Matemática para a Economia II - 7 a lista de exercícios Prof. Juliana Coelho

Matem´atica para a Economia II - 7

lista de exerc´ıcios Prof. Juliana Coelho

1 - Cacule a integral duplaI=RR

Rf(x, y)dxdy ondef eR s˜ao dados abaixo.

(a)f(x, y) =x+y eR= [−1,1]×[−1,1];

(b)f(x, y) = 3x²+ 2xy+ 10 eR= [−1,3]×[2,4];

(c)f(x, y) =xe^y eR= [0,2]×[0,1];

(d)f(x, y) =e^3x−1y+ 2ye^y2 eR= [0,1]×[0,1];

(e)f(x, y) = 2y√³

xeR= [0,8]×[0,2];

(f)f(x, y) = x

xy+ 1 eR= [0,2]×[0,1].

2 - Calcule os volumes dos s´olidosW descritos abaixo.

(a) W ´e o s´olido limitado superiormente pelo plano z =x+y e inferiormente pelo plano xy com 0≤x≤1 e 0≤y≤1;

(b)W ´e o s´olido limitado superiormente pela superf´ıciez= 8−x²−y²inferiormente pelo plano xycom 0≤x≤2 e 0≤y≤2.

3 - Considere a fun¸c˜ao de freq¨uˆencia conjunta

f(x, y) =





24−3x²−3y²

64 se 0≤x≤2 e 0≤y≤2;

0 caso contr´ario.

Calcule a probabilidade de que X seja maior que 1 e Y seja menor que 1.

4 - Considere a fun¸c˜ao

f(x, y) =





K(3x²+ 2xy+ 10) se −1≤x≤3 e 2≤y≤4;

0 caso contr´ario

ondeK ´e um n´umero real.

(a) CalculeK para quef(x, y) seja uma fun¸c˜ao de freq¨uˆencia conjunta;

(b) Usando o valor de Kencontrado em (a), calcule a probabilidade de que X seja menor que 0 e Y seja maior que 3;

(c) Usando o valor deK encontrado em (a), calcule a probabilidade de que X seja maior que 0 e Y seja menor que 3.

5 - Considere a fun¸c˜ao

f(x, y) =





K(13−xy) se −1≤x≤1 e 0≤y≤3;

0 caso contr´ario

ondeK ´e um n´umero real.

(a) CaculeK para quef(x, y) seja uma fun¸c˜ao de freq¨uˆencia conjunta;

(b) Calcule a probabilidade de que X seja menor que 0 e Y esteja entre 1 e 2.

6 - Calcule o valor esperado de X e de Y para cada fun¸c˜ao de freq¨uˆencia conjunta abaixo.

(a)f(x, y) =





3

64(8−x²−y²) se 0≤x≤2 e 0≤y≤2;

0 caso contr´ario.

(b)f(x, y) =





1

184(3x²+ 2xy+ 10) se −1≤x≤3 e 2≤y≤4;

0 caso contr´ario

Respostas:

1 - (a) A integral procurada ´eI=RR

Rx+y dxdy. Integrando primeiro em xtemos Z ₁

−1

x+y dx=

·x² 2 +xy

¸1

−1

= µ1

2 +y

¶

− µ1

2 −y

¶

= 2y.

Portanto a integral dupla ´e Z ₁

−1

2y dy=

·2y² 2

¸₁

−1

= (1)−(1) = 0.

(b) A integral procurada ´eI=RR

R3x²+ 2xy+ 10dxdy. Integrando primeiro em xtemos Z ₃

−1

3x²+ 2xy+ 10dx=

·3x³

3 +2x²y 2 + 10x

¸₃

−1

= (27 + 9y+ 30)−(−1 +y−10) = 68 + 8y.

Portanto a integral dupla ´e Z ₄

2

68 + 8y dy=

·

68y+8y² 2

¸4

2

= (272 + 8·8)−(136 + 8·2) = 184.

(c) A integral procurada ´eI=RR

Rxe^ydxdy. Integrando primeiro emxtemos Z ₂

0

xe^ydx=

·x²e^y 2

¸2

0

= (2e^y)−(0e^y) = 2e^y. Portanto a integral dupla ´e

Z ₁

0

2e^ydy= [2e^y]¹₀= (2e¹)−(2e⁰) = 2e−2.

