• Nenhum resultado encontrado

A saída de um transdutor ou de qualquer outro dispositivo gera um sinal, normalmente referido por x(t), este sinal é o contentor da informação que se

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "A saída de um transdutor ou de qualquer outro dispositivo gera um sinal, normalmente referido por x(t), este sinal é o contentor da informação que se"

Copied!
26
0
0

Texto

(1)

3.3. MMODODUULLAÇÃÃOO AANANALÓGGIICCAA DDEE PPORORTTAADDOORRAASS SSININUUSSOOIIDDAAIISS. .

A saída de um transdutor ou de qualquer outro dispositivo gera um sinal, normalmente referido por x(t), este sinal é o contentor da informação que se pretende transmitir e por isso é caracterizado por um processo aleatório. Para a análise dos sistemas de comunicação analógicos, e de um modo geral, o sinal analógico x(t) aqui considerado é de banda limitada (do tipo passa baixo), limitado a B Hz, isto é, X(f) = 0 para |f| > B.

Para transmitir um sinal x(t) através de um canal de comunicação pode-se utilizar uma portadora com a forma:

y(t) = A cos(2πfp t + θ) ou y(t) = A cos(ωp t + θ) (2.10.1)

onde A é a amplitude, fp a frequência da portadora, θ a fase da portadora. Qualquer das quantidades A, fp ou θ pode ser alterada proporcionalmente a x(t), com a finalidade de o sinal y(t) transportar informação contida em x(t). A este processo chama-se modulação.

Concretamente, o efeito da modulação consiste em converter um sinal x(t) passa baixo num sinal passa banda centrado na frequência fp.

A modulação de uma portadora é utilizada realizar um ou mais dos seguintes objectivos:

1. Para transladar na frequência um sinal passa baixo para a banda de passagem característica do canal.

2. Para acomodar o sinal de forma a transmitir simultaneamente vários sinais oriundos de fontes de informação diferentes, através de uma multiplexagem na frequência.

3. Para expandir a sua largura de banda do sinal com o objectivo de aumentar a imunidade ao ruído na transmissão através de um canal de comunicação ruidoso.

Os objectivos 1 e 2 são alcançados através da modulação em amplitude (AM), mais concretamente, fazendo variar a quantidade A da equação (2.10.1). O objectivo 3 é atingido utilizando a modulação angular, ou seja, a modulação de frequência (FM) ou de fase (PM), através da variação da quantidade θ da equação (2.10.1), este tipo de modulação tem como consequência um espalhamento de um sinal x(t) por uma grande largura de banda.

A escolha da modulação depende de vários factores em que os mais importantes são:

as características do sinal x(t) como a sua largura de banda; as características do canal de comunicação e o tipo de perturbações ou interferências a que está sujeito; requisitos de performance tais como a fidelidade do sinal recebido; factores económicos na implementação prática do modulador e do desmodulador.

Nas próximas secções deste capítulo são consideradas a transmissão e recepção de sinais analógicos de uma portadora sinusoidal em modulação em amplitude (AM),

(2)

modulação em frequência (FM) e fase (PM). Serão feitas comparações entre estes métodos de modulação relativamente aos seus requisitos de largura de banda e complexidade de implementação.

3.1. Modulação de Amplitude.

Nos sistemas de Amplitude Modulada (AM) a amplitude da portadora varia de acordo com o sinal modulante x(t):

xp(t) = A[1 + mx(t)]cos(2π fpt) (3.1.1)

A figura seguinte apresenta duas formas de onda AM. Numa delas verifica-se a relação |m x(t)| < 1 e portanto a envolvente de xp(t) tem a forma de x(t). Na outra forma de onda |m x(t)| pode ser >1 e a envolvente de xp(t) é uma versão distorcida de x(t). Então a condição |m x(t)| < 1 deve ser mantida se utilizarmos um detector de envolvente (ver mais adiante).

