
w
Classificação das Estratégias de Controle
Métodos 1 e 3
:
Estratégias de Controle Feedback (Realimentação)
Método 1
:
A variável manipulada é q
É uma mudança de projeto
Método 3
:
A variável manipulada é w
A variável controlada T
é medida
Métodos 2 e 4
:
Estratégias de Controle Feedforward (Antecipatório)
Método 2
:
A variável manipulada é q
Método 3
:
A variável manipulada é w
A variável perturbadora T
ié medida
Métodos 5 e 6
:
Estratégias de Controle Feedback - Feedforward
Variáveis de Perturbação ou Perturbadoras
Temperatura de entrada T
iVazão w, se não for variável manipulada (métodos 3 e 4)
Taxa de calor q, se não for variável manipulada (métodos 1 e 2)
Temperatura ambiente
Estratégia de Controle Feedback
Perturbações em w, T
iou outra variável
Ação corretiva ocorrerá quando T começar a desviar de T
RControle feedback não é controle perfeito
A variável controlada desviará do valor desejado (set point) antes da ação
corretiva ser tomada
Vantagem : a ação corretiva é tomada, sem se importar com a fonte da
perturbação
A habilidade de lidar com variáveis não medidas e de origens desconhecidas é
a maior razão para o controle feedback ser largamente usado em controle
Estratégia de Controle Feedforward (Método 2)
Exige medição precisa de T
i(variável perturbadora)
Ação corretiva sobre a taxa de calor
q
deve cancelar os efeitos da perturbação
em
T
iantes que a temperatura de saída
T
seja afetada
Em princípio, o controle feedforward é um
controle perfeito
no sentido que a
variável controlada seria mantida no set point, sem alterações do seu valor
Mas, como funcionaria esta estratégia de controle, se ocorrerem variações em
w
ou outra variável perturbadora, que não seja a
T
i?
,
Nenhuma ação corretiva seria tomada e
T
sairia do valor desejado
Termos Usuais em Controle de Processos
Variável controlada
É a que deve ser mantida em algum valor desejadoValor de referência
("set point")
também conhecido como valor de controle, valor de ajuste ou valor desejado.
É o valor desejável da variável controlada
Variável
manipulada
É a variável usada para manter a variável controlada no seu valor de referência.
É a variável onde o controlador vai atuar para fazer as correções, a fim de manter a variável controlada no valor de referência
Variável
perturbadora
É também conhecida como variável de carga.
É qualquer variável que pode fazer com que a variável controlada se desvie do valor de referência
"O objetivo do sistema de controle automático de processos é
usar a variável manipulada para manter a variável controlada no
seu valor de referência, apesar das perturbações".
Método
Variável medida Variável manipulada Estratégia1 T q FB
2 Ti q FF
3 T w FB
4 Ti w FF
5 T e Ti q FB / FF
6 T e Ti w FB / FF
7 Mudança de
O Controle de Processos Feedback e o Diagrama de Blocos
O Controle de Processos Feedback e o Diagrama de Blocos
Componentes do Sistema de Controle
SENSOR - TRANSMISSOR
Medição e Transmissão da variável controlada
CONTROLADOR
Efetua 3 cálculos distintos
¾
Converte o valor de
T
Rfornecido pelo operador em um sinal de tensão
V
R¾
Calcula um sinal de erro
V
R–
V(t)
¾
Calcula a taxa de calor,
q
(t) [W], pela lei de controle do controlador
ELEMENTO FINAL DE CONTROLE
¾O sinal de saída do controlador p(t) [volts] é enviado ao aquecedor elétrico para gerar a taxa de calor q(t) [ W ]
¾O aquecedor possui um retificador de silício (SCR) que converte o sinal de corrente contínua em corrente alternada, compatível com o elemento de aquecimento
¾
Projetar um esquema de controle que mantenha a variável
controlada no seu valor de referência.
Fazer a sintonia do controlador para que ele minimize o
procedimento de tentativa e erro necessário ao controle.
Conhecer as características ou "personalidade" do
processo a ser controlado.
