COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III 1ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – PROFº WALTER TADEU
www.professorwaltertadeu.mat.br CONCEITO DE FUNÇÕES – 2012 - GABARITO
1. (UFPR) Um grupo de estudantes decidiu viajar de ônibus para participar de um encontro nacional. Ao fazerem uma pesquisa de preções, os estudantes receberam de uma empresa a seguinte proposta, na qual o preço de cada passagem depende do total de passageiros: cada passageiro pagará R$90,00 mais o valor de R$5,00 por lugar que eventualmente ficar vago no ônibus.
Sabendo que o ônibus tem 52, lugares, calcule:
a) A expressão da função P, que calcula o preço de cada passagem considerando que viajam x passageiros.
Solução. Observe o quadro que mostra a situação informada.
Nº de passageiros Passageiros faltosos Preço da passagem
1 (52 – 1) 90 + (52 – 1).5
4 (52 – 4) 90 + (52 – 4).5
... ... ...
x (52 – x) 90 + (52 – x).5
A função será P(x) = 90 + (52 – x).5.
b) O total arrecadado pela empresa pelo pagamento de 40 passageiros.
Solução. Se comparecerem 40 passageiros, então o custo de cada passagem será:
P(40) = 90 + (52 – 40).5 = 90 + (12).5 = 90 + 50 = R$150,00. O total arrecadado será: (40).(R$150,00) = R$6000,00.
2. Tome uma folha de papel em forma de quadrado de lado igual a 21 cm e nomeie os seus vértices A, B, C, D, conforme a Figura 1. A seguir, dobre-a, de maneira que o vértice D fique sobre o "lado" AB (Figura 2). Seja D’ esta posição do vértice D e x a distância de A a D’. A função que expressa a área do triângulo retângulo sombreado em função de x é:
Solução. Observando o triângulo retângulo sombreado e calculando y em função de x para a expressão da área, temos:
84
³ x x ) 441 x ( 84 A
² x . 441 2 x
42
² x . 441 x ) x ( 2 A
y . Área x ) ii
42
² x y 441
² x
² y
² y y 42 441
² x
² y )² y 21 ( ) i
.
3. Uma turma de torcedores de um time de futebol quer encomendar camisetas com o emblema do time para a torcida.
Contataram com um fabricante que deu o seguinte orçamento:
• Arte final mais serigrafia: R$90,00 independente do número de camisetas.
• Camiseta costurada, fio 30, de algodão: R$6,50 por camiseta.
Quantas camisetas devem ser encomendadas com o fabricante para que o custo por camiseta seja de R$7,00?
Solução. Considere x o número de camisetas encomendadas. O custo total será C = 90 + 6,50x. Igualando o custo unitário a R$7,00, temos:
camisa 5 180
, 0 x 90 90 x 5 , 0 90 x 5 , 6 x 7 x 7 x 5 , 6 90 x 7
x 5 , 6
90
.
4. (Puccamp) Pesquisas mostram que, em modalidades que exigem bom condicionamento aeróbico, o coração do atleta dilata, pois precisa trabalhar com grande volume de sangue. Em um esforço
rápido e súbito, como um saque no tênis, uma pessoa normal pode ter o pulso elevado de 70 a 100 batimentos por minuto; para um atleta, pode se elevar de 60 a 120 bpm, como mostra o gráfico. Se o aumento dos batimentos cardíacos de uma pessoa normal ocorre de forma linear, então os números de batimentos cardíacos do atleta e de uma pessoa normal serão iguais, após quantos segundos do momento do saque?
a) 0,8 b) 0,78 c) 0,75 d) 0,64 e) 0,6
Solução. Observando os triângulos sombreados e estabelecendo as razões de semelhanças, temos:
i)
60 x 20 y
x 40 120 y 0 2 2
0 x 60 100
60 y
.
ii)
140 x 15 y 2
x 30 280 y 0 4 4
0 x 70 100
70 y
.
Resolvendo o sistema com as duas equações, temos:
25 8,0 x 20 20x 25
140 x15 y2
120 x40 y2 140
x15 y2
)2(
60x 20y
.
5. (UEG) Em uma fábrica, o custo de produção de 500 unidades de camisetas é de R$ 2.700,00, enquanto o custo para produzir 1.000 unidades é de R$ 3.800,00. Sabendo que o custo das camisetas é dado em função do número produzido através da expressão C(x) = q.x + b, em que x é a quantidade produzida e b é o custo fixo, determine:
a) Os valores de b e de q. b) O custo de produção de 800 camisetas.