t x(t)

t

xp(t) Sinal Modulado

em Amplitude

|mx(t)|>1

t

xp(t) |mx(t)|>1

Figura 3.1 – Exemplo de um sinal modulado em AM

No que respeita ao espectro de um sinal AM, note-se que a equação Erro! A origem da referência não foi encontrada. tem dois termos: um termo, x(t)cos(2πfpt), que corresponde a duas bandas laterais centradas em fp e outro termo, cos(2πfpt), que corresponde a dois impulsos delta de Dirac em ±fp. Tem-se então o espectro representado na figura seguinte:

f

X(f)

-B 0 B

(3)

f

Xp(f)

(fp-B)

Banda Lateral Inferior

Banda Lateral Superior

fp (fp+B) (-fp-B) -fp (-fp+B)

Portadora

f

Xp(f)

(fp-B)

Banda Lateral Inferior

Banda Lateral Superior

fp (fp+B) (-fp-B) -fp (-fp+B)

Portadora

Figura 3.2 – Espectro do sinal modulado em AM, DSB-WC Também se pode definir uma portadora modulada com a forma:

xp(t) = x(t)cos(2πfpt) (3.1.2)

Alguns sistemas analógicos também transmitem sinais com esta forma que se designam por sinais de banda lateral dupla com portadora suprimida, vulgarmente chamados sinais “Double Side Band – supressed carrier” (DSB-SC). O espectro deste sinal representa-se na figura seguinte. Aos sinais com a forma da equação (3.1.1) são chamados de “Double Side Band – with carrier” (DSB-WC).

f

X(f)

-B 0 B

f

Xp(f)

(fp-B)

Banda Lateral Inferior

Banda Lateral Superior

fp (fp+B) (-fp-B) -fp (-fp+B)

Figura 3.3 – Espectro do sinal modulado em AM, DSB-SC

Das equações Erro! A origem da referência não foi encontrada. e (3.1.2) conclui- se que para obter sinais AM ou DSB é necessário utilizar um dispositivo que efectue a seguinte operação:

Sinal em Banda Base

Cos(2p fpt)

Sinal AM ou DSB

Figura 3.4 – Dispositivo modulador de produto.

(4)

Um dispositivo que implemente esta operação é designado por modulador de produto. A saída do modulador será AM ou DSB conforme a entrada for k[1+mx(t)] ou apenas x(t) respectivamente. Para implementar na prática um modulador de produto são geralmente utilizadas duas técnicas:

i) Moduladores de lei quadrática ii) Moduladores parcialmente-lineares

Um modulador de lei quadrática pode ser descrito por uma série de potências da forma:

=

=

1 l

l i l

o av

v (3.1.3)

em que v0 é o sinal à saída e vi é o sinal à entrada.

Se |vi| for suficientemente pequeno é necessário tomar apenas os primeiros dois termos na série (3.1.3), isto é:

vo = a1vi + a2vi2

(3.1.4) Como a entrada é dada por

vi(t) = x(t) + cos(2πfpt) (3.1.5)

a saída será

1 2 1

2

1 2

2 2 2

1 2 1

1

sinal AM , 2

( ) ( ) cos(2 ) ( ) cos(2 )

a ( ) ( ) 1 cos(2 2 ) 1 2 ( ) cos(2 ) 2

o p p

p p

K a m a a

v t a x t f t a x t f t

a a

x t a x t f t a x t f t

a

π π

π π

= =

= + + +

= + + + +14444 + 4244444 3

O espectro (não à escala) de vo(t) está representado na figura seguinte. Nesta figura constata-se que a onda AM se obtém filtrando vo(t) com um filtro passa-banda de largura de banda 2B e centrado em fp.

Figura 3.5 – Espectro de um sinal modulado por um modulador de lei quadrática.

Um modulador parcialmente linear poderá ser construído com um díodo rectificador 'linear'. Para se analisar o funcionamento deste modulador considere-se o caso em que

|x(t)|<<a.

