Vetores. 1.1 Segmentos Segmento Orientado Comprimento do Segmento Direção do Segmento

Cap´ıtulo 1

Vetores

1.1 Segmentos

1.1.1 Segmento Orientado

O segmento orientado ´e formado por um conjunto de pontos que est˜ao sobre a reta suportere entre os pontosA, denominado origem, eB denominado extremidade; Este segmento ´e representado por AB, sendo geometricamente indicado por:

1.1.2 Comprimento do Segmento

O comprimento de um segmento ´e a medida do segmento em rela¸c˜ao a uma unidade de medida pr´e-fixada. AB=BA= 5u.c.

1.1.3 Dire¸c˜ao do Segmento

Dois segmentos orientados, n˜ao nulos, tˆem a mesmadire¸c˜aose as retas suporte s˜ao paralelas.

1.1.4 Sentido do Segmento

Dois segmentosABeCD, distintos e n˜ao nulos, tˆem mesmosentidocaso os segmentosAC eBD tenham interse¸c˜ao vazia.

1.1.5 Segmentos Equivalentes

Dois segmentos s˜ao equivalentes ou equipotentes quando tˆem a mesma dire¸c˜ao, mesmo sentido e o mesmo comprimento.

1.1.6 Propriedades

i)AB∼AB

ii) SeAB∼CD, ent˜aoCD ∼AB

iii SeAB∼CDeED ∼EF, ent˜aoAB ∼EF

iv) Seja o segmento orientadoABe comprimentoC, existe um ´unico pontoDtal que AB∼CD

1.2 Vetor

Vetor ´e o conjunto de todos os segmentos orientados equivalentes, sendo representado por letras min´usculas encimadas por uma seta.

1.2.1 Vetor Oposto

Dado o vetorAB^→ o vetor oposto aAB^→ ´e um vetor que possui sentido inverso aAB, ou seja:^→ AB→ ou -AB^→

1.2.2 M´odulo de um Vetor

O m´odulo ou norma de um vetor~v= (x, y) ´e o comprimento do segmento orientado, sendo representado por|~v|e definido por:

|~v|=p x²+y² seja~vum vetor noR³ ent˜ao:

|~v|=p

x²+y²+z²

1.2.3 Vetor Unit´ario

Vetor unit´ario ´e o vetor que possui|~v|= 1

1.2.4 Igualdade de Vetores

Dois vetores s˜ao iguais quando possuem todas as suas coordenadas correspondentes iguais.

1.2.5 Versor

O versor do vetor~v(x, y, z) ´e um vetor w~ que possui mesma dire¸c˜ao e sentido de~v, porem de m´odulo 1, Podemos definir o versor do vetor~vpela seguinte rela¸c˜ao:

~

w = _w^~v_~ =

x

|~v|,_|^y_~v|,_|^z_~v| 1.3 Opera¸c˜oes com Vetores

1.3.1 Multiplica¸c˜ao de um Vetor por uma Constante

Seja o vetor~v= (x, y) ent˜ao a multiplica¸c˜ao de~v por uma constantekcom a opera¸c˜ao usual ser´a dada por:

k.~v=k(x, y) = (kx, ky)

Se considerarmosw~ =k.~vent˜ao:

• Sek >0,w~ possui a mesma dire¸c˜ao e sentido de~v, com m´odulo correspondente a kvezes o comprimento de~v.

• Sek <0,w~ possui a mesma dire¸c˜ao de~v e o sentido oposto, com m´odulo correspondente ak vezes o comprimento de~v.

• Sek= 0, w ser´a o vetor nulo.

Da mesma forma, se considerarmos o vetor~v= (x, y, z) um vetor emR³ ekuma constante teremos:

k.~v=k.(x, y, z) = (kx, ky, kz)

1.3.2 Adi¸c˜ao de dois vetores

Dados dois vetores~v= (x1, y1) e~u= (x2, y2), a soma~v+~u´e definido com a opera¸c˜ao usual por:

~u+~v= (x1, y1) + (x2, y2) = (x1+x2, y1+y2)

Geometricamente o vetor soma ´e representado pelo vetor diagonal do paralelogramo constru´ıdo a partir de~v e~u.