(d) A integral procurada ´eI=RR

Re^3x−1y+ 2ye^y2dxdy. Integrando primeiro emxtemos que

calcular Z ₁

0

e^3x−1y+ 2ye^y2dx

Para resolver esta integral usaremos o m´etodo de substitui¸c˜ao para calcularR

e^3x−1y dx. Tomamos u= 3x−1 ⇒ du

dx = 3 ⇒ dx= du 3

Logo, temos Z

e^3x−1y dx= Z

e^uydu 3 = e^uy

3 = e^3x−1y 3 e assim,

Z ₁

0

e^3x−1y+ 2ye^y2dx =

·e^3x−1y

3 + 2xye^y2

¸1

0

=

µe³⁻¹y

3 + 2·1·ye^y2

¶

− µe⁻¹y

3 + 2·0·ye^y2

¶

=

= e²−e⁻¹

3 y+ 2ye^y2 Portanto a integral dupla ´e

I= Z ₁

0

µe²−e⁻¹

3 y+ 2ye^y2

¶ dy.

Para calcularR

2ye^y2dy usaremos novamente o m´etodo da substitui¸c˜ao. Tomamos u=y² ⇒ du

dy = 2y ⇒ dy= du 2y.

Logo Z

2ye^y2dy= Z

2ye^udu 2y =

Z

e^udu=e^u=e^y2. Assim

I = Z ₁

0

µe²−e⁻¹

3 y+ 2ye^y2

¶ dy

=

·e²−e⁻¹ 3 ·y²

2 +e^y2

¸₁

0

=

·e²−e⁻¹ 3 ·1²

2 +e¹²

¸

−

·e²−e⁻¹ 3 ·0²

2 +e⁰²

¸

= e²−e⁻¹

6 +e−1.

(e) A integral procurada ´eI=RR

R2y√³

x dxdy. Integrando primeiro emxtemos Z ₈

0

2y√³

x dx = Z ₈

0

2yx^1/3dx=

·2yx^4/3 4/3

¸8

0

=

·6yx^4/3 4

¸8

0

= ³

6y·8^4/3´

−³

6y·0^4/3´

= (6y·16)−(6y·0) = 96y Portanto a integral dupla ´e

Z ₂

0

96y dy=£ 48y²¤1

0= (48)−(0) = 48.

(f) A integral procurada ´eI= Z Z

R

x

xy+ 1dxdy. Aqui vamos integrar primeiro emy e usar o m´etodo da substitui¸c˜ao. Temos que calcular

Z ₁

0

x xy+ 1dy,

para isso, tomamos

u=xy+ 1 ⇒ du

dy =x ⇒ dy= du x. Assim, temos que

Z x

xy+ 1dy= Z x

u du

x = Z 1

udu= ln(u) = ln(xy+ 1).

Portanto Z ₁

0

x

xy+ 1dy= [ln(xy+ 1)]¹₀= ln(x+ 1)−ln(1) = ln(x+ 1), pois ln(1) = 0. Assim, a integral dupla ´eI=R₂

0 ln(x+ 1)dx. Novamente podemos usar o m´etodo da substitui¸c˜ao para calcular esta integral. Tomamos

u=x+ 1 ⇒ du

dx = 1 ⇒ dx=du

e logo Z

ln(x+ 1)dx= Z

ln(u)du=uln(u)−u= (x+ 1) ln(x+ 1)−(x+ 1).

Portanto, a integral dupla procurada ´e I =

Z ₂

0

ln(x+ 1)dx= [(x+ 1) ln(x+ 1)−(x+ 1)]²₀

= (3 ln(3)−3)−(1 ln(1)−1) = 3 ln(3)−2.

2 - (a) O volume procurado ´e dado pela integral duplaI=RR

Rx+y dxdy. Temos Z ₁

0

x+y dx=

·x² 2 +xy

¸1

0

=1 2 +y e portanto o volume ´e

I= Z ₁

0

1

2+y dy =

·y 2 +y²

2

¸₁

0

= µ1

2 +1 2

¶

−(0 + 0) = 1.

(b) O volume procurado ´e dado pela integral duplaI=RR

R8−x²−y²dxdy. Temos Z ₂

0

8−x²−y²dx=

· 8x−x³

3 −xy²

¸₂

0

= 40 3 −2y² e portanto o volume ´e

I= Z ₂

0

40

3 −2y²dy=

·40y 3 −2y³

3

¸2

0

= µ80

3 −16 3

¶

−(0−0) = 64 3 .