Tem-se então:

(5)

, cos(2 ) 0 0 , cos(2 ) 0

L

o i p

L D

p

v R bv a f t

R R

a f t

π π

= >

<

que ainda se pode escrever na forma:

vo = [a cos(2πfpt) + x(t)] S(t) (3.1.6) onde S(t) tem a seguinte forma:

a que corresponde a seguinte série de Fourier:

1

( ) 1 sinc cos(2 n )

2 n 2 p

S t b n π f t

=

 

= +   (3.1.7)

De (3.1.6) e (3.1.7) obtém-se:

2

1

1 2

( ) cos (2 ) sinc ( ) cos(2 ) cos(2 )

2 2

cos(2 ) 1 4 ( ) 2

o p p p

n

p

v b x t a f t n x t a f t nf t

a f t x t

a

π π π

π

π π

=

    

= + +     +

+ +  

Analisando os diversos termos da equação anterior conclui-se que filtrando vo(t) com um filtro passa banda centrado em fp e com largura de banda 2B se obtém à saída:

[1 mx(t)]cos(2 f t)

k ) t (

v p

Filtrado

o = + π (3.1.8)

onde

a m 4 , 2

K = ab =π

Os moduladores acima apresentados são representativos dos vários tipos utilizados para modulação de baixa potência.

3.2. Conversão de Frequência.

A operação de multiplicação por uma onda sinusoidal não é apenas utilizada para produzir sinais AM e DSB, mas também para transladar sinais de uma gama de frequências para outra. Esta operação designa-se por conversão de frequência e o dispositivo que efectua esta conversão é chamado um misturador. A figura seguinte ilustra a constituição de um misturador bem como formas de onda em pontos característicos.

(6)

cos(2p f2t)

gM(t) = x(t)/2 [cos(2p (f1-f2)t)+ cos(2p (f1+f2)t)]

g(t) = x(t) . cos(2p f1t)

cos(2p f2t)

gM(t) = x(t)/2 [cos(2p (f1-f2)t)+ cos(2p (f1+f2)t)]

g(t) = x(t) . cos(2p f1t)

f G(f)

f1 -f1

f GM(f)

(f1-f2)- (f1+f2)- -(f1-f2)-

-(f1+f2)-

Um filtro devidamente sintonizado a seguir a gM(t) selecciona a banda de frequência requerida.

Apresentam-se a seguir alguns casos particulares:

f1 = 0 à modulação de produto para a produção de DSB.

f1 = f2 e filtro passa baixo à detecção síncrona.

f1 ≠ f2 e filtro passa banda centrado em f1+f2 à conversão de frequência para um valor mais elevado.

f1 ≠ f2 e filtro passa banda centrado em f1-f2 à conversão de frequência para um valor mais baixo.

3.3. Modulação de Banda Lateral Única (SSB, "Single sideband").

3.3.1. Produção de sinais SSB.

Como se viu anteriormente, em AM transmitem-se duas bandas laterais mais uma componente importante correspondente à frequência da portadora. A portadora destina-se a facilitar a detecção do sinal AM, mas ela não transmite nenhuma informação. Por outro lado as duas bandas laterais são semelhantes e portanto apenas uma das bandas laterais contêm toda a informação do sinal modulante. Os sistemas de comunicação em que se envia apenas uma das bandas laterais são chamados sistemas de banda de lateral única (SSB, 'Single side band'). A vantagem destes sistemas é óbvia: representam uma poupança do espectro disponível e de potência. A principal desvantagem consiste na maior complexidade dos respectivos receptores quando comparados com sistemas AM, onde os receptores podem ser bastante simples.

(7)

Um método de gerar sinais SSB consiste em produzir primeiro um sinal DSB e filtrar em seguida uma das bandas laterais. O sinal DSB pode ser produzido por meio de um modulador balanceado que utiliza dois elementos não lineares, note-se que ternos a associação de dois moduladores AM idênticos. Dos resultados da secção 3.1 conclui-se que (depois de devidamente filtrados):

i1 = K1 [1 + mx(t)] cos(2π fpt) i2 = K1 [1 - mx(t)] cos(2π fpt) obtendo-se então

xp(t) = K(i1 - i2)

K' x(t) cos(2π fpt) ß sinal DSB

O sinal SSB é produzido utilizando o modulador balanceado seguido de um filtro de banda lateral, como se indica na figura seguinte:

Modulador Filtro de

Banda Lateral

~

cos(2p fpt)

DSB SSB

x(t)

Este método de produção de sinais SSB apresenta dificuldades de implementação, visto exigir um conteúdo de baixas frequências desprezável no espectro do sinal x(t). Esta propriedade verifica-se contudo em muitos sinais com interesse prático, como por exemplo a voz humana. A figura seguinte mostra como se pode então aproveitar a zona de conteúdo de frequências desprezável do sinal DSB, para a zona de transição do filtro de banda lateral.

