Sistemas de Sistemas de Equações LinearesEquações Linearese suas Representaçõese suas Representações

Autarquia Ensino Superior de Garanhuns – AESGA Faculdades de Integradas de Garanhuns – FACIGA Curso de Engenharia Civil

Professor: Carlos Eduardo de Oliveira

Sistemas de Sistemas de

Equações Lineares Equações Lineares

e suas Representações e suas Representações

(Notas de Aula 05)

Equações Lineares Equações Lineares

São exemplos de Equações Lineares:

3 x + y = 2

− x  y

4 =0

−0,4  x   ^{3 y =−1}

x − y =50 x

x + y − z =10

x ₁ − 4 x ₂ + 2 x ₃ =0 0,5 m + 2 n =3 p

7 a − b + 9 c −0,78 d =−4

Equações Lineares Equações Lineares

3 x + y = 2 Para x =1 ⇒ 3 ⋅1  y = 2

y = 2 −3 y =−1

Para cada Equação podemos encontrar uma infinidade de soluções, isto é, valores que substituindo nas incógnitas, a equação se mantém. Eis um exemplo:

Assim, x = 1 e y = – 1, ou (1,–1), constituem uma solução

para equação 3x + y = 2.

Equações Lineares Equações Lineares

Observe que existem infinitas soluções para esta mesma equação 3x + y = 2:

x y

-1 5

-2 8

-3 11 -4 14 -5 17 -6 20 -7 23

… …

x y

0 2

1 -1

2 -4

3 -7

4 -10

5 -13

6 -16

… …

Deste modo, para determinar a solução de

uma equação linear qualquer, basta encontrar

valores que satisfaçam a

equação.

Equações Lineares Equações Lineares

3 x + y + z = 2

para x =1 e y = 2 ⇒ 3 ⋅(1 )+ 2 + z = 2

z = 2− 3− 2 z =−3

Considenrando outra equação, Teremos

Assim, x = 1, y = 2 e z = – 3 , ou (1, 2, -3), constituem uma

solução para equação 3x + y + z = 2. Outros infinitos

ternos de soluções podem ser obtidas.

Equações Lineares Equações Lineares

a ₁₁ x ₁ + a ₁₂ x ₂ + a ₁₃ x ₃ + ... + a _1n x _n = b ₁

x _1, x _2, ... , x _n

a ₁₁ , a ₁₂ , ... , a _1n b ₁

DEFINIÇÃO: São equações da forma:

De modo que,

são as incógnitas;

são os coeficientes (reais ou complexos);

é o termo independente (real ou complexo).

Equações Lineares Equações Lineares

a ₁₁ x ₁ + a ₁₂ x ₂ + a ₁₃ x ₃ + a ₁₄ x ₄ = b ₁

DEFINIÇÃO: Uma solução para equação linear

é uma sequência de quatro números reais que quando trocamos cada por na equação o membro da esquerda permanece identicamente igual ao membro da direita.

( r ₁ , r ₂ , r ₃ , r ₄ ) r _i

x _i

Sistemas de Equações Lineares Sistemas de Equações Lineares

São exemplos de Sistemas de Equações Lineares:

3x  y = 2 x − y =0

3x − y + z = 7 x + y + z =9 2x + y − z = 3

2 x + y + z + 5 w = 4

3 x −2 y + z − w = 2

4 x −5 y + z = 6

4 x −5 y + z + 2 w = 6

Sistemas de Equações Lineares Sistemas de Equações Lineares

Entretanto, para se determinar uma solução de um sistema de equações, precisamos que os valores das incógnitas satisfaçam simultaneamente todas as equações. Por exemplo:

3x  y = 2 x − y =0

 1,−1  é solução para 1ª equação , mas não para

2ª equação.

Sistemas de Equações Lineares Sistemas de Equações Lineares

3x  y = 2 x − y =0

3 ⋅ ( ^{1 2} ) ⁺ ( ^{1 2} ) ^{= 2}

e

( ^{1 2} ) ⁻ ( ^{1 2} ) ⁼⁰

Seguindo outros procedimentos, encontramos que é solução do sistema pois é solução das duas equações simultaneamente. Observe

( ^{1 2 , 1 2} )

Sistemas de Equações Lineares Sistemas de Equações Lineares

a ₁₁ , a ₁₂ , ... , a _nm

DEFINIÇÃO: Um Sistema de Equações Lineares é um conjunto formado por duas ou mais equações lineares que pode ser representado na seguinte forma:

Onde:

são as incógnitas;

são os coeficientes (reais ou complexos);

a ₁₁ x ₁ + a ₁₂ x ₂ + ... + a _1m x _m = b ₁ a ₂₁ x ₁ + a ₂₂ x ₂ + ... + a _2m x _m = b ₂

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ = ⋮

a _n1 x ₁ + a _n2 x ₂ + ... + a _nm x _m = b _n

x _1, x _2, ... , x _m

Sistemas de Equações Lineares Sistemas de Equações Lineares

Dizemos que este Sistema de Equações Lineares tem n-equações e m-incógnitas:

a ₁₁ x ₁ + a ₁₂ x ₂ + ... + a _1m x _m = b ₁ a ₂₁ x ₁ + a ₂₂ x ₂ + ... + a _2m x _m = b ₂

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ = ⋮

a _n1 x ₁ + a _n2 x ₂ + ... + a _nm x _m = b _n

Representação Matricial Representação Matricial

Considerando o seguinte Sistema de Equações Lineares:

Podemos escrevê-lo

da forma: [ ^{a a a ... 11 21 a a a ... ... 12 22 ... ... ... a a a ... 1m 2m} ] ^⋅ [ ^{x ... x x 1 2} ] ⁼ [ ^{b b b ... 1 2} ]

a ₁₁ x ₁ + a ₁₂ x ₂ + ... + a _1m x _m = b ₁ a ₂₁ x ₁ + a ₂₂ x ₂ + ... + a _2m x _m = b ₂

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ = ⋮

a _n1 x ₁ + a _n2 x ₂ + ... + a _nm x _m = b _n

Representação Matricial Representação Matricial

Por exemplo:

a)

b)

⇒ [ ^{3 1 −1 1} ] ^⋅ [ ^{x y} ] ⁼ [ ^{2 0} ]

3x  y = 2 x − y = 0

3x − y + z =7 x + y + z = 9 2x + y − z =3

⇒ [ ^{3 1 2 −1 1 1 −1 1 1} ] ^⋅ [ ^{x y z} ] ⁼ [ ^{7 9 3} ]