Se considerarmos dois vetores~v= (x¹, y¹, z¹) e~u= (x², y², z²) pertencentes aoR³teremos:

~u+~v= (x , y , z ) + (x , y , z ) = (x +x , y +y , z +z )

Propriedades

Consideremos os vetores~v,~uew~ ∈ ℜⁿ ea, b∈ ℜ. i) (u+v) +w=u+ (v+w)

ii)u+v=v+u

iii)u+ 0 =u, com 0 sendo valor nulo.

iv)u+ (−u) = 0, com (−u) sendo o vetor oposto.

v)a.(u+v) =au+av vi) (a+b)u=au+a.(b.v) vii)ab.v=a.(b.v)

viii) 1.u=u

Estas propriedades caracterizam certos conjuntos denominadosespa¸cos vetoriais, que apesar de terem naturezas diferentes dos vetores no espa¸co, comportam-se como eles.

Nota: Alguns autores consideram a opera¸c˜ao de subtra¸c˜ao de vetores, que nada mais ´e que a soma de um vetor~vao vetor oposto de~u, sendo a mesma definida por:

~v−~u=~v+ (−~u) = (x¹, y¹, z¹) + (−x²,−y²,−z²) = (x¹−x², y¹−y², z¹−z²).

Geometricamente temos:

1.4 Condi¸c˜ao de Paralelismo de Vetores

Dois vetores~u= (x¹, y¹, z¹) e~v= (x², y², z²) s˜ao paralelos (ou colineares) se existe um n´umeroktal que~u=k.~v, logo:

(x1, y1, z1) =k.(x2, y2, z2) Pela defini¸c˜ao de igualdade de vetores temos

x1

x² = ^y_y¹₂ = ^z_z¹₂ = k

Isto ´e, dois vetores s˜ao paralelos quando suas coordenadas s˜ao proporcionais, sendo que esta condi¸c˜ao

´e representada por~v//~u.

1.5 Exerc´ıcios de Fixa¸c˜ao

1. Dados os pontosA(1,−3,0),B(2,1,5) eC(−4,2,1) determinar os vetores (a) AB^→

(b) CA^→ (c) BC^→ (d) AC^→

2. Determinar o m´odulo do vetor resultante da soma do vetor ~v = (2,−6,5) ao vetor oposto de

~

w= (1,−5,3)

3. Dados os pontosA(3,2) eB(−1,5) determine o versor do vetorAB.^→

4. Considere os vetores~v= (−2,3), ~u= (0,5) ew~ = (1,−4) efetue as seguintes opera¸c˜oes:

(a) 2~v−w~ (b) ¹5~u−3~v (c) −5w~ + 2~u−~v

5. Mostre que os vetores~v= (−1,0,8) e~u= (³₄,0,−6) s˜ao paralelos.

Cap´ıtulo 2

Produto de Vetores

2.1 Produto Escalar

O produto escalar entre dois vetores v e w ´e representado por v.w e ´e dado por:

hv, wi=v.w=x¹.x²+y¹.y²+z¹.z²

Propriedades do Produto Escalar.

i)~u.~u≥0 sendo~u.~u=0 somente se~u=(0,0,0).

ii)~u.~v=~v.~u.

iii)~u.(~v+w) =~ ~v.~u

iv)~u.(m. ~w) =m.(~u. ~w) =w~(m.~u) v)~u.~u=|~u|².

2.1.1 Angulo entre dois vetoresˆ

cos θ =

|~u|.|~v|

Estudo de Caso:

• Se~u.~v >0,cosθ >0, isso implica em 0⁰≤θ <90⁰.

• Se~u.~v <0,cosθ <0, isso implica em 90⁰< θ≤180⁰.

• Se~u.~v= 0, cosθ= 0, logoθ= 90⁰e os seus vetores ~ue~v s˜ao ortogonais.