(a) (b)

Uma regra prática para o projecto de filtros impõe uma banda de transição Bt > 1%

da frequência de corte nominal (fp). Daqui se conclui que fp < 100 Bt; como Bt é imposta pelo sinal de banda base, fp terá um valor limitado. Por isso em emissores práticos o sinal

(8)

SSB é produzido com portadoras de baixa frequência, efectuando-se em seguida uma conversão para a frequência pretendida.

A figura seguinte apresenta um modulador SSB que utiliza os princípios acima descritos. De notar que se adiciona uma portadora atenuada ao sinal SSB. Isto tem por fim facilitar o sincronismo do oscilador local no receptor.

3.3.2. Descrição matemática de sinais SSB.

O método acima descrito para gerar sinais SSB não é viável no caso de sinais com conteúdo importante de baixas frequências (por exemplo, sinais vídeo). Nestes casos pode-se utilizar outros tipos de modulador cujo diagrama de blocos é baseado na expressão matemática do sinal SSB.

Para se obter uma expressão matemática do sinal SSB é necessário definir primeiro o chamado sinal analítico:

) t ( j ) t ( x ) t (

z = + (3.3.1)

onde (t)é obtido a partir de x(t) por uma rotação de fase de -90º em todas as suas componentes na frequência. É fácil concluir-se que z(t) tem o seguinte espectro:

Z(ω) = 2X(ω) ω ≥ 0

= 0 ω < 0 (3.3.2)

Graficamente tem-se a seguinte relação entre X(ω) e Z(ω):

Fazendo uso de uma das propriedades da transformada de Fourier sabe-se que

t j p

e ) t (

z ω tem o seguinte espectro:

(9)

) (

Z e

) t (

z jωpt ωωp (3.3.3)

De modo idêntico se podia mostrar que o conjugado de z(t) tem o seguinte espectro Z(ω) = 0 ω > 0

= 2X(ω) ω ≤ 0 (3.3.4)

e ainda que:

) (

Z e

) t (

z* jωpt * ω +ωp (3.3.5)

Com base nos resultados (3.3.2)-(3.3.5) conclui-se finalmente que o sinal SSB (banda lateral superior) tem a seguinte expressão matemática:

[ ] [ ]

[ ]

) t ( sen ) t ( ) t cos(

) t ( x

e )) t ( j ) t ( x ( R

e ) t ( z R e

) t ( z e ) t ( 2 z ) 1 t ( x

p p

t j e

t j e t

* j t j p USSB

p

p p

p

ω ω

ω

ω ω

ω

=

+

=

= +

=

(3.3.6)

No caso da banda lateral inferior podia-se mostrar, utilizando um método análogo ao acima descrito, que:

) t ( sen ) t ( ) t cos(

) t ( x )

t (

x p p

p LSSB = ω + ω (3.3.7)

Com base na equação (3.3.6) pode-se agora definir outro tipo de modulador SSB que não necessita de filtro de banda lateral, sendo portanto útil para sinais com conteúdo elevado de baixas frequências. Este modulador representa-se na figura seguinte.

~

-π/2

x(t) cos(2πfct) USSB

+

-π/2

+ - x(t) cos(2πfct)

x(t) sen(2π^ fct) x(t)^

Circuito de Rotação de Fase

Um problema prático na implementação do modulador SSB acima descrito consiste na dificuldade em construir um circuito de rotação de fase de banda larga.