Sinais de Transmissão
Pneumático (pressão de ar)
Normalmente entre 3 psi e 15 psi
Elétrico ou eletrônico Normalmente entre 4 e 20 mA.
Digital ou discreto (sinais zero e um)
1. Evitar danos físicos às pessoas e aos equipamentos. A
segurança deve estar sempre na mente de todos; é, sem
dúvida, a consideração mais importante.
2. Manter continuamente a qualidade do produto
(composição, pureza, cor, etc.) a um mínimo custo.
3. Manter a produção da planta industrial a um custo
mínimo
Conhecer e entender os princípios da engenharia de processos, o que é uma tarefa básica do engenheiro químico. Estar familiarizado com os princípios da termodinâmica, do escoamento dos fluidos, da
transferência de calor, dos processos de separação, dos processos com reação química e semelhantes
O que é necessário para projetar e conhecer bem
um controle automático de processos?
Compreender como os processos se comportam dinamicamente
Modelagem do processo: desenvolver sistemas de equações algébricas e diferenciais que descrevam diferentes processos
Sistemas Dinâmicos de Primeira Ordem
•
Aprender a desenvolver modelos simples de
processos,
•
Aprender o significado físico de alguns parâmetros
de processo que descrevem a "personalidade" dos
processos.
•
Conhecer novos termos do controle automático de
processos.
Modelagem Matemática de Sistemas de Primeira Ordem
Esta equação linear só é válida quando o regime de
escoamento é laminar
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
processo
do
sai
que
gia
massa/ener
de
Taxa
processo
no
entra
que
gia
massa/ener
de
Taxa
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
processo
no
acumulada
gia
massa/ener
de
Taxa
Caso 1 – Nível de Tanque
R
)
t
(
h
)
t
(
Balanço de massa no regime permanente
t
t
h
A
t
q
t
q
i od
)
(
d
)
(
)
(
−
=
[
] [
]
t
t
Ah
t
t
V
t
q
t
q
i od
)
(
d
d
)
(
d
)
(
)
(
ρ
ρ
ρ
ρ
−
=
=
Balanço de massa no regime transiente
0
dt
d
=
=
−
q
A
h
q
i oR
h
q
q
i=
o=
∴
(1)
(2)
(1) – (2):
[
] [
]
[
]
t
h
t
h
A
q
t
q
q
t
q
i i o od
)
(
d
)
(
)
(
−
−
−
=
−
)
(
)
(
d
)
(
d
d
)
(
d
)
(
)
(
Q
t
Q
t
t
t
H
A
t
t
H
A
t
Q
t
(3)
(4)
)
(
)
(
Como
Q
ot
=
q
ot
−
q
oR
)
(
)
(
)
(
)
(
H
t
R
h
t
h
R
h
R
t
h
t
Q
o=
−
=
−
=
)
(
)
(
d
)
(
d
t
Q
R
t
H
t
t
H
A
+
=
i)
(
)
(
d
)
(
d
d
)
(
d
)
(
)
(
Q
t
Q
t
t
t
H
A
t
t
H
A
t
Q
t
Q
i−
o=
∴
+
o=
i(4) em (3):
)
(
)
(
d
)
(
d
t
RQ
t
H
t
t
H
AR
+
=
iAR
=
τ
= constante de tempo deste processo
R
= K = ganho deste processo
)
t
(
KQ
)
t
(
H
t
)
t
(
H
i
=
+
τ
d
d
)
t
(
KQ
)
t
(
H
t
)
t
(
H
i
=
+
τ
d
d
Equação diferencial linear de 1
aordem.n
Quando o sistema de controle for aplicado
H
(t) será a variável
controlada.
H
(t) = variável dependente = variável de saída ou variável de
resposta.
Q
i(t) = variável de entrada ou variável perturbadora.