2.1.2 Angulos diretores e cossenos diretores de um vetorˆ

Angulos diretores deˆ ~vs˜ao os ˆangulosα, βeγ que~vforma com os vetores~i,~j e~krespectivamente. Os cossenos diretores de~vs˜ao os cossenos de seus ˆangulos diretores, isto ´e,cosα,cosβ ecosγ. Para obtˆe-los usamos as seguintes formulas:

cosα =

|~v|

cosβ =

|~v|

cosγ =

|~v|

2.2 Produto Vetorial

O produto vetorial entre dois vetores~ue~ve´representado por~u×~ve ´edefinido por:

~u×~v =

~i ~j ~k x₁ y₁ z₁ x₂ y₂ z₂

Se devolvermos a express˜ao teremos:

(~u×~v) = (y¹.z²−z¹.y²)~i+ (z¹.x²−x¹.z²)~j+ (x¹.y²−y¹.x²)~k

2.2.1 Propriedades do Produto Vetorial

As propriedades do produto vetorial est˜ao indiretamente relacionadas com propriedades dos determinantes.

i)~u×~v= 0

ii)~u×~v=−~v×~u, este resultado ´eexplicado pela propriedade dos determinantes iii)~u×(~v+w) =~ ~u×~v+~u×w~

iv) (m.~u)×~v=m.(~u×~v)

v)~u×~v=0, se e somente se, um dos vetores ´e nulo ou se~ue~vs˜ao colineares.

vi)~v×~v, ´e ortogonal simultaneamente aos vetores~ue~v.

vii)|~u×~v|²=|~u|².|~v|²−(~u.~v), chamada de Identidade de Lagrange.

viii)~u×~v=|~u|.|~v|.senθ´e ˆangulo formado entre os vetores~ue~v.

ix) O produto vetorial n˜ao ´e associativo. Em geral: ~u×(~v×w)~ 6= (~u×~v)×w.~

2.2.2 Interpreta¸c˜ao geom´etrica do m´odulo do produto vetorial de dois ve- tores

Geometricamente, o m´odulo do produto vetorial dos vetores~ue~vmede a ´area do paralelogramo ABCD determinado pelos vetores~u=AB~ e~v=AC.~

Prova,´area ABCD =|~u|.h como h=|~u|.

~|v .senoθ

e de acordo com a propriedade viii temos que|~v×~u|=|~u|.|~v|senoθ logo, ´area ABCD=|~v×~u|.

2.3 Produto Misto

O produto misto entre os vetores~u,~vew~ ´e um n´umero real representado por (~u, ~v, ~w) e definido por:

(~u, ~v, ~w) =~u.(~u×w) =~

x₁ y₁ z₁ x₃ y₂ z₂ x₃ y₂ z₃

2.3.1 Propriedades do produto misto

i)(u, v, w) = 0

a) se um dos vetores ´e nulo, b) se dois deles s˜ao colineares, c) se os trˆes s˜ao coplanares.

Prova, se~ue~v×w~ s˜ao ortogonais ent˜ao u.(v×w)=(u, v, w) = 0. Devemos perceber que~v ew~ ´e ortogonal ao plano~vque cont´em, logo se~u´e ortogonal a (~v×w) ent˜~ ao~utamb´em pertence a~v, sendo assim: ~u,~v ew~ s˜ao coplanares.

ii) (~u, ~v, ~w) = (~v, ~w, ~u) = (~w, ~u, ~v) iii)(~u, ~v, ~w+~r) = (~u, ~v, ~w) + (~u, ~v, ~r) iv)(~u, ~v, m ~w)=(~u, m~v, ~w)-(m~u, ~v, ~w)

2.3.2 Interpreta¸c˜ao geom´etrica do m´odulo do produto misto

Geometricamente o m´odulo do produto misto~u.(~v×w) ´e igual ao volume do paralelep´ıpedo de~ arestas determinadas pelos vetores~u,~vew.~

V=(´area base).h

Para base =|~v×w~| o ˆangulo formado entre os vetores~ue~v×w, logo a altura = h ´e dada por~ h=|u|.|cos.0|, ent˜ao:

(1) V=|~v×w~|.|~u|.|cos0|, Fazendo|~v×w~|=|~a|, V=|a|.|~u|.|cos0|, lembrando que |~u|.|~a|.cos0, em consequˆencia;

(2)|~u.~a|=|~u|.|~a|.|cos0|, Comparando (1) e (2) temos: V = |~u.~a| Assim:

V =|~u.(~v×w)~ |=|(~u, ~v, ~w)|

Volume do paralelep´ıpedo V =|(~u, ~v, ~w)| Volume do tetraedro V = ¹₆|(~u, ~v, ~w)|

2.4 Lista de Exerc´ıcios

1. Determinar a extremidade do segmento que representa o vetor~v= (2,−5), sabendo que sua origem ´e o pontoA(−1,3)

2. Dados os pontosA(−1,3),B(2,5) eC(3,−1), calcular OA^→ −AB,^→ OC^→ −BC^→ e 3BA^→ −4CB.^→ 3. Dados os vetores~u= (3,−4) e~v= (−⁹4,3), verificar se existem n´umerosaebtais que~u=a~ve

~v=b~u.

4. Dados os pontosA(−1,3),B(1,0),C(2,−1), determinarD tal queDC=^→ BA.^→

5. Dados os pontosA(−1,2,3) eB(4,−2,0), determinar o pontoP tal queAP^→ = 3AB.^→ 6. Determinar o vetor~vsabendo que (3,7,1) + 2~v= (6,10,4)−~v.

7. Determinaraebde modo que os vetores~u= (4,1,−3) e~v= (6, a, b) sejam paralelos.

8. Verificar se s˜ao colineares os pontos:

(a) A(−1,−5,0),B(2,1,3) eC(−2,−7,−1) (b) A(2,1,−1),B(3,−1,0) eC(1,0,4)

9. Determinar o sim´etrico do pontoP(3,1,−2) em rela¸c˜ao ao ponto A(−1,0,−3).

10. Dados~u=~i−2~j+~ke~v= 2~i−5~k, determine o vetor w~ tal que 2~u+ 3w~ = ¹2w~ −~v.

11. Sejam~u= ¹4~i−~j+¹2~ke~v=n~i+m²~j−m~k. Determinemende modo que~vtenha sentido contr´ario a~ue seja 4 vezes maior do que~u.

12. SejamA(1,2,4),B(2,3,2) eC(2,1,−1).

(a) Os pontos A,B eCs˜ao v´ertices de um triˆangulo?

(b) DetermineD de modo queABCD seja um paralelogramo

13. Dˆe exemplo de dois vetores unit´arios que tenham a mesma dire¸c˜ao que~v=−3~i+~j−4~k.

14. Mostre que para quaisquer vetores~a,~be~c, os vetores~a+~b,~a+~ce~c−~as˜ao coplanares.

15. Dados os vetores~u= (1, a,−2a−1),~v= (a, a−1,1) ew~ = (a,−1,1), determinarade modo que~u.~v= (~u+~v). ~w.

16. Dados os pontosA(1,2,3), B(−6,−2,3) eC(1,2,1), determinar o versor do vetor 3BA^→ −2BC.^→ 17. Verificar se s˜ao unit´arios os seguintes vetores: ~u(1,1,1) e~v=

√16,−^√26,√¹6

18. Seja o vetor~v= (m+ 7)~i+ (m+ 2)~j+ 5~k. Calcularmpara que|~v|=√ 38.

19. Dados os pontoA(1,0,−1), B(4,2,1) eC(1,2,0), determinar o valor dem para que|~v|= 7, sendo~v=mAC^→ +BC.^→

20. Dados os pontosA(3, m−1,−4) eB(8,2m−1, m), determinar mde modo que

AB→

=√ 35.