3.4. Vestigio de Banda Lateral (VSB, 'Vestigal Side Band').

Como se viu anteriormente, a produção de SSB por filtragem de uma das bandas laterais é prático em sistemas de voz e música, devido à ausência de componentes importantes nas baixas frequências. Já o mesmo não se passa com a televisão onde há componentes de baixa frequência com importância. Para poupar na largura de banda, mantendo simultaneamente a zona de transição para o filtro de banda lateral, utiliza-se um método conhecido por “Vestigial Side Band” (VSB). Nesta técnica de transmissão

(10)

grande parte de uma das bandas laterais é transmitida em conjunto com um Vestígio da outra banda lateral. O sinal VSB é muito utilizado na televisão, facsimilae e certos sistemas de transmissão de dados. A largura de banda típica para transmistir um sinal VSB é cerca de 1.25 vezes a de um sinal SSB.

A figura seguinte representa um sistema VSB. Este sinal é produzido por filtragem de um sinal DSB. O filtro utilizado para produzir o sinal VSB deverá ter uma simetria ímpar em torno de fp e resposta a 50% em fP. O espectro nos pontos (1)-(5) mostram como x(t) é recuperado a partir do sinal VSB por meio de uma detecção síncrona.

(11)

Um sinal modulado em VSB ocupa uma banda de B+b, em que 2b é a largura da banda de transição do filtro VSB.

3.5. Detecção e Receptores.

3.5.1. Detecção.

Para detectar sinais a alta frequência modulados através de uma portadora sinusoidal podem-se utilizar dois métodos: detecção de envolvente e detecção coerente (síncrona).

Em geral é necessária a detecção síncrona para sistemas SSB e DSB-SC) enquanto que os sinais DSB-WC podem ser detectados por qualquer dos dois métodos. Contudo, em DSB- WC utiliza-se geralmente a detecção de envolvente por ser a mais simples de implementar na prática.

A figura seguinte representa um detector de envolvente muito utilizado.

RL x’p(t)

+

- RL x’p(t)

+

-

(a)

(b)

Matematicamente a saída do rectificador da figura (a) é dado por xp(t) = K[1 + mx(t)]cos(2πfpt) S(t)

onde S(t) é a função de comutação, pode-se mostrar que xp(t) contêm um termo proporcional a x(t) mais outros termos de frequência elevada. O condensador C da figura

(12)

(b) serve para filtrar as altas frequências de xp(t) obtendo-se assim o sinal x(t) à saída do detector de envolvente.

Na detecção síncrona, o sinal recebido é multiplicado por uma sinusoide gerada localmente (oscilador local), passando em seguida por um filtro passa-baixo com largura de banda igual à largura de banda B do sinal modulante x(t) (ver figura seguinte)

xp(t)

A cos(2p fpt)

y(t) Filtro

Passa Baixo

yD(t)

Para se analisar o funcionamento deste detector note-se em primeiro lugar que os vários tipos de modulação de amplitude (AM, SSB, DSB) estudados neste capítulo se podem escrever na forma

xp(t) = [Kp + Km x(t)]cos(2πfpt) - Kmξ(t)sen(2πfpt) (3.5.1)

Por exemplo, quando há supressão da portadora Kp = 0, no caso de DSB ξ (t)= 0, etc.

A entrada do filtro passa-baixo da figura anterior tem a forma:

y(t) = xp(t) AL cos(2πfpt) = AL/2 {[Kp + Km x(t)] +

[Kp + Km x(t)] cos(2π2fpt) - Kmξ (t)sen(2π2fpt)

(3.5.2)

Os termos centrados em 2fp são eliminados pelo filtro passa-baixo pelo que temos à saída do desmodulador:

yD(t) = KD [Kp + Km x(t)] (3.5.3)

onde KD é a constante do desmodulador. A componente contínua (DC), KD Kp

(que aparece apenas nos sistemas com portadora) pode ser eliminada por meio de um condensador de bloqueio ou por um transformador. Tem-se assim o sinal x(t) recuperado.