)
(
)
(
d
)
(
d
t
KX
t
Y
t
t
Y
=
+
τ
SISTEMA DE 1
aORDEM
)
(
)
(
)
(
s
Y
sY
s
sY
dt
t
dY
L
=
−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
0
)
(
Aplicando Transformada de Laplace
{
Y
(
t
)
}
Y
(
s
)
e
L
{
X
(
t
)
}
X
(
s
)
L
=
=
0
)
0
(
)
0
(
=
y
−
y
=
y
−
y
=
Y
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
s
Y
s
KX
s
s
Y
s
KX
s
sY
+
=
τ
+
=
τ
1
)
s
(
G
s
K
)
s
(
X
)
s
(
Y
=
+
=
∴
1
τ
Representação em diagrama de bloco
G
(s)
( )
1
+
=
s
K
s
G
τ
X(s) Y(s) X(s)
Genérico
Sistema de 1a Ordem
Função de Transferência
1. Excitação pela Função Degrau ("Step Function")
Respostas Transientes dos Sistemas de Primeira Ordem
A transformada de Laplace da função degrau X(t) = Mu(t) é:
{
}
{
}
{
}
s
M
s
M
)
t
(
u
L
M
)
t
(
Mu
L
)
t
(
X
L
=
=
=
×
1
=
s
M
s
K
s
X
s
K
s
Y
1
)
(
1
)
(
+
=
+
=
τ
τ
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
=
τ
τ
τ
11
1
1
1
s
s
M
K
s
s
M
K
Transformada de Laplace Inversa desta equação:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
K
M
e
−tτt
Y
(
)
1
(
)
1
,
0
_
≥
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
=
y
K
M
e
−t
t
y
t muito grande (t
→∞
)
Novo regime permanente foi alcançado
O sistema se estabilizou
A resposta completa foi alcançada
Significado do
τ
(Constante de Tempo do Sistema)
Fazendo t
=
τ
na solução da equação, encontramos :
(
e
)
K
M
(
)
K
M
M
K
e
M
K
t
Y
( ) 1 t ⎟= 1− 1 = 1− 0,368 =0,632⎠ ⎞ ⎜
⎝ ⎛ −
= − τ −
(
e
)
y
K
M
M
K
y
e
M
K
y
t
y
ou
(
)
1
t1
0
,
632
_ 1
_ _
+
=
−
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
=
− τ −t =
τ
Y(t) = KM
0
0,4
0,8
1,2
1,6
2
2,4
0
40
80
120
160
200
Y(t)
t
Constante de tempo – Velocidade de resposta do sistema
Quanto menor o valor de
τ
mais rápido o sistema responde a perturbação
20 0,632KM
Supondo Ganho (K) =1 e degrau (M) = 2 unidades
0
0,4
0,8
1,2
1,6
2
2,4
0
40
80
120
160
200
Quando t =
5
τ
a resposta é considerada como completa
0,632KM 0,865KM
0,95KM 0,99KM
τ →
63,2% da variação da resposta completa
Método 2 : Derivada da Resposta Normalizada :
KM
)
t
(
Y
τ
τ
t
t
e
KM
t
Y
e
KM
t
Y
(
)
=
(
1
−
−)
(
)
=
1
−
−τ
τ
τ1
d
)
(
d
d
)
(
d
0=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∴
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
= − t tt
KM
t
Y
e
t
KM
t
Y
0d
d
1
=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
=
tt
KM
)
t
(
Y
τ
0 0,25 0,5 0,75 1 1,250 40 80 120 160 200
Método 3 :
Logaritmo da Resposta Incompleta NormalizadaKM
t
Y
(
)
1
−
) ( 1 1 )( tτ tτ
e
KM
t
Y
e
KM
t
Y
− −= − ∴ − =
τ
τt
e
Ln
KM
t
Y
Ln
t⎥
=
−
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −
(
)
−1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 00 50 100 150 200
Resumo dos 3 casos
Significado do K (Ganho do Sistema)
t muito grande (t
→∞
)
Y(t) = KM
( )
( )
( ) ( )
M
K
KM
X
Y
x
x
y
y
Entrada
Saída
K
ganho
=
=
=
−
∞
−
∞
=
=
=
Δ
Δ
Δ
Δ
0
0
"personalidade" do processo de 1
aordem :
τ
e
K
Constante de tempo
Ganho
Caso 1
AR
R
Caso 2
V/q
1
Caso 3
V/(q+kV)
q/(q+kV)
Linearização
¾
Caracterização de um sistema por Função de Transferência
apenas para sistemas lineares
h
k
q
o=
R.P.