3 - A probabilidade procurada ´e

P(X >1, Y <1) = Z ₂

1

Z ₁

0

24−3x²−3y²

64 dxdy.

Temos

Z ₁

0

24−3x²−3y²

64 dx =

·24x−x³−3xy² 64

¸1

0

=

µ24−1−3y² 64

¶

−

µ0−0−0y² 64

¶

= 23−3y² 64 . e logo

P(X >1, Y <1) = Z ₂

1

23−3y² 64 dy=

·23y−y³ 64

¸2

1

=

µ46−8 64

¶

−

µ23−1 64

¶

= 16

64 = 0,25.

Assim, a probabilidade de que X seja maior que 1 e Y seja menor que 1 ´e de 25%.

4 - (a) Para que fun¸c˜aof(x, y) seja uma fun¸c˜ao de freq¨uˆencia conjunta, devemos ter Z Z

R²

f(x, y)dxdy= 1.

Deste modo, precisamos ter que Z ₄

2

Z ₃

−1

K(3x²+ 2xy+ 10)dxdy= 1.

Vamos ent˜ao calcular esta integral dupla. Temos Z ₃

−1

K(3x²+ 2xy+ 10)dx = £

K(x³+x²y+ 10x)¤₃

−1

= (K(27 + 9y+ 30))−(K(−1 +y−11)) =K(68 + 8y).

Deste modo, temos que ter 1 =

Z ₄

2

Z ₃

−1

K(3x²+ 2xy+ 10)dxdy= Z ₄

2

K(68 + 8y)dy

= [K(68y+ 4y²)]⁴₂=K(272 + 64)−K(136 + 16) = 184K ou seja, 1 = 184K, implicando queK= 1/184.

(b) A probabilidade de que X seja menor que 0 e Y seja maior que 3 ´e P(X <0, Y >3) =

Z ₄

3

Z ₀

−1

3x²+ 2xy+ 10 184 dxdy.

Calculando primeiro emx, temos Z ₀

−1

3x²+ 2xy+ 10

184 dx=

·x³+x²y+ 10x 184

¸0

−1

=

µ0 + 0y+ 0 184

¶

−

µ−1 +y−10 184

¶

= 11−y 184 . Assim,

P(X <0, Y >3) = Z ₄

3

11−y 184 dy=

· 1 184

µ

11y−y² 2

¶¸₄

3

= µ 1

184(44−8)

¶

− µ 1

184 µ

33−9 2

¶¶

= 15 368

Logo, a probabilidade de que X seja menor que 0 e Y seja maior que 3 ´e aproximadamente 4%.

(c) A probabilidade de que X seja maior que 0 e Y seja menor que 3 ´e P(X >0, Y <3) =

Z ₃

2

Z ₃

0

3x²+ 2xy+ 10 184 dxdy.

Calculando primeiro emx, temos Z ₃

0

3x²+ 2xy+ 10

184 dx=

·x³+x²y+ 10x 184

¸₃

0

=

µ27 + 9y+ 30 184

¶

−

µ0 + 0y+ 0 184

¶

= 57 + 9y 184 . Assim, temos

P(X >0, Y <3) = Z ₃

2

57 + 9y 184 dy=

· 1 184

µ

57y+ 9y² 2

¶¸3

2

= µ 1

184 µ

171 + 81 2

¶¶

− µ 1

184 µ

114 + 36 2

¶¶

=159 368

Logo, a probabilidade de que X seja maior que 0 e Y seja menor que 3 ´e aproximadamente 43%.

5 - (a) Para que fun¸c˜aof(x, y) seja uma fun¸c˜ao de freq¨uˆencia conjunta, devemos ter Z Z

R²

f(x, y)dxdy= 1.

Deste modo, precisamos ter que Z ₃

0

Z ₁

−1

K(13−xy)dxdy= 1.

Vamos ent˜ao calcular esta integral dupla. Temos Z ₁

−1

K(13−xy)dx =

· K

µ

13x−x²y 2

¶¸1

−1

= ³

K³ 13−y

2

´´

−³ K³

−13−y 2

´´

= 26K.

Deste modo, temos que ter 1 =

Z ₃

0

Z ₁

−1

K(13−xy)dxdy= Z ₃

0

26K dy

= [26Ky]³₀= 78K−0K= 78K ou seja, 1 = 78K, implicando queK= 1/78.