A detecção síncrona embora conceptualmente simples, pode apresentar problemas de sincronismo visto exigir que o oscilador local possua a mesma frequência e fase da portadora modulada. Para facilitar esta sincronização muitos sistemas com supressão da portadora adicionam uma pequena amostra da portadora (piloto da portadora) ao sinal xp(t) aquando da modulação. Nestes casos a detecção homodina efectua-se como se indica na figura seguinte

xp(t)+piloto Filtro

Passa Baixo

x(t)

Filtro do Piloto

Oscilador Local

Se a fase do oscilador local difere da fase da portadora modulada, o sinal detectado pode ser uma versão altamente distorcida do sinal modulante x(t). Consideremos agora o caso de um sinal SSB e que o oscilador local é cos(2πfpt + θ). Então o sinal à entrada do filtro passa baixo será:

(13)

) t cos(

) t ( sen ) t ( ) t cos(

) t cos(

) t ( x ) t (

y = ωp ωp +θ ωp ωp +θ (3.5.4)

e o sinal à saída do desmodulador

[x(t)cos( ) (t)sen( )]

) t (

yD = 21 θ + θ (3.5.5)

De (3.5.5) se conclui que conforme θ aumenta a partir de zero o termo x(t)cos(θ) é atenuado e pior que isto, o termo (t)sen(θ) começa a ter preponderância. Para θ = π/2 apenas se detecta o termo de distorção (t).

Vejamos as consequências deste fenómeno. No caso de sinais audio, como o ouvido humano tem pouca sensibilidade a rotações de fase, não consegue distinguir x(t) de (t), e portanto o sincronismo de fase não e importante. No entanto, para outros tipos de sinal (digital, facsimilae, vídeo) a falha de sincronismo é importante. A figura seguinte dá uma ideia da influência da falta de sincronismo de fase em sistemas de transmissão de impulsos. Como se vê, o sinal recebido para θ = π/2 (sinal (t)) difere consideravelmente do sinal modulante x(t).

3.5.2. Receptores.

Há vários tipos de receptores AM, mas o mais utilizado é sem dúvida o receptor superheterodino representado na figura seguinte. O nome superheterodino refere-se à conversão de frequência que se processa da RF (rádio frequência) variável, para a FI (frequência intermédia) fixa, sendo finalmente este sinal desmodulado com um detector de envolvente.

O amplificador RF deverá estar sintonizado para a frequência da portadora da estação AM que se pretende captar. O oscilador local é sintonizado em conjunto com o amplificador RF de modo que fOL = fp ± fFI, onde fOL representa a frequência do oscilador local, fp a frequência da portadora a detectar e fFI a frequência de sintoma fixa do amplificador FI. O misturador (multiplicador) converte a onda AM com frequência fp numa soma de duas ondas AM com frequências fOL ± fp. O amplificador FI está sintonizado para:

fFL = fOL - fp (3.5.6)

(14)

pelo que elimina a frequência soma. Assim a rádio frequência de entrada é convertida numa frequência fixa mais baixa fFI. Isto facilita a construção do amplificador FI que fornece a maior parte do ganho e selectividade em relação aos canais adjacentes.

O controle automático de volume (CAV) serve para manter o nível do sinal à saída do receptor constante mesmo que haja variações da potência da portadora recebida.

Amplificador RF

fp Amplificador RF

fp

Amplificador FI

fFI Amplificador FI

fFI

Oscilador Local

CAV

Detector de Envolvente

Amplificador Áudio

Supondo o andar de RF com largura de banda infinita, ao tentarmos captar a portadora isto que tanto fp = fOL - fFI também se irá detectar simultaneamente a portadora f'p = fOL + fFI visto que tanto fp como f'p se irão converter na frequência fFI (Está-se a supor que fOL = fp + fFI).

fp fOL fp’

fFI fFI Canal

Imagem

A frequência f'p é designada por a frequência imagem e o canal de RF tem precisamente por missão eliminar esta frequência antes que ela atingia o misturador. Diz- se então que o andar RF é responsável pela selectividade em relação ao canal imagem.

A banda de rádio frequências para o AM de rádio difusão estende-se de 550 a 1600KHz. A frequência intermédia tem o valor fixo de 455KHz e atribui-se uma largura de banda de 10KHz a cada canal (estação emissora).

Entre outros tipos de receptores utilizados salientamos: o receptor heterodino onde se omite o andar de RF, pelo que as imagens constituem um problema, e o receptor de conversão dupla, geralmente utilizado em sistemas AM e SSB de ondas curtas de alta qualidade. Neste último receptor há dois misturadores e dois amplificadores FI. A primeira FI é fixa imediatamente acima ou abaixo da portadora RF. O valor elevado desta FI maximiza o espaçamento 2fFI1 entre a portadora e a sua imagem, facilitando assim a rejeição da imagem no andar RF. A segunda FI é fixa num valor relativamente baixo facilitando assim a selectividade em relação aos canais adjacentes.