qo = k hExpandindo q
o(h) em série de Taylor entorno de
q
oe
h
(
)
(
h h)
....dh q d h
h dh
dq q
q
h h o h
h o o
o ! +
− +
− +
=
=
= 2
2 2
2
Ex.1 : Linearização de uma variável: nível do tanque
R.T.
Escoamento turbulento
¾A maioria dos sistemas físicos de importância prática não são lineares
Aproximação linear
:
(
h
h
)
dh
dq
q
q
h h o oo
=
+
−−
= −
(
)
2
R
h
h
q
h
h
h
q
q
q
o=
o+
o−
=
o+
−
h q h h q h k kh dh
dq o o
h h h h o 2 2 1 2
2 12 12 12
2 1 = = = = − − − − o q h R = 2
[
] [
]
dt
dh
A
t
q
t
q
dt
t
Ah
d
dt
t
V
d
t
q
t
q
o i o i=
−
=
=
−
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
ρ
ρ
ρ
ρ
Regime Transiente
dt
dh
A
R
h
t
h
q
t
q
i(
)
−
o−
(
)
−
=
0
d
d
=
=
−
t
h
A
q
q
i oRegime Permanente
]
)
(
[
)
(
)
(
h
t
h
dt
d
A
R
h
t
h
q
t
Aplicando transformada de Laplace
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
+
=
∴
=
+
s
R
s
Q
s
H
s
Q
R
s
H
s
AsH
i iτ
o o oq
V
q
h
A
AR
e
q
h
R
=
2
τ
=
=
2
=
2
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
Q
t
R
t
H
dt
t
dH
A
dt
t
dH
A
R
t
H
t
Linearização de função de duas ou mais variáveis
[
]
( )
[
]
[
y
(
t
)
y
]
...
y
F
x
)
t
(
x
x
F
y
,
x
F
t
y
t
x
F
y , x y ,x
∂
−
+
∂
+
−
∂
∂
+
=
)
(
),
(
) t ( T R Ee
k
)
t
(
k
onde
)
t
(
c
)
t
(
k
)
t
(
r
A=
A=
o −Exemplo 2: reação química dependente da temperatura A B
( )
t
k
e
c
(
t
)
r
A=
o −ERT(t ) A∴
(
)
c c(
A A)
T T A c c T T A
A
c
c
c
r
T
T
T
r
r
r
A A A A−
+
−
+
=
= = = =∂
∂
∂
∂
12
c
B
T
R
E
e
k
T
r
A T R E o c c T T A A A=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
− = =∂
∂
2B
e
k
c
r
E RTo c c T T A A A A
=
=
− = =∂
∂
(
A A)
AA
r
B
T
T
B
c
c
r
=
+
1(
−
−)
+
2−
( )
t
B
( )
t
B
C
( )
t
R
ou
C
B
B
Considere a um degrau em u(t) de magnitude
M
.
→
U
(
s
) =
M
/
s
Processo Integrador
Nem todos processos têm estado estacionário. Por exemplo, um
“processo integrador” tem a seguinte função de transferência:
Chapter 5
Exemplo ; Caso do Nível com Bomba na Saída
-
Assume:
q
o≠
f(h)
-
B. M.: e
-
Subtraindo e aplicando Laplace:
Para
Q
o(s) = 0 (
q
oconstante)
Tempo Morto (“Dead Time”)
U é uma propriedade do fluido (temperatura ou composição) no ponto 1 e Y é o valor desta propriedade no ponto 2
Exemplos de ocorrência de tempo morto
O escoamento do líquido na tubulação é altamente turbulento (“plug flow”).