(b) A probabilidade de que X seja menor que 0 e Y esteja entre 1 e 2 ´e P(X <0, 1< Y <2) =

Z ₂

1

Z ₀

−1

13−xy 78 dxdy.

Calculando primeiro emx, temos Z ₀

−1

13−xy 78 dx=

·1 78

µ

13x−x²y 2

¶¸0

−1

= µ1

78(0−0y)

¶

− µ 1

78

³

−13−y 2

´¶

=26 +y 156 .

Assim, temos

P(X <0,1< Y <2) = Z ₂

1

26 +y 156 dy=

· 1 156

µ

26y+y² 2

¶¸2

1

= µ 1

156 µ

52 +4 2

¶¶

− µ 1

156 µ

26 +1 2

¶¶

= 55 312

Logo, a probabilidade de que X seja menor que 0 e Y esteja entre 1 e 2 ´e aproximadamente 17,6%.

6 - (a) O valor esperado para X ´eEX=RR

R²xf(x, y)dxdy.Assim, temos EX =

Z ₂

0

Z ₂

0

x24−3x²−3y²

64 dxdy=

Z ₂

0

Z ₂

0

24x−3x³−3xy²

64 dxdy.

Integrando primeiro emxtemos Z ₂

0

24x−3x³−3xy²

64 dx =

· 1 64

µ

12x²−3x⁴

4 −3x²y² 2

¶¸2

0

= µ 1

64 µ

48−48

4 −12y² 2

¶¶

− µ1

64 µ

0−0 4 −0y²

2

¶¶

=36−6y² 64 Assim, o valor esperado para X ´e

EX = Z ₂

0

36−6y² 64 dy=

·36y−2y³ 64

¸₂

0

=

µ72−16 64

¶

−(0−0 64 ) =56

64. Assim, o valor esperado para X ´e 0,875.

O valor esperado para Y ´eEY =RR

R²yf(x, y)dxdy.Assim, temos EY =

Z ₂

0

Z ₂

0

y24−3x²−3y²

64 dxdy=

Z ₂

0

Z ₂

0

24y−3x²y−3y³

64 dxdy.

Integrando primeiro emy temos Z ₂

0

24y−3y³−3yx²

64 dy=36−6x² 64 Assim, o valor esperado para Y ´e

EY = Z ₂

0

36−6x²

64 dx= 56 64.

Assim, o valor esperado para Y ´e igual ao valor esperado para X e ´e 0,875.

(b) O valor esperado para X ´eEX =RR

R²xf(x, y)dxdy. Assim, temos EX=

Z ₄

2

Z ₃

−1

x3x²+ 2xy+ 10 184 dxdy=

Z ₄

2

Z ₃

−1

3x³+ 2x²y+ 10x

184 dxdy.

Integrando primeiro emxtemos Z ₃

−1

3x³+ 2x²y+ 10x

184 dx =

· 1 184

µ3x⁴

4 +2x³y 3 + 5x²

¶¸₃

−1

= µ 1

184 µ243

4 +54y 3 + 45

¶¶

− µ 1

184 µ3

4+−2y 3 + 5

¶¶

= 1

184 µ

100 + 56y 3

¶

Assim, o valor esperado para X ´e EX =

Z ₄

2

1 184

µ

100 + 56y 3

¶ dy=

· 1 184

µ

100y+28y² 3

¶¸4

2

= 312 184 ≈1,7 Assim, o valor esperado para X ´e aproximadamente 1,7.

O valor esperado para Y ´eEY =RR

R²yf(x, y)dxdy.Assim, temos EY =

Z ₄

2

Z ₃

−1

y3x²+ 2xy+ 10 184 dxdy=

Z ₄

2

Z ₃

−1

3x²y+ 2xy²+ 10y

184 dxdy.

Integrando primeiro emxtemos Z ₃

−1

3x²y+ 2xy²+ 10y

184 dx =

·x³y+x²y²+ 10xy 184

¸₃

−1

=

µ27y+ 9y²+ 30y 184

¶

−

µ−y+y²−10y 184

¶

= 68y+ 8y² 184 Assim, o valor esperado para Y ´e

EY = Z ₄

2

68y+ 8y² 184 dy=

· 1 184

µ

34y²+8y³ 3

¶¸₄

2

= µ 1

184 µ

34·16 +8·64 3

¶¶

− µ 1

184 µ

34·4 + 8·8 3

¶¶

= 1672 552 ≈3,03

Assim, o valor esperado para Y ´e aproximadamente 3,03.