3.6. Modulação de Frequência.

(15)

3.6.1. Conceitos fundamentais.

Além da modulação da amplitude (AM), também é possível transmitir informação por variando a frequência de uma portadora sinusoidal. Iremos agora estudar estes métodos de modulaçãoe os sistemas correspondentes designados por sistemas de modulação de frequência (FM, “Frequency Modulation”) e modulação de fase (PM,

“Phase Modulation”).

Antes de iniciarmos o estudo destes sistemas recordamos em seguida alguns conceitos básicos. Assim, dada a portadora

y(t) = A cos(2πfpt + θ) (3.6.1)

para obter uma modulação pode-se alterar o valor de A e nesse caso é uma modulação em amplitude (AM) ou alterar o valor de θ e nesse caso é uma modulação na frequência.

A relação entre frequência e fase é obtida por derivação, isto é, ) t ( f ) t ( com dt ) t ( ) t ( dt e

) t ( ) d t

( θ θ ω ω π

ω = ==2 (3.6.2)

No caso geral da modulação em frequência, modula-se θ(t) e a portadora modulada terá forma:

y(t) = A cos (θ p(t)) (3.6.3)

Defini-se então a frequência instantânea fí(t):

dt ) t ( ) d

t ) ( t (

fi i θp

π π ω

2 1

2 =

= (3.6.4)

Na modulação de fase (PM, Phase Modulation), θ p(t) varia linearmente com x(t):

θp(t)PM = 2pfpt + θo + K1 x(t) ou (3.6.5)

dt ) t ( x K d dt f

) t ( ) d

t (

fi PM p p 1'

2

1 = +

= θ

π (3.6.6)

Na modulação FM, a frequência instantânea varia linearmente com x(t), obtendo-se então:

fi(t)FM = fp + K2 x(t) ou (3.6.7)

= + +

= f (t)dt f t K x(t)dt )

t

( FM i p '

p 2π 2π θ0 2

θ (3.6.8)

Das definições anteriores conclui-se que há uma relação estreita entre os dois tipos de modulação angular. Assim se integrarmos o sinal modulante x(t), e modularmos em seguida em fase uma portadora sinusoidal, obtém-se um sinal FM.

A figura seguinte mostra sinais AM, FM e PM típicos. Estas formas de onda podem ser confirmadas utilizando as respectivas definições

(16)

Sinal AM

Sinal FM

Sinal PM

Apesar das muitas semelhanças entre os sinais PM e FM, a modulação de frequência apresenta propriedades de redução de ruído superiores e será portanto analisada em pormenor.

3.6.2. Análise Espectral doSinal FM.

A modulação de frequência é um processo não linear pelo que é de esperar o aparecimento de novas frequências no processo de modulação. Esta propriedade da modulação FM dificulta a sua análise em comparação com o sinal AM, visto que em FM o princípio da sobreposição não é aplicável e portanto os resultados obtidos para um tipo de sinal modulante não pode ser facilmente aplicável a outro.

Devido a estas dificuldades vamos limitar a análise a sinais modulantes sinusoidais.

Apesar desta simplificação constata-se que em relação à largura de banda, os resultados obtidos estão de acordo, para efeitos práticos, com resultados obtidos utilizando sinais mais complexos. Supondo então o sinal modulante sinusoidal:

x(t) = a cos(ωmt) (3.6.9)

da definição (3.6.7) tira-se que ωi(t) = ωp + K2 a cos(ωmt)

= ωp + ∆ω cos(ωmt) (3.6.10)

onde ∆ω é o desvio máximo da frequência angular instantânea da portadora modulada em relação à frequência ωp da portadora não modulada. Define-se também o desvio de frequência f:

π πω

2 a K f = 2 = 2

(3.6.11)

A fase da portadora modulada será dada por

0 m m

p i

p(t) ω dt ω t ωω sen(ω t) θ

θ == + +

Fazendo θo = 0, virá

xp(t) = cos(ωpt + β sen(ωmt)) (3.6.12)

(17)

onde

m

m f

f

=

= ωω

β (3.6.13)

β é designado por índice de modulação.