}
{
tos e tos) s ( U
) s ( Y )
s ( U e
) t t ( U L ) s (
Y = − 0 = − ∴ = −
Y(t
) =
U
(
t
-
t
o)
Escoamento em uma tubulação
Análise química online – na tubulação de amostragem e no tempo de análise
Chapter 6
t
o→
tempo morto (ou retardo de tempo =
qL A A
q
L t
t
= =
/ velocidade
Exemplo de F.T. com Tempo Morto
1
1
1
1
+
τ
=
θ
θ
θ
θ
=
θ
θ
−
s
K
e
)
s
(
)
s
(
)
s
(
)
s
(
)
s
(
)
s
(
t
s
i
i
o
Uma quantidade significativa de tempo morto no processo é a pior coisa que pode acontecer a um sistema de controle, pois o seu desempenho será
severamente afetado pelo tempo morto.
Em muitos processos, o tempo morto não é facilmente definido
Ele é usualmente inerente ao processo e distribuído ao longo do processo, ie, através do vaso, reator, coluna de destilação, etc
Nestes casos, sua avaliação numérica não é facilmente obtida e requer uma avaliação empírica ou um modelo muito detalhado
Chapter 6
Aproximação Polinomial de
e
−θs:
Duas possibilidades são:
1. Expansão em Serie de Taylor :
A aproximação é obtida truncando após o 2º ou 3º termo.
2. Aproximação de Padé
12
6
12
6
2 2
2 2
+
+
+
−
≈
−s
t
s
t
s
t
s
t
e
o o
o o
s to
RESPOSTAS DE PROCESSOS DE 1a ORDEM A DIFERENTES PERTURBAÇÕES
1
+
=
=
s
K
)
s
(
X
)
s
(
Y
)
s
(
G
τ
Todo o estudo de resposta de sistemas de 1a ordem até agora foi feito em
cima desta função. Nada mais há para acrescentar. 1. Função Degrau
2. Função Rampa
x(t) = Atu(t) , cuja transformada de Laplace é : X(s) = A/s2
) 1 (
) 1 (
)
( 2 2
+ =
+ =
s
s
KA
s
A
s
K
s
Y
τ
RESPOSTAS DE PROCESSOS DE 1a ORDEM A DIFERENTES PERTURBAÇÕES
X(t) = A senωt 3. Função senoidal
X(s) = Aω /(s2 +ω2)
(
2 2)
(
2 2)
)
1
(
)
1
(
)
(
ω
τ
ω
ω
ω
τ
+
+
=
+
+
=
s
s
KA
s
A
s
K
s
Y
( )
(
ω θ)
θ(
ωτ)
ω τ ω
τ
ωτ τ + = −
+ +
+
= − ; arctg
1
1 2 2
2
2 sen t
KA e
KA t
Y t
θ = ângulo de fase
( )
(
ω
θ
)
ω
τ
+
+
=
∞→
Y
t
KA
sen
t
Lim
t1
2 2amplitude
de
razão
1
22
ω
+
=
τ
K
3. Sistemas Dinâmicos de Segunda Ordem
( )
( )
Y( )
t K X( )
tdt t dY t d t Y
d + ξτ + =
τ 2 2 2 2 1 2 2
2 + ξτ +
τ = ∴ s s K ) s ( X ) s ( Y
τ
−
ξ
−
τ
ξ
−
=
τ
−
ξ
+
τ
ξ
−
=
21
2 21
1
e
r
r
)
s
(
KX
)
s
(
Y
)
s
s
(
τ
2 2+
2
ξτ
+
1
=
Aplicando transformada de Laplace a esta EDO de 2a ordem
s M s s K ) s ( X s s K ) s ( Y 1 2 1
2 2 2
2
2 + ξτ + = τ + ξτ +
τ =
Considerando uma variação degrau de amplitude M
) )(
(s r1 s r2 s
KM
− −
caso 1 : ξ = 1 (raízes reais e iguais ) ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ τ + −
= −τ
t
e t KM
t
Y( ) 1 (1 )
É a resposta que chega mais rápida ao valor final, sem ultrapassá-lo e sem oscilação. Sistemas com esta resposta diz-se que é "criticamente amortecido".