Solução. Substituindo os valores indicados na lei da função, temos:
a)
1600 1100 2700) 5 500(
2700b 11
5 11 500 q 1100 1100q 3800b 500 q1000
2700 bq500 b)1000
.(q 3800
)1(
b)500 .(q 2700
.
b) 1600 11(160) 1600 1760 1600 R$3360,00
5 ) 800 .(
) 11 800 ( C 5 1600
x ) 11 x (
C .
6. O preço do gás natural para um consumidor residencial na Cidade do Rio de Janeiro é obtido a partir das informações: 1) O consumidor paga pelo que gasta de acordo com quatro níveis de consumo: Os
sete primeiros metros cúbicos custam R$ 2,20 cada, os próximos dezesseis já custam mais caro, R$2,90 cada. 2) Se o consumo for acima desses 23, mais caro fica (R$ 3,60 por cada metro cúbico). E ainda existe mais uma faixa. Por exemplo, se o consumo da sua casa for de 25 m³, você deverá pagar: 7 × 2,20 + 16 × 2,90 + 2 × 3,60 = R$ 69,00.
a) Quanto pagará uma família cujo consumo for de 85 m³?
Solução. Observe que a decomposição de 25 em parcelas foi: 7 + 16 + 2.
No caso de 85m³ será: 7.(2,20) + 16.(2,90) + 60.(3,60) + 2.(3,77) = R$15,40 + R$46,40 + R$216,00 + R$7,54 = R$285,34.
b) Escreva uma expressão que dê o valor pago por uma residência cujo consumo mensal, N, está entre 8 e 23 m³/mês.
Solução. O valor está na 2ª faixa. Será paga a quantia da 1ª faixa, R$15,40 e o restante custará (N – 7).2,90.
Desenvolvendo temos: Valor = 15,4 + 2,9N – 20,3 = 2,9N – 4,9.
7. (PUCMG) De acordo com certa revista, o peso ideal do corpo adulto em função da altura é dado pela fórmula
b 150 100 a
a
P , em que P é o peso, em quilogramas, a é a altura, em centímetros, b = 4, para homens e para mulheres, b = 2. Se André e Simone, que têm a mesma altura, estão com seu peso ideal, segundo a informação dessa revista, e André pesa 6 quilos a mais do que Simone, pode-se afirmar que o peso de Simone, em quilogramas, é igual a:
Solução. Se o peso de André é P, o peso de Simone será (P – 6). Substituindo os valores na fórmula, temos:
kg 62 ) 6 68 ( : Simone André
kg 2 68
P 136 174 P 2 114 P 6 250 P 4 38 P 3 2
250 P 4
38 P 2 a 12 50 P 2 a 150 a 200 a 2 12 P 2 2
150 100 a
a 6 P : Simone
3 250 P a 4 250 P 4 a 3 150 a 400 a 4 P 4 4
150 100 a
a P : André
.
8. Seja a função f(x – 4) = x³ + 1, calcule o valor de f(-3) + 4.f(5) – f(0).
Solução. Calculando os valores em cada caso, temos:
2857 65 2922 65 )730 .(4 2) 0(f )5(f.4 )3(f 65 1)³ 4() 44 (f) 1³ 0(f
x) x(f
4x 04 x
731 1)³ 9() 49 (f) 1³ 5(f
x) x(f
9x 54 x
21 )³1(
)41 (f) 1³ 3(f
x) x(f
1x 3 4x
.
9. Considere a função f, de domínio N, definida por f(1) = 4 e f(x+1) = 3.f(x) – 2. Calcule o valor de f(0).
Solução. Fazendo as transformações necessárias temos:
3 2 )0(f 6 42 )0(f.
3 42 )0(f.
2) 3 0(f.3 )1 0(f )1(f
4)
1(f
.
10. Seja a função f(x + 2) = x³ + 3f(x) e f(1) = 3, calcule o valor de f(5).
Solução. Fazendo as transformações necessárias temos:
57 30 27 )10.(
3 27 )3(f.
3 27 )2 3(f 10 )5(f
)3.(3 1) 1(f3 )³1(
)2 1(f )3(f
)3(f.
3 27 )3(f.
3 )³3(
)2 3(f
)5(f
.