Pode-se mostrar que se ωm << ωp, a potência média de xp(t) é independente da amplitude do sinal modulante. Este resultado contrasta com o caso AM onde a potência média da portadora modulada varia com a amplitude do sinal modulante.

Para efectuar a análise espectral de xp(t), dá-se primeiro outra forma à equação (3.6.12):

xp(t) = cos(ωpt)cos[β sen(ωmt)] - sen(ωpt)sen[β sen(ωmt)] (3.6.14)

Note-se que embora xp(t) não seja necessariamente periódico, os termos cos[β sen(ωmt)] e sen[β sen(ωmt)] são periódicos em 1/fm e podem portanto expandir-se em série de Fourier. Estes dois termos podem ser decompostos simultaneamente em série de Fourier se considerarmos a seguinte exponencial

[ ] [ ]

+

−∞

=

=

=

+

=

n

n n t

j n

m m

) t ( sen j

n , e T1 c

) t ( sen jsen ) t ( sen cos e

n m

ω ω

ω β ω

β

ω ω

β

(3.6.15) Os coeficientes cn são dados por

[ ]

= T2

T2

n

m dt

e

cn jβsen(ω t)ωt (3.6.16)

Fazendo x = ωmt, o integral anterior torna a forma ) ( J dx 21 e

T c

n ) nx ) x ( sen (

n π j β

π π

β =

=

(3.6.17)

Este integral designado por função de Bessel de primeira espécie, ordem n e argumento β, surge em muitos problemas físicos e apenas se consegue resolver numericamente. Esta função é normalmente designada por Jn(β) e encontram-se tabelas dos seus valores em várias publicações. De (3.6.15) e (3.6.17) obtém-se:

+∞

−∞

=

=

n

t j n )

t ( sen

j m m

e ) ( J

eβ ω β ω (3.6.18)

Pode-se mostrar que

Jn(β) = J-n(β) , n par

Jn(β) = -J-n(β) , n impar (3.6.19)

Com base nestas igualdades a equação (3.6.18) pode ser posta na seguinte forma (depois de associados os termos em nωn e -nωn):

+

+

=

impar n

m n

par n

m n

o ) t ( sen

j J( ) 2 J ( )cos(n t) j2 J ( )sen(n t)

eβ ωm β β ω β ω (3.6.20)

Atendendo a que:

[ sen( t)] jsen[ sen( t)]

cos

ejβsen(ωmt)= β ωm + β ωm obtém-se:

Referências

Documentos relacionados

2 - OBJETIVOS O objetivo geral deste trabalho é avaliar o tratamento biológico anaeróbio de substrato sintético contendo feno!, sob condições mesofilicas, em um Reator

- Se o estagiário, ou alguém com contacto direto, tiver sintomas sugestivos de infeção respiratória (febre, tosse, expetoração e/ou falta de ar) NÃO DEVE frequentar

Neste estudo foram estipulados os seguintes objec- tivos: (a) identifi car as dimensões do desenvolvimento vocacional (convicção vocacional, cooperação vocacio- nal,

• The definition of the concept of the project’s area of indirect influence should consider the area affected by changes in economic, social and environmental dynamics induced

No presente estudo, catorze animais (34,15%) apresentavam algum tipo de parentesco procedente de oito diferentes propriedades rurais (26,66%), ora relacionado à vaca, ora ao touro,

Atualmente os currículos em ensino de ciências sinalizam que os conteúdos difundidos em sala de aula devem proporcionar ao educando o desenvolvimento de competências e habilidades

Obter polpa de guavira desidratada pelo processo de liofilização com adição de maltodextrina e avaliar o conteúdo de vitamina C no produto em pó.. Material

Desta maneira, observando a figura 2A e 2C para os genótipos 6 e 8, nota-se que os valores de captura da energia luminosa (TRo/RC) são maiores que o de absorção (ABS/RC) e