Esta resposta é equivalente a dois sistemas de primeira ordem com constantes de tempo iguais colocados em série
1
2+
s
K
pτ
1 1 +s
K
pτ
X(s) Y(s)(
)
22 1 2 1
1
1
1
τ
+
=
τ
+
+
τ
=
s
K
K
s
K
s
K
)
s
(
X
)
s
(
Y
p p p1
2
2
2
+
ξτ
+
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
0 50 100 150 200
Y(t)/KM
caso 2 : 0 < ξ < 1 (raízes complexas e conjugadas)
A resposta é oscilatória por natureza.
A oscilação diminui à medida que ξ aumenta.
⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢
⎢ ⎣ ⎡
⎟⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎜
⎝ ⎛
ξ ξ − +
τ ξ − ξ
− −
= τ
ξ −
) 1
( 1
1 1 1
2 2
2 arctg
t sen
e KM
) t ( Y
t
A inclinação na origem é zero para todos valores de ξ. Sistemas deste tipo são ditos "subamortecidos".
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4
0 50 100 150 200 250 300 350
Y(t)/KM
caso 3 : ξ > 1 (raízes reais e diferentes) ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ τ − ξ − ξ ξ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ τ − ξ −
= KM e−τ t t
) t ( Y t 1 senh 1 1 cosh 1 2 2 2 2 2 a a a
a e e
) a cosh( e e e ) a (
senh = − − = + −
⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ξ ξ − + − ξ ξ + − = τ − ξ − τ − ξ τ ξ − ) ( e ) ( e e , KM ) t ( Y t 1 1 1 1 5 0 1 2 1 2 1 2 2
Esta resposta é equivalente a dois sistemas de primeira ordem com constantes de tempo diferentes colocados em série.
1
2 2+
s
K
pτ
1 1 1 +s
K
pτ
X(s) Y(s)(
)
11
1 1 2 2 1 2
Considerando dois sistemas de primeira ordem com constantes de tempo diferentes colocados em série:
1
2
2
2
+
+
s
s
ξτ
τ
=
τ
p1τ
p2s
2+
(
τ
p1+
τ
p2)
s
+
1
2 1 2 1 2 1
=
e
2
p p p pp
p
τ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
ξ
=
+
⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ − τ τ − τ − = τ − τ − 1 2 1 2 1 2 1
1 p p
t p t p p p e e KM ) t ( Y
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0
10
20
30
40
50
60
70
ξ = 1
ξ = 2,2 Y(t)/KM
0 0,5 1 1,5
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 tem po
Y(t) KM
ξ =0,2 ξ =0,4
ξ =1,4
As respostas dos sistemas de controle em malha fechada são muito semelhantes a estas respostas analisadas.
Os processos normalmente não oscilam. A oscilação começa a ocorrer quando a malha de controle é fechada
A resposta em malha aberta de muitos processos industriais é semelhante ao criticamente amortecido ( ξ = 1) e ao
sobreamortecido (ξ >1).
Diferença de respostas dos Sistemas de 1
aOrdem e 2
aOrdem
¾A maior inclinação na resposta do sistema de 2a ordem não ocorre no início
da resposta, mas, algum tempo mais tarde.
Sistemas de 1a ordem nunca oscilam quando sujeito a uma variação degrau
Análise de Sistemas de 2
aOrdem Sub-amortecidos
A intensidade de amortecimento é função do parâmetro ξ; daí o seu nome de fator de amortecimento. O seu valor depende dos parâmetros físicos do processo
O parâmetro τ é uma medida da velocidade de resposta do sistema de 2a ordem, mas não tem o mesmo significado da constante de tempo τ,
y
tempo
Termos Usados para Descrição de Sistemas Sub-amortecidos
1. Sobreelevação (Overshoot) – é a medida de como a resposta do sistema excede o valor final, após a influência da variação degrau na variável
perturbadora
2
1− ξ
πξ −
= e B
A Quando ξ → 0, a sobrelevação cresce
Se ξ = 0, a sobrelevação é máxima; neste caso A = B, e o sistema oscila continuamente
A
É a razão entre dois picos sucessivos 2. Razão de queda ou de declínio (decay ratio)
(
)
22 1
2
2
ão sobrelevaç B
A e
A
C =
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = −ξ
πξ −
A razão de queda pode ser utilizada como critério para estabelecer respostas satisfatórias para o sistema de controle.