21. Obter um pontoP do eixo das abscissas equidistante dos pontosA(2,−3,1) eB(−2,1,−1).

22. Seja o triˆangulo de v´ertices A(−1,−2,4), B(−4,−2,0) eC(3,−2,1). Determinar o ˆangulo interno ao v´erticeB.

23. Sabendo que o ˆangulo entre os vetores~u= (2,1,−1), e~v= (1,−1, m+ 2) ´e ^Π3, determinarm.

24. Calcularnpara que seja de 30^o o ˆangulo entre os vetores~u= (1, n,2) e~j.

25. Determinar o vetor~v, paralelo ao vetor~u= (1,−1,2), tal que~v.~u=−18.

26. Determinar o veter~v, ortogonal ao vetor~u= (2,−3,−12) e colinear ao vetorw~ = (−6,4,−2).

27. Determinar o vetor~v, colinear ao vetor~u= (−4,2,6), tal que~v. ~w=−12, sendow~ = (−1,4,2).

28. Provar que os pontosA(5,1,5), B(4,3,2) eC(−3,−2,1) s˜ao v´ertices de um triˆangulo retˆangulo.

29. Qual o valor deαpara que os vetores~a=α~i+ 5~j−4~ke~b= (α+ 1)~i+ 2~j+ 4~ksejam ortogonais?

30. Os ˆangulos diretores de um vetor podem ser de 45^o, 60^oe 90^o? Justificar.

31. Determinar o vetor~v, sabendo que|~v|= 5,~v´e ortogonal ao eixoOz,~v. ~w= 6 ew~ = 2~j+ 3~k.

32. Determinar um vetor unit´ario ortogonal ao vetor~v= (−2,1,1).

33. Determinar um vetor de m´odulo 5 paralelo ao vetor~v= (1,−1,2).

34. Determinar o vetor~v, ortogonal ao exoOz, que satisfaz as condi¸co˜oes~v.~v¹= 10 e~v.~v²=−5, sendo~v¹= (2,3,−1) e~v²= (1,−1,2).

35. Qual o comprimento do vetor proje¸c˜ao de~u= (3,5,2), sobre o eixo dos x?

36. Mostrar que, se~ue~vs˜ao vetores, tal que~u+~v´e ortogonal a~u−~v, ent˜ao|~u|=|~v|.

37. Calcular o m´odulo dos vetores~u+~ve~u−~v, sabendo que|~u|= 4, |v|= 3 e o ˆangulo entre~ue~v

´e de 60^o

38. Dados os vetores~u= (2,−1,1),~v= (1,−1,0) ew~ = (−1,2,2), calcular:

(a) ~v×(w~−~u).

(b) (~u+~v)×(~u−~v).

(c) (2~u)×(3~v).

(d) (~u×~v).(~u×~v).

39. Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores 2~a+~be~b−~a, sendo

~a= (3,−1,−2) e~b= (1,0,−3).

40. Determinar o valor dempara que o vetorw~ = (1,2, m) seja simultaneamente ortogonal aos vetoresv~¹= (2,−1,0) ev~²= (1,−3,−1).

41. Se|~u×~v|= 3√

3,|~u|= 3 e 60^o´e o ˆangulo entre ~ue~v, determinar|~v|.

42. Calcular, a ´area do paralelogramo definido pelos vetores~u= (3,1,2) e~v= (4,−1,0).

43. Calcular a ´ara do triˆangulo de v´ertices (a) A(−1,0,2),B(−4,1,1) eC(0,1,3).

(b) A(2,3,−1),B(3,1,−2) eC(−1,0,2).

44. Dados os vetores~u= (0,1,−1),~v= (2,−2,−2) ew~ = (1,−1,2), determinar o vetor~xparalelo a

~

w, que satisfaz `a condi¸c˜ao: ~x×~u=~v.

45. Verificar se s˜ao coplanares os seguintes vetores:

(a) ~u= (3,−1,2),~v= (1,2,1) ew~ = (−2,3,4).

(b) ~u= (2,−1,0),~v= (3,1,2) ew~ = (7,−1,2).

46. Verificar se s˜ao coplanares os pontos:

(a) A(1,0,2), B(−1,0,3), C(2,4,1) eD(−1,−2,2) (b) A(2,1,3), B(3,2,4),C(−1,−1,−1) eD(0,1,−1)