3. Tempo de ascensão (rise time)
É o tempo necessário para a resposta do sistema alcançar o valor final pela primeira vez
(
π
ξ
)
ξ
τ
12 1
−
− −
= cos
ta
4. Tempo de resposta (response time)
5. Período de oscilação
É o tempo decorrido entre dois picos sucessivos.
2 1 2 ξ πτ − = T
É comum se trabalhar com o inverso do período, que é a freqüência f
τ ξ π
ω πτ
ξ2 1 2
2 2 1 1 − = = − = = f T f
Período Natural de Oscilação (ξ = 0)
0) ( 1 1 2 n 2 = = − = = ξ τ ω τ ξ π
ω f
ω
=
ω
n1
−
ξ
2Sistemas de Ordem Superior ( n >2 )
1
1 1+
s
K
τ
11
2
+
s
K
τ
1s
+
1
K
nτ
X(s) Y(s)
Resposta a uma variação degrau de amplitude M
( )
(
)
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∑
∏
−
−
=
= ≠ = − − n i n i jj i j t n
i
e
iKM
t
Y
1 1 / 11
τ
τ
τ
τMuitos processos industriais são compostos por sistemas de 1a ordem em série
Sistemas de Ordem Superior ( n >2 )
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0
5
10
15
20
tempo
Y
(t)/
K
M
n = 2FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
Para um sistema de 1ª ordem
¾Forma simples de representar o comportamento dinâmico de um sistema linear
¾Modelo Entrada – Saída no domínio “s”
( )
1
+
=
s
K
s
G
τ
Para um sistema de qualquer ordem
( )
( )
( )
s
D
s
N
s
G
=
X(s)
( )
( )
Y(s)( )
s
D
s
N
s
G
=
No modelo Entrada - Saída
Transformadas de Laplace de X(s)
( ) ( )
( )
s
q
s
r
s
Chapter 6
• O comportamento dinâmico de uma função de transferência
pode ser caracterizado pelos valores numéricos de seus polos e
zeros.
• Duas representações equivalentes
Onde
z
isão os zeros e
p
isão os polos
Chapter 6
Exemplo
Seja uma F.T. com um único zero e dois polos.
A resposta ao degrau unitário de magnitude
M
será:
O efeito da inclusão do único zero não muda o valor final nem o
número de modos de respostas (termos exponenciais). No entanto,
o zero afeta como os modos de respostas são ponderados na
solução.
(
)
Duas Propriedades Importantes das Funções de Transferência
A. Regra da Multiplicação
B. Regra da Adição
Chapter 6
Chapter 6
Para Resposta Inversa:
(
)
(
)(
)
(
)
(
1
)(
1
)
1
1
1
1
1
1 22 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1
+
τ
+
τ
+
+
τ
+
τ
=
+
τ
+
τ
+
+
τ
+
τ
=
+
τ
+
+
τ
=
s
s
s
K
K
K
K
s
s
K
K
s
K
K
s
K
s
K
)
s
(
X
)
s
(
Y
(
)
(
1
)(
1
)
( )
( )
( )
( )
( )
s
q
s
r
s
D
s
N
s
Y
=
Para achar Y(t) Expansão em frações parciais Raízes de D(s) e q(s)
Para um dado sinal de entrada X(t), o comportamento dinâmico do sistema dependerá dos pólos da função de transferência
Im
Re
p1
p2 p5 p3 p4
p6
p6*
p7
p7* p8
p8* p9
1. Pólos reais e negativos Dão origem a termos da forma pt i
i
e C
Fazendo p1 = -a1 e p2 = -a2, com |a2 | > |a1|
ep t1
ep t1′
′ < <
p1 p1 0
y
tempo t
p
e
1t p
e
22. Pólos reais e positivos Dão origem a termos da forma
C
ie
pitFazendo p3 = a3 e p4 = a4, com |a4 | > |a3|
y
tempo
ep t1ep t1′
ep t1′ >ep t1 >0
p4 > p3 > 0
t p
e
4t p
3. Pólos múltiplos
Dão origem a termos da forma exponencial multiplicados por um polinômio em t
(
1)
2
1
....
−
+
+
+
mm t
p
i
e
k
k
t
k
t
C
iFazendo p5 = a5 (valor positivo)
A resposta será semelhante ao caso 2, porém mais rápida
Fazendo p5 = -a5 (valor negativo)
4. Pólos complexos com parte real negativa
Dão origem a termos da forma exponencial multiplicados por termos com senos e cosenos
(
k
senb
t
k
enb
t
)
e
C
i −a6t 1 6+
2cos
6p6 = -a6 + i b6 p6* = -a6 - i b6
y
5. Pólos complexos com parte real positiva
Dão origem a termos da forma exponencial multiplicados por termos com senos e cosenos
(
k
senb
t
k
enb
t
)
e
C
i a7t 1 7+
2cos
7p7 = a7 + i b7 p7* = a7 - i b7
y
6. Pólos complexos com parte imaginária pura
Dão origem a termos apenas com senos e cosenos, ou seja, resposta oscilatória com amplitude dependendo do valor de b8
( )
b
t
k
t
b
sen
k
1(
8)
+
2cos
8p8 = i b8 p8* = - i b8
y
7. Pólos nulos
Dão origem na expansão em frações parciais a um termo da forma k/s o que determina uma constante k na resposta temporal
p9 = 0
tempo Y(t)
Algumas vezes, os sistemas de ordem superior são representados por:
Sistemas de Ordem Superior ( n >2 )
Resposta a uma variação degrau de amplitude M
( )
(
)
(
)
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ τ − τ τ τ − τ − =∑
∏
∏
= τ − ≠ = − − ≠ = n i / t n i jj i j
m n i lg n i j
j lgi ldj
Chapter 6
) 1 3 )( 1 2 )( 1 1 ( 1 ) (1 = τ + τ + τ s+
lg s lg s lg s s Y
Para entendermos o significado do termo ( τlds + 1) vamos comparar a resposta dos seguintes processos:
) 1 3 )( 1 2 )( 1 1 ( ) 1 ( ) (
2 τ + τ + τ +
+ τ = s lg s lg s lg s s ld s Y
ld = “lead” , τlds + 1, acelera a resposta do processo o que é oposto ao efeito do termo “lag” 1/( τlgs + 1), também chamado de “first order lag”.
Consequentemente, o termo τlds + 1 é chamado de “first order lead”.
Chapter 6
) 1 lg ( ) 1 d l ( ) ( ) ( + τ + τ = s s s X s Y Uma importante função de transferência naimplementação do controle “feedforward”, chamada “lead/lag” é representada por:
1. A resposta inicial é igual ao produto de
τ
ld/
τ
lge a magnitude do degrau.
2. A variação final da resposta é igual à magnitude do degrau.
3. A resposta transiente (termo exponencial) só depende do termo “lag”.
A equação e a figura mostram a resposta ao degrau unitário para
τ
lg=1 min e diferentes razões de
τ
ld/
τ
lglg lg t lg ld t lg lg
ld e e
) t ( Y τ − τ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − τ τ + = τ τ − τ +
Retornando aos Sistemas de Ordem Superior ( n >2 )
Os sistemas de ordem superior podem ser representados por um sistema de 1ª ou de 2a ordem (sobreamortecido) com algum valor de tempo morto
À medida que a ordem do sistema aumenta, o tempo morto aparente também aumenta
( )
( )
(
) (
1)(
1)
1 1 + + ≈ + = − =
∏
s sKe s K s X s Y b a s t n i i o τ τ τ
( )
( )
(
1
)
(
1
)
1
+
≈
∏
+
=
− =s
Ke
s
K
s
X
s
Y
tosn
i i
